方向向量与法向量(20200730085117)

法向量和方向向量公式法向量和方向向量是在数学和物理学中经常用到的概念。

下面我将分别解释这两个概念，并提供对应的公式。

1. 法向量：法向量是指与给定曲线、曲面或图形上某一点的切线垂直的向量。

它的方向垂直于曲线、曲面或图形的切线方向。

法向量在几何学、物理学和计算机图形学中都有广泛的应用。

在二维平面中，法向量可以用二维向量表示，通常记作n = (n₁, n₂)。

对于一条曲线或者一个曲面上的点P，可以通过求取该点的切线的斜率的负倒数来得到法向量。

如果曲线或曲面的方程已知，可以通过求取参数化方程的导数来得到法向量。

在三维空间中，法向量可以用三维向量表示，通常记作n = (n₁, n₂, n₃)。

对于一个曲面上的点P，可以通过求取该点处曲面方程的偏导数来得到法向量。

具体的求法需要根据曲面方程的形式来确定。

2. 方向向量：方向向量是指描述一个物体或者一个点移动方向的向量。

它表示从一个点到另一个点的位移向量，它的大小和方向描述了物体或者点的运动轨迹。

方向向量可以用起点和终点的坐标差表示，通常记作d = (d₁, d₂)或者d = (d₁, d ₂, d₃)。

如果两个点的坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，那么方向向量可以表示为d = (x₂- x₁, y₂- y₁)。

类似地，在三维空间中，方向向量可以表示为d = (x ₂- x₁, y₂- y₁, z₂- z₁)。

需要注意的是，方向向量只描述了移动的方向和距离，并没有说明起点和终点的具体位置。

因此，方向向量可以通过缩放来表示不同的位移长度。

希望以上解释和公式能够对你有所帮助。

直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量： 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用： 利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．（1）若有直线l , 点A 是直线l 上一点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB a =，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =，这样，点A 和向量a 不仅可以确定l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点．（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得OP =xa yb +，这样，点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．2、在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的．三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2⇔1u //2u ，l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v ，则有α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v ．若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α⇔u ⊥v ，l ⊥α⇔u //v四、平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：1、设出平面的法向量为(,,)n x y z =．2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==3、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4、解方程组，取其中一个解，即得法向量五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．1、线线平行：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1// l 2，只需证明a //b ，即()a kb k R =∈2、线面平行：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明//l α，只需证明⊥a n ，即0⋅=a n .（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3、面面平行（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．（2）若能求出平面α、β的法向量u 、v ，则要证明α//β，只需证明u // v（二）用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．1、线线垂直：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1⊥ l 2，只需证明a ⊥b ，即0a b ⋅=2、线面垂直：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证l ⊥α，只需证明a // u（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3、面面垂直：（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．（2）证明两个平面的法向量互相垂直．六、用向量方法求空间的角（一）两条异面直线所成的角1、定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线////,//a a b b ，则/a 与/b 所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是02πθ<≤3、向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为ϕ，则有cos |cos |a ba b θϕ⋅==⋅4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（二）直线与平面所成的角1、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．2、范围：直线和平面所成角θ的取值范围是02πθ≤≤3、向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则有sin |cos |cos sin a u a u θϕθϕ⋅===⋅或 （三）二面角1、二面角的取值范围：[0,]π2、二面角的向量求法（1）若AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角（如图（a ）所示）．（2）设1n 、2n 是二面角l αβ--的两个角α、β的法向量，则向量1n 与2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b ）所示）．七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法如图（a ）所示，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，BO BA =cos ∠ABO= cos cos BA BO ABOABO BO ⋅⋅∠∠=。

汇总方向向量和法向量叉乘公式方向向量和法向量是在数学和物理领域中经常用到的概念。

在三维空间中，每个向量都可以表示为一个有序三元组（x，y，z），其中x、y、z分别表示向量在x、y、z轴上的分量。

在讨论方向向量和法向量的叉乘公式之前，我们先来了解一下方向向量和法向量的概念。

方向向量是指一个向量所对应的方向。

在三维空间中，一个向量的方向可以通过将其分量除以向量的模长来得到。

例如，若一个向量为V=(a,b,c)，则其方向向量可以表示为V'=(a/，V，,b/，V，,c/，V，)，其中，V，表示向量V的模长。

方向向量只表示方向，并不考虑向量的大小。

法向量，也称为垂直向量或法线向量，是与一个给定向量垂直的向量。

在数学中，对于一个平面P，其法向量通常用N表示。

法向量的性质是垂直于该平面。

具体而言，如果P上的两个向量A和B满足A·N=0（点乘结果为0），则可以说明A和N垂直。

因此，法向量也可以通过点积计算得到。

接下来我们来讨论方向向量和法向量的叉乘公式。

方向向量的叉乘（cross product）运算是一个向量运算，用于计算两个向量的叉乘结果。

对于给定的两个三维向量A = (A1, A2, A3)和B = (B1, B2, B3)，它们的叉乘结果C = A × B是一个新的向量。

它的计算公式如下：C=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)其中A2B3 - A3B2表示新向量C在x轴上的分量，A3B1 - A1B3表示新向量C在y轴上的分量，A1B2 - A2B1表示新向量C在z轴上的分量。

这个公式也可以表示为C = det(A,B)，其中det表示行列式的计算。

叉乘公式的一个重要性质是，如果两个向量A和B平行（即它们的夹角为0或π），那么它们的叉乘结果C将为零向量（即C=(0,0,0)）。

这个性质在几何和物理问题中有重要应用，比如判断两个平面是否平行、判断线段是否相交等。