【新教材】新人教A版 高中数学必修一 对数函数的概念 课件

【解】 (1)loge16＝a，即 ln16＝a. (2)log6414＝－13. (3)32＝9. (4)xz＝y.
将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4;
(2)log127＝－3； 3
(3)43＝64; (4)14－2＝16. 解：(1)由 log216＝4 可得 24＝16.
(2)由
1．对数的概念 一 般 地 ， 如 果 ax ＝ N(a>0 ， 且 a≠1) ， 那 么 数 x 叫 做 _以___a_为___底__N__的__对__数____ ， 记 作 _x_＝___lo_g_a_N__ ， 其 中 a 叫 做 ___对__数__的__底__数____，N 叫做真 __数___．
把对数式 loga49＝2 写成指数式为( )
A．a49＝2
B．2a＝49
C．492＝a
D．a2＝49
答案：D
log32x－ 5 1＝0，则 x＝________．
答案：3
指数式与对数式的互化
将下列指数式与对数式互化： (1)ea＝16; (2)64－13＝14； (3)log39＝2; (4)logxy＝z(x＞0 且 x≠1，y＞0)．
log127＝－3 3
可得13－3＝27.
(3)由 43＝64 可得 log464＝3.
(4)由14－2＝16
可得
log116＝－2. 4源自利用对数式与指数式的关系求值
求下列各式中 x 的值： (1)log27x＝－23； (2)logx16＝－4； (3)lg10100＝x; (4)－lne－3＝x.
4.3对数 第一课时 对数
的概念
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标

内容索引
x
【解析】
根据指数与对数的关系，由
y
＝
1 2
5730
(x≥0)
得到
x＝
(0<y≤1)．如图， 过 y 轴正半轴上任意一点(0，y0) (0<y0≤1)作
x
x 轴的平行线，与 y＝125730 (x≥0) 的图象有且只有一个交点(x0，y0)．这
就说明，对于任意一个 y∈(0,1]，通过对应关系 x＝
() A. f(x)＝2x，g(x)＝log2x
B. f(x)＝|x|，g(x)＝ x2
C. f(x)＝2lgx，g(x)＝lgx2
D. f(x)＝x，g(x)＝3 x3
12345
内容索引
【解析】 对于 A，f(x)＝2x，g(x)＝log2x 分别为指数运算与对数运算， 不为相同函数，故 A 错误；对于 B，因为 g(x)＝ x2＝|x|＝f(x)，所以 f(x) ＝|x|与 g(x)＝ x2是同一函数，故 B 正确；对于 C，f(x)＝2lgx 的定义域为 (0，＋∞)，g(x)＝lgx2 的定义域为{x|x≠0}，不为相同函数，故 C 错误；
内容索引
活动三 对数函数的定义域
例 2 求下列函数的定义域： (1) y＝log3x2；
【解析】 因为x2＞0，即x≠0， 所以函数 y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}． (2) y＝loga(4－x) (a>0，且a≠1)．
【解析】 因为4－x＞0，即x＜4，
所以函数 y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．
内容索引
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变 量，定义域是(0，＋∞)．
内容索引

求f(1)，f(8)
对数的真数 大于0，底 数大于0且 不等于1
探究：对数函数:
y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
在同一坐标系中画出对数函数
y log2 x和y log1 x 的图象。
作图步骤:
2
①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。
… 1/4 1/2 x 列 y log2 x … -2 -1
思考求下列函数的定义域与值域：
(1) y log 2(x 2 4) (2) y log 1(x
2 2
2x 3)
奇偶性
值分布
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0.
例3比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4 , log 28.5 (2) log 0.31.8 , log 0.32.7 (3) log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) (4) log 53 , log 35 (5) log 32 , log 20.9
对数函数及其性质
由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时， 由1个分裂成2个，2个分裂成4个，··· ，1个这 样的细胞分裂x次会得到多少个细胞？
y2
x
如果知道细胞的个数y，如何确定分裂的次数x呢？
由对数式与指数式的互ຫໍສະໝຸດ 可知：x log2 y上式中可以把y当作函数的自变量吗？
新课讲解： （一）对数函数的定义： 函数 y loga x (a 0且a 1) 叫做对数函数； 其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
方 法
当底数相同，利用单调性
当底数不同，寻找中间量（通常为0，1）

年后的物价为ω.
（1）该地的物价经过几年会翻一番？
（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规
律.
物价ω
年数t
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解：（1）由题意可知，经过t年后物价ω为

即 = 1.05 ( ∈ [0, +∞)
由指数与对数的关系， 可得
= (1 + 5%)
= 1.05 ,

1
y
2

1
5730
x


( x [0,))


问题:1：已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？

1
y
2

1
5730
x


( x [0,))


x log
1
5730
2
y(0 y 1)
x log
5730
1
2
y(0 y 1)
问题2：这里x是 的函数吗？
一 般 地 ， 设A、B是非空的 实 数集，如果对于集合A中的任意一个数 x，
这说明，对于任意一个 ∈ (0,1] ,通过对应关
按照某种确定的对应关系 f ，在集合B中都有唯一确定的数 和它对应，那
系 x log 5730 1 y ，在 [0, +∞) 上都有唯一确定
A万元，则超出部分按 25 ( + 1)进行嘉奖.记奖金为y（单位：万元），
销售利润为(单位：万元）.
(1)写出奖金y与销售利润x的解析式;

;
(2)下列函数中,是对数函数的是
.(填序号)
①y=log4x;②y=log2(3x);③y=logx2;④y=log3(x-1);⑤y=log2x2;
1
⑥y= 2 log3x.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)设 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),
1
依题意有 loga4=-1,故 a=4,
探究三
易错辨析
对于含有偶次根式中被开方式为对数式时,要注意被开方的代数
式为非负,还要顾及对数式中本身的真数大于0这一隐含信息,错解
中显然忘记了真数大于0这一隐含条件.
1
2
3
4
5
6
1.下列函数中,是对数函数的是(
A.y=log2x-1
B.y=logx3x
C.y= log 1 x
D.y=3log5x
2
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为(
A.(0,+∞)
B.(1,9]
C.(0,1)
D.[9,+∞)
解析:∵ 0<x≤2,∴1<3x≤9,
即函数f(x)的值域为(1,9].
故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9].
答案:B
)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
C.
2
D.x2
解析:由题意,知 f(x)=logax.∵f(x)的图像过点(√,a),
1
∴a=loga√.∴a=2.∴f(x)=log 1 x.故选 B.
2
答案:B
函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax(a>0,且a≠1);函数

• 并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接 写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.
〔跟踪练习1〕
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；
(2)102＝100；
1
(3)42
＝2；
(4)log1 32＝－5. 2
(3)原式＝(alogab) logbc＝blogbc＝c.
• 『规律方法』 运用对数恒等式时注意事项 • (1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式： • ①它们是同底的；②指数中含有对数情势；③其值为对数的真数． • (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
〔跟踪练习3〕 求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋(19)log34的值． [解析] 原式＝3·3 log36－24·2 log23＋(10lg3)3＋(3 log34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4176.
• 3．对数与指数的关系
• 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝____ln_N_______.
• 4．对数的基本性质 • (1)___零___和_负_数______没有对数．
• (2)loga1＝_0____(a＞0，且a≠1)． • (3)logaa＝_1____(a＞0，且a≠1)． • 5．对数恒等式
B．log1 9＝－2 3
C．log1 (－2)＝9 3
D．log9(－2)＝13
[解析] 将(13)－2＝9写成对数式为log13 9＝－2，故选B．
• 4．若log2(log3x)＝0，则x＝_3____. • [解析] 由题意得log3x＝1，∴x＝3.

(1)
log64
x
2 3
(3) lg100 x
(2) logx 8 6 (4) ln e2 x
解：(1)x
64
2 3
1
2
64 3
1
2
43 3
1 16
1
1
(2)x6 8, x 86 22 2
(3)10x 100, x 2
(4) ln e2 x ln e2 x e2 ex 2 x x 2
（1）54 625
(4) log1 16 4
2
（2）26 1 64
(5) lg 0.01 2
（3） 1 m 5.73 3
(6) ln10 2.303
其实指数式与对数式，虽然从情势上看， 两者不同，但本质上是一致的。 这个一致就是底数、指数（对数）、幂（真数） 三者之间的关系。
典例解析
例2.求下列各式中x的值：
3.求下列各式中x的值：
(1) log1 x 3
3
(2) logx 49 4
(3) lg 0.00001 x
(4) ln e x
知识拓展
对数恒等式: aloga N N (a 0，且a 1, N 0)
令 loga N x
ax N
即
aloga N N
请同学们记在课本里
巩固练习 金版P86-88 P88 A级 练习5
课堂练习 P123练习
1.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（1）23 8 (4) log3 9 2
（2）e 3 m (5) lg n 2.3
（3）27
1 3
1
3
(6)
log3
1 81
4
2.求下列各式的值：

目录
概念引入 以无理数e=2.71828… 为底数的对数，以e 为底的对数称 为自然对数 (natural logarithm),并 把logeN 记为In N. 如loge3=In 3.
loge10=In 10
自然对数在科技、经济以及社会生活中应用非常广泛。
认识无 (1
理数e
n (1
215370 ≈2.71828≈
(3)log₂16=
(3)log₂16=log₂2⁴=4.
目录
深化与思考
思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“ √”, 错误的打“×”. (1)(一2)⁴=16可化为log(-2)16=4.(×) (2)对数运算的实质是求幂指数.(√) (3)对数的真数必须是非负数.(×) (4)若log₆3=m, 则6=3".(×)
目录
本节内容结束THANKS
目录
目录
复习引入
温故知新 某地B 景区从2001年起游客人次的年增长率为0.11,设经 过x 年后的游客人次为2001年的y 倍，表示x,y 的关系.
这是4.2.1问题1中的一个问题，有y=1.11*(x∈(0,+00)), 反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3 倍，4倍， ……那么该如何解决? 即2=1.11*,3=1.11×,4=1.11×,…分别求x. 这就是我们将要学习的内容。
10x=100=10²
于是x=2 (4)因为-Ine²=x所以
Ine²=-x,e-X=e²
所以x=-2
目录
M
巩固与练习 例3求下列各式中的x 的值.
(1)log₂(log₃x)=0; (2)log₅(log₂x)=1.
解 (1)因为log₂ (log₃x)=0, 所以log₃x=1, 所 以x=3.

(1)loga ；(2)loga(x3y5)；(3)loga 3 ．


[解]

(1)loga ＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz．

(2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay．
2
(3)loga
3


1
2
1
−
3
1
2
＝loga(x2 )＝logax2＋loga + log
1
7＋ lg
2
1
10＝ ．
2
1
2＋
2
1
5＝ lg
2
2 lg 7 + lg 5
1
2＋ lg
2
5
• 【例3】 计算下列各式的值：
• (2)lg
2
2
5 ＋ lg
3
8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
• [解] 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．
(
)
(× )
(× )
×
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 对数的运算性质
类型2 带有附加条件的对数式求值
类型3 利用对数的运算性质化简、求值
类型1 对数的运算性质
【例1】 (源自人教B版教材)用logax，logay，logaz表示下列各式：
2

• (3)logaMn＝________(n∈R)．
logaM－logaN
• 提醒 三条运算性质成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0．

同样地，根据指数与对数的关系，由 = （ ＞０，且 ≠１）
可以得到 = （ ＞０，且 ≠１）,x也是y的函数．
通常，我们用x表示自变量，表y示函数．
为此，将 = （ ＞０，且 ≠１）中的字母x和y对调，
写成y= x（ ＞０，且 ≠１）．
4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律
的问题。对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，
对其蕴含的规律作进一步的研究。
在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡
时间x的变化而衰减的规律。反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，
对数函数
定义：一般地，函数y = loga x (a＞0,且a≠ 1)叫做
对数函数.
其中 x是自变量,
函数的定义域是 （
0 , +∞）
思考1：为什么对数函数定义域为（ 0 , +∞）?
题型一 对数型函数的概念及应用
【例 1】 下列函数是对数函数的为( D )
A.y＝log5x＋1
B.y＝logax2(a>0，且 a≠1)
1
4,
2
.
题型二 对数型函数的定义域
【例4】
求下列函数的定义域：
(1)y＝log3 ;
(2)y＝loga(4-x)；
的定义域为{ x|x≠ 0 }

解:（1）由
0, 所以函数y＝log
(3)y＝ >0得x≠
. (
− ) .
3
（2）由 − >0得x< 4,
所以函数y＝loga(4-x) 的定义域为{ x|x< 4}

目录
深化思考 思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打 “√”，错误的打“×”．
(1)由 y＝logax，得 x＝ay，所以 x>0.(√ ) (2)y＝log2x2 是对数函数．(× ) (3)若 y＝logax 是对数函数，则 a>0 且 a≠1.( √ ) (4)函数 y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．(×)
目录
概念引入
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y.
指数函数
y=
1
2
1 x
5730
x∈(0 , +)
x=log5730
1 2
y
(0 , y0)(0＜y0≤1)
一
唯一(x0 , y0)
一
对
应
唯一(x0 , 0) (x0≥0)
图4.4-1
x 是 y 的函数，x=log5730 1 y (0<y≤1)
目录
小结
1、对数函数、指数函数、一次函数、二次函数是我们学习的基本 初等函数，它们增长是有差异的，不同类型的数据增长应选取合适 的函数模型来刻画其变化规律.
2、判断一个函数是不是对数函数、关键是分析所给函数是否具有 y＝logax(a>0，且 a≠1)这种形式．
3、涉及对数函数的定义域问题，从对数式的真数和底数两个方面 构建不等式组，且最终结果要写成集合的形
目录
限时小练 1．下列函数是对数函数的是________(填序号)．
①y＝loga(5＋x)(a>0 且 a≠1)；②y＝log 3-1x；③y＝log3(－x)； ④y＝logx 3(x>0 且 x≠1)． 2．设函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)，若 f(x1x2…x2 022) ＝6，则 f(x21)＋ f(x22)＋f(x23)＋…＋f(x22 022)的值是________． 3．已知函数 f(x)＝lg(x＋1)－lg(1－x)． (1)求函数 f(x)的定义域；(2)判断函数 f(x)的奇偶性．

(D) ③④
判断函数是否为对数函数的依据是什么？
高中数学
新知特征
y log a x.
判断一个函数是否是对数函数，要以下关注三点:
1. 对数符号前面的系数为1；
2. 对数的底数是不等于1的正常数；
3. 对数的真数仅有自变量x.
高中数学
学以致用
例1
给出下列函数：
① y log 2 (3x 2);
5730

( ∈ 0, +∞ )
= log 5730 1
2
y
任意 y 0,1
1
唯一 x 0,
0
高中数学
x
新知形成
=
1
2
1
5730

( ∈ 0, +∞ )
= log 5730 1
2
任意 y 0,1
y
1
0 , 0
0
0
高中数学
唯一 x 0,
= log 5730 1
= log
= log
2
2
对数函数
新知特征
对数函数的概念：
一般地，函数 y log a x (a 0, 且 a 1) 叫做对数函数，
其中 x 是自变量，定义域是 0, .
注意：1.对数函数的定义是形式定义，注意函数特征;
的数据增长应选取合适的函数模型来刻画其变化规律．
高中数学
A
布置作业
1. 教科书 第131页练习第2题;
2. 课后练习.
高中数学
② y 2 log 0.3 x;
③ y log x1 x;
④ y lg x;

1．若函数 f(x)＝(a2＋a－5)logax 是对数函数，则 a＝________.
2 [由 a2＋a－5＝1 得 a＝－3 或 a＝2.又 a>0 且 a≠1，所以 a＝2.]
题型 2 对数函数的定义域
例1 求下列函数定义域
(1) y log3 x2；
(2) y loga 4 xa 0,且a 1.
[解] (1)要使函数 f(x)有意义，则 log1x＋1>0，即 log1x>－1，
2
2
解得 0<x<2，即函数 f(x)的定义域为(0,2)．
(2)函数式若有意义，需满足x2＋－1x>≥00，， 2－x≠0
即xx<>2－，1，
解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．
(3)由题意得－ 2x－4x＋ 1>80>，0， 2x－1≠1，
【解析】（1）因为 x2>0，即x ≠ 0，所以函数 y = log3x 的定义域是
{x|x≠0}．
（2）因为4－x>0，即x < 4，所以函数 y = loga (4－x)的定义域是 {x|x<4}．
典例解析
例 2 求下列函数的定义域． (1)f(x)＝ log11x＋1；
2
(2)f(x)＝ 21－x＋ln(x＋1)； (3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8).
根据指数与对数的关系，由y
((
1
1
) 5730
) x，( x
0)得到：
2
x log 5730 y，(0 y 1) 1 2
这是函数吗？
函数的概念是什么？
问题探究
根据指数与对数的关系，由y