2.2 轴对称的性质(1) 2

轴对称、中心对称图形的性质及应用一、轴对称图形如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：(1)轴对称图形的两部分是全等的；(2)对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1 已知直线l外有一定点 P，试在l上求两点A、B，使AB＝m(定长)，且PA＋PB最短．分析当把P点沿l方向平移至C(如图1)，使PC＝m，那么问题就转化为在l上求一点B，使CB＋PB为最短．作法过P作PC∥l，使PC＝m，作P关于l的对称点P＇，连结CP＇交l于B．在l上作AB＝m，点A、B为所求之两点．证在l上另任取A＇B＇＝m，连PA、PA＇、PB＇，CB＇，A＇P＇，B＇P＇，则PA＇＝P＇A＇，PB＇＝P＇B＇，又PA＇B＇C 为平行四边形，∴CB＇＝PA＇．∵CB＇＋B＇P＇＞CP＇，∴ PA＇＋PB＇＞PA＋PB．例2 如图2，△ABC中，P为∠A外角平分线上一点，求证：PB＋PC＞AB＋AC．分析由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP、CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把 AB＋AC、AC、PB、PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证 (略)说明通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用(如AB＋AC化直为BD)．例3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m．过AD、BC的中点M、N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4 凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．证如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称．例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知如图22－5．四边形ABCD中，M、F、N、E分别为各边的中点，且MN、EF为它的对称轴．求证 ABCD是矩形．分析欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF，∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB．又∵DE＝DC/2，AF＝AB/2．∴DE AF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝Rt∠．∴ABCD是矩形．二、中心对称图形如果把一个图形绕着某一点旋转180°后，能和原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点叫做对称中心，能重合的点互为对称点．中心对称图形具有以下性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．(2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等．平行四边形是中心对称图形．矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形．例6 如图6．已知ABCD，O是对角线 AC与BC的交点． EF过O点与AB交于E，与DC交于F．求证：OE＝OF．证∵O点是ABCD的对称中心，EF过O点与AB相交于E，与DC相交于F．故E、F两点是以点O为对称中心的对称点．∴OE＝OF．例7 △ABC中，底边BC上的两点M、N把BC三等分，BE是AC上的中线，AM、AN分BE 为a，b，c三部分，求：a∶b∶c．分析本题解法很多，我们利用中心对称图形求解．如图7，以E为中心，作已知图形的中心对称图形，则M＇C∥AM，N＇C ∥AN，于是可得a∶(2b＋2c)＝1/2，∴a＝b＋c，①(a＋b)∶2c＝DN＇∶N＇A＝2∶1，∴a＋b＝4c，②由①得，a－b＝c，③②＋③， 2a＝5c，∴a＝5c/2．②－③，2b＝3c，∴b＝3c/2．∴ a∶b∶c＝5c/2∶3c/2∶c＝5∶3∶2．解 (略)例8 若四边形的一组对边相等，延长这一组对边，使各与另一组对边的中点连线的延长线相交，则这两个交角必相等．已知如图8．四边形ABCD中， AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于G、H．求证∠AGE＝∠BHE．分析为了使求证的两个角与已知条件发生联系，利用“旋转法”使角或线段搬家而沟通思路．证如图8，以E为对称中心，作△EBC的中心对称图形△EAM(即连结CE并延长CE到M 使EM＝EC，连结AM)．连结DM，AM＝BC＝AD，∴∠2＝∠3．∵DF＝FC，CE＝EM，∴DM∥HE，∴∠1＝∠2．∵AE＝EB， EM＝EC，∴AMBC是平行四边形．∴AM∥BH，而DA∥HE，∴∠3＝∠BHE．∴∠1＝∠BHE，即∠AGE＝∠BHE．习题1．如图9 一牧童在A处牧马，牧童家在B处．A、B处距河岸分别为300m、500m，CD ＝600m，天黑前，牧童从A点将马牵到河边去饮水后再赶回家．那么牧童最少要走多少米？2．证明：任一点关于正方形各边中点的对称点是一个正方形的顶点．3．求证：在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么它的面积等于AC·BD/2．4．在直线MN两侧有A，B两点，在MN上求一点P，使P到A、B两点之差最大．5．等腰梯形的周长为22cm，中位线长为 7cm，两条对角线中点连线为3cm，求各边长．。

轴对称的定义和性质一、轴对称的定义和性质1、轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

2、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

3、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别轴对称为两个图形之间的对称关系，并且只有一条对称轴。

轴对称图形为一个图形，且不一定只有一条对称轴。

联系轴对称：（1）沿对称轴折叠，两个图形重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

轴对称图形：（1）沿对称轴折叠，图形的两部分重合；（2）如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。

4、图形轴对称的性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上。

5、画图形的对称轴如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。

同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。

6、画轴对称图形（1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线$l$对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。

新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线$l$的对称点。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

（2）画一个图形的轴对称图形的方法找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）。

作——作各个特殊点关于对称轴的对称点。

连——依次连接各对称点。

课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 2.2 轴对称的性质（2）教学目标1．会画已知点关于已知直线l的对称点，已知线段的对称线段，已知三角形的对称三角形；让学生先从“做数学”中体会“获取知识”的快乐；2．让学生们感受分类讨论的思想，体会方法的多样性和知识的丰富性．教学重点作已知图形的轴对称图形的一般步骤教学难点怎样确定已知图形的关键点并根据这些点作出对称图形．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一. 自主先学：思考：如图，A、B、C 3点都在方格纸的格点位置上．请你再找一个格点D，使图中的4点组成一个轴对称图形．二．探究交流实践探索一以其中的个别对应点为例，去掉网格线，你能找出点C关于直线AB的对应点么？点A关于直线AB的对应点有吗？（分类讨论点在线上与点在线外作对应点的方法）．AC关于直线AB的对称图形实践探索二你能画出线段AB关于直线l的对称图形么？如果直线l 外有线段AB ，那么怎样画出线段AB 关于直线l 的对称线段A 'B '？怎样画已知线段关于某直线对称的线段？怎样画已知三角形关于某直线对称的三角形？说说你的想法和根据，展开讨论，踊跃回答，并动手去做一做．实践探索三画出△ABC 关于直线MN 的对称图形实践探索四在图中，四边形ABCD 与四边形EFGH 关于直线l 对称．连接AC 、BD ．设它们相交于点P ．怎样找出点P 关于l 的对称点Q ？提示：成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称．BCN问题1 在图2-11中连接AC、BD，画出它们的交点P，你能用折纸、扎孔的方法画出点P关于直线l的对称的点Q吗？问题2 你能用直尺和三角尺，根据“画点A关于直线l的对称的点A ”的方法画出点P关于直线l的对称的点Q．问题3 为什么EG和FH的交点就是与点P对称的点Q？三．交流展示请同学们用自己的语言再来复述一下画轴对称图形的方法．（1）先画对称轴，再画已知点关于对称轴的对称的点；（2）先画已知三角形的各顶点的对称的点，再画出关于对称轴对称的三角形；成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称．四.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记。

(1)2.2轴对称的性质教学目标1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，且成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力．教学重点理解“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等”．教学难点轴对称性质的运用教学过程开场白同学们，你们喜欢照镜子吗你知道“你与镜中的你”有什么关系吗引入【一些图形也想照镜子看看自己美不美，一位数学老师就让同学们记录下圆、正方形、长方形、平行四边形照镜子的状况，你对这四位的记录有什么意见吗（投影图片）同学们的看法到底对不对通过这一节课的学习我们就有答案了（对学生的回答不予评价，探索完轴对称的性质后，让学生自评或互评）．需满足几个条件（活动说明：最好用透明纸，这样更方便观察现象）．实践探索一1．指导学生完成下边的活动（投影要求）．活动一：如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A，折痕记为l；连接AA，AA与l相交于点O．2．探究：你有什么发现（1）通过活动一的操作，你小组探索的结果是什么你们是怎样发现的给直线l起个名字．（2）线段的垂直平分线你觉得线段的垂直平分线我们怎样定义%线段的垂直平分线的特征是什么实践探索二指导学生完成活动二（投影要求）．仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B，连接AB、A B、BB．你有什么新的发现实践探索三（投影要求）如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线．你又有什么发现引导学生观察，形成结论．返回情景导入题（投影图片）开始同学们的回答对不对先让学生自评，再由他评．投影例题&例1 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸放在镜子前．（1）你能画出镜子所在直线l的位置吗（2）图中点A、B、C、D的在镜中的对应点分别是，线段AC、AB 的在镜中的对应线段分别是，CD＝，∠CAB＝，∠ACD＝.（3）连接AE、BG，AE与BG平行吗为什么（4）AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、EG，你有什么发现吗总结轴对称在我们的生活中无处不在，通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家。

专题13 轴对称的性质知识网络重难突破知识点一轴对称图形及轴对称性质1、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．2、两个图形成轴对称如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．3、轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．典例1（2019春•青羊区期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．典例2如图，ABC∠的度数为（）∆与△A B CC∠'=︒，则B'''关于直线l对称，98A∠=︒，28A．28︒B．54︒C．74︒D．78︒【解答】解：ABC'''关于直线l对称，∆与△A B C∴∆≅△A B C'''，ABC∴∠=∠'，C CC∠'=︒，∠=︒，28A98∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．180180982854B A C故选：B．典例3（2019春•陕西期末）下列说法：（1）线段的对称轴有两条；（2）角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；（3）两个全等的等边三角形一定成轴对称；（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线两侧；（5）到直线L距离相等的点关于L对称．其中说法不正确的有()A．3 个B．2 个C．1 个D．4 个【解答】解：（1）线段的对称轴有两条，说法正确；（2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，说法错误；（3）两个全等的图形不一定组成轴对称图形，说法错误；（4）两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，说法错误；（5）到直线l距离相等的两点不一定关于l对称，说法错误；其中不正确的有4个；故选：D．知识点二利用轴对称作图1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对称轴．2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形．典例1（2019春•金牛区期末）如图，在正方形网格上有一个ABC．（1）画ABC ∆关于直线MN 的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）ABC ∆关于直线MN 的对称图形如图所示；（2）ABC ∆的面积11145141453222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，20227.5=---， 8.5=．典例2（2019春•罗湖区期末）如图，在1010⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点ABC ∆（即三角形的顶点都在格点上）（1）在图中作出ABC ∆关于直线l 对称的△111A B C （要求：A 与1A ，B 与1B ，C 与1C 相对应） （2）在（1）的结果下，连接1BB ，1AB ，则△11A BB 面积是 ；（3）在对称轴上有一点P ，当PBC ∆周长最小时，P 点在什么位置，在图中标出P 点．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求；（2）如图，△11A BB 面积是12442⨯⨯=，故答案为：4；（3）如图所示，点P 即为所求．知识点三 轴对称的应用（最短路径）基本问题：在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A 、B 的距离之和最小．变式1：在直线l上找一点P，使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小．变式2：直线m、n交于O，P是两直线间的一点，在直线m、n上分别找一点A、B，使得PAB的周长最短．典例1（2019秋•南开区期末）如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()A．B．C．D．【解答】解：作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．典例2（2017•花都区一模）四边形ABCD中，130B D∠=∠=︒，在BC、CD上分别找一点M、N，∠=︒，90BAD使三角形AMN周长最小时，则AMN ANM∠+∠的度数为()A．80︒B．90︒C．100︒D．130︒【解答】解：延长AB到A'使得BA AB''=，连接A A'''与BC、CD分别交于'=，延长AD到A''使得DA AD点M、N．∠=∠=︒，ABC ADC90∴、A'关于BC对称，A、A''关于CD对称，A此时AMN∆的周长最小，⊥，='，MB ABBA BA∴='，同理：NA NAMA MA=''，∴∠'=∠，A NADA MAB∠''=∠，∠=∠''+∠=∠''，ANM A NAD A∠=∠'+∠=∠'，22AMN A MAB A∴∠+∠=∠'+∠''，2()AMN ANM A A∠=︒，BAD130∴∠'+∠''=︒-∠=︒A A BAD18050∴∠+∠=⨯︒=︒．AMN ANM250100故选：C．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2019春•金牛区期末）下列图形中，为轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．（2019春•光明区期末）石鼓文，秦刻石文字，因其刻石外形似鼓而得名．下列石鼓文，是轴对称的是( )A．B．C．D．【解答】解：A中图形是轴对称图形，B、C、D中图形都不是轴对称图形，故选：A．3．（2019春•陕西期末）如图下面镜子里哪个是他的像？()A．A B．B C．C D．D【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．故选：B．4．（2019春•罗湖区期末）下列说法中正确的是()①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的中线也是它的高；④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④【解答】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等是正确的．②根据三角形面积公式即可得到等腰三角形两腰上的高相等，说法是正确；③等腰三角形的中线不一定是它的高，说法是错误；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，说法正确．故选：C．5．如图，ABC∆关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是()∆与DEFA ．//AB DF B ．B E ∠=∠C ．AB DE =D ．AD 的连线被MN 垂直平分【解答】解：A 、AB 与DF 不是对应线段，不一定平行，故错误；B 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，则ABC DEF ∆≅∆，B E ∠=∠，正确；C 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，则ABC DEF ∆≅∆，AB DE =，正确；D 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，A 与D 的对应点，AD 的连线被MN 垂直平分，正确．故选：A ．6．（2019秋•路北区期末）已知30AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠内部，点1P 与点P 关于OA 对称，点2P 与点P 关于OB 对称，则△12POP 是( ) A ．含30︒角的直角三角形 B ．顶角是30︒的等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：P 为AOB ∠内部一点，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为1P 、2P ， 12OP OP OP ∴==且12260POP AOB ∠=∠=︒，∴故△12POP 是等边三角形．故选：C ．7．（2017•青羊区校级自主招生）在日常生活中，有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如川80808A ，川22222A ，川12321A 等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照，如果让你负责制作以9为字母“A ”后的第一个数字，且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作( )A．500个B．300个C．100个D．50个【解答】解：以9为字母“A”后的第一个数字且有五个数字的“数字对称”牌照，即牌照是99ABA，则A有09-共10种可能，B有09-共10种可能，所以9开头的组合最多是1010100⨯=个．故选：C．8．（2018春•锦江区期末）如图，ABCBD=，过点D作AB的垂线∆的周长为16．点D是AB边的中点，2∆的周长最小值为()l，E是l上任意一点，则AECA．12B．14C．16D．18【解答】解：点D是AB边的中点，2BD=，∴==，AB BD24∆的周长为16，ABC12∴+=，AC BC如图，连接BE，点D是AB边的中点，l AB⊥，l∴是AB的垂直平分线，∴=，AE BE∴+=+，AE CE BE CEBE CE BC+，+的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴当B，E，C在同一直线上时，BE CE+=，AC BCAEC∴∆的周长最小值等于12故选：A．二、填空题（共3小题）9．（2018春•深圳期末）如图，直线l是四边形ABCD的对称轴．若//AD BC，则下列结论：（1）//=．∠；（4）AO CO=；（3）BD平分ABCAB CD；（2）AB BC其中正确的有（填序号）．【解答】解：如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，∴∠=∠，3412∠=∠，AD BC，//∴∠=∠，23∴∠=∠=∠，134∴，AB BC=，故（1）（2）正确；//AB CD由轴对称的性质，AC BD⊥，∴平分ABCBD∠，AO CO=（等腰三角形三线合一），故（3）（4）正确．综上所述，正确的是（1）（2）（3）（4）．故答案为：（1）（2）（3）（4）．10．（2019春•金牛区期末）如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，当12ABC S ∆=，8AC =时，BM MN +的最小值等于 ．【解答】解：如图，AD 是BAC ∠的平分线，∴点B 关于AD 的对称点B '在AC 上，过点B '作B N AB '⊥于N 交AD 于M ，由轴对称确定最短路线问题，点M 即为使BM MN +最小的点，B N BM MN '=+， 过点B 作BE AC ⊥于E ，8AC =，20ABC S ∆=， ∴18122BE ⨯=， 解得3BE =，AD 是BAC ∠的平分线，B '与B 关于AD 对称，AB AB ∴='，ABB ∴∆'是等腰三角形，3B N BE ∴'==，即BM MN +的最小值是3．故答案为：3．11．（2019春•市中区期末）如图，AD为等边ABC∆的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE CF=，当BF CE∠=︒．+取得最小值时，AFB【解答】解：如图1，作CH BC⊥，且CH BC=，连接BH交AD于M，连接FH，⊥，∆是等边三角形，AD BCABC∠=︒，DAC∴=，30AC BC∴=，AC CHACB∠=︒，60∠=︒，BCH90∴∠=︒-︒=︒，906030ACH∴∠=∠=︒，DAC ACH30=，AE CF∴∆≅∆，()AEC CFH SAS+=+，CE FH∴=，BF CE BF FH+的值最小，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF CE此时45FCB∠=︒，∠=︒，60FBC∴∠=︒，AFB105故答案为：105．三、解答题（共2小题）12．（2019春•青羊区期末）下面的方格图是由边长为1的42个小正方形拼成的，ABC∆的顶点A、B、C 均在小正方形的顶点上．（1）作出ABC∆关于直线m对称的△A B C'''；（2）求ABC∆的面积．【解答】解：（1）如图，△A B C'''为所作；（2）ABC∆的面积11133132123 3.5222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．13．（2019春•商河县期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，网格中有一个ABC∆．（1）请直接写出ABC∆的面积为．（2）利用方格找出点A、B、C关于直线MN的对称点D、E、F，并顺次连接D、E、F三点．（3）若点P是直线MN上的一个动点，则PC PA+的最小值为．【解答】解：（1）ABC∆的面积为：12442⨯⨯=；故答案为：4；（2）如图所示：EDF∆即为所求；（3）PC PA+的最小值为：6PA PC DC+==．故答案为：6．。

数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。

3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。

(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。

二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。

在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。

2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。

可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。

3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。

三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。

(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。

因此B点到直线m的距离为2.5cm。

例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。

求三角形ABC 的面积。

解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。

2、2 轴对称的基本性质（1）【课程标准】探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。

【学习目标】1.经历探索轴对称图形性质的过程，理解连接对应点的线段被对称轴平分、对应线段相等、对应角相等的性质.2.会画与已知图形关于某条直线对称的图形.【学习重点】1.经历探索轴对称图形性质的过程，理解其性质.2.会画与已知图形关于某条直线对称的图形.【学习难点】经历探索轴对称图形性质的过程，理解其性质.【知识链接】1.什么是“两个图形关于某条直线成轴对称”？2、右图中的两个三角形关于直线l成轴对称，已知三角形的部分边长和角的度数如图所示。

（1）找出所有对应边和对应角（2）求未知的边长和角的度数【自主探究】实验1把一张纸对折后扎一个小孔（如下面左图），然后展平（如下面中图），连接得到的A'与折痕MN的交点为O.两个小孔A与A'，记ANM A 线段A A '与直线MN 具有怎样的位置关系？你发现了哪些等量关系？再扎几个小孔试试.探索成轴对称图形的性质 实验2.如右图，小莹扎了三个孔，把纸展平后连接各点.思考下面的问题：（1）与ABC ∆C B A '''∆有什么关系？（2）连接C C B B A A ''',,，它们各自与直线MN 具有怎样的位置关系？（3）延长BC,B ˊC ˊ，它们的交点与直线MN 具有怎样的位置关系？【归纳总结】轴对称的基本性质：交流与发现如下图，在纸上画一条直线MN ，再在直线MN 的一侧扎一个小孔A ，⑴不用折纸的方法你能找到小孔A 关于直线MN 的对称点的位置吗？与同学交流.Cl⑵你能说明你的理论依据吗？⑶如图，你能画出与直线AB关于直线l成轴对称的线段吗？例1如下图，画出ABC关于直线MN成轴对称的图形。

【总结与反思】画一个多边形关于一条直线的轴对称图形，可以先分别画出已知多边形的关于这条直线的对应点，然后，便得到已知多边形关于这条直线成轴对称的图形。

课题：2.2 轴对称的性质（1）课型：新授主备：李祥备课组长：丁虎平教研组长：吴进【学习目标】1．知道线段的垂直平分线的概念，知道轴对称的有关性质；2．经历探索轴对称的性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念及有条理地思考和表达能力.【温故知新】1. 叫做这条线段的垂直平分线.2.成轴对称的两个图形，如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的 .3.成轴对称的两个图形的对应线段___ ___、对应角___ __. 【新知应用】操作1：在纸上任意画一点A，把纸对折，用针在点A处穿孔，再把纸展开，并连接两针孔A,A’思考：（1）两针孔A,A’与折痕之间有什么关系？线段AA’呢？（2）什么是线段的垂直平分线？操作2：在纸上再任意画一点B，同样地，折纸、穿孔、展开，并连接AB,A’B’、BB’，线段BB’与l有什么关系？线段AB与A’B’有什么关系？操作3：再在纸上任画一点C ，并仿照上面进行操作，ΔABC 与ΔA ’B ’C ’有什么关系？你能得出什么结论？结论： . 练习：1.画出图中成轴对称的两个图形的对称轴,并标出两对对称点,说说你是怎么画的？2.画出图中的对称轴,并把该图形在对称轴上的点用字母标注出来.3. 如图，线段AB 与A ′B ′关于直线l 对称.连接AA ′ 、BB ′，设它们分别与l 相交于点P 、Q.(1)在所画的图形中,相等的线段有:__________; (2) AA ′与 BB ′平行吗?为什么?C【变式训练】1.如图，哪些是轴对称图形？如果是，请画出轴对称图形的所有对称轴．2.如果△ABC 与△A ′B ′C′关于直线l 对称,且∠A=40°,∠B ′=35°,那么∠C=_______.3.如图，点A 、B 、C 都在方格纸的格点上.请你再找一个格点D ，使点A 、B 、C 、D 组成一个轴对称图形.【随堂检测】1.如果ΔABC 与ΔA ’B ’C ’关于直线l 对称，且∠A=50°，∠B ’=70°，那么∠C ’=2. ∠2＝46°,则x ＝ .3.如图，Rt △AFC 和Rt △AEB 关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC ≌△AMB ；③CD ＝DB （填序号）；选个你比较喜欢的结论加以说明．方法 1 方法 2【课后作业】1．如下图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：2．（1）观察图中点A 和点A ’的对称轴，点B 和B ’的对称轴，点C 和C ’的对称轴，你有什么发现？（2）图中的△ABC 和△A ’B ’C ’成轴对称吗？如果成轴对称，请画出它们的对称轴。

图形的平移与轴对称一、平移把一个图形整体沿着某一条直线方向上移动，会得到一个新的图形，图形的这种变化叫做平移。

特征：图形平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行且相等。

平移后，对应角相等，且对应角的两边分别平行，方向相同，平移前后的图形全等。

二、轴对称1. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，把这条直线叫做对称轴，这个时候，我们说这个图形关于这条直线成轴对称。

2. 轴对称图形的性质（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等，对称点所连线段被对称轴垂直平分。

（2）轴对称变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

（3）成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或者延长线相交，则交点一定在对称轴上。

三、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两端点的距离相等判定：与一条线段两端点距离相等的点，在这条直线的垂直平分线上。

四、经典练习题A．坐标的平移如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（）B、轴对称C.轴对称图形D、线段垂直平分线的应用E、利用平移求图形的面积五、总结1.在解答图形平移的问题中，找准平移的方向和平移的距离是最重要的，在平面直角坐标系中求图形平移后的点的坐标，一般遵循“上加下减、左减右加”的原则，这个千万不要跟二次函数的图像平移相混淆，二次函数图象平移的原则是“上加下减，左加右减”。

2.在解答轴对称类的问题时，一般要运用轴对称图形的对应线段相等，对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分等性质，尤其要特别注意，折叠是一种轴对称，折叠前后图形全等。

3.图形成轴对称和轴对称图形是两个不同的概念，链各个概念之间也有很密切的关系，图形成轴对称是一种关系，轴对称图形是“图形”。

我们通常会说某两个图形关于某直线对称，或某两个图形成对称轴，又会说某一个图形是轴对称图形。