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数学思想数学方法总结数学思想与数学方法是数学研究和解决问题的基础，它们相互影响、相互促进。
数学思想是指数学家对数学对象和数学问题的认识、思考和探索所形成的思维方式和观点，而数学方法则是指通过数学思想来解决数学问题的具体方式和步骤。
本文将总结一些常见的数学思想和方法，并阐述它们的重要性和应用。
一、抽象思维是数学的重要思想之一。
数学通过将具体的数学对象抽象成一般的数学结构，从而研究和解决更一般的问题。
抽象思维使得数学理论的适用范围更广，且能够通过类比和推广，从一个具体问题中得到一般结论。
例如，数学中的向量空间概念是从几何空间中的向量概念抽象而来的，它不仅可以应用于几何问题，还可以应用于代数、物理等领域。
二、归纳思维是数学证明的重要方法之一。
通过观察和推理，我们可以从特殊情况出发，逐步推广到一般情况，从而得到一个数学结论。
归纳思维使得数学证明更加简洁和具有普遍性。
例如，数学归纳法是一种常用的证明方法，通过证明当一个命题在某个特定条件下成立时，它在所有符合该条件的情况下也成立，从而得到一般情况的结论。
三、逻辑思维是数学推理的重要方法之一。
逻辑思维能够帮助我们分析问题的结构和关系，从而找到解决问题的合适方法和步骤。
逻辑思维使得数学推理更加准确和严谨。
例如，通过使用和运用各种逻辑规则和定理，我们可以推导出新的数学结论，并证明该结论的正确性。
四、建立模型是解决实际问题的重要数学方法之一。
数学可以将现实世界的问题抽象成数学模型，通过建立数学模型，分析问题的关键因素和规律，进而找到解决问题的有效方法。
模型建立和分析是数学方法的核心内容之一。
例如，经济学中的供求模型、物理学中的力学模型，都可以通过数学的方法进行建模分析，从而得到有关经济或物理问题的解决方案。
五、计算和推测是辅助数学问题解决的重要方法之一。
通过计算和推测，我们可以验证数学问题的正确性，也可以得到一些数学问题的近似解。
计算和推测是数学方法的实践和运用过程。
国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案国开(中央电大)本科《数学思想与方法》网上形考、机考试题及答案说明：试卷号1863，适用于国开中央电大小学教育本科学员国开平台网上形考；同时资料也是期末机考的重要资料。
形考作业第一关试题及答案巴比伦人是最早将数学应用于( )的。
在现有的泥板中有复利问题及指数方程。
[答案]商业《九章算术》成书于( )，它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
[答案]西汉末年金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了( )的方法。
[答案]天文测量在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用( )表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用( )表示。
[答案]文字，文字古埃及数学最辉煌的成就可以说是( )的发现。
[答案]四棱锥台体积公式《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的( )。
[答案]柏拉图学派古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫(劫指时间长度)的长度就是( )，这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
[答案]100亿年根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从( )中演绎出的结论。
[答案]初始原理欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的( )，成为近代西方数学的主要源泉。
[答案]数论及几何学数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在( )已经形成了一些几何与数目概念。
[答案]六七千年前形考作业第二关试题及答案欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作，它的著名的平行公设是( )。
[答案]同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交《九章算术》是我国古代的一本数学名著。
算是指( )，术是指( )。
![国开考[2015]19号 关于2015年秋季基于网络课程考核安排的通知 0723 v2](https://img.taocdn.com/s1/m/e52e2615de80d4d8d15a4f90.png)
国开考〔2015〕19号关于2015年秋季学期基于网络的课程考核安排的通知国家开放大学各分部，各相关学院：国家开放大学2015年秋季学期继续推进基于网络的课程考核（以下简称“网考”）工作。
现将有关事宜通知如下：一、考核课程本学期共有234门网考课程，本科75门，专科159门。
其中，部分课程形成性考核、终结性考试均基于网络；部分课程形成性考核基于网络、终结性考试基于纸介；部分课程形成性考核基于纸介、终结性考试基于网络。
具体课程见附件1、2。
二、基于网络形成性考核安排1.基于网络形成性考核在国家开放大学(中央广播电视大学)形成性测评系统（，以下简称“形考系统”）进行。
2.形考系统于开学初开放运行，请各分部及时组织学生选课注册，并对学生进行培训，流程同往学期，详情请浏览“国家开放大学(中央广播电视大学)网络考试平台”（，以下简称“考试平台”）网站。
已参加过网考的学生继续使用原帐号，不必重新注册。
八一学院、总参学院、空军学院启用测评系统时间为10月20日。
3.各门课程形成性考核任务及时间安排详见各课程考核方案（见考试平台“形考公告”）。
每门课程考核任务的起止时间由国家开放大学总部控制，期间具体任务的起止时间由分部根据本部课程开出情况自行确定。
4.学生须按每次形成性考核任务的规定期限完成作业，教师须在规定期限内完成每次形成性考核任务评阅及成绩评定。
5.各分部须在2015年12月30日之前（部队学院为2016年2月20日之前）完成课程最后一次形成性考核任务的评阅工作。
三、基于网络终结性考试安排1.终结性考试通过国家开放大学(中央广播电视大学)终结性考试系统（，以下简称“终考系统”）进行。
2.终结性考试安排在2016年1月1日至24日间进行（部队学院终结性考试日期另行通知），每天8:30开始，20:30结束。
具体考试时间和考试单元由各分部根据考生人数和考试机数量等实际情况自行确定。
具体工作流程及要求见附件3。
数学思想与方法1863题库(题量:46/题型:2)1题●(S01-判断题:4分) 《几何原本》就是用分析的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
★[答案]FT. √F. ×2题●(S01-判断题:4分) 《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的柏拉图学派。
★[答案]TT. √F. ×3题●(S01-判断题:4分) 《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容：定义、公式、公设、命题。
★[答案]FT. √F. ×4题●(S01-判断题:4分) 《九章算术》不包括代数、几何内容。
★[答案]FT. √F. ×5题●(S01-判断题:4分) 《九章算术》成书于商朝，它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
★[答案]FT. √F. ×6题●(S01-判断题:4分) 《九章算术》是世界上最早系统地叙述分数运算的著作，它关于负数的论述也是世界上最早的。
★[答案]TT. √F. ×7题●(S01-判断题:4分) 不可公度性的发现引发了第二次数学危机。
★[答案]FT. √F. ×8题●(S01-判断题:4分) 不完全归纳法是根据“对某类事物中的部分对象的分析”作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。
★[答案]TT. √F. ×9题●(S01-判断题:4分) 抽象得到的新概念与表述原来的对象概念之间不一定有种属关系。
★[答案]T T. √F. ×10题●(S01-判断题:4分) 抽象和概括是两种完全不同的方法。
★[答案]FT. √F. ×11题●(S01-判断题:4分) 第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。
数学方法与思想方法数学方法与思想方法数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。
以下是店铺整理的数学方法与思想方法，希望能够帮助到大家！初中数学常见的思想方法1初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．（1）转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．（2）数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数”）与直观的图象（“形“）结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．（3）分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．（4）函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（1）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（2）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（3）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
数学思想与方法The document was prepared on January 2, 2021数学思想与方法填空题1古代数学大致可以分为两种不同的类型,一种是崇尚逻辑推理,以几何原本为代表；一种是长于计算和实际应用,以九章算术为典范.2、在数学中,建立公理体系最早的是几何学,而这方面的代表着作是古希腊欧几里得几何原本3、几何原本所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式,而且还被移植到其它学科,并且促进他们的发展.4、推动数学发展的原因主要有两个：1实践的需要, 2理论的需要数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果.5、变量数学产生的数学基础是解析几何,标志是微积分6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线.7、随机现象的特点是在一定条件下,看你发生某种结果,也困难不发生某种结果.8、等腰三角形的抽象过程,就是把一个新的特征两边相等加入到三角形概念中去,使三角形概念得到强化.9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段,潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段10、数学的统一性是客观世界统一性额反映,是数学中各个分支固有的内在联系的体现,它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势.11、强抽象就是指通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程.12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征一组邻边相等加入到平行四边形概念中去,使平行四边形概念得到了强化.13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法.14、所谓类比是指由一类事物所具有的某种属性,可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法常称这种方法为类比法,也称类比推理、1 5、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律 16、猜想具有两个显着特点：具有一定的科学性、具有一定的推测性17、三段论是演绎推理的主要形式,三段论由大前提、小前提、结论三部份组成.18、化归方法是指把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经能解决或较易解决的问题中,最终获得原问题的答的一种方法19、在化归过程中,应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则 20、在计算机时代,计算方法已经成为与理论方法,实验方法并列的第三种科学方法. 21、算法具有下列特点有限性、确定性、有效性 22、算法大致可以分为多项式算法和指数型算法 23、匀速直线运动的数学模型是一次函数 24、所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法 25、分类必须遵循的原则是不重复、无遗漏、标准同一. 27、所谓特殊化是指在研究问题过程中从对象的一个给定集合出发,进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法. 28、面对一个问题,经过认真的观察和思考,通过归纳或类比提出猜想,然后从两个方面入手演绎证明此猜想为真、或者寻找反例说明此猜想为假,并进一步修正或否定此猜想. 29、化归方法的三个要素是化归对象、化归目标、化归途径 30、根据学生掌握数学思想方法的过程由潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段,课相应地将数学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段. 31、数学思想方法是联系数学知识与数学能力地纽带,是数学科学地灵魂,它对发展学生的数学能力,通过学生的思维品质都具有十分重要的作用. 32、一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节. 33、算法的有效性是指如果使用该算法从它的初始数据出发,能够得到这一问题的正确解决 34、数学从研究对象大致可以分成两大类,数量关系、空间形式 35、几何原本所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式,而且还被移植到其它学科,并且促进它们的发展. 36、等腰三角形概念的抽象过程,就是把一个新的特征：两边相等加入到三角形概念中去,使三角形概念得到强化． 37、类比法是指,由一类事物所具有的某种属性,可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法． 38、面对一个问愿,经过认真的观察和思考,过归纳或者类比提出猜想,然后从两个方面人手；演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假并且进一步修正成否定此猜想． 39、化归方法包含的三个要素是：化归对象、化归日标、化归途径. 40、数学的研究对象大致可以分成两类①研究数量关系,②研究空间形式 . 41、一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象,不重复．无遗漏进行的划分. 42、所谓数形结合方法,就是在研究数学问题时,由数思形,见形思数,数形结合考虑问题的一种思想方法.43、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理,以几何原本为代表；一种是长于计算和实际应用,以九章算术为典范. 44、不完全归纳法是根据对某类事物中的部分对象的分析,作出该类事物的一般性结论的推理方法. 45、公理化的三条逻辑上的要求是独立性、无矛盾性、完备性.46、九章算术系统地总结了先秦和东汉初年我国的数学成就,经过历代名家补充、修改、增订而逐步形成,现传世的九章算术是三国时期魏晋数学家刘徽注释的版本.47、几何原本是一本极具生命力的经典着作,全书共十三卷475个命题,包括5个公设、5个公理. 48、数学思想方法教学主要有多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段. 49、化隐为显原则是数学思想方法教学原则之一,它的含义就是把隐藏在数学知识背后的数学思想方法显示出来,使之明朗化,以达到教学目的. 50、在数学学科中人们常常把研究确定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学,如代数、几何、方程、微积分等.但是确定数学无法定量地揭示随机现象,它的这种局限性迫使数学家们建立一种专门分析随机现象的数学工具.这个数学工具就是概率理论和数理统计.51、小学生的思维特点是具体形象思维.52、三段论是演绎推理的主要形式,它由大前提、小前提、结论三部分组成.53、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法.54、数学思想方法是联系数学知识与数学能力的纽带,是数学科学的灵魂,它对发展学生的数学能力,提高学生的思维品质都具有十分重要的作用. 55、分类方法具有三个要素：被划分的对象、划分后所得的类的概念、划分的标准. 56、数学研究的对象可以分为两类：一类是研究数量关系的,另一类是研究空间形式的. 57、所谓社会科学数学化就是指数学向社会科学渗透,也就是运用数学方法来揭示社会现象的一般规律.58、在古代的游戏和赌博活动中就有概率思想的雏形,但是作为一门学科则产生于17世纪中期前后,它的起源与一个所谓的点数问题有关. 59、在数学中建立公理体系最早的是几何学,而这方面的代表着作是古希腊学者欧几里得的几何原本. 60、九章算术是世界上最早系统地叙述分数运算的着作,它负数的论述也是世界上最早的.61、数学知识与数学思想是数学教学的两条主线,数学知识是一条明线,它被写在教材中；数学思想则是一条暗线,需要教师挖掘、提炼并贯穿在教学过程中.62、化归方法是将待解决的问题转化为已知问题. 63、公理方法是从尽可能少的初始概念和公理出发,应用严格的逻辑推理,使一门数学构建成为演绎系统的一种方法64、数学的第一次危机是由于出现了不可公度性而造成的.65、数学猜想具有两个明显的特点：科学性与推测性. 66、所谓社会科学数学化就是指数学向社会科学的渗透,运用数学方法来揭示社会现象的一般规律.67、深层类比又称实质性类比,它是通过对被比较对象的处于相互依存的各种相似属性之间的多种因果关系的分析而得到的类比.68、概括通常包括两种：经验概括和理论概括. 而经验概括是从事实出发,以对个别事物所作的观察陈述为基础,上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属种的特性的认识.69、算法大致可以分为多项式算法和指数型算法两大类. 70、反驳反例是用一个反例否定猜想的一种思维形式71、类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法,它的主要步骤是联想-类比-猜测.35．归纳猜想是运用归纳法得道的猜想,它的思维步骤是猜测-归纳-特例.72、传统数学教学只注重形式化的的数学知识传授,忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼.73、所谓统一性,就是部分与部分、部分与整体之间的协调.74、中国九章算术以算为主的算法体系和古希腊几何原本逻辑演绎的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映75、所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法.76、所谓特殊化是指在研究问题时,从对象的一个给定集合出发,进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法.77、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理,以几何原本为代表；一种是长于计算和实际应用,以中国九章算术为典范.78、数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的体现,它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势.79、在数学中建立公理体系最早的是几何学,而这方面的代表着作是古希腊欧几里得的几何原本.80、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法.81、在化归过程中应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则.82、数学思想方法是联系数学知识与数学能力的纽带,是数学科学的灵魂,它对发展学生的数学能力,提高学生的思维品质都具有十分重要的作用.83、三段论是演绎推理的主要形式,它由大前提、小前提、结论三部分组成.84、传统数学教学只注重形式化的数学知识的传授, 而忽略对知识发生过程中数学思想方法的挖掘.85、特殊化方法是指在研究问题中,从对象的一个给定集合出发,进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法.86、分类方法的原则是不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分.87、数学模型可以分为三类：概念型、方法型、结构型. 88、几何原本所开创的公理化方法方法不仅成为一种数学陈述模式,而且还被移植到其它学科,并且促进他们的发展.89、一个概括过程包括比较、区分、扩张、分析等几个主要环节.90、所谓类比,是指由一类事物所具有的某种属性可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法；常称这种方法为类比法,也称类比推理.91、猜想具有两个显着特点：一是具有一定的科学性,二是具有一定的推测性.92、所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法.93、数学模型具有抽象性、准确性和演绎性、预测性特性.94、概括通常包括两种：经验概括和理论概括. 而经验概括是从事实出发,以对个别事物所作的观察陈述为基础,上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属种的特性的认识.95、三段论是演绎推理的主要形式.三段论由大前提、小前提、结论三部分组成.96、化归方法是指,数学家们把待解决的问题通过某种转化过程,归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中,最终获得原问题的解答的一种手段和方法.97、在计算机时代,计算方法已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法.98、算法具有下列特点：有限性、确定性、有效性. 99、化归方法的三个要素是：化归对象、化归目标、化归途径.100、根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段,可相应地将小学数学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段.101、一个概括过程包括比较、区分、扩张、分析等几个主要环节等几个主要环节.102、古代数学大致可以分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理,以几何原本为代表；一种是长于计算和实际应用,以九种算术为典范.103、九章算术思想方法的特点主要有开放的归纳体系、算法化的内容、模型化的方法.104、初等代数的特点是用字母符号来表示各种数,研究的对象主要是代数式的计算和方程的求解.判断题1、计算机是数学的创造物,又是数学的创造者.√2、抽象得到的新概念与表达原来的对象的概念之间一定有种属关系×3、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明×4、九章算术不包括代数、几何内容×5、即没有脱离数学知识的数学思想方法,也没有不包括数学思想方法的数学知识√6、数学模型方法在生物学.经济学、军事学等领域没应用×7、在解决数学解时,往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果√8、如果某一类问题存在算法,并且构造出这个算法,就一定能求出该解的精确解.×9、对同一数学对象,若选取不同的标准,可以得到不同的分类√10、数学思想方法教学隶属于教学范畴,只要贯彻通常的数学教学原则,就可实现数学思想方法的教学目标×11、由类比法推得的结论必然正确× 12、有时特殊情况能与一般情况等价×13、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴√ 14、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明,不懂几何的人不得入内,这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识×15、完全归纳法的一般推理形式是：设s=A1 A2 An ,由于A1 A2 An 具有性质P,因此推断几何s中的每一个对象都具有性质P×16、抽象和概括是两种完全不同的方法否17、数学模型方法是物理学、工程学的专利,在生物学、经济学、军事学等领域投有应用．否18、提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结. 何知识. × 68．尽管中西方对数学的贡献不同,但在数学思想方面是一× 43．完全归纳法的一般推理形式是：致的. ×19、一个数方法在生物学、经济题都必须给出证明. × 设S＝具有性质P,因此推断集合S中的每一个对象都具有69．不可公度性的发现引发了第二次数学危机. × 20、数学中的许多问题都无法归结为寻找具体算法的问题. 性质P. × 70．中学生只需理解数学思想方法就能运用自如了,不需经× 44．九章算术是世界上最早系统地叙述分数运算的着作,历多次孕育阶段.×21、计算是随着计算机的发明而被人们广泛应用的方法.它负数的论述也是世界上最早的. √ 71、数学模型方法应用面很窄. × × 45．算术反映的是物体集合之间的函数关系. × 72、数学思想方法教学隶属数学教学范畴,只要贯彻通常的22、反例在否定一个命题时它并不具有特殊的威力. × 46．几何原本是欧几里得独立创作的. × 数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标. × 23、分类可使知识条理化、系统化. √ 47.九章算术系统地总结了先秦和东汉初年我国的数学 24、数学模型方法是近代才产生的. × 成就. √25、在小学数学教学中,本教材所涉及到的数学思想方法并不多见. 否 26、所谓特殊化是指在研究问题时,从对象的一个给定集合出发,进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想. √ 27、数学思想方法教学隶属数学教学范畴,只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想方法教学目标. × 28、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线. √ 2 9、新颁发的数学课程标准中的特点之一“再创造”体现了我国数学课程改革与发展的新的理念.√ 30、法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一.√ 31、由类比法推得的结论必然正确. × 32、计算机是数学的创造物,又是数学的创造者. √ 33、抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系. × 34、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明. × 35、贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想,一是公理化思想,一是机械化思想. √ 36、在建立数学模型的过程中,不必经过数学抽象这一环节. × 3 7．由类比法推得的结论必然正确. × 38．有时特殊情况能与一般情况等价. √ 39．演绎的根本特点就是当它的前提为真时,结论必然为真. √ 40．抽象得到的新概念与表述原来的对象概念之间不一定有种属关系. × 41、特殊化是研究共性中的个性的一种方法. × 42．古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内.这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几48.丢番图在其着作算术中用了许多符号,它标志着文字代数开始向简写代数转变,丢番图的算术是数学史上的里程碑. √ 49．解析几何的产生主要归功于笛卡儿和费尔马. √ 50．英国的牛顿和德国的莱布尼兹分别以几何学和物理学为背景用无穷小量方法建立了微积分. √ 51．随机现象就是杂乱无章的现象,无论是个别还是整体,其随机现象都没有规律性. × 52．数学学科的新发展——分形几何,其分形的思想就是将某一对象的细微部分放大后,其结构与原先的一样.√ 53．我国中小学数学成绩举世公认,“高分必然产生高创造力”,我国中学生的科学测试成绩名列前茅. × 54．我国数学课程标准指出,数学知识就是“数与形以及演绎的知识”. √ 55．在数学基础知识与数学思想方法是数学教学的两条主线,而且是两条明线. × 56．数学抽象摆脱了客观事物的物质性质,从中抽取其数与形,因而数学抽象具有无物质性. √ 57．数学公理化方法在其他学科也能起到作用,所以它是万能的. × 58．数学模型具有预测性、准确性和演绎性,但不包括抽象性. × 59．猜想具有两个显着的特点：一定的科学性和一定的推测性. √ 60．表层类比和深层类比其涵义是一样的.× 61．数学史上着名的“哥尼斯堡七桥问题”最后由欧拉用一笔画方法解决了其无解.√ 62．分类方法具有两要素：母项与子项. × 63．算法具有无限性、不确定性与有效性. × 64．理论方法、实验方法和计算方法并列为三种科学方法. √ 65．最早使用数学模型方法的当数中国古人.√ 66．化归方法是一种发现问题的方法. ×67．类比猜想的主要步骤是：猜测联想类比.×选择题1．算法的有效性是指 C . A．如果使用该算法从它的初始数据出发,能够估计问题的解答范围 B．如果使用该算法从它的初始数据出发,能够引出该问题的另一种求解方案C．如果使用该算法从它的初始数据出发,能够得到这一问题的正确解 D．如果使用该算法从它的初始数据出发,能够大致猜想出问题的答案 2．所谓数形结合方法,就是在研究数学问题时,A 的一种思想方法.P156 A．由数思形、见形思数、数形结合考虑问题B．由数学公式解决图形问题 C．由已知图形联想数学公式解决数学问题D．运用代数与几何解决问题 3．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理,以几何原本为代表；一种是长于计算和实际应用,以 D 为典范.P1 A．阿拉伯的论圆周B．印度的太阳的知识 C．希腊的理想国D．中国的九章算术 4．数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的体现,它表现为 B 的趋势.P46 A．数学的各个分支相互独立并行发展B．数学的各个分支相互渗透和相互结合 C．数学的各个分支呈现包容 D．数学的各个分支呈现互斥 5．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段： B .P197 A．了解阶段、掌握阶段、运用阶段B．潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段 C．感觉阶段、体会阶段、领悟阶段D．同化阶段、迁移阶段、掌握阶段6．在数学中建立公理体系最早的是几何学,而这方面的代表着作是B .P1A．阿拉伯的论圆周B．古希腊欧几里得的几何原本 C．希腊的理想国 D．中国的九章算术7．随机现象的特点是A .P23A．在一定条件下,可能发生某种结果,也可能不发生某种结果B．在一定条件下,发生必然结果C．在一定条件下,不可能发生某种特定的结果D．在一定条件下,发生某种结果的概率微乎其．演绎法与 D 被认为是理性思维中两种最重要的推理方法.P67A．推理法 B．模型法 C．猜想法 D．归纳法9．在化归过程中应遵循的原则是 A .P105 A．简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则 B．重复化原则、熟悉化原则、明朗化原则 C．简单化原则、熟悉化原则、重复化原则 D．熟悉化原则、和谐化原则、明朗化原则 10．C 是联系数学知识与数学能力的纽带,是数学科学的灵魂,它对发展学生的数学能力,提高学生的思维品质都具有十分重要的作用.P191A．理论方法 B．实验方法 C．数学思想方法 D．计算方法11．所谓类比,是指 B .P75A．由一类事物推测与另一类事物的相似的一种推理方法 B．由一类事物所具有的某种属性,可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法C．根据某种事物的属性知道另一种事物的属性的一种方法 D．两类事物具有可比性的一种推理方法 12．猜想具有两个显着特点： D .P73 A．推测性与准确性 B．科学性与精准性 C．准确性与必然性 D．科学性与推测性13．所谓数学模型方法是 A .P132 A．利用数学模型解决问题的一般数学方法 B．利用数学原理解决问题的一般数学方法C．利用数学实验解决问题的一般数学方法 D．利用数学工具解决问题的一般数学方法14．数学模型具有 C 特性.P131 A．抽象性、随机性和演绎性、预测性 B．抽象性、准确性和必然性、预测性 C．抽象性、准确性和演绎性、预测性 D．抽象性、准确性和演绎性、偶然性15．概括通常包括两种：经验概括和理论概括.而经验概括是从事实出发,以对个别事物所作的观察陈述为基础,上升为普遍的认识—— A 的认识.P64A．由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性B．由个体特性的认识上升为集体特性 C．由集体特性上升为个体特性 D．由属的特性上升为种的特性16．三段论是演绎推理的主要形式,它由D 三部分组成. P94A．大结论、小结论和推理 B．小前提、小结论和推理 C．大前提、小结论和推理 D．大前提、小前提和结论17．传统数学教学只注重B 的传授, 而忽略。
数学思想与方法B卷试卷总分：100 答题时间：90分钟客观题判断题（共10题，共40分）1. 对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。
T √F ×参考正确答案是：T；考生正确答案是：T；试题分数：4；考生得分：42. 我国《数学课程标准》指出，数学知识就是“数与形以及演绎的知识”。
T √F ×参考正确答案是：T；考生正确答案是：T；试题分数：4；考生得分：43. 分类可使知识条理化、系统化。
T √F ×参考正确答案是：T；考生正确答案是：T；试题分数：4；考生得分：44. 不可公度性的发现引发了第二次数学危机。
T √F ×参考正确答案是：F；考生正确答案是：F；试题分数：4；考生得分：45. 类比猜想的主要步骤是：猜测联想类比。
T √F ×参考正确答案是：F；考生正确答案是：F；试题分数：4；考生得分：46. 既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。
T √F ×参考正确答案是：T；考生正确答案是：T；试题分数：4；考生得分：47. 法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一。
T √F ×参考正确答案是：T；考生正确答案是：T；试题分数：4；考生得分：48. 数学学科的新发展——分形几何，其分形的思想就是将某一对象的细微部分放大后，其结构与原先的一样。
T √F ×参考正确答案是：T；考生正确答案是：T；试题分数：4；考生得分：49. 在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。
T √F ×参考正确答案是：T；考生正确答案是：T；试题分数：4；考生得分：410. 完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。
数学概念及其教学数学概念的意义反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。
数学概念产生和发展的途径（1）从现实模型直接得来；（2）经过多级抽象概括得来；（3）从数学内部需要产生出来；（4）把客观事物理想化和纯粹化得出；（5）根据有理论上存在的可能性而提出等¤ 数学概念是发展变化的：原因一方面事物是发展变化的，另一方面人们的认识是不断深化的。
如：自然数集（加零）→扩大的自然数集（加正分数）→算术数集（加负整（分）数）→有理数集（加无理数）→实数集（加虚数）→复数集¤ 概念和词语密切联系：语词是概念的语言形式，而概念是语词的思想内容，两者密切联系，不可分割。
概念和语词之间是一一对应的吗？¤ 数学概念的重要性：非常基本，也非常重要，判断由概念构成，推理由判断构成，论证由判断和推理构成，因此概念是其他思维形式的基础，是思维的细胞。
¤ 概念的内涵和外延概念的内涵亦称内包：就是概念所反映的事物的本质属性的总和, 是概念的质的方面，它说明所反映的事物是什么样的。
是指概念所反映的对象的特有属性、本质属性。
概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和（或范围），是概念的量的方面，它说明概念所反映的是哪些事物。
例：“△ABC 的顶点”内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；外延是指 A 、B 、C 三点的集合。
注：（1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。
例如，角的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。
（2）概念的内涵和外延是发展的（3）概念的内涵和外延关系密切、互相依赖。
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同一关系相容关系属种关系交叉关系概念间的关系矛盾关系不相容关系反对关系概念间的关系（概念外延间的同异关系）1、相容关系（两个概念外延之间至少有一部分重合）（1）同一关系（全同关系或重合关系）：外延完全重合，内涵可以不同。
例如：（一）数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数的差等；（二）等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。
注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、较全面的认识。
另外，在推理证明中具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。
从属关系（属种关系）如果甲概念的外延真包含乙概念的外延，如下图所示，那么，这两个概念具有从属关系。
其中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。
这两个概念的外延和的关系可以写成例如四边形和平行四边形是具有属种关系的概念；实数和有理数也具有属种关系的概念。
在属种关系中，外延大的那个叫属概念，外延小的那个叫种概念（一个概念的属概念是否唯一，一个概念的种概念是否唯一？）注意：一是种类概念之间具有相对性。
二是要区分从属关系和全体与部分的关系。
有的概念之间既有从属关系又有全体与部分的关系。
有的却不然。
例如,对数与它的首数、尾数之间的关系不是从属关系,只是全体与部分的关系。
3）交叉关系如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部分重合关系，如下图。
用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合和集合，如果是非空集合而且不是，那么这两个概念具有交叉关系。
例：（1）整数和整数（2）等腰三角形和直角三角形4）不相容关系（全异关系）如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有全异关系，这种关系又叫做“全异关系”或“排斥关系”。
全异关系又分为反对关系、矛盾关系和并列关系.反对关系：两个概念的外延完全不同，而且它们的外延之和小于其属概念的外延，如正有理数和负有理数相对于有理数来说是反对关系。
矛盾关系：两个概念的外延完全不同，并且它们的外延之和等于其属概念的外延。
如有理数和无理数相对于实数来说就是矛盾关系。
并列关系：指两个或两个以上的同一系列的类概念，同时对于它们共同的种概念之间的关系，外延无公共部分。
内涵和外延的反变关系概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的。
当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。
内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。
例如,在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这个性质,那就得到平行四边形的概念,而平行四边形的外延比四边形的外延缩小了。
不过这里要注意,这种反变关系只能适用于外延间存在着包含和被包含的两个概念之间。
概念的定义和原始概念把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。
（揭示概念内涵的逻辑方法） 原始概念：一些概念不能再用别的概念来定义，而被作为概念体系的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，或不定义概念．如：点、线、面、空间、集合、元素、对应等。
定义的结构：被定义项（被定义的概念 ）、定义联项（联系词）和定义项（下定义的概念）。
如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。
下定义的方法：邻近的属加种差的定义邻近的属：在一个概念的各个属概念中，其内涵与这个概念的内涵之差最小的，叫这个概念的邻近的属。
如平行四边形是矩形的属概念而四边形和多边形则不是。
种差：用于区别该概念和邻近的属概念的属性）例：一个角是直角的平行四边形叫做矩形（种差） （邻近的属）（被定义的项）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧公理定义递归定义外延定义关系定义发生定义最常用）邻近的属加种差定义（定义方法（种差）（邻近的属）（被定义项）注：一个概念的同一个属可以有不同的种差，因此同一个概念可以有不同的定义。
¤发生定义：用一类事物产生或形成的情况作为种差作出定义。
例如：“圆是由一定线段的一动端点在平面上绕另一不动端点运动而形成的封闭曲线”。
这种定义一般说来语言叙述比较长，但直观、生动，有时可以用图形直观地表示出来。
¤关系定义：用对象之间的关系作为种差而作出的定义。
例如：“偶数就是能被2整除的整数”¤外延定义：列举概念的全部对象来下定义。
例如：“有理数是正整数、负整数、正分数、负分数和零的统称”¤递归定义：当被定义的对象与自然数性质有关时常采用。
¤公理定义法（约定式定义）规定“”下定义的基本要求定义要下得正确,必须遵守以下规则（1）定义应当相称所谓定义相称指下定义概念的外延与被定义概念的外延必须相等,不能扩大, 也不能缩小,即通常说的不能过宽也不能过窄。
定义过宽：下定义概念的外延大于被定义概念的外延。
例如:A、无理数是无限小数；B、直径是弦。
此两例都犯了定义过宽的逻辑错误。
例A中的下定义概念“无限小数”外延大于被定义概念“无理数”外延。
因无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数就不是无理数。
例B中的下定义概念“弦”的外延大于被定义概念“直径”的外延。
定义过窄：下定义概念的外延小于被定义概念的外延。
例如:A、无理数是有理数的不尽方根；B、各角为直角的菱形是矩形。
此两例都犯了定义过窄的错误。
例A中的下定义概念“有理数的不尽方根”的外延小于被定义概念“无理数”的外延。
因为π、e、lg3等都是无理数,它们都不是有理数的不尽方根。
例B中的下定义概念“各角为直角的菱形”的外延小于被定义概念“矩形”的外延。
因为各角为直角的菱形是正方形,正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形。
2）定义不能恶性循环在定义中,下定义概念必须能直接地揭示被定义概念的内涵,而不能直接或间接地依赖于被定义概念。
下定义的目的就是要揭示被定义概念的内涵。
如果下定义概念直接或间接地包含了被定义概念,那么就达不到明确概念内涵的目的。
违犯了这条规则,就会犯循环定义的逻辑错误。
循环定义常有以下两种情况：恶性循环：在一个科学系统中,如果把概念A作为已知的概念来定义概念B,但又用概念B来定义概念A,这种逻辑错误叫做定义恶性循环。
例如用两条直线垂直来定义直角,反过来又用两直线交成直角来定义垂直。
这样定义概念不能揭示概念的内涵。
词语反复：用被定义概念的简单重复来定义被定义的概念,即用自身定义自己, 这种逻辑错误叫做词语反复,结果什么也没有说清楚。
以下几例都犯了词语反复的错误。
1°互质数就是互为质数的数。
2°基础知识就是最基础的知识。
3）定义一般不用否定形式定义应从正面对被定义概念的本质属性用肯定形式给予揭示, 一般不用否定形式。
例如“不是有理数的数叫做无理数”。
这样定义无理数,既不能揭示无理数的内涵,又不能确定无理数的外延。
但是,有些概念的特有属性就是它缺少某个属性,对这样的概念下定义可用否定形式。
例如,“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”就是用的否定形式。
（4）定义应当简明（5）定义一般不用比喻说法在定义中不能应用比喻或含混不清的概念,不应列举非本质属性,不应含有多余词语,也不能漏掉必须的词语。
例如“无穷小是很小很小的数”,这样定义无穷小是错误的。
从外表看,颇似定义,但它用了比喻词。
又如,“正方形是一种有规则四边形”,“有规则”是一个不可捉摸的含混概念,这样定义不能揭示出“正方形”的内涵。
再如,“对边平行且相等的平面四边形是平行四边形”。
这个定义既不清楚确切,也不简明。
定义中漏掉了“两组”、“分别”、多了“且相等”,“平面”。
概念的划分和分类划分是明确概念外延的逻辑方法，就是将一个概念所指的事物，按照不同的属性分成若干小类，从概念来说，就是将一个属概念划分成若干种概念，被划分的类叫做划分的母项，若干小类叫做划分的子项。
概念的划分：把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑方法。
概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所反映对象的本质属性或特征所进行的划分。
概念分类的要求：（1）排中律：不能同假，必有一真，即A 和A ’必居其一，且仅居其一，A 或A ’）（2）同一律：保持同一性，A 是A（3）无矛盾律：使用同一标准，逐级分类等划分规则（1）划分后各子项应当互不相容：子项之间必须有全异关系，违反这条规则叫做犯了子项相容的错误。
例如：把平行四边形划分为菱形、正方形和邻边不等的平行四边形。
（2）各个子项必须穷尽母项：子项的总和应当与母项全同，违反这条规则叫做犯了子项不穷尽错误。
例如：把平行四边形划分为菱形、正方形和矩形。
（3）每一次划分应当用同一个划分标准：划分的标准可以不同，但每一次划分时不能用两种或两种以上的划分 标准。
（4）不能越级划分：应取最接近的种概念，否则就叫做犯了越级分类的错误。
如：把实数分成整数和分数。
二分法：首先把被划分的概念分为两个互相矛盾的概念，再继续按照此方法进行，最后得到的种概念就一定能够满足前面的三条规则。
如：用二分法表示线性方程组的解122111112212221221122112211221122112121212a 0000x y x y x y c b c b x x b y c a b a b a x b y c a c a c y a b a b D a b a b D c b c b D a c a c D D D a a b b D D D c c c c -⎧=⎪+=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩=-=-=-≠=====解方程组得设，，有唯一确定的解、至少有一不为零，无解则 ，，，至少有一个不为零，解不定，有一不为零，无解系数全为零⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解不定。
