第二类换元法

第二类换元法三角代换
第二类换元法是高等数学中的重要内容，它可以帮助我们解决许多复杂的积分问题。

其中，三角代换是第二类换元法的一种常见形式，它可以将一个积分式子中的三角函数转化为代数函数，从而使积分更加容易求解。

三角代换的基本形式是：假设我们的积分式子中包含一个三角函数，例如sin(x)或cos(x)，我们可以通过将x用另外一个三角函数代替，从而将原积分式子中的三角函数转化为代数函数。

常见的三角代换包括sin(x)代换、cos(x)代换、tan(x/2)代换等。

具体来说，对于sin(x)代换，我们可以将x表示为sin(t)，然后将积分式子中的所有x项用sin(t)表示，从而将原积分式子转化为只含有t和代数函数的式子。

类似地，对于cos(x)代换，我们可以将x表示为cos(t)，然后将积分式子中的所有x项用cos(t)表示，从而将原积分式子转化为只含有t和代数函数的式子。

对于tan(x/2)代换，我们可以将x表示为2arctan(t)，然后将积分式子中的所有x 项用2arctan(t)表示，从而将原积分式子转化为只含有t和代数函数的式子。

通过三角代换，我们可以将原本复杂的三角函数积分转化为简单的代数函数积分，从而大大简化了求解的难度。

因此，掌握第二类换元法三角代换是高等数学学习中的重要内容。

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§4.2 换元积分法（第二类）Ⅰ 授课题目（章节）：§4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么()()[()]()[()]()()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰()F u C =+[()]F x C ϕ=+所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如⎰-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。

第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。

即()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰,然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。

定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dt dx=证明 )(t x ψ=Θ单调、可导，∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且)(11t dtdx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅=='Q)]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.第二换元法，常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-）则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1 求⎰-dx x a 22)0(>a解 令t a x sin = ，(,)22t ππ∈-，则t a x a cos 22=- tdt a dx cos = 22cos cos a x dx a ta tdt ∴-=⎰⎰22211(cos 2)sin 22224a a a t dt t t C =+=++⎰22222sin cos arcsin 2222a a a x x t t t C a x C a =++=+-+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.例2 求⎰-dx xx 224解 令t x sin 2=，(,)22t ππ∈-，则t x cos 242=-，tdt dx cos 2=2224sin 1cos22cos =42cos 24t t tdt dt t x-∴=⋅-⎰⎰ =(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰ 222sin cos 2arcsin422x xt t t C x C =-+=--+类型2：被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t axtan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec = ；可将原积分化为三角有理函数的积分.例3 求⎰+22ax dx )0(>a解 令t a x tan =，)2,2(ππ-∈t ，则22sec x a a t +=，2sec dx a tdt = 22sec tdt x a∴=+⎰⎰ln sec tan t t C =++22221lnln x a xC x x a C a a+=++=+++.例4 求⎰+224xxdx解 令t x tan 2=，)2,2(ππ-∈t 242sec x t +=，tdt dx 2sec 2=22222sec 4tan 2sec 4t dt t t xx ∴=⋅+⎰1cos 22sin 2cos 1sec 14tan 4t t tt dt dt t ==⎰⎰2221cos 111114sin 4sin 4sin 4sin 4t x dt d t C C t t t x+===-⋅+=-⋅+⎰⎰ 例5求⎰+22)9(x dx（分母是二次质因式的平方）解 令t x tan 3=，则t x 22sec 99=+， tdt dx 2sec 3=222243sec 1cos (9)81sec 27dx t dt tdt x t ==+⎰⎰⎰111(1cos 2)cos 2cos 2254545454254t t t dt tdt td t =+=+=+⨯⎰⎰⎰ 11sin 2sin cos 542545454t t t t t C =+=++⨯ 2113arctan 543549x x C x =+⋅++练习： 求221(25)dx x x -+⎰（第二换元积分法分）解 22222])1(2[)52(-+=+-x x x ，令t x tan 21=-)2,2(ππ-∈t 则 222442sec 11(1cos 2)sin cos (25)2sec 161616dx t t dt t dt t t C x x t ==+=++-+⎰⎰⎰21111arctan 162825x x C x x --=+⋅+-+ 类型 3 被积分函数中含有22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定(0,)2t π∈，则t a a x tan 22=-，sec tan dx a t tdt =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。