直线的方向向量与平面的法向量Word版

空间向量知识点总结1。

直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥,如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量。

⑶．平面的法向量的求法(待定系数法)： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩。

⑤解方程组，取其中一组解,即得平面α的法向量.（如图）2。

用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈。

即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

⑵线面平行①(法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α,只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=。

即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②(法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可。

⑶面面平行若平面α的法向量为u ,平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。

3。

用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、,则要证明12l l ⊥,只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=。

即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=。

3．4～3.5直线与平面的垂直关系__平面的法向量[读教材·填要点]1．射影(1)过空间任意一点P作平面α的垂线与α相交于点P0，则P0称为点P在平面α内的射影．(2)预先给定平面α，空间任何一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成一个图形，称为这个空间图形在平面α上的射影．2．三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．3．平面的法向量与平面α垂直的非零向量称为α的法向量．[小问题·大思维]1．平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的．2．若直线l的一个方向向量为(1,1,1)，向量(1，－1,0)及向量(0,1，－1)都与平面α平行，则l与α有怎样的位置关系？提示：∵(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，(1,1,1)·(1，－1，0)＝0，而向量(1，－1,0)与向量(0,1，－1)不平行，∴l⊥α.利用判定定理用向量法证明线面垂直在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.[自主解答] 设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A (2，0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．EF ―→＝(－1，－1,1)，AB 1―→＝(0,2，2)，AC ―→＝(－2,2,0)． ∴EF ―→·AB 1―→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， EF ―→·AC ―→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直．1．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1，AB ＝2AD ，点E 是线段C 1D 1的中点，求证：DE ⊥平面EBC .证明：建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设AD ＝1，则AA 1＝1，AB ＝2，则可得D (0,0,0)，E (0,1,1)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，DE ―→＝(0,1,1)，EB ―→＝(1,1，－1)， EC ―→＝(0,1，－1)， 因为DE ―→·EB ―→＝1－1＝0， DE ―→·EC ―→＝1－1＝0， 所以DE ⊥EB ，DE ⊥EC ，又EB ∩EC ＝E ，所以DE ⊥平面EBC .求平面的法向量在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，G ，E ，F 分别为AA 1，AB ，BC 的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面GEF 的法向量．[自主解答] 以D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则G ⎝⎛⎭⎫a ，0，12a ，E ⎝⎛⎭⎫a ，12a ，0，F ⎝⎛⎭⎫12a ，a ，0， ∴GE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，－12a ， GF ―→＝⎝⎛⎭⎫－12a ，a ，－12a . 设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·GE ―→＝0，n ·GF ―→＝0，即⎩⎨⎧12ay －12az ＝0，－12ax ＋ay －12az ＝0.令y ＝z ＝1，则x ＝1，∴平面GEF 的一个法向量为(1,1,1)．本例条件不变，求平面A 1EFC 1的法向量． 解：A 1(a,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫a ，12a ，0，F ⎝⎛⎭⎫12a ，a ，0， ∴A 1E ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，－a ，A 1F ―→＝⎝⎛⎭⎫－12a ，a ，－a . 设平面A 1EFC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E ―→＝0，n ·A 1F ―→＝0，即⎩⎨⎧12ay －az ＝0，－12ax ＋ay －az ＝0.令y ＝2，z ＝1，则x ＝2.∴平面A 1EFC 1的一个法向量为(2,2,1)．求平面法向量的一般步骤为： (1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(2)找出(求出)平面的两个不共线的向量的坐标a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)；(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0；(4)解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量．2．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求出平面ABC 的一个法向量．解：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB ―→＝(1，－2，－4)，AC ―→＝(2，－4，－3)， 由题设得： ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ―→＝0，n ·AC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝0，取y ＝1，则x ＝2.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1,0)．利用法向量证明线面垂直如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．试用向量法判断MN 与平面A 1BD 的位置关系．[自主解答] 设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D -xyz .则B (1,1,0)，A 1(1,0,1)， M ⎝⎛⎭⎫1，12，0，N ⎝⎛⎭⎫12，1，12， ∴DA 1―→＝(1,0,1)，DB ―→＝(1,1,0)， MN ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，12.设平面A 1BD 的一个法向量为n 0＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DA 1―→·n 0＝0， DB ―→·n 0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1，则y ＝z ＝－1， ∴n 0＝(1，－1，－1)． ∴n 0＝－2MN ―→，即n 0∥MN ―→. ∴MN ⊥平面A 1BD .利用法向量证明线面垂直，即通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明线面垂直．解决此类问题的关键是正确求解平面的法向量．3．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解：如图，建立空间直角坐标系，则 A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)， M ⎝⎛⎭⎫1，1，12，假设存在P (0,0，x )满足条件， 则PA ―→＝(1,0，－x )，AC ―→＝(－1,1,0)． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧PA ―→·n ＝0， AC ―→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，1x ， 由题意MD ―→∥n ，由MD ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，－1，－12得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2＞1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，F 为CD 的中点，G 为AB 的中点．求证：平面ADE ⊥平面A 1FG .[巧思] 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．[妙解] 法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，设正方体棱长为1.∴D (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12，A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，G ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12， A 1G ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，GF ―→＝(－1,0,0)． ∴AE ―→·A 1G ―→＝0＋12－12＝0，AE ―→·GF ―→＝0＋0＋0＝0.∴AE ―→⊥A 1G ―→，AE ―→⊥GF ―→， 即AE ⊥A 1G ，AE ⊥GF ， 又A 1G ∩GF ＝G ， ∴AE ⊥平面A 1GF . ∵AE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面A 1GF . 法二：建立坐标系如法一．设平面AED 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)． 平面A 1GF 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)． 则n ⊥AE ―→，n ⊥AD ―→， ∴⎩⎨⎧n ·AE ―→＝y 1＋12z 1＝0，n ·AD ―→＝－x 1＝0，取z 1＝2，则n ＝(0，－1,2)． 由m ⊥A 1G ―→，m ⊥GF ―→得 ⎩⎨⎧m ·A 1G ―→＝12y 2－z 2＝0，m ·GF ―→＝－x 2＝0，取z 2＝1，则m ＝(0,2,1)． ∵m ·n ＝0－2＋2＝0，∴m ⊥n . ∴平面ADE ⊥平面A 1GF .1．给定下列命题：①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量，且向量a 与平面α共面，则a ·n ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①③④正确，②中由α∥β⇒n 1∥n 2. 答案：C2．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0,4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析：∵a ＝(－1,0,2)，n ＝(－2,0,4)， ∴n ＝2a ，即a ∥n . ∴l ⊥α. 答案：B3．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，且α⊥β，则x 的值为( ) A ．10 B ．－10 C.12D ．－12解析：∵α⊥β，∴α，β的法向量也垂直， 即(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0. ∴－x －2－8＝0.∴x ＝－10. 答案：B4．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．解析：由已知，a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β. 答案：垂直5．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ―→是平面ABCD 的法向量；④AP ―→∥BD ―→.其中正确的是________．解析：AB ―→·AP ―→＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确；AP ―→·AD ―→＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确；且AP ―→是平面ABCD 的法向量；∴③正确，④错误．答案：①②③6．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF .证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形． 则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2，22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点， ∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴PC ―→＝(2,22，－2)，BF ―→＝(－1，2，1)，EF ―→＝(1,0,1)． ∴PC ―→·BF ―→＝－2＋4－2＝0，PC ―→·EF ―→＝2＋0－2＝0. ∴PC ―→⊥BF ―→，PC ―→⊥EF ―→. ∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF . 又BF ∩EF ＝F ， ∴PC ⊥平面BEF .一、选择题1．若平面α，β的法向量分别为u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确解析：∵－32≠1－3≠－45且u ·v ≠0，∴α，β相交但不垂直． 答案：C2．若直线l 的方向向量为ν＝(2,2,2)，向量m ＝(1，－1,0)及n ＝(0,1，－1)都与平面α平行，则( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直解析：因为ν·m ＝2－2＋0＝0，ν·n ＝0＋2－2＝0，所以ν⊥m ，且ν⊥n ，又m 与n 不平行，所以ν⊥α，即l ⊥α.答案：A3．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM ―→·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段解析：M 构成的图形是经过点A ，且以n 为法向量的平面． 答案：C4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，它的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1) B.⎝⎛⎭⎫1，3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 解析：要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA ―→与平面的法向量n 是否垂直，即PA ―→·n 是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A ，PA ―→＝(1,0,1)，则PA ―→·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA ―→＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12，则PA ―→·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0.同理，选项C 、D 也不符合要求，故选B.答案：B 二、填空题5．若直线l 的方向向量为(2,1，m )，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝________.解析：∵l ⊥α，∴直线l 的方向向量平行于平面α的法向量．∴21＝112＝m 2，∴m ＝4. 答案：46．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．解析：∵a ·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a ·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b ·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．答案：07．平面α，β的法向量分别为m ＝(1,2，－2)，n ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k 等于________．解析：由α⊥β知，m ·n ＝0.∴－2－8－2k ＝0，解得k ＝－5.答案：－58.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥面B 1DE ，则AE ＝________.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0,0,3a )，C (0，2a,0)，D ⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，3 a ， 设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )，则CE ―→＝()2a ，－2a ，z ， B 1E ―→＝(2a,0，z －3a )，B 1D ―→＝⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，0.又CE ―→·B 1D ―→＝a 2－a 2＋0＝0，故由题意得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a .故AE ＝a 或2a .答案：a 或2a三、解答题9．如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明：取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB ―→，OO 1―→，OA―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2, 3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0)，∴AB 1―→＝(1,2，－3)，BD ―→＝(－2,1,0)，BA 1―→＝(－1,2，3)．∵AB 1―→·BD ―→＝－2＋2＋0＝0，AB 1―→·BA 1―→＝－1＋4－3＝0，∴AB 1―→⊥BD ―→，AB 1―→⊥BA 1―→.即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1.又BD ∩BA 1＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BD .10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．(1)证明：平面AED ⊥平面A 1FD 1；(2)在AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面DAE .解：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz ，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,1,0)，A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)．设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA ―→＝(x 1，y 1，z 1)·(2，0，0)＝0，n 1·DE ―→＝(x 1，y 1，z 1)·(2，2，1)＝0. ∴2x 1＝0,2x 1＋2y 1＋z 1＝0. 令y 1＝1，得n 1＝(0,1，－2)． 同理可得平面A 1FD 1的法向量n 2＝(0,2,1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面AED ⊥平面A 1FD 1.(2)由于点M 在AE 上，所以可设 AM ―→＝λ·AE ―→＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，可得M (2,2λ，λ)，于是A 1M ―→＝(0,2λ，λ－2)．要使A 1M ⊥平面DAE ，需A 1M ⊥AE ，所以A 1M ―→·AE ―→＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0， 得λ＝25.故当AM ＝25AE 时，A 1M ⊥平面DAE .。

直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量： 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用： 利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．（1）若有直线l , 点A 是直线l 上一点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB a =，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =，这样，点A 和向量a 不仅可以确定l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点．（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得OP =xa yb +，这样，点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．2、在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的．三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2⇔1u //2u ，l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v ，则有α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v ．若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α⇔u ⊥v ，l ⊥α⇔u //v四、平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：1、设出平面的法向量为(,,)n x y z =．2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==3、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4、解方程组，取其中一个解，即得法向量五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．1、线线平行：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1// l 2，只需证明a //b ，即()a kb k R =∈2、线面平行：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明//l α，只需证明⊥a n ，即0⋅=a n .（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3、面面平行（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．（2）若能求出平面α、β的法向量u 、v ，则要证明α//β，只需证明u // v（二）用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．1、线线垂直：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1⊥ l 2，只需证明a ⊥b ，即0a b ⋅=2、线面垂直：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证l ⊥α，只需证明a // u（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3、面面垂直：（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．（2）证明两个平面的法向量互相垂直．六、用向量方法求空间的角（一）两条异面直线所成的角1、定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线////,//a a b b ，则/a 与/b 所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是02πθ<≤3、向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为ϕ，则有cos |cos |a ba b θϕ⋅==⋅4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（二）直线与平面所成的角1、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．2、范围：直线和平面所成角θ的取值范围是02πθ≤≤3、向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则有sin |cos |cos sin a u a u θϕθϕ⋅===⋅或 （三）二面角1、二面角的取值范围：[0,]π2、二面角的向量求法（1）若AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角（如图（a ）所示）．（2）设1n 、2n 是二面角l αβ--的两个角α、β的法向量，则向量1n 与2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b ）所示）．七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法如图（a ）所示，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，BO BA =cos ∠ABO= cos cos BA BO ABOABO BO ⋅⋅∠∠=。