2014——201学年第一学期数学必修5数列月考题

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若20200S >，则10a > B ．若20210S >，则10a > C ．若20200S >，则20a >D ．若20210S >，则20a >3．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3924．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，5．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年6．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．267．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）． A ．2B ．1C ．32D ．128．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123451111110a a a a a ++++=，则31a =，5S =（ ）A ．10B ．15C ．20D ．259．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2111．根据下面一组等式：11s =， 2235s =+=，345615s =++=， 47891034s =+++=， 5111213141565s =++++=， 6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（ ）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+12．等差数列{}n a 中，10a >,310S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为 （ ） A ．6B ．7C ．6或7D ．不存在二、填空题13．给定*1log (2)()n n a n n N +=+∈，则使乘积12k a a a 为整数的()*k k ∈N 称为“和谐数”，则在区间内[1,2020]的所有“和谐数”的和为_______. 14．数列{}n a 中，1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________.15．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ﹣1是a n 和S n 的等比中项，设1(1)(21)n n n b n a +=-⋅+，则数列{b n }的前100项和为_____.17．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．18．在数列{}n a 中，121a a ==，32a =，且数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则n a =__________．19．已知数列{}n a 的通项公式为3217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为_________.20．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，…，的特点是从三个数起，每一个数等于它前面两个数的和，则222212320482048a a a a a ++++是数列中的第______项．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足，*n ∀∈N ，1n n a a +>，12a =且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．22．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，141n n n S a a +=⋅+，11a =． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若2na nb =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．记23411223341n n n n b b b bA TT T T T T T T ++=+++⋅⋅⋅+，1231111n n B S S S S =+++⋅⋅⋅+，求证：52n n A B +<，*n ∈N ． 23．已知数列{}n a 的前n 项和是2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得20202021n T >的最小正整数n ． 24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足332S a =，8522a a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记121n n n n b a a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．从①()*123(1)2n n n b b b b n +++++=∈N ，②{}n b 为等差数列且215227b b b =+=，，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.问题：已知数列{}{},n n a b 满足2n bn a =，且___________. （1）证明：数列{}n a 为等比数列；（2）若m c 表示数列{}n b 在区间()0,m a 内的项数，求数列{}m c 前m 项的和m T . 26．在数列{}n a ，{}n b 和{}n c 中，{}n a 为等差数列，设{}n a 前n 项的和为n S ，{}n c 的前n 项和为n T ，11a =，410S a =，12b =，n n n c a b =⋅，22n n T c =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：()()()()()()12122311111111nn n c c c c c c c c c ++++<------.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设272n n n c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n nn n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．B解析：B【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 【详解】当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >， 当1q ≠时，()202012020101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>； 当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<， 当01q <<时，10a >，此时210a a q =>； 当1q >时，10a >，此时210a a q =>； 故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C . 当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >； 当1q ≠时，()202112021101a q S q-=>-，由于20211q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.3．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.4．C解析：C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=， 12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----，所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．5．C解析：C 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算． 【详解】由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为()n a n *∈N万元，则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元，2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元，∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg 6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，8n ∴≥，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元． 故选：C ． 【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．6．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.7．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==.故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.8．A【分析】对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三项通分化简可得521234531111110S a a a a a a ++++==，结合3a 的值进而可得结果. 【详解】15123455242212345152433311111110a a a a a a a S a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++=++===， 则510S =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题.9．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.10．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案.根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =， 又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=， 又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.11．A解析：A 【分析】求出第()1n -行最后一项，可得第n 行为第一项，求出第n 行最后一项，根据第n 是等差数列求出n S ，即可求出21n S -. 【详解】易得第()1n -行最后一项为[]21(1)(1)22n n n n +---=，则第n 行第一项为212n n-+，第n 行最后一项为2(1)22n n n n++=， 故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n+，项数为n 的等差数列， 故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭==， 所以32214641n S n n n -=-+-.故选：A. 【点睛】本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n 项和的求法，属于中档题.12．C解析：C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ∵310S S = ∴()()113319913922a d a d ⨯-⨯-+=+∴160a d += ∴70a = ∵10a >∴当n S 取最大值时，n 的值为6或7 故选C二、填空题13．2026【分析】根据换底公式把代入并且化简转化为为整数即可求得区间内的所有和谐数的和【详解】由换底公式：得为整数∴分别可取最大值则最大可取10故所有和谐数的和为故答案为：2026【点睛】考查数列的综解析：2026 【分析】根据换底公式把1log (2)n n a n +=+代入12k a a a ⋯并且化简，转化为lg(2)lg 2k +为整数，即22n k +=，n *∈N ，可求得区间[1,2020]内的所有“和谐数”的和.【详解】由换底公式：log log log b a b NN a=， 得()231241log 3log 4log 5log 2k k a a a k +=⋯+122lg3lg 4lg5lg(2)lg(2)log (2)lg 2lg3lg 4lg(1)lg 2==++⋯⋅⋅⋅⋅=++k k k a a a k k 为整数，∴22n k +=，n *∈N ，k 分别可取23422,22,22---，最大值222020n -≤，则n 最大可取10， 故所有“和谐数”的和为()923104122221818202612-++⋅⋅⋅+-=-=-.故答案为：2026. 【点睛】考查数列的综合应用及对数的换底公式，把12k a a a ⋯化简并且转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题.14．【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列 解析：121n - 【分析】 对1121n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=，从而可得数列1{}n a 是等差数列，求出数列1{}na 的通项公式，即可求出n a . 【详解】 因为1121n n n a a a --=+，所以11121112n n n n a a a a ---+==+，即1112n n a a --=，又111a ，所以数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以11(1)221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 【点睛】本题主要考查取到数构造新数列，同时考查等差数列的概念及通项公式，属于中档题.15．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析：7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ． 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576． 【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．16．【分析】利用等比中项列方程然后求得再利用裂项求和法求得数列的前项和【详解】依题意当时解得当时解得当时解得以此类推猜想下用数学归纳法证明：当时成立假设当时当时所以假设成立所以对任意（证毕）所以所以数列 解析：100101【分析】利用等比中项列方程，然后求得n a ，再利用裂项求和法求得数列{}n b 的前100项和. 【详解】依题意()21n n n S a S -=⋅，当1n =时，()22111a a -=，解得111212a ==⨯， 当2n =时，()()2122121a a a a a +-=⋅+，解得211623a ==⨯， 当3n =时，()()212331231a a a a a a a ++-=⋅++，解得3111234a ==⨯， 以此类推，猜想()11111n a n n n n ==-++，1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 下用数学归纳法证明： 当1n =时，1112S a ==成立. 假设当n k =时，1k k S k =+ 当1n k =+时，()21111k k k S a S +++-=⋅，()()21111k k k k S S S S +++-=-⋅，22111121k k k k k S S S S S ++++-+=-⋅，1121k k k S S S ++-+=-⋅，()121k k S S +⋅-=-，1122111k k k k S S k k ++--⎛⎫⋅-=⋅=- ⎪++⎝⎭，()111211k k k S k k +++==+++，所以假设成立. 所以对任意*N n ∈，()11111n a n n n n ==-++，1n n S n =+.（证毕）所以()11111(1)(21)(1)(21)(1)111n n n n n b n a n n n n n +++⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⎪==+⋅-⋅+ +⎝⎭，所以数列{}n b 的前100项和为111111111001122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++--+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：100101【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查裂项求和法，属于中档题.17．32【分析】利用数列的递推公式推导出由此能求出数列的前6项和【详解】∵数列中∴解得∴数列的前6项和为：故答案为：32【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法考查递推公式递推思想等基础知识考查运算求解解析：32 【分析】利用数列的递推公式推导出11a =，由此能求出数列{}n a 的前6项和. 【详解】∵数列{}n a 中，22a =，21n n n a a a ++=+，834a =， ∴32112a a a a =+=+，43211224a a a a a =+=++=+，543162a a a a =+=+，6541103a a a a =+=+， 7651165a a a a =+=+，876126834a a a a =+=+=，解得11a =，∴数列{}n a 的前6项和为：()()()()61111112246210324832S a a a a a a =+++++++++=+=，故答案为：32. 【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法，考查递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.18．【分析】由等比数列通项公式求出然后由累乘法求得【详解】∵为等比数列由已知∴∴时也适合此式∴故答案为：【点睛】本题考查等比数列的通项公式考查累乘法求数列通项公式如果已知则用累加法求通项公式如果已知则用 解析：()()2122n n --【分析】由等比数列通项公式求出1n na a +，然后由累乘法求得n a ．【详解】∵1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，由已知211a a =，322a a =，32212a a q a a ==， ∴112n n na a -+=，∴2n ≥时， (2)(1)2212(2)3242112311122222n n n n n n n a aa aa a a a a a ---+++--=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==，1n =也适合此式， ∴(2)(1)22n n na --=．故答案为：(2)(1)22n n --．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查累乘法求数列通项公式．如果已知1()n n a a f n --=，则用累加法求通项公式，如果已知1()nn a f n a -=，则用连乘法求通项公式． 19．8【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出【详解】令解得或当时单调递增当时单调递减当时单调递增所以取得最小值时的值为8故答案为：8【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法解题的关解析：8 【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】 令30217n n a n -=≥-，解得3n ≤或172n ≥，∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减， 当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增， 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.20．【分析】由题意可得进而可得然后再利用累加法即可求出结果【详解】由题意可知所以即所以……所以又所以∴所以是数列中的第项故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用考查学生的计算能力属于中档题解析：2049【分析】由题意可得21n n n a a a ++=+，进而可得21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅，然后再利用累加法，即可求出结果． 【详解】由题意可知21n n n a a a ++=+，所以()1211n n n n n a a a a a ++++⋅=⋅+，即21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅所以220482049204820482047a a a a a ⋅=+⋅，220472048204720472046a a a a a ⋅=+⋅，……223221·a a a a a ⋅=+，所以2222048204920482047221·a a a a a a a ⋅=++⋯++， 又21a a =所以2222204820492048204721a a a a a a ⋅=++⋯++∴2222123204820492048a a a a a a ++++=．所以222212320482048a a a a a ++++是数列中的第2049项.故答案为：2049 ． 【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）2n a n =，n ∈+N ；（2）()2214n n S n +=-+.【分析】（1）根据题意可知2214a a a =，而12a =即可解出d ，从而得到{}n a 的通项公式； （2）由（1）知，2n a n =，所以22nn b n =⋅，根据错位相减法即可求出数列{}n b 的前n项和n S ． 【详解】（1）因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2214a a a =，()()21113a d a a d +=+．又因为12a =，解得2d =或0d =（舍），所以2n a n =，n ∈+N ．（2）由（1）知，2n a n =，所以22nn b n =⋅． 因为2222422nn S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，2312222422n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯21222222222n n n n S S n +-=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯化简得()2214n n S n +-=--，即()2214n n S n +=-+．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．常见的数列求和方法：公式法，倒序相加求和法，分组求和法，裂项相消法，错位相减法，并项求和法等．22．（Ⅰ）21n a n =-，*n ∈Z ，2n S n =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】 （Ⅰ）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n n b -=，即可求出{}n b 的前n 项和为n T ，则11131124141n n n n n b T T +++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再利用裂项相消法求和得出12n A <，再利用放缩法21111n n n <--得到122n B n<-<，即可得证； 【详解】解：（Ⅰ）∵141n n n S a a +=⋅+，11a =， ∴11241S a a =⋅+，∴23a =， 当2n ≥时，有1141n n n S a a --=+，∴11144n n n n n n S S a a a a ++--=-，∴()114n n n n a a a a +-=-， ∵0n a ≠，∴114n n a a +--=∴数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，2114(1)2(21)1n a n n -=+-=--，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，234(1)221n a n n =+-=⋅-，∴21n a n =-，*n ∈Z ， ∴()21212n n n S n +-==．（Ⅱ）因为2n an b =，所以212n n b -=，()1352122222413n nn T -=+++⋅⋅⋅+=-，()()()()2111111294311222241414141414133n n n n n n n n n n n b T T ++++++⎛⎫===- ⎪----⎝⎭--，1n =时，125A =，11B =，1152A B +<． 2n ≥时，2231311311311241412414124141n n n A +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭113111311234122412n n ++⎛⎫=+=-⋅< ⎪--⎝⎭． 22111111111112222231n B n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴52n n A B +<∴52n n A B +<，n *∈N ．【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 23．（1）21n a n =-；（2）1011. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得答案； （2）求出112121n b n n =--+利用裂项相消可得答案. 【详解】 （1）111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，1a 符合上式，所以21n a n =-． （2）()()21121212121n b n n n n ==--+-+， ∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++， 令120201212021n ->+，解得1010n >， 所以最小正整数n 为1011.数列求和的方法技巧：（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.24．（1）n a n =；（2）()()23412n nn n +++.【分析】（1）由已知求得1a 和公差d ，可得通项公式； （2）用裂项相消法求和． 【详解】（1）因为数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，结合332S a =，8522a a =-，()()111133227242a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得：11a d == 所以11n a n n =+-= （2）()()()()()1211111122112n n n n b a a a n n n n n n n ++⎡⎤===-⎢⎥⋅⋅+++++⎣⎦()()()11111111121223223342112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()()211132212412n n nT n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥++++⎣⎦． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．25．条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）122m m T m +=--.（1）选择①，可得(1)(1),22n n n n n b n +-=-=从而可得2,nn a =进而利用等比数列的定义可得结论；选择②，列出首项与公差的方程可得n b n =，从而可得2nn a =，进而利用等比数列的定义可得结论；（2）若选择①，则2nn a =，可得21m m c =-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案；选择②，则2nn a =，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案； 【详解】（1）选择①，因为()*123(1)2n n n b b b b n N +++++=∈， 当1n =时，11b =， 当2n ≥时，(1)(1),122n n n n n b n n +-=-==时也成立，故n b n =. 所以1122,22n nn n n n a a a ++===， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列. 若选择②，设数列{}n b 公差为d ，由题意1112247b d b b d +=⎧⎨++=⎩，，得111b d =⎧⎨=⎩，，得n b n =，即2log n a n =，得2nn a =，所以11222n n n n a a ++==. 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）若选择条件①，则2nn a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；所以()1212122121212212m m m mT m m +-=-+-+-=-=---.若选择条件②，则2nn a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；所以()1212122121212212m mm mT m m +-=-+-+-=-=---.方法点睛：数列求和的常见方法：1、公式法；2、错位相减法；3、裂项相消法；4、分组求和法；5、倒序相加法.26．（1）n a n =，2nn b n=；（2）证明见解析；【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由410S a =，即可得到1d a =，从而求出{}n a 的通项公式，再由1122n n n n n c T T c c --=-=-，可得{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出{}n c 的通项，最后由n n n c a b =⋅，求出{}n b 的通项公式；（2）依题意可得()()1111112121n n n n n c c c ++=-----，利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解：（1）因为{}n a 为等差数列，且{}n a 前n 项的和为n S ，设其公差为d ， 因为410S a =，11a =，所以()11441492a d a d ⨯-+=+，所以11d a ==，所以n a n =，因为11a =，12b =，n n n c a b =⋅，所以1112c a b =⋅=，因为{}n c 的前n 项和为n T 且22n n T c =-，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n c T T c c c c ---=-=---=-，所以()122n n c c n -=≥，所以{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n c =，因为n n n c a b =⋅，所以2nn n n c b a n==（2）因为()()()()1112111121212121n n n n n n n n c c c +++==-------所以()()()()()()1212231111111nn n c c c c c c c c c ++++------122311111111111111212121212121212121n n n n +++=-+-++-=-=-<--------- 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。

高中数学必修5数列测试题含答案一、选择题1、三个正数a 、b 、c 成等比数列，则lga 、 lgb 、 lgc 是 （ ）A 、等比数列B 、既是等差又是等比数列C 、等差数列D 、既不是等差又不是等比数列2、前100个自然数中，除以7余数为2的所有数的和是（ ）A 、765B 、653C 、658D 、6603、如果a,x 1,x 2,b 成等差数列，a,y 1,y 2,b 成等比数列，那么(x 1+x 2)/y 1y 2等于 （ ）A 、(a+b)/(a-b)B 、(b-a)/abC 、ab/(a+b)D 、(a+b)/ab4、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q= （ ）A 、1B 、-1C 、-3D 、35、在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126，则n 的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、86、若{ a n }为等比数列，S n 为前n 项的和，S 3=3a 3,则公比q 为（ ）A 、1或-1/2B 、-1 或1/2C 、-1/2D 、1/2或-1/27、一个项数为偶数的等差数列，其奇数项和为24，偶数项和为30，最后一项比第一项大21/2，则最后一项为 （ ）A 、12B 、10C 、8D 、以上都不对8、在等比数列{a n }中，a n >0,a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值是（ ）A 、20B 、15C 、10D 、59、等比数列前n 项和为S n 有人算得S 1=8,S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是 （ ）A 、S 1B 、S 2C 、S 3D 、S 410、数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 7,a 10,a 15是一等比数列{b n }的连续三项，若该等比数列的首项b 1=3则b n 等于（ ）A 、3·(5/3)n-1B 、3·(3/5)n-1C 、3·(5/8)n-1D 、3·(2/3)n-1二、填空题11、公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q =12、各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q=13、已知a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列，且0<log m ab<1，则实数m 的取值范是14、已知a n =a n －2+a n －1(n ≥3), a 1=1,a 2=2, b n =1+n n a a ,则数列{b n }的前四项依次是 ______________. 15、已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为三、解答题16、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数为等差数列，其和为12，求此四个数。

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-3．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ） A ．376B ．382C ．749D ．7664．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且21n n S a =-，若()0,2021n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的和为（ ） A ．1022B ．1023C ．2046D ．20475．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为（ ）（取111275=．．，121.29=）A ．25000元B ．26000元C ．32000元D ．36000元6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（ ） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．67．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3928．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()*2n n S a n n N =+∈，则{}na 的通项公式为na=（ ）A ．23n -B ．23n -C ．12n -D ．12n -10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ） A ．50B ．51C ．100D ．10111．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．27612．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（ ） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +，下列四个结论：①223a =；②313a =；③416527i i a ==∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 16．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________．17．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______. 18．数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋯+=⋅，则数列{}n a 的通项公式n a =___________.19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =______. 三、解答题21．已知数列{}n a 满足1*111,33().n n n a a a n ++==+∈N（1）求证：数列{}3nn a 是等差数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.（3）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 求证：37.324n n S n >- 22．已知等差数列{}n a ，且55a =，515S =，首项为1的数列{}n b 满足112n n n n b a b a ++= （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）求数列{}n b 前n 项和n T .23．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S .若214,n n n a S S a +==+ （1）求证：数列是等差数列；（2）设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 24．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ，112822,10a b a a ==+=，___________.在①2345,,4b b b 成 等差数列，②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T .25．已知等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，519a =，321S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．A解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.3．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可 【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.4．D解析：D【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥求出{}n a 的递推关系，再求出1a 后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前n 项和公式求解． 【详解】当2n ≥时，11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---，∴12n n a a -=， 又11121a S a ==-，11a =，∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1， 所以12n na ，由122021n n a -=<得110n -≤，即11n ≤，∴所求和为1112204712S -==-．故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，解题思路是由1(2)n n n a S S n -=-≥得出递推关系后确定数列是等比数列，从而求得通项公式．解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项．5．C解析：C 【分析】设1月月底小王手中有现款为1(120%)10000120010800a =+⨯-=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，由题意可知16000 1.2(6000)n n a a +-=-，所以数列{6000}n a -是首项为4800，公比为1.2的等比数列，求出12a 即得解. 【详解】设1月月底小王手中有现款为1(120%)1000080040010800a =+⨯--=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，则1 1.21200n n a a +=-，即16000 1.2(6000)n n a a +-=-， 所以数列{6000}n a -是首项为4800，公比为1.2的等比数列，∴11126000480012a -=⨯，即1112480012600042000a =⨯+=，年利润为420001000032000-=元， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据递推关系1 1.21200n n a a +=-构造数列{6000}n a -，求出新数列的通项关系.6．A解析：A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-， 可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -， 当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=- 两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-， 所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--， 所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦， 所以5(219)2k <-<， 当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.7．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.8．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案．【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1）即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列．所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nn S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．9．C解析：C 【分析】由()*2n n S a n n N =+∈结合11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出1a 和121n n a a -=-，通过构造法即可求出通项公式. 【详解】当1n =时，11121a S a ==+，解得1 1a =-；当2n ≥时，122(1)n n n a a n a n -=+---．∴121n n a a -=-，∴()1121n n a a --=-．∵112a -=-，∴12nn a -=-， ∴12nn a =-．故选:C ． 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了,n n a S 的递推关系求通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了构造法求数列的通项公式，属于中档题.10．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．11．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．①③④【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详解】∵∴曲线在点处的切线方程为则∵∴则是首项为1公比为的等比数列从而解析：①③④ 【分析】先利用导数求得曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程，由此求得1n a +与n a 的递推关系式，进而证得数列{}n a 是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号. 【详解】∵2'3y x =，∴曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程为()323n n n y a a x a -=-，则()3213n n n n a a a a +-=-.∵0n a ≠，∴123n n a a +=， 则{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列，从而223a =，349a =，4412165322713i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∑. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为：①③④ 【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前n 项和公式，属于基础题.14．【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解：各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式，进一步求出数列{}n b 的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =， 所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩，由于公比()0,1q ∈， 解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =. 所以55512n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则()9292n n n n S n c nn--===， 当9n ≤时，()212171744n n n n n n T c c c --=+++==. 当9n >时，()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=. 所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩. 故答案为：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.15．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②，②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.16．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析：7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ． 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576． 【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．17．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为①；当时②；①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为：【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数解析：21n n+ 【分析】当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅，作差即可得到111n n a n a n --=+，再利用累乘法求出数列的通项公式即可； 【详解】解：因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅①；当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅②；①减②得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-，即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=，所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅，所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=，所以111n n a n an --=+ 所以2113a a =，3224a a =，4335a a =，……，111n n a n a n --=+，所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+，所以()121n a a n n =+，又112a =，所以()11n a n n =+，当1n =时()11n a n n =+也成立，所以()11n a n n =+故答案为：()11n n +【点睛】 对于递推公式为()1nn a f n a -=，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为()1n n a a f n --=，一般利用累加法求出数列的通项公式；19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下： （1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.20．【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的 解析：134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比，从而列出关系式，又634S S =，接着用6S 表示3S ，代入到关系式中，可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成等比，且0n S ≠，所以6396363--=-S S S S S S S ，又因为634S S =，即3614=S S ，所以6696666141144--=-S S S S S S S ，整理得96134=S S .故答案为：134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。

一、选择题1．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10B ．17C ．21D ．352．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．23．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若点(),n n a S ，在直线60x y +-=上，则4S =（ ） A ．92B ．254C ．458D ．4094．记数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，且数列()()11211n n n a a a +++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T 对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立，则λ的取值范围为（ ） A ．1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,6D ．(],1-∞5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66S a =（ ） A ．6332B ．3116C ．12364D ．1271286．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）． A ．12B ．11C ．10D ．97．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n8．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．89．公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记212n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（ ） A ．0B ．1C ．2019D ．202010．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123451111110a a a a a ++++=，则31a =，5S =（ ）A ．10B ．15C ．20D ．2511．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2B ．-1C ．1D ．2二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 14．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，37S =，数列(){}2log 1+n S 的前n 项和为n T ，则122020111T T T +++=________.15．已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S 的值为__________．16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a 为整数，213a =-，8n S S ≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =________.17．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()n 1n a ,a +均在l 上，若2a 6=，则3a 的值为______．18．设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，已知()*2142n n S n n N T n +=∈-，则10317a b b =+_________．19．在数列{}n a 中， 11a =，212(2)n n n a a n ---=≥，则n a =_____.20．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________.三、解答题21．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ （1）求{}n a 的公比q 的值； （2）求{}n b 的通项公式.22．已知()23f x x x =-，数列{}n a 前n 项和为n S ，且()n S f n =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足43nn na b =⨯，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，求实数m 的取值范围.23．在①420S =,②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，______，2138,34b b b =-=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34kT >？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 24．已知数列{}n a 的前n 项和()2*N n S nn =∈，{}n b 是递增等比数列，且11b a =，35b a =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()*N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .25．己知数列{}n a 中，11a =，点1(,)n n P a a +，n *∈N 在直线10x y -+=上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb a =，S n 为数列{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得121(1)()(2,)n n S S S S g n n n N *-++=-⋅≥∈恒成立，若存在，写出()g n 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由.26．已知等比数列{}n a 满足26a =，13630a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12a >，设23n n b n a =⋅（*N n ∈），记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.2．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项.3．C解析：C 【分析】由题可得，S 60n n a +-=，根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可求得{}n a 为等比数列，进而可求得本题答案. 【详解】因为点(),n n a S 在直线60x y +-=上，所以S 60n n a +-=. 当1n =时，1160a S +-=，得13a =；当2n ≥时，S 60n n a +-=①，1160n n a S --+-=②，①-②得，112n n a a -=， 所以数列{}n a 为等比数列，且公比12q =，首项13a =， 则()4414131124511812a q S q⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式n a 的方法.4．C解析：C 【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围. 【详解】数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列， 所以21n n a S =+①， 当1n =时，11a =.当2n ≥时，1121n n a S --=+②， ①﹣②得122n n n a a a --=，整理得12nn a a -=（常数）， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列. 所以12n na .所以()()()()111122111121212121n n n n n n n n a a a +++++==-------，则1111111111337212121n n n n T ++=-+-++-=----. 由于对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立， 所以12n T λ+≥恒成立. 即()min 12n T λ+≥，当1n =时，()1min 5113n T T +=+=， 所以523λ≥，解得56λ≥， 所以5,6λ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.故选：C 【点睛】本题主要考查了由递推关系式求数列的通项公式，考查了裂项求和以及恒成立问题，属于中档题.5．A解析：A 【解析】由题意得，111121,1,n n n a a a a S S -=-==- ，则21nn S =- ，即666332S a = ，故选A. 6．C解析：C 【解析】分析：由已知，111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011，得到n 所满足的等量关系式，求得结果.详解：111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++，当1011n S =时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.7．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124ni n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值9．A解析：A 【分析】 由1n nb b +用递推式可得到值为-1，{}n b 是等比数列，再求前2020项和. 【详解】 由题意可知()2221121213221212n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a b a a a a a a ++++++++++++-+-===--()222211212212121n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++++---==---， 又212131b a a a =-=-，因此()1nn b =-，故()()()20201111110S =-++-+++-+=，故选：A. 【点睛】本题考查了通过递推数列揭示数列存在的规律即等比数列，还考查了数列求和，属于中档题.10．A解析：A 【分析】对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三项通分化简可得521234531111110S a a a a a a ++++==，结合3a 的值进而可得结果. 【详解】15123455242212345152433311111110a a a a a a a S a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++=++===， 则510S =， 故选：A.本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题.11．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q-++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q qa a a a a -=-++=++， 两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q --+÷==--+， 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.12．A解析：A 【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=， 则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--. 本题选择A 选项.本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②，②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.14．【分析】首先根据等比数列的性质得到从而得到利用等差数列的求和公式得到再利用裂项法求的值即可【详解】因为所以即解得或又因为数列为递增数列所以所以因为所以故故答案为：【点睛】本题主要考查等差等比数列的求解析：40402021【分析】首先根据等比数列的性质得到21nn S =-，从而得到()2log 1+=n S n ，利用等差数列的求和公式得到()12n n n T +=，再利用裂项法求122020111+++T T T 的值即可.【详解】因为22a =，37S =， 所以31232227S a a a q q=++=++=，即22520q q -+=， 解得12q =-或2q .又因为数列{}n a 为递增数列，所以2q.所以11a =，122112nn n S -==--.因为()22log 1log 2+==nn S n ，()1122…+=+++=n n n T n ，所以()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n . 故122020111111112122320202021⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦T T T 140402*********⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：40402021【点睛】本题主要考查等差、等比数列的求和公式，同时考查裂项法求和，属于中档题.15．110【分析】根据题意求出首项再代入求和即可得【详解】是与的等比中项解得故答案为：110【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及等差数列求和是基础题解析：110 【分析】根据题意，求出首项120a =，再代入求和即可得． 【详解】31124a a d a =+=-，711612a a d a =+=-，911816a a d a =+=-，7a 是3a 与9a 的等比中项，()()2111(12)416a a a ∴-=--，解得120a =，()101102010921102S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=．故答案为：110． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和，是基础题．16．【分析】设等差数列的公差为由等差数列的性质及前n 项和公式可得再由二次函数的图象与性质可得求得后再由等差数列的通项公式即可得解【详解】设等差数列的公差为则为整数所以由结合二次函数的图象与性质可得解得所 解析：217n -【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质及前n 项和公式可得231322n n d d S n ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭=，再由二次函数的图象与性质可得313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯，求得d 后再由等差数列的通项公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1213a a d d =-=--，d 为整数， 所以()()()2131313112222n d S d n n n n d a n d d n n n --=+⎛⎫--++ ⎪⎝=⎭=-， 由8n S S ≥，结合二次函数的图象与性质可得0d >，313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯， 解得131376d ≤≤， 所以2d =，所以1215a a d =-=-，所以()()111521217n a a n d n n =+-=-+-=-. 故答案为：217n -. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了利用二次函数的图象与性质解决等差数列前n 项和最值的问题，属于中档题.17．-2【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程求得则数列为公比q 为的等比数列运用等比数列的通项公式可得所求值【详解】直线经过坐标原点是的一个法向量可得直线的斜率为即有直线的方程为点均在上可得即有解析：-2 【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值． 【详解】直线经过坐标原点，()n 3,1=是l 的一个法向量， 可得直线l 的斜率为3-， 即有直线l 的方程为y 3x =-，点()n 1n a ,a +均在l 上，可得n n 1a 3a +=-， 即有n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列，可得321a a q 623⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭．故答案为2-． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．18．【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯，再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】因为()*2142n n S n n N T n +=∈-， 所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++，191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-， 故答案为：39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】利用累加法可求得数列的通项公式【详解】当时符合上式则故答案为：【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式属于基础题 解析：12n -【分析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】11a =，212(2)n n n a a n ---=≥∴()()()121321=+n n n a a a a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-0121+2+2++2n -=⋅⋅⋅()()2212122+2221212n n n ----==+-=-∴12nna ()2,*n n N ≥∈当=1n 时，11a =符合上式，则12n n a .故答案为：12n - 【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式，属于基础题.20．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的解析：27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论． 【详解】∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n n a a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27． 【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n n a a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．三、解答题21．（1）2q ；（2）()121n n b n =-⋅+.【分析】（1）对正项的等比数列{}n a ，利用基本量代换，列方程组，解出公比q ； （2）设11n nn n b b d a ++-=，由题意分析、计算得 1n d n =+，从而得到()112n n n b b n +-=+⋅，用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】（1）∵2125log ,2,log a a 成等差数列，∴ ()225215log log log 4a a a a +==，即132516a a a ==，又0,n a >34a ∴=，又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=，当2n ≥时，()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式，1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=，()112n n n b b n +∴-=+⋅，()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥， ()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-，()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式， 故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法． 22．（1）24n a n =-；（2）11,,1224⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）易知23n S n n =-，再利用通项与前n 项和关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.（2）易得2424323n n nn n b --==⨯⨯，1160b =-<，20b =，3n ≥时，0n b >，则n T 的最小值为16-，再根据对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，由()min 16mf x ⎡⎤->⎣⎦求解. 【详解】（1）因为()23f x x x =-，()n S f n =，所以23n S n n =-，当2n ≥时，()()21131n S n n -=---，124n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，112a S ==-，也满足24n a n =-， 故24n a n =-.（2）因为24n a n =-，43nn na b =⨯， 所以2424323n n nn n b --==⨯⨯，1160b =-<，20b =， 当3n ≥时，0n b >，故12T T =为n T 的最小值，n T 的最小值为16-， 因为对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立， 所以()min 16mf x ⎡⎤->⎣⎦，因为[]2,4x ∈，()2239324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以()[]2,4f x ∈-， 当0m >时，()min 16mf x ⎡⎤->⎣⎦，即126m ->-，解得112m >； 当0m <时，()min16mf x ⎡⎤->⎣⎦，即146m ->，解得124m <-， 0m =时，106->，显然不成立. 故实数m 的取值范围为11,,1224⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．23．选①k 的最小值为4；选②k 的最小值为4；选③k 的最小值为3； 【分析】先由条件求出11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，得出142a b ==，若选①可得2d =，则2n a n =，从而1111n S n n =-+，由裂项相消法求出k T ，可得答案；若选②可得12a d ==，所以2n a n =，一下同选①；若选③可得43d =，从而131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，由裂项相消法求出k T ，可得答案. 【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由2138,34b b b =-= 所以18b q =，则8384q q -⨯=，解得12q =或23q =-（舍） 则1816b q ==，所以11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭则142a b == 若选① 由4143486202S a d d ⨯=+=+=，则2d = 所以2n a n =， 则212nn a a S n n n +=⨯=+ 所以()111111n S n n n n ==-++ 则1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由314k k T k =>+，则3k >，由k 为正整数，则k 的最小值为4. 若选② 由332S a =，即()11323222a d a d ⨯+=+ ，可得12a d == 所以2n a n =，一下同选①.若选③ 由3423a a b -=，可得()()113238a d a d +-+=，即43d = 所以()()14222233n n n S n n n -=+⨯=+ ()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭ 12111311111311111432424212n n T S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以93118412n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭所以9311124438k k k T ⎛⎫-+ ⎪++⎭>⎝=，即111122k k +<++，也即240k k --> 解得k >1232+<<，又k 为正整数，则k 的最小值为3. 【点睛】关键点睛：本题考查等差、等比数列求通项公式和等差数列的前n 项和以及用裂项相消法求和，解答本题的关键是将所要求和的数列的通项公式裂成两项的差，即1111n S n n =-+，131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，注意裂项和的系数和求和时相抵消的项以及最后余下的项，属于中档题. 24．（1）()*21n a n n N =-∈，()1*3n nbn N -=∈；（2）()*(1)31n n T n n N =-⨯+∈.【分析】（1）首先根据n S 与n a 的关系求数列{}n a 的通项公式，再根据条件求等比数列{}n b 的基本量，求数列{}n b 的通项公式；（2）()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈，利用错位相减法求和. 【详解】（1）当1n =时，111a S ==；当1n >时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-；当n=1时符合上式， ∴()*21n a n n N=-∈；∴111b a ==，359==b a ， ∴数列{}n b 的公比3q =， ∴()1*3n n b n N -=∈；（2）由（1）可得()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈，∴2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---=+++++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，①2313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②①-②，整理得()*(1)31nn T n n N =-⨯+∈.【点睛】本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.25．（1）n a n =；（2）存在，()g n n =，证明见解析. 【分析】（1）根据点1(,)n n P a a +在直线10x y -+=上，将点坐标代入方程，可得1n a +与n a 的关系，根据等差数列的定义，即可求得数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得n b ，进而可求得n S 的表示式，化简整理，可得11(1)1n n n nS n S S ----=+，利用累加法，即可求得121n S S S -++的表达式，结合题意，即可得答案. 【详解】（1）因为点1(,)n n P a a +，n *∈N 在直线10x y -+=上， 所以110n n a a +-+=，即11n n a a +-=，且11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(1)1,()n a n n n *=+-⨯=∈N ；（2）11n n b a n ==，所以111123n S n=+++⋅⋅⋅+， 所以11111111(1)(1)(2)23231n n S S n n n n--=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=≥-，即11n n nS nS --=，所以11(1)1n n n nS n S S ----=+，(2)n ≥122(1)(2)1n n n n S n S S ------=+， 233(2)(3)1n n n n S n S S ------=+⋅⋅⋅21121S S S -=+所以112311n n nS S S S S S n --=+++⋅⋅⋅++-所以1231(1)(2)n n n S S S S nS n n S n -+++⋅⋅⋅+=-=-≥， 根据题意121(1)()(2,)n n S S S S g n n n N *-++=-⋅≥∈恒成立，所以()g n n =，所以存在关于n 的整式()g n n =，使得121(1)()(2,)n n S S S S g n n n N *-++=-⋅≥∈恒成立， 【点睛】解题的关键是根据n S 表达式，整理得n nS 与1(1)n n S --的关系，再利用累加法求解，若出现1()n n a a f n +-=（关于n 的表达式）时，采用累加法求通项，若出现1()n na f n a +=（关于n 的表达式）时，采用累乘法求通项，考查计算化简的能力，属中档题.26．（Ⅰ）123n n a -=⨯或132n n a -=⨯；（Ⅱ）1(1)22n n S n +=-⨯+.【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得132n n a -=⨯和223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ），运用错位相减法可求得数列的和． 【详解】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由26a =，可得16a q =，记为①． 又因为13630a a +=，可得12630a a q +=，即15a q +=记为②，由①②可得123a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩，故{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯或132n n a -=⨯．（Ⅱ）由（Ⅰ）及12a >可知132n n a -=⨯，所以223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ）， 所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④ ③－④得1212222n n n S n +-=+++-⨯111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-，所以1(1)22n n S n +=-⨯+．【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.。

一、选择题1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4331S S S =-，若11a >，则（ ） A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >2．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a4．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．45．在等差数列{}n a 中，0n a ≠，()21102n n n a a a n -+-+=≥，若2138n S -=，则n =( )．A ．38B ．20C ．10D ．96．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D ．2597．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．64盏B ．128盏C ．192盏D ．256盏8．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－29．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（ ）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2111．等差数列{}n a 中，10a >,310S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为 （ ） A ．6B ．7C ．6或7D ．不存在12．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题13．数列{}n a 中，16a =，29a =，且{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，则n a =______.14．数列{}n a 中，11a =，212a =，11211(2)n n n n a a a +-=+≥，则{}1n n a a +⋅的前n 项和n S =__________．15．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且________（①1a ，2a ，4a 成等比数列；②(3)2n n n S +=；③926a =任选一个条件填入上空）.设3n n a b =，n n n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小. 16．已知数列{}n a 与{}n b 满足11222n n a a a ++++=-，1(1)(1)nn n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，若n S M ≤恒成立，则M 的最小值为_________.17．数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋯+=⋅，则数列{}n a 的通项公式n a =___________.18．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）．从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 20．我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，()*12211,1,n n n a a a a a n ++===+∈N ．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =_______．三、解答题21．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且()()*612,n n n S a a n =++∈N .（1）求{}n a 的通项公式： （2）设数列{}n b 满足,2n n na nb n ⎧=⎨⎩是奇数，是偶数，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T . 22．从①()*123(1)2n n n b b b b n +++++=∈N ，②{}n b 为等差数列且215227b b b =+=，，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.问题：已知数列{}{},n n a b 满足2n bn a =，且___________. （1）证明：数列{}n a 为等比数列；（2）若m c 表示数列{}n b 在区间()0,m a 内的项数，求数列{}m c 前m 项的和m T . 23．已知数列{}n a 的首项为4． （1）若数列{}2nn a -是等差数列，且公差为2，求{}na 的通项公式．（2）在①3248a a -=且20a >，②364a =且40a >，③20212201716a a a =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题，若{}n a 是等比数列，__________，求数列(){}31nn a -的前n 项和nS．24．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*224n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a-成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()222221log log +=n n n b a a ，{}n b 的前项和为n T ，对任意*n N ∈，23n m T >恒成立，求m 的取值范围.25．在①222n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③2142n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，_________．数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 26．若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：1,2,3,4,5,；② 等比数列：11111,,,,24816--；（2）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据题中所给的条件4331S S S =-，11a >利用等比数列求和公式求出0q <，分情况讨论求得10q -<<，从而可以得到项之间的大小关系. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 由4331S S S =-可得431a S =-， 若1q =，则1113a a =-显然不成立，所以1q ≠， 所以()312111q a a q q -++=，即()232111q q a q +=-+， 因为22131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，210a >，所以30q <，所以0q <，当1q ≤-时，31q ≤-，211q q ++≥，因为11a >，则()232111q q a q +=-+不可能成立，所以10q -<<，()213110a a a q -=->，()224110a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等比数列求和公式将已知条件化简得到()232111q q a q +=-+，结合11a >求出q 的范围.2．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．3．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.4．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．C解析：C 【分析】由2110n n n a a a -+-+=，可得2112n n n n a a a a -++==，得到2n a =，再根据等差数列的求和公式，得到2138(21)n n n S a --==，代入即可求解，得到答案． 【详解】由题意，等差数列{}n a 中，()21102n n n a a a n -+-+=≥，可得2112n n n n a a a a -++==，又0,n a ≠解得2n a =， 又由12121(21)()(2)3812n n n n a a n a S ---+==-=，即(21)823n -⨯=，解得10n =，故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，求得2n a =和2138(21)n n n S a --==是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C.本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.7．C解析：C 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112a S a -===-，解得13a =.因此，塔的底层的灯的盏数为6732192a =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.9．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果.因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增， 先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =， 即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题 故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.10．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =， 又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=， 又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.11．C解析：C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ∵310S S = ∴()()113319913922a d a d ⨯-⨯-+=+∴160a d += ∴70a = ∵10a >∴当n S 取最大值时，n 的值为6或7 故选C12．B解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知1000a ，从而判断数列{}n a 是单调递增数列，即可判断当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值. 【详解】数列{}n a 为等差数列，119921981002a a a a a ，1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，则1001990a ，即1000a ，10a <，可以判断数列{}n a 是单调递增数列，991010,0a a ， 12n n n n b a a a ++=，12323412nn n n S a a a a a a a a a ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值为97，98，99，100共4个. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题.二、填空题13．【分析】由是以2为公差的等差数列可得：再利用累加求和方法等差数列的求和公式即可得出【详解】∵是以2为公差的等差数列∴∴故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式累加求和方法考查了推理能 解析：25n +【分析】由{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，可得：121n n a a n --=-，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出. 【详解】∵{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列， ∴()()1212221n n a a a a n n --=-+-=-，∴()()()12116321n n n a a a a a a n -=+-+⋯⋯+-=++⋯⋯+-()2121552n n n +-=+=+， 故答案为：25n +. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14．【分析】根据利用等差中项得到是等差数列然后由利用裂项相消法求和【详解】∵∴是等差数列又∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要等差中项以及裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：1n n + 【分析】 根据11211(2)n n n n a a a +-=+≥，利用等差中项得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，然后由 1111(1)1n n a n n a n n +==-++⋅，利用裂项相消法求和.【详解】 ∵11211(2)n n n n a a a +-=+≥， ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， 又11a =，212a =， ∴21111d a a =-=， ∴1nn a ，1n a n=，∴1111(1)1n n a n n a n n +==-++⋅∴11111111 (1111)1223341n nS n n n n -+-+-++--=+=+=+． 故答案为：1nn + 【点睛】本题主要等差中项以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．选①：；选②：当时；当时；当时；选③：【分析】任选一个条件求出数列公差及通项利用错位相减法求和再比较大小可得解【详解】若选①设公差为因为成等比数列所以解得或0（不合舍去）所以所以利用错位相减可得；若解析：选①：13n T <；选②：当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；选③：13n T <.【分析】任选一个条件，求出数列{}n a 公差及n b ，n c 通项，利用错位相减法求和，再比较大小可得解. 【详解】若选①，设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2(2)2(23)d d +=+，解得2d =或0（不合，舍去），所以2n a n =，9n n b =所以29n n nc =，利用错位相减可得1991213232993n n n n T +=-⨯-<； 若选②，因为(3)2n n n S +=，所以公差1d =，所以1n a n =+，13n n b +=所以113n n n c ++=，利用错位相减可得11515()()24312n n T n +=--⨯+当1n =时，12193T =<； 当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>； 若选③，因为926a =，所以公差3d =，所以31n a n =-，所以31313n n n c --=， 利用错位相减可得1652346911676676273n n n T -=-⨯<. 【定睛】本题考查等差数列通项及错位相减法求和，属于基础题.16．【分析】由已知式写出为的式子相减求得检验是否相符求得用裂项相消法求得和由表达式得的范围从而得最小值【详解】∵所以时两式相减得又所以有从而显然所以的最小值为1故答案为：1【点睛】方法点睛：本题主要考查 解析：1【分析】由已知式写出n 为1n -的式子，相减求得n a ，检验1a 是否相符，求得n b ，用裂项相消法求得和n S ，由n S 表达式得M 的范围，从而得最小值． 【详解】 ∵11222n n a a a ++++=-，所以2n ≥时，12122n n a a a -+++=-，两式相减得1222n n nn a +=-=，又21222a =-=，所以*n N ∈，有2nn a =，从而11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-----，122231111111212121212121n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n +=--，显然1n S <，所以1M ≥，M 的最小值为1．故答案为：1． 【点睛】方法点睛：本题主要考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，数列求和的常用方法有：（1）公式法，（2）错位相减法，（3）裂项相消法，（4）分组（并项）求和法，（5）倒序相加法．17．【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为①；当时②；①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为：【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数 解析：21n n+ 【分析】当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅，作差即可得到111n n a n a n --=+，再利用累乘法求出数列的通项公式即可； 【详解】解：因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅①；当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅②；①减②得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-，即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=，所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅，所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=，所以111n n a n a n --=+ 所以2113a a =，3224a a =，4335a a =，……，111n n a n a n --=+，所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+，所以()121n a a n n =+，又112a =，所以()11n a n n =+，当1n =时()11n a n n =+也成立，所以()11n a n n =+故答案为：()11n n +【点睛】对于递推公式为()1nn a f n a -=，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为()1n n a a f n --=，一般利用累加法求出数列的通项公式；18．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.19．8【分析】根据可得两式相减可得利用递推关系即可求解【详解】①②②①得当时故答案为：8【点睛】本题主要考查了数列的项与前n 项和的关系考查了利用递推关系求数列的项属于中档题解析：8 【分析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.20．【分析】由已知利用累加法即可得到答案【详解】由已知各式相加得即又所以故答案为：【点睛】本题考查了累加求和方法斐波那契数列的性质考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：1m +【分析】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，利用累加法即可得到答案. 【详解】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，各式相加得1234202020222a a a a a a +++++=，即220202022a S a +=，又21a =，2020S m =，所以20221a m =+. 故答案为：1m + 【点睛】本题考查了“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）31n a n =-；（2）1224433n n T n n +-=+-.【分析】（1）令1n =，结合111a S =>可得12a =，由()()612n n n S a a =++，*n ∈N 可得()()111612n n n S a a +++=++，两式相减可得13n n a a +-=即可求{}n a 的通项公式；（2）24221321()(222)nn n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，利用分组并项求和，以及等差和等比数列求和公式即可求解. 【详解】 （1）由()()11111126a S a a ==++，即()()11210a a --=， 因为111a S =>，所以12a =， 由()()612n n n S a a =++，*n ∈N 可得()()111612n n n S a a +++=++，两式相减可得()()()()11161212n n n n n a a a a a +++=++-++， 得()()1130n n n n a a a a +++--=， 又0n a >，得13n n a a +-=，所以{}n a 是首项为2公差为3的等差数列， 故{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）24221321()(222)nn n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()242(28146222)4n n ++⋅⋅⋅+=++++-+12(264)4(14)4432143n n n n n n ++---=+=+--.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.22．条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）122m m T m +=--.【分析】（1）选择①，可得(1)(1),22n n n n n b n +-=-=从而可得2,nn a =进而利用等比数列的定义可得结论；选择②，列出首项与公差的方程可得n b n =，从而可得2nn a =，进而利用等比数列的定义可得结论；（2）若选择①，则2nn a =，可得21m m c =-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案；选择②，则2nn a =，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案； 【详解】（1）选择①，因为()*123(1)2n n n b b b b n N +++++=∈， 当1n =时，11b =， 当2n ≥时，(1)(1),122n n n n n b n n +-=-==时也成立，故n b n =. 所以1122,22n nn n n n a a a ++===， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列. 若选择②，设数列{}n b 公差为d ， 由题意1112247b d b b d +=⎧⎨++=⎩，，得111b d =⎧⎨=⎩，，得n b n =，即2log n a n =，得2nn a =，所以11222n n n n a a ++==. 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）若选择条件①，则2nn a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；所以()1212122121212212m mm mT m m +-=-+-+-=-=---.若选择条件②，则2nn a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；所以()1212122121212212m m m m T m m +-=-+-+-=-=---.【点睛】方法点睛：数列求和的常见方法：1、公式法；2、错位相减法；3、裂项相消法；4、分组求和法；5、倒序相加法. 23．（1）22nn a n =+；（2）()132483n n n S +-+=【分析】 （1）求出{}2nn a -首项，即可求出{}2n na-通项公式，得出{}n a 的通项公式；（2）设出公比，建立关系求出公比，再利用错位相减法即可求出n S . 【详解】解：（1）因为14a =，所以122a -=， 因为数列{}2nn a -是等差数列，且公差为2，所以()22212nn a n n -=+-=，则22n n a n =+.（2）选①：设公比为q ，由3248a a -=，得24448qq -=，解得4q =或3-，因为20a >，所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n nn S +-+=. 选②：设公比为q ，由364a =，得2464q=，解得4q =±，因为20a >，所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n nn S +-+=. 选③：设公比为q ，由20212201716a a a =，得20211201820181664a a a a ==，则364q =，所以4q =.故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n nn S +-+=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 24．（1）12n n a ；（2）233m <. 【分析】（1）根据题设中的递推关系有12n n a a -=，算出1a 后可求{}n a 的通项. （2）利用裂项相消法可求n T ，求出n T 的最小值后可得m 的取值范围. 【详解】（1）因为()*224n n S a a n N=-∈，故11224n n Sa a --=-，所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=，其中2n ≥，所以322a a =且212a a =， 因为1a ，2a ，31a -成等差数列，故21321a a a =+-即111441a a a =+-，故11a =且10a ≠，故0n a ≠，故12nn a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2，故12n na .（2）()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭,所以1111111111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为0n b >，故{}n T 为增数列，故()1min 13n T T ==，故1323m>即233m <. 【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 25．见解析 【分析】根据选择的条件求出{}n a 的通项，再利用分组求和可得n T . 【详解】若选①，由222n n S n a =+可得1122a a =+，故12a =，又22422S a ⨯=+，故()222224a a =+⨯+，故24a =， 故等差数列的公差422d =-=，故()2212n a n n =+-=， 所以()()2212n n n S n n +==+， 所以12b =，26b =，所以等比数列{}n b 的公比为3q =，故123n n b -=⨯故()111111=232311n n n n b S n n n n --++⨯=-+⨯++， 故11111111131=231223341131n n n T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 若选②，由题设可得11126163351042a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，同①可得131nn T n =-+. 若选③，由题设可得1213S S =即212a a =，故1d a =，故1n a na =， 而74567S a ==，故48a =，故12a =，故2n a n =，同①可得131n n T n =-+. 【点睛】 方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外求和注意根据通项的特征选择合适的求和方法.26．（1）①不是跳跃数列；②是跳跃数列；（2）()()2,23,21-. 【分析】（1）①根据定义可直接判断其不是跳跃数列；②根据定义可直接判断其是跳跃数列； （2）根据条件分1n n a a +>和1n n a a +<两种情况求出n a 的取值范围，再求出首项1a 的取值范围.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,，不满足()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，所以不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,24816--，满足()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，所以是跳跃数列；（2）由()2111955n n n n a a a a +-=--，得()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----， ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----.若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时n a ⎛∈ ⎝⎭.若2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则21195n n a a +⎛-=∈ ⎝⎭，所以()12,2a ∈-；若53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(1a ∈， 所以()()12,23,21a ∈-. 【点睛】 求解等差等比的综合问题，需要分析清楚条件，根据条件描述的等差数列的性质还是等比数列的性质列式，然后再根据数列{}n a 是等差或者等比数列，将式子表示为基本量1,a d 或者1,a q 进行化简计算.。

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．已知数列{}n a 是等比数列，满足51184a a a =，数列{}n b 是等差数列，且88b a =，则79b b +等于（ ）A ．24B ．16C ．8D ．43．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（ ）（lg 20.3≈，lg3.80.6≈） A ．40B ．41C ．42D ．434．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,35⎛⎫⎪⎝⎭C ．167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．167,73⎛⎫⎪⎝⎭5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66S a =（ ） A ．6332B ．3116C ．12364 D ．1271286．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--7．公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记212n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（ ） A ．0B ．1C ．2019D ．20208．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ）A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -9．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．511．如果数列{}n a 的前n 项和21()n n S a n N +=-∈，则5a =( ) A ．8B ．16C ．32D ．6412．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n均成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．27,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.14．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且112a =，110n n n a S S +++=，则2020S =______．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,,2n n S a n N n ∈≥在2441x y x =-的图像上，11a =，数列{}n a 通项为__________.17．已知正项等比数列{}n a ，12q =，若存在两项m a 、n a12a =，则9m n-的最小值为___________. 18．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________.19．等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =______. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______.三、解答题21．给出以下三个条件：①11a =，22121n n a a n +-=+，*n N ∈；②22n n S a n =+，*n N ∈；③数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n .请从这三个条件中任选一个，将下面题目补充完整，并求解.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，________. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n a nn nS b a +=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()nS n n N n*∈均在函数32y x =-的图像上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 23．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，141n n n S a a +=⋅+，11a =． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若2na nb =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．记23411223341n n n n b b b bA TT T T T T T T ++=+++⋅⋅⋅+，1231111n n B S S S S =+++⋅⋅⋅+，求证：52n n A B +<，*n ∈N ． 24．已知等比数列{}n a 的公比不为1，且11a =，32a 是23a 与4a 的等差中项. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足()()1211nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．已知正项数列{}n a 、{}n b ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1143a b +=，21n n S a +=，2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和n T ． 26．在①121n n S S +=+，②214a =，③112n n S a +=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足13b =，且1b ，32b -，7b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n nn nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n nn n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><>即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．C解析：C 【分析】利用等比数列和等差数列的性质计算． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴2511884a a a a ==，又80a ，∴84a =，又{}n b 是等差数列，∴7988228b b b a +===． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的性质，掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键．对正整数,,,m n p l ，若m n p l +=+，{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =，特别地若2m n p +=，{}n a 是等差数列，则2m n p a a a +=，若{}n a 是等比数列，则2m n p a a a =．3．C解析：C 【分析】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍， 由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=， 所以至少对折的次数n 是42，故选：C关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.4．C解析：C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，所以22n a n =+， 所以()22n a tn t n -=-+， 可得数列{}n a tn -是等差数列， 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 可得：660a t -≥，770a t -≤， 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤， 解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，5．A解析：A 【解析】由题意得，111121,1,n n n a a a a S S -=-==- ，则21nn S =- ，即666332S a = ，故选A. 6．D【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由1n nb b +用递推式可得到值为-1，{}n b 是等比数列，再求前2020项和. 【详解】 由题意可知()2221121213221212n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a b a a a a a a ++++++++++++-+-===--()222211212212121n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++++---==---， 又212131b a a a =-=-，因此()1nn b =-，故()()()20201111110S =-++-+++-+=，故选：A. 【点睛】本题考查了通过递推数列揭示数列存在的规律即等比数列，还考查了数列求和，属于中档题.8．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.9．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.10．A解析：A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34， 则a 1=2. 本题选择A 选项.11．B解析：B 【分析】根据题意得到()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥），两式做差得到12n n a a -=，可得到数列的通项，进而得到结果.【详解】数列{}n a 的前n 项和()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥）,两式做差得到12n n a a -=（n 2≥），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到1121S a =-=1a ，解得1a =1，故得到数列通项为12n n a ，令n=5得到516.a =故答案为B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.12．B解析：B 【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值 【详解】解：当[0,2]x ∈时，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，12x <≤时，()f x 的最大值为39()24f =，即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为94， 当24x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为912，当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为936， ……可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列， 所以91(1)2712743(1)183813n n nS -==-<-， 由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278k ≥， 所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：B 【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题二、填空题13．【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解：各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式，进一步求出数列{}n b 的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =， 所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩，由于公比()0,1q ∈， 解得3541a a =⎧⎨=⎩， 所以253a a q =，解得12q =. 所以55512n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==， 则()9292n n n n S n c nn--===， 当9n ≤时，()212171744n n n n n n T c c c --=+++==.当9n >时，()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=. 所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩. 故答案为：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.14．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.15．【分析】代入再证明为等差数列继而求得的通项公式再计算即可【详解】因为所以两边同除以得：所以数列是以为首项1为公差的等差数列所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法属 解析：12021【分析】代入11n n n a S S ++=-,再证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,继而求得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式再计算2020S 即可.【详解】因为110n n n a S S +++=,所以,11n n n n S S S S ++-=-, 两边同除以1n n S S +-得：1111n nS S +-=， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以()1211n n n S =+-=+，所以11n S n =+， 所以202012021S = 故答案为：12021【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题.16．【分析】把数列递推式中换为整理得到是等差数列公差然后由等差数列的通项公式得答案【详解】由题意可得：∴∴两边除以并移向得出是等差数列公差故当时当时不符合上式故答案为：【点睛】本题考查了数列递推式考查了解析：()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩【分析】把数列递推式中n a 换为1n n s s --，整理得到1{}nS 是等差数列，公差2d =，然后由等差数列的通项公式得答案． 【详解】由题意可得：()24,241nn n S a n S =≥- ∴()214,241nn n n S S S n S --=≥-， ∴1140n n n n s s s s ---+=．两边除以1n n s s -，并移向得出1114,(2)n n n S S --=， 1{}nS ∴是等差数列，公差4d =， 11111S a ==．∴114(1)43nn n S =+-=-， 故143n S n =-． ∴当2n 时，()()111443474347n n n a S S n n n n --=-=-=----． 当1n =时，11a =不符合上式．()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪∴=-⎨∈≥⎪--⎩． 故答案为：()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩． 【点睛】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了运算求解能力，属于中档题．17．【分析】由等比数列的通项公式结合可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】由于则即则由已知可得因此当且仅当时等号成立所以的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的 解析：2【分析】12a =可得出4m n =-，利用基本不等式可求得9m n-的最小值. 【详解】12a =，则214m n a a a =，即221121111124m n m n a a q a q a +---⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭，则22m n +-=， 4m n ∴=-，由已知可得m 、n *∈N ，因此，()9994442m n n n n n -=--=+-≥=， 当且仅当3n =时，等号成立，所以，9m n-的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键解析：()11332n n +-- 【分析】 根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n nn a -+=⨯=，所以31n n a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.19．【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的解析：134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比，从而列出关系式，又634S S =，接着用6S 表示3S ，代入到关系式中，可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成等比，且0n S ≠，所以6396363--=-S S S S S S S ，又因为634S S =，即3614=S S ，所以6696666141144--=-S S S S S S S ，整理得96134=S S . 故答案为：134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．在等比数列{}n a 中，有31598a a a =，数列{}n b 是等差数列，且99b a =，则711b b +等于（ ） A ．4B ．8C ．16D ．243．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ） A ．376B ．382C ．749D ．7664．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N*-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．175．数列{}n a 中，11a =，113,3,3n n n n a N a n a N *+*-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，使2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为（ ） A ．1008B ．2016C ．2018D ．20206．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）A ．5049B ．5050C ．5051D ．51017．已知数列1a ，21a a ，…1nn a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（ ）A ． (1)n n +B ．(1)4n n - C ．(1)2n n + D ．(1)2n n -8．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）． A ．12B ．11C ．10D ．99．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）． A ．2B ．1C ．32D ．1210．已知数列{}n a的通项公式为)*n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S …，2019S 中，有理数项的项数为（ ） A ．42B ．43C ．44D ．4511．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-12．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________．14．数列{}n a 中，16a =，29a =，且{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，则n a =______.15．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则2020a =__.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a 为整数，213a =-，8n S S ≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =________.17．设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，已知()*2142n n S n n N T n +=∈-，则10317a b b =+_________．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若112a =，且122n n a a +=-，则100S =________. 19．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____．20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．22．在①119n n a a +-=-，②113n n a a +=-③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且19a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值：若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()121n n a S n N *+=+∈，等差数列{}n b 满足39b =，15272b b +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n n n c a b =⋅，求n T . 24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a pa q +=+，（其中p 、q 为常数，*n N ∈）.（1）若1p =，1q =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若2p =，1q =，数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：22n T n <+，*n N ∈.26．设等差数列{}n a 的首项1a 为()0a a >，其前n 项和为n S . （Ⅰ）若1S ，2S ，4S 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，问是否存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln k S 、1ln k S +、2ln k S +成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．C解析：C 【分析】根据等比数列性质求得9a ，再由等差数列性质求解． 【详解】∵{}n a 是等比数列，∴2931598a a a a ==，90a ≠，所以98a =，即998b a ==，∵{}n b 是等差数列，所以7119216b b b +==． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设,,,m n p l 是正整数，m n p l +=+，若{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =．p l =时，上述结论也成立．3．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可 【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.4．C解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．5．C解析：C 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于2021，即可得答案. 【详解】由已知可得，数列{}n a ：1,4,7,4,7,10,7,10,13,，可得规律为1,4,7，4,7,10，7,10,13……此时将原数列分为三个等差数列：1,4,7,n a n =，{}31,n n n m m N ∈=+∈；4,7,10,2n a n =+，{}32,n n n m m N ∈=+∈；7,10,13,4n a n =+，{}33,n n n m m N ∈=+∈，当673m =时，312020n m =+=，即2020202120222020,2023,2026a a a ===. 而672m =时，312017n m =+=，即2017201820192017,2020,2023a a a ===， 所以满足2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为2018．故选：C. 【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项.6．B解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.7．D解析：D 【分析】根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果.【详解】由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥， 而(1)1213221121122(2)n n n n n n a aa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=， 故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.8．C解析：C 【解析】分析：由已知，111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011，得到n 所满足的等量关系式，求得结果.详解：111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++，当1011n S =时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.9．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==.故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】本题先要对数列{}n a 的通项公式n a 运用分母有理化进行化简，然后求出前n 项和为n S 的表达式，再根据n S 的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数． 【详解】解：由题意，可知：n a ===1n n =-+． 12n n S a a a ∴=++⋯+122=-+1= 3S ∴，8S ，15S ⋯为有理项，又下标3，8，15，⋯的通项公式为21(2)n b n n =-，212019n ∴-，且2n ，解得：244n ，∴有理项的项数为44143-=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查分母有理化的运用，根据算式判断有理数项及其下标的规律，属于中档题．11．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.12．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.二、填空题13．【分析】先证明当共线且则根据题意可求得的值然后利用等差数列求和公式可求得的值【详解】当共线时则共线可设所以又则由于（向量不平行）共线则由等差数列的求和公式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列求和同 解析：1010【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=， 所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+， 又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】由是以2为公差的等差数列可得：再利用累加求和方法等差数列的求和公式即可得出【详解】∵是以2为公差的等差数列∴∴故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式累加求和方法考查了推理能 解析：25n +【分析】由{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，可得：121n n a a n --=-，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出. 【详解】∵{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列， ∴()()1212221n n a a a a n n --=-+-=-，∴()()()12116321n n n a a a a a a n -=+-+⋯⋯+-=++⋯⋯+-()2121552n n n +-=+=+， 故答案为：25n +. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15．2020【分析】当n 为偶数时可得出故偶数项是以2为首项公差为2的等差数列求出通项公式代值计算即可得解【详解】当n 为偶数时即故数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列所以所以故答案为：2020【点睛解析：2020 【分析】当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解. 【详解】 当n 为偶数时，2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭， 即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列， 所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭， 所以20202020a =. 故答案为：2020. 【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.16．【分析】设等差数列的公差为由等差数列的性质及前n 项和公式可得再由二次函数的图象与性质可得求得后再由等差数列的通项公式即可得解【详解】设等差数列的公差为则为整数所以由结合二次函数的图象与性质可得解得所 解析：217n -【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质及前n 项和公式可得231322n n d d S n ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭=，再由二次函数的图象与性质可得313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯，求得d 后再由等差数列的通项公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1213a a d d =-=--，d 为整数， 所以()()()2131313112222n d S d n n n n d a n d d n n n --=+⎛⎫--++ ⎪⎝=⎭=-， 由8n S S ≥，结合二次函数的图象与性质可得0d >，313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯， 解得131376d ≤≤， 所以2d =，所以1215a a d =-=-，所以()()111521217n a a n d n n =+-=-+-=-. 故答案为：217n -. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了利用二次函数的图象与性质解决等差数列前n 项和最值的问题，属于中档题.17．【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯，再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】因为()*2142n n S n n N T n +=∈-， 所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++，191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-， 故答案为：39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项得出数列是周期数列从而可求和【详解】由题意∴数列是周期数列且周期为4故答案为：【点睛】本题考查数列的周期性考查求周期数列的和解题时可根据递推公式依次计算数列的解析：4256【分析】 由递推公式依次计算出数列的前几项，得出数列是周期数列，从而可求和． 【详解】 由题意2241322a ==-，33a =，42a =-，512a =， ∴数列{}n a 是周期数列，且周期为4.10012341442525()2532236S a a a a ⎛⎫=+++=⨯++-= ⎪⎝⎭．故答案为：4256． 【点睛】本题考查数列的周期性，考查求周期数列的和，解题时可根据递推公式依次计算数列的项，然后归纳出周期性．19．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数.7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）21n a n =-；（2）2332n nn S +=-. 【分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列{}n a 的通项公式；（2）先由（1）得到n n n a 2n 122-=，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩，即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩，所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-． （2）由（1）得n n n a 2n 122-=， 所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++，① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++，② -①②得：21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭， 所以2332n nn S +=-．易错点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．答案见解析 【分析】选①：由等差数列通项公式得出通项n a 后，解0n a ≥，满足此不等式的最大的n 使得n S 最大，注意若n a 0=，则有两个值使得n S 最大，选②：由等比数列前n 项和公式得出n S ，由于公比是负数，因此按n 的奇偶性分类讨论求得n S 的最大值；选③：由累加法求得n a ，利用n a 的表达式是n 的二次函数形式，当15n ≥时，0n a >，确定n S 不存在最大值. 【详解】 选①因为119n n a a +-=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公差为19-的等差数列.所以()118291999n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭. 由182099n -+≥，得82n ≤，即820a ≥ 所以n S 存在最大值，且最大值为81S 或82S ， 因为818180181936929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为369. 选② 因为113n n a a +=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公比为13-的等比数列. 所以1311933n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1︒当n 为奇数时，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为271143n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为19S =；2︒当n 为偶数的，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+， 且2712719434n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为9. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 以上1n -个等式相加得()()21791171622n n n n n a a -+---+-==， 因为19a =，所以()2173422n n n a n -+=≥，又19a =也满足上式，所以217342n n n a -+=. 当15n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列前n 项和的最大值问题，一种方法是求出n S 的表达式，由函数的性质确定n S 的最大值，一种是利用数列项的性质，如数列是递减的数列，10a >，则满足0n a ≥的最大的n 使得n S 最大． 23．（1）13-=n n a ，3n b n =；（2）1321344n n n T +-=+⋅. 【分析】（1）由数列的递推关系式求出等比数列{}n a 的通项公式，利用等差数列的基本量运算得出{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求出n T ． 【详解】（1）1211n n a S n +=+≥①1212n n a S n -=+≥②①-②得：13n n a a +=，2n ≥ 又因为11a =，23a =所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列所以13-=n n a因为{}n b 为等差数列且39b =，15272b b +=所以有：()111292724b d b b d +=⎧⎨+=+⎩解得：13b =，3d =，所以3n b n =（2）由（1）知3nn c n =⋅213233n n T n =⋅+⋅+⋅①()23131323133n n n T n n +=⋅+⋅+-⋅+⋅②①-②得：2312333...33n n n T n +-=++++-⋅()11131********2n n n n n T n n +++---=-⋅=-⋅-1321344n n n T +-=+⋅【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）()*1(1)2n n a n N --=∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）1p =，1q =-，已知条件可得1(1)nn n a a +-=-，利用累加法及等比数列的求和公式，计算可求数列{}n a 的通项公式；（2）2p =，1q =，121n n a a +=+，化简可得1121n n a a ++=+，通过等比数列的通项公式求得()*21nn a n N =-∈，化简可得11212222n n nn a a +=+≤+-，放缩后，通过分组求和可证得结果. 【详解】（1）∵1p =，1q =-，∴1(1)n n n a a ++-=，即1(1)nn n a a +-=-，∴当2n ≥：12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-，得1(1)12n n a a -+-=，∴11a =，∴1(1)2nn a --=，当1n =：11a =也符合上式，故()*1(1)2n n a n N --=∈（或1,0,nn a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）.（2）∵2p =，1q =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+， 即1121n n a a ++=+，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12nn a +=，即()*21nn a n N=-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---， ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-， 综上说述：()*22n T n n N <+∈.【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和 （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.（4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 26．（Ⅰ）0d =时，n a a =；2d a =时，2n a an a =-；（Ⅱ）不存在，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）根据等差数列写出(1)2n n n dS na -=+，利用等比中项性质列式代入求解；（2）设存在()*2,k k k ≥∈N ，根据等比中项列式，整理化简之后分类讨论0d =与0d >是否成立. 【详解】（Ⅰ）因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S ，又因为数列{}n a 是等差数列，首项1a 为()0a a >，所以(1)2n n n d S na -=+，则()()2246a d a a d +=+，可得0d =或2d a =，当0d =时，n a a =；当2d a =时，2(1)2n a a n a an a =+-=-.（Ⅱ）设存在()*2,k k k ≥∈N，使ln kS、1ln k S +、2ln k S +成等比数列，则122ln l ln n k k k S S S ++=⋅，对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，首项0a >，所以0d ≥因为()22222ln ln ln ln ln 22k k k k k k S S S S S S +++⋅⎡⎤+⎡⎤⋅<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()22211121112ln ln 22k k k k k k k k S dS a a S a S a ++++++++⎡⎤+--+⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当0d =时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k S dS a a S a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；当0d >时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k k S dS a a S dS a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；综上，不存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln kS、1ln k S +、2ln k S +成等比数列.【点睛】关于等比中项性质的运用，需要注意,,a b c 三个数成等比数列，列式得2b ac =，然后再根据数列是等差还是等比数列化为基本量1,a d 或1,a q 计算.。