中考数学一模试卷+答案与试题解析

2024年辽宁省鞍山市台安县部分学校中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）某运动项目的比赛规定，胜一场记作“+1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“﹣1”分，则该队在比赛中（ ）A．与对手打成平局B．输给对手C．打赢了对手D．无法确定2．（3分）如图所示，几何体的主（正）视图是（ ）A．B．C．D．3．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．4．（3分）下列运算正确的是（ ）A．3x2﹣x2＝3B．a•a3＝a3C．a6÷a3＝a2D．（a2）3＝a6 5．（3分）一元二次方程x2+2x+2＝0根的情况是（ ）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能确定6．（3分）分式方程的解为（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝37．（3分）一次函数y ＝kx +b 中，若kb ＜0，且y 随x 的增大而减小，则其图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（3分）如图，我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（ ）A ．160钱B ．155钱C ．150钱D ．145钱9．（3分）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF 与BD 相交于点P ，AB ∥CD ，∠P ＝15°，∠CFP ＝110°，则∠ABP 的大小为（ ）A．100°B．95°C．90°D．85°10．（3分）如图，已知菱形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣4，0），按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点B，与AC交于点D，则点D的坐标为（ ）A．（，﹣5）B．（﹣5，）C．（1，﹣4﹣）D．（﹣4﹣，1）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算（4+）（4﹣）的结果等于 ．12．（3分）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为 ．13．（3分）如图，在体育课上，A，B，C，D，E，F六位同学分别站在正六边形的6个顶点处（面向六边形内）做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手或右手边的第一个人．若游戏中传球和接球都没有失误，现在球在A手上，则经过两次传球后球又传到A手上的概率为 ．14．（3分）如图，矩形OABC，对角线OB与双曲线y＝交于点D，若OD：OB＝3：5，则矩形OABC的面积为 ．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的D'处，当△APD'是等腰三角形时，AP＝ ．三、解答题（本题共8小题，共75分）16．（10分）（1）计算：−14+÷（−）×（−2）3；（2）化简：（a−1+）÷．17．（8分）照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、LED灯三个阶段，目前性价比最高的是LED灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号的LED照明灯共200只，甲型号LED 照明灯的进价为30元/只，乙型号LED照明灯的进价为60元/只．（1）若购进甲、乙两种型号的照明灯共用去7200元，求甲、乙两种型号照明灯各购进多少只．（2）若商场准备用不多于8400元购进这两种型号的照明灯，问：甲型号照明灯至少购进多少只？18．（9分）【数据的收集与整理】根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．（数据来源：衢州市统计局）【数据分析】（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：①对图中信息作出评判（写出两条）．②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．19．（8分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误．t（min）01235…h（cm）2 2.4 2.8 3.44…解答下列问题：（1）记录错误的h的值是 cm，正确的值应该是 cm；（2）求水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式；（3）当h为10cm时，求对应的时间t为多少．20．（8分）在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆AB的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长CD＝10米，坡度i＝3：4，小华在C处测得旗杆顶端A的仰角为60°，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°．求旗杆AB的高度．（点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上，结果保留根号）21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且AE平分∠CAB．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．22．（12分）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA 为28.75cm 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y （单位：cm ），乒乓球运行的水平距离记为x （单位：cm ），测得如下数据：水平距离x /cm0105090130170230竖直高度y /cm28.7533454945330（1）在平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x ，y ），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm ；②求满足条件的抛物线解析式；（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD 为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．23．（12分）综合与实践问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在▱ABCD中，AB＜BC，∠ABC的平分线交AD 边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作▱DEGF．特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对▱ABCD展开类似研究．如图3，在▱ABCD中，∠ABC＝60°．请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 题．A：当AB＝4，BC＝6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．B：当BC＝6时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值．2024年辽宁省鞍山市台安县部分学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1．–2020的倒数是 A ．2020B ．–2020C ．12020D ．12020-2．4月24日是中国航天日．1970年的这一天,我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星”东方红一号”成功发射,标志着中国从此进入了太空时代,它的运行轨道,距地球最近点439000米,将439000用科学记数法表示应为 A ．0．439×106B ．4．39×106C ．4．39×105D ．439×1033．下列各式计算结果为1n(n 1)+的是A ．11n n 1++ B ．111n n-+ C ．111n n -+ D ．111n n-- 4．将一副三角板(含30︒、45︒的直角三角形)摆放成如图所示的形状,图中1∠的度数是A ．120︒B ．130︒C ．135︒D ．150︒5．如图,圆锥的底面半径r 为6cm,高h 为8cm,则圆锥的侧面积为A ．80πcm 2B ．60πcm 2C ．48πcm 2D ．30πcm 26．一个不透明的口袋中有4个除标号外其余均相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,充分混合后随机摸出一个小球记下标号,放回后混合再随机摸出一个小球记下标号,则两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是 A ．12B ．13C ．14D ．157．如图,已知△ABC 为直角三角形,90B ∠=︒,若沿图中虚线剪去∠B ,则∠1+∠2等于A ．270°B ．315°C ．180°D ．135°8．如图,ABC ∆中,AD 是角平分线,BE 是ABD ∆中的中线,若ABC ∆的面积是24,5AB =,3AC =,则ABE ∆的面积是A ．6B ．7.5C ．12D ．159．如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC =4,点D 是AB 的中点,点P 是直线BC 上一点,将△BDP 沿DP 所在的直线翻折后,点B 落在B 1处,若B 1D ⊥BC ,则点P 与点B 之间的距离为A ．1B ．54C ．1或3D ．54或5 10．在同一直角坐标系中,二次函数2y ax b =+(0a ≠,0b ≠)与反比例函数aby x=的图象可能是 A ． B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 11．分解因式：33a b ab -=_______________12．将一个圆分割成三个扇形,它们圆心角度数的比1：3：5,则最大扇形的圆心角的度数为_____．13．甲、乙两同学在最近的5次数学测验中数学成绩的方差分别为2S 甲 2.518=,2S 乙 3.69=,则数学成绩比较稳定的同学是____________14．济南大明湖畔的”超然楼”被称作”江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图,他们在A 处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m 至B 处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,3≈1．7,结果精确到1m ,则该楼的高度CD 为_______．15．如图,已知双曲线12(0)y x x=<和(0)ky x x =>,直线OA 与双曲线12y x =交于点A ,将直线OA 向下平移与双曲线12y x =交于点B ,与y 轴交于点P ,与双曲线k y x=交于点C ,6ABC S =,:2:1BP CP =,,则k 的值为__________．16．如图,在菱形ABCD 中,tan A 43=,M ,N 分别在边AD ,BC 上,将四边形AMNB 沿MN 翻折,使AB 的对应线段EF 经过顶点D ,延长NF 交DC 于点H ,当EF ⊥AD 时,DHHC的值为_____．三、解答题(本大题共8小题,共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)计算：()()-2201921-2 3.14---12π⎛⎫++ ⎪⎝⎭； (2)化简：(x +5)(2x -3)-2x (x 2-2x +3)．18．(本小题满分8分)如图,△ABC 中,AB =AC ,点E ,F 在边BC 上,BE =CF ,点D 在AF 的延长线上,AD =AC .(1)求证：△ABE ≌△ACF ；(2)若∠BAE =30°,则∠ADC =__________°．19．(本小题满分8分)在下列网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知ABC ∆在网格图中的位置如图所示．(1)请在网格图中画出ABC ∆向右平移7单位后的图形111A B C ∆,并直接写出平移过程中线段BC 扫过的面积；(2)请在网格图中画出ABC ∆以P 为对称中心的图形222A B C ∆.(保留作图痕迹)20．(本小题满分8分)为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况,随机抽取部分中学生进行调查,根据调查结果,将阅读时长分为四类：2小时以内,2～4小时(含2小时),4～6小时(含4小时),6小时及以上,并绘制了如图所示尚不完整的统计图．(1)本次调查共随机抽取了名中学生,其中课外阅读时长”2～4小时”的有人；(2)扇形统计图中,课外阅读时长”4～6小时”对应的圆心角度数为°；(3)若该地区共有20000名中学生,估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．21．(本小题满分10分)如图,已知在矩形ABCD中,E是BC边上的一个动点,点F,G,H分别是AD,AE,DE的中点．(1)求证：四边形AGHF是平行四边形；(2)若BC=10cm,当四边形EHFG是正方形时,求矩形ABCD的面积．22．(本小题满分10分)在一条笔直的公路上有A、B两地．甲、乙两人同时出发,甲骑电动车从A地到B地,中途出现故障后停车维修,修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑摩托车从B地到A地,到达A地后立即按原原速返回,结果两人同时到B地．如图是甲、乙两人与B地的距离y(km)与乙行驶时间x(h)之间的函数图象．(1)A、B两地间的距离为km；(2)求乙与B地的距离y(km)与乙行驶时间x(h)之间的函数关系式；(3)求甲、乙第一次相遇的时间；(4)若两人之间的距离不超过10km时,能够用无线对讲机保持联系,请求出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的x取值范围．23．(本小题满分12分)给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P(M,O,N三点不共线,且点P,O在直线MN的异侧),当∠MPN+∠MON=180°时,则称点P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图．在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1．(1)如图2,已知M(22,22),N(22,﹣22),在A(1,0),B(1,1),C2,0)三点中,是线段MN关于点O的关联点的是；(2)如图3,M(0,1),N 3﹣12),点D是线段MN关于点O的关联点．①∠MDN的大小为；②在第一象限内有一点E3,m),点E是线段MN关于点O的关联点,判断△MNE的形状,并直接写出点E的坐标；③点F在直线y=﹣33x+2上,当∠MFN≥∠MDN时,求点F的横坐标x的取值范围．24．(本小题满分14分)如图1,抛物线y=34x2﹣94x﹣3,与x轴交于A和B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,过点A的直线与抛物线在第一象限的交点M的横坐标为163,直线AM与y轴交于点D,连接BC、A C．(1)求直线AD和BC的解折式；(2)如图2,E为直线BC下方的抛物线上一点,当△BCE的面积最大时,一线段FG2(点F在G的左侧)在直线AM上移动,顺次连接B、E、F、G四点构成四边形BEFG,请求出当四边形BEFG的周长最小时点F的坐标；(3)如图3,将△DAC绕点D逆时针旋转角度α(0°<α<180°),记旋转中的三角形为△DA′C′,若直线A′C′分别与直线BC、y轴交于M、N,当△CMN是等腰三角形时,请直接写出CM的长度．答案与解析1．【答案】D【解析】–2020的倒数是12020-,故选D．2．【答案】C【解析】将439000用科学记数法表示为4．39×105．故选C．3．【答案】C【解析】A、111211(1)(1)(1)n n nn n n n n n n n+++=+=++++,故A错误；B、1111(1)(1)(1)1nn n n n n n nnn+-=-=-++++,故B错误；C、11111(1)(1)(1)n nn n n n n n n n+-=-=++++,故C正确；D、111(1)(1))1(11n nn n n n n n n n-=-=-----,故D错误,故选C．4．【答案】A【解析】由三角形的外角性质得：∠1=30°+90°=120°．故答案为：A．5．【答案】B【解析】∵h=8,r=6,可设圆锥母线长为l,由勾股定理,l圆锥侧面展开图的面积为：S侧=12×2×6π×10=60π,所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选B．6．【答案】C【解析】画树状图得：∵共有16种等可能的结果,两次摸出的小球的标号之和等于5的有4种情况, ∴两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是：41=164,故选C ． 7．【答案】A【解析】∵90B ∠=︒,180A B C ∠+∠+∠=︒,∴90A C ∠+∠=︒, ∵12360A C ∠+∠+∠+∠=︒,∴1236090270∠+∠=︒-︒=︒,故选A ． 8．【答案】B【解析】如图,过点D 作DF ⊥AB ,DG ⊥AC ,垂足分别为F 、G , ∵AD 是角平分线,∴DF =DG ,设DF =DG =h ,S △ABC =S △ABD ＋S △ADC ,即112422AB DF AC DG =⋅+⋅, ∴5h +3h =48,解得h =6,∴156152ABD S =⨯⨯=,∵BE 是△ABD 中的中线,∴7.512ABE BDE ABD S S S ===,故选B ．9．【答案】D【解析】如图,若点B 1在BC 左侧,∵∠C =90°,AC =3,BC =4,∴AB =225AC BC +=, ∵点D 是AB 的中点,∴BD =12BA =52, ∵B 1D ⊥BC ,∠C =90°,∴B 1D ∥AC ,∴12BD BE DE AB BC AC ===, ∴BE =EC =12BC =2,DE =12AC =32,∵折叠,∴B 1D =BD =52,B 1P =BP ,∴B 1E =B 1D –DE =1,∴在Rt △B 1PE 中,B 1P 2=B 1E 2+PE 2, ∴BP 2=1+(2–BP )2,∴BP =54,如图,若点B 1在BC 右侧,∵B 1E =DE +B 1D =32+52,∴B 1E =4, 在Rt △EB 1P 中,B 1P 2=B 1E 2+EP 2,∴BP 2=16+(BP –2)2,∴BP =5,故选D ． 10．【答案】B【解析】A ．由二次函数图象可知,0,0a b >>,由反比例函数图象可知0ab <,错误； B ．由二次函数图象可知,0,0a b >>,由反比例函数图象可知0ab >,正确； C ．由二次函数图象可知,0,0a b ><,由反比例函数图象可知0ab >,错误； D ．由二次函数图象可知,0,0a b <>,由反比例函数图象可知0ab >,错误； 故答案为：B ．11．【答案】()()ab a b a b +-【解析】3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-,故答案为：()()ab a b a b +-． 12．【答案】200°【解析】最大扇形的圆心角的度数=360°×5135++=200°．故答案为200°. 13．【答案】甲【解析】由于2S 甲<2S 乙,则数学成绩较稳定的同学是甲．故答案为：甲． 14．【答案】51m【解析】根据题意得：∠A =30°,∠DBC =60°,DC ⊥AC ,∴∠ADB =∠DBC ﹣∠A =30°,∴∠ADB =∠A =30°,∴BD =AB =60m ,∴CD =BD •sin60°=6032⨯=303≈51(m )． 故答案为：51m ． 15．【答案】3-【解析】如图,连接OB ,OC ,作BE ⊥OP 于E ,CF ⊥OP 于F ．∵OA ∥BC ,∴S △OBC =S △ABC =6, ∵:2:1BP CP =,∴S △OPB =4,S △OPC =2,又由反比例函数的几何意义可知6OBE S ∆=,∴64=2PBE S ∆=-．∵△BEP ∽△CFP ,∴2()CFP PBE S PC S PB∆∆=, ∴11242CFP S ∆=⨯=,∴S △OCF =S △OPC –S △CFP =32,∴k =﹣3．故答案为：﹣3． 16．【答案】87【解析】如图,由翻折不变性可知：∠A =∠E ,∴tan A =tan E 4DM 3DE==, ∴可以假设：DM =4k ,DE =3k ,则EM =5k ,AD =EF =CD =9k ．∵AD ∥BC ,∴∠A +∠B =180°, ∵∠DFH +∠EFN =180°,∠B =∠EFN ,∴∠A =∠DFH , ∵EF ⊥AD ,∴∠ADF =90°,∵AB ∥CD ,∴∠A +∠ADC =180°, ∴∠A +∠HDF =90°,∴∠HDF +∠DFH =90°, ∴tan ∠DFH =tan A DH 4FH 3==,设FH =3x ,则DH =4x 在R △DHF 中,DF =EF ﹣DE =6k ,根据勾股定理得,DH 2+FH 2=DF 2,∴16x 2+9x 2=36k 2,∴x 65=k ,∴DH 245=k , ∴CH =9k 245-k 215=k ,∴24kDH 8521HC 7k 5==．故答案为:87． 17．【解析】(1)()()-2201921-2 3.14---12π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=414(1)++--- =2．(2)()2(5)(23)223+---+x x x x x232=231015246-+--+-x x x x x x 32=2615-++-x x x .18．【解析】(1)∵AB =AC ,∴∠B =∠ACF ,在△ABE 和△ACF 中,AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△ACF (SAS )；(2)∵△ABE ≌△ACF ,∠BAE =30°,∴∠CAF =∠BAE =30°, ∵AD =AC ,∴∠ADC =∠ACD , ∴∠ADC =280013︒-︒=75°,故答案为75． 19．【解析】(1)如图,△A 1B 1C 1为所作,线段BC 扫过的面积=7×4=28；(2)如图,△A 2B 2C 2为所作．20．【解析】(1)本次调查共随机抽取了：50÷25%=200(名)中学生, 其中课外阅读时长”2～4小时”的有：200×20%=40(人),故答案为：200,40；(2)扇形统计图中,课外阅读时长”4～6小时”对应的圆心角度数为：360°×(1﹣30200﹣20%﹣25%)=144°,故答案为：144；(3)20000×(1﹣30200﹣20%)=13000(人),答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．21．【解析】证明：(1)∵点F,G,H分别是AD,AE,DE的中点, ∴FH∥AE,GH∥AD,∴四边形AGHF是平行四边形；(2)当四边形EGFH是正方形时,连接EF,可得：EF⊥GH且EF=GH,∵在△BEC中,点,H分别是BE,CE的中点,∴GH=12BC=12AD=5cm,且GH∥BC,∴EF⊥BC,∵AD∥BC,AB⊥BC, ∴AB=EF=GH=5cm,∴矩形ABCD 的面积=211010502AB AD cm ⨯=⨯⨯=． 22．【解析】(1)由题意,得A 、B 两地间的距离为30km ．故答案为30；(2)设乙前往A 地的距离y (km)与乙行驶时间x (h )之间的关系式为y 乙1=k 1x ,由题意,得30=k 1,∴y 乙1=30x ； 设乙返回B 地距离B 地的距离y (km)与乙行驶时间x (h )之间的关系式为y 乙2=k 2x +b 2,由题意,得22223002k b k b =+⎧⎨=+⎩,解得：223060k b =-⎧⎨=⎩,∴y =–30x +60． (3)由函数图象,得(30+20)x =30,解得x =0．6． 故甲、乙第一次相遇是在出发后0．6小时；(4)设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1=kx +b ,由题意得30150.75b k b =⎧⎨=+⎩,解得：k 20b 30=-⎧⎨=⎩,y 甲1=﹣20x +30, 设甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2=k 3x +b 3,由题意,得333315 1.25k b 02k b =+⎧⎨=+⎩,解得：332040k b =-⎧⎨=⎩,∴y 甲2=﹣20x +40, 当20303010301510x x x -+-≤⎧⎨-⎩时,∴25≤x ≤56；306015102x x -+-⎧⎨⎩,解得：76≤x ≤2．∴25≤x ≤56或76≤x ≤2．23．【解析】(1)由题意线段MN 关于点O 的关联点的是以线段MN 的中点为圆心,22为半径的圆上,所以点C 满足条件,故答案为C ．(2)①如图3–1中,作NH ⊥x 轴于H ．∵N(32,–12),∴tan∠NOH=33,∴∠NOH=30°,∠MON=90°+30°=120°,∵点D是线段MN关于点O的关联点,∴∠MDN+∠MON=180°,∴∠MDN=60°．故答案为60°．②如图3–2中,结论：△MNE是等边三角形．理由：作EK⊥x轴于K．∵E(3,1),∴tan∠EOK=33,∴∠EOK=30°,∴∠MOE=60°,∵∠MON+∠MEN=180°,∴M、O、N、E四点共圆,∴∠MNE=∠MOE=60°, ∵∠MEN=60°,∴∠MEN=∠MNE=∠NME=60°,∴△MNE是等边三角形．③如图3–3中,由②可知,△MNE是等边三角形,作△MNE的外接圆⊙O′,易知E3∴点E 在直线y =–33x +2上,设直线交⊙O ′于E 、F ,可得F (32,32), 观察图象可知满足条件的点F 的横坐标x 的取值范围32≤x F ≤3． 24．【解析】(1)在抛物线y =239344x x --中,令x =0,得y =﹣3, ∴C (0,﹣3),令y =0,得239x x 3044--=,解得x 1=﹣1,x 2=4,∴A (﹣1,0),B (4,0),令x =163,得y =231691634343⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭=193,∴M (163,193), 设直线AD 的解析式为y =k 1x +b 1,将A (﹣1,0),M(163,193)代入得1111k b 01619k b 33-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得11k 1b 1=⎧⎨=⎩, ∴直线AD 的解析式为y =x +1．设直线BC 的解析式为y =k 2x +b 2,将B (4,0),C (0,﹣3)代入,得2224k b 0b 3+=⎧⎨=-⎩,解得223k 4b 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩,∴直线BC 的解析式为y =34x ﹣3；(2)如图2,过点E 作EH ∥y 轴交BC 于H ,设E (t ,239344t t --),H (t ,334t -), ∴HE =233933444t t t ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=2334t t -+ ∴12BCESOB HE =⨯=2134324t t ⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭=2362t t -+=23(2)62t --+∵32-<0, ∴当t =2时,S △BCE 的最大值=6,此时E (2,92-),作点B 关于直线y =x +1的对称点B 1,连接B 1G ,过点F 作B 2F ∥B 1G ,且B 2F =B 1G ,∴B 1(﹣1,5),∵FG 2,且FG 在直线y =x +1上,∴F 可以看作是G 向左平移4个单位,向下平移4个单位后的对应点, ∴B 2(﹣5,1),当B 2、F 、E 三点在同一直线上时,BEFG 周长最小,设直线B 2E 解析式为y =mx +n ,将B 2(﹣5,1),E (2,92-)分别代入,得5m n 192m n 2-+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩,解得11144114m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴直线B 2E 解析式为y =11411414x --, 联立方程组111411414y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得11565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴F (115,65-)． (3)如图,分三种情况：在1y x =+中,令0x =,则1y = (0,1)D ∴(1,0),(4,0)(0,3)A B C --，1,4,1,3,4AD OB OD OC DC ∴=====2210AC AO OC ∴=+=,设AC 边上的高为h ,根据等面积法得,1122AC h CD AO ⨯=⋅⋅ 210510AO DC h AC ⋅∴===4,3OB OC ==且OB ⊥OC ,4tan 3OB BCD OC ∴∠== ①CM =MN 时,如图,过点M 作MG ⊥OC ,过点D 作DP ⊥MN 于点P4tan 3BCD ∠=∴设3CG a =,则3,4NG a MG a ==, 由勾股定理得,5MN MC a ==,,MNO DNP DPN MGN ∠=∠∠=∠MGN DPN ∴∠MG MN DP PN∴=,即45246105a aa =- 解得,81012a -=,0a =(舍去) 40510512CM a -∴==②当MC CN =时,如图,过点M 作MG ⊥OC ,过点D 作DP ⊥MN 于点P4tan 3BCD ∠=设3CG a =,则4MG a =5CM CN a ∴== 2GN CN CG a ∴=-=25MN a ∴=45DN DC CN a ∴=-=-DPNMGN ∆DP DNMG MN ∴=210455425a a a-∴=,解得：0a =(舍去),425a -=, 42CM =-；③当CN MN =时,如图,作CQ MN ⊥,NG CM ⊥,4tan 3BCD ∠=设3CG a =,则4,5NG a CN MN a ===3,6MG a CM a ∴==45DN a ∴=-MN CQ CM NG ⋅=⋅245CQ a ∴=DPNCQN ∆DP DN QC CN ∴=,即2104552455a a a -=,解得,0a =(舍去),410512a =- 241065CM a ∴==-； ④当CM CN =时,过M 作MG DC ⊥,过点D 作DP ⊥MN 于点P4tan 3BCD ∠= 设3CG a =,则4,5MG a CM CN a === 45DN a ∴=+tan MG DP PND NG NP∴∠== 2104553a NP a a=+ 4105NP ∴= 在Rt DPN ∆中,222DN DP NP =+ 222241010(45)55a ∴+=+ 解得,42646,55a a -+--==(舍去) 5426CM a ∴==-+综上,CM 40510-,4224105或64。

2024年江苏省南通市部分学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）下列结果中，是负数的是（）A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣1|C．3×2D．0×（﹣4）2．（3分）风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为（）A．25.3×104B．2.53×104C．2.53×105D．0.253×106 3．（3分）如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）下列各图中，可看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC6．（3分）如图，直线l1∥l2，含有30°的直角三角板的一个顶点C落在l2上，直角边交l1于点D，连接BD，使得BD⊥l2，若∠1＝72°，则∠2的度数是（）A．48°B．58°C．42°D．18°7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x 斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（）A．B．C．D．8．（3分）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0B．﹣1＜a≤0C．﹣4＜a≤﹣3D．﹣4≤a＜﹣3 9．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E﹣O﹣F运动，同时点Q 从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP，PQ，△BPQ的面积为S cm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．10．（3分）已知实数a，b满足4a2+b＝n，b2+2a＝n，b≠2a．其中n为自然数，则n的最小值是（）A．4B．5C．6D．7二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.）11．（3分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（3分）因式分解：2x﹣8x3＝．13．（4分）底面圆半径为10cm、高为的圆锥的侧面展开图的面积为cm2．14．（4分）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．15．（4分）如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为．17．（4分）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则的值为．18．（4分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中x＝3．20．（8分）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB ∥DF，AB＝DF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数．21．（10分）某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用A、B、C、D表示）和4个化学实验考查内容（用E、F、G、H表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．（1）小刚抽到物理实验A的概率是；（2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．22．（10分）青年大学习是共青团中央为组织引导广大青年深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神持续引向深人组织的青年学习行动．某校举办了相关知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图两幅统计图．成绩用x表示，并且分为A、B、C、D、E五个等级，并且分别是：A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．七、八年级成绩的平均数、中位数众数如下表：平均数中位数众数七年级76m75八年级777678其中，七年级成绩在C等级的数据为77、75、75、78、79、75、73、75；八年级成绩在E等级的有3人．根据以上信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是，表中m的值为；（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由；（3）请对该校学生“青年大学习”的掌握情况作出合理的评价．23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝60°，⊙O的切线CD与AB的延长线相交于点D．（1）求证：BD＝BC；（2）若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．24．（13分）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？25．（13分）如图1，P是正方形ABCD边BC上一点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．（1）补全图形，求∠AFE的大小；（2）用等式表示线段CF，BE之间的数量关系，并证明；（3）连接CE，G是CE的中点，AB＝2，若点P从点B运动到点C，直接写出DG的最大值．26．（14分）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”．（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是；（填序号）（2）设函数y＝﹣（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值；（3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标．2024年江苏省南通市部分学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．【分析】利用相反数的意义及绝对值的性质化简A、B，再利用乘法法则计算即可得到C、D．【解答】解：∵A、﹣（﹣2）＝2，∴A项不符合题意；∵B、﹣|﹣1|＝﹣1，∴B项符合题意；∵C、3×2＝6，∴C项不符合题意；∵D、0×（﹣4）＝0，∴D项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，掌握绝对值的性质是解题的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：253000＝2.53×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形，解题关键是抓住轴对称图形是指将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．5．【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，∵OA＝OC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，A、当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；C、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠DCB∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、当AD＝BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．6．【分析】根据平行的性质可得∠DEB＝∠1＝72°，根据三角形的外角的定义可得∠ADC＝42°，再根据平角进行计算即可得到答案．【解答】解：如图，设AB与l1相交于点E，∵l1∥l2，∠1＝72°，∴∠DEB＝∠1＝72°，∵∠A+∠ADC＝∠DEB＝72°，∠A＝30°，∴∠ADE＝42°，∵∠ADC+∠BDE+∠2＝180°，BD⊥l2，∴∠2＝48°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义是解题的关键．7．【分析】根据原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7即可得出答案．【解答】解：根据题意得：，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7是解题的关键．8．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有3个整数解，即可得到a的取值范围．【解答】解：，解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞a，∴该不等式组的解集是a＜x≤2，∵关于x的不等式组有且只有3个整数解，∴这三个整数解是0，1，2，∴﹣1≤a＜0，故选：A．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．9．【分析】当0＜t≤1时，点P在OE上，当1＜t≤2时，点P在OF上，分别求出S与t 的函数关系，即可解答．【解答】解：如图，当0＜t≤1时，由题得，PE＝BQ＝t cm，∵正方向ABCD是边长为2cm，∴P到BC的距离为（2﹣t）cm，∴S＝t•（2﹣t）＝﹣t2+t，如图，当1＜t≤2时，由题得，PF＝CQ＝（2﹣t）cm，∴四边形CFPQ为矩形，∴PQ＝CF＝1cm，∴S＝t•1＝t，故选：D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象应用，三角形面积的计算是解题关键．10．【分析】由原式知，（4a2+b）﹣（b2+2a）＝0，进一步变形得（2a﹣b）（2a+b﹣）＝0，因为b≠2a，所以2a+b﹣＝0，得b＝﹣2a，代入b2+2a＝n得，（﹣2a）+2a＝n，配方法求极值．【解答】解：由原式知，（4a2+b）﹣（b2+2a）＝0，∴（4a2﹣b2）﹣（2a﹣b）＝0∴（2a﹣b）（2a+b）﹣（2a﹣b）＝0∴（2a﹣b）（2a+b﹣）＝0∵b≠2a∴2a+b﹣＝0，∴b＝﹣2a，代入b2+2a＝n得，（﹣2a）2+2a＝n，整理，得n＝4a2﹣2a+7＝（2a﹣）2+5≥5，∴自然数n的最小值为6故选C．【点评】本题考查等式的基本性质，平方差公式、完全平方公式、配方法求极值；根据式子的具体特征，结合乘法公式对代数式作恒等变形是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.）11．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，解得x≥5，故答案为：x≥5．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．12．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：2x﹣8x3＝2x（1﹣4x2）＝2x（1+2x）（1﹣2x），故答案为：2x（1+2x）（1﹣2x）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．13．【分析】先求出圆锥的母线长，再根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为10cm，高为10cm，∴圆锥的母线为＝20（cm），∴圆锥的侧面展开图的面积为×（2π×10）×20＝200π（cm2）．故答案为：200π．【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是求出圆锥的母线和掌握圆锥的侧面展开图的面积公式．14．【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．【解答】解：由题意得，S＝﹣0.25t2+10t＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）＝﹣0.25（t﹣20）2+100，∵﹣0.25＜0，∴t＝20时，飞机滑行的距离最大，即当t＝20秒时，飞机才能停下来．故答案为：20．【点评】本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键．15．【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD 的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×20＝600（米），∴AD＝AC•sin45°＝300（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝600（米）．故答案为：600．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．16．【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴AF＝＝＝8，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．17．【分析】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出a +b ＝5，a 2＝5a +2，再将其代入整理后的代数式计算即可．【解答】解：∵a ，b 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2＝0的两个实数根，∴a +b ＝5，a 2﹣5a ﹣2＝0，即：a 2＝5a +2，∴，故答案为：5．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，，x 1•x 2＝．也考查了一元二次方程的解．18．【分析】过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，由△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍以及E 是AB 的中点即可得出S △ABC ＝2S △ABD ，结合CD ＝k 即可得出点A 、B 的坐标，再根据AB ＝2AC 、AF ＝AC +BD 即可求出AB 、AF 的长度，根据勾股定理即可算出k 的值，此题得解．【解答】解：过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，如图所示．∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点，∴S △ABC ＝2S △BCE ，S △ABD ＝2S △ADE ，∴S △ABC ＝2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ，∴AC ＝2BD ，又∵OC •AC ＝OD •BD ，∴OD ＝2OC ．∵CD ＝k ，∴点A 的坐标为（，3），点B 的坐标为（﹣，﹣），∴AC ＝3，BD ＝，∴AB ＝2AC ＝6，AF ＝AC +BD ＝，∴CD ＝k ＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】（1）先化简，然后算加减法即可；（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（1）＝3+﹣1﹣＝+；（2）＝•＝＝＝，当x＝3时，原式＝＝﹣5．【点评】本题考查实数的运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．【分析】（1）由平行线的性质得∠A＝∠FDE，根据等式的性质可得AC＝DE，再由SAS 证明△ABC≌△DFE即可；（2）先根据三角形的外角可得∠DOC＝74°，由平行线的性质可得∠B＝∠DOC，最后由全等三角形的性质可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥DF，∴∠A＝∠EDF，∵AD＝CE，∴AD+CD＝CE+CD，即AC＝DE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）解：∵∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，∴∠DOC＝∠BCF+∠DFC＝54°+20°＝74°，∵AB∥DF，∴∠B＝∠DOC＝74°，∵△ABC≌△DFE，∴∠DFE＝∠B＝74°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．21．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出抽到B和F的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）小刚抽到物理实验A的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果，其中抽到B和F的结果数为1，所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．22．【分析】（1）求出调查人数以及B等级的学生人数所占的百分比即可求出相应的圆心角度数，根据中位数的定义求出中位数即可得出m的值；（2）通过平均数、中位数、众数的大小比较得出答案；（3）根据平均数、中位数、众数综合进行判断即可．【解答】解：（1）由条形统计图可得，调查人数为2+5+8+2+3＝20（人），扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是360＝90°，将七年级这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝75，因此中位数是75分，即m＝75，故答案为：90°，75；（2）八年级学生的成绩较好，理由：八年级学生成绩的平均数、中位数、众数均比七年级学生的平均数、中位数、众数大，所以八年级学生成绩较好；（3）青年学生对深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及中位数、众数、平均数的意义是正确解答的前提．23．【分析】（1）连接OC，可证明△BOC是等边三角形，则∠BOC＝∠BCO＝60°，由CD 与⊙O相切于点C，得∠OCD＝90°，即可求得∠D＝90°﹣∠BOC＝30°，∠BCD＝90°﹣∠BCO＝30°，所以∠BCD＝∠D，则BD＝BC；（2）作CE⊥OB于点E，则CE＝OC•sin60°＝3，可求得S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC＝6π﹣9．【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OB，∵∠ABC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝∠BCO＝60°，∵CD与⊙O相切于点C，∴CD⊥OC，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BOC＝30°，∠BCD＝90°﹣∠BCO＝30°，∴∠BCD＝∠D，∴BD＝BC．（2）解：作CE⊥OB于点E，则∠OEC＝90°，∵OC＝OB＝6，∴CE＝OC•sin60°＝6×＝3，∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×6×3＝6π﹣9，∴阴影部分的面积是6π﹣9．【点评】此题重点考查切线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；（3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．【解答】解：（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据题意，得，解得x＝70，经检验，x＝70是原分式方程的根，且符合题意，70﹣20＝50（元），答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据题意，得70m+50（100﹣m）≤5900，解得m≤45，m为正整数，答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；（3）设总利润为w元，w＝25m+20（100﹣m）＝5m+2000，∵5＞0，∴w随着m的增大而增大，当m＝45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000＝2225（元），此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100﹣45＝55（副），答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．25．【分析】（1）由轴对称的性质可得∠DAP＝∠EAP＝70°，AD＝AE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解；（2）先求出∠AFE＝45°，通过证明△CDF∽△BDE，可得BE＝CF；（3）先确定点G在以O为圆心，1为半径的圆上运动，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）补全图形如图1所示；设∠BAP＝x，∴∠DAP＝90°﹣x，∵线段AE与AD关于直线AP对称，∴∠DAP＝∠EAP＝90°﹣x，AD＝AE，∴∠BAE＝90°﹣2x，AB＝AE，∴∠E＝∠ABE＝45°+x，∴∠AFE＝180°﹣（90°﹣x）﹣（45°+x）＝45°；（2）BE＝CF；证明：如图2，连接DF，DE，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝CD，∠CDB＝45°，∵线段AE与AD关于直线AP对称，∴DF＝EF，∠DFA＝∠AFE＝45°，∴∠DFE＝90°，∴∠FDE＝45°＝∠CDB，DE＝DF，∴∠CDF＝∠BDE，，∴△CDF∽△BDE，∴，∴BE＝CF；（3）如图3，连接AC，BD交于点O，连接OG，∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，又∵G是CE中点，∴OG＝AE＝AD＝1，∴点G在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∴点P从点B运动到点C，点G的运动到BD上时DG的值最大，且DG的最大值为DO+OG，∵OD＝AD＝，∴DG的最大值为1．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判断和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．26．【分析】（1）在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，可知y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y＝，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”；（2）在y＝﹣中，令y＝﹣x得A（2，﹣2）或（﹣2，2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x 得B（﹣，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），可得AB2＝2（2+）2，BC2＝+（2+）2，AC2＝4，分三种情况列方程可得答案；（3）设M（0，m），m＜﹣1，求出抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），而点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），可得旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x ﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，令y＝﹣x得x2﹣3x﹣2m＝0，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，故9+8m＝0，m＝﹣，从而得M的坐标为（0，﹣）．【解答】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数，在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y＝，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”；故答案为：③；（2）在y＝﹣中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣，解得x＝2或x＝﹣2，∵x＞0，∴A（2，﹣2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b，解得x＝﹣，∴B（﹣，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），∴AB2＝2（2+）2，BC2＝+（2+）2，AC2＝4，若AB＝BC，则2（2+）2＝+（2+）2，解得b＝﹣3；若AB＝AC，则2（2+）2＝4，解得b＝﹣3﹣6或b＝3﹣6；若BC＝AC，则+（2+）2＝4，解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）；∴b的值为﹣3或﹣3﹣6或3﹣6或0；（3）设M（0，m），m＜﹣1，∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，在y＝﹣x2+2x+2m中，令y＝﹣x得：﹣x＝﹣x2+2x+2m，∴x2﹣3x﹣2m＝0，∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，∴x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，∴Δ＝0，即9+8m＝0，∴m＝﹣，∴M的坐标为（0，﹣）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，等腰三角形，一元二次方程根的判别式，旋转变换等知识，解题的关键是读懂新定义，利用二次函数与一元二次方程的关系解决问题。

2024年广东省珠海市香洲区九洲中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．【详解】解：∵，∴的倒数是，故选：D ．2.有意义，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据被开方数为非负数求解即可．【详解】解：∵有意义，∴，解得：．故选A ．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．3. 今年哈尔滨旅游火出圈了，截止元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客3047900人次，其中3047900这个数字用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n 为整数）的形式，确定a 和n 20242024-202412024-120241202412024⨯=202412024x 3x ≥3x ≤3x >3x <30x -≥3x ≥530.47910⨯53.047910⨯63.047910⨯73.047910⨯10n a ⨯110a <<的值是解答本题的关键．将3047900写成（，n 为整数）的形式即可．【详解】解：，故选：C ．4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：C ．5. 下列运算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的除法的运算法则和完全平方公式逐项判断即可．【详解】解：A10n a ⨯110a <<63047900 3.047910=⨯180︒==623a a a ÷=()222a b a b +=+B，正确，符合题意；C 、，故此选项计算错误，不符合题意；D 、，故此选项计算错误，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的加法、二次根式的除法、同底数幂的除法、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．6. 若反比例函数在每个象限内的函数值y 随x 的增大而减小，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的性质，k ＞0时，在每个象限内y 随x 增大而减小列不等式求解．【详解】解：∵反比例函数在每个象限内的函数值y 随x 增大而减小，∴k-1＞0，解得k ＞1．故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数中k 的正负对函数增减性的影响．7. 石家庄市某中学为了解八年级1200名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．给出下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②1200名学生是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200是样本容量．其中正确的判断有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象,从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【详解】解：①这种调查方式是抽样调查故①正确；②1200名学生的数学成绩是总体，故②错误；③每名学生的数学成绩是个体，故③正确；==62624a a a a -÷==()2222a b a ab b +=++1k y x -=k <0k >1k >1k <1k y x-=④200名学生的数学成绩是总体的一个样本，故④错误；⑤200是样本容量，故⑤正确；故选：C ．【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．8. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，连结．若，，则的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，三角形的周长，根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的作法及性质是解题的关键．【详解】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，∴，∴的周长为．故选：．9. 如图，这是由10个全等的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，我们把三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，是格点三角形，将平移后仍为格点三角形（本身除外）的方法有（ ）A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种【答案】C ABC AB AC >B C ，BC M N CD 8AB =4AC =ACD 9101112MN BC CD BD =ACD AC CD AD AC BD AD AC AB ++=++=+MN BC CD BD =ACD 4812AC CD AD AC BD AD AC AB ++=++=+=+=D ABC ABC【解析】【分析】根据菱形的性质画出图形解答即可．【详解】解：如图所示：故选：C ．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的四边相等解答．10. 如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），与y 轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x ＝1，则下列结论中：①a +c ＝b ；②方程ax 2+bx +c ＝0的解为﹣1和3；③2a +b ＝0；④c ﹣a ＞2，其中正确的结论为（ ）A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④【答案】D【解析】【分析】将点代入解析式可判断；由对称性可得另一个交点，可判断；由，可判断，由可判断，即可求解．【详解】解：抛物线经过点，，，故正确；对称轴为x ＝1，一个交点为，另一个交点为，方程的解为﹣1和3，故正确；为10-（，）①30（，）②12b a-=③20c a ＝，＜④① 2y ax bx c ++＝10-（，）0a b c ∴+﹣＝a c b ∴+＝①② 10-（，）∴30（，）∴20ax bx c ++＝②由对称轴为x ＝1，，，则，故正确；抛物线与y 轴交于，c ＝2，a ＜0，，故正确，故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，根与系数关系，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）将正确答案写在答题卡相应的位置上．11. 单项式的系数是______．【答案】【解析】【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果．【详解】解：单项式的系数是-1．故答案是：-1．【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．12. 如果，那么代数式的值为_____．【答案】7【解析】【分析】此题考查了代数式求值问题，用整体代入法求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：7．③∴12b a-=∴2b a ＝﹣20a b +＝③④ 2y ax bx c ++＝02（，）∴ 2c a ∴﹣＞④ab -1-ab -23x y -=421x y -+23x y -=426x y -=421617x y -+=+=13. 已知是方程一个根，则另一个根为________．【答案】##【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案．【详解】解：∵是方程的一个根，∴∴；∴方程的另一个根为；故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x ，y 的方程组的解为______．【答案】【解析】【分析】先把代入直线即可求出b 的值，从而得到P 点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数解析式组成的二元一次去方程组的解可得答案．【详解】解：∵直线经过点，∴，解得，的1x =20x m +=1x =-1x =-+1x =20x m +=21x +==21x =-1x =-1x =-1:31l y x =+2:l y mx n =+()1,P b 31y x y mx n =+⎧⎨=+⎩14x y =⎧⎨=⎩()1,P b 1:31l y x =+1:31l y x =+()1,P b 31b =+4b =∴，∴关于x ，y 的方程组的解为，故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点的横纵坐标就是两函数组成的二元一次去方程组的解．15. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为___________．【答案】75°##75度【解析】【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．【详解】解：如图，∵∠2=90°-30°=60°，∴∠3=180°-45°-60°=75°，∵a ∥b ，∴∠1=∠3=75°，故答案为：75°．【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．16. 如图，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，过OA 的中点C 作FD ∥OB 交⊙O 于D 、F 两点，且CD，以O 为圆心，OC 为半径作，交OB 于E 点．则图中阴影部分的面积为______________．(1),4P 31y x y mx n =+⎧⎨=+⎩14x y =⎧⎨=⎩14x y =⎧⎨=⎩CE【解析】【详解】分析：（1）首先证明OA ⊥DF ，由垂径定理求出，由OD=2CO 推出∠CDO=30°，设OC=x ，则OD=2x，利用勾股定理求得OD 的长，再根据S 阴=S △CDO +S 扇形OBD -S 扇形OCE 计算即可．详解：连接OD ，∵OA ⊥OB ，∴∠AOB=90°，∵CD ∥OB ，∴∠OCD=90°，∴OA ⊥DF ，∴CD=，在Rt △OCD 中，∵C 是AO 中点，∴OA=OD=2CO ，设OC=x ，则x 22=(2x)2，解得：x=1，∴OA=OD=2，∵OC=OD ∠OCD=90°,∴∠CDO=30°，∵FD ∥OB ，,121212∴∠DOB=∠ODC=30°，∴S 阴=S △CDO +S 扇形OBD −S 扇形OCE=+−.点睛：本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n 0，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则或，（其中l 为扇形的弧长）三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）17. 计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．根据特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值的代数意义，二次根式的化简分别计算即可得到答案．【详解】解：．18. 图，E 是正方形内一点，是等边三角形，连接，，延长交于点F ．（1）求证：；（2）求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得，由等边三角形的性质可得，再证明，即可证明；（2）证明，，，可得，再利用等腰三角形的性质与平行线的性质可得答案．【小问1详解】122302360π⨯2901360π⨯π122360n r S π=1=2S lR 扇形)04sin 451︒+604sin 451)5︒+-+--415=++-6=ABCD BCE DE AE DE AB ABE DCE ≌△△AFD ∠75︒AB DC =BE CE =ABE DCE ∠=∠ABE DCE ≌△△CE BC BE ==CD BC =AB CD ∥CE CD =证明：在正方形中，，，∵ 为等边三角形，∴ ，，∴ ，即：，在和中， ，∴，【小问2详解】∵是等边三角形，∴，∵四边形是正方形∴，，∴，∴，∵，∴．19. 先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】由题意先利用分式的运算法则进行计算化简，进而代入计算即可.【详解】解：ABCD AB DC =90ABC BCD ∠=∠=︒BCE BE CE =60EBC ECB ∠=∠=︒ABC EBC BCD ECB ∠-∠=∠-∠30ABE DCE ∠=∠=︒ABE DCE △AB DC ABE DCE BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE DCE ≌ BCE CE BC BE ==ABCD CD BC =AB CD ∥CE CD =()118030752CDE ∠=︒-︒=︒AB CD ∥75AFD CDE ∠=∠=︒2211121x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭1x =+11x -2211121x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭22111121x x x x x x x +-⎛⎫=-÷ ⎪++++⎝⎭()()()211111x x x x +=⋅++-当时，原式.【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则以及分母有理化的方法是解题的关键.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）20. 2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？【答案】40元【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，根据该商场第二次同样用2400元购进的数量比第一次少10件，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元．21. 如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，若是的切线．（1）求证：；（2）若，，求半径的长．11x =-1x =+==20%x (120%)x +x (120%)x +2400240010(120%)x x-=+40x =40x =Rt ABC △90ACB ∠=︒D AC AD O BD E CE O CE BC =4CD =1tan 2BEC ∠=O【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据，得到，证明，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）根据正切的定义求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．本题考查的是切线的性质、正切的定义、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．【小问1详解】证明：连接，是的切线，，，，，，，，，；【小问2详解】解：设的半径为，，，，，，，，OE OE EC ⊥90OED BEC ∠+∠=︒OE OD =OED ODE ∠=∠BEC CBE ∠=∠BC OE CE O OE EC ∴⊥90OED BEC ∴∠+∠=°90ACB ∠=︒ 90CDB CBE ∴∠+∠=︒OE OD = OED ODE ∴∠=∠ODE CDB ∠=∠ BEC CBE ∴∠=∠CE BC ∴=O r BEC CBE ∠=∠ 1tan 2BEC ∠=1tan 2CBD ∴∠=∴12CD BC =4CD = 8BC ∴=8EC ∴=在中，，即，解得：，即的半径为6．22. 幸福成都，美在文明！为助力成都争全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A ．宣传单宣传，B ．电子屏宣传，C ．黑板报宣传，D ．志愿者宣传．每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，“D ．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为______；（3）本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率【答案】（1）50，图见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据C 项目的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数A 、C 、D 项目的人数即可解决问题；（2）用乘以 “D .志愿者宣传”的学生所占的比例即可；（3）列出表格，共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，再由概率公式求解即可．【小问1详解】本次调查的学生共有：（人），Rt OEC △222OC OE EC =+222(4)8r r +=+6r =O 108︒16360︒1020%50÷=喜欢B ．电子屏宣传的人数有：（人），补全条形统计图如图所示：故答案为：50【小问2详解】“D ．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为；故答案为：；【小问3详解】列表得：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12种等可能的结果，其中恰好是甲和乙的有2种，∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ,再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）23. 在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：是等边三角形，点是内一点，连接，将线段绕逆时针旋转得到线502010155---=1536010850︒⨯=︒108︒21==126ABC D ABC ∆CD CD C 60︒段，连接，，，并延长交于点．当点在如图所示的位置时：（1）观察填空：与全等的三角形是 ；（2）利用（1）中的结论，求的度数；（3）判断线段之间的数量关系【答案】（1）△BCE（2）60° （3）【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，四点共圆等，构造全等三角形是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得，，可知，再说明是等边三角形，可得，，进而得出，即可得出答案；（2）先说明点，，，四点共圆，可得，再根据，可得答案；（3）先证明三角形是等边三角形，再根据证明，得出，进而得出答案．【小问1详解】解：是等边三角形，，，．由旋转可知，，，是等边三角形，，，，∴故答案为：CE BE DE AD AD BE F D ACD AFB ∠FD FE FC ，，FC FE FD=+AB BC =60ACB ∠=︒60ACD DCB ∠+∠=︒A DCE 60BCE DCB ∠+∠=︒CD CE =ACD BCE ∠=∠C D F E 180AFE DCE ∠+∠=︒180AFB AFE ∠+∠=︒EFG AAS CEG DEF △≌△CG FD -ABC AB AC BC ∴==60BAC ACB ABC ∠=∠=∠=︒60ACD DCB ∴∠+∠=︒CE CD =60DCE ∠=︒DCE ∴60BCE DCB ∠+∠=︒ACD BCE ∠=∠CD CE =()SAS ACD BCE △≌△Δ:BCE【小问2详解】由（1）知．，，点，，，四点共圆，．，；【小问3详解】解：由（1）知是等边三角形，．由（2）得，点，，，四点共圆，．在上取一点，使，是等边三角形，，，．：点，，，四点共圆，，∴，，24. 已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C()SAS ACD BCE △≌△ADC BEC ∠∠∴=180ADC FDC ∠+∠=︒ BEC C ∴∠+180FDC =︒∴C D F E 180AFE DCE ∴∠+∠=︒180AFB AFE ∴∠+∠=︒60AFB DCE ∴∠=∠=︒DCE △CE DE ∴=180120DFE DCE ∠=︒-∠-︒C D F E 60CFE CDE ∴∠=∠=︒FC G FG FE =∴EFG EG FE ∴=60EGF ∠-︒120CGE DFE ∴∠=︒=∠ C D F E ECG EDF ∴∠=∠()AAS CEG DEF ≌CG FD ∴=FC FG CG FE FD∴=+=+24(0)y ax bx a =++>x (1,0)A (4,0)B y（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，的坐标为或．【解析】【分析】（1）用待定系数法可得；（2）由，可得直线解析式为，设，由，有，即可解得；（3）可得直线的表达式为，知在直线上，，过点作轴于点，过作轴于，根据，可得直线和直线关于直线对称，有，，，从而可得直线的表达式为，点的坐标为，即得，，故P BC B C P x Q OQ OCPQ Q D OC Q E 2DQE ODQ ∠=∠QE F BEF △ADC △F 257y x x =-+()22Q ，-F (4,2)(1.6, 2.8)-254y x x =-+(4,0)B (0,4)C BC 4y x =-+(,4)P m m -+OC PQ =244m m -+=(2,2)Q -DQ 22y x =-+A DQ AD =AC =Q QH x ⊥H E EK x ⊥K 2DQE ODQ ∠=∠AQ QE QH DAO QAH QGH EGB ∠=∠=∠=∠1GH AH ==(3,0)G QE 26y x =-E (5,4)EKB COA ∽V V EBK CAO ∠=∠，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，当时，有解得；当时，，解得．【小问1详解】解：把，代入得：，解得：，；【小问2详解】解：由，可得直线解析式为，设，则，，，要使四边形恰好是平行四边形，只需，，解得，；【小问3详解】解：在直线上存在点，使得与相似，理由如下：是的中点，点，点，由（2）知，直线表达式为，的DAC GEB ∠=∠BEF △ADC △E A F (,26)t t -BEF CAD ∽V V =(4,2)F BEF DAC ∽V V =(1.6, 2.8)F -(1,0)A (4,0)B 24y ax bx =++4016440a b a b ++=⎧⎨++=⎩15a b =⎧⎨=-⎩254y x x ∴=-+(4,0)B (0,4)C BC 4y x =-+(,4)P m m -+2(,54)Q m m m -+224(54)4PQ m m m m m ∴=-+--+=-+OC PQ OCPQ OC PQ =244m m ∴-+=2m =(2,2)Q ∴-QE F BEF △ADC △D OC (0,4)C ∴(0,2)D (2,2)Q -∴DQ 22y x =-+，直线上，，过点作轴于点，过作轴于，如图：，故，，，直线和直线关于直线对称，，，，由点，可得直线的表达式为，联立，解得或，点的坐标为，，，，，，，，，即，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，则当时，有，在(1,0)A A ∴DQ AD =AC =Q QH x ⊥H E EK x ⊥K QH CO Q P AQH ODQ ∠=∠2DQE ODQ ∠=∠ HQA HQE ∴∠=∠∴AQ QE QH DAO QAH QGH EGB ∴∠=∠=∠=∠1GH AH ==(3,0)G ∴(2,2)Q -(3,0)G QE 26y x =-25426y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩54x y =⎧⎨=⎩22x y =⎧⎨=-⎩∴E (5,4)(4,0)B 1BK ∴=4EK =BE =∴14BK OA EK OC==90EKB COA ∠=︒=∠Q EKB COA ∴∽V V EBK CAO ∴∠=∠CAO DAO EBK EGB ∴∠-∠=∠-∠DAC GEB ∠=∠BEF ∴ ADC △E A F (,26)t t -EF =BEF CAD ∽V V BE EF AC AD =解得或（在右侧，舍去），；当时，，解得（舍去）或，，综上所述，的坐标为或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形，相似三角形等知识，难度较大，综合性较强，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点．∴=4t =6t =E (4,2)F ∴BEF DAC ∽V V BE EF AD AC=∴=8.4t = 1.6t =(1.6, 2.8)F ∴-F (4,2)(1.6, 2.8)-DAC GEB ∠=∠BEF △ADC △E A。

2024年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）。

1．（3分）下列各数中，最大的是（）A．﹣3B．0C．2D．|﹣1|2．（3分）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000kg的煤所产生的能量．把130000000kg用科学记数法可表示为（）A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．3a3﹣a2＝2a B．（a+b）2＝a2+b2C．a3b2÷a2＝a D．（a2b）2＝a4b24．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（）A．y1+y2＜0B．y1+y2＞0C．y1﹣y2＜0D．y1﹣y2＞06．（3分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC 的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．（3分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝8．（3分）小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么小明、小刚两人恰好相邻的概率是（）A ．B ．C ．D ．9．（3分）如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且BF ：FC ＝3：4，AB ＝14，则EF 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．810．（3分）“五一节”期间，数学老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y （千米）与汽车行驶时间x （小时）之间的函数图象．他们出发2.2小时时，离目的地还有（）千米A ．12B ．24C ．146D ．164二、填空题（每小题3分，共计24分）11．（3分）在函数中，自变量x 的取值范围是．12．（3分）计算的结果是．13．（3分）分解因式：x 3﹣9x ＝．14．（3分）二次函数y ＝﹣3（x ﹣2）2﹣3的最大值为．15．（3分）某单位今年六月份面向社会提供就业岗位32个，并按计划逐月稳步增长，预计八月份将提供岗位50个．则七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为．16．（3分）如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形叫做“莱洛三角形”，它是工业生产中广泛使用的一种图形．若等边△ABC 的边长为5，则该“莱洛三角形”的周长等于．17．（3分）已知CD是△ABC的边AB上的高，若，AD＝1，，则BC的长为．18．（3分）在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6，延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若，则线段OF的长为．三、解答题（其中19～22题各7分，23题8分，24～26题各10分，共计66分）19．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2（tan45°﹣cos30°）．20．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．（1）如图1，在方格纸中添加一条线段EF（点E、F在小正方形的顶点上），使它们构成轴对称图形；（2）如图2，在方格纸中找点M（点M在小正方形的顶点上），使四边形ABMC是中心对称图形，并直接写出所画四边形的面积．21．（7分）某学校开展了安全知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如下不完整统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若全校学生都参加测试，请你估计该学校测试成绩优秀的学生有多少名．22．（7分）如图1，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂AB长度可调节（10cm≤AB≤15cm），并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是0°＜α≤90°，手机支撑片EC可绕点B上下转动，BC ＝10cm，转动角β变动范围是0°＜β≤90°．小明使用该支架进行线上学习，当β≥30°，且点C离底座的高度不小于7cm时，他才感觉舒适．（1）如图2，当α＝90°，β＝37°，AB＝12cm时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）．（2）如图3，当α＝60°，β＝90°的情况下，AB要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．（精确到1cm．参考数据）23．（8分）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE＝AC．（1）求证：△ABC≌△AFE；（2）如图2，连接AG，若∠ACB＝30°，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是△BEG面积的2倍．24．（10分）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．（1）求参加此次研学活动的师生共有多少人？（2）若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，甲种客车数量比乙种客车的5倍多1辆，则至少租用多少辆乙种客车？25．（10分）已知，AD、BC为⊙O两条弦，AD⊥BC于点E，连接OE，AE＝CE．（1）如图1，连接OE，求∠AEO的度数；（2）如图2，连接AC，延长EO交AC于点N，点F为AC上一点，连接EF，在EF上方作等腰直角三角形EFG，且∠EGF＝90°，连接NG，求证：NG∥BC；（3）在（2）的条件下，连接AB，CD，当点G落在线段AB上时，过点O作OL⊥OE，交CD于点L，交CE于点T，若，EG＝2CL，求⊙O半径的长．26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）（x﹣6）（a≠0）分别交x轴于A、B两点（A在B 左边），交y轴于点C，连接AC，且．（1）如图1，求a的值；（2）如图2，点Q是第四象限内抛物线上的一点，过点Q作QD⊥x轴于D，连接AQ，点E在AQ上，过E点作EF⊥x轴于F，点H在EF上，纵坐标为﹣2，连接HD，若，点Q 的横坐标为t，DF的长为d，求d与t之间的函数关系式并直接写出自变量t的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，延长EF交抛物线于点G，连接CG延长至点M，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，点P为抛物线顶点，连接NP并延长交y轴于点K，连接KM并延长分别交EG、HD的延长线于点R、T，连接ED，若，，求点K的坐标．2024年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分）。

2023年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知tan A＝，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列结论正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝3．关于抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（）A．开口向上B．与y轴的交点是（0，﹣3）C．顶点是（1，﹣3）D．对称轴是直线x＝﹣14．已知、为非零向量，下列判断错误的是（）A．如果＝2，那么∥B．如果＝，那么＝﹣C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．如果为单位向量，且＝2，那么||＝2 5．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（）A．米B．米C．米D．米6．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝3，AD＝2，BC＝4．P是BA 延长线上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点P的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．如果＝，那么＝．8．已知线段AB＝6，P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，那么PA的长是．9．如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么线段EF的长是．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，E是边AC的中点，延长BC到点D，使BC ＝2CD，那么DE的长是．11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝5，那么cos ∠BCD的值是．12．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比i＝1：0.75，堤高BC＝4.8米，那么坡面AB的长度是米．13．把抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是．14．如果一条抛物线经过点A（﹣2，0）和B（4，0），那么该抛物线的对称轴是直线．15．已知一个二次函数的图象经过点（0，2），且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是（只要写出一个符合要求的解析式）．16．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解折武是y＝x2+x（0≤x≤4）．那么水珠的最大离地高度是米．17．已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为．18．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，将△ABC绕点C旋转至△A'B′C，如果直线A′B'⊥AB，垂足记为点D，那么的值为．三、解答题（本大题共7题）19．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2DB．（1）如果BC＝4，求DE的长；（2）设＝，＝，用、表示．20．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1．⫋（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图象；（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．21．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．（1）求∠ABC的正切值；（2）求的值．22．小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度．如图，他先在点C处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE），测得旗杆顶部A的仰角为45°，再沿BC的方向后退3.5米到点D处，用同一个测角仪（图中DF），又测得旗杆顶部A的仰角为37°．试求旗杆AB 的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）23．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2＝EF•EC．求证：（1）△ABD∽△FCB；（2）BD•BE＝AD•CE．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P（m，n）．①如果PO＝PA，且新抛物线的顶点在△AOB的内部，求m+n的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且∠POA＝∠OBA，求点P的坐标．25．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，E是线段CD上一点，联结BE．（1）如图1，如果AD＝1，且CE＝3DE，求∠ABE的正切值；（2）如图2，如果BE⊥CD，且CE＝2DE，求AD的长；（3）如果BE⊥CD，且△ABE是等腰三角形，求△ABE的面积．2023年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】直接根据tan60°＝进行解答即可．【解答】解：∵tan A＝，A为锐角，tan60°＝，∴∠A＝60°．故选：C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．2．【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后再利用锐角三角函数的定义，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝＝，∴tan A＝＝，cot A＝＝，sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．【分析】由二次函数的顶点式可得抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标，进而求解．【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣3，∴抛物线开口向下，顶点为（﹣1，﹣3），∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，将x＝0代入y＝﹣2（x+1）2﹣3得y＝﹣5，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣5），故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．4．【分析】根据平面向量的性质解答．【解答】解：A、如果＝2，那么两向量是共线向量，则，故本选项不符合题意．B、如果＝，那么两向量为共线向量，则＝﹣，故本选项不符合题意．C、||＝||，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意．D、根据向量模的定义知，||＝2||＝2，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．5．【分析】根据锐角三角函数，可以得到AC＝，BC＝，然后根据AC+BC＝AB，即可得到PC．【解答】解：作PC⊥AB，交AB于点C，∵PC⊥AB，∠PAB＝α、∠PBA＝β，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴AC＝，BC＝，∵AB＝a，AB＝AC+BC，∴a＝+，解得PC＝＝，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】延长CD交射线BA于点E，由AD∥BC，得△EAD∽△EBC，再分三种情况讨论，一是点P与点E重合，此时△PAD∽△PBC；二是点P在点E与点A之间，因为∠PAD＝∠CBP，所以当＝时，△PAD∽△CBP，可由＝，求得AP＝，这样就验证了此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；三是点P在AE的延长线上，可通过计算证明此时△PAD与△PBC不相似．【解答】解：延长CD交射线BA于点E，∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，如图1，点P与点E重合，则△PAD与△EAD完全重合，∴△PAD∽△PBC；∵∠PAD＝∠CBP，∴当＝时，△PAD∽△CBP，∵AB＝3，AD＝2，BC＝4，∴＝，解得AP＝或AP＝（不符合题意，舍去），∴此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；如图3，点P在AE的延长线上，∴PA＝PB，∴A为BP的中点，∴AP＝AB＝3＝AE，显然与点P在AE的延长线上不符，∴此时△PAD与△PBC不相似，综上所述，这样的点P有2个，故选：B．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确理解与应用相似三角形的判定定理是解题的关键．二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】直接利用已知得出x，y的关系，进而代入原式化简即可．【解答】解：∵＝，则x＝y，故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用y表示出x的值是解题关键．8．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，AB＝6，∴AP＝AB＝×6＝3﹣3，故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．9．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．10．【分析】取BC的中点F，连接EF，根据三角形中位线定理可得EF＝2，再利用线段垂直平分线的性质可得答案．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，∵点E为AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝2，∵BC＝2CD，∴FC＝CD，∵AC⊥BC，∴AC垂直平分DF，∴DE＝EF＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识，构造三角形中位线是解题的关键．11．【分析】由余角的性质得到∠BCD＝∠A，求∠A的余弦值即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴∠BCD+∠ACD＝∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴cos∠BCD＝cos A＝＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的余弦定义．12．【分析】由i＝BC：AC＝1：0.75＝4：3，令BC＝4x（米），AC＝3x（米），得到AB＝5x （米），由BC＝4x＝4.8米，求出x的值，即可求出AB的长．【解答】解：∵i＝BC：AC＝1：0.75＝4：3，∴令BC＝4x（米），AC＝3x（米），∴AB＝＝＝5x（米），∵BC＝4x＝4.8（米），∴x＝1.2，∴AB＝5x＝6（米）．故答案为：6．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度，关键是掌握坡度的定义．13．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，顶点坐标为（0，1），则平移后顶点坐标为（﹣2，1），由抛物线的顶点式可求平移后的抛物线解析式．【解答】解：∵y＝x2+1顶点坐标为（0，1），∴向左平移2个单位后顶点坐标为（﹣2，1），∴所得新抛物线的表达式为y＝（x+2）2+1．故答案为：y＝（x+2）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是把抛物线的平移理解为顶点的平移，根据顶点式求抛物线解析式．14．【分析】由抛物线的对称性求解．【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣2，0）和B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，故答案为：x＝1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．15．【分析】由抛物线经过（0，2）可得c＝2，由y轴左侧部分是上升的，可得抛物线开口向下，对称轴为y轴或对称轴在y轴右侧，进而求解．【解答】解：由题意得抛物线开口向下，抛物线对称轴为y轴或在y轴右侧，∴y＝﹣x2+2符合题意．故答案为：y＝﹣x2+2，（答案不唯一）．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．16．【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．【解答】解：∵y＝x2+x＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，y有最大值，最大值为，∴水珠的最大离地高度是，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．17．【分析】由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，而△ADE的面积＝×△ABC的面积，即可解决问题．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．18．【分析】设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，再根据勾股定理求解．【解答】解：设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，当旋转90°时，A′B＝x，∵sin A＝，∴B′D＝x，∴AD＝x，∴BD＝AB﹣AD＝x，∴＝，同理：当旋转270°时，＝，故答案为：或．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．三、解答题（本大题共7题）19．【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，由AD＝2DB，可得DE＝BC，即可得DE＝；（2）由DE＝BC，DE∥BC，＝，知＝，故＝+＝+．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝2DB，∴＝，∴＝，∴DE＝BC，∵BC＝4，∴DE＝；（2）由（1）知DE＝BC，∴BC＝DE，∵DE∥BC，＝，∴＝，∴＝+＝+．【点评】本题考查相似三角形及平面向量，解题的关键是掌握三角形相似的判定与性质，能进行向量的简单运算．20．【分析】（1）配成顶点式即可得到顶点坐标；（2）根据抛物线顶点和与y轴交点可画出函数图象；（3）观察函数图象可得答案．【解答】解：（1）∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴二次函数y＝2x2﹣4x﹣1图象的顶点坐标为（1，﹣3）；（2）由（1）知抛物线顶点为（1，3），由y＝2x2﹣4x﹣1可得抛物线过（0，﹣1），（2，﹣1），（3，5），（﹣1，5），如图：（3）当x≤1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及配方法，解题的关键是画出函数图象．21．【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝8，即得tan B＝＝；（2）由（1）知tan B＝，可得tan C＝，即得＝，而CD＝5，故DE＝4，CE＝3，BE＝BC﹣CE＝9，由＝，有EF＝12，故DF＝EF﹣DE＝8，从而＝＝2．【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，如图：∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BH＝CH＝BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝＝8，∴tan B＝＝＝；（2）由（1）知tan B＝，∴tan C＝，∴＝，∵D是AC的中点，AC＝10，∴CD＝5，∴DE＝4，CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝12﹣3＝9，∵tan B＝，∴＝，∴EF＝12，∴DF＝EF﹣DE＝12﹣4＝8，∴＝＝2．【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理及应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形求出tan B＝．22．【分析】设直线EF交AB于G，可得∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，设AG＝GE＝x米，在Rt△AGF中，tan37°＝，即0.75＝，解出x的值，即可求得答案．【解答】解：设直线EF交AB于G，如图：根据题意，∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，∴△AEG的等腰直角三角形，∴AG＝GE，设AG＝GE＝x米，则旗杆AB高度为（x+1.6）米，∴GF＝GE+EF＝（x+3.5）米，在Rt△AGF中，tan∠AFG＝，∴tan37°＝，即0.75＝，解得：x＝10.5，∴x+1.6＝10.5+1.6＝12.1，答：旗杆AB的高度是12.1米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．23．【分析】（1）由BE2＝EF•EC，∠BEF＝∠CEB，可得△BEF∽△CEB，有∠EBF＝∠ECB，又AD∥BC，有∠ADB＝∠FBC，故△ABD∽△FCB；（2）由△BEF∽△CEB，△ABD∽△FCB，可得＝，＝，即得＝，从而BE•BD＝AD•CE．【解答】证明：（1）∵BE2＝EF•EC，∴＝，∵∠BEF＝∠CEB，∴△BEF∽△CEB，∴∠EBF＝∠ECB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBC，∴△ABD∽△FCB；（2）由（1）知△BEF∽△CEB，△ABD∽△FCB∴＝，＝，∴＝，∴BE•BD＝AD•CE．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．24．【分析】（1）利用待定系数法即可得抛物线的表达式；（2）①由PO＝PA得点P在OA的垂直平分线上，则点P的横坐标m＝1，求出直线AB 为y＝﹣x+2，可得OA的垂直平分线与AB的交点坐标为（1，1），由新抛物线的顶点在△AOB的内部可得n的取值范围，即可求解；②设OP与AB交于Q，Q（x，﹣x+2），证明△AOQ∽△ABO，根据相似三角形的性质可得OQ＝，利用勾股定理得出x＝或，则Q（，）或（，）（舍去），直线OQ为y＝x，可得n＝m，则新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2+m经过原点，求出m的值，即可得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4；（2）①∵PO＝PA，∴点P在OA的垂直平分线上，∵点A（2，0），∴点P的横坐标m＝1，设直线AB为y＝kx+b，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴直线AB为y＝﹣x+2，当x＝1时，y＝﹣x+2＝1，∴OA的垂直平分线与AB的交点坐标为（1，1），∵新抛物线的顶点P（m，n）在△AOB的内部，∴n的取值范围为0＜n＜1，∴1＜m+n＜2；②如图，设OP与AB交于Q，Q（x，﹣x+2），∵∠POA＝∠OBA，∠OAQ＝∠BAO，∴△AOQ∽△ABO，∴，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴OA＝2，BO＝＝，BA＝3，∴，∴OQ＝，∴＝，解得x＝或，∴Q（，）或（，）（舍去），∴直线OQ为y＝x，∵P（m，n），∴n＝m，∴新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2+m，∵新抛物线经过原点，∴﹣（﹣m）2+m＝0，解得m＝0或m＝，∴点P的坐标为（，）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握待定系数法以及相似三角形的判定和性质．25．【分析】（1）过D作DK⊥BC于K，过E作ET⊥BC于T，由AD∥BC，∠ABC＝90°，DK⊥BC，得四边形ABKD是矩形，知BK＝AD＝1，DK＝AB＝4，证明△DKC∽△ETC，有＝＝，即可求出tan∠ABE＝tan∠BET＝＝＝；（2）过D作DR⊥BC于R，过E作ES⊥BC于S，由CE＝2DE，可得＝＝，ES＝，CR＝CS，证明△BSE∽△ESC，有＝，即得CR＝，从而AD 的长为；＝AB•BW＝×（3）当AB＝BE＝4时，过E作EW⊥BC于W，可得BW＝，S△ABE4×＝；当AE＝BE时，过E作EP⊥BC于P，过E作EM⊥AB于M，可得BP＝3+＝AB•BP＝×4×（3+）＝6+2或S△ABE＝AB•BP＝6或BP＝3﹣，S△ABE﹣2；当AB＝AE＝4时，过E作EQ⊥AB于Q，过E作EI⊥BC于I，设QE＝x＝BI，＝AB•EQ＝×4×＝．可得＝，故S△ABE【解答】解：（1）过D作DK⊥BC于K，过E作ET⊥BC于T，如图：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DK⊥BC，∴四边形ABKD是矩形，∴BK＝AD＝1，DK＝AB＝4，∴CK＝BC﹣BK＝6﹣1＝5，∵CE＝3DE，∴＝，∵∠DKC＝90°＝∠ETC，∠C＝∠C，∴△DKC∽△ETC，∴＝＝＝，即＝＝，∴ET＝3，KT＝，∴BT＝BK+KT＝，∵AB∥ET，∴∠ABE＝∠BET，∴tan∠ABE＝tan∠BET＝＝＝，∴∠ABE的正切值为；（2）过D作DR⊥BC于R，过E作ES⊥BC于S，如图：∵CE＝2DE，∴＝，同（1）可得＝＝，DR＝4，∴＝＝，∴ES＝，CR＝CS，∵BE⊥CD，∴∠BES＝90°﹣∠CES＝∠C，∵∠BSE＝90°＝∠ESC，∴△BSE∽△ESC，∴＝，即＝，∴CS＝或CS＝，∴CR＝（大于6舍去）或CR＝，∴BR＝BC﹣CR＝，∴AD＝；∴AD的长为；（3）当AB＝BE＝4时，过E作EW⊥BC于W，如图：∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°＝∠BWE，∵∠EBW＝∠CBE，∴△EBW∽△CBE，∴＝，即＝，∴BW＝，＝AB•BW＝×4×＝；∴S△ABE当AE＝BE时，过E作EP⊥BC于P，过E作EM⊥AB于M，如图：∴BM＝AB＝2＝EP，同（2）可得＝，∴＝，解得BP＝3+或BP＝3﹣，＝AB•BP＝×4×（3+）＝6+2或S△ABE＝AB•BP＝6﹣2；∴S△ABE当AB＝AE＝4时，过E作EQ⊥AB于Q，过E作EI⊥BC于I，如图：设QE＝x＝BI，则AQ＝＝，CI＝6﹣x，∴BQ＝EI＝4﹣，∵∠CEI＝90°﹣∠BEI＝∠QEB，∠EQB＝90°＝∠EIC，∴△EQB∽△EIC，∴＝，即＝，解得x＝0（舍去）或x＝，＝AB•EQ＝×4×＝，∴S△ABE综上所述，△ABE的面积为或6+2或6﹣2或．【点评】本题考查直角梯形的应用，涉及锐角三角函数，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．。

2023 -2024学年第二学期九年级第一次大练习数学试卷注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100 分钟。

2 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。

答在试卷上的答案无效。

一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列各数中，最大的数是( ) A. -1 B.2 C.π D. 52.下列四件文物是洛阳博物馆的镇馆之宝，其中主视图和左视图一样的是( )3.2024 年春节假期，洛阳文旅火爆出圈，据统计，春节期间共接待游客1113.53万人次，旅游总收入82.93 亿元,将82.93 亿用科学记数法表示为( )A.8.293×10⁸B.8.293×10⁹C.82.93×10⁸D.0.8293×10'4.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,若∠ABD =55°,则∠BCD 等于( )A.55°B.45°C.35°D.25°5.化简 4a +2+a ―2的结果是( )A .a 2a +2 B .a 2a 2―4 C .aa +2 D.16.将国际数学家大会的其中两个奖章正反两面的图案分别印在4张完全相同的空白卡片如图，现将4张卡片印有图案的一面朝下洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上的图案恰好是同一个奖章的正反面的概率是( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 167.二次函数y =-x 2+(m ―2)x +m 的图像与x 轴交点的情况是( )A.没有交点 B.有一个交点 C.有两个交点 D.与m 的值有关8.如图，DE 与⊙O 相切于点 D ，交直径的延长线于点E ，C 为圆上一点， ∠ACD =600若DE 的长度为3，则BE 的长度为( )A. 2B. 3C.32 D.29.鹰眼系统能够追踪、记录和触测球的轨迹，下图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线，若把对应的抛物线的函数表达式设为 y =ax 2+bx +c (a ≠0)画 二次函数的y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象时，列表如下：x …1234…y…1-3…关于此函数下列说法不正确的是(A.函数图象开口向下 B.当x=2时，该函数有最大值C.当x=0时,y=-3D.若在函数图象上有两点A (x 1,―4)B (x 2,―12则 x₁>x₂10.如图1,点E 从菱形ABCD 的顶点A 出发、沿A→D→C 以1cm/s 的速度匀速运动到点C 停止,过点E 作EF ∥BD,与边AB(或边BC)交于点F,图2是点E 运动时. △AEF 的面积y(cm²)关于点E 的运动时间t(s)的函数图象，当点E 运动3s 时。

2024年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2023的倒数是（）A．2023B．C．﹣2023D．2．（3分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，数据150万用科学记数法表示为（）A．1.5×105B．0.15×105C．1.5×106D．1.5×1073．（3分）计算的结果是（）A．2B．﹣2C．0D．2b﹣2a4．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，4，7B．3，3，6C．5，8，2D．4，5，66．（3分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（）A．此次调查属于全面调查B．样本容量是300C．2000名学生是总体D．被抽取的每一名学生称为个体7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，任意长为半径画弧，分别交AC，N，再分别以M，N为圆心长为半径画弧，两弧交于点O，交BC于点E．已知CE＝3，AB＝6（）A．6B．9C．12D．188．（3分）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．25°9．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法不正确的是（）A．图象不经过第三象限B．y随着x的增大而减小C．图象与x轴交于（﹣2，0）D．图象与y轴交于（0，4）10．（3分）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B 也进入．”B说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，则进入前三强的三个人是（）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x3﹣4x＝．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）已知m是﹣1，0，1，2，3中的一个数，则关于x的方程x2﹣x+m＝0有解的概率为．14．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，已知点B，C关于原点对称．15．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，垂足为E，若∠C＝30°，则⊙O的半径为cm．16．（3分）若扇形的圆心角为135°，半径为4，则它的弧长为．（结果保留π）三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）18．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣2b），其中a＝202419．（6分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌CD 的高度，从与大厦BC相距30m的A处观测广告牌顶部D的仰角∠BAD＝30°，如图所示．（1）求大厦BC的高度；（结果精确到0.1m）（2）求广告牌CD的高度．（结果取整数）（参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）20．（8分）打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为名，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是度；（3）若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数；（4）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．21．（8分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．（1）求证：△ABC≌△CDE；（2）已知AB＝2，DE＝4，求△ACE的面积．22．（9分）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵8元，且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．（1）求A，B两种文具的单价；（2）若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过2080元23．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝2，∠AFB＝60°，求CF的长．24．（10分）在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：y＝3x﹣1与y＝﹣x+3有且只有一个交点（1，2），则称这两个函数为“亲密函数”，点（1，2）（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在_____内记“√”，不是“亲密函数”的在______内记“×”；①y＝2x﹣1与y＝﹣x+2；②与；③y＝x2﹣x+1与y＝x．（2）一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，且他们的“密接点”P到原点的距离等于3，求b的值．（3）两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．记直线l1与l2的交点的纵坐标为m，直线MN与y轴的交点的纵坐标为n．试判断m与n的关系，并证明你的判断．25．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，∠DMC＝∠DAB．（1）求证：AB＝BC．（2）当k≥1时，记，记．①当时，求t的值；②求t的最大值．（3）当AD为直径时，连接OB交AC于点E，满足以下条件：①S△BCM＝3；②S△BEM＝2m﹣n；③S△DCM ＝3m+n（m，n均为正整数）；求⊙O的半径r的值．参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2023的倒数是（）A．2023B．C．﹣2023D．【解答】解：∵﹣2023×（﹣）＝1，∴﹣2023的倒数是﹣，故选：B．2．（3分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，数据150万用科学记数法表示为（）A．1.5×105B．0.15×105C．1.5×106D．1.5×107【解答】解：150万＝1500000＝1.5×105．故选：C．3．（3分）计算的结果是（）A．2B．﹣2C．0D．2b﹣2a【解答】解：＝＝﹣＝﹣7，故选：B．4．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．5．（3分）以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，4，7B．3，3，6C．5，8，2D．4，5，6【解答】解：A、4+2＝5＜7；B、3+6＝6；C、5+5＝7＜8；D、3+5＝9＞7．故选：D．6．（3分）为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（）A．此次调查属于全面调查B．样本容量是300C．2000名学生是总体D．被抽取的每一名学生称为个体【解答】解：A、此次调查属于抽样调查；B、样本容量是300；C、2000名学生的视力情况是总体；D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体；故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，任意长为半径画弧，分别交AC，N，再分别以M，N为圆心长为半径画弧，两弧交于点O，交BC于点E．已知CE＝3，AB＝6（）A．6B．9C．12D．18【解答】解：由基本作图得到AE平分∠BAC，∴点E为AC和AB的距离相等，∴点E到AB的距离等于AC，即点E到AB的距离为3，∴S△ABE＝×6×3＝3．故选：B．8．（3分）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．25°【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠3＝∠6＝55°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．故选：A．9．（3分）关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法不正确的是（）A．图象不经过第三象限B．y随着x的增大而减小C．图象与x轴交于（﹣2，0）D．图象与y轴交于（0，4）【解答】解：∵y＝﹣2x+4，k＝﹣2＜0，∴图象经过一、二、四象限，故A，B不符合题意；当y＝0时，﹣7x+4＝0，∴图象与x轴交于（7，0）；当x＝0时，y＝3，∴图象与y轴交于（0，4）；故选：C．10．（3分）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B 也进入．”B说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，则进入前三强的三个人是（）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A【解答】解：若A进入前三强，那么进入前三强的有A、B、C、D，显然不合题意，同理，当B进入前三强时，所以应从C开始进入前三强，D，E．故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x3﹣4x，＝x（x4﹣4），＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．12．（3分）不等式组的解集是﹣≤x＜5．【解答】解：由x﹣1＜得：x＜5，由2x+3≥0得：x≥﹣，则不等式组的解集为﹣≤x＜4，故答案为：﹣≤x＜5．13．（3分）已知m是﹣1，0，1，2，3中的一个数，则关于x的方程x2﹣x+m＝0有解的概率为．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+m＝0有解，∴b6﹣4ac＝1﹣5m≥0，解得：k≤，∴满足条件的m的值有﹣1，0，∴关于x的方程x3﹣x+m＝0有解的概率为．故答案为：．14．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，已知点B，C关于原点对称3．【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，∴S△ABO＝，∵点B，C关于原点对称，∴BO＝CO，∴S△ABC＝2S△ABO＝2×＝3．故答案为：3．15．（3分）如图，在⊙O中，CD是直径，垂足为E，若∠C＝30°，则⊙O的半径为4cm．【解答】解：连接DA，如图所示则∠DAC＝90°，∵AB⊥CD，∠C＝30°，∴cos30°＝＝，∴AC＝5cm，∴CD＝4cm，故答案为：4．16．（3分）若扇形的圆心角为135°，半径为4，则它的弧长为3π．（结果保留π）【解答】解：l＝＝＝3π．故答案为：7π．三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）【解答】解：＝．18．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣2b），其中a＝2024【解答】解：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣6b）＝a2﹣2ab+b7+a2﹣b2﹣3a2+4ab＝3ab，当a＝2024，b＝﹣1时，原式＝2×2024×（﹣7）＝﹣4048．19．（6分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌CD 的高度，从与大厦BC相距30m的A处观测广告牌顶部D的仰角∠BAD＝30°，如图所示．（1）求大厦BC的高度；（结果精确到0.1m）（2）求广告牌CD的高度．（结果取整数）（参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【解答】解：（1）由题意得：DB⊥AB，在Rt△ABC中，AB＝30m，∴BC＝AB•tan27°≈30×0.510＝15.3（m），∴大厦BC的高度约为15.2m；（2）在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，∴BD＝AB•tan30°＝30×＝10，∵BC＝15.3m，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣15.6≈2（m），∴广告牌CD的高度约为2m．20．（8分）打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为100名，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是144度；（3）若该校有3000名学生，请你估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数；（4）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【解答】解：（1）（名），D的人数＝100﹣10﹣20﹣40﹣5＝25（名），（2），故答案为：144；（3）3000×＝600（人），答：估计最喜欢阅读文学类书籍的学生人数约为600人；（4）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有7种、CC，∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．21．（8分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．（1）求证：△ABC≌△CDE；（2）已知AB＝2，DE＝4，求△ACE的面积．【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC＝∠DCE＝90°﹣∠ACB，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）．（2）解：∵△ABC≌△CDE，AB＝2，∴AC＝CE，AB＝CD＝2，∴∠D＝90°，∴CE4＝CD2+DE2＝22+42＝20，∵∠ACE＝90°，∴S△ACE＝AC•CE＝2＝×20＝10，∴△ACE的面积为10．22．（9分）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵8元，且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同．（1）求A，B两种文具的单价；（2）若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过2080元【解答】解：（1）设A种文具的单价是x元，则B种文具的单价是（x﹣8）元，根据题意得：＝，解得：x＝24，经检验，x＝24是所列方程的解，∴x﹣6＝24﹣8＝16，答：A种文具的单价是24元，B种文具的单价是16元；（2）设年级组购买B种文具m件，则购买A种文具（100﹣m）件，根据题意得：24（100﹣m）+16m≤2080，解得：m≥40，答：年级组至少购买B种文具40件．23．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝2，∠AFB＝60°，求CF的长．【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，E是AD的中点，∴BD＝CD，AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，在△AFE和△DCE中，，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴F A＝CD，∴F A∥BD，F A＝BD，∴四边形ADBF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形．（2）解：作FG⊥CB交CB的延长线于点G，则∠G＝90°，∵四边形ADBF是菱形，∴AF＝BF＝AD＝BD，∠ADB＝∠AFB＝60°，∴△ADB和△AFB都是等边三角形，∴CD＝BD＝BF＝AB＝3，∠ABF＝∠ABD＝60°，∴∠GBF＝180°﹣∠ABF＝∠ABD＝60°，∴＝sin∠GBF＝sin60°＝，，∴FG＝BF＝，BG＝×2＝5，∴CG＝CD+BD+BG＝2+2+6＝5，∴CF＝＝＝2，∴CF的长是2．24．（10分）在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：y＝3x﹣1与y＝﹣x+3有且只有一个交点（1，2），则称这两个函数为“亲密函数”，点（1，2）（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在_____内记“√”，不是“亲密函数”的在______内记“×”；①y＝2x﹣1与y＝﹣x+2；√②与；×③y＝x2﹣x+1与y＝x．√（2）一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，且他们的“密接点”P到原点的距离等于3，求b的值．（3）两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．记直线l1与l2的交点的纵坐标为m，直线MN与y轴的交点的纵坐标为n．试判断m与n的关系，并证明你的判断．【解答】解：（1）①∵y＝2x﹣1与y＝﹣x+2有且只有一个交点（1，1），∴这两个函数是“亲密函数”，故答案为：√；②∵y＝与y＝，∴这两个函数不是“亲密函数”，故答案为：×；③y＝x2﹣x+5与y＝x有且只有一个交点（1，1），∴这两个函数是“亲密函数”，故答案为：√；（2）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣（其中k，k＞3是“亲密函数”，∴方程kx+b＝﹣有且只有一个实数根，∴kx2+bx+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b5﹣4k2＝3，∴b＝2k或＝2k，当b＝7k时，kx2+2kx+k＝6，解得x＝﹣1，∴P（﹣1，k），∵“密接点”P到原点的距离等于6，∴＝3（负值舍去），∴b＝5；当b＝﹣2k时，kx8﹣2kx+k＝0，解得x＝4，∴P（1，﹣k），∵“密接点”P到原点的距离等于3，∴＝8（负值舍去），∴b＝﹣4；当b＝2k时，kx2+2kx+k＝0，解得x＝﹣1，∴P（﹣5，k），∵“密接点”P到原点的距离等于3，∴＝3（负值舍去），∴b＝4；综上，b的值为5；（3）m+n＝3c．证明：设直线l1：y＝k1x+b3，直线l2：y＝k2x+b4，∵两条直线l1与l2都是二次函数y＝x4+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．∴k1x+b1＝x2+c，即x2﹣k1x+c﹣b7＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝﹣4（c﹣b1）＝8，∴b1＝，∴x8＝x2＝，∴M（，+c），同理：b6＝，N（，，设直线MN的解析式为y＝k3x+b3，∴k3+b8＝+c①，k4+b3＝+c②，①k1×﹣②×k5得k1b3﹣k6b3＝（k2﹣k8）+（k1﹣k1）c，∴b7＝﹣+c，令x＝0，则n＝b3＝﹣+c，∵m＝k5x m+b1＝k2x m+b3，∴x m＝＝，∴＝，∴m＝+c，∴m+n＝+c+（﹣．25．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，∠DMC＝∠DAB．（1）求证：AB＝BC．（2）当k≥1时，记，记．①当时，求t的值；②求t的最大值．（3）当AD为直径时，连接OB交AC于点E，满足以下条件：①S△BCM＝3；②S△BEM＝2m﹣n；③S△DCM ＝3m+n（m，n均为正整数）；求⊙O的半径r的值．【解答】（1）证明：∵∠DMC＝∠DAC+∠ADB，∠DAB＝∠DAC+∠CAB，∴∠CAB＝∠ADB，∴，（2）解：①由（1）知：∠CAB＝∠ADB，∵∠ABM＝∠DBA，∴△ABM∽△DBA，∴，∴AB2＝DB•BM．∵＝k，，∴＝，∴设DM＝3a，AB＝2a，BM＝x，∴（2a）8＝x（x+3a），∴x＝﹣4a（不合题意，舍去）或x＝a．∴BM＝a．∴t＝＝．②∵，∴DM＝kAB，∵AB3＝DB•BM，∴AB2＝（BM+DM）•BM＝（BM+kAB）•BM．∴BM＝AB（负数不合题意，∴BM＝AB．∴t＝＝＝＝，∵k≥1，∴当k＝1时，t取得最大值为．（3）由（1）知：，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∴DC⊥AC，∴OB∥DC．∴△BEM∽△DCM，∴，∴＝．∵＝，∴＝，∴（3m+n）（4m﹣n）＝9，∵m，n均为正整数，∴或或，∴或（不合题意（不合题意，∴S△BEM＝1，S△DCM＝9．∴S△BEC＝7．∴＝，∴＝，设BE＝b，则DC＝3b．∵OB∥DC，OA＝OD，∴OE＝DC＝b，∴OA＝OB＝OE+BE＝b．∵BE•EM，∴b•EM＝5，∴EM＝，∴CM＝，∴AE＝CE＝．∵OA2＝AE2+OE5，∴，∴b8＝16，∵b＞0，∴b＝2，∴OA＝＝5．∴⊙O的半径r的值为5．。

2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）某假期铁路南京站、南京南站共计发送旅客1610000人次，用科学记数法表示1610000是（）A．0.161×107B．1.61×107C．1.61×106D．16.1×1052．（2分）下列计算正确的是（）A．a4+a5＝a9B．2a4•a5＝2a9C．（2a4）5＝32a9D．a8÷a2＝a43．（2分）下列整数中，与最接近的是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣34．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．a+b+c＞0B．b﹣a＞c﹣b C．ab＞ac D．5．（2分）已知某函数图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1）和C（m+1，4），则其大致图象可能是（）A．B．C．D．6．（2分）小丽在半径为100m的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程AB+BC的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是．8．（2分）分解因式：x3﹣4x2y+4xy2＝．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）设x1，x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝x1x2+1，则m＝．11．（2分）方程的解是．12．（2分）如图，点A，B分别在反比例函数的图象上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB的面积是4，则k的值为．13．（2分）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为m．14．（2分）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，过点E作EF⊥BC，垂足为F．若AE＝3，EF＝4，则菱形的边长为．15．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，经过点E，F的⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，与边DE交于点M，连接GM，FH交于点N，则∠GNF的度数为°．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接AP，若PE2＝PD•PF，则AP的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算：．18．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．19．（7分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，G是BD的中点，连接EG并延长，与CB的延长线交于点F，且BF＝AE．求证CA＝CB．20．（8分）图①是A，B两款新能源汽车在2023年6月到12月期间月销量（单位：辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）．（1）下列结论中，所有正确结论的序号是．①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；②2023年6月到12月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车；④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定．（2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出B款汽车的平均得分．（3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A款汽车的厂家提出一条改进建议．21．（7分）如表，从A市到B市的飞机航班中，每天有三趟去程航班，两趟返程航班．甲、乙两人计划从A市出发，分别随机选择航班，同一天往返A、B两市．（1）在去程航班中，求甲、乙两人恰好选择相同航班的概率；（2）在往返航班中，若甲已选定往返航班，则乙选择的往返航班与甲均相同的概率为．航线航班号起落时间A市→B市MU28117：50﹣9：45 CA86028：00﹣10：00 CA18208：45﹣10：40B市→A市MU283218：05﹣20：20 CA860120：10﹣22：0022．（8分）在▱ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接AF、CH、AG、CE，AF、CE相交于点M，AG、CH相交于点N．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若四边形AMCN是矩形，连接AC、BD，则AC、BD满足的数量关系是．23．（7分）为测量某建筑物BC的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角∠CAB为45°，沿着倾斜角∠DAB 为18°的斜坡AD前行30m到达D处，此时测得顶端C的仰角∠CDE为58°，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）24．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）求证：当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．25．（9分）小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以80km/h的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5小时，汽车剩余电量Q （kw•h）与时间t（h）的函数关系如图①所示．（1）该电动汽车每小时的充电量为kw•h；（2）求线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式；（3）在图②中，画出小美离家的距离S（km）与t的函数图象．26．（8分）在△ABC中，BA＝BC，D是BC边上的动点，经过点A的⊙O与BC边相切于点D，与AB，AC边分别交于点E，F，连接AD．（1）如图①，连接DF，求证△CDA∽△CFD；（2）如图②，AD是⊙O的直径，连接EF，若，AC＝2，求EF的长．27．（11分）在△ABC中，∠C＝2∠B．（1）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：c2﹣ab﹣b2＝0．小明的思路如图①，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD．小红的思路如图②，将△ABC沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与AB，BC分别交于点D，E，连接CD．在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明．（2）如图③，已知线段m，n．求作：满足已知条件的△ABC，且AB＝m，AC＝n．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）（3）若△ABC有一条边的长度为4，设，△ABC的周长为l，直接写出l关于k的函数表达式，以及l的取值范围．2024年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：1610000＝1.61×106，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a4与a5不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、2a4•a5＝2a9，故B符合题意；C、（2a4）5＝32a20，故C不符合题意；D、a8÷a2＝a6，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．【分析】由20.25＜21＜25，可知4＜＜5然后作答即可．【解答】解：∵16＜21＜25，∴＜＜，即4＜＜5，∵4.52＝20.25，∴﹣5＜﹣＜﹣4.5∴与﹣最接近的整数为﹣5，故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间．4．【分析】由数轴可知，a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，由此判断各选项即可．【解答】解：由数轴可知，a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，A、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴a+b+c＞0，故选项A不符合题意；B、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴b﹣a＞c﹣b，故选项B不符合题意；C、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴ab＞ac，故选项C不符合题意；D、∵a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，从数轴上获取已知条件是解题的关键．5．【分析】先根图象过点A（m﹣1，1）、B（m，1）可求出其对称轴为x＝，故可排除A、B，再由C（m+1，4）在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，得出抛物线开口向上，由此可得出结论．【解答】解：∵图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1），∴图象关于x＝对称，∴可排除A、B．∵m+1＞m，4＞1，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，∴D错误，C正确．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出抛物线的对称轴及增减性是解答此题的关键．6．【分析】根据题意可知：从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处，则∠ABC＝90°，AC是直径，如图，根据题意确定运动轨迹为a+c，进而求解即可．【解答】解：根据题意图形如下：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵AB+BC＞AC，∴此时当AC最大时，AB+BC才能取得最大值，AC为直径时，AC＝200，AB2+BC2＝AC2，∵（a﹣c）2≥0，∴a2﹣2ab+c2≥0，∴a2+c2≥2ac，即2ac≤2002，∴2ac+2002≤2002+2002，即：2ac+2002≤2×2002，∴（a+c）2≤2×2002，∵a，c为正数，∴a+c≤200，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：由题可知，x﹣2≠0时式子有意义，即x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．8．【分析】先提取公因式x，然后利用完全平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：x3﹣4x2y+4xy2＝x（x2﹣2xy+4y2）＝x（x﹣2y）2．故答案为：x（x﹣2y）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．9．【分析】先算除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式＝3﹣＝3﹣2＝；故答案为：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．10．【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，再代入所给的条件运算即可．【解答】解：由题意得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2，∵x1+x2＝x1x2+1，∴﹣m＝﹣2+1，解得：m＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：x1+x2＝，x1x2＝．11．【分析】方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出2（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），2x+2+x2﹣1＝x2﹣x，2x+x2﹣x2+x＝﹣2+1，3x＝﹣1，x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，所以分式方程的解是x＝﹣．故答案为：x＝﹣．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】延长BA交y轴于点D，连接OA，根据题意可知S△AOB＝2，S△AOD＝＝1，据此可计算＝2+1＝3，继而可得k值．出S△BOD【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，连接OA，∵平行四边形ACOB的面积是4，＝2，∴S△AOB∵A在反比例函数y＝的图象上，＝＝1，∴S△AOD＝2+1＝3，∴S△BOD＝2×3＝6．∴k＝2S△BOD故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．13．【分析】设该门洞的半径的半径为r m，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，OC＝（2.5﹣r）m，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝0.5m，然后在Rt△AOC 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设该门洞的半径的半径为r m，如图，过点圆心O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.8﹣0.3＝2.5m，AC＝BC＝AB＝×1＝0.5（m），∴OC＝（2.5﹣r）m，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，0.52+（2.5﹣r）2＝r2，解得：r＝1.3，即该门洞的半径为1.3m，故答案为：1.3．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．14．【分析】根据菱形的性质证明cos∠EAD＝cos∠CEF，列式得AD＝3DE，然后根据勾股定理求出DE，即可解决问题．【解答】解：在菱形ABCD中，AD＝CD，AD∥BC，∴∠ADE＝∠C，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∵AE⊥CD，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣∠C＝∠CEF，∴cos∠EAD＝cos∠CEF，∴＝，∴＝，∵AD＝CD，∴AD＝3DE，在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2﹣DE2＝AE2，∴（3DE）2﹣DE2＝32，∴DE＝，∴AD＝3DE＝．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是得到AD＝3DE．15．【分析】连接FG、OG、OH，根据切线的性质求出∠OGB，∠OHC，再求出∠O＝60°，再在圆内接四边形EFGM中，求出∠FGM＝60°，再根据内角和定理解答即可．【解答】解：连接FG、OG、OH，如图，∵⊙O与边AB，CD分别相切于点G，H，∴OG⊥AB，OH⊥CD，∴∠OGB＝90°，∠OHC＝90°，∵∠B＝∠C＝120°，∵五边形OGBCH的内角和为540°，∴∠O＝120°，在圆内接四边形EFGM中，∵∠E＝120°，∴∠FGM＝60°，∴∠GNF＝60°．故答案为：60．【点评】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键．16．【分析】当AP⊥BC时，AP取得最小值，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得AE，利用已知条件得到PD＝PE，设PD＝PE＝x，则AP＝AE﹣PE＝4﹣x，利用相似三角形的判定与性质剪刀剪开得出结论．【解答】解：当AP⊥BC时，AP取得最小值，如图，∵AB＝AC＝5，AP⊥BC，∴BE＝EC＝BC＝3，∠BAE＝∠CAE，∴AE＝＝4．∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴PD＝PF，∵PE2＝PD•PF，∴PE2＝PD2，∴PD＝PE．设PD＝PE＝x，则AP＝AE﹣PE＝4﹣x，∵∠ADP＝∠AEB＝90°，∠DAP＝∠EAB，∴△ADP∽△AEB，∴，∴，∴x＝．∴AP＝4﹣＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再把分子，分母分解因式约分．【解答】解：原式＝÷＝•＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式相关运算的法则．18．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得x≥﹣2；由②得x＜4，∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4，则不等式组的整数解有﹣2，﹣1，0，1，2，3．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式组的整数解，熟练掌握不等式取解集的方法是解本题的关键．19．【分析】由AAS可证△DEG≌△BFG，可得BF＝DE＝AE，由等腰三角形三角形的性质和平行线的性质可得∠A＝∠ABC，即可求解．【解答】证明：∵G是BD的中点，∴DG＝BG，∵DE∥BC，∴∠DEG＝∠BFG，∠ADE＝∠ABC，又∵∠DGE＝∠BGF，∴△DEG≌△BFG（AAS），∴BF＝DE，又∵AE＝BF，∴DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∴∠A＝∠ABC，∴CA＝CB．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20．【分析】（1）根据统计图数据判断即可；（2）根据加权平均数公式计算即可；（3）答案不唯一，合理即可．【解答】解：（1）由题意得：①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势，说法正确；②2023年6月到8月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；9月到12月，A款汽车的月平均销量低于B款汽车，原说法错误；③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车，说法正确；④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，说法正确；所以正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④；（2）＝84.7（分），答：B款汽车的平均得分为84.7分；（3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势，建议生产A款汽车的厂家加大汽车宣传力度，必要时提高降价速销（答案不唯一）．【点评】本题考查了中位数，扇形统计图，折线统计图以及加权平均数，掌握中位数，加权平均数等概念是关键．21．【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人恰好选择相同航班的结果数，再利用概率公式可得出答案．（2）根据题意列出乙选择的往返航班的所有结果，由题意知乙选择的往返航班与甲均相同的结果有1种，利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）将去程航班的三个航班分别记为a，b，c，列表如下：a b ca（a，a）（a，b）（a，c）b（b，a）（b，b）（b，c）c（c，a）（c，b）（c，c）共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好选择相同航班的结果有3种，∴甲、乙两人恰好选择相同航班的概率为＝．（2）将返程航班的两个航班分别记为d，e，乙选择的往返航班的所有情况列表如下：d ea（a，d）（a，e）b（b，d）（b，e）c（c，d）（c，e）共有6种等可能的结果．∵甲已选定往返航班，∴乙选择的往返航班与甲均相同的结果有1种，∴乙选择的往返航班与甲均相同的概率为．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．【分析】（1）依据四边形AFCH是平行四边形，可得AM∥CN，依据四边形AECG是平行四边形，可得AN∥CM，进而得出四边形AMCN是平行四边形；（2）根据矩形的性质得出AC＝MN，进而利用BD＝2MN＝2AC解答即可．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，∴AH∥CF，AH＝CF，∴四边形AFCH是平行四边形，∴AM∥CN，同理可得，四边形AECG是平行四边形，∴AN∥CM，∴四边形AMCN是平行四边形；（2）解：连接AC，∵四边形AMCN是矩形，∴AC＝MN，∵BD＝3MN，∴BD＝3AC，故答案为：BD＝3AC．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法．23．【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，根据题意可得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF和AF的长，再设DG＝BF＝x m，则AB＝（28.5+x）m，最后分别在Rt△DCG和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出CG和CB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，由题意得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，在Rt△ADF中，∠DAF＝18°，AD＝30m，∴DF＝AD•sin18°≈30×0.30＝9（m），AF＝AD•cos18°≈30×0.95＝28.5（m），∴DF＝BG＝9m，设DG＝BF＝x m，∴AB＝AF+BF＝（28.5+x）m，在Rt△DCG中，∠CDG＝58°，∴CG＝DG•tan58°≈1.6x（m），在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴CB＝AB•tan45°＝（28.5+x）m，∵CG+BG＝CB，∴1.6x+9＝28.5+x，解得：x＝32.5，∴BC＝1.6x+9＝61（m），∴建筑物BC的高度约为61m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝8（m﹣2）2+28，则利用非负数的性质可判断Δ＞0，然后利用根的判别式的意义得到结论；（2）计算自变量为0对应的函数值得到二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），然后利用﹣1＜m＜1可判断二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．【解答】证明：（1）∵Δ＝4（m﹣4）2﹣4×（﹣1）×（m2﹣1）＝8（m﹣2）2+28，而8（m﹣2）2≥0，∴Δ＞0，∴不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1＝y＝m2﹣1，∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），∵﹣1＜m＜1，∴m2﹣1＜0，∴二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．25．【分析】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为100kw•h；（2）求出汽车行驶时每小时耗电＝20（kw•h），可知到达景点时汽车剩余电量为70（kw•h），再用待定系数法可得线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝﹣20t+130（1.5≤t≤3）；（3）求出S与t的函数图象过（0，0），（1，80），（1.5，80），（3，200），（4，200），（6.5，0），再描点画出图象即可．【解答】解：（1）∵＝100（kw•h），∴电动汽车每小时的充电量为100kw•h；故答案为：100；（2）∵到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同，∴汽车行驶时每小时耗电＝20（kw•h），∴到达景点时汽车剩余电量为100﹣20×（3﹣1.5）＝70（kw•h），设线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝kt+b，则，解得，∴线段AB所表示的Q与t之间的函数表达式为Q＝﹣20t+130（1.5≤t≤3）；（3）根据题意，小美在景区游玩了6.5﹣2[1+（3﹣1.5）]﹣（1.5﹣1）＝1（小时），∴当t＝4时，小美游玩结束开始返回，∴当0≤t≤1时，S＝80t，图象过（0，0），（1，80），当1＜t≤1.5时，S＝80，图象过（1.5，80），当1.5＜t≤3时，S＝80+80（t﹣1.5）＝80t﹣40，图象过（3，200），当3＜t≤4时，S＝200；图象过（4，200），当4＜t≤6.5时，S＝200﹣80（t﹣4）＝﹣80t+520，图象过（6.5，0），画出图象如下：【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．26．【分析】（1）连接DF、OD、OF，则∠ODF＝∠OFD＝90°﹣∠DOF，由切线的性质得∠ODC＝90°，则∠FDC＝90°﹣∠ODF＝∠DOF，而∠DAC＝∠DOF，所以∠DAC＝∠FDC，而∠C＝∠C，即可证明△CDA∽△CFD；（2）连接DF、EF，由AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，且AB＝BC＝，AC＝2，得（）2﹣（﹣CD）2＝22﹣CD2，求得CD＝，则AD2＝AC2﹣CD2＝，再证明△DAF∽△CAD，得＝，求得AF＝，再证明∠AEF＝∠BAC，所以EF＝AF＝．【解答】（1）证明：如图①，连接DF、OD、OF，则OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD＝（180°﹣∠DOF）＝90°﹣∠DOF，∵⊙O与BC边相切于点D，∴BC⊥OD，∴∠ODC＝90°，∴∠FDC＝90°﹣∠ODF＝90°﹣（90°﹣∠DOF）＝∠DOF，∵∠DAC＝∠DOF，∴∠DAC＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CFD．（2）解：如图②，连接DF、EF，∵AB是⊙O的直径，⊙O与BC边相切于点D，∴∠AFD＝90°，BC⊥AD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝BC＝，AC＝2，∴（）2﹣（﹣CD）2＝22﹣CD2，解得CD＝，∴AD2＝AC2﹣CD2＝22﹣＝，∵∠ADF＝∠C＝90°﹣∠CAD，∠DAF＝∠CAD，∴△DAF∽△CAD，∴＝，∴AF＝＝＝，∵∠AEF＝∠ADF＝∠C＝∠BAC，∴EF＝AF＝，∴EF的长是．【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．27．【分析】（1）选择小明的思路：首先证得△ACD∽△BAD，推导出，即AD2＝CD•BD，代入即可得证；选择小红的思路：首先证得△ACD∽△ABC，进而得到，代入数据即可得证；（2）作CD＝n；以C为圆心，n为半径作圆，以D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A；以A为圆心，m为半径作圆，交DC的延长线于点B，则△ABC即为所求．据此作图即可；（3）设AC＝x，则AB＝kx，首先推导出k＞1；依据（1）中：AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0，分三种情况：①当AB＝4时，推导出AC＝，解得BC＝，l＝4k+4；②当BC＝4时，代入得（kx）2﹣4x﹣x2＝0，解得：x＝，推导出l＝+4；③当AC＝4时，则AB＝4k，解得：BC＝4k2﹣4，推导出l＝4k2+4k．【解答】（1）证明：选择小明的思路：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∴∠ACB＝2∠CAD＝2∠D．∵∠ACB＝2∠B，∴∠CAD＝∠D＝∠B．又∵∠D＝∠D，∴△ACD∽△BAD．∴，∴AD2＝CD•BD，∵BC＝a，CD＝AC＝b，AD＝AB＝c，∴c2＝b（a+b），即c2﹣ab﹣b2＝0；选择小红的思路：由翻折可知，∠B＝∠DCB，BD＝CD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACB＝2∠DCB．∴∠ACD＝∠DCB＝∠B．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．∴，∵BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴，，∵AD+BD＝AB，∴，即a2﹣ab﹣b2＝0；（2）解：如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．①作CD＝n；②以C为圆心，n为半径作圆，以D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A；③以A为圆心，m为半径作圆，交DC的延长线于点B，则△ABC即为所求．（3）解：∵，设AC＝x，则AB＝kx，∵∠C＝2∠B，∴AB＞AC，即kx＞x，∴k＞1；由（1）知：AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0，分三种情况：①当AB＝4时，即kx＝4，∴x＝，即AC＝，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：42﹣•BC﹣（）2＝0，解得：BC＝，∴l＝AB+AC+BC＝++4＝4k+4，∴l＞8；②当BC＝4时，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：（kx）2﹣4x﹣x2＝0，解得：x＝，∴l＝AB+AC+BC＝4++＝+4，∴l＞4；③当AC＝4时，则AB＝4k，代入AB2﹣BC•AC﹣AC2＝0得：（4k）2﹣4BC﹣42＝0，解得：BC＝4k2﹣4，∴l＝AB+AC+BC＝4k+4+4k2﹣4＝4k2+4k，∴l＞8；综上，当AB＝4时，l＝4k+4，此时l＞8；当BC＝4时，l＝+4，此时l＞4；当AC＝4时，l＝4k2+4k，此时l＞8．【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的周长公式的应用，利用周长公式得出结论是解答本题的关键。

2024年河北省石家庄市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7-16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）在有理数﹣2，，0，中，绝对值最小的是（）A．2B．C．0D．2．（3分）2023年“亚运+双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（）A．1.3×106B．1.3×107C．0.13×108D．13×1063．（3分）如图，将△ABC沿AB方向平移，得到△BDE．若∠1＝60°，∠2＝40°，则∠ADE的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°4．（3分）如图，表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（）A．B＞A＞C B．B＞C＞A C．C＞A＞B D．C＞B＞A5．（3分）如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（）A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．m，n的大小无法确定6．（3分）一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（）A．摸到白球的可能性最大B．摸到红球和黄球的可能性相同C．摸到白球的可能性为D．摸到白球、红球、黄球的可能性都为7．（2分）如图，点A，B对应的数分别为a，b，对于结论：①ab＜0，②b﹣a＜0，③a+b＞0，下列说法正确的是（）A．仅①②对B．仅①③对C．仅②对D．①②③都对8．（2分）如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（）A．B．C．D．9．（2分）不等式x﹣1＜的正整数解的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．（2分）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（）A．4个B．6个C．7个D．3个11．（2分）已知＝，若m＝2024，则n＝（）A．4047B．4048C．34048D．3404712．（2分）若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（）A．﹣2B．4C．2D．013．（2分）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A．B．C．D．14．（2分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑（xǔ）酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？下面是甲、乙两种解答方案，则（）甲：设换了清酒x斗，列方程为10x+3（5﹣x）＝30，…；乙：设用x斗谷子换清酒，列方程为＝5，…A．只有甲对B．只有乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都不对15．（2分）如图，电子屏幕上有边长为1的正六边形ABCDEF，红色光点和蓝色光点会按规则在六个顶点上闪亮．规则为：红点按顺时针方向每秒一个顶点依次闪亮（例如，经过1秒由点A亮变为点F亮），蓝点按逆时针方向每秒隔1个顶点闪亮（例如，经过1秒由点A亮变为点C亮）．若一开始，红点在A 处，蓝点在B处同时开始闪亮，则经过751秒后，两个闪亮的顶点之间的距离是（）A．0B．1C．D．216．（2分）对于题目：“在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，分别以A，B为圆心，以AB长为半径的两条弧相交于点P，求∠APC的度数”．嘉嘉求解的结果是∠APC＝80°，淇淇说：“嘉嘉的解答正确但不全面，∠APC还有另一个不同的值．”则下列判断中，正确的是（）A．淇淇说得对，∠APC的另一个值是40°B．淇淇说得不对，∠APC只能等于80°C．嘉嘉求的结果不对，∠APC应等于85°D．两人都不对，∠APC应有3个不同的值二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）17．（2分）二次根式有意义，则x的取值范围是．18．（4分）如图，正五边形ABCDE的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分）．（1）正五角星的每个顶角（如∠CAD）的大小是°；（2）若正五边形ABCDE的边长为1，则AG的长度为．19．（4分）如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接OA，OB，OC，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P．（1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为：S1S2；（填“＜”，“＞”或”＝”）（2）如图2所示，若OM＝MN＝NP，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是．三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）植物园工作人员选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育实验．其中长方形花坛每排种植（2a﹣b）株，种植了（2a+b）排，正方形花坛每排种植a株，种植了a排（a＞b＞0）．（1）长方形花坛比正方形花坛多种植多少株？（2）当a＝4，b＝2时，这两块花坛一共种植了多少株？21．（9分）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算!如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．（1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；（2）请你写出正确的解答过程．22．（9分）为了解甲、乙两个茶园种植的“龙井”茶叶的品质，现从两个茶园里分别随机抽取了20份茶叶样本，对它们的品质进行评分（满分100分，分数越高代表品质越好）评分用x表示，共分为四组，A组：60≤x＜70，B组：70≤x＜80，C组：80≤x＜90，D组：90≤x≤100．甲茶园20份茶叶的评分从小到大分别为：65，68，72，75，78，80，82，85，85，88，90，90，90，92，95，95，95，95，98，100；乙茶园20份茶叶中有3份的评分为100分，评分在C组中的数据是：85，88，80，85，82，83．甲、乙两茶园随机抽取的茶叶评分数据统计分析如下表所示，乙茶园抽取的茶叶评分扇形统计图如图所示：甲茶园乙茶园平均数85.987.6中位数89b众数a95根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出统计表中a，b的值；（2）若甲、乙两茶园的茶叶总共有2400份，请估计甲、乙两茶园评分在D组的茶叶共有多少份；（3）本次抽取的40份茶叶样本中，评分为100分的视为“精品茶叶”．茶农要在“精品茶叶”中任选两份参加茶叶展销会，用列表法（或画树状图）求这两份茶叶全部来自乙茶园的概率．23．（10分）如图1是甲、乙两种品牌共享电单车的车费y1（元），y2（元）与骑行路程x（km）之间的函数关系图象，图2是小明骑共享电单车从A地出发到B，C两地送货的路线示意图．（1）当x＞2时，求y1关于x的函数表达式；（2）①若小明选择甲品牌共享电单车到B地送货，求车费；②若小明到C地送货，选择哪种品牌的共享电单车节省车费？节省多少元？24．（10分）如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，过点D作⊙O的切线，交AF的延长线于点P，连接FD，AD，⊙O的半径为6．（1）求∠ADF的度数；（2）求线段PD的长；（3）若点M为FD上一点（不与点F，D重合），连接AM，CM，直接写出△AFM与△CDM的面积之和．25．（12分）如图，抛物线L：与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将L沿直线l：y＝4x﹣4向上平移，平移后的抛物线记作L′，其顶点M的横坐标为t（t＞0且t≠2），设直线n：y＝t2与抛物线L′分别交于点P，Q（点P在点Q的左侧）．（1）求L的顶点坐标及A，B两点之间的距离；（2）当点P在y轴上时，求L′的函数表达式及线段PQ的长；（3）若经过点A且与直线l平行的直线与线段PQ有公共点，直接写出t的最大值．26．（13分）如图1至图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D为边AC的中点，点E从点A出发沿折线AB﹣BC运动至点C停止．连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，过点F作DE的平行线交直线AC于点N．设点E的运动路程为x（0＜x＜7）．（1）如图1，当FN∥BC时，直接写出线段BF的长；（2）如图2，当点E在线段AB上且点F落在直线BC上时，求x的值；（3）如图3，当点E在线段AB上且点N与点C重合时，判断△ADE的形状，并说明理由；（4）直接写出线段DN的长（用含x的式子表示）．2024年河北省石家庄市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7-16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】首先求出有理数﹣2，，0，的绝对值，然后根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值最小的是哪个数即可．【解答】解：|﹣2|＝2，||＝，|0|＝0，||＝，∵0＜＜＜2，∴绝对值最小的是0．故选：C．【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小．2．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：13000000＝1.3×107，故选：B．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．3．【分析】根据平移的性质求出∠EBD，即可解答．【解答】解：∵将△ABC沿AB方向平移到达△BDE，∠1＝60°，∴AC∥BE，∴∠1＝∠EBD＝60°，∵∠2＝40°，∴∠ADE＝∠ABC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，故选：B．【点评】本题考查三角形内角和定理，平移的性质，掌握三角形内角和定理，平移的性质是解题的关键．4．【分析】根据图示，可得A＞B，C＞A，据此判断出三人体重A，B，C的大小关系即可．【解答】解：根据图示，可得A＞B，C＞A，∴C＞A＞B．故选：C．【点评】此题主要考查了不等式的性质和应用，解答此题的关键是分别判断出A与B以及A与C的体重的关系．5．【分析】由图观察可知，欲判断m与n的大小，其实就是判断四边形ABDE的周长和三角形ABC的周长，比较发现AB边没变，AC边减少EC，BC边减少DC，根据“两点之间，线段最短”即可判断EC+DC ＞DE，即可求出m和n哪个大哪个小．【解答】解：如图：根据“两点之间，线段最短”判断EC+DC＞DE，∵m＝AE+ED+DB+AB，n＝AE+EC+CD+DB+AB，∴m＜n，故选：A．【点评】本题考查的是三角形三边关系和线段的性质，关键是否熟练掌握和运用两点之间，线段最短的知识点．6．【分析】根据概率公式即可得到结论．【解答】解：∵一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，∴共有20个球，∴摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，∵，∴摸到白球的可能性最大，摸到红球和黄球的可能性相同，摸到白球的可能性为，故选：D．【点评】本题考查了可能性的大小，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．7．【分析】观察数轴可得，b＜0＜a，|a|＜|b|，所以ab＜0，b﹣a＜0，a+b＜0．【解答】解：观察数轴可得，b＜0＜a，|a|＜|b|，∴ab＜0，故①符合题意，b﹣a＜0，故②符合题意，a+b＜0，故③不符合题意，故选：A．【点评】本题考查了数轴，关键是从数轴中提取数学信息．8．【分析】根据平行线的判定方法，结合作图逐项进行判断即可．【解答】解：A．根据作图可知，BA平分∠PBC，PB＝PA，∴∠PBA＝∠CBA，∠PAB＝∠PBA，∴∠PAB＝∠CBA，∴PA∥BC，故A正确，不符合题意；B．如图，根据作图可知，∠EPB＝∠EFG，∴AB∥l，故B正确，不符合题意；C．根据作图无法判断所作直线与l平行，故C不正确，符合题意；D．如图，根据作图可知，∠APF＝∠EFG，∴AB∥l，故D正确，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．9．【分析】求出不等式的解集，可得结论．【解答】解：x﹣1＜，∴x＜1+，∴不等式的正整数解为1，2，3，共有3个．故选：A．【点评】本题考查二次根式，一元一次不等式的整数解，解题的关键是正确求出不等式的解集．10．【分析】在俯视图中标出相应正方体的个数可得答案．【解答】解：如图所示：或，故组成该几何体的小正方体的个数最少为：2+2+1+1＝6（个）．故选：B．【点评】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．11．【分析】先根据有理数的乘方和相同加数的加法将已知式变形，再根据幂的乘方，同底数幂的乘法即可解答．【解答】解：∵＝，∴9m＝3n，∵m＝2024，∴34048＝3n，∴n＝4047．故选：D．【点评】本题主要考查有理数的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．12．【分析】利用求根公式判断即可．【解答】解：由题意，a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，∴a+c+c＝3﹣2﹣1＝0，故选：D．【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是理解题意，判断出a，b，c的值．13．【分析】根据矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意；B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，∵AD＝BC＝4，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；D、∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝5，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．14．【分析】根据题意，设未知数，找等量关系列方程即可得到答案．【解答】解：甲：设换了清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，列方程为10x+3（5﹣x）＝30；乙：设用x斗谷子换清酒，则用（30﹣x）斗谷子换醑酒，列方程为；∴甲正确、乙错误，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，读懂题意，找准等量关系是解决问题的关键．15．【分析】分别计算红点在A处，蓝点在B处同时开始闪亮，经过751秒后的位置，红色光点到F点，蓝色光点到D点，可得结论．【解答】解：∵红点在A处按顺时针方向每秒一个顶点依次闪亮，∴红色光点每过6秒返回到A点，751÷6＝125•••1，∴经过751秒钟后，红色光点回到F点，∵蓝色光点从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，∴蓝色光点每过3秒返回到A点，751÷3＝250•••1，∴经过751秒钟后，蓝色光点到D点，连接FD，过点E作EM⊥FD，由题意可得：EF＝DE＝1，∠FED＝120°，∴∠EFM＝30°，在Rt△EFM中，FM＝EF＝，∴FD＝2FM＝，∴经过751秒钟后，两个闪亮的顶点之间的距离是．故选：C．【点评】本题考查了正六边形和两动点运动问题，根据方向和速度确定经过751秒钟后两个闪亮点的位置是解本题的关键．16．【分析】先求出∠BAC＝40°，依题意画出图形，则分别以A，B为圆心，以AB长为半径的两条弧相交于点P，P'，连接PB，P'B，根据作图可知△APB，△AP'B均为等边三角形，则∠BAP＝60°，∠BAP'＝60°，然后再根据等腰三角形性质及三角形的内角和定义分别求出∠APC＝80°，∠AP'C＝40°，据此可得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB＝∠ABC）＝180°﹣（70°+70°）＝40°，依题意分别以A，B为圆心，以AB长为半径的两条弧相交于点P，P'，连接PB，P'B，如下图所示：根据作图可知：AB＝AP＝BP＝AC＝AP'，∴△APB，△AP'B均为等边三角形，∴∠BAP＝60°，∠BAP'＝60°，在△ACP中，AC＝AP，∠CAP＝∠BAP﹣∠BAC＝20°，∴∠APC＝（180°﹣∠CAP'）＝（180°﹣20°）＝80°，在△AP'C中，AP'＝AC，∠CAP'＝∠BAP'+∠BAC＝100°，∴∠AP'C＝（180°﹣∠CAP）＝（180°﹣100°）＝40°，∴淇淇说得对，∠APC的另一个值是40°．故选：A．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角定理，理解尺规作图，正确地画出图形，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用三角形的内角定理进行角的计算是解决问题的关键．二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）17．【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，解得：x≤．故答案为：x≤．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．18．【分析】（1）根据正五边形和圆的关系以及圆周角定理进行计算即可；（2）根据正五边形和圆的关系，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质列方程求解即可．【解答】解：（1）如图，设正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OA、OB，则∠AOB＝＝72°，∴∠D＝∠AOB＝36°，同理∠CAD＝∠D＝36°，故答案为：36；（2）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CAB＝∠BAE＝＝108°，AB＝BC＝AE，∴∠ABF＝∠BAF＝∠EAG＝＝36°，∴∠AGB＝2∠EAG＝72°，∴∠BAG＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴AB＝BG＝1，∵∠FAG＝36°＝∠ABG，∠AGF＝72°＝∠BGA，∴△AFG∽△BAG，∴＝，即AG2＝AB•FG，设AG＝x，则FG＝1﹣x，∴x2＝1﹣x，解得x＝或x＝＜0舍去，即AG＝．故答案为：．【点评】本题考查正多边形和圆的关系，圆周角定理以及相似三角形，掌握正五边形的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．19．【分析】（1）设AM与OB交于点D，根据反比例函数比例系数的几何意义得S△AOM＝S△OBN＝，进而得S1＝S2，由此可得出答案；＝a，S△OFM＝b，先证OF＝FG＝GC，（2）设AM交OB于E，交OC于F，BN交OC于G，设S△OEF＝4a，S四边形EFGB＝3a，同理S四边形FMNG＝3b，则S△证△OEF∽△BBG得，则S△OBGOGN＝4b，S四边形EMNG＝3（a+b），根据反比例函数比例系数的几何意义得S△AOM＝S△OCP＝，则S△AOE＝S四边形EMNG，则4a+4b＝，再证△OGN∽△OCP得＝﹣a﹣b，根据（1）的结论得S△AOE＝9b＝，S四边形GNPC＝5b，进而得，4a＝，再根据三块，则S△OCP阴影部分的面积之和为62，得﹣a﹣b+3a+5b＝62，整理得k+4a+8b＝124，再将4a＝，代入即可得出k的值．【解答】解：（1）设AM与OB交于点D，如图1所示：∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，＝S△OBN＝，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOM﹣S△ODM＝S△OBN﹣S△ODM，∴S△AOM∴S1＝S2．故答案为：＝．（2）设AM交OB于E，交OC于F，BN交OC于G，如下图所示：＝a，S△OFM＝b，设S△OEF∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，CP⊥x轴，∴AM∥BN∥CP，∵OM＝ON＝NP，∴OF＝FG＝GC，∵AM∥BN，∴△OEF∽△BBG，∴，即，＝4a，∴S△OBG＝S△OBG﹣S△OEF＝3a，∴S四边形EFGB＝3b，同理：S四边形FMNG＝S△OFM+S四边形FMNG＝4b，∴S△OGN＝S四边形EFGB+S四边形FMNG＝3（a+b），∴S四边形EMNG＝S△OCP＝，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOM＝﹣a﹣b，∴S△AOE＝S四边形EMNG，根据（1）的结论得：S△AOE∴﹣a﹣b＝3（a+b），∴4a+4b＝，∵BN∥CP，∴△OGN∽△OCP，∴，即，＝9b＝，∴S△OCP＝S△OCP﹣S△OGN＝9b﹣4b＝5b，b＝，∴S四边形GNPC∴4a＝＝，∵三块阴影部分的面积之和为62，∴﹣a﹣b+3a+5b＝62，整理得：k+4a+8b＝124，∴，解得：k＝72．【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．【分析】（1）先计算出长方形花坛种植的株数和正方形花坛种植的株数，再相减可得答案；（2）把a＝4，b＝2代入3a2﹣b2可知答案．【解答】解：（1）根据题意可知：（2a+b）（2a﹣b）﹣a2＝4a2﹣b2﹣a2＝3a2﹣b2．答：长方形花坛比正方形花坛多种植（3a2﹣b2）株；（2）根据题意可知：（2a+b）（2a﹣b）+a2＝4a2﹣b2+a2＝5a2﹣b2，当a＝4，b＝2时，原式＝5×42﹣22＝80﹣4＝76（株）．答：这两块花坛一共种植了76株．【点评】本题考查了代数式求值，理解题意，列出代数式是关键．21．【分析】（1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答；（2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答．【解答】解：（1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有：小明，小红；（2）正确的解答过程如下：﹣a+1＝﹣（a﹣1）＝﹣＝＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．22．【分析】（1）根据众数和中位数的定义可得a，b的值．（2）求出甲茶园和乙茶园评分在D组的茶叶份数，根据用样本估计总体，用2400乘以甲茶园和乙茶园评分在D组的茶叶份数所占的百分比之和，即可得出答案．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两份茶叶全部来自乙茶园的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意可得，a＝95．由扇形统计图可知，乙茶园评分在A组有20×10%＝2（份），在B组有20×20%＝4（份）．将乙茶园评分按照从小到大的顺序排列，排在第10和11的分数为85分和85分，∴b＝（85+85）÷2＝85．（2）乙茶园评分在D组的茶叶有（1﹣10%﹣20%﹣30%）×20＝8（份），甲茶园评分在D组的茶叶有10份，∴估计甲、乙两茶园评分在D组的茶叶共约有2400×＝1080（份）．（3）由题意知，甲茶园评分为100分的有1个，乙茶园评分为100分的有3个．将甲茶园“精品茶叶”记为a，乙茶园“精品茶叶”分别记为b，c，d，列表如下：a b c da（a，b）（a，c）（a，d）b（b，a）（b，c）（b，d）c（c，a）（c，b）（c，d）d（d，a）（d，b）（d，c）共有12种等可能的结果，其中这两份茶叶全部来自乙茶园的结果有：（b，c），（b，d），（c，b），（c，d），（d，b），（d，c），共6种，∴这两份茶叶全部来自乙茶园的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、中位数、众数的定义是解答本题的关键．23．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①将x＝3代入（1）中得到的函数表达式计算即可；②利用待定系数法求出y2关于x的函数表达式，将x＝6分别代入y1、y2关于x的函数关系式计算并比较大小、求其差值即可．【解答】解：（1）当x＞2时，设y1关于x的函数表达式为y1＝k1x+b（k1、b为常数，且k1≠0）．将坐标（2，4）和（4，5）分别代入y1＝k1x+b，得，解得，∴当x＞2时，求y1关于x的函数表达式为y1＝x+3（x＞2）．（2）①当x＝3时，y1＝×3+3＝，∴车费是元．②设y2关于x的函数表达式为y2＝k2x（k2为常数，且k2≠0）．将坐标（4，5）代入y2＝k2x，得4k2＝5，解得k2＝，∴y2＝x．当x＝6时，y1＝×6+3＝6，y2＝×6＝，∵6＜，﹣6＝（元），∴选择甲种品牌的共享电单车节省车费，节省元．【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数关系式的方法是解题的关键．24．【分析】（1）连接FO，根据内接正六边形的性质可得答案；（2）由切线的性质及圆周角定理得∠ADP＝90°，通过解直角三角形可得答案；（3）通过解直角三角形可得AF、DF的长，然后利用三角形面积公式可得答案．【解答】解：（1）如图，连接FO，∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，∴AD为⊙O的直径，∠AFD＝90°，∴∠AOF＝60°，∴；（2）∵PD与⊙O相切，AD为⊙O的直径，∴∠ADP＝90°，∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，∠PAD＝64°，在Rt△PAD中，AD＝12，∴；+S△CDM＝S△AFM+S△AMD＝S△AFD，（3）S△AFM在Rt△AFD中，AF＝AD•cos∠FAD＝12×cos60°＝6，DF＝AD sin∠FAD＝12×sin60°＝6，∴，∴．【点评】此题考查的是正多边形、圆周角定理、切线的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．25．【分析】（1）根据抛物线解析式可以直接得到答案；（2）因为平移前顶点（0，﹣4）在直线上，则平移后抛物线L′的顶点M在直线l上，推出顶点M的坐标为（t，4t﹣4）；设抛物线L′的函数表达式为y＝，因为点P，Q的纵坐标为t2，则当点P在y轴上时，其坐标为（0，t2），有，解得，t2＝4，分当t＝时，当t＝4时，两种情况讨论；（3）由题意可知，与直线l平行的直线y＝4x+b，因为直线l点A（﹣4，0），则4×（﹣4）+b＝0，解得b＝16，则直线l表达式y＝4x+16，由直线y＝4x+16与线段PQ有公共点时的最大值，只需研究t＞2，此时点Q坐标为（3t﹣4，t2），当直线y＝4x+16经过点Q时t最大，此时，有t2＝4（3t﹣4）+16，解得t1＝0（舍），t2＝12；若t＞12时，直线y＝4x+16与线段PQ不再有公共点，推出直线y＝4x+16与线段PQ有交点时，的最大值是12．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝，∴抛物线L的顶点坐标为（0，4），令＝0，解得x＝±4；∴A，B两点坐标分别为（﹣4，0）和（4，0），∴A，B两点之间的距离为8；（2）∵平移前顶点（0，﹣4）在直线上，∴平移后抛物线L′的顶点M在直线l上，∴顶点M的坐标为（t，4t﹣4）；设抛物线L′的函数表达式为y＝，∵点P，Q的纵坐标为t2，∴当点P在y轴上时，其坐标为（0，t2），∴有，解得，t2＝4，①当t＝时，抛物线L′的函数表达式是y＝，点P的坐标为（0，），点Q的坐标为（，），此时，PQ＝；②当t＝4时，抛物线L′的函数表达式是y＝，点P的坐标为（0，16），点Q的坐标为（8，16），此时，PQ＝8；（3）由题意可知，与直线l平行的直线y＝4x+b，∵直线l点A（﹣4，0），∴4×（﹣4）+b＝0，解得b＝16，则直线l表达式y＝4x+16，由直线y＝4x+16与线段PQ有公共点时的最大值，只需研究t＞2，此时点Q坐标为（3t﹣4，t2），当直线y＝4x+16经过点Q时t最大，此时，有t2＝4（3t﹣4）+16，解得t1＝0（舍），t2＝12；若t＞12时，直线y＝4x+16与线段PQ不再有公共点，∴直线y＝4x+16与线段PQ有交点时，的最大值是12．【点评】本题考查二次函数综合，一次函数，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．26．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠F＝∠ABC＝90°，得到E是AB的中点，根据三角形中位线定理得到DE＝BC＝2，求得BE＝＝，得到EF＝DE＝2，求得BF＝2﹣＝；（2）如图2，点F落在直线BC上，过点D作DG⊥AB于点G，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（3）如图3，过点D作DG⊥AB于点G，过点A作AH⊥CF于点H，根据勾股定理得到DE2＝DG2+EG2＝22+（x﹣1.5）2求得AP＝PH＝EF＝DE，根据三角形的面积公式得到x＝2.5，根据等腰三角形的判定定理得到结论；（4）①如图4，当点E在线段AB上，作DG⊥AB，EH⊥AC，DQ⊥FN，②如图5，当点E在线段BC上，作DG⊥BC，EH⊥AC，DQ⊥FN，根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵FN∥BC，∠ABC＝90°，∴∠F＝∠ABC＝90°，∵∠DEF＝90°，∴DE∥FN，∴DE∥BC，∵D为边AC的中点，∴E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝2，∵AB＝3，∴BE＝＝，∵EF＝DE＝2，∴BF＝2﹣＝；（2）如图2，点F落在直线BC上，过点D作DG⊥AB于点G，∵DE＝EF，∠DGE＝∠EBF＝90°，∠EDG＝∠FEB，∴△DEG≌△EFB（AAS），∴EB＝DG＝2，∴x＝AE＝AB﹣BE＝1；（3）△ADE是等腰三角形，理由：如图3，过点D作DG⊥AB于点G，过点A作AH⊥CF于点H，∵DE∥CF，则AH⊥DE，设垂足为点P；在Rt△DEG中，∵DG＝2，EG＝x＝1.5，∴DE2＝DG2+EG2＝22+（x﹣1.5）2∵D为AC中点，DE∥CF，∴AP＝PH＝EF＝DE，，＝＝S△ABC∴DG•AE＝DE2，∴2x＝22+（x﹣1.5）2，即x2﹣5x+625＝0，解得x＝2.5，∴AE＝AD，∴△ADE是等腰三角形；（4）①如图4，当点E在线段AB上，（5）作DG⊥AB，EH⊥AC，DQ⊥FN，则DE2＝DG2+EG2＝22+（x﹣1.5）2，EH＝x，∵DE∥FN，∴∠ADE＝∠DNF，∵∠DHE＝∠NQD＝90°，∴△DHE∽△NDQ，∴，∴DN＝＝；②如图5，当点E在线段BC上，作DG⊥BC，EH⊥AC，DQ⊥FN，则DE2＝DG2+EG2＝1.52+（5﹣x）2，∵DE∥FN，∴∠DNQ＝∠EDH，∵∠DHE＝∠NQD＝90°，∴△DHE∽△NDQ，∴，∴DN＝＝＝．综上所述，线段DN的长为或．【点评】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，正确地找出辅助线是解题的关键。

2024年辽宁省朝阳市建平县部分学校中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）a，b，c为非零有理数，它们的积一定为正数的是（ ）A．a，b，c同号B．a＞0，b与c同号C．b＜0，a与c同号D．a＞b＞0＞c2．（3分）下列几何体中三个视图完全相同的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形（ ）A．B．C．D．4．（3分）下列等式一定成立的是（ ）A．a2+a3＝a5B．a6÷a3＝a2C．（2xy2）3＝6x3y6D．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y35．（3分）下列一元二次方程无实数根的是（ ）A．x2+x﹣2＝0B．x2﹣2x＝0C．x2+x+5＝0D．x2﹣2x+1＝06．（3分）解分式方程，分以下四步，其中（ ）A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6C．解这个整式方程，得x＝1D．原方程的解为x＝17．（3分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（ ）A．y随x增大而增大B．图象经过第三象限C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜08．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，又三家共一鹿，适尽，每家取一头鹿，没有取完，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中（ ）A．25B．75C．81D．909．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底互相平行，∠2＝122°，则∠3与∠4的度数分别为（ ）A．43°与58°B．43°与45°C．45°与58°D．43°与32°10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C CE的长为半径画弧，两弧交于点F，则CG的长为（ ）A．2B．C．3D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算：＝ ．12．（3分）如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为 ．13．（3分）不透明的布袋中有红、黄、蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，再从中随机摸出1支，记录下颜色 ．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，E为正方形对角线的交点，反比例函数，E．若点A（6，0），则k的值是 ．15．（3分）如图，菱形ABCD中，AC，AC＝8cm，BD＝6cm，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D．若M，N同时出发 s时△MON的面积为菱形ABCD面积的．三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）计算：（1）﹣2÷[（﹣2）3﹣（﹣5）]﹣24×0.5；（2）．17．（8分）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．（1）求两种型号垃圾桶的单价；（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元18．（9分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2023年初的视力数据，并调取该批学生2022年初的视力数据（不完整）．青少年视力健康标准类别视力健康状况A视力≥5.0视力正常B视力＝4.9轻度视力不良C 4.6≤视力≤4.8中度视力不良D视力≤4.5重度视力不良根据以上信息，请解答下列问题：（1）求出被抽查的400名学生2023年初轻度视力不良（类别：B．）对应的扇形圆心角度数，补全2022年初视力统计图；（2）若2023年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2023年初视力正常的人数比2022年初增加的人数；（3）国家卫健委要求全国初中生视力不良率控制在69%以内，请估计该市八年级学生2023年初视力不良率是否符合要求．19．（8分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC ﹣CD所示．（1）小丽与小明出发 min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．20．（8分）“工欲善其事，必先利其器”，如图为钓鱼爱好者购买的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆AD，用绳子拉直AC后系在树干PQ上的点E处，C，E在一条直线上，AB＝AC＝2m（1）垂钓时打开“晴雨伞”，若∠α＝60°，求遮蔽宽度BC（结果精确到0.01m）；（2）若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得∠BAC＝106°（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，）21．（8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，D在直径BA的延长线上，且AD＝AC，CD交⊙O于点G，连接BG，点F在BE上，且∠BCF+2∠BCE＝180°．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若BG＝3，BD＝18，求⊙O的半径．22．（12分）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度流水时间t/min010203040水面高度h/cm（观察值）302928.12725.8任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时；【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，记为w；w越小任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．23．（12分）【问题发现】（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，AB＝BC，BD＝BE，连接DE．①求的值；②求∠EAD的度数．【类比探究】（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，BM，若BC＝4，求线段AD的长．参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）a，b，c为非零有理数，它们的积一定为正数的是（ ）A．a，b，c同号B．a＞0，b与c同号C．b＜0，a与c同号D．a＞b＞0＞c【解答】解：a，b，c为非零有理数，b与c同号，故选：B．2．（3分）下列几何体中三个视图完全相同的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A．三棱柱的主视图和左视图都是矩形，故不符合题意；B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，故不符合题意；C．圆柱的三视图既有圆又有长方形；D．球的三视图都是圆；故选：D．3．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形（ ）A．B．C．D．【解答】解：A．不是轴对称图形，故A选项不合题意；B．是轴对称图形，故B选项不合题意；C．不是轴对称图形，故C选项不合题意；D．既是轴对称图形，故D选项合题意；故选：D．4．（3分）下列等式一定成立的是（ ）A．a2+a3＝a5B．a6÷a3＝a2C．（2xy2）3＝6x3y6D．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3【解答】解：A、不是同类项，原式计算错误；B、a6÷a3＝a5，原式计算错误；C、（2xy2）2＝8x3y5，原式计算错误；D、（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3，原式计算正确．故选：D．5．（3分）下列一元二次方程无实数根的是（ ）A．x2+x﹣2＝0B．x2﹣2x＝0C．x2+x+5＝0D．x2﹣2x+1＝0【解答】解：A、Δ＝12﹣3×1×（﹣2）＝2＞0，则该方程有两个不相等的实数根；B、Δ＝（﹣2）5﹣4×1×5＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根；C、Δ＝22﹣4×8×5＝﹣19＜0，则该方程无实数根；D、Δ＝（﹣3）2﹣4×5×1＝0，则该方程有两个相等的实数根；故选：C．6．（3分）解分式方程，分以下四步，其中（ ）A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6C．解这个整式方程，得x＝1D．原方程的解为x＝1【解答】解：分式方程的最简公分母为（x﹣1）（x+1），方程两边乘以（x﹣7）（x+1），得整式方程2（x﹣3）+3（x+1）＝5，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．故选：D．7．（3分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（ ）A．y随x增大而增大B．图象经过第三象限C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜0【解答】解：由图象得：图象过一、二、四象限，b＞0，当k＜0时，y随x的增大而减小、B错误，由图象得：与y轴的交点为（2，b），从图象看，故C正确；当x＜0时，y＞b＞0．故选：C．8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，又三家共一鹿，适尽，每家取一头鹿，没有取完，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中（ ）A．25B．75C．81D．90【解答】解：设城中有x户人家，依题意得：x+x＝100，解得：x＝75，∴城中有75户人家．故选：B．9．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底互相平行，∠2＝122°，则∠3与∠4的度数分别为（ ）A．43°与58°B．43°与45°C．45°与58°D．43°与32°【解答】解：如图：由题意得：AB∥CD，∴∠1＝∠3＝43°，由题意得：BE∥DF，∴∠BDF＝180°﹣∠5＝180°﹣122°＝58°，由题意得：BD∥EF，∴∠BDF＝∠4＝58°，故选：A．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C CE的长为半径画弧，两弧交于点F，则CG的长为（ ）A．2B．C．3D．【解答】解：如图，连接EG，根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，∴∠EBG＝∠CBG，在△EBG和△CBG中，，∴△EBG≌△CBG（SAS），∴GE＝GC，在Rt△ABE中，AB＝6，∴AE＝＝8，∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝5，在Rt△DGE中，DE＝2，EG＝CG，∴EG2﹣DE6＝DG2∴CG2﹣22＝（6﹣CG）7，解得CG＝．故选：D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算：＝ ．【解答】解：原式＝＝＝＝，故答案为：．12．（3分）如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为　0　．【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B点向上平移了7个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A点向右平移了4个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得a＝2+2＝2，b＝2+2＝2，∴a﹣b＝3，故答案为：0．13．（3分）不透明的布袋中有红、黄、蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，再从中随机摸出1支，记录下颜色 ．【解答】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色，∴两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为，故答案为：．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，E为正方形对角线的交点，反比例函数，E．若点A（6，0），则k的值是　16　．【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数的图象上，∴k＝•，∴m＝3，作CH⊥y轴于H，∴CH＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝6，OB＝CH＝2，∴C（2，8），∴k＝16，故答案为：16．15．（3分）如图，菱形ABCD中，AC，AC＝8cm，BD＝6cm，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D．若M，N同时出发　1或4　s时△MON的面积为菱形ABCD面积的．【解答】解：设出发后x秒时，S△MON＝S菱形ABCD．∵S菱形ABCD＝AC•BD＝，∴S△MON＝S菱形ABCD＝4．（1）当x＜2时，点M在线段AO上．由（4﹣2x）（6﹣x）＝2；解得x1＝8，x2＝4（舍去）∵x＜2，∴x＝1；（2）当2＜x＜6时，点M在线段OC上，由（4x﹣4）（3﹣x）＝8化简为：x2﹣5x+2＝0，此时方程Δ＜0，原方程无实数解；（3）当x＞8时，点M在线段OC上，由（7x﹣4）（x﹣3）＝5；解得x1＝1，x6＝4．∵x＞3，∴x＝6符合题意，综上所述，出发后1s或4s时，S△MON＝S菱形ABCD．故答案为：1或4．三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）计算：（1）﹣2÷[（﹣2）3﹣（﹣5）]﹣24×0.5；（2）．【解答】解：（1）原式＝﹣2÷（﹣8+5）﹣8＝﹣2÷（﹣8）﹣8＝﹣8＝﹣；（2）原式＝÷＝÷＝÷＝×＝．17．（8分）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．（1）求两种型号垃圾桶的单价；（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元【解答】解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，由题意可得：，解得：，答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；（2）设A型垃圾桶a个，由题意可得：60a+100（200﹣a）≤15000，a≥125，答：至少需购买A型垃圾桶125个．18．（9分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2023年初的视力数据，并调取该批学生2022年初的视力数据（不完整）．青少年视力健康标准类别视力健康状况A视力≥5.0视力正常B视力＝4.9轻度视力不良C 4.6≤视力≤4.8中度视力不良D视力≤4.5重度视力不良根据以上信息，请解答下列问题：（1）求出被抽查的400名学生2023年初轻度视力不良（类别：B．）对应的扇形圆心角度数，补全2022年初视力统计图；（2）若2023年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2023年初视力正常的人数比2022年初增加的人数；（3）国家卫健委要求全国初中生视力不良率控制在69%以内，请估计该市八年级学生2023年初视力不良率是否符合要求．【解答】解：（1）被抽查的400名学生2023年初轻度视力不良对应的扇形圆心角度数为：360°×（1﹣31.25%﹣24.5%﹣32%）＝44.6°，2022年初视力正常的人数为：400﹣48﹣91﹣148＝113（人），补全的2022年初视力统计图如下图，答：被抽查的400名学生2023年初轻度视力不良对应的扇形圆心角度数为44.1°．（2）∵该市八年级学生2023 年初视力正常的人数约为：20000×31.25%＝6250（人），这些学生2022年初视力正常的人数约为：20000×＝5650（人），∴增加的人数为：6250﹣5650＝600（人），答：2023年初视力正常的人数比2022年初多增加了600人．（3）该市八年级学生2023年初视力不良率约为：1﹣31.25%＝68.75%，∵68.75%＜69%，∴该市八年级学生2023年初视力不良率符合要求，答：该市八年级学生2023年初视力不良率符合要求．19．（8分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC ﹣CD所示．（1）小丽与小明出发　30　min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．【解答】解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min相遇，故答案为：30；（2）①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V6＞V1，则，解得：，答：小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；②解法一：设点C的坐标为（x，y），则可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，解法二：5400÷100＝54，54×80＝4320，∴点C（54，4320），点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地．20．（8分）“工欲善其事，必先利其器”，如图为钓鱼爱好者购买的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆AD，用绳子拉直AC后系在树干PQ上的点E处，C，E在一条直线上，AB＝AC＝2m（1）垂钓时打开“晴雨伞”，若∠α＝60°，求遮蔽宽度BC（结果精确到0.01m）；（2）若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得∠BAC＝106°（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，）【解答】解：（1）∵AB＝AC＝2m，AO⊥BC，∴BC＝2OC，在Rt△AOC中，∠α＝60°，∴OC＝AC•sin60°＝3×＝（m），∴BC＝2OC＝2≈3.46（m），∴遮蔽宽度BC约为3.46m；（2）过点E作EF⊥AD，垂足为F，由题意得：EF＝DQ＝7m，当∠α＝60°时，在Rt△AFE中，AF＝＝＝，当∠BAC＝106°时，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠EAF＝∠BAC＝53°，在Rt△AFE中，AF＝≈，∴点E下降的高度＝2.26﹣5.73≈0.5（m），∴点E下降的高度约为4.5m．21．（8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，D在直径BA的延长线上，且AD＝AC，CD交⊙O于点G，连接BG，点F在BE上，且∠BCF+2∠BCE＝180°．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若BG＝3，BD＝18，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥AB，∴∠DBE＝90°，∴∠D+∠E＝∠DCA+∠BCE＝90°，∵AD＝AC，∴∠D＝∠ACD，∴∠BCE＝∠E，∵∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，∠BCF+2∠BCE＝180°，∴∠BCF＝∠CBF，∵OB＝OC，∴∠BOC＝∠OCB，∴∠OCF＝∠OBF＝90°，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵∠ABG＝∠ACD，∠D＝∠ACD，∴∠ABG＝∠D，∴BG＝DG，∴BG＝EG，∴DE＝2BG＝8，∵BD＝18，∴BE＝＝7，由（1）知，BC＝BE＝6，∵AB2＝AC7+BC2，∴AB2＝（18﹣AB）2+62，∴AB＝10，∴⊙O的半径为7．22．（12分）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度流水时间t/min010203040水面高度h/cm（观察值）302928.12725.8任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时；【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，记为w；w越小任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．【解答】解：任务1：变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.7﹣29＝﹣0.9（cm）；25.5﹣27＝﹣1.2（cm），∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣7，﹣0.9，﹣6.2．任务2：设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b，∵t＝4 时，h＝30，h＝29；∴，解得：，∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣6.1t+30；任务3：（1）w＝（30﹣30）6+（29﹣29）2+（28﹣28.1）4+（27﹣27）2+（26﹣25.8）5＝0.05．（2）设：h＝kt+30，∴w＝（0•k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（20k+30﹣28.1）6+（30k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）5＝3000（k+0.102）2+7.038，∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038．任务4：将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，就代表时间经过了10分钟．23．（12分）【问题发现】（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，AB＝BC，BD＝BE，连接DE．①求的值；②求∠EAD的度数．【类比探究】（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，BM，若BC＝4，求线段AD的长．【解答】解：（1）①∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，即∠CBE＝∠ABD，∵AB＝BC，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠DAB＝∠ECB＝45°，∴＝1；②∠EAD＝45°+45°＝90°；（2）∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，∠BAC＝∠BDE＝30°，∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，在Rt△DBE中，tan∠BED＝，∴＝，又∵∠ABD＝∠EBC，∴△ABD∽△∠CBE，∴＝＝，∠BAD＝∠ACB＝60°．∵∠BAC＝30°，∴∠EAD＝∠BAD+∠BAC＝60°+30°＝90°，∴，∠EAD＝90°．（3）如图，由（2）知：＝＝，∴AD＝CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AC＝8，AB＝3，∵∠EAD＝∠EBD＝90°，且点M是DE的中点，∴AM＝BM＝DE，∵△ABM为直角三角形，∴AM2+BM2＝AB3＝（4）5＝48，∴AM＝BM＝2，∴DE＝5，设EC＝x，则AD＝x，Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，∴（5﹣x）2+（x）2＝（4）7，解之得：x＝2+2（负值舍去）．∴EC＝2+2．∴AD＝CE＝2．∴线段AD的长为（2+4）．。

2023年山东省青岛市市南区中考数学一模试卷一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）新能源汽车日益受到大众喜爱，统计部门发布的数据显示2022年前三季度某地区新注册登记新能源汽车1214000辆，其中1214000用科学记数法可表示为（ ）A．121.4×104B．12.14×105C．1.214×106D．1.214×107 3．（3分）如图，图2是神舟十五号火箭（图1）模型的半成品，则该模型半成品的俯视图是（ ）A．B．C．D．4．（3分）下列运算正确的是（ ）A．a2+a3＝a5B．﹣6a2÷3a＝﹣2aC．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2D．（b﹣a）2＝b2﹣a25．（3分）用数轴探究不等式组的解集，下面探究过程表示正确的是（ ）A．B．C．D．6．（3分）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）A．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是偶数的概率B．抛一枚硬币，正面朝下的概率C．从装有2个红球和1个蓝球（3个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率D．用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏，随机抽取一张牌，花色为“红桃”的概率7．（3分）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得∠ABC＝60°，将学具变形成图2的形状，测得∠ABC＝90°，若图1中的对角线BD＝20cm，则变形后图2中对角线BD的长为（ ）A．B．C．D．8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）﹣2023的相反数是 ．10．（3分）计算：＝ ．11．（3分）在俄罗斯方块游戏中，屏幕上方图形向下运动，若某行被小方格填满，则该行中的所有小方格会自动消失．如图，假如屏幕上方图形“L”可直接经过一次旋转转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心为图中的点 ．12．（3分）2022卡塔尔世界杯小组赛的部分积分榜如表格所示，A，B，C三个小组中积分方差最小的是 组．A 组积分B 组积分C 组积分荷兰7英格兰7阿根廷6塞内加尔6美国5波兰4厄瓜多尔4伊朗3墨西哥4卡塔尔0威尔士1沙特阿拉伯313．（3分）图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB 为4英寸，碗底CD 与AB 平行，倒汤时碗底CD 与桌面MN 夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为 平方英寸．14．（3分）如图，已知△ABC ，AB ＝AC ，BC ＝6，∠BAC ＝120°，点D 在BC 上（不与B 、C 重合），连接AD ，分别将△ABD 和△ACD沿直线AB 、AC 翻折得到△ABF 和△ACE ，连接EF ，给出下列结论：①EF ＝AF ；②当AD ⊥AF 时，CD 的长为2；③当D 、A 、F 三点共线时，四边形ADCE 是菱形；④△AEF 面积的最小值为．则正确结论有 ．（填序号）三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．（4分）某展览馆（点P ）在过中山公园（点B ）与荣成路（AC ）平行的直线上，且到荣成路（AC）与香港西路（AD）的距离相等，请你在图中作出点P的位置．四、解答题（本大题满分74分，共有10道题）16．（8分）计算：（1）化分：；（2）已知关于x的一元二次方程3x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．17．（6分）小明和小华利用抽取扑克牌游戏决定谁去参加“创建文明城市，争做文明学生”志愿者活动，游戏规则是：将三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，小明从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，小华再随机抽取一张，若两人抽取的数字和为偶数，则小明获胜，否则小华获胜，这个游戏对双方公平吗？请利用树状图或列表法进行说明．18．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE ＝∠C，E在CA的延长线上．（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？（2）若，则∠DBC的度数为 °．19．（6分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．某中学为了更好的开展“学工”实践活动，对本校部分八年级学生进行了选修课程的随机问卷调查（必须选修一门且只能选修一门），并根据调查数据绘制了如下统计图：请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“电烙画”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；（2）补全条形统计图；（3）该校八年级共有640名学生，“学工”基地的陶艺教室每间能容纳30人，请你估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备几间陶艺教室？20．（6分）眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A 为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD为18°，小林在书桌上方的身长AB为52cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．（参考数据：sin18°≈，cos18°≈，tan18°≈）21．（6分）某校开展数学节活动，预算用1800元到某书店购买数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用900元购买《几何原本》比用900元购买《九章算术》可多买10本．（1）求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元；（2）学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有图书均按原价六折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？22．（6分）在数学兴趣社团课上，同学们对平行四边形进行了深入探究．探究一：如图1，在矩形ABCD中，AC2＝AB2+BC2，BD2＝AC2＝CD2+AD2，则AC2+BD2＝AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出结论：矩形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．探究二：对于一般的平行四边形，是否仍有上面的结论呢？证明：如图2，在▱ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．设AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCN，又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，∴△ABM≌△DCN．∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y．请你接着完成上面的证明过程．结论应用：若一平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，求该平行四边形的四条边长．23．（8分）如图，在△ABC中，O是AB的中点，过A作BC的平行线，交CO延长线于D，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE和BF．（1）求证：△OBC≌△OAD；（2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答，（若多选，按第一个解答计分）①当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是菱形？请加以证明；②当△ABC满足什么条件时，四边形AEBF是矩形？请加以证明．24．（10分）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，今年情况有所不同，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．（总利润＝总销售额﹣总进价）（1）直接写出t、p、q的值；（2）分别求出y1，y2与x的关系式；（3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题：（1）t为何值时，BE＝BF；（2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2023年山东省青岛市市南区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．（3分）下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；D．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（3分）新能源汽车日益受到大众喜爱，统计部门发布的数据显示2022年前三季度某地区新注册登记新能源汽车1214000辆，其中1214000用科学记数法可表示为（ ）A．121.4×104B．12.14×105C．1.214×106D．1.214×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1214000＝1.214×106，故选：C．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．（3分）如图，图2是神舟十五号火箭（图1）模型的半成品，则该模型半成品的俯视图是（ ）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．【解答】解：从上面看，是一个同心圆，里面的圆画成虚线．故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．（3分）下列运算正确的是（ ）A．a2+a3＝a5B．﹣6a2÷3a＝﹣2aC．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2D．（b﹣a）2＝b2﹣a2【分析】由同类项概念，单项式除法法则，积的乘方与幂的乘方公式，完全平方公式逐项判断即可．【解答】解：a2与a3不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；﹣6a2÷3a＝﹣2a，故B正确，符合题意；（﹣3pq）2＝9p2q2，故C错误，不符合题意；（b﹣a）2＝b2﹣2ab+a2，故D错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．5．（3分）用数轴探究不等式组的解集，下面探究过程表示正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【解答】解：由x﹣3＜3x+1，解得x＞﹣2；由，解得x≤3；不等式组的解集是﹣2＜x≤3，故选：A．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．6．（3分）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）A．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是偶数的概率B．抛一枚硬币，正面朝下的概率C．从装有2个红球和1个蓝球（3个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率D．用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏，随机抽取一张牌，花色为“红桃”的概率【分析】由折线统计图可知，试验结果在0.3附近波动，最后稳定在0.33附近，再分别计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现点数是偶数的概率是，故此选项不符合题意；B、抛一枚硬币，出现正面朝下的概率为，故此选项不符合题意；C、从装有2个红球和1个蓝球（3个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率是，故此选项符合题意．D、用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏，随机抽取一张牌，花色为“红桃”的概率＝，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了利用频率估计概率，属于基础题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关键．7．（3分）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得∠ABC＝60°，将学具变形成图2的形状，测得∠ABC＝90°，若图1中的对角线BD＝20cm，则变形后图2中对角线BD的长为（ ）A．B．C．D．【分析】如图1，连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD，BD平分∠ABC，则∠ABO＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AB，如图2，利用正方形的性质得到BD的长．【解答】解：如图1，连接AC交BD于O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝10cm，BD平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝＝（cm），如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴BD＝＝＝（cm）．故选：A．【点评】此题考查的是正方形的性质、菱形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，∴a＜0，∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，∴a、b异号，即b＞0．∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴一次函数y＝bx+a的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）﹣2023的相反数是　2023　．【分析】由相反数的概念即可解答．【解答】解：﹣2023的相反数是﹣（﹣2023）＝2023．故答案为：2023．【点评】本题考查相反数的概念，关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．10．（3分）计算：＝ ．【分析】先化简，再进行减法运算即可．【解答】解：＝2＝．故答案为：．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．11．（3分）在俄罗斯方块游戏中，屏幕上方图形向下运动，若某行被小方格填满，则该行中的所有小方格会自动消失．如图，假如屏幕上方图形“L”可直接经过一次旋转转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心为图中的点　A　．【分析】根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线上即可得出答案．【解答】解：如图，连接两对对应点，分别作垂直平分线，交于点为A，则点A即为旋转中心．故答案为：A ．【点评】本题主要考查了利用旋转变换以及平移变换进行作图，解题时注意：平移作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解决问题的关键是掌握：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上．12．（3分）2022卡塔尔世界杯小组赛的部分积分榜如表格所示，A ，B ，C 三个小组中积分方差最小的是 C 组．A 组积分B 组积分C 组积分荷兰7英格兰7阿根廷6塞内加尔6美国5波兰4厄瓜多尔4伊朗3墨西哥4卡塔尔威尔士1沙特阿拉伯3【分析】根据方差的意义即可判断．【解答】解：根据A ，B ，C 三个小组中积分，可知C 组四个数据分布比较集中，各数据偏离平均数较小，所以方差最小．故答案为：C ．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．13．（3分）图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB 为4英寸，碗底CD 与AB 平行，倒汤时碗底CD 与桌面MN 夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为 （﹣）　平方英寸．【分析】延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，根据平行线的性质可求∠OBE＝30°，则∠BOE＝120°，阴影部分的面积＝扇形OBE的面积﹣△OBE的面积．【解答】解：延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE 交于点G，∵CD与MN成角为30°，CD∥AB，∴∠AHC＝30°，∵BE∥MN，∴∠ABE＝30°，∵OE＝OB，∴∠BOE＝120°，∵AB＝4英寸，∴OB＝OE＝2英寸，在Rt△OBG中，OG＝OB＝1，BG＝，∵OG⊥BE，∴BE＝2BG＝2，∴S△BEO＝2×1＝（平方英寸），∵S扇形OEB＝＝（平方英寸），∴S阴影＝（﹣）平方英寸，故答案为：（﹣）．【点评】本题考查解直角三角形，扇形的面积，熟练掌握平行线的性质，扇形面积的求法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．14．（3分）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝6，∠BAC＝120°，点D在BC上（不与B、C重合），连接AD，分别将△ABD和△ACD沿直线AB、AC翻折得到△ABF和△ACE，连接EF，给出下列结论：①EF＝AF；②当AD⊥AF时，CD的长为2；③当D、A、F三点共线时，四边形ADCE是菱形；④△AEF面积的最小值为．则正确结论有　①②③④　．（填序号）【分析】先根据折叠的性质证明△AEF是顶角是120°的等腰三角形，作辅助线，可得EF ＝AF；如图1可知：AD最小时，△AEF的面积最小，由图2知：当AD⊥BC时，AD 最小，此时最小值是1，代入计算可作判断；当D、A、F三点共线时，正确画图3，证明AD＝CD可作判断；证明∠CAD＝∠CDA可得CD＝AC＝2．【解答】解：由折叠得：AD＝AF＝AE，∠DAB＝∠BAF，∠DAC＝∠EAC，∵∠BAC＝120°，∴∠DAF+∠DAC+∠EAC＝240°，∴∠EAF＝360°﹣240°＝120°，如图1，过点A作AM⊥EF于M，∵AE＝AF，∴∠F＝30°，∠AMF＝90°，∴AF＝2AM，EF＝2FM＝2AM，∴EF＝AF；故①正确；∴△AEF的面积＝•EF•AM＝×AF•AF＝AF2＝AD2，∵当AD最小时，△AEF面积最小，∴当AD⊥BC时，△AEF面积最小，如图2，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝6，同理得：CD＝3，AD＝，∴△AEF面积的最小值为；故④正确；当D、A、F三点共线时，如图3，则∠BAD+∠BAF＝180°，由折叠得：∠BAD＝∠BAF，CD＝CE，AE＝AD，∴∠BAD＝90°，∵∠ABD＝30°，∴∠ADB＝60°，∵∠ACB＝30°，∴∠DAC＝60°﹣30°＝30°，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AD＝CD＝CE＝AE，∴四边形ADCE是菱形；故③正确；如图4，此时AF⊥AD，∴△AFD是等腰直角三角形，且∠BAD＝45°，∵∠BAC＝120°，∠ACB＝30°，∴∠CAD＝120°﹣45°＝75°＝∠CDA，∴CD＝AC＝2；故②正确；本题正确的结论有①②③④．故答案为：①②③④．【点评】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形性质，菱形的判定，翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短，三角形的面积等知识，解决问题的关键是熟悉等腰直角三角形的性质和判定及120°的等腰三角形边的关系．三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹15．（4分）某展览馆（点P）在过中山公园（点B）与荣成路（AC）平行的直线上，且到荣成路（AC）与香港西路（AD）的距离相等，请你在图中作出点P的位置．【分析】以点B为顶点，作∠DBE＝∠CAD，再作∠CAD的平分线，与BE交于点P．【解答】解：如图，以点B为顶点，作∠DBE＝∠CAD，再作∠CAD的平分线，与BE交于点P．则点P即为所求.【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的性质是解答本题的关键．四、解答题（本大题满分74分，共有10道题）16．（8分）计算：（1）化分：；（2）已知关于x的一元二次方程3x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．【分析】（1）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；（2）根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4×3×（﹣m）＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）原式＝•＝﹣•＝﹣2（x+3）＝﹣2x﹣6；（2）根据题意得Δ＝22﹣4×3×（﹣m）＝0，解得m＝﹣，即m的值为﹣．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了分式的混合运算．17．（6分）小明和小华利用抽取扑克牌游戏决定谁去参加“创建文明城市，争做文明学生”志愿者活动，游戏规则是：将三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5，将这些牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，小明从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，小华再随机抽取一张，若两人抽取的数字和为偶数，则小明获胜，否则小华获胜，这个游戏对双方公平吗？请利用树状图或列表法进行说明．【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出数字和为偶数的结果数和数字和为奇数的结果数，接着计算出小明获胜的概率和小华获胜的概率，然后比较两个概率的大小可判断游戏是否公平．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中数字和为偶数的结果数为5，数字和为奇数的结果数为4，所以小明获胜的概率＝，小华获胜的概率＝，因为＞，所以这个游戏对双方不公平．【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．18．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为的中点，∠ABE＝∠C，E在CA的延长线上．（1）EB是⊙O的切线吗？为什么？（2）若，则∠DBC的度数为　30　°．【分析】（1）由圆周角定理得到∠C+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠EBA+∠OBA＝90°，即可证明问题；（2）连接OD，得到△OBD是等边三角形，得到∠BOD＝60°，由D为的中点，得到∠COD＝∠BOD＝60°，由圆周角定理即可求出∠DBC的度数．【解答】解：（1）EB是⊙O的切线，理由如下，连接OB，∵AC是圆的直径，∴∠CBA＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠C+∠OBA＝90°，∵∠EBA＝∠C，∴∠EBA+∠OBA＝90°，∴半径OB⊥BE，∴EB是⊙O的切线；（2）连接OD，∵BD＝AC，∴BD＝OD＝OB，∴△OBD等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵D为的中点，∴∠COD＝∠BOD＝60°，∴∠DBC＝∠COD＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，关键是掌握切线的判定方法，圆周角定理．19．（6分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．某中学为了更好的开展“学工”实践活动，对本校部分八年级学生进行了选修课程的随机问卷调查（必须选修一门且只能选修一门），并根据调查数据绘制了如下统计图：请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有　120　名学生参与了本次问卷调查；“电烙画”在扇形统计图中所对应的圆心角是　105　度；（2）补全条形统计图；（3）该校八年级共有640名学生，“学工”基地的陶艺教室每间能容纳30人，请你估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备几间陶艺教室？【分析】（1）由选修“彩绘”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可求出样本容量；用“电烙画”所占百分比乘以360°即可算出圆心角；（2）求出选修“茶艺”和“烘培”的学生人数，即可解决问题；（3）用选“陶艺”所占百分比乘以640人，估计求出选修“陶艺”的人数即可解答．【解答】解：（1）有题意得，样本容量为：30÷25%＝120，即共有120名学生参与了本次问卷调查；“电烙画”在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°×＝105°．故答案为：120；105；（2）选修烘培”的学生人数为：120×＝18（人），选修“茶艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（人），补全条形统计图如下：（3）640×÷30＝2，答：估计“学工”基地需要为该校八年级学生准备3间陶艺教室．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及用样本估计总体，能对图表信息进行具体分析并求出参加调查的学生人数是解题关键．20．（6分）眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A 为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD为18°，小林在书桌上方的身长AB为52cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．（参考数据：sin18°≈，cos18°≈，tan18°≈）【分析】过点D作DM⊥BG，垂足为M，延长MD交AF的延长线于点H．先说明∠FAD 与∠MDC的关系，再分别在Rt△AHD、Rt△MCD中利用直角三角形的边角间关系求出AH、HD、MC，最后利用线段的和差关系得结论．【解答】解：过点D作DM⊥BG，垂足为M，延长MD交AF的延长线于点H．∵AB⊥BG，DM⊥BG，AF∥BG，∴四边形BMHA是矩形．∴AB＝HM＝52cm，AH＝BM．∵∠FAD+∠HDA＝90°，∠HDA+∠MDC＝90°，∴∠FAD＝∠MDC＝18°．在Rt△AHD中，∵sin∠FAD＝，cos∠FAD＝，∴HD＝sin∠FAD×AD＝sin18°×40≈×40＝12（cm），AH＝cos∠FAD×AD＝cos18°×40≈×40＝38（cm）．∴MD＝MH﹣DH＝52﹣12＝40（cm）．在Rt△DMC中，∵tan∠MDC＝，∴CM＝tan∠MDC×DM＝tan18°×40≈×40＝13（cm）．∴BC＝BM﹣CM＝AH﹣CM＝38﹣13＝25（cm）．答：小林与书籍底端的水平距离BC为25cm．【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握矩形的判定和性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．21．（6分）某校开展数学节活动，预算用1800元到某书店购买数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用900元购买《几何原本》比用900元购买《九章算术》可多买10本．（1）求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元；（2）学校实际购买时，恰逢该书店进行促销活动，所有图书均按原价六折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共80本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？【分析】（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为1.5x元，由题意：用900元购买《几何原本》比用900元购买《九章算术》可多买10本．列出分式方程，解方程即可；（2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了（80﹣m）本《九章算术》，由题意：学校在不超过预算1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为1.5x元，由题意得：﹣＝10，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×30＝45，答：《几何原本》的单价为30元，则《九章算术》的单价为45元；（2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了（80﹣m）本《九章算术》，由题意得：30×0.6m+45×0.6×（80﹣m）≤1800，解得：m≥40，答：学校至少购买了40本《几何原本》．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．22．（6分）在数学兴趣社团课上，同学们对平行四边形进行了深入探究．探究一：如图1，在矩形ABCD中，AC2＝AB2+BC2，BD2＝AC2＝CD2+AD2，则AC2+BD2＝AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出结论：矩形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．探究二：对于一般的平行四边形，是否仍有上面的结论呢？证明：如图2，在▱ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．设AB＝a，BC＝b，BM＝x，AM＝y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCN，又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，∴△ABM≌△DCN．∴CN＝BM＝x，DN＝AM＝y．请你接着完成上面的证明过程．结论应用：若一平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，求该平行四边。

2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷一、选择题1．（3分）下列实数中，无理数是（）A．B．C．（π+2）0D．2．（3分）计算x3•x2的结果是（）A．x B．x5C．x6D．x93．（3分）如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．C．D．4．（3分）如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．∠A＝∠D且C．∠A＝∠B，∠D＝∠E D．∠A＝∠E且5．（3分）如果0°＜∠A＜60°，那么sin A与cos A的差（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定6．（3分）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（）A．B．C．D．二、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）7．（3分）的倒数是．8．（3分）计算：＝．9．（3分）已知，则的值是．10．（3分）抛物线y＝（x+1）2﹣2与y轴的交点坐标是．11．（3分）请写出一个以直线x＝3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）12．（3分）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点O距离水面AB为3米，如图建立直角坐标平面xOy，那么此抛物线的表达式为．13．（3分）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，则迎水坡AB的坡角背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”）14．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC 与△A2B2C2的相似比为，那么△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．15．（3分）在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝．16．（3分）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D、E分别在边AB、AC上，当AD＝4，∠ADE ＝∠C时，＝．17．（3分）如图，△ABC绕点C逆时针旋转90°后得△DEC，如果点B、D、E在一直线上，且∠BDC＝60°，BE＝3，那么A、D两点间的距离是．18．（3分）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+bx﹣2与y＝﹣x2﹣cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标．三、解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）计算：．20．（8分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，AE＝EC．（1）求证：DE∥BC；（2）设，，试用向量、表示向量．21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cos B＝，AB＝13，BC＝21．（1）求AC的长；（2）求∠BAC的正弦值．22．（10分）有一把长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）．一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．23．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且AD•AC＝AE•BC．（1）求证：AB∥FD；（2）点G在底边BC上，BC＝10，CG＝3，联结AG，如果△AGC与△EFC的面积相等，求FC的长．24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx−6（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，∠ABC的余切值为，AB ＝8，点P在抛物线上，且PO＝PB．（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．①求新抛物线的对称轴；②点F在新抛物线对称轴上，且∠EOF＝∠PCO，求点F的坐标．25．（10分）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D为射线CB上一动点（点D 不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射线AB与射线FD交于点E，联结BF．（1）如图所示，当点D在线段CB上时，①求证：△ACD∽△ABF；②设CD＝x，tan∠BFD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当AB＝2BE时，求CD的长．2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．＝4，4是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．是无理数，故本选项符合题意；C．（π+2）0＝1，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．2．【分析】根据同底数的幂相乘的法则即可求解．【解答】解：x3•x2＝x5．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数的幂的乘方的计算法则，正确理解法则是关键．3．【分析】非零向量、互为相反向量，则非零向量、大小相等，方向相反．【解答】解：∵非零向量、互为相反向量，∴∥且＝﹣且||＝||，∴+＝．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量，注意理解平面向量有关的定义是关键．4．【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、由∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以判断两个三角形相似，本选项符合题意；B、由∠A＝∠D且，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；C、由∠A＝∠B，∠D＝∠E，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；D、由∠A＝∠E且＝，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．5．【分析】根据锐角三角函数的增减性，分三种情况讨论即可得出结论，【解答】解：当0°＜∠A＜45°时，45°＜90°﹣∠A＜90°，∴sin A＜sin（90°﹣A），∴sin A＜cos A，∴sin A﹣cos A＜0，当∠A＝45°时，90°﹣∠A＝45°，∴sin A＝sin（90°﹣A），∴sin A＝cos A，∴sin A﹣cos A＝0，当45°＜∠A＜60°时，30°＜90°﹣∠A＜45°，∴sin A＞sin（90°﹣A），∴sin A＞cos A，∴sin A﹣cos A＞0，∴当0°＜∠A＜60°时，那么sin A与cos A的差不能确定．故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，理解定义是解题的关键．6．【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，＝＝，∴DG＝AG，∵BG：EG＝AB：DE＝2：1，∴GB：BE＝2：3，：S△AEB＝2：3，∴S△AGB∵AE＝EC，＝S△ABC，∴S△AEB＝S△ABC，∴S△AGB∵△CDE∽△CBA，∴＝＝，＝S△ABC，∴S△CDE∴＝，结论成立的是＝，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．二、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）7．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵×3＝1，∴的倒数是3．故答案为：3．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．8．【分析】利用同分母的分式的加法法则解答即可．【解答】解：原式＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了同分母分式的加法，熟练掌握同分母分式的加法法则是解题的关键．9．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．故答案为：．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．10．【分析】把x＝0代入函数解析式求解．【解答】解：把x＝0代入y＝（x+1）2﹣2得y＝1﹣2＝﹣1，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0是解题的关键．11．【分析】可根据顶点式求抛物线解析式，只需要对称轴为x＝3，开口向上即可．【解答】解：满足题意的抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2+2．本题答案不唯一．故答案为：y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质．当抛物线开口向上时，在对称轴的左侧，y随x 的增大而减小．12．【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是y＝ax2，再结合图象，只需把（10，﹣3）代入求出a的值即可．【解答】解：该抛物线的解析式是y＝ax2，由图象知，点（10，﹣3）在函数图象上，代入得：100a＝﹣3，a＝﹣．∴该抛物线的解析式是y＝﹣x2；故答案为：y＝﹣x2．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点．13．【分析】根据坡度坡角的定义和三角函数的增减性即可得到结论．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，∴tan A＝，tan D＝，∵＞，∴∠A＞∠D，即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角，故答案为：大于．【点评】本题考查了直角三角形的应用﹣坡度坡角，熟练掌握三角函数的增减性是解题的关键．14．【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，∴AB：A1B1＝1：5，AB：A2B2＝2：3，设AB＝2x，则A1B1＝10x，A2B2＝3x，∴A1B1：A2B2＝10：3，∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．故答案为：．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．15．【分析】先根据黄金分割的定义可得＝，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF＝AE，从而可得＝，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），∴＝＝，∵四边形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF＝AE，∴＝，∵DC∥AB，∴∠FCP＝∠PAE，∠CFP＝∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴＝＝，∵PE＝2，∴PF＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．16．【分析】首先判定△ADE∽△ACB，然后利用该相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．∴＝．∵AC＝5，AD＝4，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．17．【分析】过点C作CF⊥BE于F，由旋转的性质得出∠ACD＝∠BCE＝90°，AC＝CD，BC＝CE，由直角三角形的性质可得出答案．【解答】解：过点C作CF⊥BE于F，∵△ABC绕点C逆时针旋转90°后得△DEC，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，AC＝CD，BC＝CE，∴CF＝BE＝，∵∠BDC＝60°，∴∠FCD＝30°，∴DF＝CF＝，∴CD＝2DF＝，∴AD＝CD＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．18．【分析】根据旋转函数的定义得到：，从而解得b＝﹣，c＝2．【解答】解：根据题意得，解得．∴点P的坐标为（﹣，2），故答案为：（﹣，2）．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换，正确理解新定义是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分66分）19．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝+（）2＝+1﹣+＝﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明；（2）由三角形法则求得，然后由AE与EC的比例关系求得向量．【解答】（1）证明：BD＝2AD，AE＝EC，∴＝＝．∴DE∥BC；（2）解：∵，，∴＝﹣＝﹣．∴＝﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，掌握平行线的判定，三角形法则即可解答该题，属于基础题．21．【分析】（1）由∠B的余弦求出BD长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题；（2）过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．【解答】解：（1）∵cos B＝＝，AB＝13，∴BD＝13×＝5，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣5＝16，∵AD＝＝＝12，∴AC＝＝＝20；（2）作CH⊥AB于H，∵△ABC的面积＝AB•CH＝BC•AD，∴13CH＝21×12，∴CH＝，∴∠BAC的正弦值是＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，关键是过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长．22．【分析】（1）由∠α的余弦求出∠α的度数，即可解决问题；（2）由∠DEO的正弦求出∠DEO，即可解决问题．【解答】解：（1）∵cosα＝＝≈0.417，∴α≈65°，∵50°≤65°≤75°，∴此时人能安全地使用这架梯子；（2）此时人不能安全使用这架梯子，理由如下：梯子顶端A离开地面最高时，∠ABO＝75°，∵sin∠ABO＝，∴AO＝AB•sin75°＝6×sin75°≈5.82（米），梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点，OD＝AO﹣AD＝5.82﹣1.5＝4.32（米），∵sin∠DEO＝＝＝0.72，∴∠DEO≈46°，∵46°＜50°，∴此时人不能安全使用这架梯子．【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是由锐角的三角函数定义求出梯子与地面的夹角．23．【分析】（1）根据题意可证明，△AED∽△CAB，所以∠AED＝∠CAB，则AB∥FD；（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD•AC＝AE•BC，∴AD：AE＝BC：AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∴△AED∽△CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴AB∥FD；（2）根据题意可得，＝＝，∵EF∥FD，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∵△AGC和△EFC面积相等，∴＝，解得CF＝．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题关键．24．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①用待定系数法求出函数表达式，即可求解；②由新抛物线的表达式：y＝x2﹣4x，得到直线CP的表达式为：y＝kx﹣6，进而求解．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx−6＝﹣6，即点C（0，﹣6），OC＝6，∵∠ABC的余切值＝＝，即OB＝2，则点B（2，0），∵AB＝8，则OA＝6，即点A（﹣6，0），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x﹣2）（x+6）＝a（x2+4x﹣12），即﹣12a＝﹣6，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣6；（2）①∵PO＝PB，则点P在OB的中垂线上，故xP＝1，当x＝1时，y＝x2+2x﹣6＝﹣，故点P（1，﹣）；设新抛物线的表达式为：y＝x+bx，将点P的坐标代入上式得：﹣＝+b，解得：b＝﹣4，故新抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x，如下图，延长CP交x轴于点H，该函数的对称轴为x＝4；②由①知点E（4，0），则OE＝4，设直线CP的表达式为：y＝kx﹣6，将点P的坐标代入上式得：﹣＝k﹣6，解得：k＝，故直线CP的表达式为：y＝x﹣6，即tan∠OHC＝，则tan∠PCO＝＝tan∠EOF，而tan∠EOF＝＝＝，则EF＝，则点F（4，）或（4，﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、图形的平移，学会构建一次函数，利用数形结合是解题的关键．25．【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；②过点E作EH⊥BD于点H，设BH＝HE＝m，利用相似三角形的拍等于性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）利用分类讨论的思想方法，画出图形，列出关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）①证明：∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF；②解：过点E作EH⊥BD于点H，如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝m，则BE＝m，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝4﹣x﹣m．∵∠ADF＝90°，∴∠ADC+∠FDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠FDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴m＝，∴BH＝HE＝．由①知：△ACD∽△ABF，∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠ABF＝90°．∵∠AED＝∠BEF，∴∠BFD＝∠DAE．∴tan∠BFD＝tan∠DAE＝．∵△ACD∽△DHE，∴，∴y＝tan∠BFD＝＝，∴y关于x的函数解析式y＝，x的取值范围：0＜x＜4；（2）①解：当点D在线段CB上时，如图，由（1）②知：BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝AC＝4，∴4＝2ו，∴8+2x＝4x﹣x2，∴x2﹣2x+8＝0．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×8＝4﹣32＝﹣28＜0，∴此方程没有实数根，∴当点D在线段CB上时，不存在AB＝2BE；②当点D在线段CB的延长线上时，如图，过点E作EH⊥BD于点H，∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF．∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠EBH＝∠ABC＝45°．∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝n，则BE＝n，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝x﹣4﹣n．∵∠ADF＝90°，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠EDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴n＝．∴BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝4，∴4＝2ו．∴8+2x＝x2﹣4x，∴x2﹣6x﹣8＝0，解得：x＝＝3±，∵x＞0，∴x＝3+．∴CD＝3+．综上，当AB＝2BE时，CD的长为3+．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，一元二次方程的解法，本题是相似三角形的综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。

2024年平顶山市中招学科第－次调研试卷九年级数学注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1. 的相反数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数定义直接求解即可得到答案，熟记相反数定义是解决问题的关键．【详解】解：的相反数是，故选：D ．2. 已知某几何体的俯视图如图所示，该几何体可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查由三视图判断几何体．由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图，再与题目图形进行比较即可．【详解】解：图示是一个圆且这个圆的圆心．A 、圆柱的俯视图是一个圆，没有圆心，故选项符合题意；B 、三棱柱的俯视图是三角形，故选项不符合题意；C 、圆锥的俯视图是一个圆，有圆心，故选项不符合题意；D 、长方体的俯视图是一个长方形，故选项不符合题意；故选：A．20241202412024-20242024-20242024-3. 龙年伊始，平顶山市迎来了新年文旅“满堂红”．今年春节期间，平顶山市共接待游客万人次，实现旅游收入亿元．数据亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于等于时与小数点移动的位数相同．【详解】解：亿，故选：D ．4. 如图，直线，等边的顶点B ，C 分别在直线m ，n 上，若，则∠2的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质．由平行线的性质求得的度数，根据等边三角形的性质求得，再利用平角的性质求解即可．【详解】解：∵直线，∴，∵是等边三角形，∴，∴，599.6636.436.483.6410⨯836.410⨯90.36410⨯93.6410⨯10n a ⨯110a ≤<n n a n 1036.48936.410 3.6410=⨯=⨯m n ∥ABC 170=︒∠45︒50︒55︒60︒3∠60ABC ∠=︒m n ∥3170∠=∠=︒ABC 60ABC ∠=︒2180706050∠=︒-︒-︒=︒故选：B ．5. 下列计算中，正确的是（ ）A.B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方，合并同类项，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A 、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；B 、，故该选项是错误的；C 、，故该选项是错误的；D 、，故该选项是正确的故选：D6. 如图所示，是的内接三角形．若则的度数等于（ ）A. 70°B. 65°C. 60°D. 55°【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆周角定义，三角形的内角和性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，据此即可作答．【详解】解：∵，∴，，∴，故选：A．247a a a +=()328=a a ()55210a a =235a a a = 24a a ，()326a a =()55232a a =235a a a = ABC O 20OAC ∠=︒，ABC ∠20OAC OA OC ∠=︒=，20180220140OAC ACO AOC ∠=∠=︒∠=︒-⨯︒=︒ AC AC = 1702ABC AOC ∠=∠=︒7. －元二次方程根的情况是（ ）A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 只有一个实数根【答案】C【解析】【分析】本题主要考查根的判别式．先整理成一般式，再计算判别式即可判断一元二次方程的跟的情况．【详解】解：整理得，∴，∴有两个不相等的实数根．故选：C ．8. 若反比例函数经过点．则一次函数的图像一定不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．先确定反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解．【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，∴，解得：，∴一次函数的解析式为，∴该直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选：A ．9. 如图，电路图上有4个开关A 、B 、C 、D 和1个小灯泡，同时闭合开关A 、B 或同时闭合开关C 、D 都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）()23x x -=24b ac ∆=-()23x x -=2230x x --=()()2242413412160b ac ∆=-=--⨯⨯-=+=>()0k y k x =≠()1,2-y kx k =+()0k y k x =≠()1,2-21k =-2k =-22y x =--A. 只闭合1个开关B. 只闭合2个开关C. 只闭合3个开关D. 闭合4个开关【答案】B【解析】【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．【详解】解：A 、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；B 、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；C 、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；D 、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；故选：B ．10. 如图1，在中，．动点P 从点A 出发沿折线A →B →C 匀速运动至点C 后停止．设点P 运动路程为x ，线段的长度为y ，图2是y 随x 变化的关系图像，其中M 为曲线的最低点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．作，当动点P 运动到点时，线段的长度最短，此时，当动点P 运动到点时，运动结束，此时的ABC 60ABC ∠=︒AP DE ABC AD BC ⊥D AP AB BD +=C AC =根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可．【详解】解：作，垂足为，当动点P 运动到点时，线段的长度最短，此时点P 运动的路程为，即，当动点P 运动到点时，运动结束，线段的长度就是的长度，此时，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴的面积为故选：C ．二、填空题（每小题3分，共15分）11. 已知点P 在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P 表示的负数：______．【答案】【解析】【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，根据“点P 在数轴上，且到原点的距离大于2，还是负数”这三个条件，写出一个即可作答．答案不唯一AD BC ⊥D D AP AB BD +=C AP AC AC =60ABC ∠=︒30BAD ∠=︒2AB BD =3AB BD BD +==BD =AB =2AD ==Rt △ABD AC =CD ==BC BD CD =+=ABC 11222BC AD ⨯=⨯=3-【详解】解：依题意，当点P 在数轴的负半轴上，即点P 表示为满足“到原点的距离大于2，还是负数”故答案为：12.分式方程的解是______．【答案】【解析】【分析】本题考查解分式方程．方程两边乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可【详解】解：方程两边乘以得，解这个方程，得，检验：当时，，所以是原分式方程的解．即原分式方程的解为．故答案为：．13. 某校为了解学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四类运动的参与情况，随机调查本校部分学生，让他们从中选择参与最多的一类运动，以选择各项目的人数制作了条形统计图．若从该校学生中任意抽取1人，则该学生恰好选择篮球这项运动的概率约为______．【答案】##0.375【解析】【分析】本题考查了概率公式．用恰好选择篮球这项运动的人数除以调查的总人数即可求解．【详解】解：∵调查的总人数为（人），其中选择篮球这项运动的人数为人，∴从该校学生中任意抽取1人，则该学生恰好选择篮球这项运动的概率约为，故答案为：．3-，3-2111x x x-=+2x =x 211x x -=+x 211x x -=+2x =2x =0x ≠2x =2x =2x =383020181280+++=30303808=3814. 如图，直线与y 轴交于点A ，与反比例函数图象交于点C ，过点C 作轴于点B ，，则k 的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题．先求出点A 的坐标，然后求出的长，即知点C 的横坐标，再将点C 的横坐标代入反比例函数解析式，可求得点C 的坐标，最后将点C 的坐标代入一次函数解析式，即得答案．【详解】解：对于函数中，令，则，，，，，即点C 的横坐标为，把代入，得，，把代入，得，解得．故答案为：．15. 在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为．连接，，当，，三点共线时，的长为______．3y kx =+()40y x x=-<CB x ⊥3AO BO =1-BO 3y kx =+0x =3y =()03A ∴，3OA ∴=3AO BO =Q 1BO ∴=1-=1x -4y x=-4y =()14C ∴-，()14C -，3y kx =+43k =-+1k =-1-ABCD 3AB =5BC =P AD BP A BP M MP MC P M C AP【答案】1或9【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线时，根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论．【详解】解：当点线段上时，如图，与关于直线对称，，，，，，，，设，，，，解得，；当点在的延长线时，如图，与关于直线对称，P AD P AD P AD ABP MBP BP 90BMP A ∴∠=∠=︒3BM AB ==AP PM =90BMC ∴∠=︒222BM CM BC += 22235CM ∴+=4CM ∴=AP PM x ==90D ∠=︒ 222DP CD CP ∴+=222(5)3(4)x x ∴-+=+1x =1AP ∴=P AD ABP MBP BP，，，，，，，，，，，，，综上所述，的长为1或9，故答案为：1或9．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16. （1）计算：；（2）解不等式组：【答案】（1）2；（2）．【解析】【分析】此题考查了一元一次不等式组的求解，负整指数幂，乘方，绝对值以及算术平方根的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．（1）根据乘方，负整数指数幂，绝对值以及算术平方根的运算求解即可；（2）求得每个不等式的解集，取公共部分即可．【详解】解：（1）；（2），90BMP A ∴∠=∠=︒3BM AB ==AP PM =APB MPB ∠=∠AP BC ∥APB CBP ∴∠=∠CPB CBP ∴∠=∠5CP BC ∴==90BMC ∠=︒ 222BM CM BC ∴+=22235CM ∴+=4CM ∴=549AP PM ∴==+=AP 2132-122113x x ->⎧⎪⎨+≥⎪⎩①②3x>21332-÷--19322=÷-⨯31=-2=122113x x ->⎧⎪⎨+≥⎪⎩①②解不等式①可得：，解不等式②可得：，则不等式组的解集为：．17. 为了解A ，B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A ，B 两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（单位：min ），并对数据进行整理描述和分析（运行最长时间用x 表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息．a ．10架A 款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间（单位min ）分别是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．b ．10架B 款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间（单位：min ）在中等组的数据分别是：70，71，72，72，73．C ．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表d ．B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图类别A B 平均数7070中位数71b 众数a 67方差30.431.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中，______，______，______．（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由．（写出一条理由即可）（3）若某玩具仓库有A 款智能玩具飞机200架，B 款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【答案】（1），，；3x >1x ≥3x >6070x ≤<7080x ≤<80x ≥=a b =m =7270.510（2）A 款智能玩具飞机运行性能更好；因为A 款智能玩具飞机运行时间的方差比B 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架．【解析】【分析】（1）由A 款数据可得A 款的众数，即可求出，由B 款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比；（2）根据方差越小越稳定即可判断；（3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可．【小问1详解】解：由题意可知架A 款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为，即；由B 款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为，则B 款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：（架）则B 款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：（架）则B 款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：，故B 款智能玩具飞机运行时间的中位数为：，B 款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：，即，故答案为：，，；【小问2详解】解：A 款智能玩具飞机运行性能更好；因为A 款智能玩具飞机运行时间的方差比B 款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定；【小问3详解】解：架A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：（架）架B 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：（架）则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：架，192a 10727272a =40%1040%4⨯=10451--=70,71707170.52+=1100%10%10⨯=10m =7270.510200620012010⨯=12061207210⨯=12072192+=答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架．【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．18. 如图，已知中，，，．（1）作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接，求的周长．【答案】（1）见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用基本作图，作BC 的垂直平分线分别交、于点、即可；（2）由作图可得CD =BD ，继而可得AD =CD ，再结合三角形周长的求解方法进行求解即可．【小问1详解】如图所示，点D 、H 即为所求【小问2详解】∵DH 垂直平分BC ，∴DC =DB ，∴∠B =∠DCB ，∵∠B +∠A =90°，∠DCB +∠DCA =∠ACB =90°，∴∠A =∠DCA ，∴DC = DA，192Rt ABC 90ACB ∠=︒8AB =5BC =BC AB BC D H CD BCD △AB BC D H∴△BCD 的周长=DC +DB +BC =DA +DB +BC =AB +BC =8+5=13．【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19. 如图，为直径，点是的中点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接．（1）求证：（2）连接，当时：①连接，判断四边形的形状，并说明理由．②若，图中阴影部分的面积为（用含有的式子表示）．【答案】（1）见解析（2）①菱形，理由见解析；②【解析】【分析】（1）连接，证明，即可得到结论．（2）①根据（1）的结论和已知条件先证明四边形是平行四边形，根据平行线的性质以及点是的中点，可得从而证明邻边相等，即可得出结论；②连接，如图所示，设交于点，证明得，从而可求出，解直角三角形得出，根据，从而可得，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积．小问1详解】证明：如图所示，连接，的【AB O C AD C O CE BD E BC 90CEB ∠=︒CD CD AB ∥OC OBDC 3BE =______π23πOC OC BE ∥OBDC C AD DCB DBC ∠=∠OD ,OD BC F AC DCBC ==60AOC ∠=︒30CBE ∠=︒2OB =CD AB ∥COD BCD S S =△△COD OC∵点是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的切线．∴，∴，即：；【小问2详解】①如图所示，由（1）可得∵∴，四边形是平行四边形，又∵∴∴，∴四边形是菱形，C AD AC DC=ABC EBC ∠=∠OB OC =ABC OCB ∠=∠EBC OCB ∠=∠OC BE ∥CE O OC CE ⊥BE CE ⊥90CEB ∠=︒OC BE∥CD AB∥DCB ABC ∠=∠OBDC ABC EBC∠=∠DCB EBC∠=∠DC DB =OBDC②连接，如图所示，设交于点∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴∴∵，∴，∴．∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，弧弦圆心角的关系，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积等知识，熟练掌握切线的判断定理以及扇形面积的求法是解题的关键．20. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？OD ,OD BC FCD BD = CDBD = CD BD = AC DC= AC DCBC ==60AOC COD BOD ∠=∠=∠=︒1302ABC CBE AOC ∠=∠=∠=︒cos BE CBE BC ∠=3BE =3cos30BC ==︒BF =2cos30OF OB ===︒CD AB ∥COD BCD S S =△△COD S S =阴影扇形260223603COD S S ππ⨯===阴影扇形（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？【答案】（1）甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．（2）购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．【解析】【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x 元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解；（2）设购m 只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w ,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=．【小问1详解】解:设购买乙种头盔的单价为x 元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得解得，，，答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．小问2详解】解：设购m 只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w ,则，解得，故最小整数解为，，∵，则w 随m 的增大而增大，∴时，w 取最小值，最小值．答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．21. 下图是某篮球架的侧而示意图，四边形为平行四边形．其中为长度固定的支【(11)x +20(11)302920x x ++=1(40)2m m ³-1313m ≥14m =41920w m =+41419201976´+=(11)x +20(11)302920x x ++=54x =1165x +=1(40)2m m ³-1313m ≥14m =0.865(546)(40)41920w m m m =´+--=+40>14m =41419201976=⨯+=ABCD BE CD GF ，，架，支架在A ，D ，G 处与立柱连接（垂直于，垂足为H ），在B ，C 处与篮板连接，旋转点F 处的螺栓可以调节长度，使支架绕点A 旋转，进而调节篮板的高度，已知．（1）如图1，当时，测得点C 离地面的高度为，求的长度；（2）如图2，调节伸缩臂，将由调节为时，请判断点C 离地面的高度是升高了还是降低了？并计算升（或降）的距离．（参考数据，）【答案】（1）；（2）点离地面的高度升高了，升高了．【解析】【分析】本题考查是平行四边形性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．（1）如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，根据四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，即可求得；（2）当时，则，解直角三角形得，从而可得答案．【小问1详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则，四边形为矩形，∴，的AH AH MN EF BE 209cm DH =60GAE ∠=︒289cm CD EF GAE ∠60︒54︒sin540.8cos540.6︒≈︒≈，tan 54 1.4︒≈160cm CD =C 16cm BC K D D Q C K ^Q DHKQ 208QK DH ==ABCD AB CD ∥60GAE ∠=︒60QCD QBA GAE ∠=∠=∠=︒30CDQ ∠=︒28920980CQ =-=2160CD CQ ==54GAE ∠=︒54QCD QBA GAE ∠=∠=∠=︒cos541600.696CQ CD =︒≈⨯= BC K D DQ C K ^Q 90DHK DQK HKQ ∠=∠=∠=︒DHKQ 209QK DH ==∵四边形是平行四边形，∴，当时，则，此时，，∴；【小问2详解】解：当时，则，∴，而，，∴点离地面的高度升高了，升高了．22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线，其函数表达式为．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O 为原点建立如图所示平面直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．（2）经过教练指导，小明改变了射球的力度和角度，在同一地点再次射门，球射向球门的路线呈抛物线，其表达式为．结果足球“画出一－条美妙的曲线”在点O 正上方处精彩落入球网内．求两次射门，足球经过的路线最高点之间的距离．ABCD AB CD ∥60GAE ∠=︒60QCD QBA GAE ∠=∠=∠=︒30CDQ ∠=︒28920980CQ cm =-=()2160cm CD CQ ==54GAE ∠=︒54QCD QBA GAE ∠=∠=∠=︒·cos541600.696CQ CD cm =︒≈⨯=96>80968016cm -=C 16cm 8m ()2y a x h k =-+6m 3m OB 2.44m 2116y x bx c =-++2m（注：题中的x 表示球到球门的水平距离，y 表示球飞行的高度）【答案】（1），球不能射进球门 （2）【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，求出解析式是解题的关键．（1）先确定抛物线的顶点坐标，利用待定系数法求出解析式即可；（2）求出第二次射门的解析式，求出顶点坐标即可求出答案．【小问1详解】由题意，可知抛物线的顶点坐标为，∴把代入，得，解得，∴抛物线的函数表达式为，当时，，∴球不能射进球门；【小问2详解】把，代入，得，∴，∴，∴顶点坐标为，()212312y x =--+3m 4()23，()223y a x =-+()80A ，()223y a x =-+3630a +=112a =-()212312y x =--+0x =8 2.443y =>()80A ，()0,22116y x bx c =-++210 88162b c c⎧=-⨯++⎪⎨⎪=⎩142b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩()221119 2 2164164y x x x =-++=--+92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭∵．∴两次射门，足球经过的路线最高点之间的距离为．23. （1）观察发现：已知是直角三角形，．将绕点B 顺时针旋转得到，旋转角为，直线交直线AC 于点F ．如图1，当时，判断：四边形的形状为_____，与的数量关系为_____；（2）深入探究：在图1的基础上，将绕点B 逆时针旋转，旋转角为，如图2，当时，直接写出线段的数量关系______；继续旋转，如图3，当时，请写出线段的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的基础上当时，若，请直接写出的长．【答案】（1）正方形，；（2）；；理由见解析；（3）的长为或．【解析】【分析】（1）先证明四边形为矩形，根据，证明四边形为正方形，推出；（2）当时，连接，证明，据此即可求得；当时，同理求得；（3）当时，根据角的转换求得，推出，得到，进而求得，据此求解即可；当时，同理即可求解．【详解】解：（1）根据题意，由旋转的性质得，∴四边形为矩形，由旋转的性质得，933m 44-=3m 4ABC 90ACB ∠=︒ABC DBE αDE 90α=︒BCFE CF EF DBE β090β︒<<︒AF EF DE ，，90180β︒<<︒AF EF DE ，，CBE BAC ∠=∠912BC AC ==，AF CF EF =AF EF DE +=AF EF DE -=AF 915BCFE BC BE =BCFE CF EF =090β︒<<︒BF ()Rt Rt HL BCF BEF ≌AF EF DE +=90180β︒<<︒AF EF DE -=090β︒<<︒ABD BAC ∠=∠DB AC ∥A D AFD ABD ∠=∠=∠=∠15DF AB ==90180β︒<<︒90C DEB BEF ∠=∠=∠=︒90BCE ∠=︒BCFE BC BE =∴四边形为正方形，∴；故答案为：正方形，；（2）当时，连接，∵，，，∴，∴，∵，∴，即；当时，连接，同理，，∴，∵，∴，即；故答案为：；；（3）当时，BCFE CF EF =CF EF =090β︒<<︒BF BC BE =90B BEF ∠=∠=︒BF BF =()Rt Rt HL BCF BEF ≌EF CF =DE AC =AF CF AC +=AF EF DE +=90180β︒<<︒BF ()Rt Rt HL BCF BEF ≌EF CF =DE AC =AF CF AC -=AF EF DE -=AF EF DE +=AF EF DE -=090β︒<<︒∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，即，解得，∴；当时，同理，求得．综上，的长为或．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．912BC AC ==，15AB ==912BE DE ==，15DB =ABC DBE ∠=∠ABC ABE DBE ABE ∠-∠=∠-∠CBE ABD ∠=∠CBE BAC ∠=∠ABD BAC ∠=∠DB AC ∥A D ∠=∠A D AFD ABD ∠=∠=∠=∠AG FG =DG BG =15DF AB ==1215DE EF EF +=+=3EF CF ==1239AF =-=90180β︒<<︒15AF BD ==AF 915。

2023年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的。

1．（4分）已知线段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列各式中一定正确的是（）A．2a＝3b B．a+b＝5C．D．2．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．3．（4分）已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是（）A．，B．||＝2||C．D．4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为β，那么tanβ的值是（）A．2B．C．D．5．（4分）将抛物线y＝x2+3向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A．y＝x2B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2+3D．y＝（x﹣3）2+36．（4分）已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3、BC＝4．以C为圆心作⊙C，如果圆C与斜边AB有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（）A．B．C．D．．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段a＝2，b＝8，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝．8．（4分）已知一个三角形的三边之比为2：3：4，与它相似的另一个三角形ABC的最小边长为4厘米，那么三角形ABC的周长为厘米．9．（4分）计算：＝．10．（4分）如果抛物线y＝ax2的开口方向向下，那么a的取值范围是．11．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的对称轴是．12．（4分）正六边形的一个外角的度数为°．13．（4分）已知圆O的半径为1，A是圆O内一点，如果将线段OA的长记为d，那么d的取值范围是．14．（4分）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为．（不要求写出定义域）15．（4分）如图，在△ABC中，已知线段EF经过三角形的重心G，EF∥AB，四边形ABFE 的面积为15cm2，那么△ABC的面积为cm2．16．（4分）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于．17．（4分）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为．18．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°．按下列步骤作图：步骤1：以点B为圆心，小于BC的长为半径作弧分别交BC、AB于点D、E；步骤2：分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M；步骤3：作射线BM交AC于点F．那么线段AF的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（3，0）、B（2，﹣3）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为﹣2，试求点E的坐标．21．（10分）如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．22．（10分）如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB．已知平台斜坡CD的坡度，坡长为6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角为45°，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角为60°，求灯的顶端A与地面DE的距离．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD、ACED都是平行四边形，M是边CD的中点，联结BM并延长，分别交AC、DE于点F、G．（1）求证：BF2＝FM•BG；（2）联结CG，如果，求证：∠BGC＝∠BAC．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B （2，0），将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，得到的新图象记为“图象U”，“图象U”与y轴交于点C．（1）写出“图象U”对应的函数解析式及定义域；（2）求∠ACB的正切值；（3）点P在x轴正半轴上，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，交“图象U”于点F，如果△CEF与△ABC相似，求点P的坐标．25．（14分）如图1，在△ABC中，．点D、E分别在边AC、AB上（不与端点重合），BD和CE交于点F，满足∠ABD＝∠BCE．（1）求证：CD2＝DF•DB；（2）如图2，当CE⊥AB时，求CD的长；（3）当△CDF是等腰三角形时，求DF：FB的值．2023年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的。

2023年广西贺州市中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，数轴上点Q所表示的数可能是（）-D．0.4A．1.5B．2.6C．0.7【答案】C【分析】先根据数轴上Q点的位置确定Q的取值范围，再根据每个选项中的数值进行判断即可．【详解】解：由图可知：点Q在1-的右边，0的左边，∴点Q表示的数大于1-，小于0，故选：C．【点睛】本题考查的是数轴的特点，能根据数轴的特点确定出Q的取值范围是解答此题的关键．2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为=．下列判断正确的是（）2πC rA ．2是变量B ．π是变量C ．r 是变量D ．C 是常量【答案】C【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．【详解】解：2与π为常量，C 与r 为变量，故选：C ．【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．4．点(4,3)-往右平移一个单位长度后坐标为（）A ．(5,3)-B ．(3,3)-C ．(4,2)-D ．(4,4)-【答案】A【分析】根据点的坐标平移规律：横坐标（左减右加）、纵坐标（上加下减）可得答案．【详解】解：点的坐标平移规律：横坐标（左减右加）、纵坐标（上加下减）可得：点(4,3)-向右平移两个单位长度得到的坐标为()413+-，，即()53-，故答案选A ．【点睛】本题主要考查点的坐标平移，熟练掌握点的坐标平移规律是解题关键．5．如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞从物体的三视图中即有圆形又有正方形的物体可以堵住空洞，然后对各选项的视图进行一一分析即可．【详解】解：∵既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞，∴从物体的三视图来看，三视图中具有圆形和方形的可以堵住带有圆形空洞和方形空洞的小木板，A ．正方体的三视图都是正方形，没有圆形，不可以是选项A ；B ．圆柱形的直径与高相等时的正视图与左视图都是正方形，俯视图是圆形，具有圆形与正方形，可以是选项B ，C ．圆锥的正视图与左视图都是三角形，俯视图数圆形，没有方形，不可以是选项C ；D ．球体的三视图都是圆形，没有方形，不可以是选项D ．故选择B ．【点睛】本题考查物体能堵住圆形空洞和方形空洞，实际上是考查物体的视图，掌握物体三视图中找出具有圆形和方形的物体是解题关键．6．若O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为3，那么直线与O 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定【答案】B【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可．【详解】解：∵O 的半径为3，又∵圆心O 到直线l 的距离为3，∴直线l 与O 相切．故选：B ．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，设O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，当d r <时，直线与圆O 相交；当d r =时，直线与圆O 相切；当d r >时，直线与圆O 相离．7．如图，直线a b ∥，将含30︒角的直角三角板的直角顶点放在直线b 上，已知140∠=︒，则2∠的度数为（）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】D【分析】根据三角形外角的性质结合平行线的性质，即可求解．【详解】如图，∵140∠=︒，30A ∠=︒，∴3170A ∠=∠+∠=︒．A ．23x y =⎧⎨=⎩B ．x y ⎧⎨⎩【答案】A【分析】根据一次函数32y x =象与7y kx =+的图象相交于点【详解】解：∵一次函数32y =∴当2x =时，3y =，∴()23A ，，∵一次函数32y x =的图象与y ∴方程组732y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的解是x y ⎧⎨⎩故选：A ．A ．(183)40x x -=B ．(202x -【答案】D【分析】设AB 的长为x 米，则AD 为40平方米列出方程即可．【详解】解：设AB 的长为x 米，则(203)40x x -=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，12．将边长为3的等边三角形ABC 在AB 边上，且点E 与点B 重合）．第一次将次将11E FD △以点1D 为中心旋转至旋转至222D E F △的位置，…，按照上述办法旋转，在此过程中DEF 的内心O 点运动轨迹的长度是（A ．43πB ．83π【答案】D∵点O等边三角形DEF的内心，则∴1122OEF DEF DFE ∠=∠=∠=∴OE OF=，∵OM EF⊥，∴1122BF BE EF===，则OF=由等边三角形ABC边长为3，等边三角形F，1D为旋转中线旋转，旋转角均为……可知，点O每次旋转的半径为3 3240︒，120︒，120︒，240︒，∴在此过程中DEF的内心O点运动轨迹的长度为：故选：D．【点睛】本题考查旋转的性质，弧长公式，等边三角形的性质，理解内心是解决问题的关键．二、填空题13．当x_________时，1x-有意义．【答案】1≥【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．【详解】解：根据题意得：1x-≥【答案】15【分析】根据众数的定义：众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据，找出统计图【答案】(2,4)或(8,1)【分析】由题意可得()4,2A ，B 情况进行解答，一是点P 在点A 梯形面积，设出坐标，构造方程求解即可，二是点只是表示线段的代数式不同，构造方程求解，舍去不符合题意的解．【详解】解：联立128y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：作PN x ⊥轴于N ，AM x ⊥轴于如图：由对称性得，OA OB =，OP OQ =，三、解答题19．计算：2023218(2)|4|5-+÷---⨯．【答案】19-【分析】按照有理数的运算法则和运算顺序进行计算即可．【详解】解：原式18445=-+÷-⨯1220=-+-19=-．∠的平分线，交(1)请用尺规作C(2)连接AD，BD，若AC【答案】(1)见解析(2)52（2）连接AD，BD，OD 是直径ABACB ADB︒90∴∠=∠=在Rt ABC△中，AC=22∴=+= AB BC AC∠，CD平分ACB∴∠=∠，ACD BCD(1)【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的=米，即可得出塔高点C处测得塔顶端A的仰角为α，点C到点B的距离BC a(1)求证：四边形BEFM为菱形；(2)猜想CE和MN的数量关系，并说明理由；(3)4=AD，求线段CE的长和【答案】(1)见解析=，见解析(2)CE MNABE AFE△≌△，∴∠=∠=，90AFE ABE︒EF BM∴∠=∠=，即GNF AFE︒90在矩形ABCD中FC⊥(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)设点P 的横坐标为m ，请用含m 的式子表示线段PD 的长；(3)如图2，连接OP ，交线段BC 于点Q ，连接PC ，若△面积为2S ，则12S S 是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．【答案】(1)(1,0),(3,0),(0,3)A B C -(2)23PD m m =-+1211S S 22PQ CH OQ =⋅=⋅，121S 21S 2PQ CH PQ OQOQ CH ⋅==⋅∵PD y ∥轴，DPQ COQ PDQ ∴∠=∠∠，。

洛阳市2024 年中招模拟考试（一）数学试卷注意事项：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．2．试题卷上不要答题，请用0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1. 的绝对值是（）A. 3B.C.D.【答案】A解析：解：，的绝对值是3，故选：A．2. 天地正清明，最美四月天．2024年清明假期，河南省文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．三天假期，河南省接待国内游客1906.9万人次，旅游总收入112.5亿元．与2023年同期相比，接待人次增长9.9%，旅游总收入增长20.6%．数据“112.5亿”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】D解析：解：数据亿用科学记数法可表示为：，故选：D．3. 我国古代数学家刘徽利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A解析：解：由几何体可得，从左边看到的平面图形为，故选：．4. 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：A.，运算错误，不符合题意；B.，运算错误，不符合题意；C.运算正确，符合题意；D.运算错误，不符合题意．故选：C．5. 如图，已知，于点F，平分，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】D解析：设与相交于点G，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴．故选：D．6. 关于x的方程有两个不相等的实数根，m的值可以是（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A解析：解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，，解得：．故的值可以为，故选：A．7. 如图，四边形内接于，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D解析：∵四边形内接于，∴，∵，∴，∵与所对的弧都是，∴．故选：D．8. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：龙门石窟、洛邑古城、龙门海洋馆、洛阳博物馆．为了解学生想法，校方进行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择洛邑古城的有360人，那么选择龙门石窟的有（）A. 120人B. 240人C. 360人D. 480人【答案】B解析：解：学生总数为：（人），选择龙门石窟的人数为：（人），故选：B．9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y 轴上时，点的坐标为（）A. B. C. D. (7，0)【答案】A详解】解：∵，∴，∴，∴；∵C是斜边的中点，∴，∵，∴在中，，由平移的性质可得，，∴，∵点E为的中点，∴，在中，，∴，∴，故选：A．10. 如图1，点E在正方形的边上，且点P沿从点B运动到点D，设B，P 两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为则最高点N的纵坐标a的值为（）A. 6B.C.D.【答案】C解析：连接，∵四边形是正方形，是其对角线，∴，又，∴，∴，，连接交于点，（三角形两边之和大于第三边）．当点P运动到时，，解得，．连接，则．在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，，故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11. 若一次函数（b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____ （写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）解析：解：∵一次函数（b是常数）的图象经过第二、三、四象限，∴．故答案为：（答案不唯一）．12. 不等式组的解集为__________．【答案】解析：解：，由①得，，由②得，，故不等式组的解集为．故答案为：．13. 人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是_______．【答案】##解析：解：一对夫妇的第一个孩子有女孩和男孩两种情况，所以一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是，故答案为：．14. 如图，在中，，，以点A 为圆心，边的长为半径作交边于点 E ，以边 为直径作半圆交边于点 D ，则图中阴影部分的面积为_______．【答案】解析：∵，∴，∴，∴．故答案为：．15. 在中，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为_________．【答案】或解析：解：当，且点在上方时，如图所示，过点作的垂线，垂足为，∵，且，∴四边形是正方形，∴，∴．在中，．当，且点在下方时，如图所示，过点作的垂线，垂足为，∵，且，∴四边形是正方形，∴，∴．在中，综上所述：的长为或．故答案为：或．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16. （1）计算：；（2）化简：【答案】（1）；（2）解析：解：（1）；（2）．17. 某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为310元，370元，580元．洛洛打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．型平均里程（）中位数（）众数（）号A199195C227225225（1）洛洛已经对A，C型号汽车数据统计如表，请继续求出B型号汽车行驶里程的平均数、中位数和众数；（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的租车建议．【答案】（1）平均数是；中位数为；众数为（2）选择型号汽车（1）解：型号汽车行驶里程的平均数是：，把这20个数据按从小到大的顺序排列，第10，11个数据均为，所以中位数为；出现了六次，次数最多，所以众数为；（2）选择型号汽车，理由如下：型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车．18. 如图，四边形的顶点B，C在x轴上，顶点D在y轴上，，顶点A的坐标为，顶点B的横坐标．双曲线经过点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹)；（3）上问中所作的角平分线与x轴交于点E，若点C的坐标为，求证：四边形是菱形．【答案】（1）反比例函数的解析式为（2）见详解（3）见详解（1）解：将点代入双曲线，得，，解得：，∴反比例函数的解析式为；（2）（3），，，，，，，，，是的平分线，，，，，，，∴四边形是平行四边形，，∴平行四边形是菱形．19. 随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：A超市B超市优惠方案所有商品按七五折出售购物金额每满100元返40元（1）当购物金额为90元时，选择超市（填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择超市（填“A”或“B”）更省钱；（2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：优惠率=购物金额-实付金额）．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．【答案】（1）（2）当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱（3）在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大（1）解：当购物金额为90元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额90元，∵，∴当购物金额为90元时，选择超市更省钱；当购物金额为120元时，在超市购物实付金额(元)，在超市购物实付金额(元)，，∴当购物金额为120元时，选择超市更省钱．故答案为：．（2）当时，在超市购物实付金额；当时，在超市购物实付金额；当时，在超市购物实付金额；∴在超市购物实付金额，当时，；当时：；当时：若，解得；若，解得；若，解得．综上，当或时，在超市购物更省钱；当或时，在超市购物和超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当时，在超市购物更省钱．（3）在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．举例说明如下：当在超市购物金额为100元时，返40元，实付金额为(元)，优惠率为；当在超市购物金额为160元时，返40元，实付金额为(元)，优惠率为，∴在超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．20. 风是一种可再生能．利用风能进行发电既可以提供持续的电力供应，又可以减少温室气体排放，抑制全球气候变暖，还可以增加能供应的多样性，降低对传统能的依赖．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶，，两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底O水平距离为米的E处，测得塔顶部A的仰角．，风叶的视角，求风叶的长度（结果精确到．参考数据：）【答案】风叶的长度约为解析：如图，自点B作，垂足为点F，过点A作，垂足为点G．∵，∴四边形是矩形，∴．由已知，∴，在中，．∵，∴，又，则，∴，则．在中，，，∴，∴，在中，，∴，则，∴．答：风叶的长度约为．21. “急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离0234竖直高度0根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小．【答案】（1）（2）（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为：．∴该运动员竖直高度的最大值为米．设函数关系式为：．∵经过点，∴，解得：．∴函数解析式为：．（2）取．第一次训练时，．解得：(不合题意，舍去)，．∴．第二次训练时，．解得：(不合题意，舍去)，．，，．22. 如图1，⊙O与直线l相离，过圆心O作直线l的垂线，垂足为P，且交于两点（M在之间）．我们把点N称为关于直线l的“远望点”，把的值称为关于直线l的“远望数”．（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，过点E画垂直于x轴的直线a，则半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是________，关于直线a的“远望数”为________；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C坐标为，以点C为圆心、长为半径作．若与直线相离，点O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是求直线的函数表达式．【答案】（1）（2）直线的函数表达式为（1）根据“远望点”定义，可得半径为1的关于直线a的“远望点”的坐标是，∴关于直线a的“远望数”为，故答案为：（2）设直线的解析式为连接并延长，交于H，交直线于点G，过C作轴于点D，设∵点C坐标为，∵O是关于直线的“远望点”，且关于直线的“远望数”是，即∵点C坐标为，轴于点D，∴即同理得即，∴，解得，∴直线的函数表达式为23. 综合与实践课上，老师让同学们用“木工尺”探究三等分任意角的方法．如图1为“木工尺”示意图，它是由两条宽度相同且互相垂直的直尺组成的，其中．下面是同学们的探究过程，请仔细阅读，并完成相应的任务，【操作实践】如图2，小明画的平行线，使得与的距离等于尺宽，在上取点E，使等于尺宽，调整“木工尺”的位置，使得经过点O，点D落在上，点E落在上，则三等分小明过点D作，垂足为点F，由题意得：，∴（）．∵，∴垂直平分，∴，∴平分（），∴．∴．∴三等分．任务：（1）请在括号内填写推理的依据．【类比迁移】爱动脑筋的小华受到上述方法的启发，想到了通过折叠矩形纸片三等分一个已知角的方法，他的前两个操作步骤如下（如图3）：步骤1：在矩形纸片上折出任意角，将矩形对折，折痕记为，再将矩形对折，折痕记为，展开矩形；步骤2：将矩形沿着折叠，使得点B的对应点落在上，点M的对应点落在上．任务：（2）连接，试证明是的一条三等分线．【拓展应用】（3）在上述小华折叠的条件下，若，且三点共线，请直接写出的长．【答案】【1】到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；垂直平分线的性质【2】见解析【3】解析：（1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；根据垂直平分线的性质．故答案为：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；垂直平分线的性质（2）连接，过点B作于点J，过点作于点K，根据折叠的性质，得，，，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴平分，∴，∴，故是的一条三等分线．（3）过点作于点T，根据(2)证明，得到，∵，且三点共线，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴．。