刚体习题课

计算题
1、轴承光滑的定滑轮，质量为M =1.00kg，半径为R = 0.10m。 一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，一端系有一质量 为m = 2.00kg的物体，已知定滑轮的转动惯量 J 1 MR 2,其初角 2 速度ω0=5.00rad/s ，方向垂直纸面向里。 求：1）定滑轮的角加速度。 2）定滑轮角速度变化到零时，物体上升的高度。M R 0 解：1）研究定滑轮的转动。分析 所受力矩。取滑轮转动方向为正。 由转动定律：
A
Md
E p mghc
2、基本原理：
1）刚体角动量原理：
M外
dL dt
t2 L M 外 d t
t1
刚体定轴转动角动量原理：
d Lz Mz dt
Lz J z 22 J z11 M z d t
t1
t2
2）刚体的角动量守恒定律：
若 M外 0 ，则L为常矢量。
√
M J
l M mg cos 2
mg
9、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A滑轮 挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F＝Mg．设A、B 两滑轮的角加速度分别为βA和βB，不计滑轮轴的摩擦，则有
√
(A)β A＝ β B． (B) β A＞ β B． (C) β A＜ β B． (D) 开始时β A＝ β B，以后β A＜ β B．
i
b 动能定理： F dr Ek a
质点的运动
转动定律： M z J d( Jω) 角动量原理： Mz dt 角动量守恒： J C
b 动能定理： M d Ek
刚体的定轴转动

a
机械能守 恒：
7、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，射来两个 质量相同，速度大小相同，方向相反的子弹，子弹射入圆盘 并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度：
A）增大。 B）不变。
m
M
m
o
√
C）减小。 D）不能确定。
8 、均匀细棒 OA 可绕通过其一端 O 而与棒垂直的水平固定光滑 轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到 竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ A）角速度从小到大，角加速度从大到小． B）角速度从小到大，角加速度从小到大． θ C）角速度从大到小，角加速度从大到小． D）角速度从大到小，角加速度从小到大．
2
Jz Jx J y
常用的转动惯量： 1) 均匀细棒 o
1 2 J o mL 3
o
o
1 J o mL2 12
1 J o mR 2 2
2）均匀圆盘 （圆柱体）： 3）圆环：
o o
J o mR2
（薄圆筒）
4）均匀球体：
2 J o mR 2 5
5）薄球壳：
练习：求下列各刚体对O 轴的转动惯量：
1 T3 m2 ( g a) M 2 a 2
3、A、B 两圆盘可分别绕 O1 ， O2 轴无摩擦地转动。重物 C 系在绳上（绳不伸长），且与圆盘边缘之间无相对滑动。已 知 A、B 的半径分别为 R1 ，R2 ，A 、 B、C 的质量分别 为 m1 ，m2 ，m，求：重物 C 由静止下降 h 时的速度 v 。
一、基本概念：
刚体：在任何外力作用下, 形状大小均不发生改变的物体。 是特殊的质点系。
刚体转动惯量：刚体对某定轴的转动惯量等于刚体上各质点 的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积的总和。
J mi ri
刚体定轴转动角动量：
2
Lz J
刚体的转动动能： Ek转 1 J 2 2 力矩的功： 刚体的重力势能:
F
o
o
m v
Mg
Mg
合外力不为零，则系统的动量不守恒。
合外力矩不为零，则系统的角动量不守恒。
mg
m
在转动过程中只有重力作功，则系统的机械能守恒。
第五章练习题
1、 一人站在旋转平台的中央，两臂侧平举，整个系统以 2πrad/s的角速度旋转，转动惯量为 6.0 kg· m2．如果将 双臂收回则系统的转动惯量变为2.0 kg· m2．此时系统的 转动动能与原来的转动动能之比Ek / Ek0为 (A) (C) 2 (D) 3． 2 (B) 3
A
B
M
F
10、一质量为m的均质细杆，A端靠在光滑的竖直墙壁上，B端 置于粗糙水平地面上而静止，杆身与竖直方向成角度θ,则A端 对墙壁的压力大小为 。 N

A G
1 mg tan 2
B
11、一轻绳绕于半径为 r 的飞轮边缘，并以质量为m的物体挂在 绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量 为J，若不计算摩擦，飞轮的角加速度β = (
D］
5、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关 B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关． C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置． D）取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关 [ C ] 6 、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平 地二哑铃．在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、 哑铃与转动平台组成的系统的 A）机械能守恒，角动量守恒． B）机械能守恒，角动量不守恒． C）机械能不守恒，角动量守恒． D）机械能不守恒，角动量也不守恒．［ C ］
2、刚体定轴转动定律： 1. 隔离法分析研究对象 基本步骤： 2. 建立坐标系 3. 列出分量运动方程 具体应用时应注意以下问题： 1) 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。 2) 选定转轴的正方向, 以便确定力矩或角加速度, 角速度的正负。 3) 当系统中既有转动物体, 又有平动物体时, 用隔 离法解题. 对转动物体用转动定律建立方程, 对 平动物体则用牛顿定律建立方程。
1 2 E J mghc C 2
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
dr v 速度 dt dv 加速度 a dt
质量m, 力F 力的功 A
质点的运动
刚体的定轴转动
d 角速度 dt d 角加速度 dt
转动惯量J , 力矩M 力矩的功A

b
a
F dr

b
a
M d
动能
1 2 Ek mv 2
1 2 转动动能 Ek J 2
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二)
运动定律： F ma d (mv ) 动量定理： F dt 动量守恒： mi vi C
o o
l 2
l

m
l 2
o R
m
m1
m2
1 l 2 1 l 2 l l 2 1 7 2 J m1 ( ) m2 ( ) m2 ( ) m1l m2l 2 3 2 12 2 2 4 12 12
o
2 J o mR 2 3
1 2 1 J ml mR 2 m(l R ) 2 3 2
√
角动量守恒
2 J11 J 22 3 1
1 2 J 2 2 Ek 1 9 2 3 Ek 0 1 J 2 3 1 1 1 2
L2 EK 2J
2、一半径为R、质量为M的圆盘可绕中心轴旋转。圆盘上距离 转轴为R/2处站有一质量为m的人。设开始时圆盘与人相对于地 面以角速度ω0匀速转动，则此人走到圆盘边缘时，人和圆盘一 2 1 R 2M m 2 起转动的角速度为（ ） L0 MR 0 m 0 0 2 2 2 M 4m 1 L MR 2 mR 2 2 3、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个
刚体定轴转动角动量守恒定律：
若 M z 0 ，则Lz J 常量。
3） 刚体定轴转动定律：
M J
4）刚体定轴转动的动能定理：
1 1 2 2 A M d Ek J J0 2 2
合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。
5）刚体的机械能守恒定律: 若刚体在转动过程中, 只有重力矩做功, 则刚体系统 机械能守恒.

mgr J mr 2
)
T r J mg T ma
12、一轻绳绕于半径 r = 0.2m 的飞轮边缘，并施以 F = 98N 的拉力，若不计摩擦，飞轮的角加速度等于 39.2rad/s2，此飞轮的转动惯量为（

0.5kgm2
0.5kgm2
）
Fr J
F
J
Fr
力的矢量和为零，则此刚体 [
A）必然不会转动 C）转速必然改变
D
]
B）转速必然不变 D）转速可能改变，也可能不变。
4、 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， A）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变． B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小． C）它受热或遇冷时，角速度均变大． D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大．［
3、刚体定轴转动角动量原理与角动量守恒定律：
注意区分： 角动量守恒与动量守恒的条件。 1）光滑水平面上有一静止的细杆，若在细杆两端施加 一对大小相等，方向相反的力，问在细杆运动过程中， 细杆的动量是否守恒，对杆中心点O的角动量是否守恒？ 动能是否守恒？ F
o
F
合外力为零，则系统的动量守恒。
机械能守恒：
Ek E p const .
Ek E pC const .
三、基本计算：
1、转动惯量的计算： 若质量离散分布： （质点，质点系） 若质量连续分布： 平行轴定理： 正交轴定律：
2 J＝ m r ii i
J r2 d m