2019-2020年北京清华附中初三第一学期10月月考数学试题卷

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 3．二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．35．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+26．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．87．如图，▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则△DEF与△BAF 的周长之比为（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：58．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二．填空题（共7小题）9．如果，那么的值为．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．11．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝．12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x… 1 3 5 …y… 1.5 1.5 ﹣2.6 …则a﹣b+c＝．14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是．15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．三．解答题（共12小题）16．解方程：x2﹣3x+1＝0．17．已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝4．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求△ABC的面积．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0．（1）当a﹣b﹣2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．21．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A、B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C，（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB、BC、CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，区域内的整点有个，其坐标为．②当k＝2时，区域W内的整点有个．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．24．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD ⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE ⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝OF＝；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算：OC＝，OF＝．25．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．26．已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．（1）如图，当∠APB＝30°时，①按要求补全图形；②求AB和PC的长．（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为，此时∠APB＝．27．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 【分析】由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：D．3．二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝1【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，从而可以直接写出该函数的对称轴，本题得以解决．【解答】解：二次函数y＝2x2﹣4x﹣2＝2（x﹣1）2﹣4，则该函数的对称轴是直线x＝1，故选：B．4．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．3【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠B＝60°，AC＝3，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝3，∴BC＝＝，∵AB⊥CD，∴CE＝BC•sin60°＝×＝，∴CD＝2CE＝3．故选：D．5．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+2【分析】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a，解得a＝．故原来的抛物线解析式是：y＝x2．设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．解得b＝0（舍去）或b＝4．所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．故选：C．6．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】根据位似变换的性质得到＝，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到＝，所以＝，然后把OC1＝OC，AB＝4代入计算即可．【解答】解：∵C1为OC的中点，∴OC1＝OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴＝，B1C1∥BC，∴＝，∴＝，即＝∴A1B1＝2．故选：B．7．如图，▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则△DEF与△BAF 的周长之比为（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝2，EC＝3，∴AB＝CD＝5，∵AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴△DEF与△BAF的周长之比＝＝，故选：C．8．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】根据图1，从点M、N、P、Q的位置分析得到甲虫运动时距离点M、N、P、Q的距离的变化情况，从而得解．【解答】解：由图可知，A、甲虫与点M的距离先逐渐增大，至点B时最大，然后逐渐变小，与图2不符合；B、甲虫与点N的距离从A到O逐渐变小，从O到B逐渐变大，从B到ON与半圆的交点逐渐变小，然后至点A逐渐变大，且甲虫在点A、B时与点N的距离相等，因此应出现3次与起始距离相等的情况，与图2不符合；C、甲虫与点P的距离从点A至点B减小，从点B至OP与半圆的交点减小，然后增大直至点A，图2不符合；D、甲虫与点Q的距离，从点A值点OB的过点Q与AB的垂线的垂足减小，再至点B增大，从点B值OP与半圆的交点减小，然后至点A一直增大，图2符合．故选：D．二．填空题（共7小题）9．如果，那么的值为 5 ．【分析】利用比例性质得到a﹣b＝4b，则a＝5b，从而得到的值．【解答】解：∵，∴a﹣b＝4b，∴a＝5b，∴＝＝5．故答案为5．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝120°．【分析】先根据圆周角定理求出∠BCD的度数，再由平角的定义即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD＝120°，∴∠BCD＝＝60°．∴∠DCE＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．11．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝﹣1 ．【分析】根据“方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数”，利用一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的等式，解之，再把m的值代入原方程，找出符合题意的m的值即可．【解答】解：∵方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，∴1﹣m2＝0，解得：m＝1或﹣1，把m＝1代入原方程得：x2+2＝0，该方程无解，∴m＝1不合题意，舍去，把m＝﹣1代入原方程得：x2＝0，解得：x1＝x2＝0，（符合题意），∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（2，0）．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故答案为：（2，0）．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x… 1 3 5 …y… 1.5 1.5 ﹣2.6 …则a﹣b+c＝﹣2.6 ．【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则可判断当x＝﹣1和x＝5时函数值相等，所以x＝﹣1时，y＝﹣2.6，然后把x＝﹣1时，y＝﹣2.6代入解析式即可得到a﹣b+c的值．【解答】解：∵x＝1，y＝1.5；x＝3，y＝1.5，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2，∴当x＝﹣1和x＝5时函数值相等，而x＝5时，y＝﹣2.6，∴x＝﹣1时，y＝﹣2.6，即a﹣b+c＝﹣2.6．故答案为﹣2.6．14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是130°．【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACO＝60°﹣，由外角性质可求∠BOC＝40°，即可求解．【解答】解：∵△AOB是等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝＝＝60°﹣，∵∠CAB+∠OBA＝∠COB+∠ACO，∴20°+60°＝∠COB+60°﹣，∴∠BOC＝40°，∵OC＝OA＝OB，∴∠OBC＝70°，∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝130°，故答案为：130°．15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长即可求出MN的长．【解答】解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，∴＝13．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．三．解答题（共12小题）16．解方程：x2﹣3x+1＝0．【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法求解即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1∴b2﹣4ac＝5∴x＝．故，．17．已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值．【分析】把代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7整理得：3（m2+m）﹣8，根据“m 是一元二次方程x2+x＝5的实数根”，得到m2+m＝5，代入3（m2+m）﹣8，计算求值即可．【解答】解：（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7＝4m2﹣1﹣m2+3m﹣7＝3m2+3m﹣8＝3（m2+m）﹣8，∵m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，∴m2+m＝5，原式＝3×5﹣8＝7，即代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值为7．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝4．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）根据余角的性质得到∠ACD＝∠B，根据相似三角形的判定定理即可得到结论△ACD∽△ABC；（2）根据相似三角形的性质得到AB＝5，根据勾股定理得到BC＝＝＝2，由三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A+∠B＝∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝5（负值舍去），∴BC＝＝＝2，∴△ABC的面积＝AC•BC＝＝5．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0．（1）当a﹣b﹣2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案；【解答】解：（1）由题意可知：△＝b2+4a，当a﹣b﹣2＝0时，∴b＝a﹣2，∴△＝（a﹣2）2+4a＝a2+4＞0，该方程有两个不相等的实数根；（2）由（1）可知：b2+4a＝0，∴当b＝2时，∴a＝﹣1，∴该方程为：﹣x2﹣2x﹣1＝0，∴（x+1）2＝0，∴x＝﹣120．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；（2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC＝60°，AD＝2即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝1，∵AD＝2BC＝2，∴sin∠ADB＝，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，∵AD＝2，∴CD＝1，AC＝．21．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．【分析】根据桥拱的对称性和已知数据，以对称轴为纵轴、水面为横轴建立坐标系，使拱顶在坐标原点最简单．【解答】解：正确．抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图．（仅举两例）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A、B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C，（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB、BC、CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，区域内的整点有 1 个，其坐标为（0，0）．②当k＝2时，区域W内的整点有 6 个．【分析】（1）当x＝0，y＝1即可求点（0，1）；（2）①当k＝1时，y＝x+1，x＝1，y＝﹣1，画出函数，可得整数点坐标（0，0）；②当k＝2时，y＝2x+1，x＝2，y＝﹣2，由图象可看出分别6个整数点分别是（0，0），（0，﹣1），（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，0）．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝1，∴直线l与y轴的交点坐标是（0，1）；（2）①当k＝1时，y＝x+1，x＝1，y＝﹣1，∴区域内只有一个整点（0，0）；故答案为1，（0，0）；②当k＝2时，y＝2x+1，x＝2，y＝﹣2，此时区域内有6个整点，分别是（0，0），（0，﹣1），（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，0）；故答案为6．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．【分析】（1）连接OD．证明△AOD是等边三角形即可解决问题．（2）连接OC，CF，EC．证明△CFD是等腰直角三角形即可解决问题．【解答】解：（1）连接OD．∵DC⊥OA，AM＝MO，∴DA＝DO，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°．（2）连接OC，CF，EC．∵OA⊥CD，∴＝，CM＝DM，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，∵∠CDE＝45°，∴CF＝DF，FM＝CM＝DM＝3，DF＝FC＝3，∵∠CED＝∠COD＝60°，∠CFE＝90°，∴EF＝CF＝，∴DE＝EF+DF＝+3．24．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD ⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE ⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝OF＝；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算：OC＝，OF＝．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）构造相似三角形解决问题即可．【解答】解：（1）如图线段CD即为所求．（2）连接AC，BD．由题意AC＝2，DB＝3，CD＝＝2，∵AC∥BD，∴△ACO∽△BDO，∴＝＝，∴OC＝CD＝，∵AC∥DE，∴△ACF∽△EDF，∴＝＝1，∴DF＝CF＝，∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．故答案为，．（3）如图3中，线段AE即为所求．连接BC，作AM∥BC交CD于M．由题意：BC＝1，AM＝2.5，CD＝2，DF＝CF＝，CM＝，∵BC∥AM，∴△BOC∽△AOM，∴＝＝，∴OC＝CM＝．∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．故答案为，．25．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝0 ，点A的坐标为（4，0）．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．【分析】（1）根据题意和题目中的函数解析式可以求得c的值和点A的坐标；（2）根据（1）中点A得坐标和二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，可以求得a的值；（3）根据题意可以求得点B的坐标，然后根据二次函数与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（，0），二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，可以求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，∴当x＝0时，c＝0，将y＝0代入y＝x﹣4，得x＝4，即点A的坐标为（4，0），故答案为：0，（4，0）；（2）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，点A的坐标为（4，0），∴0＝a×42﹣（2a+1）×4，解得，a＝；（3）∵y＝ax2﹣（2a+1）x＝x[ax﹣（2a+1）]，∴函数y＝ax2﹣（2a+1）x过点（0，0）和（，0），∵点A（4，0），点O的坐标为（0，0），二次函数y＝ax2+（2a+1）x（a＞0）的图象与△AOB只有一个公共点，∴＞，a＞0，解得，0＜a＜，即a的取值范围是0＜a＜．26．已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．（1）如图，当∠APB＝30°时，①按要求补全图形；②求AB和PC的长．（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为2+4，此时∠APB＝120°．【分析】（1）①按要求补全图形即可；②作AH⊥PB于H，在Rt△APH中，由直角三角形的性质得出PH＝PA＝1，由勾股定理得出PH＝，得出BH＝3，在Rt△AHB中，由勾股定理得AB＝2；再由旋转的性质和勾股定理求出P'B，即可得出PC的长；（2）把△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，根据旋转的性质得AP'＝AP＝2，P'B ＝PC，∠P'AP＝60°，得出△APP'为等边三角形，得出PP'＝PA＝2，∠APP'＝60°，当P'点在直线PB上时，P'B最大，得出P'B的最大值，即可得出PC的最大值，此时∠APB ＝120°．【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示：②作AH⊥BP于H，如图2所示：在Rt△APH中，∵∠APB＝30°，∴AH＝PA＝1，∴PH＝＝＝，∴BH＝PB﹣PH＝3，在Rt△AHB中，AB＝＝＝2，把△PAC绕点A顺时针旋转60°得△P'AB，连接PP'，如图3所示：则∠APP'＝60°，AP'＝AP，PC＝P'B，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝PA＝2，∵∠APB＝30°，∴∠BPP'＝90°，∴P'B＝＝＝2，∴PC＝2；（2）把△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，则AP'＝AP＝2，P'B＝PC，∠P'AP＝60°，∴△APP'为等边三角形，∴PP'＝PA＝2，∠APP'＝60°，当P'点在直线PB上时，如图4所示：此时P'B最大，最大值为2+4，∴PC的最大值为2+4，此时∠APB＝120°；故答案为：2+4，120°．27．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为40 ．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．【分析】（1）由两点距离公式可求AB长，由正方形的性质可求解；（2）①分两种情况，由两点距离公式和正方形性质可求解；②由题意可得BM＝AM，可得m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，由正方形的性质可求a的取值范围，即可求解．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），∴AB＝＝2，由题意可知，AB是正方形对角线的一半，∴正方形的边长为2，∴正方形的面积为40，∴顶点A、B的“领域”的面积为40；故答案为40；（2）①如图，∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，∴AB与x轴的所成锐角为45°，当点B在A左侧，设B（2﹣a，a），∴AB＝＝a，∵点A、B的“领域”的面积为16，∴16＝，∴a＝2，∴点B（0，2），当点B在点A右侧，设B'（2+a，a）∴AB'＝a，∵点A、B的“领域”的面积为16，∴16＝，∴a＝2，∴点B（4，2），综上所述：B（4，2）或B（0，2）；②如图2，过点B作BM⊥AM，∵∵点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，∴AB与直线x＝2的所成锐角为45°，∴BM＝AM，设点B（a，﹣3a+2），∴AM＝|m+3a﹣2|，BM＝|2﹣a|∴AB＝|2﹣a|，∵点A、B的“领域”的面积不超过16，∴≤16∴0≤a≤4，∵BM＝AM，∴|m+3a﹣2|＝|2﹣a|∴m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，∴﹣12≤m≤4，或﹣8≤m≤0，综上所述：﹣12≤m≤4．。

2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）考生须知：1．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；2．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；3．考试结束后，只需上交答题卷一、选择题（本题共16分,每小题2分)1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；B.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误；C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确.故选：D.【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义.一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.2.一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 2，﹣3，﹣4B. 2，3，4C. 2，﹣3，4D. 2，3，﹣4【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．【详解】解：一元二次方程2x2+3x-4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，-4．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．3.若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【答案】B【解析】【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．【详解】解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE＝2，则AB的长是（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】分析：由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．：解答：如图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE=BE=AB，∵OC=5，CE=2，∴OE=3，在Rt△AOE中，AE==4，∴AB=2AE=8，故选C．点评：本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE5.点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1＝y2＞y3B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＜y2＜y3【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．【详解】解：∵y=-x2+2x-1=-（x-1）2，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选：A．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 100°【答案】B【解析】试题分析：∵OB＝OC，∠OCB＝40°，∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．故选B．7.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF ＝4：25，则DE：EC＝（）A. 2：3B. 2：5C. 3：5D. 3：2【答案】A【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.平行四边形的性质．8.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是【】【答案】D【解析】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒。

C17级数学统练试卷03一、选择题（8小题，每題2分，共16分)1.抛物线y =3(x - 2)2 + 5和顶点坐标是（）A. (-2,5)B. (-2,-5)C. (2,5)D. (2,-5)2.二次函数y=x2 - ax + b中，若a + b=0，则它的图象必经过点（）A. (-1, 1)B.(1, 1)C.(1, -1)D.(-1, -1)3.若x=1是方程ax2 + bx + c = 0的解，则（）A. a + b + c = 1B. a - b + c = 0C. a + b + c = 0D. a - b - c = 04.用配方法解方程x2 - 4x +1 = 0，配方后所得的方程是（）A. (x - 2)2 = 3B. (x + 2)2 = 3C. (x - 2)2 = -3D. (x + 2)2 = -35.关于x的一元二次方程x2 - 3x + m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. m<B. m≤C. m>D. m≥6.如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE:EC=2:3，则S∆DEF : S∆ABF = （）A. 2:3B.4:9C.2:5D.4:257.如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图，等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10 米，如果小明的眼晴距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（）A.10米B.11.7 米C.10米D.(5 + 1.7)米8.如图所示，二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)的图象经过点(-1,2)与x轴交点的横坐标分别为X1，X2，其中-2 < X1 < -1， 0 < X2 < 1 ，下列结论：(1)4a - 2b + c < 0；(2)2a - b < 0； (3)a-2b>0；(4)b2 >4a (c-2)，其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D.4个二、填空題（8小题，每題2分，共16分）9.若二次根式有意义，则x的取值范围是____________.10.如果点P1(2,y1)、P2(3,y2)在抛物线y = - x2 + 2x上，那么y1__y2（填">"、 <"或"="）11.请写岀一个开口向下，对称轴为直线x=1的抛物线解析式，y = ____________。

北京市海淀区清华大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣y=3B．x+=2C．x2﹣2x+1=0D．x﹣1=02．（3分）把抛物线y=（x+3）2+1向上平移2个单位，抛物线的解析式为（）A．y=（x+3）2﹣1B．y=（x+3）2+3C．y=（x+5）2+1D．y=（x﹣3）2+1 3．（3分）已知，AB是⊙O的弦，且OA=AB，则∠AOB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（3分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80°D．60°6．（3分）平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）7．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=1 8．（3分）如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=65°，则∠P为（）A．75°B．60°C．50°D．45°9．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 10．（3分）由四个直径相等的半圆围成的道路如图①所示，小张在道路上匀速行走，他从点C出发，沿箭头所示的方向经过点D再走到点A，共用时40秒，有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小张的走路过程，设小张走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．（3分）请写出一个开口向下且对称轴为y轴的抛物线的解析式．12．（3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为．14．（3分）点P（1，y1）和点Q（2，y2）分别为抛物线y=x2﹣3上的两点，则y1y2（用“＞”或“＜”填空）．15．（3分）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D 对应的刻度值为60°，则∠BCD的度数为．16．（3分）如图所示，已知P是⊙O外一点，求作经过点P且与⊙O相切的直线．小明的作法如下：连接OP，取OP的中点M，以M为圆心，MO为半径作两段圆弧，分别与⊙O 交于A、B两点，连接PA、PB，PA、PB所在的直线即为所求，小明的作法的依据是：．三、解答题（共12小题）17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．18．（5分）如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：AB=CE．19．（5分）在直径为650mm的圆柱形油桶内装进不足半桶油后其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．20．（5分）已知关于x的方程x2+3x+=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．21．（6分）△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1．（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形；（2）在图中做出△ABC的外接圆⊙M，并标注出外接圆的圆心M．22．（6分）二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．（1）求二次函数解析式；（2）在同一直角坐标系中作出二次函数的图象；（3）当自变量x取值范围是时，一次函数值大于二次函数值．23．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．24．（6分）已知关于x的方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+cx+d=0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab=cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x2﹣x﹣6=0与x2﹣2x﹣3=0互为“同根轮换方程”．（1）若关于x的方程x2+4x+m=0与x2﹣6x+n=0互为“同根轮换方程”，求m的值；（2）已知方程①：x2+ax+b=0和方程②：x2+2ax+b=0，p、q分别是方程①和方程②的实数根，且p≠q，b≠0．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a的代数式分别表示p和q；如果不能，请说明理由．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，弦AD的延长线交直线BC于点C．（1）若AB=10，∠ACB=60°，求BD的长；（2）若点E是线段BC的中点，求证：DE是⊙O的切线．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，a）、B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及实数a的值；（2）记抛物线在点A、B之间的部分图象为G（包含A、B两点），直线y=kx+3与G有公共点，结合图形直接写出实数k的取值范围．27．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形F上的点的纵坐标y与其横坐标x 的差y﹣x称为该点的“坐标差”，而该图形上所有点的“坐标差”的最大值称为该图形的“特征值”．（1）①点A（0，1）的“坐标差”为；（直接写出答案）②线段MN：y=2x+1（﹣1≤x≤2）的“特征值”为；（直接出错答案）（2）若二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的公共点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；（3）直接写出圆心为（2，3），半径为2的圆的“特征值”为．28．（8分）在△ABC中，∠C=60°，AC=BC，点D在线段BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE．（1）①依题意补全图1；②探究线段AB、BD、BE之间的数量关系，并写出证明过程．（2）若AB=6，AD=2，求BE的长（直接写出答案）北京市海淀区清华大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．C；2．B；3．C；4．B；5．B；6．D；7．A；8．C；9．D；10．B；二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．y=﹣x2+1；12．x1=0，x2=2；13．1；14．＜；15．60°；16．直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端点，且垂直于半径的直线是圆的切线；三、解答题（共12小题）17．；18．；19．；20．；21．；22．0＜x＜3；23．；24．；25．；26．；27．1；1；1+2；28．；。

北京市清华附中2019-2020学年初三上学期开学考试数学试卷2019北京清华附中初三（上）开学考试数学一、选择题(本题共24分，每小题3分)1.下列四组数可作为直角三角形三边长的是A.4cm、5cm、6cmB.1cm、2cm、3cmC.2cm、3cm、4cmD.1cm、√2cm、√3cm2,己知△ABC(如图1),按照图2图3所示的尺规作图痕迹，(不需要借助三角形全等)就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、下列各图象中，不是y关于x的函数的是4、甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s, 10次测试成绩的方差如下表，则这四个人中发挥最稳定的是选手甲乙丙丁方差（S2）0.020 0.019 0.021 0.0225、在平面直角坐标系中，将抛物线y=-2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线得表达式为A.y=?2(x+1)2+2B. y=?2(x+1)2?2C. y=?2(x?1)2+2D. y=?2(x?1)2?26.缺题7、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1,0)，点C的坐标是(2，4)则B的长A.6B.3√3C.5D.4√28.2018年我国科技实力进一步增加，嫦娥探月、北斗组网、航母测试、鲲龙击水、港珠澳大桥的正式通车……。

这些成就的取得离不开国家对科技研发的大力投入，下图是2014年—2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出及增长速度情况。

2018年我国研究与试验发展(R&D)经费支出为19657亿元，比上年增长11.6%，其中基础研究经费1118亿元。

根据统计图提供的信息，下列说法中合理的是A.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出的增长速度始终在增加B.2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长速度最快的年份是2017年C. 2014—年2018年，我国研究与试验发展(R&D)经费支出增长最多的年份是2017年D.2018年，基础研究经费约占该年研究与试验发展(R&D)经费支出的10%二、填空题(本题共24分，每小题3分)9.如果关于x 的方程x 2-3x-2k=0没有实数根，则k 的取值范围为 . 10.若直线y=2x+1下移后经过点((5,1)，则平移后的直线解析式为.11.如图是二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=12，抛物线与x 轴的交点为A 、B ，则A,B 两点的距离是.12.己知一组据1，4,a,3,5，若它的平均数是3，则这组数据的中位数是. 13.若二次函数y=a x 2-bx+5(a ≠5)的图象与x 轴交于(1,0)，则b-a+2014的值是 . 14.如图，正方形AOCB 的顶点C,A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线。

第1页，总10页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………北京市清华附中2019届九年级10月月考数学测试题考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共8题)的外接圆，⊙OCB ＝40°，则⊙A的大小为（）A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°2. 一元二次方程2x 2+3x ﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．2，﹣3，﹣4B ．2，3，4C ．2，﹣3，4D ．2，3，﹣43. 若要得到函数y ＝(x+1)2+2的图象，只需将函数y ＝x 2的图象( )A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4. 如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊙AB ，垂足为点E ，若CE ＝2，则AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．105. 点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y ＝﹣x 2+2x ﹣1的图象上，则y 1，y 2，y 3的答案第2页，总10页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………大小关系是（ ）A ．y 1＝y 2＞y 3B ．y 3＞y 1＝y 2C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＜y 2＜y 36. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S ⊙DEF ：S ⊙ABF ＝4：25，则DE ：EC ＝（）A ．2：3B ．2：5C ．3：5D ．3：27. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD 方向运动，当P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 点运动的时间为t ，⊙APQ 的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．8. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人 得分一、填空题（共8题)B 的坐标是_____．2. 请写出一个开口向下且经过原点的抛物线解析式_____．3. 二次函数y ＝x 2﹣2x +6化为y ＝（x ﹣m ）2+k 的形式，则m +k ＝_____．4. 如图在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C作一圆弧，圆心坐标是。

2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．78．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在 x = 处取得极值．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B = ． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 C ︒，ϕ= ．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为 ． 14．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 ；()0f x '=的解是 ．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<< 的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-． （1）求函数()f x 的解析式．（2）若[6x π∈，]m ，()f x 的值域是[1-，，求m 的取值范围．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列． （1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ．18．已知函数1()xax f x e -=． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； （2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …．2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <【解答】解：集合{|2}A x x =>， {|(1)(3)0}{|13}B x x x x x =--<=<<，则{|23}A B x x =<<．故选：B ．2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-【解答】解：角θ的终边过点(3,4)P -，则44tan()tan 33y x θπθ-+=-=-=-=， 故选：D ．3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>【解答】解：由图象可知，01a <<，1b >， 故选：A ．4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：函数()y f x =的定义域为R ，若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =，反之不成立，例如2()f x x =．∴ “(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件．故选：B ． 5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．【解答】解：3cos 4α=，(2πα∈-，0)，sin α∴===，3sin 22sin cos 2(4ααα∴==⨯⨯= 故选：D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解答】解：设塔的顶层共有1a 盏灯， 则数列{}n a 公比为2的等比数列， 717(12)38112a S -∴==-，解得13a =． 故选：B ．7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A 选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A 不成立，B 选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B 不成立， C 选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C 成立， D 选项：76>，故不为最少人数，故不成立，故选：C ．8．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…【解答】解：由题意知当0x >时，()()f x ln x a =+，则0a …， 当0x …时，()1a f x a <+…，若0a …，当0x >时，()()f x ln x a lna =+…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根， 则11212a a lna ⎧<+⎪⎪⎨⎪<⎪⎩…，即1212a a a ⎧<⎪⎪⎪-⎨⎪⎪<⎪⎩…，得1122a -<…，0a …，102a ∴<…， 故选：B ．二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x = 1- 处取得极值．【解答】解：函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示， 1x <-时，()0f x '<，1x >-时，()0f x '…， 所以函数只有在1x =-时取得极值． 故答案为：1-．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是 2log 5 ． 【解答】解：由于3021-<<，12132<<，22log 5log 42>=，则三个数中最大的数为2log 5． 故答案为：2log 5． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B 3或3． 【解答】解：在ABC ∆中，13cos 14A =，sin A ∴== 73a b =，sin 7sin 3b A B a ∴===(0,)B π∈， 3B π∴=或23π． 故答案为：3π或23π． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 5- C ︒，ϕ= ．【解答】解：函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b 为常数），∴当51182x +==时，sin()6x πϕ+取得最大或最小值， ∴862k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，解得56k πϕπ=-，k Z ∈， 又02πϕ<<，6πϕ∴=；31a b ∴-=，且sin 13a b π+=，解得13a =，18b =-；1318sin()66y x ππ∴=-+，当2x =时，1318sin(2)5()66y C ππ=-⨯+=-︒．故答案为：5-，6π．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为18． 【解答】解：2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，1122BG BC ∴==，211CD =-=，120BCD ∠=︒， 23BE BC =，16DF DC =， ∴21()()()()36AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC =++=++ 12216336AB AD AB DC BC AD BC DC =+++ 122121cos6021cos011cos6011cos1206336=⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯⨯︒111291331818=++-=， 故答案为：291814．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 (2,4) ；()0f x '=的解是 ．【解答】解：由题意，2DC =，CP x =，6DP x =- CPD ∆，∴262662x xx x x x +>-⎧⎪+->⎨⎪+->⎩，解得(2,4)x ∈如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即()f x==()f x∴'=，令()0f x'=，解得3x=，故答案为：(2,4)，3．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x Aωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x的解析式．（2）若[6xπ∈，]m，()f x的值域是[1-，，求m的取值范围．【解答】解：（1）由函数的最小值为1-，0A>，得1A=，最小正周期为23π，2323πωπ∴==，()cos(3)f x xϕ∴=+，又函数的图象过点1(0,)2，1cos2ϕ∴=，而02πϕ<<，3πϕ∴=，()cos(3)3f x xπ∴=+，（2）由[6xπ∈，]m，可知533633x mπππ++剟，5()cos66fππ==cos1π=-，7cos6π=，由余弦定理的性质得：7336mπππ+剟，∴25918mππ剟，即2[9mπ∈，5]18π．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列． （1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值． 【解答】解：（1）数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列， ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-，即210n S n n =-+，① 2n ∴…时，21(1)10(1)n S n n -=--+-，②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+， 又当1n =时，119a S ==，满足上式， 211n a n ∴=-+；（2）由题意，|||112|n n b a n ==-，∴当15n 剟时，212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+===-+；6n …时，2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ． 【解答】解：（1）8sin()17A C +=， 8sin sin[()sin()17B AC A C π∴=-+=+=， 角B 为锐角， cos 0B ∴>，即15cos 17B ===．（2）ABC ∆的面积为2，118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=， 则172ac =， 6a c +=，2222151717152cos ()2236223617154172217b ac ac B a c ac ac∴=+-=+--=-⨯-⨯⨯=--=， 则2b =．18．已知函数1()xax f x e -=． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）1a =时，1()xx f x e -=，x R ∈， 2()xx f x e -+∴'=， 令()0f x '>，解得：2x <， 令()0f x '<，解得：2x >，()f x ∴在(,2)-∞递增，在(2,)+∞递减；（Ⅱ）由1()xax f x e -=得： 1()xax a f x e -++'=，[0x ∈，1]， 令()0f x '=，0a <，解得：111x a=+<， ①110a+…时，即10a -<…时，()0f x '…对[0x ∈，1]恒成立，()f x ∴在[0，1]递增，()(0)1min f x f ==-；②当1011a<+<时，即1a <-时， x ，()f x '，()f x 在[0，1]上的情况如下：111()(1)aaf x min f ae +∴=+=；综上，10a -<…时，()1min f x =-，1a <-时，11()min aa f x e+=．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； （2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）2()39f x x '=-，()6g x x '=，设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ，0)y ，则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩，解得：015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩，a ∴的值为5或27-；（2）令32()39h x x x x =--，则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-，∴令()0h x '=，得：1x =-或3，列表：()h x ∴的极大值为(1)5h -=，极小值为h （3）27=-，又当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞， 如图所示：∴当5a >或27a -…时，满足题意，∴实数a 的取值范围为：(-∞，27](5,)-+∞．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …． 【解答】解：（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d ， 1220130a a a ++⋯+=，∴120132013()02a a +=，120130a a ∴+=，即10070a =， 1008a d ∴=，当0d =时，与期待数列的条件①②矛盾，当0d >时，据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=， 100610051100622d d ⨯∴+=，即110061007d =⨯， *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯，2013)n …，当0d <时，同理可得100710061007n n a -+=⨯，*(n N ∈，2013)n …．（Ⅲ）当k n =时，显然1||02n S =…成立； 当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+， 即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=…，1||(12k S k ∴=…，2，⋯，)n ．。

2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2+1D．y＝﹣x2﹣12．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°3．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠05．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．40°B．30°C．38°D．15°6．（3分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．27．（3分）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A．8分B．7分C．6分D．5分8．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，AB⊥CD于点E，点M为线段EA上一个动点，连接CM、DM，并延长DM与弦AC交于点P，设线段CM的长为x，△PMC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是．10．（2分）写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：．11．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB 绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为．13．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是．14．（2分）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为单位作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是．15．（2分）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝α中，一定成立的是（填序号）．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，（1）线段OP的长等于（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为．三、解答题（17-23小题每题5分，24-26小题每题6分，27题7分，共60分）17．（5分）画图：（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上，请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′；（2）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形．在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形．18．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB＝寸，CD＝寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．19．（5分）如图，AC是⊙O的直径，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠BAC＝25°．求∠P的度数．20．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD＝60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF＝xcm，DE＝ycm （当x的值为0或3时，y的值为2），探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F与点O重合时，DE长度约为cm（结果保留一位小数）．23．（5分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B′可以恰好落在AB的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．24．（6分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某城市有四个小区E，F，G，H（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，①求抛物线y＝nx2﹣4nx+5n的对称轴；②求n的取值范围．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P，给出如下定义：若r≤PO≤r，则称P为⊙O（1）当⊙O的半径为2时，点A（4，0），B（﹣，0），C（0，3），D（1，﹣1）中，⊙O的“近外点”是；（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径为2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN 上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是（填出满足条件的角的序号）；（2）若∠A＝α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2+1D．y＝﹣x2﹣1【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．【解答】解：把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式是y＝x2+1．故选：A．2．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°【分析】由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．【解答】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C＝35°，∴∠AOB＝2∠C＝70°．故选：D．3．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．4．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0【分析】利用kx2﹣6x+3＝0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选：D．5．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．40°B．30°C．38°D．15°【分析】根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数．【解答】解：由题意得，∠AOD＝30°，∠BOC＝30°，又∠AOC＝100°，∴∠DOB＝100°﹣30°﹣30°＝40°，故选：A．6．（3分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．2【分析】由题意可得OP⊥AB，AP＝BP，根据勾股定理可得AP的长，即可求AB的长．【解答】解：如图：连接OP，AO∵AB是⊙O切线∴OP⊥AB，∴AP＝PB＝AB在Rt△APO中，AP＝＝∴AB＝2故选：A．7．（3分）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A．8分B．7分C．6分D．5分【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于2.66小于3.23之间，由此不难找到答案．【解答】解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．故选：C．8．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，AB⊥CD于点E，点M为线段EA上一个动点，连接CM、DM，并延长DM与弦AC交于点P，设线段CM的长为x，△PMC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】△PMC的面积＝△PCD的面积﹣△OCD的面积．把特殊值CM＝2时，计算出△PMC的面积，然后利用排除法进行解题．【解答】解：如图所示：当CM＝2时，点M与圆心O重合．在直角△CEO中，∠CEO＝90°，CE＝，OC＝2，则由勾股定理得到：OE＝＝，所以，S△OCD＝CD×OE＝×2×＝2．∴S△OCE＝1，S△OAC＝，∴S△PMC＜S△OAC，即S△PMC＜1．观察选项，只有A符合题意．故选：A．二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣1，2）．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）可以直接得到答案．【解答】解：∵点P（1，﹣2），∴关于原点的对称点的坐标是：（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）．10．（2分）写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：y＝x2（答案不唯一）．【分析】设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据a＞0时开口向上，可取a＝1，将（0，0）代入得出c＝0，即可得出二次函数表达式．【解答】解：设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵图象为开口向上，且经过（0，0），∴a＞0，c＝0，∴二次函数表达式可以为：y＝x2（答案不唯一）．故答案为：y＝x2（答案不唯一）．11．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为110°．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．【解答】解：∵∠B＝110°，∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB 绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为（0，1）．【分析】根据旋转的性质即可得到结论．【解答】解：∵将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），∴∠AOA′＝90°，∴∠BOB′＝∠AOA′＝90°，∴B′（0，1），故答案为：（0，1）．13．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是2．【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的半径是2，故答案为：2．14．（2分）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为单位作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．．【分析】直接利用基本作图方法分别分析得出答案．【解答】解：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．故答案为：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．15．（2分）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝α中，一定成立的是①③（填序号）．【分析】如图，连接OC，设OB交CD于K．利用全等三角形的性质以及圆周角定理一一判断即可；【解答】解：如图，连接OC，设OB交CD于K．∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA，∴△AOB≌△COD（SSS），∴∠CDO＝∠OBA，∵∠DKO＝∠BKE，∴∠DOK＝∠BEK＝α，即∠BOD＝α，故①正确，不妨设，∠OAB＝90°﹣α，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBE+∠BEK＝90°，∴∠BKE＝90°，∴OB⊥CD，显然不可能成立，故②错误，∵CD＝AB，∴＝，∴＝，∴∠ABC＝∠DOB＝α，故③正确．故答案为①③．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，（1）线段OP的长等于m（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为3．【分析】（1）根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果；（2）当P为OC与⊙C的交点时，OP最小；根据勾股定理求出OC，即可得出结果．【解答】解：（1）∵∠APB＝90°，A（﹣m，0），B（m，0），∴OP为Rt△ABP斜边上的中线，∴OP＝AB＝OB＝m；故答案为：m；（2）当P为OC与⊙C的交点时，OP最小；作CM⊥x轴于M，如图所示：则∠OMC＝90°，∴OC＝＝5，∴OP＝5﹣2＝3；故答案为：3．三、解答题（17-23小题每题5分，24-26小题每题6分，27题7分，共60分）17．（5分）画图：（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上，请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′；（2）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形．在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形．【分析】（1）在网格中画旋转90°的图形，要运用网格里的垂直关系，要检查各对应点与原点的连线是否互相垂直且相等即可；（2）利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案即可，注意本题答案不唯一．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图所示：18．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO＝OB＝x寸，先根据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．【解答】解：根据题意得：AB＝1寸，CD＝10寸；故答案为：1，10；（2）连接CO，如图所示：∵BO⊥CD，∴．设CO＝OB＝x寸，则AO＝（x﹣1）寸，在Rt△CAO中，∠CAO＝90°，∴AO2+CA2＝CO2．∴（x﹣1）2+52＝x2．解得：x＝13，∴⊙O的直径为26寸．19．（5分）如图，AC是⊙O的直径，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠BAC＝25°．求∠P的度数．【分析】先根据切线长定理得到P A＝PB，则利用等腰三角形的性质得∠P AB＝∠PBA，再根据切线的性质得∠CAP＝90°，于是利用互余计算出∠P AB＝65°，然后根据三角形内角和定理计算∠P的度数．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，∵P A为切线，∴CA⊥P A．∴∠CAP＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠P AB＝90°﹣∠BAC＝65°，∴∠P＝180°﹣2∠P AB＝50°．20．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+16x（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．【分析】（1）设AB边的长度为x米，CB的长为（16﹣x）米，利用矩形的面积公式列出矩形面积y与x的关系式；（2）利用配方法求得函数的最大值即可．【解答】解：（1）y＝（16﹣x）x＝﹣x2+16x；（2）∵y＝﹣x2+16x，∴y＝﹣（x﹣8）2+64．∵0＜x＜16，∴当x＝8时，y的最大值为64．答：矩形ABCD的最大面积为64平方米．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．【分析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠1＝∠2＝∠F＝30°，求出AD＝DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ADO，∴∠1＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴OD⊥ED，∵OD过0，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，CD＝BD，∵CD＝BF，∴BF＝BD，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠4＝2∠3，∵∠ODF＝90°，∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠2＝∠F，∴DF＝AD，∵∠1＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2ED，∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，∴AD＝2，∴DF＝2．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD＝60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF＝xcm，DE＝ycm （当x的值为0或3时，y的值为2），探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F与点O重合时，DE长度约为 3.5cm（结果保留一位小数）．【分析】（1）先求出OF＝1，利用勾股定理求出DF，进而求出∠ODF＝30°，进而判断出DE过点O 即可得出结论；（2）利用画函数图象的方法即可得出结论；（3）先作出图形，进而求出OD＝2，进而利用锐角三角函数求出DM，即可得出DE＝2即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，（为了说明点C和点O重合，DE没画成过点O）连接OD，当x＝1时，AF＝1，∵OA＝2，∴OF＝OA﹣AF＝1，∵DF⊥AB，∴∠DFO＝90°，在Rt△OFD中，OD＝2，OF＝1，根据勾股定理得，DF＝＝，∴tan∠ODF＝＝＝，∴∠ODF＝30°，在Rt△CFD中，∠ACD＝60°，∴∠CDF＝30°，∴∠CDF＝∠ODF，∴DE过点O，∴DE是⊙O的直径，∴DE＝2OD＝4，∴y＝4，故答案为4.00；（2）描点，连线，得出函数图形如右图所示，（3）如图2，∵点F和点O重合，∴OD＝OA＝2，过点O作OM⊥DE于M，∴DE＝2DM，∵∠ACD＝60°，∴∠ODE＝90°﹣∠ACD＝30°，在Rt△OMD中，cos∠ODE＝，∴DM＝OD•cos∠ODE＝2×cos30°＝，∴DE＝2DM＝2≈3.5，故答案为：3.5．23．（5分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B′可以恰好落在AB的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．【分析】（1）利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△CBB′是等边三角形，进而得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出sin∠CAD＝＝，即可得出∠CAD＝30°，进而得出α的度数．【解答】解：（1）将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，∴CB＝CB′∵点B′可以恰好落在AB的中点处，∴点B′是AB的中点．∵∠ACB＝90°，∴CB′＝AB＝BB′，∴CB＝CB′＝BB′，即△CBB′是等边三角形．∴∠B＝60°．∵∠ACB＝90°，∴∠A＝30°；（2）如图，过点C作CD⊥AA′于点D，点C到AA′的距离等于AC的一半，即CD＝AC．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，sin∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°，∵CA＝CA′，∴∠A′＝∠CAD＝30°．∴∠ACA′＝120°，即α＝120°．24．（6分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某城市有四个小区E，F，G，H（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．【分析】（1）本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答；（2）中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）；（3）根据△EFH是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．【解答】解：（1）如图所示：（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．（3）此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）．理由如下∠HEF＝∠HEG+∠GEF＝48°+33.88°＝81.88°，∠EHF＝50°，∠EFB＝48.12°，∴△EFH是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，设此外接圆为⊙O，直线EG与⊙O交于点E，M，则∠故点G在⊙O内，从而⊙O也是四边形EFGH的最小覆盖圆．所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，①求抛物线y＝nx2﹣4nx+5n的对称轴；②求n的取值范围．【分析】（1）根据题意分别求出A（0，﹣3），B（0，3），即可确定C点坐标；（2）求出对称轴为x＝2，顶点为（2，n）；根据n的范围，分3种情况①当n＞3时，抛物线最小值为n＞3，与线段BC无交点；②当n＝3时，抛物线顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与直线BC有两个交点，若抛物线经过点B （0，3），则n＝，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；若抛物线经过点（3，3），则n＝，此时抛物线与线段BC有两个公共点．【解答】解：（1）由题意可求A（0，﹣3），∴B（0，3），∴l为y＝3，∴C（3，3）；（2）y＝nx2﹣4nx+5n＝n（x﹣2）2+n，∴对称轴为x＝2，顶点为（2，n），①当n＞3时，抛物线最小值为n＞3，与线段BC无交点；②当n＝3时，抛物线顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与直线BC有两个交点，若抛物线经过点B（0，3），则n＝，∵抛物线对称轴x＝2，∴抛物线经过点（4，3），∵点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；若抛物线经过点（3，3），则n＝，∵抛物线对称轴x＝2，∴抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点；综上所述：当n＜时，抛物线与线段BC有一个公共点．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P，给出如下定义：若r≤PO≤r，则称P为⊙O（1）当⊙O的半径为2时，点A（4，0），B（﹣，0），C（0，3），D（1，﹣1）中，⊙O的“近外点”是B，C；（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径为2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN 上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围．【分析】（1）先求出r＝3，再分别求出OA，OB，OC，OD，再判断即可得出结论；（2）先求出OE，用圆的“近外点”满足的条件建立不等式组求解即可；（3）先判断出直线MN中OM＞ON，进而得出点M和点G是圆O的“近外点”的分界点，再分两种情况讨论计算．【解答】解：（1）∵⊙O的半径为2，∴r＝3，∵A（4，0），∴OA＝4＞3，∴点A不是⊙O的“近外点”，B（﹣，0），∴OB＝，而2＜＜3，∴B是⊙O的“近外点”，C（0，3），∴OC＝3，∴点C是⊙O的“近外点”，D（1，﹣1），∴OD＝＝＜2，∴点D不是⊙O的“近外点”，故答案为：B，C；（2）∵E（3，4），∴OE＝＝5，∵点E是⊙O的“近外点”，∴，∴≤r≤5；（3）如图，∵直线MN的解析式为y＝x+b，∴OM＞ON，①点N在y轴坐标轴时，当点M是⊙O的“近外点”，此时，点M（﹣2，0），将M（﹣2，0）代入直线MN的解析式y＝x+b中，解得，b＝，即：b的最小值为，过点O作OG⊥M'N'于G，当点G是⊙O的“近外点”时，此时OG＝3，在Rt△ON'G中，∠ON'G＝60°，∴ON'＝＝2，b的最大值为2，∴≤b≤2，②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出，﹣2≤b≤﹣，即：．27．（7分）在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是③（填出满足条件的角的序号）；（2）若∠A＝α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据旋转的性质即可得出结论；（2）先判断出MA＝MB＝MC＝AC，进而得出∠A＝∠ABM＝α，即：∠BMC＝∠A+∠ABM＝2α，再判断出∠BOC＝∠BMC＝2α，判断出点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上，即可得出结论；（3）先判断出∠DEC＝∠ACB＝90°﹣α，再判断出∠MBC＝∠ACB＝90°﹣α，进而判断出∠MBE+∠BED＝180°，得出BF∥DE，即可判断出四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，OC，OD，OE，由旋转知，旋转角为∠BOC＝∠AOD＝∠COE，故答案为③；（2）如图2，连接BM，OB，OC，OE，在Rt△ABC中，点M是AC中点，∴MA＝MB＝MC＝AC，∴∠A＝∠ABM＝α，∴∠BMC＝∠A+∠ABM＝2α，∵点M和点O关于直线BC对称，∴∠BOC＝∠BMC＝2α，∵OC＝OB＝OE，∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上，∴∠BEC＝∠BOC＝α；（3）MN＝BE，理由：如图3，连接BM并延长至点F，使BM＝MF，连接FD，∵∠A＝α，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∴∠DEC＝∠ACB＝90°﹣α，由（2）知，∠BEC＝α，∴∠BED＝∠BEC+∠DEC＝90°，∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠CEB＝α，∵MB＝MC，∴∠MBC＝∠ACB＝90°﹣α，∴∠MBE＝∠MBC+∠CBE＝90°，∴∠MBE+∠BED＝180°，∴BF∥DE，∵BF＝2BM，AC＝2BM，∴BF＝AC，∵AC＝DE，∴BF＝DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DF＝BE，∵BM＝MF，BN＝ND，∴MN＝DF，∴MN＝BE．。

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠03．二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．35．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+26．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．87．如图，▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则△DEF与△BAF的周长之比为（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：58．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二．填空题（共7小题）9．如果，那么的值为．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．11．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝．12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x… 1 3 5 …y… 1.5 1.5 ﹣2.6 …则a﹣b+c＝．14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是．15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．三．解答题（共12小题）16．解方程：x2﹣3x+1＝0．17．已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝4．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求△ABC的面积．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0．（1）当a﹣b﹣2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．21．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A、B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C，（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB、BC、CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，区域内的整点有个，其坐标为．②当k＝2时，区域W内的整点有个．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．24．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝OF＝；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算：OC＝，OF＝．25．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．26．已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．（1）如图，当∠APB＝30°时，①按要求补全图形；②求AB和PC的长．（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为，此时∠APB＝．27．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．。

2024北京清华附中初三10月月考数 学（清华附中初22级）一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 用配方法解方程2610x x +−=，变形后结果正确的是（ ） A. ()2310x +=B. ()237x +=C. ()2310x −=D. ()237x −=3. 如果两个相似三角形的面积之比为9:4，那么这两个三角形的周长之比为（ ） A. 81:16B. 27:12C. 9:4D. 3:24. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. 23(x 4)1y =+−B. 23(4)1y x =++C. 23(4)1y x =−−D. 23(4)1y x =−+5. 如果()11,M y −，()22,N y 是正比例函数y kx =的图象上的两点，且12y y >．那么符合题意的k 的值可能是( ) A.13B. 1C. 3D. 2−6. 如图，在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒，对角线AC BD ，交于点O ，E 为CD 的中点，连接OE ，则AOE ∠的度数为（ ）A. 114︒B. 120︒C. 123︒D. 147︒7. 已知0b >时，二次函数221y ax bx a =++−的图象如下列四个图之一所示．根据图分析，a 的值等于．．．．（ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 28. 如图，在Rt ABC △中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △，连接EF ，若AED AEF △≌△，下列结论：①45DAE =︒∠；②ABD EAF △∽△；③BE CD DE +=；④222BE CD DE +=．其中正确的是（ ） A. ①②③B. ②③④C. ①②D. ①②④二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 在平面直角坐标系中，点()3,4P −关于原点对称的点的坐标是______． 10. 二次函数2246y x x =−+−的最大值是______． 11. 如图，ABCD 中，延长BC 至E ，使得12CE BC =．若2CF =，则DF 的长为_______．12. 2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元．设人均可支配年收入的平均增长率为x ，根据题意列出方程得 ____________________．13. 已知点()11,P y −，()23,Q y 在一次函数()10y kx k =+≠的图象上，且12y y <，则k 的值可以是______．（写出一个即可）．14. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作OE AD ⊥，垂足为E ，若6AB =，则OE 的长为______．15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边20cm DE =，10cm EF =，测得边DF 离地面的高度 1.5m AC =，6m CD =，则树高AB 是______m ．16. 某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如表所示：_________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要_________分钟．三、解答题（本题共72分，其中17、18、19、21、22、23题每小题5分，20、26题每小题6分，25、26题每小题7分，27、28题每小题8分）17. 解方程：2520x x −+=．18. 如图，已知△ABC 顶点的坐标分别为A （1，－1），B （4，－1），C （3，－4）．（1）将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AB 1C 1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的11AB C ∆,并写出点1B 的坐标：1B ；（2）以坐标原点O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的222A B C ∆，使得它与△ABC 的位似比等于2：1 .19. 二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：（1）直接写出c ，m 的值； （2）求此二次函数的解析式．20. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m+3）x+m+2=0． （1）求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m 的值．21. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边AB 上任意一点，连接CE ，点F 为CE 的中点，过点F 作MN CE ⊥，MN 与AB 、CD 分别相交于点M 、N ，连接CM 、EN ．（1）求证：四边形CNEM 为菱形；（2）若10AB =，4=AD ，当2AE =时，求EM 的长．22. 如图，某班级门口有一块长为20厘米、宽为15厘米的小型长方形优秀事迹展板，展板上粘贴上下左右对齐两排的6个长方形且面积都为18平方厘米的班级学生主要事迹贴纸，若要求学生的主要事迹贴纸之间以及到上下左右的宽度都相等（设为x 厘米），如图所示，求宽度x ．23. 某高校要选派一位同学去参加首都高校校园文化演讲，为了选出综合素质最高的一名同学进行演讲，先对所有报名的同学进行了笔试，再对笔试90分以上（含90分）的同学进行面试．小强、小亮、小旭三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100）分别是98，94，90．之后组织了十位评委对小强、小亮、小旭三位同学面试表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．之后对这三位同学的面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．评委给小强同学打分如下：10，10，9，8，8，8，7，7，6，6b．评委给小亮、小旭两位同学打分的折线图如下图：c．小强、小亮、小旭三位同学面试情况统计表：（1）直接写出表中m，n的值；（2）在面试中，如果评委给某个同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：小强、小亮、小旭三位同学中，评委对_________的评价更一致（填“小强”、“小亮”或“小旭”）；（3）在笔试和面试两项成绩中，按笔试成绩占40%，面试成绩占60%，计算小强、小亮、小旭的综合成绩，综合成绩最高的是_________（填“小强”、“小亮”或“小旭”）．=，点D为BC中点，作点D关于线段AC的对称点F，连接DF交AC 24. 如图，在ABC中，AB AC∥交AC、AB于H、G．于E，过点F作FG BC=；（1）求证：CE EH（2）若3BC =，1CE =，求GH 的长．25. “夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日．某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，100cm 高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x （单位：度），影长为y （单位：cm ），x 与y 的部分数据如下表：（1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x 和影长y 之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中，画出此函数的图象；（2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，100cm 高的物体的影长约为______cm （精确到0.1）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了100cm 高的物体的影长均为40cm ，那么他们生活的地区纬度差约是______度．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221y ax mx =−−经过点()1,22P m −−， （1）求a 的值；（2）己知点()11,A m y −−，()224,B m y +在此抛物线上，当11m −<<时，比较1y ，2y ，1−的大小，并说明理由．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，P 为线段BC 上的动点（不与点C 重合），将线段AP 绕点A 顺时针旋转α得到线段AQ ．（1）如图1，当P 是BC 中点时，连接BQ ，求证：BP BQ =；（2）过点Q 作直线QM AC ∥，交直线BC 于点M ，在射线MB 上取一点N ，使得2MN CP =，连接QN ．请补全图2，直接写出MQN ∠的大小并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，Q 是x 轴正半轴上一点，对于四边形ABCD 边上的点P 和图形W （点P 不在x 轴上），给出如下定义：若POQ α∠=，将图形W 绕点P 逆时针旋转α得到图形M ，则称图形M 是图形和点P 的“关联图”．如图，点()1,1A ，()1,1B −，()1,1C −−，()1,1D −．（1）点()11,2N −，()222N ,，331,2N ⎛⎫⎪⎝⎭，(4N 中，在四边形ABCD 和点()0,1E 的“关联图”上的点是__________；（2）已知点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，3G t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． ①若线段OF 关于点P 的“关联图”在四边形ABCD 的内部（包含边界），设点P 的横坐标的最小值为m ，纵坐标的最大值为n ，直接写出n m −的值__________；②当OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部（包含边界）时，锐角α的最大值是60︒，请直接写出t 的取值范围__________．参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】D【分析】本题考查了轴对称、中心对称图形的定义，掌握相关定义是解题的关键．“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，据此找出图中的轴对称图形；“ 把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此找出图中的中心对称图形即可解答题目． 【详解】A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C 、不是中心对称图形，但是轴对称图形，不符合题意； D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 故选：D ． 2. 【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案． 【详解】解：2610x x +−= 即261x x +=， ∴26919x x ++=+， ∴()2310x +=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解此题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为9:4， ∴两个相似三角形的相似比为3:2， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴这两个三角形的周长之比为3:2， 故选：D ． 4. 【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．【详解】将抛物线23y x =先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是23(4)1y x =−+．故选：D ． 5. 【答案】D【分析】本题考查了正比例函数的性质，由12x x <时，12y y >，根据正比例函数的增减性，得到0k <，即可得到答案．【详解】解：∵()11,M y −，()22,N y 是正比例函数y kx =的图象上的两点，且12y y >． ∴0k <， 故选：D ． 6. 【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．由菱形的性质求得33DBC ∠=︒，90AOD ∠=︒，根据三角形中位线定理得到OE BC ∥，求得33DOE ∠=︒，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒， ∴1332DBC ABC ∠=∠=︒，90AOD ∠=︒，O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点，∴OE 是DBC △的中位线， ∴OE BC ∥，∴33DOE DBC ∠=∠=︒， ∴9033123AOE ∠=︒+︒=︒， 故选：C ． 7. 【答案】B【分析】本题难度中等，考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围，先根据所给条件和图象特征，判断出正确图形，再根据图形特征求出a 的值． 【详解】解：因为前两个图象的对称轴是y 轴，所以02ba−=，又因为0a ≠，所以0b =，与0b >矛盾； 第三个图的对称轴02ba−>，0a >，则0b <，与0b >矛盾； 故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将(0,0)代入解析式，得：210a −=，解得1a =±， 由于开口向下，1a =−．故选：B ．8. 【答案】D【分析】先求出90,45BAC ABC C ︒︒∠=∠=∠=，再根据旋转和全等的性质得到1452DAE EAF FAD =∠=∠=︒∠，即可判断①；AFE BDA ∠=∠，45EAF ABD ∠=∠=︒，即可判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到BF CD =，EF DE =，再根据三角形三边关系即可判断③；证明90EBF ABF ABC ∠=∠+∠=︒，在Rt BEF △中，利用勾股定理和等量代换即可判断④． 【详解】解：在Rt ABC △中，AB AC =， ∴90,45BAC ABC C ︒︒∠=∠=∠=，∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴90FAD ∠=︒， ∵AED AEF △≌△， ∴1452DAE EAF FAD =∠=∠=︒∠， 故①正确；∵AED AEF △≌△， ∴AFE BDA ∠=∠， 又∵45EAF ABD ∠=∠=︒， ∴ABD EAF △∽△， 故②正确；∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴BF CD =， ∵AED AEF △≌△， ∴EF DE =，在BEF △中，BE BF EF +>， ∴BE CD DE +>， 故结论③错误；∵将ACD 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABF △， ∴45ABF C ∠=∠=︒，BF CD =， ∴90EBF ABF ABC ∠=∠+∠=︒， ∴在Rt BEF △中，222BE BF EF +=， ∴222BE CD DE +=， 故结论④正确，综上可知，正确的是①②④， 故选：D【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 【答案】(3,−4)【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点(),x y 关于原点对称的点的坐标为(),x y −−求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点()3,4P −关于原点对称的点的坐标是()3,4−，故答案为：()3,4−．10. 【答案】4−【分析】先求出对称轴，再求出最大值即可．【详解】∵2246y x x =−+−∴二次函数2246y x x =−+−开口向下，在顶点处有最大值，∵二次函数2246y x x =−+−对称轴为直线4122x ，∴当1x =时，2464y =−+−=−，即最大值为：4−，故答案为：4−．【点睛】本题考查二次函数的性质和最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11. 【答案】4【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，AD BC ∥， 12CE BC =， 12CE AD ∴=， AD CE ∥，ADF ECF ∴∽，∴AD DF CE CF=2=， 2CF =，24DF CF ∴==，故答案为：4．12. 【答案】()26.5817.96x +=【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元”列方程求解．【详解】解：由题意得：()26.5817.96x +=，故答案为：()26.5817.96x +=．13. 【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查了一次函数的性质，由13−<时，12y y <，得y 随x 的增大而增大，则0k >，然后取值即可，根据正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．【详解】解：∵点()11,P y −，()23,Q y 在一次函数()10y kx k =+≠的图象上，∴当13−<时，12y y <，∴y 随x 的增大而增大，∴0k >，∴取1k =，故答案为：1（答案不唯一）．14. 【答案】3【分析】首先根据矩形的性质得到OA OD =，然后利用等腰三角形三线合一性质得到AE DE =，然后证明出OE 是ABD △的中位线，进而求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴OA OD =∵OE AD ⊥∴AE DE =∵OB OD =∴OE 是ABD △的中位线 ∴132OE AB ==． 故答案为：3．【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15. 【答案】4.5【分析】根据相似三角形的判定及性质可得3BC =（m ），进而可求解．【详解】解：90FED BCD ∠=∠=︒，且D D ∠=∠，FED BCD ∴∽，EF DE CB DC ∴=，即：0.10.26CB =， 解得：3BC =（m ），3 1.5 4.5AB BC AC ∴=+=+=（m ），∴树高AB 是4.5m ，故答案为：4.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．16. 【答案】 ①. 29 ②. 48【分析】本题主要考查统计的知识，理解题意是解题的关键；在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所需时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床铺”2个步骤所需时间的和．【详解】解：在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为1086529+++=（分）； 若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，甲完成四间客房“打扫卫生”需40分钟，甲完成一间客房“打扫卫生”需10分钟，随后乙、丙进行其他三个步骤，可完成四间客房整理床铺、更换客用物品的工作，其中一人完成四间客房整理床铺需32分钟，可再完成两间客房检查设备的工作，一人完成四间客房更换客用物品需24分钟，也可再完成两间客房检查设备的工作，所以若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要40848+=（分）；故答案为29；48．三、解答题（本题共72分，其中17、18、19、21、22、23题每小题5分，20、26题每小题6分，25、26题每小题7分，27、28题每小题8分）17. 【答案】152x =，252x −=【详解】首先找出方程中得a 、b 、c ，再根据公式法求出b 2﹣4ac 的值，计算x = 2b a−，即可得到答案．∵a =1，b =－5，c =2()2245412170b ac −=−−⨯⨯=＞∴代入求根公式得， ()521x −−===⨯∴152x +=，252x −= “点睛”当一元二次方程方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，且a ，b ，c 都是常数）的二次项的系数不为1或是无理数时，优先考虑公式法.18. 【答案】（1）作图见解析；B （1， 2）；（2）作图见解析.【详解】分析：（1）由题意得，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AB 1C 1．则AB 1⊥AB ，AC 1⊥AC ，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A 2B 2C 2，可以得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．详解：（1）如图： B 1（1，2），（2）如图点睛：此题主要考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A 1，B 1，C 1的坐标是解决问题的关键．19. 【答案】（1）4c =，52m =；（2）219(1)22y x =−++或2142y x x =−−+ 【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可求得c 的值，根据抛物线的对称性即可求得m 的值；（2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【详解】解：（1）根据图表可知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（0，4），（-2，4）， ∴对称轴为直线2012x −+==−，c=4， ∵（-3，52）的对称点为（1，52）， ∴m=52； （2）∵对称轴是直线x=-1， ∴顶点为（-1，92）， 设y=a （x+1）2+92， 将（0，4）代入y=a （x+1）2+92得，a+92=4， 解得a=-12， ∴这个二次函数的解析式为y=-12（x+1）2+92． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．20. 【答案】(1)见解析；(2) m=-1.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1>0，由此即可证出：无论实数m 取什么值，方程总有两个不相等的实数根；（2）利用分解因式法解原方程，可得x 1=m ，x 2=m+1，在根据已知条件即可得出结论．【详解】（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+2）=（m+1）2∴无论m 取何值，（m+1）2恒大于等于0∴原方程总有两个实数根（2）原方程可化为:(x-1)(x-m-2)=0∴x 1=1, x 2=m+2∵方程两个根均为正整数,且m 为负整数∴m=-1.【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与根据因式分解法解一元二次方程.21. 【答案】（1）证明见解析（2）5【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．（1）根据已知证明EFM CFN △≌△，证得EM CN =，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CNEM 是平行四边形，然后证明NE NC =，即可证得结论；（2）10AB =，2AE =，则8BE =，设EM MC x ==，则8BM x =−，利用勾股定理求出x 即可解答．【小问1详解】证明：矩形ABCD 中，AB DC ，MEF NCF ∴∠=∠，EMF CNF ∠=∠，点F 为CE 的中点，EF CF ∴=，EFM CFN ∴≌，EM CN ∴=，∴四边形CNEM 为平行四边形，MN CE ⊥于点F ，EF CF =，NE NC ∴=，∴四边形CNEM 为菱形；【小问2详解】解：四边形CNEM 是菱形，EM CM ∴=，四边形ABCD 是矩形，4AD BC ∴==，90B ，10AB =，2AE =，8BE ∴=，设EM MC x ==，则8BM x =−，在Rt BMC 中，222BM BC CM +=， 即2224)8(x x −+=，解得5x =，EM ∴的长为5．22. 【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移的观点，把6个长方形平移在一起，成为一个一个新的长方形，则长和宽分别是()204x −米和()153x −米，根据面积公式即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()()826015143x x −=⨯−，整理得210160x x −+=，解得12x =，28x =（不符合题意，舍去）故宽度x 为2．23. 【答案】（1）79，9（2）小旭 （3）小亮【分析】本题考查了求中位数、求方差、求加权平均数，熟练掌握求法是解此题的关键．（1）将小强的成绩全部相加即可得出m 的值，根据中位数的定义即可得出n 的值；（2）分别求出三人面试成绩的方差，比较即可得出答案；（3）分别求出三人数为最终成绩，进行比较即可得出答案．【小问1详解】解：由题意可得：10109888776679m =+++++++++=，将小亮的面试成绩按从小到大排列如下：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，故9992n +==； 故答案为：79，9【小问2详解】 解：79107.9x =÷=小强，()()()()()2222222107.997.9387.9277.9267.9 1.8910S ⨯−+−+⨯−+⨯−+⨯−==小强，85108.5x =÷=小亮，()()()()()22222268.5278.588.5398.53108.5 1.8510S −+⨯−+−+⨯−+⨯−==小亮，87108.7x =÷=小旭，()()()2222588.7398.72108.70.6110S ⨯−+⨯−+⨯−==小旭，222S S S ∴>>小强小旭小亮，故评委对小旭的评价更一致；故答案为：小旭【小问3详解】解：小强的成绩为：9840%7960%39.247.486.6⨯+⨯=+=（分），小亮的成绩为：9440%8560%37.65188.6⨯+⨯=+=（分），小旭的成绩为：9040%8760%3652.288.2⨯+⨯=+=（分），86.688.288.6<<，∴综合成绩最高的是小亮．故答案为：小亮24. 【答案】（1）见详解 （2）13GH = 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；（1）由轴对称可知DE FE =，则有()ASA DCE FHE ≌，然后问题可求证；（2）连接AD ，交FG 于点M ，由题意易得32BD CD ==，AD BC ⊥，由（1）可得3,12HF CD EH CE ====，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】证明：∵点D 关于线段AC 的对称点F ，∴DE FE =，DFAC ⊥，∵FG BC ∥，∴EDC F ∠=∠， ∵CED HEF ∠=∠，∴()ASA DCE FHE ≌，∴CE EH =；【小问2详解】解：连接AD ，交FG 于点M ，如图所述：∵点D 为BC 中点，3BC =， ∴32BD CD ==，AD BC ⊥， ∵FG BC ∥，∴AM GH ⊥，ABC AGH ACB AHG ∠=∠=∠=∠，∴AG AH =，∴GM MH =，∵DCE FHE ≌， ∴3,12HF CD EH CE ====， ∵90,DEC ADC ACD DCE ∠=∠=︒∠=∠，∴DCE ACD ∽， ∴CD CE AC CD=，即2CD CE AC =⋅， ∴94AC =， ∴14AH AC CH =−=， ∵FG BC ∥， ∴AMH ADC ∽，∴114994MH AH CD AC ===， ∴16MH =， ∴123GH MH ==． 25. 【答案】（1）见解析 （2）30.0（3）44【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键； （1）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象；（2）结合函数图象找到40x =时，y 的值即可；（3）结合函数图象找到40y =时，x 的值，再作差即可；【小问1详解】解：函数的图象如下：【小问2详解】解：根据（1）中图象可得：当40x =时，30.0y ≈，故答案为：30.0（答案不唯一）；【小问3详解】解：根据（1）中图象可得：当40y =时，1x ≈或45x ≈，45144−=，故答案为：44（答案不唯一）；26. 【答案】（1）1a =−（2）211y y <<−，理由见解析【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．（1）把()1,22P m −−代入221y ax mx =−−，即可得到答案；（2）由（1）得到()222211y x mx x m m =−−−=−++−，当1x m =−−时，122y m =−，当24x m =+时，2282417y m m =−−−，则21y y −24913m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质得到当11m −<<时，249103m ⎛⎫−++< ⎪⎝⎭，则当11m −<<时21y y <，由221m −<−得到1221y m =−<−，即可得到答案．【小问1详解】解：∵抛物线221y ax mx =−−经过点()1,22P m −−，∴把点()1,22P m −−代入221y ax mx =−−得到， 2221m a m −=+−，解得，1a =−；【小问2详解】由（1）得到抛物线221y ax mx =−−为()222211y x mx x m m =−−−=−++−， 当1x m =−−时，()1222112y m m m m =−−−++−=−，当24x m =+时，()222224182417y m m m m m =−+++−=−−−， ∴()2122282417292415y y m m m m m −=−−−−−=−−−24913m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭ 当249103m ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭时，解得1m =−或53m =−， 即抛物线24913y m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭与x 轴交于点()1,0−和5,03⎛⎫− ⎪⎝⎭，如图，∵抛物线24913y m ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭开口向下，∴当11m −<<时，249103m ⎛⎫−++< ⎪⎝⎭， ∴当11m −<<时，210y y −<，即21y y <， ∵11m −<< ∴201m <<， ∴221m −<− ∴1221y m =−<− ∴211y y <<−27. 【答案】（1）见详解 （2）图见详解，90MQN ∠=︒，过程见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、 （1）由题意易得11,22AP AQ BAP BAC QAP =∠=∠=∠，然后可证()SAS BAP BAQ ≌，然后问题可求证；（2）按题意画出图形，连接BQ ，作QB QD =，交CN 于点D ，由题意易得()SAS BAQ CAP ≌，则有QBA C ABC ∠=∠=∠，12BQ CP MN ==，然后可得QD DN DM ==，进而问题可求解． 【小问1详解】证明：由旋转可知：,AP AQ QAP BAC α=∠==∠， ∵AB AC =，点P 是BC 中点， ∴1122BAP BAC QAP ∠=∠=∠， ∴BAP BAQ ∠=∠， ∵AB AB =，∴()SAS BAP BAQ ≌， ∴BP BQ =； 【小问2详解】 解：由题意可得如图：连接BQ ，作QB QD =，交CN 于点D ， ∵,AP AQ QAP BAC α=∠==∠，∴,QAB QAP BAP PAC BAC BAP ∠=∠−∠∠=∠−∠，即QAB PAC ∠=∠， ∵AB AC =，∴()SAS BAQ CAP ≌，∴QBA C ABC ∠=∠=∠，12BQ CP MN ==， ∵QB QD =，∴2QBD QDB C ∠=∠=∠， ∵QM AC ∥， ∴C QMD ∠=∠，∴DQM QDB QMD C QMD ∠=∠−∠=∠=∠， ∴QD DM =， ∴12DM QD BQ MN ===， ∴点D 是MN 的中点， ∴QD DN DM ==，∴,N DQN DQM DMQ ∠=∠∠=∠，由三角形内角和可知22180DQN DQM ∠+∠=︒， ∴90DQN DQM ∠+∠=︒，即90∠=︒NQM ． 28. 【答案】（1）24,N N（2；②11t −≤≤【分析】（1）由题意得：90α=︒，此时正方形ABCD 绕点()0,1E 逆时针旋转90︒得到的关联图形M 仍为正方形，()1,1A 的对应点为()10,2A ，()1,1B −的对应点为()10,0B ，点()1,1C −−的对应点()12,0C ，点()1,1D −的对应点()12,2D ，即可确定；（2）①分类讨论，分别讨论点P 在正方形的四条边上，画出示意图进行分析，找出临界状态，多动点，固定变量，一个一个分析即可；②由①可知，只有P 落在CD 或AD 边上，OF 关于点P 的“关联图”才在正方形ABCD 内部，要使OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部，且α的最大值为60︒，故P 一定会在CD 上，当60POF ∠=︒，此时α不能增大，即移动点G 时，不能使得G '仍然落在正方形ABCD 内部，则此临界状态时，G '一定落在BC 上．由G t ⎛ ⎝⎭可知点G 在直线3y =上运动，记为直线l ，记直线l 与y 轴交于点M ，过点P 作PN l ⊥，由勾股定理建立方程221533t t +=++P 落在AD 上时，1t =−，均可满足G O F '''△在正方形ABCD 内部，综上所述：11t −≤≤． 【小问1详解】 解：如图，由题意得：90α=︒，此时正方形ABCD 绕点()0,1E 逆时针旋转90︒得到的关联图形M 仍为正方形，()1,1A 的对应点为()10,2A ，()1,1B −的对应点为()10,0B ，点()1,1C −−的对应点()12,0C ，点()1,1D −的对应点()12,2D ，当()12,0C 时，连接1,CE EC ，记CD 与y 轴交于点R ， 则11,2CR OE ER OC ====， 而190CRE EOC ∠=∠=︒， ∴1CRE EOC △≌△， ∴1EC EC =， ∴1CER EC O ∠=∠，∴11190CER CE O EC O CE O ∠+∠=∠+∠=︒， ∴点()1,1C −−的对应点()12,0C ， 同理可证明点()1,1D −的对应点()12,2D ，∴()11,2N −，()22,2N 在四边形ABCD 和点()0,1E 的“关联图”上， 故答案为：()11,2N −，()22,2N ； 【小问2详解】解：①当点P 在AD 上时，连接,PO DO ，∵四边形ABCD 是正方形，∴045α<≤︒，OP OD ≤==∴1OP <≤当点P 与点D 重合时，即45α=︒，此时点O 的对应点'O 在CD 上，且()11O '−，如图：随着点P 在AD 上运动，画图可知O F ''在正方形内部运动，直至点F '落在AD 上，如图：如上图，此时POQ FPF α'∠=∠=， ∵PTF OTP ∠=∠， ∴PTF OTP △∽△， ∴PT TFOT PT=， ∴211122PT TO TF =⨯=⨯=，∴2PT =，∴当点P 在AD 上运动时，12P y −≤≤， 当点P 在AB 边上时，此时45135α︒≤≤︒，即点P 在AB 两个端点处，α取得最小值和最大值，1OP OA ≤≤=随着α增大，作图可发现O F ''会远离AB ，如图：当点P 运动到AB ，点O '恰好落在点A ，但此时点F '仍在正方形的外部，∴当点P 在AB 边上时，线段OF 关于点P 的“关联图”不可能在正方形ABCD 的内部； 当点P 在BC 边运动时，∵135180α︒≤<︒，O F ''会更加远离正方形ABCD ，如图：∴点P 在BC 边运动时，线段OF 关于点P 的“关联图”不可能在正方形ABCD 的内部； 当点P 在CD 边上时， ∵OPO POQ α'∠=∠=， ∴O P OF '∥，如图：当点P 运动到CD 中点时，此时O '落在点C 处，F 点落在点112⎛⎫−− ⎪⎝⎭，处，随着点P 继续接近点D ，O F ''始终在正方形ABCD 内，如图：∴点P 在CD 边上时，01P x ≤≤，综上所述：点P 横坐标最小值为0，纵坐标最大值为2n =，∴2n m −=，故答案为：2；②由①可知，只有P 落在CD 或AD 边上，OF 关于点P 的“关联图”才在正方形ABCD 内部， ∴要使OFG △关于点P 的“关联图”和OFG △都在四边形ABCD 的内部，且α的最大值为60︒， ∴P 一定会在CD 上，如图所示，当60POF ∠=︒，此时α不能增大，即移动点G 时，不能使得G '仍然落在正方形ABCD 内部，则此临界状态时，G '一定落在BC 上．由,3G t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭可知点G 在直线3y =上运动，记为直线l ，记直线l 与y 轴交于点M ， 过点P 作PN l ⊥，∴在Rt OMG △中，由勾股定理得：2222133GO G O t t ⎛⎫==+=+ ⎪ ⎭'⎝'⎪， ∵60POQ α∠==︒，CD x ∥轴， ∴60OPR ∠=︒， ∴30ROP ∠=︒， ∴2OP PR =， 设,2RP x OP x ==，则在Rt ORP △中，由勾股定理得：1OR ==，∴3x =，∴3OP =，∴11333CO CP PO ''=−=+−=−，在Rt CG O '△中，由勾股定理得：22221113CG t t ⎛=+−−=+ ⎝⎭'，∴在Rt CG P '△中，由勾股定理得：22221113G P t t ⎛'=−++=+ ⎝⎭，在Rt GNP △中，222251333GP t t ⎛⎫⎛=−++=−++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 由旋转得G O P GOP ''△≌△， ∴GP G P '=，∴221533t t ++=+解得：13t =−， 当点P 落在AD 上时，1t =−，均可满足G O F '''△在正方形ABCD 内部，∴综上所述：11t −≤≤．故答案为：11t −≤≤． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，难度很大，重点理解题意，根据旋转的不变性，进行画图分析，对分类讨论的思想要求较高．。