40、中国科学技术大学2019-2020学年第一学期数学分析(B1)期中考试(9页 文字版)
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中国科学技术大学数学系本科生计算四年课程安排一览
2
至少选修学分
4
至少选修学分
16
至少选修学分
2
必修学分
22
必修学分
23.5
说明：必修课程96学分，毕业论文8学分，专业课不少于46学分，综合类8学分、形势与政策教育1学分、军事理论1学分，
总毕业学分160。部分选修课开课学期可根据需要有所变动。
3
综合英语二级
4
复变函数
4
数值分析（计算选）
3
力学与热学
4
光学与原子物理
4
泛函分析（计算选）
4
基础体育（下）
1
体育选项（2）
1
计算机图形学（计算选）
3
大学物理－基础实验
1
数据结构与数据库(选)
3.5
符号计算系统（计算选）
2
当代数学简介
1
文化素质类课程（选）
2
文化素质类课程（选）
2
毕业论文
8
至少选修学分
2
文化素质类课程（选）
2
至少选修学分
3
至少选修学分
16
至少选修学分
12
必修学分
26.5
必修学分
24
一年级下学期
学分
二年级下学期
学分
三年级下学期
学分
四年级下学期
学分
马克思主义哲学原理
3
邓小平理论
3
偏微分方程（计算选）
4
数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分析（2）
6
概率论
4
数理统计（计算选）
4
线性代数（1）
5
实变函数
4
数值代数（计算选）
2
线性代数（2）
至少选修学分
4
至少选修学分
16
至少选修学分
2
必修学分
22
必修学分
23.5
说明：必修课程96学分，毕业论文8学分，专业课不少于46学分，综合类8学分、形势与政策教育1学分、军事理论1学分，
总毕业学分160。部分选修课开课学期可根据需要有所变动。
3
综合英语二级
4
复变函数
4
数值分析（计算选）
3
力学与热学
4
光学与原子物理
4
泛函分析（计算选）
4
基础体育（下）
1
体育选项（2）
1
计算机图形学（计算选）
3
大学物理－基础实验
1
数据结构与数据库(选)
3.5
符号计算系统（计算选）
2
当代数学简介
1
文化素质类课程（选）
2
文化素质类课程（选）
2
毕业论文
8
至少选修学分
2
文化素质类课程（选）
2
至少选修学分
3
至少选修学分
16
至少选修学分
12
必修学分
26.5
必修学分
24
一年级下学期
学分
二年级下学期
学分
三年级下学期
学分
四年级下学期
学分
马克思主义哲学原理
3
邓小平理论
3
偏微分方程（计算选）
4
数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分析（2）
6
概率论
4
数理统计（计算选）
4
线性代数（1）
5
实变函数
4
数值代数（计算选）
2
线性代数（2）
中科大数学分析(B1) 期中考试
f (x)
f (0) = 0, f (x) > 0, (x > 0).
1
2
{a2n}
:
:
( x = y,
15 ) f (x)
[0, 1]
0 f (x) 1.
|f (x) − f (y)| < |x − y|.
x, y ∈ [0, 1],
x0 ∈ (0, 1]
f (x0)
=
. 1−x0 x0
g(x) = 1−xf (x)−x. g(x) [0, 1]
h2(x) = 0, (x 0). f (x)
g (x) = 0, x ∈ (−∞, +∞). 2
g(x) (......... 10 )
2
2
1. lim ln2(n 1) ln2 n ; n
3.
x
lim
1 2
x x
x
;
2. lim 3 n2(3 n 1 3 n) ;
n
4.
x
lim
x
1
1 x
x
e .
三、(本题 16 分, 每小题 4 分) 计算下面的导数:
1.
ln
tan
x 2
;
2.
arcsin
1 1
x x
2 2
;
3. ( 1 x 2 ) ;
4. (xex )(n) .
四、(本题 15 分)
设 a1
1, an1
1 1 ,n an
1, 2, .
求证:
数列 {an } 收敛,
并求其极限.
五、(本题 15 分) 求证: sin x x x 3 , (x 0) . 6
六、(本题 15 分) 设 f (x) 在区间[0,1] 上连续且 0 f (x) 1 . 若对一切 x,y [0,1], x y , 有
中科大数学分析历年期末考试卷
2 2
:
(3)
2
1
大学生数学竞赛及考研：122307834
7.
15
a, b ax, −π < x < 0; bx, 0 ≤ x < π.
f (x) =
(1) (2)
f (x) f (x) (a)
Fourier Fourier
∞ ∑ (−1)n , 2 n + 1 n=0
(b)
∞ ∑ n=0
0 0
π 2 π 2
n=1 n = 1.
3.
x = sin t. ∫ 1 √ ∫ 2 2 x 1 − x dx = 2
−1
1
x
π 2
2
sin2 t cos2 t dt
1 = 2 4. ∫
0 +∞ √
∫
0
0
1 sin 2t dt = 4
2
1 (1 − cos 4t) dt = . 8 ∫ +
e dt − x
n+1
n→+∞ n
sin x dx x
n→+∞ 0
e x dx
x n
n→∞
lim
1 1 1 + + ··· + n+1 n+2 n+n
)
n→∞
lim ∫
n! n ( 5 ) 2. ∫ 1− x2 dx (x + y )dx + xdy = 0.
∞ ∑ (√ n=1
√
1
∫
x ln x dx
3.
ex xn ≤ exn , x ∈ [0, 1],
n→∞ 0
∫1 e 0 ≤ 0 ex xn dx ≤ n+1 . ∫ 1 lim ex xn dx = 0.
:
(3)
2
1
大学生数学竞赛及考研：122307834
7.
15
a, b ax, −π < x < 0; bx, 0 ≤ x < π.
f (x) =
(1) (2)
f (x) f (x) (a)
Fourier Fourier
∞ ∑ (−1)n , 2 n + 1 n=0
(b)
∞ ∑ n=0
0 0
π 2 π 2
n=1 n = 1.
3.
x = sin t. ∫ 1 √ ∫ 2 2 x 1 − x dx = 2
−1
1
x
π 2
2
sin2 t cos2 t dt
1 = 2 4. ∫
0 +∞ √
∫
0
0
1 sin 2t dt = 4
2
1 (1 − cos 4t) dt = . 8 ∫ +
e dt − x
n+1
n→+∞ n
sin x dx x
n→+∞ 0
e x dx
x n
n→∞
lim
1 1 1 + + ··· + n+1 n+2 n+n
)
n→∞
lim ∫
n! n ( 5 ) 2. ∫ 1− x2 dx (x + y )dx + xdy = 0.
∞ ∑ (√ n=1
√
1
∫
x ln x dx
3.
ex xn ≤ exn , x ∈ [0, 1],
n→∞ 0
∫1 e 0 ≤ 0 ex xn dx ≤ n+1 . ∫ 1 lim ex xn dx = 0.
数学分析2019-2020期中考试卷及答案
数学分析2019-2020期中考试卷及答案（考试时间：120分钟）科目：数学分析I （期中卷）专业 本、专科 年级 班 姓名 学号我承诺，遵守《上海师范大学考场规则》，诚信考试. 签名：________________一. 判断题(对的打√, 错的打×, ''21020⨯=)1. ( × ) 设a 为有理数，x 为无理数，则ax 一定是无理数.2. ( × ) 设数列{},{}n n a b 满足：对任何自然数n , 有n n a b >, 且n n a ∞→lim 和n n b ∞→lim 都存在，则lim lim n n n n a b →∞→∞>.3. ( √ ) 单调数列{}n a 如果含有一个收敛的子列, 则{}n a 本身一定也收敛.4. ( × ) 设{}n a 是无穷小数列, n ｛b ｝是无穷大数列, 则n n ｛a b ｝是无穷大数列.5. ( × ) 任何数列都存在收敛的子列.6. ( × ) 设{},{}n n a b 均为无界数列, 则{}n n b a 一定为无界数列.7. ( √ ) 设函数()f x 在某00()U x 内有定义, 且()f x 在0x 点的左右极限都存在且相等, 则()f x 在0x 极限存在.8. ( × ) 设0,lim ()lim ()x x x x f x g x b →→∞==, 则0lim ()()x x f x g x →=∞.9. ( √ ) 如果对任何以0x 为极限的递减数列00{}()n x U x +⊂, 都有lim ()n n f x A ∞→=,则有0lim ()x x f x A +→=.10. ( × ) 若00,0,εδ∃>∃> 总可找到00',''(,),x x U x δ∈使得0|(')('')|f x f x ε-≥,则0lim ()x x f x →不存在.二．叙述题（''842=⨯）1. 叙述极限0lim ()x f x →存在的柯西准则.答: 设函数()f x 在0(0,)U δ内有定义. 0lim ()x f x →存在的充要条件是：0ε∀>,0δ∃>,(2分) 使得对0),,'(0U x x δ∀∈有()(')f x f x ε-<.(2分) 2. 叙述集合S 上确界的分析定义.设S 是R 中的一个数集，若数η满足以下两条：（1） 对一切x S ∈ 有x η≤，即η是数集S 的上界；(2分) （2） 对任何αη<存在0x S ∈使得（即η是S 的最小上界）(2分) 则称数η为数集S 的上确界. 三．计算题（本大题满分24', 每小题'4）1. 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅⋅⋅+⋅+⋅∞→)1(1321211lim n n n 2. 求02lim x x → 解: 111lim()1223(1)n n n→∞+++⋅⋅⋅+ 解: 021lim 4x x x →→===11111lim(1)223(1)n n n →∞-+-++-+ =1lim(1)1n n →∞-+=1 3. 求0sin 2lim ln(1)x xx →+ 4. x x x cos 111lim 20--+→解: 00sin 22limlim 2ln(1)x x x xx x →→==+ 解：)11(2sin )2(2)11(2sin 211lim 2222220++=++-+→x x x x x x x1=。
2019-2020学年度第一学期七年级期中联考数学科答案和参考评分标准
'''5 43124 41673 4161825 -=+--=+-+-=解：原式2019-2020学年度第一学期七年级期中联考数学科试卷答案第一部分（共36分）1. C2. D3. A4. B5. D6. D7. D8. D9. B 10. C 11. B 12. B第二部分（各3分，共12分）15.16.【解析】时，，时，， 时，， 时，，依此类推，三角形的边上有 枚棋子时，S=3n —3第三部分17.（各5分，共10分）（1） （2）18.（6分）当时，19. （6分）（1） 第二组人数：62a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭人．（2） 第三组人数： 3(6)2a+人． （3） 第四组人数：（人）． （4） 时，第四组有 人（答案不唯一）．'''5 134 2730-161 36-43-36-6536-94- =+=⨯⨯+⨯=）（）（）（）（解：原式……2分 ……4分 ……6分……1分……2分……4分……6分92290)]5()3(810[5190=+=-+-++++20. （6分）克，答：抽样检测的袋食品的平均质量是克．（列式4分+正确结论2分）21. 三视图如下：（每个2分共6分）22.（8分）解：因为10>8>0>—3>—5所以第3的计为0分，小明的90分计为0分其余的分数分别是90+10=100分，90+8=98分，90-3=87分，90-5=85分平均分是：23.（10分）（1），，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，……1分①当，，都是负数，即，，时，则……3分②，，有一个为负数，另两个为正数时，设，，，则．……5分因此的值为或．……6分（2），，且，，，……8分则．……10分……1分……2分……4分……6分……8分。
中国科学技术大学数学分析历年考试真题
an n
=
0，证明： lim n→∞
1 n
max {ak}
1kn
=
0.
5
中国科学技术大学2012-2013学年第一学期 数学分析(B1)第二次测验
1. (35分)计算.
(1)x2ex的n阶导数.
(2)已知sin(xy) + y2 = x，求 dy . (用x, y的函数表示)
dx
1 − cos x2
在x = 1处连续，证明f (x)为常值函数.
5.
(12分)设α
>
1，x1
>
0，xn+1
=
α(1 + xn) (n α + xn
=
1, 2, · · ·).
求
n
(−1)k−1 k
，判断数列{an}的收敛性.
k=1
7.
(8分)设数列{an}满足 lim n→∞
(3)若f : [−2, 2] → [−1, 1]连续，则存在x0 ∈ [−2, 2]使得f (x0) = x0； (4)若f : R → R一致连续，则f 有界.
2. (32分)计算下列极限.
(1) lim
1 1+
1 n
n→∞
n
x + 3 2x (3) lim
x→+∞ x + 1
1
(2) lim n − (n − 1) 1 −
n→∞
√
n
tan x( 1 + sin x − 1)
(4) lim
x→0 1 − cos (sin x)
3. (10分)设f (x) = lim 1 + x2enx . 求f (x)，并研究其连续性. n→∞ x + enx
中国科学技术大学考试试卷集(五)
4.(20 分)
设是区间[0,1]上的黎曼可积函数，且在 = 0连续。定义函数列 如下：
() = ∫ ( ) , ∈ [0,1], = 1,2, ⋯.
0
（1）求函数列{ }的极限（不需要证明）
；
（2）证明函数列{ }一致收敛.
5.(15 分)
设{ }是一个有界数列，是它的极限点集。若 lim (+1 − ) = 0，证明是一个闭区
(3’)
(3) 求 H 的每个不可约复特征标 χ 的诱导复特征标 χG ；
(7’)
(4) 在 (2) 的基础上利用行列正交关系求 G 的复特征标表.
(7’)
4. 设 A 是有限维 F -代数。
(1) 证明下述命题等价：
(14’)
(a) A 是半单代数 (即左正则 A-模 A A 是半单模);
(b) 任一左 A-模是半单模;
四（9 分）设 = [0,1] × [0,1]， 上连续函数列{ }关于单调递减趋于 0，，求证
lim ∫
→∞
= 0.
五（15 分）令() = 0 + , 0 , ∈ ℝ3为固定向量，|| = 1。令
(, ) = | − ()| − , ≥ 0
1. 设 (V, ρ) 为群 G 的 F -表示。令 V ∗ := HomF (V, F ) 为 V 的对偶空间。考虑
映射 ρ∗ : G → GL(V ∗ ), 其中 ρ∗ (g)(f )(v) := f (g −1 v), ∀g ∈ G, f ∈ V ∗ , v ∈ V . 证
明：
(1) (V ∗ , ρ∗ ) 为 G 的 F -表示，称为 (V, ρ) 的对偶表示； (4’)
R1
设是区间[0,1]上的黎曼可积函数，且在 = 0连续。定义函数列 如下：
() = ∫ ( ) , ∈ [0,1], = 1,2, ⋯.
0
（1）求函数列{ }的极限（不需要证明）
；
（2）证明函数列{ }一致收敛.
5.(15 分)
设{ }是一个有界数列，是它的极限点集。若 lim (+1 − ) = 0，证明是一个闭区
(3’)
(3) 求 H 的每个不可约复特征标 χ 的诱导复特征标 χG ；
(7’)
(4) 在 (2) 的基础上利用行列正交关系求 G 的复特征标表.
(7’)
4. 设 A 是有限维 F -代数。
(1) 证明下述命题等价：
(14’)
(a) A 是半单代数 (即左正则 A-模 A A 是半单模);
(b) 任一左 A-模是半单模;
四（9 分）设 = [0,1] × [0,1]， 上连续函数列{ }关于单调递减趋于 0，，求证
lim ∫
→∞
= 0.
五（15 分）令() = 0 + , 0 , ∈ ℝ3为固定向量，|| = 1。令
(, ) = | − ()| − , ≥ 0
1. 设 (V, ρ) 为群 G 的 F -表示。令 V ∗ := HomF (V, F ) 为 V 的对偶空间。考虑
映射 ρ∗ : G → GL(V ∗ ), 其中 ρ∗ (g)(f )(v) := f (g −1 v), ∀g ∈ G, f ∈ V ∗ , v ∈ V . 证
明：
(1) (V ∗ , ρ∗ ) 为 G 的 F -表示，称为 (V, ρ) 的对偶表示； (4’)
R1
中国科学技术大学2018年数学分析考研试题及解答
证明: ak = o(k2), k → +∞.
2. 设 Φ(x) 为周期为 1 的黎曼函数.
(1) 求 Φ(x) 的连续点和间断点的类型.
(2) 计算积分
1 0
Φ(x)
dx.
3. 已知 Ω 为 R3 中的有界域, ⃗n 为单位向量. 求证: 存在以 ⃗n 为法向量的平面平分 Ω 的体积.
4. 已知 f (x) 为周期等于 2π 的奇函数, 当 x ∈ (0, π) 时, f (x) = −1. 试利用 f 的 Fourier 级数计算
t
2−t
=2
(f ′(x − t))2 + (g′(x + t))2 dx.
t
dF (t) dt = −2
(f ′(2 − 2t))2 + (g′(x))2
−2
(f ′(0))2 + (g′(2t))2
2−t
+2
−2f ′(x − t)f ′′(x − t) + 2g′(x + t)g′′(x + t) dx
7. 已知 Dt = {(x, y) ∈ R2 : (x − t)2 + (y − t)2 ⩽ 1, y ⩾ t} , f (t) = Dt x2 + y2 dx dy, 计算 f ′(0). 8. 已知 u(x) ∈ C[0, 1], u(x) ∈ C2(0, 1), u′′(x) ⩾ 0, 令 v(x) = u(x) + εx2, ε > 0.
t
= −4 (g′(2t))2 − 4 (f ′(2 − 2t))2 ⩽ 0.
计算上述积分时会用到
f ′(x)f ′′(x) dx =
f ′(x) df ′(x)
2019-2020年高一上学期期中学分认定 数学试题(含答案)
2019-2020年高一上学期期中学分认定 数学试题（含答案）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.1.设集合，，则等于A.｛２｝B.｛１，２，４，６｝C.｛１，２，４｝D.｛２，６｝2.设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是A. B. C. D.3．已知集合，则中子集个数为A ．１B ．２C ．３D ．１或２或４4．下列各组函数中，表示同一函数的是A ．与B ．与C ．与D ．与5．若，则A ．B ．C ．D ．6．下列函数是偶函数的是A. B. C. D.7．下列对应法则中，构成从集合到集合的映射是A ．2||:,},0|{x y x f RB x x A =→=>=B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-=C ．21:},0|{,x y x f y y B R A =→>== D ．2:},1,0{},2,0{x y x f B A =→== 8. 设5.123.0)21(,3.0,2-===c b a ，则的大小关系是 A ． B ． C ． D ．9．函数的零点是A ．1，－3B ．3，－1C ．1，2D ．不存在10．若函数的对称轴方程为，则A ．B ．C ．D ．11．设，，下列图形中表示集合A 到集合B 的函数图形的是12.已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,4)13()(x a x a x a x f x 是上的减函数，那么的取值范围是A. B ． C. D. [第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．已知幂函数满足，则14．已知{}{}A a ax x R xB A ∈=+-∈==,01,3,2,12，则时的值是15．函数（且）的图象恒过点 。
2019—2020学年第一学期中期考试
2019—2020学年第一学期中期考试一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设全集，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的补集的运算，求得，再利用集合间交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，，则，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记的集合的运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.下列函数为偶函数的是（）【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A中，函数，满足，可得函数是偶函数，满足题意；对于B中，函数，满足，所以函数为奇函数；对于C中，函数，根据指数函数的性质，可得函数是非奇非偶函数；对于D中，函数的定义域为，可得函数是非奇非偶函数.故选：A.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的定义及其判定，其中解答中熟记函数奇偶性的定义和判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3.若幂函数的图像过点，则（）A. B. C. -9 D. 9【答案】B设幂函数，代入点，求得，即可求解.【详解】设幂函数的解析式为，由幂函数的图像过点，即，解得，即，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及其应用，其中解答中熟记幂函数的概念，求得幂函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.下列选项中，能正确表示集合和的关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】先化简集合，得，，再看集合，可发现集合是的真子集，对照韦恩图即可选出答案．【详解】由，，0，，，故选B.【点睛】本小题主要考查图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解示等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．5.已知函数在上是单调函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二次函数的性质，得到函数在单调递增，根据题意，列出不等式，即可求解.【详解】由二次函数的性质，可得函数在单调递增，要使得函数在上是单调函数，则满足，解得.故选C.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，准确的函数的单调区间，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.设是定义在上的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为当时，，所以. 又因为是定义在R上的奇函数，所以. 故应选A.考点：函数奇偶性的性质.7.设，则的值为（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】D【解析】【分析】求解.【详解】由题意，函数，则.故选：D.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，逐次代入计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.函数f（x）=A. （-2,-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】C【解析】试题分析：，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存在性定理9.函数的图象是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的图象与性质，得到函数的定义域和图象过原点，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数的定义域为，其中，当时，，所以函数的图象过原点，只有选项的图象满足题意.故选A.【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.三个数之间的大小关系是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】所在的区间，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质可知，由指数函数的性质可知，，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则与故事情节相吻合的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化的情况，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于乌龟，其运动过程可分为两端，从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加，到达终点后等兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段，对于兔子，其运动过程可分为三段：开始跑的快，所以路程增加快，中间睡觉时路程不变，图象为水平线段，醒来时追赶乌龟路程加快，分析图象，可知只有选项B符合题意.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别与应用，其中解答根据题意判断时间关于路程的性质及其图象的特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.【详解】函数，当时，；当时，；当时，，函数的值域是，故选D.【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的定义域_______【解析】【分析】由函数的解析式有意义，得到，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数有意义，满足，解得或，即函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.设, 用二分法求方程内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间内【答案】（1.25，1.5）【解析】【分析】根据二分法求区间根的方法只须找到满足f（a）．f（b）＜0，又f（1.5）＞0，f（1.25）＜0可得结论．【详解】解：因为f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内．故答案为（1.25，1.5）．【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．15.若函数图像位于x轴下方，则a的取值范围是________【答案】【解析】【分析】当时，函数表示一条直线，不满足题意，当当时，结合二次函数的性质，得到且，即可求解.【详解】由题意，函数的图像位于x轴下方，当时，函数表示一条直线，不满足题意，舍去；当时，要使得函数的图像位于x轴下方则满足且，解得，综上可得，实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16.已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题设，，解答得.考点：函数性质．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
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三、(本题 18 分,
每小题 6 分)
设 为实数,
函数 f (x)
x 0,
sin
1 x
,
x x
0. 0
解答下列问题:
(1)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处连续, 但不可导(需说明理由)?
(2)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处可导, 但导函数 f (x) 在 x 0 处不连续(需说明理由)?
b2
(*)
(1 a2) 3 2ab 2 b2
lim
x
x2
x x 2 3x 2 ax b
x2
x2
0
因为
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x
lim
x2
3x x2
2
ax x2
b
0
x
lim
(1
a
2
)
3 2ab x
2
b2 x2
1 a2
0
a
1.
其中已用到a 0 . 将a 1 代入式(*), 得:
2g(0) 2
dx 2
dx 2 x 0
说明 注意反函数的求导法则: df 1(x)
1
而不是 1 .
dx
f (f 1(x))
f (x)
三、(本题 18 分,
每小题 6 分)
设 为实数,
函数 f (x)
x 0,
sin
1 x
,
x x
0. 0
解答下列问题:
(1)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处连续, 但不可导(需说明理由)?
1 n2
.
解 记 Sn a1 a2 an , 则 {Sn } 单调递增.
①若 {Sn } 无界, 则 Sn (n ) , 又 M 0, an M , 故
0
an
M
a1 a2 an Sn
由 lim M 0 及两边夹法则知, n Sn
lim
an
0.
n a1 a2 an
6. 求极限 lim cos(sin x) cos x .
x 0
x4
二、(本题 12 分) 设函数 f (x) 在 x 0 处二阶可导, 满足 f (0) 0, f (0) 1 , 并且 f (x) 有反函数 g(x), 求
f (x 2)和 g(x 2) 在 x 0 处的关于 x 的二阶导数的值.
lim
f (x0) f (x)
(1)
xx0 f (x0)(f (x) f (x0)) (x x0)f (x0))
f (x) f (x0)
lim
x x0
f
(x 0 )
f (x) x
x
x0 f (x0) x0
f
(x 0 )
f (x0) (2) 2(f (x0))2
说明 上式(1)用到 L’Hospital 法则, (2)运用的是导数的定义. 错解 (1)运用带 Lagrange 余项的 Taylor 定理; (2)直接运用两次 L’Hospital 法则. 出现上述错误的原因是, f (x) 在 x0 处二阶可导只能说明 f (x) 在 x0 附近存在一阶导数, 但在 x0 附近不 一定存在二阶导数.
3x
2
x
3 2
(a
1)x
b
3 2
0
注意到,
x
lim
x2
Hale Waihona Puke 3x2x3 2
lim
x
1
4
0
x 2 3x 2 x 3
2
从而,
x
lim
(a
1)x
b
3 2
0
ab
1 3 2
0 0
ab
1 3
2
故a 1, b 3 . 2
解(3) 由带 Peano 余项的 Taylor 定理,
x 2 3x 2 x
d dt
dy dx
dt dx
2(1 t2)
5. 设函数 f (x) x 2 ln(1 x 2) , 求当 n 2 时, f (n)(0) 的值.
提示 运用 Leibniz 公式.
解 由 Leibniz 公式,
n
(fg)(n)
n k
f (k )g(nk )
k 0
(ln(1 x 2))(n) (ln(1 x) ln(1 x))(n) (1)n1(n 1)!(1 x)n (n 1)!(1 x)n
3.
设 f (x) 在 x0 处二阶可导,
且 f (x0)
0,
求
lim
x x0
f
(x
)
1
f
(x0
)
(x
x
1 0 )f
(x
0
)
.
4.
设由参数方程 yx
arctan t ln(1 t2) 确定 y 是 x 的函数,
求 dy , d2y dx dx 2
.
5. 设函数 f (x) x 2 ln(1 x 2) , 求当 n 2 时, f (n)(0) 的值.
4.
设由参数方程 yx
arctan t ln(1 t2) 确定 y 是 x 的函数,
求 dy , d2y dx dx 2
.
解 由题意得,
dx 1 , dy 2t dt 1 t2 dt 1 t2
故
dy dy dt 2t (1 t2) 2t dx dt dx 1 t2
d2y dx 2
f (x0)
(x
1 x 0 )f
(x0)
f (x0) 2(f (x0))2
.
解(2) 由 L’Hospital 法则,
lim
x x0
1
f (x)
f (x0)
(x
1
x0)f (x0)
lim (x x0)f (x0) (f (x) f (x0)) x x0 (f (x ) f (x0))(x x0)f (x0)
解 由题意得,
df (x 2) 2xf (x 2), d2f (x 2) 2f (x 2) 4x 2f (x 2) d2f (x 2)
2f (0) 2
dx
dx 2
dx 2 x 0
由于 g(x) 是 f (x) 的反函数,
g(0) 0, g(0)
f
1 (0)
1,
故
d2g(x 2) 2g(x 2) 4x 2g(x 2) d2g(x 2)
(2)运用 Taylor 定理, 其中 50%的同学在展开时错了, 一部分同学算得 1 后算错了. 3!
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二、(本题 12 分) 设函数 f (x) 在 x 0 处二阶可导, 满足 f (0) 0, f (0) 1 , 并且 f (x) 有反函数 g(x), 求
f (x 2)和 g(x 2) 在 x 0 处的关于 x 的二阶导数的值.
一、(本题 36 分, 每小题 6 分) 计算题(给出必要的计算步骤)
1.
设数列 {an } 为正的有界数列,
求 lim n a1
an a2 an
.
提示 考虑如下几个数列:
(1) an
1;
(2) an
10,,
n n
2k 2k
; 1
(3) an
1; n
(4) an
1; n(n 1)
(5) an
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f (n)(0) x 2(ln(1 x 2))(n)
n 1
2x(ln(1 x 2))(n1)
n 2
2(ln(1 x 2))(n2)
x 0
n(n 1)(n 3)!((1)n3 1)
2n
2 0,
! n
,
n n
2k 2k
2 (k 1
*
)
注意 运用 Leibniz 公式时, 不要遗漏二项式系数.
(*) lim
x
(3 2b) 2 b2 x
3 2b 0 3 2b 0 b 3 .
x 2 3x 2 x b
2
2
x
x
经检验, a 1, b 3 时, 原式成立, 故a 1, b 3 .
2
2
解(2)
lim
x
x 2 3x 2 ax b
x
lim
x2
6. 求极限 lim cos(sin x) cos x .
x 0
x4
解(1) 由带 Peano 余项的 Taylor 定理,
sin x x 1 x 3 o(x 3) (x 0) 3!
cos x 1 1 x 2 1 x 4 o(x 4 ) (x 0) 2! 4!
cos(sin x)
2. 设 f (x) 在[0,) 上二阶可导, f (0) 1, f (0) 1, f (x) f (x) , 证明: 当 x 0 时, f (x) ex .
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中国科学技术大学 2019~2020 学年第一学期
数学分析(B1) 期中考试 参考答案
2019 年 11 月 16 日
(2)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处可导, 但导函数 f (x) 在 x 0 处不连续(需说明理由)?
(3)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处可导, 且导函数 f (x) 在 x 0 处连续(需说明理由)?
1 3 2 x x2
x
1
1 2
3 x
2 x2
o
3 x
2 x2
x
3 o(1) (x 2
)
lim x
x 2 3x 2 ax b
x
lim