高中数学常见思想方法总结

高中常见数学思想方法

方法一 函数与方程的思想方法

函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.

函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.

【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><.

（1）求公差d 的取值范围；

（2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由.

【分析】 （1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题.

【解】（1） 由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ，

所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0，

13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0.

解得：2437

d -<<-. （2）解法一：（函数的思想）

n S ＝21115(1)(12)222

na n n d dn d n ++=+- ＝22

124124552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦

因为0d <，故212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小时，n S 最大.

由2437d -<<-得12465 6.52n d ⎛⎫<--< ⎪⎝⎭，故正整数n ＝6时212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦最小，所以6S 最大. 解法二：（方程的思想）

由0d <可知12313a a a a >>>>.

因此，若在112n ≤≤中存在自然数n ，使得0n a >，10n a +<，

则n S 就是1S ，2S ，，n S 中的最大值．

121300S S >⎧⎨<⎩⇒1150260

d a d a d ⎧+>->⎪⎨⎪+<⎩⇒6700a a >⎧⎨<⎩, 故在1S 、2S 、…、12S 中6S 的值最大．

【点评】 数列的通项公式及前n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析,即用函数方法来解决数列问题；也可以利用方程的思想，利用不等式关系，将问题进行算式化，从而简洁明快.由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性.

【例1】 在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

92

2=+y x 的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，设过点T （m t ,）的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P

（2）设3

1,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 【解】 （1）由题意知)0,2(F ，)0,3(A ，设,(y x P 4)3()2(2222=---+-y x y x

化简整理得2

9=x . （2）把21=x ，312=

x 代人椭圆方程分别求出)35,2(M ，)920,31(N 直线)3(3

1:+=x y AM ①

直线)3(6

5:--=x y BN ② ①、②联立得107,

3T ⎛⎫ ⎪⎝⎭

. （3）),9(m T ， 直线)3(12:+=x m y TA ，与椭圆联立得)80

40,80)80(3(222++--m m m M 直线)3(6:-=x m y TB ，与椭圆联立得)20

20,20)20(3(222+-+-m m m N 直线2222222224020203(20)8020:3(80)3(20)20208020

m m m MN y x m m m m m m +⎛⎫-+++=- ⎪--++⎝⎭--++, 化简得222220103(20)204020m y x m m m ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭

令0y =，解得1x =，即直线MN 过x 轴上定点(1,0).

【点评】 本题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力.而且，本题在解决问题时，无论求点的坐标，还是求点P 的轨迹方程，都灵活运用了方程的思想，特别是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识，使问题画繁为简，华难为易.

方法二 数形结合的思想方法

正确利用数形结合，应注意三个原则：

（1）等价性原则

数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性，往往可以成为严格推证的启导，但有时不能完整表现数的一般性，考虑问题可能不完备.

（2）双向性原则

数形结合的含意是双向的，即考虑问题既注意代数问题几何化，也注意几何问题代数化，而不仅仅指前者.

（3）简单性原则

有了解题思路，思考用几何方法，还是代数方法，还是两者兼而用之，要取决于解题的简单性原则，而不能形而上学地让几何问题代数化，代数问题几何化成为一种机械模式.