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知识要点-空间直角坐标系

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空间直角坐标系

空间直角坐标系

长度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标 系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐 标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距 离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角 度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应 用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积 对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方 向移动保持原点位 置不变
旋转和平移的复合 ：先旋转后平移或 先平移后旋转
旋转和平移的逆操 作：旋转和平移的 逆操作可以恢复原 坐标系
空间直角坐标系的 表示方法
空间直角坐标 系：由三个互 相垂直的坐标 轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示： 用三个数字表 示分别对应x、 y、z轴上的坐
感谢您的观看
汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中 的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是 三维的平面直角坐 标系是二维的
空间直角坐标系中的点 可以用三个坐标表示平 面直角坐标系中的点可 以用两个坐标表示
空间直角坐标系中 的点可以通过投影 变换转换为平面直 角坐标系中的点
平面直角坐标系中 的点可以通过升维 变换转换为空间直 角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向 的坐标。

空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系

空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系

空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。

这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。

空间直角坐标系可用如下图所示：（二）大地坐标系大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。

纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。

地面点的高程和国家高程基准(1)绝对高程。

地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。

过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程系”(Huanghai height system 1956水准原点高程为72.289m)。

后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。

国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。

它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。

在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。

(2)相对高程。

地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。

在图l—5中，地面点A和B的相对高程分别为H'A 和H'B 。

空间直角坐标系(104)

空间直角坐标系(104)
性质
空间直角坐标系具有方向性，即坐标 轴的正方向是确定的；同时，它还具 有唯一性，即对于空间中的任意一点 ，其坐标值是唯一的。
坐标系的建立
确定坐标原点
选择一个固定的点作为坐标系的原点， 该点是空间中唯一的一个点。
确定坐标轴方向
单位长度与坐标单位
根据实际需要选择适当的单位长度，如米、 厘米等，并规定x、y、z轴上的单位长度分 别为1、1、1，称为坐标单位。
点与坐标的关系
一个点的位置由其坐标值唯一确定， 而一个坐标值也唯一对应一个点。
02
空间直角坐标系的性质与 定理
点的坐标与向量表示
点的坐标
在空间直角坐标系中，一个点的 位置由三个坐标值$x, y, z$确定。
向量表示
一个点可以表示为一个向量，该 向量从原点出发，指向该点。
向量的加法、数乘及向量的模
向量在解决实际问题中的应用
向量还可以用于解决许多实际问题，如线性代数问题、微积分问题、流体力学问题等。通过空间直角坐 标系，可以更方便地表示和解决这些问题。
04
空间直角坐标系中的曲线 与曲面
曲线在空间直角坐标系中的表示
1 2
参数方程表示法
通过给定参数和参数方程，将曲线的坐标表示为 参数的函数。
直角坐标方程表示法
THANKS
感谢观看
空间几何体的运动分析
通过空间直角坐标系，可以分析空间几何体的运动规律，如平移、旋转、缩放等。
向量在解决实际问题中的应用
向量在物理中的应用
向量在物理中有广泛的应用，如力、速度、加速度等都可以用向量表示和计算。通过空间直角坐标系，可以更方便地 表示和计算这些物理量。
向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中有重要的应用，如向量的加法、数乘、向量的模等都可以用于解决实际问题。通过空间直角坐标系 ，可以更方便地表示和计算这些向量运算。

空间直角坐标系PPT课件

空间直角坐标系PPT课件
通过透视变换将三维图形投影 到某一平面上，产生近大远小
的效果。
二面投影
将三维图形分别投影到两个互 相垂直的平面上，得到两个二
维图形。
三面投影
将三维图形分别投影到三个互 相垂直的平面上，得到三个二
维图形。
05
空间直角坐标系与向量代数
向量的线性运算
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即向量a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
描述向量场中某点处场量旋转程度的大小和方向，其方向垂直于该 点处的场量。
06
空间直角坐标系与微积分
微分学在空间直角坐标系中的应用
空间直角坐标系中的导数
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，在空间直角坐标 系中，导数可以用来研究函数在三维空间中的变化趋势。
空间曲线在某点的切线方向
通过求导数，可以得到空间曲线在某一点的切线方向向量， 从而确定该点处曲线的变化趋势。
曲线和曲面的长度
通过使用一重积分，可以计算三维空间中曲线和曲面的长度。
重积分在空间直角坐标系中的应用
01
重积分在解决实际问题中的应用
重积分在解决实际问题中有着广泛的应用，例如计算物体的质量、质心、
转动惯量等。
02 03
重积分的物理意义
重积分的结果具有明确的物理意义，例如三重积分的结果表示三维空间 的体积，二重积分的结果表示二维平面的面积，一重积分的结果表示一 维线段的长度。
性质
空间直角坐标系具有方向性、正 交性和无限延展性，是描述空间 中点位置的数学工具。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是空间直角坐标系的起 点。

7-1 空间直角坐标系,向量及其线性运算

7-1 空间直角坐标系,向量及其线性运算

OM = { x , y , z } 与其终点 的坐标一致. 与其终点M 的坐标一致.
所以要求一个向量的坐标， 所以要求一个向量的坐标 ， 可将其起点移至坐标原点， 可将其起点移至坐标原点 ， 直接求终点的坐标即可. 直接求终点的坐标即可.
o o
z
M( x, y, z) y
x
利用坐标作向量的线性运算 r r r r r 设a = {ax , ay , az }, 即 a = a x i + a y j + a z k ; r r r r r b = bx i + b y j + bz k ; b = {bx , by , bz },
第七章
空间解析几何与向量代数
空间解析几何： 空间解析几何：通过建立空间直角坐标系 把空间几何图形和代数方程联系起来. 把空间几何图形和代数方程联系起来. 向量：既有大小又有方向的量. 向量：既有大小又有方向的量. 本章知识也为讨论多元函数微积分立下几何 基础。 基础。
第七章 七
第一节 空间直角坐标系、 向量及其线性运算
MD = 1 ( b − a) 2
C
b
A
M a B
∴ MA = − 1 ( a + b) MB = − 1 (b − a) 2 2 MC = 1 ( a + b) 2
向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 向量经过数乘运算后与原向量平行。 反之， 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. 如果两个向量平行，则它们之间必存在数乘关系. r r r r 定理: 设向量a ≠ 0，那末向量b 平行于a 的
2
Q M 1 P = x2 − x1 ,
z
R
• M2
M1

空间直角坐标系

空间直角坐标系

空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。

它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。

本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。

一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。

x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。

在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。

其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。

二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。

通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。

2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。

这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。

3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。

通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。

三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。

例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。

2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。

例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。

3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。

根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。

例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。

四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。

空间直角坐标系ppt课件

空间直角坐标系ppt课件
坐标系 Oxyz 中 x 轴、y 轴、z 轴的正方向
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).

空间直角坐标系

空间直角坐标系

空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。

它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。

一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。

x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。

这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。

二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。

正方向为从左往右。

2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。

正方向为从前往后。

3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。

正方向为从下往上。

空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。

三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。

这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。

点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。

例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。

向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。

例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。

五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。

知识要点空间直角坐标系

知识要点空间直角坐标系

知识要点空间直角坐标系空间直角坐标系是用来描述三维空间中点位置的一种坐标系统。

它由三个坐标轴x、y、z构成，且彼此互相垂直，并在相交点处成为原点O。

在空间直角坐标系中，每个点的位置可由它在每个坐标轴上的投影来确定。

假设特定点P的坐标为(x,y,z)，则在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y，z轴上的投影为z。

空间直角坐标系的特点是可以将任意三维空间中的点表示为有序的数对(x,y,z)，并且任意两点之间的距离可以用直线段来表示。

其基本特征有以下几点：1.原点O：空间直角坐标系的交点即为原点O，它的坐标为(0,0,0)。

2.坐标轴：空间直角坐标系有三个互相垂直的坐标轴，分别为x轴、y轴和z轴。

它们分别与三个方向对应：x轴正向为向右，y轴正向为向上，z轴正向为向外。

3. 坐标面：由三个坐标轴所确定的平面称为坐标面。

分别为xoy平面（z = 0）、xoz平面（y = 0）和yoz平面（x = 0）。

4.坐标轴方向：坐标轴方向有正负之分，规定沿着轴线正向的方向为正方向，反向则为负方向。

5.坐标轴长度：不同坐标轴的长度可以任选，但通常选择相等长度，方便计算。

在空间直角坐标系中，我们可以通过以下方法进行基本的空间点运算：1.点的移动：在坐标轴上，点的移动相当于坐标值的变化。

向右移动，坐标值加；向左移动，坐标值减；向上移动，坐标值加；向下移动，坐标值减；向外移动（离原点越来越远），坐标值加；向内移动（离原点越来越近），坐标值减。

2.点的关系：可以通过对比坐标值来判断两个点的相对位置。

若两点的x、y、z坐标值分别相等，则它们重合；若只有一个坐标值相等，则它们在同一坐标轴上；若有两个坐标轴的坐标值相等，则它们在同一平面上；若没有坐标值相等，则它们位于不同的坐标平面中。

3.点的中点坐标：求两点的中点坐标，可以将两个点的对应坐标分别相加然后除以24. 点的距离：可以根据勾股定理来求两点之间的距离。

设两点分别为P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，则它们之间的距离d为：d =sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。

空间直角坐标系

空间直角坐标系

一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，

空间各种直角坐标系

空间各种直角坐标系

本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。

这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。

空间直角坐标系可用如下图所示：（二）大地坐标系大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。

纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。

地面点的高程和国家高程基准(1)绝对高程。

地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。

过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程系”(Huanghai height system1956水准原点高程为72.289m)。

后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。

国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。

它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。

在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。

(2)相对高程。

地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。

在图l—5中，地面点A和B的相对高程分别为H'A和H'B。

(3)高差。

地面上任意两点的高程(绝对高程或相对高程)之差称为高差。

空间直角坐标系(85)

空间直角坐标系(85)

THANKS
感谢观看
坐标系的建立
01
02
03
确定坐标原点
选择一个点作为坐标系的 原点，通常选择空间中的 任意一点。
确定坐标轴方向
根据需要确定x轴、y轴、 z轴的方向，通常采用右 手螺旋法则来确定。
确定单位长度
根据需要确定坐标轴上的 单位长度，通常采用国际 单位制（米、厘米等）。
空间点的坐标表示
点P在空间直角坐标系中的坐标为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示点P到x轴、 y轴、z轴的距离。
计算机图形学中的坐标系
计算机图形学中，空间直角坐标系被 广泛用于描述二维或三维图形。在二 维图形中，坐标系通常由一个原点和 两个相互垂直的轴组成，用于表示图 形的位置和大小。在三维图形中，坐 标系由一个原点和三个相互垂直的轴 组成，用于表示图形的位置、方向和 大小。
VS
在计算机图形学中，空间直角坐标系 不仅用于描述图形的几何属性，还用 于实现图形的变换、投影和渲染等操 作。例如，通过坐标变换可以将一个 图形的位置、方向和大小改变；通过 投影可以将三维图形映射到二维平面 上；通过渲染可以将二维或三维图形 显示在屏幕上。
空间直角坐标系(85)
目录
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间直角坐标系的变换 • 空间直角坐标系的应用 • 空间直角坐标系的扩展 • 空间直角坐标系的实践应用
01
空间直角坐标系的基间直角坐标系是由三个互相垂 直的坐标轴组成的，通常称为x轴 、y轴、z轴。
性质
空间直角坐标系具有方向性，即 正方向和负方向，以及无穷远点 ，即正无穷远和负无穷远。
在建筑、机械、航空航天、地理信息系统等领域中，三维坐标
系被广泛用于测量、设计和定位。

空间直角坐标系(117)

空间直角坐标系(117)
高维空间的应用
在数据分析、机器学习等领域中， 高维空间坐标系被广泛应用于处 理多维数据。
THANKS FOR WATCHING
感ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ您的观看
在物理模拟中，利用空间解析几何的方法 描述物体的运动状态和相互作用，实现物 理现象的计算机模拟和分析。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
空间直角坐标系的定义
由三个互相垂直的数轴所构成的坐标系，用于确定空间 中点的位置。
空间点的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意一点P的位置可以用三个实数 x、y、z来表示，称为点P的坐标。
向量数量积和向量积运算规则
向量数量积
向量数量积又称点积或内积，设两个向量a和b的夹角为θ，则它们的数量积可以表示为a·b=|a||b|cosθ。 数量积满足交换律、分配律和结合律。
向量积
向量积又称外积或叉积，设两个向量a和b的夹角为θ，则它们的向量积可以表示为c=a×b，其中c的大小 为|c|=|a||b|sinθ，c的方向垂直于a和b所在的平面，且满足右手定则。向量积满足反交换律、分配律和雅 可比恒等式。
高维空间中的向量表示
n维空间坐标系
在更高维度空间中，可以定义n个 互相垂直的数轴构成n维空间坐标 系，用于描述多维数据。
在n维空间中，向量可以用n个实 数表示，称为n维向量。
四维空间坐标系
在三维空间的基础上增加一维时 间轴，构成四维时空坐标系，用 于描述物体的时空位置。
高维空间中的向量运算
与三维空间中的向量运算类似， 包括加法、减法、数乘以及点积 和叉积等。
数、棱数和面数之间的关系等。
实际问题中空间解析几何应用探讨
工程测量
机器人路径规划
在建筑工程中，利用空间解析几何的方法 进行测量和定位，如建筑物的定位、高程 测量和地形测绘等。

空间直角坐标系的概念

空间直角坐标系的概念

空间直角坐标系的概念
哎呀呀，同学们，你们知道什么是空间直角坐标系吗？反正我一开始听到这个名字的时候，脑袋里那是一团乱麻呀！
就好像我们在操场上跑步，只能沿着前后左右跑，这是不是很简单？但空间直角坐标系可就复杂多啦！
想象一下，我们的教室就是一个大大的空间。

从黑板到后面的墙壁，这是一个方向；从左边的窗户到右边的窗户，这是另一个方向；从地面到天花板，这又是一个方向。

这三个方向就像是三根神奇的魔法棒，组合在一起就变出了空间直角坐标系。

老师给我们讲的时候，我就在想，这不是跟搭积木一样嘛！每一块积木都有自己的位置，在这个空间直角坐标系里，每一个点也都有它特定的位置。

比如说，我把我的铅笔放在课桌上的某个地方，用空间直角坐标系就能准确地说出它在哪里。

这多神奇呀！
有一次，我和同桌一起讨论这个问题。

我问他：“你能想象出这个坐标系到底是怎么回事吗？”他皱着眉头说：“我觉得好难啊，这比做数学作业还让人头疼！”我笑着说：“别着急，咱们慢慢想，总能搞明白的！”
后来我们一起努力，好像慢慢有点懂了。

就好像在黑暗中摸索，终于找到了一点点亮光。

空间直角坐标系不就是给空间里的每一个东西都找到了一个独一无二的“家”吗？不管是一个小球，还是一本书，都能在这个坐标系里有自己的“地址”。

我觉得呀，虽然一开始觉得它很难很复杂，但只要我们认真去学，去思考，就一定能把它拿下！同学们，你们说是不是？。

空间直角坐标系(98)

空间直角坐标系(98)

三个数轴分别称为x轴、y轴和z 轴，它们互相垂直并相交于原点
O。
空间直角坐标系具有三个基本性 质：坐标轴的正方向、单位长度
和原点位置。
坐标轴与坐标平面
x轴、y轴和z轴统称为坐标轴， 它们分别代表不同的方向。
由任意两个坐标轴确定的平面 称为坐标平面，共有三个：xy 平面、yz平面和zx平面。
坐标平面将空间分为八个象限， 每个象限内的点具有特定的坐 标符号组合。
通过已知点作给定直线的垂线，求出垂足坐标，再利用两点间
距离公式计算点到直线的距离。
两异面直线距离计算
公垂线法
找出两异面直线的公垂线，然后利用公垂线的长度计算两异面直 线的距离。
向量法
分别求出两异面直线上任意两点的向量，然后利用向量间的夹角 和模长计算两上的直线，然后利用平面几何知识 求解两直线的距离。
面。
点法式
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(zz_0)=0$，其中$(x_0,y_0,z_0)$ 为平面上一点，$A,B,C$为平面
的法向量。
三点式
通过平面上不共线的三点 $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_ 3,y_3,z_3)$可确定一个平面。
直线与平面位置关系判断
点在空间直角坐标系中表示
空间中的任意一点P可以用三个 实数x、y、z来表示，称为点P的
坐标，记作P(x,y,z)。
坐标x、y、z分别表示点P到x轴、 y轴和z轴的垂直距离，距离的正
负号由点P所在的象限确定。
原点O的坐标为(0,0,0)，它是空 间中唯一一个三个坐标都为0的
点。
02 空间向量及其运算
几种常见的空间曲面
球面、柱面、旋转曲面等。例如，球 心在原点、半径为$R$的球面方程为 $x^2+y^2+z^2=R^2$。

知识讲解_空间直角坐标系_基础

知识讲解_空间直角坐标系_基础

空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -.要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离||d AB ==特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA =2.空间线段中点坐标空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一：空间坐标系例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。

怎么看空间直角坐标系的点

怎么看空间直角坐标系的点

怎么看空间直角坐标系的点空间直角坐标系是三维空间中常用的一种坐标系。

在空间直角坐标系中，一个点可以由其在三个坐标轴上的坐标确定。

本文将介绍如何准确定位和观察空间直角坐标系中的点。

1. 空间直角坐标系的概念空间直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴组成，通常分别表示为X轴、Y轴和Z轴。

这些坐标轴的交点称为原点，通常记作O。

每个轴上都有一个正半轴和一个负半轴；正半轴从原点开始延伸正方向，负半轴则反之。

通过给定点在X、Y和Z 轴上的坐标，可以确定三维空间中的一个点。

在空间直角坐标系中，每个点的坐标形式为(X, Y, Z)，其中X、Y和Z分别表示点在X、Y和Z轴上的坐标。

2. 确定一个点的坐标要确定一个点在空间直角坐标系中的坐标，需要找到该点在X、Y和Z轴上的投影。

以下是一种确定一个点的坐标的方法：•垂直于X轴放置一个尺度，尺度上的单位可以是任意长度单位。

将尺度的原点与X轴上的点对齐，然后沿着尺度确定点在X轴上的坐标。

•在与X轴垂直并与尺度平行放置一个尺度，将尺度的原点与Y轴上的点对齐，然后沿着尺度确定点在Y轴上的坐标。

•在与X轴和Y轴垂直的平面上放置一个尺度，将尺度的原点与Z轴上的点对齐，然后沿着尺度确定点在Z轴上的坐标。

通过以上步骤，可以得到点在X、Y和Z轴上的坐标，从而确定了该点在空间直角坐标系中的位置。

3. 观察空间直角坐标系中的点观察空间直角坐标系中的点可以通过以下方法进行：•视角的选择：选择一个适当的视角可以更好地观察点的位置。

可以通过改变观察者的位置和角度来调整视角。

观察点时，需要确保能够清晰地看到点所在的位置，并尽可能避免视觉上的混淆。

•点的位置关系：观察点时，可以注意点与坐标轴之间的位置关系。

对于每个点，可以通过观察其在各个轴上的坐标值，了解点在空间直角坐标系中的具体位置。

可以通过比较各个坐标轴上的坐标值，判断点在空间中是处于哪个象限或者平面上。

•距离和方向的观察：可以观察点与其他点、轴线或平面之间的距离和方向关系。

空间直角坐标系知识点

空间直角坐标系知识点

空间直角坐标系知识点空间直角坐标系是我们在学习数学、物理等科学领域常常遇到的一个重要概念。

它是一种表示三维空间中点位置的方法，通过三个相互垂直的坐标轴来确定点的位置。

本文将介绍空间直角坐标系的基本概念、坐标轴的方向以及一些常见的知识点。

一、空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个互相垂直的坐标轴构成的。

我们可以将这三个坐标轴分别标记为X轴、Y轴和Z轴。

在空间直角坐标系中，任意一个点的位置可以通过它在每一个坐标轴上的投影来确定。

在空间直角坐标系中，我们通常用（x，y，z）来表示一个点的坐标，其中x代表该点在X轴上的位置，y代表该点在Y轴上的位置，z代表该点在Z轴上的位置。

这三个坐标分别是实数。

二、坐标轴的方向在空间直角坐标系中，坐标轴的方向是固定的。

X轴的正方向为从左向右，Y轴的正方向为从下向上，Z轴的正方向为从后向前。

这个规定是为了统一表示、计算和解析几何的方向。

需要注意的是，不同的学科、领域可能对坐标轴的方向有所不同。

在一些物理学或工程学的问题中，X轴的正方向可能定义为从右向左，Y轴的正方向可能定义为从上向下，Z轴的正方向可能定义为从前向后。

因此，在应用空间直角坐标系时，我们需要根据具体问题确定坐标轴的方向。

三、常见的空间直角坐标系知识点1. 距离公式：在空间直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理计算。

设两点分别为A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），则AB的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。

2. 坐标轴的平面：由X轴和Y轴组成的平面叫做XY平面，由X轴和Z轴组成的平面叫做XZ平面，由Y轴和Z轴组成的平面叫做YZ平面。

3. 坐标轴上的投影：在空间直角坐标系中，一个点在某个坐标轴上的投影就是它在该坐标轴上的坐标。

例如，一个点的投影坐标为（x，y，0），表示该点在XY平面上。

4. 坐标轴的正向和负向：在一个坐标轴上，正向是指从原点指向无穷大的方向，负向是指从原点指向负无穷大的方向。

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第5讲 空间直角坐标系★知识梳理★1.右手直角坐标系①右手直角坐标系的建立规则：x 轴、y 轴、z 轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；②已知点的坐标),,(z y x P 作点的方法与步骤（路径法）：沿x 轴正方向（0>x 时）或负方向（0<x 时）移动||x 个单位，再沿y 轴正方向（0>y 时）或负方向（0<y 时）移动||y 个单位，最后沿x 轴正方向（0>z 时）或负方向（0<z 时）移动||z 个单位，即可作出点③已知点的位置求坐标的方法：过P 作三个平面分别与x 轴、y 轴、z 轴垂直于C B A ,,，点C B A ,,在x 轴、y 轴、z 轴的坐标分别是c b a ,,，则),,(c b a 就是点P 的坐标2、在x 轴上的点分别可以表示为),0,0(),0,,0(),0,0,(c b a ，在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的点分别可以表示为),,0(),,0,(),0,,(c b c a b a ;3、点),,(c b a P 关于x 轴的对称点的坐标为),,(c b a --点),,(c b a P 关于y 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；点),,(c b a P 关于z 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；点),,(c b a P 关于坐标平面xOy 的对称点为),,(c b a -；点),,(c b a P 关于坐标平面xOz 的对称点为),,(c b a -；点),,(c b a P 关于坐标平面yOz 的对称点为),,(c b a -；点),,(c b a P 关于原点的对称点),,(c b a ---。

4. 已知空间两点),,(),,(222111z y x Q z y x P ，则线段PQ 的中点坐标为)2,2,2(212121z z y y x x +++5．空间两点间的距离公式已知空间两点),,(),,(222111z y x Q z y x P ， 则两点的距离为221221221)()()(||z z y y x x PQ -+-+-= ，特殊地,点),,(z y x A 到原点O 的距离为222||z y x AO ++=;5．以),,(000z y x C 为球心,r 为半径的球面方程为2202020)()()(r z z y y x x =-+-+-特殊地,以原点为球心,r 为半径的球面方程为2222r z y x =++★重难点突破★重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题1：点),,(c b a P 到y 轴的距离为[解析]借助长方体来思考，以点P O ,为长方体对角线的两个顶点，点),,(c b a P 到y 轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为22c a +2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题2：对于任意实数,,x y z +的最小值[解析](,,)x y z 到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)-的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点(1,2,1)-。

3．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直(2)判断空间三点是否共线(3)得到一些简单的空间轨迹方程★热点考点题型探析★考点1: 空间直角坐标系题型1: 认识空间直角坐标系[例1 ]（1）在空间直角坐标系中，y a =表示 （ ）A ．y 轴上的点B ．过y 轴的平面C ．垂直于y 轴的平面D ．平行于y 轴的直线（2）在空间直角坐标系中，方程x y =表示A ．在坐标平面xOy 中，1，3象限的平分线B ．平行于z 轴的一条直线C ．经过z 轴的一个平面D ．平行于z 轴的一个平面【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中, 方程1=x 表示所有横坐标为1的点的集合[解析]（1）y a =表示所有在y 轴上的投影是点)0,,0(a 的点的集合，所以y a =表示经过点)0,,0(a 且垂直于y 轴的平面（2）方程x y =表示在任何一个垂直于z 轴的一个平面内，1，3象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。

如：经过点)0,0,(a 且垂直于x 轴的平面上的点都可表示为),,(z y a题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题[例2 ] 点),,(c b a P 关于z 轴的对称点为1P ，点1P 关于平面xOy 的对称点为2P ，则2P 的坐标为【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系[解析]因点P 和1P 关于z 轴对称, 所以点P 和1P 的竖坐标相同,且在平面xOy 的射影关于原点对称,故点1P 的坐标为),,(c b a --,又因点1P 和2P 关于平面xOy 对称, 所以点2P 坐标为),,(c b a ---【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点2P 为点),,(c b a P 关于原点的对称点,故坐标为),,(c b a ---【新题导练】1．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的顶点坐标分别为(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)A B D ，1(0,0,5)A ，则1C 的坐标为 。

[解析]正四棱柱1111ABCD A B C D -过点A 的三条棱恰好是坐标轴，∴1C 的坐标为（2，2，5）2．平行四边形ABCD 的两个顶点的的坐标为)3,2,3(),3,1,1(--B A ，对角线的交点为)4,0,1(M ，则顶点C 的坐标为 , 顶点D 的坐标为[解析]由已知得线段AC 的中点为M ,线段BD 的中点也是M ,由中点坐标公式易得 )5,1,3(-C ，)11,2,1(--D3．已知(4,3,1)M -，记M 到x 轴的距离为a ，M 到y 轴的距离为b ，M 到z 轴的距离为c ，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>[解析]借助长方体来思考, a 、b 、c 分别是三条面对角线的长度。

5,17,10===∴c b a ，选C考点2：空间两点间的距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题[例3 ] 如图：已知点(1,1,0)A ，对于Oz 轴正半轴上任意一点P ，在Oy 轴上是否存在一点B ，使得PA AB ⊥恒成立？若存在，求出B【解题思路】转化为距离问题，即证明222PB AB PA =+[解析]设 ),0,0(c P )0,,0(b B ， 对于Oz 轴正半轴上任意一点P ，假设在Oy 轴上存在一点B ，使得PA 则222PB AB PA =+222222222)0()0()00(])00()1()01[(])0()10()10[(-+-+-=-+-+-+-+-+-∴c b b c 即22)1(3b b =-+，解得：2=b所以存在这样的点B ，当点B 为(0,2,0)时，PA AB ⊥恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。

此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。

【新题导练】4．已知(,5,21),(1,2,2)A x x x B x x --+-，当,A B 两点间距离取得最小值时，x 的值为 （ ）A ．19B ．87-C ．87D ．1914[解析]75)78(14191214)33()23()1(||22222+-=+-=-+-+-=x x x x x x AB 当=x 87时，||AB 取得最小值 5．已知球面222(1)(2)(3)9x y z -+++-=，与点(3,2,5)A -，则球面上的点与点A 距离的最大值与最小值分别是 。

[解析]球心6),3,2,1(=-AC C ，球面上的点与点A 距离的最大值与最小值分别是9和36．已知三点(1,1,2),(1,2,1),(,0,3)A B C a --，是否存在实数a ，使A 、B 、C 共线？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

[解析] AB ==AC ==BC ==因为BC AB >，所以，若,,A B C 三点共线，有BC AC AB =+或AC BC AB =+， 若BC AC AB =+，整理得：2518190a a ++=，此方程无解；若AC BC AB =+，整理得：2518190a a ++=，此方程也无解。

所以不存在实数a ，使A 、B 、C 共线。

★抢分频道★基础巩固训练1．将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将x 轴与y 轴，x 轴与z 轴所成的角画成（ ）A ．090B ．0135C ．045D ．075 解析：选B2. 点(3,4,5)P 在yoz 平面上的投影点1P 的坐标是 （ ）A ．(3,0,0)B ．(0,4,5)C ．(3,0,5)D ． (3,4,0) 解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选B3. 三棱锥ABC O -中，)3,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,0,0(C B A O 此三棱锥的体积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ． 6[解析] OC OB OA ,,两两垂直，13212131=⋅⋅⋅⋅=-ABC O V 4．（2007山东济宁模拟）设点B 是点A(2,-3,5)关于平面xOy 的对称点，则|AB|等于( )A ．10B ．10C ．38D ．38[解析] A点A(2,-3,5)关于平面xOy 的对称点为)5,3,2(--B ,10)]5(5[)]3(3[)22(222=--+---+-=AB5．（2007年湛江模拟）点)3,2,1(P 关于y 轴的对称点为1P ， P 关于平面xOz 的对称点为2P ，则||21P P =[解析] )3,2,1(1--P ，)3,2,1(2-P ，56||21=∴P P6．正方体不在同一表面上的两顶点P （-1，2，-1），Q （3，-2，3），则正方体的体积是[解析] Q P , 不共面，PQ ∴为正方体的一条对角线，34=PQ ，正方体的棱长为4，体积为64综合提高训练7．空间直角坐标系中，到坐标平面xOy ，xOz ，yOz 的距离分别为2，2，3的点有A.1个B.2个C.4个D.8个解析：8个。