35知识讲解_空间直角坐标系_基础

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题05 平面直角坐标系【知识要点】考点知识一平面直角坐标系的基础有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。

【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。

平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。

两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。

平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。

坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。

象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。

按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。

点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。

考点知识二 点的坐标的有关性质（考点） 性质一 各象限内点的坐标的符号特征性质二 坐标轴上的点的坐标特征 1.x 轴上的点，纵坐标等于0； 2.y 轴上的点，横坐标等于0； 3.原点位置的点，横、纵坐标都为0. 性质三 象限角的平分线上的点的坐标1．若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 2．若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 1.在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；X点A 、B 的纵坐标都等于m ；2.在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；性质五 点到坐标轴距离在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 1.点P 到x 轴的距离为b ； 2.点P 到y 轴的距离为a ；3.点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a性质六 平面直角坐标系内平移变化P （b a ,）abxy OXYABmXYCDn性质七 对称点的坐标1. 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；2. 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3.点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；小结： XP X-X【考点题型】考点题型一 用有序数对表示位置【解题思路】要确定位置坐标，需根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．典例1．（2021·湖北宜昌市中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．A ．小李现在位置为第1排第2列B ．小张现在位置为第3排第2列C ．小王现在位置为第2排第2列D ．小谢现在位置为第4排第2列限(x,0)(0,y )(0,0)纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同 x ＞0 y ＞0 x ＜0 y ＞0 x ＜0 y ＜0 x ＞0 y ＜0 (m,m) (m,-m )变式1-1．（2018·广西柳州市中考模拟）初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（）A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）变式1-2．（2017·北京门头沟区一模）小军邀请小亮去他家做客，以下是他俩的对话：小军：“你在公交总站下车后，往正前方直走400米，然后右转直走300米就到我家了”小亮：“我是按照你说的走的，可是走到了邮局，不是你家…”小军：“你走到邮局，是因为你下公交车后朝向东方走的，应该朝向北方走才能到我家…”根据两人的对话记录，从邮局出发走到小军家应( )A．先向北直走700米，再向西走100米B．先向北直走100米，再向西走700米C．先向北直走300米，再向西走400米D．先向北直走400米，再向西走300米考点题型二求点的坐标典例2．（2021·天津中考真题）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是()0,6，点C在第一象限，则点C的坐标是（）0,0，()A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6变式2-1．（2021·山东滨州市·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M ，到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，则点M 的坐标为（） A ．()4,5-B ．(5,4)-C ．(4,5)-D ．(5,4)-变式2-2．（2021·湖北襄阳市模拟）如图，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为()4,0，点C 的坐标为()4,4，点D 在y 轴上，则点B 的坐标为（）A ．(4,2)B ．(2,8)C ．(8,4)D ．(8,2)变式2-3．（2021·广东二模）已知点2,24()P m m +-在x 轴上，则点Р的坐标是（） A ．()4,0B ．()0,8C ．()4,0-D ．()0,8-变式2-4．（2021·广西一模）点M （3，1）关于y 轴的对称点的坐标为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（3，﹣1）C ．（﹣3．﹣1）D ．（1，3） 考点题型三 点的坐标的规律探索【解题思路】考查坐标的规律探索，解题的关键是根据题意找到坐标的变化规律. 典例3．（2021·山东中考真题）如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2021的坐标为（）A ．（﹣1008，0）B ．（﹣1006，0）C ．（2，﹣504）D ．（1，505）变式3-1．（2021·山东菏泽市·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1变式3-2．（2021·辽宁阜新市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C 100的坐标为( )A ．121200,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()600,0C ．12600,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1200,0考点题型四 判断点的象限【解题思路】各象限内点的坐标的符号特征需记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．典例4．（2021·湖南株洲市·中考真题）在平面直角坐标系中，点(,2)A a 在第二象限内，则a 的取值可以．．是（ ） A ．1B ．32-C ．43D ．4或-4变式4-1．（2021·江苏扬州市中考真题）在平面直角坐标系中，点()22,3P x +-所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式4-2．（2021·湖北黄冈市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点(,)A a b -在第三象限，则点(,)B ab b -所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式4-4．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知0,0a b ab +>>，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A ．(),a bB ．(),a b -C ．(),a b --D ．(),a b - 考点题型五 点坐标的有关性质1.坐标轴上的点的坐标特征1．（2017·四川中考模拟）如果点P(a －4，a)在y 轴上，则点P 的坐标是( ) A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(－4,0)D ．(0，－4)2．（2018·广西柳州十二中中考模拟）点P （m +3，m +1）在x 轴上，则点P 坐标为（ ） A ．（0，﹣4）B ．（4，0）C ．（0，﹣2）D ．（2，0）3．（2021·甘肃中考真题）已知点(224)P m m ，﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（ ） A ．(40)，B ．(04)，C ．40)(-，D ．(0,4)- 4．（2021·甘肃中考模拟）已知点P （m+2，2m ﹣4）在x 轴上，则点P 的坐标是（ ） A ．（4，0）B ．（0，4）C ．（﹣4，0）D ．（0，﹣4）5．（2021·广东华南师大附中中考模拟）如果点P (m +3，m +1)在平面直角坐标系的x 轴上，则m ＝( )A ．﹣1B ．﹣3C ．﹣2D ．0 2.象限角的平分线上的点的坐标1. 已知点A （-3+a ，2a+9）在第二象限角平分线上，则a=_________2．（2018·广西中考模拟）若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( )A ．(2，2)B ．(－2，－2)C ．(2，2)或(－2，－2)D ．(－2，2)或(2，－2) 3.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征1．（2021·广西中考模拟）已知点A （a ﹣2，2a +7），点B 的坐标为（1，5），直线AB ∥y 轴，则a 的值是（ ） A ．1B ．3C ．﹣1D ．52．（2018·天津中考模拟）如果直线AB 平行于y 轴，则点A ，B 的坐标之间的关系是（ ）A ．横坐标相等B ．纵坐标相等C ．横坐标的绝对值相等D ．纵坐标的绝对值相等3．（2021·广东华南师大附中中考模拟）已知点A （5，﹣2）与点B （x ，y ）在同一条平行于x 轴的直线上，且B 到y 轴的距离等于4，那么点B 是坐标是（ ）A ．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）B ．（4，2）或（﹣4，2）C ．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D ．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）4．（2021·江苏中考模拟）若线段AB ∥x 轴且AB ＝3，点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标为（ ）A ．（5，1）B ．（﹣1，1）C ．（5，1）或（﹣1，1）D ．（2，4）或（2，﹣2）5．（2018·江苏中考模拟）已知点M （﹣1，3），N （﹣3，3），则直线MN 与x 轴、y 轴的位置关系分别为（ ）A ．相交，相交B ．平行，平行C ．垂直，平行D ．平行，垂直4.点到坐标轴距离1．（2018·天津中考模拟）已知平面内不同的两点A （a +2，4）和B （3，2a +2）到x 轴的距离相等，则a 的值为( )A ．﹣3B ．﹣5C ．1或﹣3D ．1或﹣52．（2018·江苏中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-3．（2017·北京中考模拟）点P 是第二象限的点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，则点P 的坐标是（ ）A．（﹣3，4）B．（3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（4，﹣3）4.（2012·江苏中考模拟）在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到x轴的距离为( ) A．3B．－3C．4D．－45.平面直角坐标系内平移变化1．（2021·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）2.（2021·北京中考模拟）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1,1)将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2,2)，则点B′的坐标为() A．(－5,4) B．(4,3) C．(－1，－2) D．(－2，－1)3．（2015·广西中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（）A．(2，5)B．(－8，5)C．(－8，－1)D．(2，－1)4．（2016·四川中考真题）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）5．（2018·武汉市东西湖区教育局中考模拟）在坐标系中，将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标（）A．（2,4）B．(1,5)C．(1,-3)D．(-5,5)6.对称点的坐标1．（2021·广东中考模拟）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（﹣1，2）D ．（﹣2，1）2．（2021·山东中考模拟）已知点P （a +1，2a ﹣3）关于x 轴的对称点在第二象限，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜B ．﹣＜a ＜1C ．a ＜﹣1D ．a >3．（2014·广西中考真题）已知点A （a ，2013）与点B （2014，b ）关于x 轴对称，则a+b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．34．（2018·广西中考模拟）已知点P(a ＋l ，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是（ ）A ．a 1<-B ．31a 2-<<C ．3a 12-<<D ．3a 2> 5．（2021·辽宁中考模拟）已知点P （m ﹣1，4）与点Q （2，n ﹣2）关于x 轴对称，则m n 的值为（ ）A ．9B ．﹣9C ．﹣19D ．196．（2018·四川中考模拟）平面直角坐标系中，与点（2，﹣3）关于原点中心对称的点是（ ）A ．（﹣3，2）B ．（3，﹣2）C ．（﹣2，3）D ．（2，3）。

空间直角坐标系【教学目标】1。

掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法;通过本节的学习,培养学生类比,迁移，化归的能力。

2.解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想，进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与,大胆探索的精神.【重点难点】教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.教学难点:通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标，以及相关应用。

【课时安排】1课时【教学过程】导入新课大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车,汽车要低得多，原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题：空间直角坐标系。

推进新课新知探究提出问题①在初中,我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示?②在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示?③在空间,我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.⑤观察图2，建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示.②在初中，我们学过平面直角坐标系，平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy，xOy 称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直；②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面，它们是一对有序实数(x,y）.③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系，即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2，OABC—D′A′B′C′是单位正方体，我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系，以O 为原点，分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA，OC，OD′的长为单位长度，建立三条数轴Ox，Oy，Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz,其中O叫坐标原点，x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，我们又得到三个坐标平面xOy平面，yOz平面,zOx 平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素，即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定。

【课题】4.3.1空间直角坐标系【教材】人教A版普通高中数学必修二第134页至136页.【课时安排】1个课时.【教学对象】高二〔上〕学生.【授课教师】***一．教材分析：本节内容主要引入空间直角坐标系的根本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的根底上进展推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的根底。

空间直角坐标系的知识是空间解析几何的根底，与平面解析几何的内容共同表达了"用代数方法解决几何问题〞的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形严密结合，提供一个度量几何对象的方法。

其对于沟通高中各局部知识，完善学生的认知构造，起到了很重要的作用。

二．教学目标：✧知识与技能（1）能说出空间直角坐标系的构成与特征；（2）掌握空间点的坐标确实定方法和过程；（3）能初步建立空间直角坐标系。

✧过程与方法（1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究；. z.（2）类比学习，循序渐进。

情感态度价值观（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。

（2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。

（3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。

三．教学重点与难点：教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。

教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。

四．教学方法：启发式教学、引导探究五．教学根本流程：↓. z.六．教学情境设计：. z.〔二〕引导探究，动手实践约6分钟思考：借助于平面直角坐标系，我们就可以用坐标来表示平面上任意一点的位置，则能不能仿照直角坐标系的方式来表示空间上任意一点的位置呢？不妨动手试一试……思路点拨：通过在地面上建立直角坐标系*Oy，则地面上任一点的位置可以用一对有序实数对〔*，y〕确定。

平面直角坐标系二、知识重点梳理知识点一：有序数对比方教室中座位的地点，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后序次影响座位的地点，所以用有序次的两个数 a 与b 构成有序数时，记作(a ， b) ，表示一个物体的地点。

我们把这类有序次的两个数 a 与b 构成的数对叫做有序数对，记作: (a,b) ．重点讲解：对“有序”要正确理解，即两个数的地点不可以随意交换，(a ，b) 与 (b ，a) 序次不一样，含义就不一样，表示不一样地点。

知识点二：平面直角坐标系以及坐标的看法1. 平面直角坐标系x 在平面内画两条相互垂直、原点重合的数轴就构成平面直角坐标系。

水平的数轴称为轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图 1) 。

注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是相互垂直的，且有公共原点，平时取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。

平面直角坐标系是由两条相互垂直且有公共原点的数轴构成的。

2.点的坐标点的坐标是在平面直角坐标系中确立点的地点的主要表示方法，是今后研究函数的基础。

在平面直角坐标系中，要想表示一个点的详尽地点，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点 A 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足 M在 x 轴上的坐标是 a，垂足N在 y 轴上的坐标是 b，我们说点 A 的横坐标是 a，纵坐标是 b，那么有序数对（ a,b ）叫做点 A 的坐标 . 记作 :A(a,b). 用(a ， b) 来表示，需要注意的是一定把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。

注：①写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后边。

横、纵坐标的地点不可以颠倒。

②由点的坐标的意义可知：点P(a ，b) 中， |a| 表示点到y 轴的距离； |b| 表示点到x轴的距离。

知识点三：点坐标的特色l.四个象限内点坐标的特色：两条坐标轴将平面分成４个地域称为象限，按逆时针序次分别叫做第一、二、三、四象限，如图 2．这四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（ - ， +），（ - ，- ），（ +，- ）．2.数轴上点坐标的特色：x 轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0 ）；y 轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b) ．注意： x 轴， y 轴上的点不在任何一个象限内，关于坐标平面内随意一个点，不在这四个象限内，就在座标轴上。

知识要点空间直角坐标系空间直角坐标系是用来描述三维空间中点位置的一种坐标系统。

它由三个坐标轴x、y、z构成，且彼此互相垂直，并在相交点处成为原点O。

在空间直角坐标系中，每个点的位置可由它在每个坐标轴上的投影来确定。

假设特定点P的坐标为(x,y,z)，则在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y，z轴上的投影为z。

空间直角坐标系的特点是可以将任意三维空间中的点表示为有序的数对(x,y,z)，并且任意两点之间的距离可以用直线段来表示。

其基本特征有以下几点：1.原点O：空间直角坐标系的交点即为原点O，它的坐标为(0,0,0)。

2.坐标轴：空间直角坐标系有三个互相垂直的坐标轴，分别为x轴、y轴和z轴。

它们分别与三个方向对应：x轴正向为向右，y轴正向为向上，z轴正向为向外。

3. 坐标面：由三个坐标轴所确定的平面称为坐标面。

分别为xoy平面（z = 0）、xoz平面（y = 0）和yoz平面（x = 0）。

4.坐标轴方向：坐标轴方向有正负之分，规定沿着轴线正向的方向为正方向，反向则为负方向。

5.坐标轴长度：不同坐标轴的长度可以任选，但通常选择相等长度，方便计算。

在空间直角坐标系中，我们可以通过以下方法进行基本的空间点运算：1.点的移动：在坐标轴上，点的移动相当于坐标值的变化。

向右移动，坐标值加；向左移动，坐标值减；向上移动，坐标值加；向下移动，坐标值减；向外移动（离原点越来越远），坐标值加；向内移动（离原点越来越近），坐标值减。

2.点的关系：可以通过对比坐标值来判断两个点的相对位置。

若两点的x、y、z坐标值分别相等，则它们重合；若只有一个坐标值相等，则它们在同一坐标轴上；若有两个坐标轴的坐标值相等，则它们在同一平面上；若没有坐标值相等，则它们位于不同的坐标平面中。

3.点的中点坐标：求两点的中点坐标，可以将两个点的对应坐标分别相加然后除以24. 点的距离：可以根据勾股定理来求两点之间的距离。

设两点分别为P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，则它们之间的距离d为：d =sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。

《空间直角坐标系》知识讲解1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i jk 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A x i y j z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则212121(,,)AB x x y y z z =---． 4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则222123||a a a a a a =⋅=++，yk i ABB(x2,y2,z2)A(x1,y1,z1)O jxzyk i A(x,y,z)O jxzyk iABB(x2,y2,z2)A(x1,y1,z1)O jxz222123||b b b b b b =⋅=++．5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a ba b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++．6．两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-．例1 已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件例2．如图正方体1111ABCD A B C D -中， （1）若E 1∈A 1B 1，F 1∈C 1D 1，且11111114B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦 （2）若P 为DD 1的中点，O 1，O 2，O 3分别是面ABCD ，B 1B 1C 1C 1，AB 1C 1D ，ABCD 的中心. 求证:B 1O 3⊥PA;并求PO 3与O 1O 2所成的角.(3)若E,F 分别是BB 1、CD 的中点，判断点A 、D 、C 1、E 四点是否共面？。

第三讲空间向量的坐标运算【基础知识】一、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.二、空间点的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x i+y j+z k.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A 的竖坐标.三、空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=x i+y j+z k.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).四、空间向量常用结论的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;2.求出直线的方向向量;3.证明两向量共线;4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的 有向线段不共线,即可得证. 六、证明两直线垂直的步骤:1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;3.计算两直线方向向量的数量积为0;4.由方向向量垂直得到两直线垂直. 七、求两异面直线夹角的步骤1.求异面直线a ,b 上的方向向量的坐标:a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2);2.利用公式cos<a ,b >= 求解;3.设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|cos<a ,b >|.【考点讲解】考点一：求点的坐标例1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)-D ．(3,1,4)考点二：求向量的坐标例2．给定空间三个点()1,1,2A ､()3,7,1B -､()5,4,0C . (1)求以向量AB ､AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ； (2)求与向量AB ､AC 都垂直的单位向量a .考点三：线性运算的坐标表示例3．已知向量()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3a b -=（ ） A ．8,11(),14-B ．9,3(),15-C ．10,1(),16-D ．(0,13,2)考点四：数量积运算的坐标表示例4．（多选）已知空间向量()1,1,1a =，()1,0,2b =-，则下列正确的是（ ） A ．()0,1,3a b +=B ．3a =C ．2a b ⋅=D ．a <，4b π→>=考点五：求长度或距离例5．空间两点()1,2,3A 、()2,0,5B 之间的距离为______．考点六：求角度例6．已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．90° B ．60°C ．30°D ．0°考点七：根据平行或垂直求参数的值例7.已知点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =． (1)求a ，b 夹角的余弦值．(2)若向量ka b +，2ka b -垂直，求k 的值． (3)若向量a b λ-，a b λ-平行，求λ的值．【课堂练习】1.已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102.若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0B ．－43C ．0或－43D ．0或433.平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,14. （多选）已知平面{}00P n P P α=⋅=，其中点0P 是平面α内的一定点，n 是平面α的一个法向量，若0P 坐标为()2,3,4，()1,1,1n =，则下列各点中在平面α内的是（ ） A ．()1,3,5B ．()4,3,2C ．()2,3,8-D ．()2,3,8-5. （多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,P Q R 分别在111,,AB CC D A 上，并满足111(01)1D R AP CQ a a PB QC RA a===<<-，设1,,AB i AD j AA k ===，设PQR ∆的重心为G ，下列说法正确的是（ ）A ．向量,,i j i j k +-可以构成一组基底B ．当12a =时，111j+333DG i k =-C ．当13a =时，PQ 在平面1ADD ．对任意实数a ，总有0RG DG ⋅=6.已知空间三点A (1，-1，-1)，B (-1，-2，2)，C (2，1，1)，则AB 在AC 上的投影向量的模是______.7.设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．8.已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；(2)若AB ，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．【课后练习】1.若点(2,5,1)A --，(1,4,2)B ---，(3,3,)C m n +-在同一条直线上，则m n -=（ ） A ．21B ．4C ．-4D ．102.已知直线2,l l l 的方向向量分别为()()1,4,2,2,1,a b m =-=-，若12l l ⊥，则m 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒B ．120︒C ．30D ．150︒5. （多选）对于非零空间向量a ，b ，c ，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ） A ．若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角 B ．若()1,2,3a =，()1,1,1b =--，则a b ⊥ C ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =D ．若()1,0,0a =，()0,2,0b =，()0,0,3c =，则a ，b ，c 可以作为空间中的一组基底 6．（多选）已知空间向量()2,1,1a =--，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2//a b a + B ．53a b = C ．()56a a b ⊥+D ．a 与b 夹角的余弦值为7．（多选）已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是()1,1,0C ．AB 与BC 夹角的余弦值是D ．平面ABC 的一个法向量是()1,1,3-8. 平面α经过点()0,0,2A 且一个法向量()1,1,1n =--，则平面α与x 轴的交点坐标是______．9．已知()1,1,2A -，()1,0,1B -．设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设1,,13C λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则实数λ=______．10.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =. (1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标； ①若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .。

2021年中考数学专题11 平面直角坐标系（知识点总结+例题讲解）一、平面直角坐标系：1.平面直角坐标系：（1）定义：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系；（2）x轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；（3）y轴：铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；（4）原点：两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；（5）坐标平面：建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

（6）四象限：坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分；①第一象限、第二象限、第三象限、第四象限；②注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2.关键点：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应的。

【例题1】如图的坐标平面上有原点O与A、B、C、D四点，若有一直线l通过点(–3，4)且与y轴垂直，则l也会通过下列哪一点？( )A．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】如图所示：有一直线L通过点(–3，4)且与y轴垂直，则L也会通过D点．【变式练习1】(2019•白银)中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0，–2)，“马”位于点(4，–2)，则“兵”位于点___________．【答案】(–1，1)【解析】如图所示，根据“帅”和“马”的位置，可得原点位置，则“兵”位于(–1，1)．故答案为(–1，1)。

二、点的坐标及不同位置的特征：1.点的坐标的概念：（1）点的坐标用(a，b)表示；其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开；（2）横、纵坐标的位置不能颠倒，平面内点的坐标是有序实数对；即：当a≠b时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标；2.各象限内点的坐标的特征：（1）点P(x，y)在第一象限⇔ x＞0，y＞0；（2）点P(x，y)在第二象限⇔ x＜0，y＞0；（3）点P(x，y)在第三象限⇔ x＜0，y＜0；（4）点P(x，y)在第四象限⇔ x＞0，y＜0；3.坐标轴上的点的特征：（1）点 P(x，y)在x轴上⇔ y=0，x为任意实数；（2）点P(x，y)在y轴上⇔ x=0，y为任意实数；（3）点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为(0，0)；4.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：（1）点P(x，y)在第一、三象限夹角平分线上⇔ x与y相等；（2）点P(x，y)在第二、四象限夹角平分线上⇔ x与y互为相反数；5.与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：（1）平行于x轴的直线上的各点：纵坐标相同；（2）平行于y轴的直线上的各点：横坐标相同；6.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征：（1）点P与点P′关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数；（2）点P与点P′关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数；（3）点P与点P′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数；7.点到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x ，y)到x 轴的距离等于|y|；（2）点P(x ，y)到y 轴的距离等于|x|；（3）点P(x ，y)8.点与点之间的距离：点M （x 1，y 1）与点N （x 2，y 2）之间的直线距离（线段长度）： 212212)()y y x x MN -+-=（9.点平移后的坐标特征：（1）点P(x ，y)向右平移a 个单位长度 ⇔ P ′(x+a ，y)；（2）点P(x ，y)向左平移a 个单位长度 ⇔ P ′(x –a ，y)；（3）点P(x ，y)向上平移b 个单位长度 ⇔ P ′(x ，y+b)；（4）点P(x ，y)向下平移b 个单位长度 ⇔ P ′(x ，y –b)；【例题2】已知点P （3﹣m ，m ）在第二象限，则m 的取值范围是 ．【答案】m ＞3【解析】解：∵点P （3﹣m ，m ）在第二象限，∴{3−m ＜0m ＞0；解得：m ＞3；故答案为：m ＞3。

人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）14.3 空间直角坐标系教案 A教学目标一、知识与技能1. 理解空间直角坐标系的建立，掌握空间中点的坐标表示；2. 掌握空间两点间的距离公式. 二、过程与方法1. 建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示；2. 经历由平面上两点间距离公式推导出空间中两点间的距离公式的过程. 三、情感、态度与价值观1. 通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，体会类比和数形结合的思想.2. 通过空间两点间距离公式的推导，经历从易到难，从特殊到一般的认识过程. 教学重点、难点教学重点：空间直角坐标系中点的坐标表示，空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导.教学关键：用类比的方法写出空间的点的坐标，记忆并应用空间两点间的距离公式求空间的两点间距离，提高学生的空间想象能力.教学突破方法：借助正方体，发挥学生的空间想象能力，写出空间点的坐标. 教法与学法导航教学方法：问题教学法，类比教学法. 学习方法：探究讨论、练习法. 教学准备教师准备：多媒体课件，正方体模型.学生准备：平面直角坐标系中点的坐标的写法. 教学过程教学 环节教学内容师生互动设计 意图 创设情境 导入新课 1.我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数（x ，y ）表示.那么假设我们对立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组（x ，y ，z ）表示出来呢？ 师：启发学生联想思考. 生：感觉可以. 师：我们不能仅凭感觉，我们要对它的认识从感性化提升到理性化. 让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系.教师备课系统──多媒体教案2续上表概念形成2.空间直角坐标系该如何建立呢？图1师：引导学生看图1，单位正方体OABC –D ′A ′B ′C ′，让学生认识该空间直角系O –xyz 中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面.师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系.体会空间直角坐标系的建立过程.3．建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？ 图 2 师：引导学生观察图2. 生：点M 对应着唯一确定的有序实数组（x ，y ，z ），x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标. 师：如果给定了有序实数组（x ，y ，z ），它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢？生：（思考）是的．师：由上我们知道了空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组（x ，y ，z ）来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M （x ，y ，z ），x叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.师：大家观察一下图1，你能说出点O ，A ，B ，C 的坐标吗？ 学生从（1）中感性向理性过渡.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）3续上表应用 举例 4. 例1 如图，在长方体OABC – D ′A ′B ′C ′中，|OA | = 3，|OC | = 4，|OD ′| = 2.写出D ′、C 、A ′、B ′四点的坐标. 【解析】D ′在z 轴上，且O D ′ = 2，它的竖坐标是2；它的横坐标x 与纵坐标y 都是零，所以点D ′的坐标是（0，0，2）. 点C 在y 轴上，且O C = 4，它的纵坐标是4；它的横坐标x 与竖坐标z 都是零，所以点C 的坐标是（0，4， 0）. 同理，点A ′的坐标是（3，0，0）. 点B ′在xOy 平面上的射影是B ，因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同.在xOy 平面上，点B 横坐标x = 3，纵坐标y = 4；点B ′在z 轴上的射影是D ′，它的竖坐标与点D ′的竖坐标相同，点D ′ 的竖坐标z = 2. 所点B ′的坐标是（3，4，2）． 例2结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O – xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.师：让学生思考例1一会，学生作答，师讲评. 师：对于例2的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法. 生：思考例1、例2的一些特点.总结如何求出空间中的点坐标的方法.例2【解析】把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标. 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0），11(,,0)22； 中层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是1111(,0,),(1,,)2222， 1111(,1,),(0,,)2222；学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解，例2更能体现出建立一个合适的空间直角系的重要性.教师备课系统──多媒体教案4续上表上层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），11(,,1)22.5. 练习2 如图，长方体OABC – D ′A ′B ′C ′中，|OA | = 3，|OC | = 4，|OD ′| = 3，A ′C ′于B ′D ′相交于点P .分别写出点C 、B ′、P 的坐标. 师：大家拿笔完成练习2然后上黑板来讲解.生：完成.【解析】C 、B ′、P 各点的坐标分别是（0，4，0），（3，4，3），3(,2,3)2. 学生在原有小结的经验的基础上，动手操作，并且锻炼学生的口才．提出新概念 6. 在平面上任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）之间的距离的公式为|AB | =221212()()x x y y -+-，那么对于空间中任意两点A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2）之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要. 生：踊跃回答.通过类比，充分发挥学生的联想能力.概念 形成 7. 空间中任间一点P （x ，y ，z ）到原点之间的距离公式会是怎样呢？师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成.学生：在教师的指导下作答得出|OP |=222x y z ++. 从特殊的情况入手，化解难度.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）5续上表概念 深化8. 如果|OP | 是定长r ，那么x 2 + y 2 + z 2 = r 2表示什么图形？ 师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x 2 + y 2 = r 2表示的图形中，方程x 2 + y 2 = r 2表示图形，让学生有种回归感.生：猜想说出理由. 学会类比. 9.如果是空间中任意一点P 1 （x 1，y 1，z 1）到点P 2 （x 2，y 2，z 2）之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导. 得出结论： |P 1P 2| =222121212()()()x x y y z z -+-+-人的认识是从特殊情况到一般情况的.10. 巩固练习 （1）先在空间直角坐标系中标出A 、B 两点，再求它们之间的距离：A （2，3，5），B （3，1，4）； A （6，0，1），B （3，5，7）. （2）在z 轴上求一点M ，使点M 到点A （1，0，2）与点B （1，–3，1）的距离相等.教师引导学生作答（1）【解析】6，图略；70，图略 （2）【解析】设点M 的坐标是（0，0，z ）.依题意，得 22(01)0(2)z -++-=222(01)(03)(1)z -+++-培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解.教师备课系统──多媒体教案6（3）求证：以A（10，–1，6），B（4，1，9），C（2，4，3）三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D′A′B′C′的棱长为a，|AN| =2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的长.解得z = –3.所求点M的坐标是（0，0，–3）.（3）【证明】根据空间两点间距离公式，得，︱AB︱=222(104)(11)(69)-+--+-=7，︱BC︱=222(42)(14)(93)-+-+-=7，︱AC︱=222(102)(14)(63)-+--+-=98.因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形.4．【解析】由已知，得点N的坐标为2(,,0)33a a，点M的坐标为2(,,)33a aa，于是22222||()()(0)33335.3a a a aMN aa=-+-+-=小结今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？（1）空间点的坐标表示，（2）空间两点间的距离公式及应用.生：谈收获.师：总结.知识整理.课堂作业1.已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为______.【解析】分别过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)作与yOz平面，xOz平面，xOy人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）7平面平行的平面，三个平面的交点即为M 点，其坐标为(1，1，1)或过点(-1，0，0)，(0，-1，0)，(0，0，-1)作与yOz 平面，xOz 平面，xOy 平面平行的平面，三个平面的交点即为M 点，其坐标为(-1，-1，-1).答案：(1，1，1)或(-1，-1，-1)2. 如图，正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，棱长为1，求点E 、F 的坐标和B 1关于原点D 的对称点坐标.【解析】由B （1，1，0），B 1（1，1，1），则中点E 为1(1,1,)2，由B 1（1，1，1），D 1（0，0，1），则中点11(,,1)22F . 设B 1关于点D 的对称点M （x 0，y 0，z 0）， 即D 为B 1M 的中点，因为D （0，0，0），所以，000000102110121102x x y y z z +==--==-=-+=⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩，，，得，．， 所以M （–1，–1，–1 ）.3. 已知点A 在y 轴 ，点B （0，1，2）且||5AB =，则点A 的坐标为 .【解析】由题意设A （0，y ，0），则2(1)45y -+=，解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是（0，0，0）或（0，2，0）4. 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A （3，2，5），B （3，5，2）的距离相等，求点P 的坐标.【解析】由题意设P （0，y ，z ），则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩，， 解得：11.y z =⎧⎨=⎩，故点P 的坐标为（0，1，1）．教师备课系统──多媒体教案8教案 B第1课时教学内容：4.3.1 空间直角坐标系 教学目标1. 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2. 掌握空间直角坐标系、右手直角坐标系的概念，会画空间直角坐标系，会求空间直角坐标；3. 深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示；4. 通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性.教学重点、难点教学重点：求一个几何图形的空间直角坐标. 教学难点：空间直角坐标系的理解. 教学过程一、情景设计1. 我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？2.空间直角坐标系该如何建立呢？ 二、新课教学 如图，OABC －D′A′B′C′是单位正方体，以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD′的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，∠xpy ＝135°，∠yoz ＝45°，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xoy 平面，yoz 平面，zox 平面.在空间坐标系中，让右手拇指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.空间直角坐标系有序实数组（x ，y ，z ）一一对应.（x ，y ，z ）称为空间直角坐标系的坐标，x 称为横坐标，y 称为纵坐标，z 为竖坐标.O 、A 、B 、C 四点坐标分别为：O （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0）．人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）9例1 在长方体OABC －D’A’B’C’中，∣OA ∣＝3，∣OC ∣＝4，∣OD ′∣＝2，写出D′、C 、 A′、B′四点的坐标.【解析】因为D′在z 轴上，且∣OD′∣＝2，它的竖坐标为2，它的横坐标与纵坐标都是零，所以D′点的坐标是（0，0，2）；点C 在y 轴上，且∣OC ∣＝4，所以点C 的坐标为（0，4，0）；点A′的坐标为（3，0，2），B′的坐标为（3，4，2）.例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.【解析】把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层原子全在xOy 平面，它们所在位置的竖坐标全是0，所以下层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0），（21，21，0）；中层的四个钠原子所在位置的坐标分别为：（21，0，21），（1，21，21），（21，1， 21），（0，21， 21）；上层的五个钠原子所在位置的坐标分别为：（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（21，21，1）.三、典型例题解析例3 在空间直角坐标系中，作出点M （6，－2， 4）.点拨：点M 的位置可按如下步骤作出：先在x 轴上作出横坐标是6的点1M ，再将1M 沿与y 轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M ，然后将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动4个单位即得点M .答案：M 点的位置如图所示.总结：对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力.变式题演练在空间直角坐标系中，作出下列各点：A （-2，3，3）；B （3，-4，2）；C （4，0，1M2M M （6，-2,4） Oxyz62 4教师备课系统──多媒体教案10-3）.答案：略.例4 已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.点拨：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.【解析】 正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为232.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A （2，-2，0）、B （2，2，0）、C （-2，2，0）、D （-2，-2，0）、P （0，0，.总结：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.变式题演练 在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12，AD =8，AA 1=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.【解析】以A 为原点，射线AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0）、B （12，0，0）、C （12，8，0）、D （0，8，0）、A 1（0，0，5）、B 1（12，0，5）、C 1（12，8，5）、D 1（0，8，5）.例5 在空间直角坐标系中，求出经过A （2，3，1）且平行于坐标平面yOz 的平面α的方程.点拨：求与坐标平面yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解.【解析】 坐标平面yOz ⊥x 轴，而平面α与坐标平面yOz 平行， ∴平面α也与x 轴垂直，∴平面α内的所有点在x 轴上的射影都是同一点，即平面α与x 轴的交点， ∴平面α内的所有点的横坐标都相等. 平面α过点A （2，3，1），∴平面α内的所有点的横坐标都是2， ∴平面α的方程为x =2.总结：对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题.本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x 轴（或y 轴）平行的直线的方程.变式题演练人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）11在空间直角坐标系中，求出经过B （2，3，0）且垂直于坐标平面xOy 的直线方程.答案：所求直线的方程为x =2，y =3. 四、课堂小结（1）空间直角坐标系的建立. （2）空间中点的坐标的确定. 五、布置作业P138习题4.3 A 组：1，2.第2课时教学内容：4.3.2 空间两点间的距离公式 教学目标1. 通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；2. 通过推导和应用空间两点间的距离公式，进一步培养学生的空间想象能力；3. 通过探索空间两点间的距离公式，体会转化（降维）的数学思想. 教学重点、难点探索和推导空间两点间的距离公式. 教学过程一、问题引入问题：求粉笔盒（长方体）的对角线的长度. 解决方案： ①直接测量取两个或三个一样的粉笔盒如图放置，用尺子测量其对角线的长度.②公式计算量出粉笔盒的长、宽、高，用勾股定理计算.一般地，如果长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，那么对角线长222c b a d ++=.③坐标计算教师备课系统──多媒体教案12建立空间直角坐标系，使得长方体的一个顶点为坐标原点，所有棱分别与坐标轴平行，求出对角线顶点的坐标，用平面内两点间的距离公式和勾股定理计算.一般地，空间任意一点),,(z y x P 与原点间的距离222z y x OP ++=.探究：如果OP 是定长r ，那么2222r z y x =++表示什么图形？思考：上面推导了空间任意一点与原点间的距离公式，你能否猜想空间任意两点间的距离公式？如何证明？类比空间任意一点与原点间的距离公式，猜想空间任意两点间的距离公式.用平面内两点间的距离公式和勾股定理推导. 由此可得空间中任意两点),,(),,,(22221111z y x P z y x P 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.二、例题精讲例1 已知A （x ，2，3）、B （5，4，7），且|AB |=6，求x 的值. 【解析】|AB |=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x ， 即（x -5）2=16，解得x =1或x =9.例2 求点P （1，2，3）关于坐标平面xOy 的对称点的坐标.【解析】设点P 关于坐标平面xOy 的对称点为P ′，连 P P ′交坐标平面xOy 于Q ， 则P P ′⊥坐标平面xOy ，且|PQ |=|P ′Q|，∴P ′在x 轴、y 轴上的射影分别与P 在x 轴、y 轴上的射影重合，P ′在z 轴上的射影与P 在z 轴上的射影关于原点对称，∴P ′与P 的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，∴ 点P （1，2，3）关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为（1，2，-3）.点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0. 三、课堂小结1. 空间中两点间距离的坐标计算.2. 类比思想：维度的升高，距离公式如何改变？ 四、布置作业P138 习题4.3A 组：3.P139习题4.3B 组:1，2，3.第四章测试题人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）13一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知点(1,4,2)M -，那么点M 关于y 轴对称点的坐标是（ ）． A ．(1,4,2)-- B ．(1,4,2)- C ．(1,4,2)- D ．(1,4,2)2.若直线3x +4y +c =0与圆（x +1）2+y 2=4相切，则c 的值为（ ）． A ．17或-23 B ．23或-17 C ．7或-13 D ．-7或133.过圆x 2+y 2-2x +4y -4=0内一点M （3，0）作圆的割线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是（ ）.A ．x +y -3=0B ．x -y -3=0C ．x +4y -3=0D ．x -4y -3=04.经过(1,1),(2,2),(3,1)A B C --三点的圆的标准方程是（ ）. A ．22(1)4x y ++= B .22(1)5x y ++= C ．22(1)4x y -+=D .22(1)5x y -+=5.一束光线从点A （－1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上一点的最短路程是（ ）.A．－1 B． C ．5D ．46.若直线l :ax +by +1=0始终平分圆M :x 2+y 2+4x +2y +1=0的周长，则(a -2)2+(b -2)2的最小值为（ ）.A ．5B ．5C ．25D ．107.已知两点(1,0)A -、(0,2)B ，若点P 是圆22(1)1x y -+=上的动点，则ABP ∆面积的最大值和最小值分别为（ ）.A．11(41)22 B．11(4(422- C．11(3(322D．11(22)228.已知圆224x y +=与圆2266140x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）.A . 210x y -+=B . 210x y --=C . 30x y -+=D . 30x y --=教师备课系统──多媒体教案149.直角坐标平面内，过点(2,1)P 且与圆224x y +=相切的直线（ ）. A .有两条 B .有且仅有一条C .不存在D . 不能确定10.若曲线222610x y x y ++-+=上相异两点P 、Q 关于直线240kx y +-=对称，则k 的值为（ ）.A . 1B . -1C .12D . 2 11.已知圆221:460C x y x y +-+=和圆222:60C x y x +-=相交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线方程为（ ）.A .30x y ++=B .250x y --=C .390x y --=D . 4370x y -+= 12. 直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若︱MN︱≥，则k 的取值范围是（ ）.A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[)3,0,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C．,33⎡-⎢⎣⎦ D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离d = ．14.直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB∣∣= . 15.过点A （4，1）的圆C 与直线10x y --=相切于点 B （2，1），则圆C 的方程为 .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x -5y +c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______ .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分） 已知圆经过(3,0)A ，18(,)55B -两点，且截x 轴所得的弦长为2，求此圆的方程.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）1518.（12分）已知线段AB 的端点B 的坐标为 （1，3），端点A 在圆C:4)1(22=++y x 上运动.（1）求线段AB 的中点M 的轨迹；（2）过B 点的直线L 与圆C 有两个交点P ，Q .当CP ⊥CQ 时，求L 的斜率.19.（12分）设定点M （-2，2），动点N 在圆222=+y x 上运动，以OM 、0N 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.20.（12分）已知圆C圆心在直线2y x =上，且被直线0x y -=截得的弦长为C 的方程.21.（12分）已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若不经过坐标原点的直线l 与圆C 相切，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）设点P 在圆C 上，求点P 到直线50x y --=距离的最大值与最小值．22.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C截得的弦长为l 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.教师备课系统──多媒体教案16人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）17参考答案一、选择题1. 选B .纵坐标不变，其他的变为相反数．2. 选D .圆心到切线的距离等于半径.3. 选 A .直线l 为过点M ， 且垂直于过点M 的直径的直线.4. 选D .把三点的坐标代入四个选项验证即可.5. 选D .因为点A （-1， 1）关于x 轴的对称点坐标为（-1，-1），圆心坐标为（2，3），所以点.A （-1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上一点的最短路程为1 4.=6.选B .由题意知，圆心坐标为（-2，-1），210.a b ∴--+=(2)a -a,b ）与（2，2）的距离，=所以22(2)(2)a b -++的最小值为5.7.选B .过圆心C 作CM AB ⊥于点M ，设CM 交圆于P 、Q 两点，分析可知ABP ∆和ABQ ∆分别为最大值和最小值，可以求得||AB =d =所以最大值11)(42±=±． 8.选D .两圆关于直线l 对称，则直线l 为两圆圆心连线的垂直平分线. 9.选A .可以判断点P 在圆外，因此，过点P 与圆相切的直线有两条. 10.选D .曲线方程可化为22(1)(3)9x y ++-=，由题设知直线过圆心，即(1)2340,2k k ⨯-+⨯-=∴=.故选D .11.选C .由平面几何知识，知AB 的垂直平分线即为两圆心的连线，把两圆分别化为标准式可得两圆心，分别为C 1（2，-3）、C 2（3，0），因为C 1C 2斜率为3，所以直 线方程为y -0=3（x -3），化为一般式可得3x -y -9=0.12.选A ．（方法1）由题意，若使︱MN ︱≥，则圆心到直线的距离d ≤1，即教师备课系统──多媒体教案18113232≤++-k k ≤1，解得34-≤k ≤0.故选A .（方法2）设点M ，N 的坐标分别为),(),,2211y x y x （，将直线方程和圆的方程联立得方程组223(3)(2)4y kx x y =+⎧⎨-+-=⎩，，消去y ，得06)3(2)1(22=+-++x k x k ，由根与系数的关系，得16,1)3(2221221+=⋅+--=+k x x k k x x ， 由弦长公式知2122122124)(1||1||x x x x k x x k MN -+⋅+=-⋅+== 1122420164]1)3(2[1222222++--=+⋅-+--⋅+k k k k k k k ，︱MN︱≥，8(43k k +）≤0，∴34-≤k ≤0，故选A .二、填空题13. 3. 由圆的方程可知圆心坐标为C （1，2），由点到直线的距离公式，可得3434241322=++⨯+⨯=d ．14.（方法1） 设11,)A x y （，22(,)B x y ，由22250,8.x y x y -+=⎧⎨+=⎩消去y 得251070x x +-=，由根与系数的关系得121272,,5x x x x +=-=-12x x -==∴1225ABx ∣∣=-==人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）19（方法2）因为圆心到直线的距离555d ==， 所以22228523AB r d =-=-=.15. 22(3)2x y -+=. 由题意知，圆心既在过点B （2，1）且与直线10x y --=垂直的直线上，又在点,A B 的中垂线上.可求出过点B （2，1）且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，,A B 的中垂线为3x =，联立方程30,3,x y x +-==⎧⎨⎩，解得3,0,x y ==⎧⎨⎩，即圆心(3,0)C ，半径2r CA ==，所以，圆的方程为22(3)2x y -+=.16. 1313c -<<. 如图，圆422=+y x 的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x -5y+c=0的距离为1，问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x -5y+c=0的距离小于1.221,13,1313.125c c c <<∴-<<+即三、解答题17.【解析】根据条件设标准方程222()()x a y b r -+-=，截x 轴所得的弦长为2，可以运用半径、半弦长、圆心到直线的距离构成的直角三角形；则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-+--=+-,1,)58()51(,)3(222222222b r r b a r b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧===5,2,2r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===.37,6,4r b a∴所求圆的方程为22(2)(2)5x y -+-=或22(4)(6)37x y -+-=.教师备课系统──多媒体教案20 18.【解析】（1）设()()11,,,A x y M x y，由中点公式得111112123232xxx xy y yy+==-⇔+=-=⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩，，因为A在圆C上，所以()()222232234,12x y x y⎛⎫+-=+-=⎪⎝⎭即.点M的轨迹是以30,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆.（2）设L的斜率为k，则L的方程为()31y k x-=-，即30kx y k--+=，因为CP⊥CQ，△CPQ为等腰直角三角形，圆心C（-1，0）到L的距离为12CP=2，由点到直线的距离公式得222324129221k kk k kk--+=∴-+=++，∴2k2-12k+7=0，解得k=3±112.故直线PQ必过定点103⎛⎫⎪⎝⎭，.19.【解析】设P（x，y），N（x0，y0），∴222=+yx，（*）∵平行四边形MONP，∴222222xxyy-=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，有0+22x xy y==-⎧⎨⎩，，人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）21代入（*）有2)2()2(22=-++y x ，又∵M 、O 、N 不能共线，∴将y 0=-x 0代入（*）有x 0≠±1，∴x ≠-1或x ≠-3，∴点P 的轨迹方程为2)2()2(22=-++y x （3x 1-≠-≠且x ）.20.【解析】因为所求圆的圆心C 在直线2y x =上，所以设圆心为(),2C a a ， 所以可设圆的方程为()()22210x a y a -+-=，因为圆被直线0x y -=截得的弦长为(),2C a a 到直线0x y -=的距离d ==，即d ==2a =±. 所以圆的方程为()()222410x y -+-=或()()222410x y +++=.21.【解析】（1）圆C 的方程可化为22(1)(2)2x y ++-=，即圆心的坐标为（-1，2） ，因为直线l 在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设直线l 的方程为 0x y m ++=；=1m =或3m =-，因此直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=．（2）因为圆心（-1，2）到直线50x y --==P到直线50x y--=距离的最大值与最小值依次分别为22.【解析】（1）设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=，由垂径定理，得：圆心1C 到直线l的距离1d =， 1=，教师备课系统──多媒体教案22 化简得：272470024k k k k+===-，解得或，求直线l的方程为：0y=或7(4)24y x=--，即0y=或724280x y+-=.（2）设点P坐标为(,)m n，直线1l、2l的方程分别为：1(),()y n k x m y n x mk-=--=--，即：110,0kx y n km x y n mk k-+-=--++=，因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等.由垂径定理，得圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等.2241|5|111n mk kkk--++=++化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n--=---+=+-或，关于k的方程有无穷多解，有：2030m n m nm n m n--=⎧⎧⎨⎨--=⎩⎩，-+8=0，或，+-5=0，解之得：点P坐标为)213,23(-或)21,25(.。

空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -.要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离||d AB ==特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA =2.空间线段中点坐标空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一：空间坐标系例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。

空间直角坐标系知识点空间直角坐标系是我们在学习数学、物理等科学领域常常遇到的一个重要概念。

它是一种表示三维空间中点位置的方法，通过三个相互垂直的坐标轴来确定点的位置。

本文将介绍空间直角坐标系的基本概念、坐标轴的方向以及一些常见的知识点。

一、空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个互相垂直的坐标轴构成的。

我们可以将这三个坐标轴分别标记为X轴、Y轴和Z轴。

在空间直角坐标系中，任意一个点的位置可以通过它在每一个坐标轴上的投影来确定。

在空间直角坐标系中，我们通常用（x，y，z）来表示一个点的坐标，其中x代表该点在X轴上的位置，y代表该点在Y轴上的位置，z代表该点在Z轴上的位置。

这三个坐标分别是实数。

二、坐标轴的方向在空间直角坐标系中，坐标轴的方向是固定的。

X轴的正方向为从左向右，Y轴的正方向为从下向上，Z轴的正方向为从后向前。

这个规定是为了统一表示、计算和解析几何的方向。

需要注意的是，不同的学科、领域可能对坐标轴的方向有所不同。

在一些物理学或工程学的问题中，X轴的正方向可能定义为从右向左，Y轴的正方向可能定义为从上向下，Z轴的正方向可能定义为从前向后。

因此，在应用空间直角坐标系时，我们需要根据具体问题确定坐标轴的方向。

三、常见的空间直角坐标系知识点1. 距离公式：在空间直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理计算。

设两点分别为A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），则AB的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。

2. 坐标轴的平面：由X轴和Y轴组成的平面叫做XY平面，由X轴和Z轴组成的平面叫做XZ平面，由Y轴和Z轴组成的平面叫做YZ平面。

3. 坐标轴上的投影：在空间直角坐标系中，一个点在某个坐标轴上的投影就是它在该坐标轴上的坐标。

例如，一个点的投影坐标为（x，y，0），表示该点在XY平面上。

4. 坐标轴的正向和负向：在一个坐标轴上，正向是指从原点指向无穷大的方向，负向是指从原点指向负无穷大的方向。

中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解（基础）【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x ；点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x ； 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x ； 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x ；点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数；点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数；点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ′关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +.要点诠释：（1）注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限； （2）平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标. 考点二、函数 1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法. 4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 要点诠释：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量； （2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质） 1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的正比例函数． （2）正比例函数y=kx （ k ≠0)的图象： 过（0，0），（1，K ）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx （k ≠0)的性质①当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； ②当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小 . 2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数． （2）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象的性质一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过(0，b )点和)0,(kb点的一条直线．①当k>0时，y 随x 的增大而增大； ②当k<0时，y 随x 的增大而减小．要点诠释：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法.3.反比例函数及其图象性质 （1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数. 三种形式：ky x=(k ≠0)或kx y =1-(k ≠0)或xy=k(k ≠0). （2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； ②比例系数0≠k ；③自变量x 的取值为一切非零实数； ④函数y 的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）； 描点（由小到大的顺序）； 连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是x y =和x y -=）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）. ④反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k .（4）反比例函数性质：反比例函数 )0(≠=k xky k 的符号k>0k<0图像性质①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x 的增大而减小.①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随x 的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky=中的两个变量必成反比例关系. 要点诠释：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1．已知点A(a，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a，b的值.(1)A，B两点关于y轴对称；(2)A，B两点关于原点对称；(3)AB∥x轴；(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上．【思路点拨】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数；（2）关于原点对称，x变为相反数，y变为相反数；（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可；（4）在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标相等，即可得出a，b．【答案与解析】(1)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于y轴对称，则a＝-8且b＝-5．(2)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于原点对称，则a＝-8且b＝5．(3)AB∥x轴，则a≠8且b＝-5．(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上，则a＝-5且b＝8．【总结升华】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．举一反三：【变式】已知点A的坐标为(-2，-1)．(1)如果B为x轴上一点，且10AB=，求B点的坐标；(2)如果C为y轴上的一点，并且C到原点的距离为3，求线段AC的长；(3)如果D为函数y＝2x-1图象上一点，5AD=，求D点的坐标．【答案】(1)设B (x ，0)，由勾股定理得22(2)(01)10AB x =+++=．解得x 1＝-5，x 2＝1． 经检验x 1＝-5，x 2＝1均为原方程的解．∴ B 点的坐标为(-5，0)或(1，0)．(2)设C (0，y )，∵ OC ＝3，∴ C 点的坐标为(0，3)或(0，-3)． ∴ 由勾股定理得22(2)(31)25AC =-++=；或22AC =．(3)设D (x ，2x -1)，AD ＝5，由勾股定理得22(2)(211)5x x ++-+=．解得115x =，21x =-． 经检验，115x =，21x =-均为原方程的解． ∴ D 点的坐标为(15，35-)或(-1，-3)．2．已知某一函数图象如图所示．(1)求自变量x 的取值范围和函数y 的取值范围；(2)求当x ＝0时，y 的对应值； (3)求当y ＝0时，x 的对应值； (4)当x 为何值时，函数值最大； (5)当x 为何值时，函数值最小；(6)当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围； (7)当y 随x 的增大而减小时，求x 的取值范围． 【思路点拨】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论. 【答案与解析】(1)x 的取值范围是-4≤x ≤4，y 的取值范围是-2≤y ≤4； (2)当x ＝0时，y ＝3；(3)当y ＝0时，x ＝-3或-1或4； (4)当x ＝1时，y 的最大值为4； (5)当x ＝-2时，y 的最小值为-2；(6)当-2≤x ≤1时，y 随x 的增大而增大；(7)当-4≤x ≤-2或1≤x ≤4时，y 随x 的增大而减小． 【总结升华】本题主要是培养学生的识图能力． 举一反三：【变式1】下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y 与时间x 的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是( )【答案】理解题意，读图获取信息是关键，由图可知某段时间内韩老师离家距离是常数，联想到韩老师是在家为圆心的弧上散步，分析四个选项知D项符合题意．答案：D【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数高清ID号：406069关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是( )．【答案】C.类型二、一次函数3．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y （km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．【思路点拨】观察图形理解每一段图象的内涵.【答案与解析】解：（1）由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20（km/ h）.在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h）.（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）如图，设直线BC解析式为y=20x+b1，把点B（1，10）代入得b1=﹣10.∴直线BC解析式为y=20x﹣10 ①.设直线DE解析式为y=60x+b2，把点D（43，0）代入得b2=﹣80.∴直线DE解析式为y=60x﹣80②.联立①②，得x=1.75，y=25.∴交点F（1.75，25）.答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km.（3）方法一：设从家到乙地的路程为m（km）则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入y=60x﹣80，y=20x﹣10得：，∵∴∴m=30．方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），由题意得：∴n=5∴从家到乙地的路程为5+25=30（km）．【总结升华】考查一次函数图象和应用，直线上点的坐标与方程的关系.举一反三：【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数高清ID号：406069关联的位置名称（播放点名称）：例6】【变式1】(1)直线y＝2x+1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是_____ ___.(2)直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的解析式是___ _____；直线y＝2x+l关于y轴对称的直线的解析式是___ ______；直线y＝2x+1关于原点对称的直线的解析式是____ _____．(3)如图所示，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是__ ______．【答案】(1)y＝2x-5；(2)y＝-2x-1，y＝-2x+1，y＝2x-1；(3)y＝2x-2．【变式2】某地夏天旱情严重．该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为( )A．23 B．24 C．25 D．26【答案】解析：设图中直线解析式为y ＝kx+b ， 将(10，18)，(15，15)代入解析式得1018,1515,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得 3,524,k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴3245y x =-+．由题意知，324105x -+<，解得1233x >，∴送水号数应为24． 答案：B类型三、反比例函数4．已知函数2y x=和y ＝kx+1(k ≠0)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a 和k 的值； (2)当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 【思路点拨】（1）因为这两个函数的图象都经过点（1，a ），所以x=1，y=a 是方程组 21y xy kx ⎧=⎪⎨⎪=+⎩的解，代入可得a 和k 的值；（2）要使这两个函数的图象总有公共点，须方程组 21y xy kx ⎧=⎪⎨⎪=+⎩有解，即 21kx x =+有解， 根据判别式△即可求出K 的取值范围．【答案与解析】(1)∵ 两函数的图象都经过点(1，a)，∴ 2,11,a a k ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ∴ 2,1.a k =⎧⎨=⎩ (2)将2y x=代入1y kx =+，消去y ，得 220kx x +-=，∵ k ≠0，∴ 要使得两函数的图象总有公共点， 只要△≥0即可．∴ 1+8k ≥0，解得18k ≥-．∴ 18k ≥-且k ≠0．【总结升华】判断反比例函数与一次函数交点问题，要把反比例函数与一次函数联立转化成一元二次方程，再通过根的判别式来判断． 举一反三：【变式】已知正比例函数y kx =（k 为常数，0k ≠）的图象与反比例函数5ky x-=（k 为常数，0k ≠）的图象有一个交点的横坐标是2． （1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点11()A x y ，，22()B x y ，是反比例函数5ky x-=图象上的两点，且12x x <，试比较12y y ，的大小． 【答案】（1）由题意，得522kk -=， 解得1k =．所以正比例函数的表达式为y x =，反比例函数的表达式为4y x=． 解4x x=，得2x =±．由y x =，得2y =±．所以两函数图象交点的坐标为（2，2），(22)--，．（2）因为反比例函数4y x=的图象分别在第一、三象限内， y 的值随x 值的增大而减小，所以当120x x <<时，12y y >． 当120x x <<时，12y y >．当120x x <<时，因为1140y x =<，2240y x =>，所以12y y <．类型四、函数综合应用5．如图，直线b x y +-=（b ＞0）与双曲线xky =（k ＞0）在第一象限的一支相交于A 、B 两点，与坐标轴交于C 、D 两点，P 是双曲线上一点，且PD PO =.（1）试用k 、b 表示C 、P 两点的坐标；（2）若△POD 的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式； （3）若△OAB 的面积等于34，试求△COA 与△BOD 的面积之和.【思路点拨】（1）根据直线的解析式求得点D 的坐标，再根据等腰三角形的性质即可求得点P 的横坐标，进而根据双曲线的解析式求得点P 的纵坐标；（2）①要求双曲线的解析式，只需求得xy 值，显然根据△POD 的面积等于1，即可求解；②由①中的解析式可以进一步求得点B 的纵坐标，从而求得直线的解析式，然后求得点B 的坐标，即可计算△COA 与△BOD 的面积之和． 【答案与解析】（1）C （0，b ），D （b ，0） ∵PO ＝PD∴22b OD x P ==，b ky P 2=∴P （2b ，bk2）（2）∵1=∆POD S ，有1221=⋅⋅bkb ，化简得：k ＝1∴xy 1=（x ＞0）（3）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），由AOB COD BOD COA S S S S ∆∆∆∆-=+得：34212121221-=+b by bx ，又b x y +-=22得38)(221-=+-+b b x b bx ， 即38)(12=-x x b 得，再由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y bx y 1得012=+-bx x ，从而b x x =+21，121=x x ，从而推出0)12)(4)(4(2=++-b b b ，所以4=b . 故348-=+∆∆BOD COA S S【总结升华】利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法.求两函数图像的交点坐标，即解由它们的解析式组成的方程组. 举一反三：【变式1】如图所示是一次函数y 1＝kx+b 和反比例函数2my x=的图象，观察图象写出y 1＞y 2时x 的取值范围________．【答案】利用图象比较函数值大小时，要看对于同一个自变量的取值，哪个函数图象在上面，哪个函数的函数值就大，当y 1＞y 2时，-2＜x ＜0或x ＞3． 答案：-2＜x ＜0或x ＞3 【变式2】已知函数232(21)my m x -=-，m 为何值时，(1)y 是x 的正比例函数，且y 随x 的增大而增大? (2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线? 【答案】(1)要符合题意，m 需满足2210,32 1.m m ->⎧⎨-=⎩ 解得1,21.m m ⎧>⎪⎨⎪=±⎩ ∴ m ＝1．(2)欲符合题意，m 需满足2210,32 1.m m -<⎧⎨-=-⎩ 解得1,23.3m m ⎧<⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩∴ 33m =-．6．已知直线11:n n l y x n n+=-+(n 是不为零的自然数)．当n ＝1时，直线1:21l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点A 1和B 1，设△A 1OB 1(其中O 是平面直角坐标系的原点)的面积为S 1；当n ＝2时，直线231:22l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点A 2和B 2，设△A 2OB 2的面积为S 2，…，依此类推，直线n l 与x轴和y 轴分别交于点A n 和B n ，设△A n OB n 的面积为S n ．(1)求11A OB △的面积S 1；(2)求S 1+S 2+S 3+…+S 6的面积．【思路点拨】此题是一道规律探索性题目，先根据函数解析式的通项公式得出每一个函数解析式，画出图象，总结出规律，便可解答． 【答案与解析】解：直线1:21l y x =-+，∴ 11OB =，112OA =．（1）111111112224S OB OA =⨯⨯=⨯⨯=． （2）由11n y x n n +=-+得，A 12123611A (0),(0,).n+1n11,,n+1n 1111,2n n+12(1)11,,212223111121222323426711111()21223346711(1)273.7n n n n n n OB B OA OB S n n S S S S S S ===⨯⨯=+==⨯⨯⨯⨯++++=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++++⨯⨯⨯⨯=-=△，【总结升华】借助直觉思维或对问题的整体把握运用归纳、概括、推理等思想获得合理的猜测．。

专题3.3平面直角坐标系（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).特别解读：平面直角坐标系三要素：两条数轴、有公共原点、互相垂直.【知识点2】点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.特别解读：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.（3）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．【知识点3】坐标平面1.象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．特别解读：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.【知识点4】点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律特别解读：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)．4.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.【知识点5】建立平面直角坐标系1.建立平面直角坐标系的基本思路（1）分析条件，选择适当的点作为原点；（2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x 轴和y 轴；（3）确定正方向、单位长度。