40、中国科学技术大学2019-2020学年第一学期数学分析(B1)期中考试(9页 文字版)

数学分析2019-2020期中考试卷及答案（考试时间：120分钟）科目：数学分析I （期中卷）专业 本、专科 年级 班 姓名 学号我承诺，遵守《上海师范大学考场规则》，诚信考试. 签名：________________一. 判断题(对的打√, 错的打×, ''21020⨯=)1. ( × ) 设a 为有理数，x 为无理数，则ax 一定是无理数.2. ( × ) 设数列{},{}n n a b 满足：对任何自然数n , 有n n a b >, 且n n a ∞→lim 和n n b ∞→lim 都存在，则lim lim n n n n a b →∞→∞>.3. ( √ ) 单调数列{}n a 如果含有一个收敛的子列, 则{}n a 本身一定也收敛.4. ( × ) 设{}n a 是无穷小数列, n ｛b ｝是无穷大数列, 则n n ｛a b ｝是无穷大数列.5. ( × ) 任何数列都存在收敛的子列.6. ( × ) 设{},{}n n a b 均为无界数列, 则{}n n b a 一定为无界数列.7. ( √ ) 设函数()f x 在某00()U x 内有定义, 且()f x 在0x 点的左右极限都存在且相等, 则()f x 在0x 极限存在.8. ( × ) 设0,lim ()lim ()x x x x f x g x b →→∞==, 则0lim ()()x x f x g x →=∞.9. ( √ ) 如果对任何以0x 为极限的递减数列00{}()n x U x +⊂, 都有lim ()n n f x A ∞→=,则有0lim ()x x f x A +→=.10. ( × ) 若00,0,εδ∃>∃> 总可找到00',''(,),x x U x δ∈使得0|(')('')|f x f x ε-≥,则0lim ()x x f x →不存在.二．叙述题（''842=⨯）1. 叙述极限0lim ()x f x →存在的柯西准则.答: 设函数()f x 在0(0,)U δ内有定义. 0lim ()x f x →存在的充要条件是：0ε∀>,0δ∃>,(2分) 使得对0),,'(0U x x δ∀∈有()(')f x f x ε-<.(2分) 2. 叙述集合S 上确界的分析定义.设S 是R 中的一个数集，若数η满足以下两条：（1） 对一切x S ∈ 有x η≤，即η是数集S 的上界；(2分) （2） 对任何αη<存在0x S ∈使得（即η是S 的最小上界）(2分) 则称数η为数集S 的上确界. 三．计算题（本大题满分24', 每小题'4）1. 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅⋅⋅+⋅+⋅∞→)1(1321211lim n n n 2. 求02lim x x → 解: 111lim()1223(1)n n n→∞+++⋅⋅⋅+ 解: 021lim 4x x x →→===11111lim(1)223(1)n n n →∞-+-++-+ =1lim(1)1n n →∞-+=1 3. 求0sin 2lim ln(1)x xx →+ 4. x x x cos 111lim 20--+→解: 00sin 22limlim 2ln(1)x x x xx x →→==+ 解：)11(2sin )2(2)11(2sin 211lim 2222220++=++-+→x x x x x x x1=。

'''5 43124 41673 4161825 -=+--=+-+-=解：原式2019-2020学年度第一学期七年级期中联考数学科试卷答案第一部分（共36分）1. C2. D3. A4. B5. D6. D7. D8. D9. B 10. C 11. B 12. B第二部分（各3分，共12分）15.16.【解析】时，，时，， 时，， 时，，依此类推，三角形的边上有 枚棋子时，S=3n —3第三部分17.（各5分，共10分）（1） （2）18.（6分）当时，19. （6分）（1） 第二组人数：62a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭人．（2） 第三组人数： 3(6)2a+人． （3） 第四组人数：（人）． （4） 时，第四组有 人（答案不唯一）．'''5 134 2730-161 36-43-36-6536-94- =+=⨯⨯+⨯=）（）（）（）（解：原式……2分 ……4分 ……6分……1分……2分……4分……6分92290)]5()3(810[5190=+=-+-++++20. （6分）克，答：抽样检测的袋食品的平均质量是克．（列式4分+正确结论2分）21. 三视图如下：（每个2分共6分）22.（8分）解：因为10>8>0>—3>—5所以第3的计为0分，小明的90分计为0分其余的分数分别是90+10=100分，90+8=98分，90-3=87分，90-5=85分平均分是：23.（10分）（1），，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，……1分①当，，都是负数，即，，时，则……3分②，，有一个为负数，另两个为正数时，设，，，则．……5分因此的值为或．……6分（2），，且，，，……8分则．……10分……1分……2分……4分……6分……8分。

2019-2020年高一上学期期中学分认定 数学试题（含答案）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.1.设集合，，则等于A.｛２｝B.｛１，２，４，６｝C.｛１，２，４｝D.｛２，６｝2.设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是A. B. C. D.3．已知集合，则中子集个数为A ．１B ．２C ．３D ．１或２或４4．下列各组函数中，表示同一函数的是A ．与B ．与C ．与D ．与5．若，则A ．B ．C ．D ．6．下列函数是偶函数的是A. B. C. D.7．下列对应法则中，构成从集合到集合的映射是A ．2||:,},0|{x y x f RB x x A =→=>=B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-=C ．21:},0|{,x y x f y y B R A =→>== D ．2:},1,0{},2,0{x y x f B A =→== 8. 设5.123.0)21(,3.0,2-===c b a ，则的大小关系是 A ． B ． C ． D ．9．函数的零点是A ．1，－3B ．3，－1C ．1，2D ．不存在10．若函数的对称轴方程为，则A ．B ．C ．D ．11．设，，下列图形中表示集合A 到集合B 的函数图形的是12.已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,4)13()(x a x a x a x f x 是上的减函数，那么的取值范围是A. B ． C. D. [第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．已知幂函数满足，则14．已知{}{}A a ax x R xB A ∈=+-∈==,01,3,2,12，则时的值是15．函数（且）的图象恒过点 。

2019—2020学年第一学期中期考试一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设全集，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的补集的运算，求得，再利用集合间交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，，则，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记的集合的运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.下列函数为偶函数的是（）【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A中，函数，满足，可得函数是偶函数，满足题意；对于B中，函数，满足，所以函数为奇函数；对于C中，函数，根据指数函数的性质，可得函数是非奇非偶函数；对于D中，函数的定义域为，可得函数是非奇非偶函数.故选：A.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的定义及其判定，其中解答中熟记函数奇偶性的定义和判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3.若幂函数的图像过点，则（）A. B. C. -9 D. 9【答案】B设幂函数，代入点，求得，即可求解.【详解】设幂函数的解析式为，由幂函数的图像过点，即，解得，即，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及其应用，其中解答中熟记幂函数的概念，求得幂函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.下列选项中，能正确表示集合和的关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】先化简集合，得，，再看集合，可发现集合是的真子集，对照韦恩图即可选出答案．【详解】由，，0，，，故选B.【点睛】本小题主要考查图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解示等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．5.已知函数在上是单调函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二次函数的性质，得到函数在单调递增，根据题意，列出不等式，即可求解.【详解】由二次函数的性质，可得函数在单调递增，要使得函数在上是单调函数，则满足，解得.故选C.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，准确的函数的单调区间，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.设是定义在上的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为当时，，所以. 又因为是定义在R上的奇函数，所以. 故应选A.考点：函数奇偶性的性质.7.设，则的值为（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】D【解析】【分析】求解.【详解】由题意，函数，则.故选：D.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，逐次代入计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.函数f（x）=A. （-2,-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】C【解析】试题分析：，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存在性定理9.函数的图象是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的图象与性质，得到函数的定义域和图象过原点，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数的定义域为，其中，当时，，所以函数的图象过原点，只有选项的图象满足题意.故选A.【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.三个数之间的大小关系是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】所在的区间，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质可知，由指数函数的性质可知，，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则与故事情节相吻合的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化的情况，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于乌龟，其运动过程可分为两端，从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加，到达终点后等兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段，对于兔子，其运动过程可分为三段：开始跑的快，所以路程增加快，中间睡觉时路程不变，图象为水平线段，醒来时追赶乌龟路程加快，分析图象，可知只有选项B符合题意.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别与应用，其中解答根据题意判断时间关于路程的性质及其图象的特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.【详解】函数，当时，；当时，；当时，，函数的值域是，故选D.【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的定义域_______【解析】【分析】由函数的解析式有意义，得到，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数有意义，满足，解得或，即函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.设, 用二分法求方程内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间内【答案】（1.25，1.5）【解析】【分析】根据二分法求区间根的方法只须找到满足f（a）．f（b）＜0，又f（1.5）＞0，f（1.25）＜0可得结论．【详解】解：因为f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内．故答案为（1.25，1.5）．【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．15.若函数图像位于x轴下方，则a的取值范围是________【答案】【解析】【分析】当时，函数表示一条直线，不满足题意，当当时，结合二次函数的性质，得到且，即可求解.【详解】由题意，函数的图像位于x轴下方，当时，函数表示一条直线，不满足题意，舍去；当时，要使得函数的图像位于x轴下方则满足且，解得，综上可得，实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16.已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题设，，解答得.考点：函数性质．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

2019-2020学年度第一学期期中考试联考一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集运算即可得到结果．【详解】∵集合，∴故选：C【点睛】本题考查交集概念及运算，属于基础题．2.若，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质及特值法可得答案．【详解】对于A，∵，∴，正确；对于B，当时，显然不成立，错误；对于C，当时，显然不成立，错误；对于D，当时，显然不成立，错误．故选：A【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.下列函数中，与函数y=x表示同一函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别判断函数的定义域和对应法则是否和y＝x一致即可．【详解】解：A．函数y＝（）2＝x的定义域为{x|x≥0}，和y＝x定义域不相同，不是同一函数．B．函数y＝（）3＝x的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则相同，是同一函数．C．函数y的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数．D．函数y x的定义域{x|x≠0}，和y＝x的定义域不相同，对应法则相同，不是同一函数．故选：B．【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同．4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. y＝﹣x3 D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论．【详解】解：由于函数y＝x+1是非奇非偶函数，故排除A；由于y在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具有单调性，故排除B；由于y＝﹣x3是奇函数，且在R上是减函数，故排除C；A，B，C都不对，对于D，y，数形结合可知函数在R递增且为奇函数；故选：D．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握常见函数的图像与性质是解题的关键，属于基础题．5.命题“，使得x2＋2x<0”的否定是（）A. 使得B. 使得C. 都有D. 都有【答案】C【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2+2x＜0”的否定是：∀x∈R，使x2+2x≥0．故选：C．【点睛】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．属于基础题．6.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】∴“”是“”的充分必要条件．故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．7.函数定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式得答案．【详解】解：由，可得，∴即函数的定义域为.故选：D【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．8.如图，A,B,C是函数的图象上的三点，其中A，B，C，则的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据所给函数y＝f（x）的图象上的点B，C的坐标即可求出f[f（3）]＝1．【详解】解：根据图像可知，f（3）＝2，f（2）＝1，∴f[f（3）]＝f（2）＝1．故选：B．【点睛】本题考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，属于基础题．9.设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】由对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式转化为f （x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣2）＝0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．【详解】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣2）＝0，∴f（2）＝0，∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，2）时，f（x）＜0；当x∈（﹣2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＞0；∴的解集是{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}．故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．10.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（k，m为常数）.若该食品在0的保鲜时间是64小时，在18的保鲜时间是16小时，则该食品在36的保鲜时间是（）A. 4小时B. 8小时C. 16小时D. 32小时【答案】A【解析】分析】由该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时，列出方程组，求出e9k，由此能出该食品在36的保鲜时间．【详解】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（k，m为常数），该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时，∴，解得e9k，∴该食品在36℃的保鲜时间：y＝e36k+m＝（e9k）4×＝（）4×64＝4（小时）．故选：A．【点睛】本题考查该食品在36的保鲜时间的求法，考查待定系数法等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分。

“教学研究合作联盟”2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知集合，，的子集个数为（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】先求出集合的交集,进而可求得交集的个数.【详解】由题意,,故的子集个数为.故选:C.【点睛】集合有个元素,则它的子集有个.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合对数与根号的性质,列出不等式求解即可.详解】由题意可得,,解得.故选:B.【点睛】求函数定义域要注意:①分母不为零;②偶次根式的被开方数非负;③对数的真数部分大于零;④指数与对数的底数大于零且不等于1;⑤函数中⑥中.3.已知函数与分别由下表给出，则（）1422A. 4B. 1C. 3D. 9【答案】A【解析】【分析】由表中数据可求得的值,进而可求得的值.【详解】由题意,,则.故选:A.【点睛】本题考查求函数的值,利用表格中数据是解决本题的关键,属于基础题.4.己知函数（，且）的图象恒过定点A，则A 的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由,将代入函数表达式,可求出答案.【详解】由函数（,且）的图象恒过定点,对函数,令,可得,故函数的图象恒过定点.故选:C.【点睛】本题考查了函数恒过定点,利用指数函数过定点是解决本题的关键,属于基础题.5.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题易得,结合函数零点存在性定理可得到答案.【详解】由题意知,,,,,,因为,所以是函数的零点所在的一个区间.故选:B.【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题.6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域,可排除A,C,再由时,,可排除B,从而选出答案.【详解】函数的定义域为,可排除A,C;当时,,显然只有D符合题意.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图象,掌握对数函数的图象性质是解决本题的关键,属于基础题.7.若幂函数的图象经过点，则（）A. 9B.C. 3D.【答案】D【解析】【分析】设出幂函数的解析式,将点代入,可求得的解析式,进而可求得.【详解】由题意,设,则,解得.所以,.故选:D.【点睛】本题考查了幂函数的解析式,考查了求函数的值,属于基础题.8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性,可比较出的大小.【详解】由指数函数的单调性可得,,,即,,由对数函数的单调性可得, ,即,所以.故选:A.【点睛】本题考查几个数的大小比较,利用指数函数与对数函数的单调性是解决本题的关键,属于基础题.9.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由,结合函数是定义在上的奇函数,可得,求出即可求得答案.【详解】由题意,,因为函数是定义在上的奇函数，所以,当时，，则,故.故选:C.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,考查对数式的运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.10.“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a 米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒时弓箭距离地面的高度为x米，可由确定，已知射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为（）A. 135米B. 160米C. 175米D. 180米【答案】D【解析】【分析】将,,代入,可求得的值,进而结合二次函数的性质,可求得的最大值.【详解】由题意,当时,,代入,可得,解得,则,当时,取得最大值.故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用,利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键,属于基础题.11.已知函数的定义域为，对于任意，都满足，且对于任意的，当时，都有，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得,函数是定义在上的偶函数,在上单调递减,在上单调递增,结合,可得,求解即可.【详解】由题意,函数对于任意的，当时，都有,则函数在上单调递减,又定义域为,且满足，即函数为偶函数,故函数在上单调递增.由,可得,即或者,解得或.故选:D.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.12.已知函数，，两者的定义域都是，若对于任意，存在，使得，，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为（）A. 3B.C.D. 13【答案】C【解析】【分析】结合“兄弟函数”的定义,可求得在时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得的解析式,进而可求得在区间的最大值.【详解】由题意,,易知在上单调递减,在上单调递增,则在上的最小值为.所以在时取得最小值3.故函数满足,解得,则,故当时,取得最大值为.故选:C.【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.二、填空题：共4题，每题5分，共20分13.若集合，，且，则实数m的取值范围为__________.【答案】.【解析】【分析】先求得集合,再由可列出不等式,进而可求得答案.【详解】由题可知,,因为,,所以,即.故答案为:.【点睛】本题考查了集合的包含关系的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.14.已知函数在R上为偶函数，且时，，则当时，________.【答案】【解析】【分析】当时,,可求得的表达式,再由在R上为偶函数,可得,从而可求出时,的表达式.【详解】当时,,则,又函数在R上为偶函数,则,故当时,.故答案为:.【点睛】本题考查了函数解析式的求法,利用函数的奇偶性是解决本题的关键,属于基础题.15.已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】结合是否等于0进行分类讨论,再结合一次函数与二次函数的性质可求得答案.【详解】当时,是上的增函数,显然符合题意;当时,是二次函数,由函数在上是单调递增函数,可得,解得.综上,实数a的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查了函数单调性的应用,考查了一次函数与二次函数的性质,属于基础题.16.已知，函数，若对于任意的，恒成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】分和两种情况分类讨论,结合二次函数的性质可求得a的范围.【详解】对于任意的,恒成立,当时,,即,因为,所以,则;当时,,即,令,则在上单调递增,在上单调递减,,,故,则.所以,实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了分段函数性质,利用参变分离及二次函数的性质是解决本题的关键,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分17.（1）已知，化简：；（2）求值：【答案】（1）7；（2）3.【解析】【分析】（1）结合根式的性质及指数幂的运算性质,化简即可;（2）结合对数的运算性质,进行化简即可.【详解】（1）,又,.,,∴.（2）.【点睛】本题考查了指数式、对数式的化简求值,考查了学生的计算能力,属于基础题.18.设，，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由集合可求得,再由可得到集合,然后将集合与取并集即可;（2）由可知,进而可得,求解即可.【详解】（1）由,则或, ,则,所以.（2）由,则,可得,解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查了集合间的运算,考查了子集的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.19.已知函数是奇函数.（1）求实数m的值；（2）求证：函数在上是单调增函数.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域,再由是奇函数,可得对于定义域内的任意恒成立,即,从而可求得实数m的值;（2）利用定义法证明单调性即可,需要注意“作差”、“变形”、“定号”、“下结论”几个步骤.【详解】（1）由题意,,解得,所以的定义域为,由是奇函数,则对于定义域内的任意恒成立.则,即,即,则,因为该式对于定义域中的任意都成立,所以.经检验,时,是奇函数.（2）证明:在内任取,且,,∴,,,,在上单调递增.【点睛】本题考查了奇函数的性质的应用,考查了函数单调性的证明,考查了学生的推理能力,属于基础题.20.甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元，甲、乙两商场销售方式如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的75%销售.（1）分别写出在甲、乙两商场购买双运动鞋所需费用的函数解析式和；（2）某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）结合甲商场的销售方式,可得时,去甲商场购买的单价为元,时，去甲商场购买的单价为440元;去乙商场购买单价为元,进而可求出和的解析式;（2）分和两种情况,讨论和的大小关系,即可求出答案.【详解】（1）由题意,,由,可得当时,去甲商场购买运动鞋的单价为元,此时所需费用为;当时，去甲商场购买运动鞋的单价为440元,所需费用为元;去乙商场购买运动鞋单价一直为元,所需费用为元.则,.（2）当且时,成立;当且时,令,解得,令,解得,令,解得,所以,该单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少.【点睛】本题考查了实际问题,考查了分段函数的性质,考查了不等式的性质,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.21.已知函数.（1）当时，作出函数的图象；（2）是否存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）图象见解析；（2）存在或满足条件，理由见解析.【解析】【分析】（1）将代入,去绝对值,然后做出函数图象即可;（2）分,和三种情况,结合二次函数的性质讨论函数在上的最小值,令其等于8,可求出答案.【详解】（1）当时,,图象见下图:（2）假设存在实数,使得函数在区间上有最小值8, ,.①当时,,函数的对称轴为，在上单调递增,,解得,符合题意;②当时,不可能有最小值8（舍去）;③当时,,是开口向下的二次函数,对称轴为,只需比较和的大小,,若,,此时在时取得最小值,即,解得,不符合题意,舍去;若,,此时在时取得最小值,即,解得,符合题意.综上,或.【点睛】本题考查了分段函数和二次函数的性质的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的推理能力,属于难题.22.对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.（1）求证：是函数的一个“优美区间”.（2）求证：函数不存在“优美区间”.（3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】分析】（1）结合“优美区间”的定义,可证明结论;（2）若函数存在“优美区间”,可得函数在上单调递减,从而可得,联立可推出矛盾,即可证明结论;（3）函数有“优美区间”,结合单调性可得,联立可求得的关系,进而可求得的最大值.【详解】（1）在区间上单调递增,又,,∴的值域为,∴区间是的一个“优美区间”.（2）设是已知函数的定义域的子集.由,可得或,∴函数在上单调递减.若是已知函数的“优美区间”,则,两式相减得,,则,,则,显然等式不成立,∴函数不存在“优美区间”.（3）设是已知函数定义域的子集.由,则或,而函数在上单调递增.若是已知函数的“优美区间”,则,∴是方程，即的两个同号且不等的实数根.,∴同号,只须,解得或,,∴当时,取得最大值.【点睛】本题考查了新定义,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.“教学研究合作联盟”2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知集合，，的子集个数为（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】先求出集合的交集,进而可求得交集的个数.【详解】由题意,,故的子集个数为.故选:C.【点睛】集合有个元素,则它的子集有个.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合对数与根号的性质,列出不等式求解即可.详解】由题意可得,,解得.故选:B.【点睛】求函数定义域要注意:①分母不为零;②偶次根式的被开方数非负;③对数的真数部分大于零;④指数与对数的底数大于零且不等于1;⑤函数中⑥中.3.已知函数与分别由下表给出，则（）1422A. 4B. 1C. 3D. 9【答案】A【解析】【分析】由表中数据可求得的值,进而可求得的值.【详解】由题意,,则.故选:A.【点睛】本题考查求函数的值,利用表格中数据是解决本题的关键,属于基础题.4.己知函数（，且）的图象恒过定点A，则A的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由,将代入函数表达式,可求出答案.【详解】由函数（,且）的图象恒过定点,对函数,令,可得,故函数的图象恒过定点.故选:C.【点睛】本题考查了函数恒过定点,利用指数函数过定点是解决本题的关键,属于基础题.5.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题易得,结合函数零点存在性定理可得到答案.【详解】由题意知,,,,,,因为,所以是函数的零点所在的一个区间.故选:B.【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题.6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域,可排除A,C,再由时,,可排除B,从而选出答案.【详解】函数的定义域为,可排除A,C;当时,,显然只有D符合题意.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图象,掌握对数函数的图象性质是解决本题的关键,属于基础题.7.若幂函数的图象经过点，则（）A. 9B.C. 3D.【答案】D【解析】【分析】设出幂函数的解析式,将点代入,可求得的解析式,进而可求得.【详解】由题意,设,则,解得.所以,.故选:D.【点睛】本题考查了幂函数的解析式,考查了求函数的值,属于基础题.8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性,可比较出的大小.【详解】由指数函数的单调性可得,,,即,,由对数函数的单调性可得, ,即,所以.故选:A.【点睛】本题考查几个数的大小比较,利用指数函数与对数函数的单调性是解决本题的关键,属于基础题.9.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由,结合函数是定义在上的奇函数,可得,求出即可求得答案.【详解】由题意,,因为函数是定义在上的奇函数，所以,当时，，则,故.故选:C.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,考查对数式的运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.10.“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒时弓箭距离地面的高度为x米，可由确定，已知射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为（）A. 135米B. 160米C. 175米D. 180米【答案】D【解析】【分析】将,,代入,可求得的值,进而结合二次函数的性质,可求得的最大值.【详解】由题意,当时,,代入,可得,解得,则,当时,取得最大值.故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用,利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键,属于基础题.11.已知函数的定义域为，对于任意，都满足，且对于任意的，当时，都有，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得,函数是定义在上的偶函数,在上单调递减,在上单调递增,结合,可得,求解即可.【详解】由题意,函数对于任意的，当时，都有,则函数在上单调递减,又定义域为,且满足，即函数为偶函数,故函数在上单调递增.由,可得,即或者,解得或.故选:D.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.12.已知函数，，两者的定义域都是，若对于任意，存在，使得，，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为（）A. 3B.C.D. 13【答案】C【解析】【分析】结合“兄弟函数”的定义,可求得在时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得的解析式,进而可求得在区间的最大值.【详解】由题意,,易知在上单调递减,在上单调递增,则在上的最小值为.所以在时取得最小值3.故函数满足,解得,则,故当时,取得最大值为.故选:C.【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.二、填空题：共4题，每题5分，共20分13.若集合，，且，则实数m的取值范围为__________.【答案】.【解析】【分析】先求得集合,再由可列出不等式,进而可求得答案.【详解】由题可知,,因为,,所以,即.故答案为:.【点睛】本题考查了集合的包含关系的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.14.已知函数在R上为偶函数，且时，，则当时，________.【答案】【解析】【分析】当时,,可求得的表达式,再由在R上为偶函数,可得,从而可求出时,的表达式.【详解】当时,,则,又函数在R上为偶函数,则,故当时,.故答案为:.【点睛】本题考查了函数解析式的求法,利用函数的奇偶性是解决本题的关键,属于基础题.15.已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】结合是否等于0进行分类讨论,再结合一次函数与二次函数的性质可求得答案.【详解】当时,是上的增函数,显然符合题意;当时,是二次函数,由函数在上是单调递增函数,可得,解得.综上,实数a的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查了函数单调性的应用,考查了一次函数与二次函数的性质,属于基础题.16.已知，函数，若对于任意的，恒成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】分和两种情况分类讨论,结合二次函数的性质可求得a的范围.【详解】对于任意的,恒成立,当时,,即,因为,所以,则;当时,,即,令,则在上单调递增,在上单调递减,,,故,则.所以,实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了分段函数性质,利用参变分离及二次函数的性质是解决本题的关键,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分17.（1）已知，化简：；（2）求值：【答案】（1）7；（2）3.【解析】【分析】（1）结合根式的性质及指数幂的运算性质,化简即可;（2）结合对数的运算性质,进行化简即可.【详解】（1）,又,.,,∴.（2）.【点睛】本题考查了指数式、对数式的化简求值,考查了学生的计算能力,属于基础题.18.设，，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由集合可求得,再由可得到集合,然后将集合与取并集即可;（2）由可知,进而可得,求解即可.【详解】（1）由,则或,,则,所以.（2）由,则,可得,解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查了集合间的运算,考查了子集的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.19.已知函数是奇函数.（1）求实数m的值；（2）求证：函数在上是单调增函数.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域,再由是奇函数,可得对于定义域内的任意恒成立,即,从而可求得实数m的值;（2）利用定义法证明单调性即可,需要注意“作差”、“变形”、“定号”、“下结论”几个步骤.【详解】（1）由题意,,解得,所以的定义域为,由是奇函数,则对于定义域内的任意恒成立.则,即,即,则,因为该式对于定义域中的任意都成立,所以.经检验,时,是奇函数.（2）证明:在内任取,且,,∴,,,,在上单调递增.【点睛】本题考查了奇函数的性质的应用,考查了函数单调性的证明,考查了学生的推理能力,属于基础题.20.甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元，甲、乙两商场销售方式如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的75%销售.（1）分别写出在甲、乙两商场购买双运动鞋所需费用的函数解析式和；（2）某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）结合甲商场的销售方式,可得时,去甲商场购买的单价为元,时，去甲商场购买的单价为440元;去乙商场购买单价为元,进而可求出和的解析式;（2）分和两种情况,讨论和的大小关系,即可求出答案.【详解】（1）由题意,,由,可得当时,去甲商场购买运动鞋的单价为元,此时所需费用为;当时，去甲商场购买运动鞋的单价为440元,所需费用为元;去乙商场购买运动鞋单价一直为元,所需费用为元.则,.（2）当且时,成立;当且时,令,解得,令,解得,令,解得,所以,该单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少.【点睛】本题考查了实际问题,考查了分段函数的性质,考查了不等式的性质,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.21.已知函数.（1）当时，作出函数的图象；（2）是否存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）图象见解析；（2）存在或满足条件，理由见解析.【解析】【分析】（1）将代入,去绝对值,然后做出函数图象即可;（2）分,和三种情况,结合二次函数的性质讨论函数在上的最小值,令其等于8,可求出答案.【详解】（1）当时,,图象见下图:（2）假设存在实数,使得函数在区间上有最小值8,,.①当时,,函数的对称轴为，在上单调递增,,解得,符合题意;②当时,不可能有最小值8（舍去）;③当时,,是开口向下的二次函数,对称轴为,只需比较和的大小,,若,,此时在时取得最小值,即,解得,不符合题意,舍去;若,,此时在时取得最小值,即,解得,符合题意.综上,或.【点睛】本题考查了分段函数和二次函数的性质的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的推理能力,属于难题.22.对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.（1）求证：是函数的一个“优美区间”.（2）求证：函数不存在“优美区间”.（3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】分析】（1）结合“优美区间”的定义,可证明结论;（2）若函数存在“优美区间”,可得函数在上单调递减,从而可得,联立可推出矛盾,即可证明结论;（3）函数有“优美区间”,结合单调性可得,联立可求得的关系,进而可求得的最大值.【详解】（1）在区间上单调递增,又,,∴的值域为,∴区间是的一个“优美区间”.（2）设是已知函数的定义域的子集.由,可得或,∴函数在上单调递减.若是已知函数的“优美区间”,则,两式相减得,,则,,则,显然等式不成立,∴函数不存在“优美区间”.（3）设是已知函数定义域的子集.由,则或,而函数在上单调递增.若是已知函数的“优美区间”,则,∴是方程，即的两个同号且不等的实数根.,∴同号,只须,解得或,,∴当时,取得最大值.【点睛】本题考查了新定义,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.。