理论力学动静法

滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S 、T 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回 转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑 动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。 解： 取轮为研究对象 虚加惯性力系：
F J maC mR J MC J C m 2
J MC J C
F J MaC
作用在C点 实际应用时可将惯性主矢分解：
F J MaC M (ac acn ) Mac Macn F J FnJ
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讨论： ①若ε=0，转轴不通过质点C ，向转轴简化，则
J F J MaC MaCn , M O 0
J F N F i i i 0 J mO ( Fi ) mO ( N i ) mO ( Fi ) 0
对于每一个研究对象，平面问题有三个平衡方程，空 间问题有六个平衡方程。
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§9-3 刚体惯性力系的简化
一般质点系，在应用动静法是，可在每一质点上虚加相应 的惯性力，但对于刚体这样由无穷多质点组成的质点系，则不 可能逐个质点虚加惯性力。怎么办？可以采用静力学中的力系 简化的理论，求出各质点惯性力所组成的惯性力系的主矢和主 矩，来代替惯性力系。这样，在刚体上虚加了惯性力系的主矢
绕通过质心轴的转动：M C J C
J
F J MaC J M C J C
作用于质心C
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
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[*例1]
均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位
置静止倒下。求开始倒下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
§9-2
达兰贝尔原理
一、质点的达兰贝尔原理 非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N 作 用， F 、N 的 合力为
R F N
由牛顿第二定律： R ma
假象地将 F
J
F
J
作用在M上，则
R F J ma ma 0
即：
F N FJ 0
这就是质点的达兰贝尔原理。
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人用手推车 F ' F ma 力 F ' 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于
施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力 F J ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯 性反抗的总和。
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① F 大小：FJ = ma ②
J
F J 方向：与 a 相反
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动静法的应用
根据动静法，可以用静力学平衡方程的形式来建立动力学
方程。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也
可以求力。
应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上
的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。
因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就
方便得多。
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应用动静法求动力学问题的步骤及要点：
角加速度及O处反力。 解： 方法1 用动静法求解 取系统为研究对象
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虚加惯性力和惯性力偶： J 重物1： F1 m1a1
J F 重物2： 2 m2 a2
轮： 则：
M J O J
J O
J m1 gr1 m2 gr2 F1 J r1 F2J r2 M O 0 m1 gr1 m2 gr2 m1a1r1 m2 a2 r2 J 0
J

ml 即： RA mg cos 0 0 2

mg RA cos 0 4

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用动量矩定理+质心运动定理再求解此题： 解：选AB为研究对象
由
m g cos 0 3g 2 cos 0 1 2 2l ml 3 由质心运动定理： m aC RA m g cos 0
mO ( F ) 0 ,
列补充方程： a1 r1 , a2 r2
m1r1 m2 r2 g 2 2 m1r1 m2 r2 J
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X 0, X O 0
Y 0,
y
YO P F1 m1 g F m2 g 0
J J 2
即YO P m1 g m2 g F1J F2J
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二、质点系的达兰贝尔原理 设有一质点系由n个质点组成，对任一质点，虚加惯性力， 则有
Fi N i Fi J 0 ( i 1,2,......, n )
对整个质点系，如果在每一个质点上都假象地加上惯性力， 则主动力系、约束反力系、惯性力系在形式上构成平衡力系。 这就是质点系的达兰贝尔原理。可用方程表示为：
d 2 2 [(m1r1 m2 r2 J ) ] m1 gr1 m2 gr2 dt
m1r1 m2 r2 g 2 2 m1r1 m2 r2 J
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方法3 用动能定理求解 取系统为研究对象，任一瞬时系统的
1 1 1 2 2 2 T m1v1 m2 v2 J 2 2 2
2
2
(m1r1 m2 r2 J )
2 2
元功 W m1 gds1 m2 gds 2 m1 gr1d m2 gr2 d (m1r1-m2 r2 )gd
由 dT W 得 d [ (m1r1 m2 r2 J )] (m1r1 m2 r2 ) gd 2 两边除以dt，并求导数，得 方法2、3须用质心运 m1r1 m2 r2 g 动定理求O处反力 2 2
②若转轴过质点C，且0，则
F 0, M J O
J J O
③若ε=0且转轴过质心C，则
F 0, M 0
J J O
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三、刚体作平面运动
假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运 动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。 刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动：F J MaC
③惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上。 按不同坐标系，惯性力可分解为：
Fx J ma x FyJ ma y Fz J ma z
F J ma ——切向惯性力 Fn J man ——法............... Fb J mab 0
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动力学普遍定理，是解决动力学问题的普遍方法，在一 定条件下也是简捷而有效的方法。 本章介绍解答动力学问题的另一种方法——达兰贝尔原
理或译为达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形
式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。 这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。
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§9-1
惯性力的概念
l J A mg cos 0 2 l
得：
l 3g aC ε cos 0 2 4 l 2 n m aCn m g sin 0 RA aCn 2 mg n RA mgsin 0 , RA cos 0 4
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[*例2] 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道
解： （1）研究对象：杆AB
（2）受力图 （3计算惯性力系的主矢、主矩 将惯性力系向A点简化：
FnJ m aCn 0
2 m l J M A J A 3
ml F 2
J
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（4）选轴及矩心建立平衡方程求解
J Fn 0 , RA mg sin 0 Fn 0 n
2 2
2
m1r1 m2 r2 J
⑦求解未知量。
J [注意] F J , M C 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，
只需按
J F J maC , M C J C 计算即可。
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[例1] 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分 别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于
转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有
改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最
大优点，就是可以利用静力学提供的解题方法，给动力学
问题一种统一的解题格式。也就是：对于动力学问题，假
想地加上惯性力，就可以用平衡方程求解。
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[例1] 列车在水平直线轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢 向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车 厢的加速度 a 。
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解：研究对象：单摆的摆锤 虚加惯性力
F J ma 方向与 a 相反
J X 0 , mg sin F cos 0
即：mg sin macos 0
得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a不变时， 角也不
变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速计 的原理。
RA mg sin 0
n
J m ( F ) 0 , mg cos l / 2 M A 0 A 0
l m l2 3 g 即：m g cos 0 0 cos 0 2 3 2l
F 0 , RA mg cos 0 F 0
P m1 g m2 g (m2 r2 m1r1 ) ...
x
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方法2 用动量矩定理求解 取系统为研究对象
LO m1v1r1 m2v2r2 J (m1r12 m2 r2 2 J )
dLO e MO 根据动量矩定理： dt
e M O m1gr1 m2 gr2
①选取研究对象。原则与静力学相同。
②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 ③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要