2007年中科大数学分析期末考试卷

暨 南 大 学 考 试 试 卷一、单项选择题（共6小题，每小题2分，共10分）1. 函数)(x f 在 [a,b ] 上可积，那么（ A ）A ．)(x f 在[a,b ]上有界B ．)(x f 在[a,b ]上连续C ．)(x f 在[a,b ]上单调D ．)(x f 在[a,b ]上只有一个间断点 2．若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )(（ B ）A ． C e F x +)(B ．C e F x +--)(C ．C e F x+-)( D ．C xe F x +-)( 3．在[a ，+∞]上恒有)()(x g x f ≥，则（ D ） A ．⎰∞+adx x f )(收敛⎰∞+adx x g )(也收敛 B ．⎰∞+adx x g )(发散⎰∞+adx x f )(也发散C ．⎰∞+adx x f )(和⎰∞+adx x g )(同敛散 D ． 无法判断4. 函数项级数)(1x a n n ∑∞=在D 上一致收敛的充要条件是（ A ）A ． 对∀ε>0,∃ N （ε）>0，使当∀m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m nB ．对∀ε>0, N>0，使当∀m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m nC ． ∃ε>0, ∀ N （ε）>0，使当∀m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m nD ．对∀ε>0,∃ N （ε）>0，使∃m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m n5. ()f x 是以2π为周期的函数，在一个周期[),ππ-的表达式为()f x x =，则它的傅里叶级数（ B ）A ．不含正弦项；B ．不含余弦项；C ．既含正弦项也含余弦项；D ．不存在.二、叙述题（每小题3分，共6分）1、牛顿-莱不尼兹公式设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立)()()(a F b F dx x f ba-=⎰2、∑∞=1n n a 收敛的cauchy 收敛原理,0.0>∃>∀N ε使得N n m >>∀，成立ε<+++++m n n a a a 21二、计算题（共8小题，每小题5分，共40分）1. )212111(lim nn n n +++++∞→ .由于x+11在[0，1]可积，由定积分的定义知（1分）)212111(lim nn n n +++++∞→ =2ln 11)11211111(1lim 10=+=+++++⎰∞→dx x nn n n n n （4分） 2. 6202sin limxdt t x x ⎰→316sin 2lim sin lim5406202==→→⎰xx x x dt t x x x （5分）3．求摆线])2,0[()cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的图形的面积。

2007级高等数学（上）期末考试试题 班级 学号 姓名 得分一．选择题（每小题3分，共15分）1．设当0→x 时， 1cos -x 与2ax 是等价无穷小，则=a （ ）(A) 2 (B) 2- (C) 12 (D) 12- 2．设21()1⎧≤=⎨+>⎩x x f x ax b x 在1=x 处可导，则,a b 的值分别为（ ） (A) 1,2 (B) 2,1- (C) 1,2- (D) 2,1-3．11(x x -+=⎰ ( )(A) π (B)2π (C) 4π (D) 0 4．曲线=x y e 与该曲线过原点的切线=y ex 及y 轴所围成图形的面积=A ( )(A) 1()d -⎰e x e ex x (B) 1(ln )d -⎰ey y y e (C) 10()d -⎰x e ex x (D) 10(ln )d -⎰y y y e 5．曲线22210⎧-=⎨=⎩x y z 绕x 轴旋转一周所形成的曲面方程为( )（A ）22221x y z --= (B) 22221x y z -+=(C) 222221x y z --= (D) 222221x y z -+=二．填空题（每小题3分，共15分）6．若向量 x 与 (2,1,1)=a 共线，且18⋅=-a x ，则=x7．设3233()(1)x f x x x x e =++++，则(10)()f x = 8．设20()()d ln 22x t F x f t =+⎰，其中()f x 连续，则()F x '= 9．设 2=x y e 与 2=x y xe 都是某二阶常系数齐次线性微分方程的特解，则该微分方程为10．曲线sin ,cos (0)4y x y x x π==≤≤与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积=x V三、计算题（每小题5分，共60分）11．求 2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭. 12．设曲线()n y f x x ==（n 为正整数）在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)ξ，求lim ()→∞n f ξ. 13．设 2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩， 求 x y d d 及 22d d x y . 14．设 y e x y e +=，求 0x y =''．15．设 0=x 是 43()2y f x x x ax ==-+ 的驻点，求常数a 的值，并求该曲线的凹凸区间与拐点．16．设()d sin f x x x x C =+⎰，求()d cos f x x x ⎰． 17．求13x -⎰． 18．求微分方程 0x x x y y xe e '+--=的通解．19．求微分方程 2324x y y y e '''++=的通解．20．求过点(0,1,2)，且与直线11211x y z -+==平行，又与平面 230++=x y z 垂直的平面方程．21．已知()''f x 连续，()1=f π，且0[()()]sin d 3''+=⎰f x f x x x π，求(0)f ． 22．求 21arctan d +∞⎰x x x ． 四、证明题（每小题5分，共10分） 23．证明：当2e a b e <<<时，2224ln ln ()b a b a e->-. 24．设函数()f x 对任意实数12,x x 都满足 1212()()()+=⋅f x x f x f x ， 且(0)1'=f ，证明： （1）()()'=f x f x ； （2）()=x f x e .参 考 答 案一．选择题（每小题3分，共15分）1．C 2．B 3．B 4．C 5．C二．填空题（每小题3分，共15分）6．6,33---（，） 7．1033e x 8．2()f x9．440y y y '''-+= 10．12π 三、计算题（每小题5分，共60分）11．原式2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---======12． 切线方程 1(1)y n x -=-13． 2dy t dx=， 2222(1)d y t dx =+ 14． y y y e x '=-+ ； 2()(1)()()y y y y y e x e y e x y e x ''⋅+-⋅+⋅+''=-+ ； 021|x y e =''= 15．0a =，)(x f 的凹区间为 (,0],[1,)-∞+∞；凸区间为 [0,1]；拐点为 (0,0),(1,1)- 16．()sin cos f x x x x =+17．令t =， 原式1231331114(3)d [3]2233t t t t --=--=-⎰＝ 18．原方程变为： 1x xxe e y y x x+'+= 原方程的通解：111[](C)x x dx dx x x x xe e y e e dx C xe x x-+⎰⎰=+=+⎰ 19．320y y y '''++=的通解：212x x Y C e C e --=+；原方程特解 2213x x y Ae e ==原方程通解 212x x y C e C e --=+213x e + 20．平面的法向量为 (2,1,1)(1,2,3)(1,5,3)n =⨯=-平面的方程为 5310x y z -+-=21．000[()()]sin d ()sin d ()sin d f x f x x x f x x x f x x x πππ''''+=+⎰⎰⎰所以：(0)2f =22．21arctan d +∞⎰x x x 11arctan d()x x+∞=-⎰121arctan 1|d (1)x x x x x +∞+∞=-++⎰ 23． 2()ln f x x =在[,]a b 上应用Lagrange 中值定理得：ln ()x g x x =在2(,)e e 内导数 21ln ()0x g x x-'=< 由ln ()x g x x=在2[,]e e 上单调性得 222ln ln 2e e e ξξ>= 所以 2224ln ln ()b a b a e->- 24．（1）00()()()()()(0)()lim lim h h f x h f x f x f h f x f f x h h →→+--'== （2）由()()f x f x '=得： d[()]d ()f x x f x =， 所以 ln ()ln f x x C =+ ()x f x Ce = ， 由题得：1C = ， 所以：()x f x e =。

中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

1. （15分）求幂级数∑∞=+02!21n n n x n n 的收敛域，并求其和。

2. （15分）讨论积分dx x x e px ∫∞+0sin 2sin 的绝对收敛和条件收敛。

3. （15分）计算曲面积分∫∫，其中Σ为曲面Σ+++xydxdy ydzdx z x yzdydz )(22224z x y +=−在xoz 平面的右侧部分的外侧。

4. (20分，每小题10分）证明下列不等式：（1）nex x n 1)1(<− 10(<<x ，为正整数）； n （2）。

)0,(1>>+y x y x x y 5. （15分）设级数收敛，且绝对收敛。

证明：级数收∑∞=1n n b ∑∞=−−11)(n n n a a ∑∞=1n n n b a 敛。

6. （15分）假设)(x f 为二次连续可微实值函数，对于所有的实数x ，满足1)(≤x f 且满足4))2=。

证明存在实数0x ，满足0)('。

0('())0((2+f f ')(00=+x f x f科目名称：数学分析第1页 共2页 good7. （15分）假设 1|)(和1|)(''||≤x f ≤x 对一切]2,0[f ∈x 成立，证明：在]2,0[上有2|)('。

|≤x f8. （15分）设),(],1,0[]1,0[y x f D ×=是定义在上的二元函数，，且在处可微。

求极限：D 0)0,0(=f ),(y x f )0,0(400421),(lim x x t x x edu u t f dt −+→−∫∫ 9. （15分）设，+∞<<∞−0x )(x ϕ和在)(x f ],[00h x x +上连续，且存在，使得0,0>>K M ),(,|)()(|1|)(|000h x x x dt t f t K M x x x +∈⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤∫ϕϕ。

黄先开辅导地位：历届考生公认的“线性代数第一人”，北京理工大学应用数学系硕士，中国科学院数学与系统科学研究院获博士，美国哈佛大学访问学者，现任北京工商大学数学系主任、教授。

授课特点：理论扎实，表达独到，基础为纲，技巧为器，言简意赅，重点突出，伐毛洗髓，效果极佳名师风采：曾被评为北京市优秀青年骨干教师；1997年被授予“有突出贡献的部级青年专家”称号；曾在国内外一级刊物上发表论文30余篇，单独完成以及合作完成数学专著10多部。

曹显兵辅导地位：考研数学辅导的“概率第一人”；数学系教授，中国科学院数学与系统科学类）》稿.(1) 】【【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). 【评注】 本题直接找出ln的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。

事实上，2000ln(1)ln(1) lim lim limtx x tt tt+++→→→+--==22200212(1)111lim lim 1.1(1)(1)t ttt t tt tt t++→→+-+++-==+-完全类似例题见《经典讲义》P.28例1.63, 例1.64, 例1.65及辅导班讲义例1.6.1x【型。

【又【(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设()().xF x f t dt=⎰则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F=--. (B)5(3)(2)4F F=.(C) )2(43)3(FF=-. (D) )2(45)3(--=-FF.【】【答案】应选(C).【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页． 第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-解：α是第四象限角，5tan12α=-，则sin α=513=-，选D 。

（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2解：设a 是实数，112a i i +++=(1)1(1)(1)222a i i a a i-+++-+=是实数，则a =1，选B 。

（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解：已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。