刚体的定轴转动习题课.ppt

单位: 单位:rad / s 角速度
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ

20 30 30 15 20 30
21(m)
yc
mi yi mi
20 10 30 0 20 30
4(m)
12
例2 试求非均匀棒的质心位置。设棒长为L，棒的单位
长度质量与x的函数关系为 x 2，式中β为常数。
解 坐标轴如图所示。在棒x
处取一线元dx ,其质量元
L
为dm dx x 2dx
解： 利用转动惯量可迭加性
O
I I细杆 I圆盘
ml
∴
I
1 ml 2 3
1 2
mR
2
ml
R2
185 96
ml
2
mR
该系统的质心位置=？
先计算细杆的质心(杆的中点)和园盘的质心(盘心)，
然后再求两者组成的系统质心位置。
30
例7 如图，四个质点安装在质量忽略不计的轻质圆形框架上，求： （1）此系统对通过圆心并垂直纸面轴的转动惯量；（2）绕通过此 系统质心并垂直纸面轴的转动惯量。(练习四、4)
I r2 dm
线分布
dm λdx,
λ m, L
I r2dx
面分布 体分布
dm σdS, σ m , S
I r2σdS
dm ρdV,
ρ m, V
I r2ρdV
其中：、、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。 21
例1 求一质量为m，长为 l 的均匀细棒的转动惯量。(1)轴 通过棒的中心并与棒垂直。(2)轴通过棒的一端并与棒垂 直。
1
1）刚体运动的描述(刚体运动学)。 2）刚体的质心运动。 3）刚体定轴转动的转动定律。 4）角动量守恒定律。 5）刚体定轴转动的功和能
2
6-1 刚体的运动 (刚体运动的描述)

绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O

动到 0 / 3 时，所经过旳时间t= 2J /(k0) .
解： 依题意，有 M k2 J
k2 J
0 /3 k02 / 9J
由 d k2 dt J
dt
J
k
2
d
t
0
dt
0 /3 0
J
k 2
d
t 2J k0
5-5 一种滑轮，半径为10cm，转动惯量为1.0×10-2kg·m2，有一
为 J = mR2/2；轴旳质量忽视不计；压力 F 均匀分布在轮面上．
解：以轮心为中心，r 为半径，取宽为 dr 旳细环,
细环上压力 dF (F π R2) 2π r dr
轴
轮 粗糙平面
细环上摩擦力 df dF 2(F R2 )r dr
df 对轴旳力矩 dM r df 2(F R2 )r 2dr
m
4L
⑵ 机械能守恒
1 (mL2 2
1 mL2 )
3
2
1 2
mgL
(1
cos
)
mgL
(1
cos
)
1 cos 02
4gL
cos 1 1
02
4gL
5-16 如图所示, 一质量 m、长 l 旳匀质细杆, 以 O 点为轴, 在与
竖直方向成 0角处从静止自由下摆，
O
到竖直位置时与光滑桌面上一质量也为 m
dt 3R
t
0 dt 0 d
d 2g t
dt 3R
d
t 2g tdt
0
0 3R
g t2
3R
5-11 以力 F 将一块粗糙平面紧压在轮上, 平面与轮之间旳滑动摩
擦系数为 , 轮旳初角速度为0 , 问: 转过多少角度时轮即停止转

c
mg
解 : ( 1)棒在任意位置时的重力 矩
l M mg cos 2
M J 1 2 ml 3

3g cos 2l
1 1 2 d (2) mg cos ml 2 3 dt 1 d d 1 2 d ml 2 ml 3 d dt 3 d
分离变量积分
A
O
x
l
A
l
dx
h A
x
l
dx
B
O x l
dx
A l A x
O
x l
dx h A
l
dx
B
O x l
dx
解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如棒的质量线 密度为，这长度元的质量为dm=dx。 （1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有
J 0 r dm l / 2 x dx
合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。
在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。
二、定轴转动的转动定律
取刚体内任一质元i，它所受合外力为 F ， 内力为 f 。 i i
只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。 ( , ) z 对mi用牛顿第二定律：
Fi f i mi ai
= 2m。组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴o转动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边 缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体 A和B，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长
度不变。已知r =10cm 。
求：（1）组合轮的角加速度； （2）当物体上升h=0.4m时，组合轮的角速度。
1 2 J 2
线动量

➢ 在冲击等问题中M in M exL 常量
➢ 动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律.
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
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应用事例 常平架上的回转仪
A
LB
C
B
C
精确制导
A
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
m r
2 刚体定轴转动的动量矩
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
i
L J
z
转动的动量矩定理
由刚体定轴转动定律 M J d
dt
M d(J) dL
dt dt
刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.
将上式变形后积分
Mdt d(J) dL
t2 t1
Mdt
J2
子o
弹 击 入 杆
v
以子弹和杆为系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒．
o'
圆 锥 摆
T
m oR
p v
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒．
例1 一质量为 m 的登月飞船，在离月 球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采 用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向 外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相 切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船所 喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
vB (R h)v0 R 1 709 m s1
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的 过程中，机械能守恒

转动惯量的特性
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例

偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解： 角动量守恒：
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒：
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力 作用下，各个质元的相对位置保持不变。 因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
（线质量分布）
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d，则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量，等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和：
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示：利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于 水平位置，然后让它自由下落。求： ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ

2J
yc
m(R
l )2 2
R
l
R
m
m
2( 2 mR2 mR2 mlR ml2 )
5 14 mR2 2mlR ml2
4
(2)J //
2J y//
2
2 5
mR2
5
2
4 mR2
5
39
例4：从一个半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为R的
圆板，所形成的圆洞中心在距薄板中心R/2处，所剩薄
▲ 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动， 整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
6
7
三、 刚体的定轴转动
定轴转动：
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。
角位移，角速度和角加速度均相同； 特点： 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周
运动。
角位移
角速度
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
11
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+αt 得
0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数
N 分别为
板的质量为m，求此时薄板对于通过原中心而与板面垂
直的轴的转动惯量。
JO
J DO
J dO
1 2
MR 2
1
2
md
R 2
2
md
(
R )2 2
1 2
MR 2
3 2
md
R 2