名师一号北师大高中数学必修双基限时练 二次函数的性质

《二次函数的性质》基础练习双辽一中学校张敏老师1.下列区间中，使『=一2#+”增加的是（）A.RB. [2, +oo）「1 、z hC. [-, +°°）D. （―8,-]2.函数y= ax + bx+ 3在（―°°, 一1]上是增加的，在[―1, +8）上是减少的，则（）A.方＞0 且日〈0B. 5=2日〈0C. b=2Q0D.臼，方的符号不定3.函数y=~^+4x的增区间是（）A. [-2, +oo）B. [2, +oo）C. （一8, -2]D. （一8, 2]4.二次函数y=—x+bx+c的图像的最高点为（一1, —3）,则方与c的值是（）A. b=2, c=4B. b=2, c=~4C.力=—2, c=4D.力=—2, c=—45.函数A%）=/+2^+l, %e[-2,2],则函数（）A.有最小值0,最大值9B.有最小值2,最大值5D.有最小值1,最大值5C.有最小值2,最大值96.某生产厂家生产总成本y(万元)与产塑*件)之间的解析式为卩=#—85“若每件产品售价25万元，则该厂所获利润最大时生产的产品件数为()A. 35B. 45C. 55D. 657.函数A%)=4-%(%-2)的顶点坐标和对称轴方程分别是()A. (2, 4), x=2B. (1, 5), x=lC. (5, 1), x=\D. (1, 5), x=58.二次函数y=ax—^x+1有最小值一1,则曰的值为()A.边B. 一辺C. 土迈D. ±29.已知二次函数y= f^在区间(一8, 5］上单调递减，在区间［5, +<-)上单调递增，则下列各式成立的是()A./(-2)</(6)</(11)B./(11)</(6)</*(-2)C.f(6)<f(ll)<f(—2)D.f(ll)〈f(—2)<f(6)10.函数—#+必的单调递增区I'可是____________ ・11.__________________________________________ 函数y=3,—6丸+1,人€ ［0, 3］的最大值是__________________________________________ ,最小值是_________ .12.已知函数f(x)=4x-kx~8在［2, 10］±具有单调性，则实数k的取值范围是13.已知抛物线y=ax与直线尸kx+l交于两点，其中一点的坐标为(1,4),则另一交点的坐标为________ •14.已知函数f{x) =x +2白/—3.⑴如果f@+l)—f@)=9,求仪的值；(2)问曰为何值时，函数的最小值是一4?15.已知二次函数代力=/+2JV+C(曰H0)的图像与y轴交于点(0, 1),且满足/*(—2 +x) =f\—2 — x) (xGR)・(1)求该二次函数的解析式；(2)3知函数在1, +®)上是增加的，求实数方的取值范围.【答案】11. 10, -212. {k|&W16 或&280}14. (1) 2； (2) ±1 15.【解析】1 ・由 y=—2(x —1)2+|, 可知函数在£］上是增加的.2. 因为函数y= ax + bx+ 3在(一8, —1］上是增加的，在［―1, +8)上是减少的， 所以臼＜0,且在对称轴x=_± = —1处取最大值，故方=2水0,选B.3. 函数y=—,+4x=—匕一2)'+4,则对称轴是x=2,所以当“W2时，函数是增加 的./) F 亍 4 c4. V-Z + bx+ c= - (^-~)2+4 5高点为(一1, -3),(b 一 b=_2,故选D. c=—4.I 4〜5. 由于 f(x) =x +2才+1 = (x+1)2,图像的对称轴是x= — 1,所以f(x)在%=-1处収得最小值且A-l)=0.又代一2) =1, f ⑵=9. 因此函数的最大值等于9.6. 生产 x 台时,所获利润 fC¥)=25x-y=-/+110x=-a-55)2+3 025.所以当JV =55时，fd)取最大值，即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55.答案和解析1. D2. B3. D4. D 10. (-oo, 2]5. A6. C7. B & C 9.C解得丿/>'+4c 13.7.f(x) =4 —2) = ~x +2卄4=— (x—1)'+5.・・・函数fd)的图像的顶点坐标为仃，5),对称轴方程为x=l.答案：B8.由题意；]「= _],・・・/=2,・・・日=±花.9.法一：由二次函数的两个单调区间知，该二次函数的对称轴为x=5,离对称轴越近函数值越小.法二：由题意知，该二次函数图像的对称轴为x=5.・•・ f(5+x)=f(5-x).・•・ f(_2) = f(5-7) =f(5+7) = A12)・•・・f(0在[5, +8)上单调递增,・•・A6XA11XA12).・•・f(6)<All)<A-2).10.•/y= — x +4x=— (x—2尸+4,・・・函数y= —,+4x的单调递增区间为(一I 2].11.y=3G~1尸一2,该函数的图像如下.从图像易知：/'(^)ma X=/'(3) =10, f(x)min=f(l) =—2.12.函数f\x)的对称轴为x=g,k k・••齐2或訐10,・・・£W16或炉80.\y=\x,13.把(1,4)的坐标代入y=/与y=kx+1中得$=4, k=3.所以由,ly=3x+l14.(1) V f(<a+1) — f(臼)=(自+1)~ + 2日(曰+1) —3— (£+2孑—3)=4&+1=9, /• a=2.4X1解得｛宀也-4,得a=\, A a= ± 1.15.(1)作出函数的图像，如图(1),开口向上，对称轴为x=l, 所以当尸1时,Jinin = —4；当x=—2时，％ax=5.(2)作出函数的图像，如图(2),开口向下，对称轴为x=~\. 所以当x= 1时，%ax= — 1 ；当X=2时，幷血=—5.(3)作出函数y=-x(2-x) =y-2x在吋的图像，如图⑶. 可以看出：当”=1吋，％山=一1,无最大值.所以，当无20时，函数的取值范围是—1.。

双基限时练(四)一、选择题1．如图所示的三棱锥的主视图为()解析由三视图的画法，可知答案为B.答案 B2．下列说法正确的是()A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形解析球的三视图与物体的摆放位置无关．答案 C3．若一几何体的主视图和左视图均为等腰梯形，则这个几何体可能是()A．圆锥B．圆柱C．圆台D．球答案 C4.四个正方体按如图所示的方式放置，其中阴影部分为我们观察的正面．则该物体的三视图正确的为()解析由三视图的画法，可知答案为B.答案 B5．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，高为3，则其左视图的面积为()A．6 B．3C．3 3 D．6 3解析由三视图的画法可知，该几何体的左视图是一个矩形，其底面边长为2sin60°＝3，高为3，∴面积S＝3 3.答案 C6．如图所示的几何体是一个四棱柱截去一个角后剩余的几何体，则此几何体的主视图正确的是()解析由三视图的画法，可知答案为C.答案 C二、填空题7．给出下列命题：①如果一个几何体的三个视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三个视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确的是________．(将正确的全都写在横线上)解析对于①由于球的三个视图也是完全相同的，故①不对；对于④，主视图与左视图都是等腰梯形的除圆台之外，还有棱台，故④不对；对于②，当圆柱倒置时，如图，其主视图与俯视图均为矩形，故②不正确．答案③8．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．②④C．①③D．①④解析①中的三个视图均相同，③中主视图为与左视图不同，只有②④中的左视图与主视图相同．答案 B9．如图是4个三视图和4个实物图，请将三视图与实物图正确配对________________．解析由三视图的画法可知．答案(1)→B，(2)→A，(3)→C，(4)→D三、解答题10．观察下列实物体，画出它们的三视图．解(1)三视图如下：(2)三视图如下：11．如图所示，是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和它的主视图和左视图(单位：cm)．请在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．解依据三视图的绘图原则，可作出该几何体的俯视图如图．12．如图，直角梯形ABCD绕底边AD所在直线EF旋转，在旋转前，非直角的腰的端点A可以在DE上选定．当点A选在射线DE上的不同位置时，形成的几何体的大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较其异同点．解(1)当点A在图①射线DE的位置时，绕EF旋转一周所得几何体为底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成，其三视图如图②.(2)当点A 位于如图③所示位置时，其旋转所得几何体为圆柱中挖去一个同底的圆锥，其三视图如图④所示．思 维 探 究13．已知一个正三棱锥S －ABC 的棱长均为a ，分别求出它的三个视图的面积．解 ∵S －ABC 为正三棱锥，∴S 在底面ABC 上的射影为△ABC 的中心O ，又BO ＝a sin60°×23＝33a ，∴SO ＝SB 2－BO 2＝a 2－a 23＝63a .∴S 主视图＝12×a ×63a ＝66a 2，S 左视图＝12×a ×sin60°×63a ＝24a 2，S 俯视图＝12×a 2sin60°＝34a 2.。

2-4-2 二次函数的性质基础巩固一、选择题1．函数y＝－x2＋1在下列哪个区间上是增加的()A．[0，＋∞) B．(－∞，0]C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)[答案] B[解析]y＝－x2＋1中二次项系数小于0，图像开口向下，易知递增区间为(－∞，0]．2．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是()A．最小值是8，无最大值B．最大值是－2，无最小值C．最大值是8，无最小值D．最小值是－2，无最大值[答案] C[解析]因为二次函数开口向下，所以当x＝－1时，函数有最大值8，无最小值．3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc＝( )A ．－6B ．11C ．－14 D.14 [答案] C[解析] ∵f (x )图像过点(0,2)，∴c ＝2. 又顶点为(4,0)，∴－b2a ＝4，8a －b 24a ＝0. 解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－14.4．若f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)[答案] A[解析] ∵对称轴x ＝1－a3，又开口向上，在(－∞，1]上是减函数．∴1－a3≥1，∴a ≤－2.5．二次函数y ＝f (x )的图像过原点，且顶点为(－2,8)，则f (x )＝( )A ．－2x 2－8xB ．2x 2－8xC ．2x 2＋8xD ．－2x 2＋8x[答案] A[解析] 由题意设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋8，又∵函数图像过原点，∴4a ＋8＝0，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2－8x .6．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，－0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)[答案] C[解析] 此函数图像的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，在[0,2]上递增，如图所示，正确答案为C.二、填空题7．(2012·石家庄高一检测)已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[2,10]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．[答案] k ≤16或k ≥80[解析] 函数f (x )的对称轴为x ＝k 8， ∴k 8≤2或k8≥10， ∴k ≤16或k ≥80.8．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．[答案] (－14，14)[解析] 把(1,4)的坐标代入y ＝ax 2与y ＝kx ＋1中得a ＝4，k ＝3.所以由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝14.三、解答题9．(2012·九江高一检测)已知二次函数y ＝－4x 2＋8x －3. (1)画出它的图像，并指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)求函数的最大值；(3)写出函数的单调区间．(不必证明)[解析] (1)图像如图所示，该图像开口向下；对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为(1,1)．(2)y ＝－4(x －1)2＋1，故函数的最大值为1. (3)函数的单调增区间是(－∞，1]， 单调减区间是[1，＋∞).能 力 提 升一、选择题1．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[答案] A[解析] f (x )＝4x 2－mx ＋5在[m8，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞)⊆[m8，＋∞)，即－2≥m8，∴m ≤－16. ∴f (1)＝9－m ≥25.2．某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速自动注水(即t 分钟自动注水2t 2升)，当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供________人洗浴．( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 设t 分钟后水箱内的水量为y 升，则由题设，知y ＝200－34t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1722＋200－2892(t >0)，当t ＝172＝8.5分钟时，y 取最小值，此时共放浴用水34×8.5＝289升，而28965＝42965，故一次至多可供4人洗浴．二、填空题3．已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －9顶点为A ，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点A ，且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点，则这个二次函数的解析式为________．[答案] y ＝12x 2－32x[解析] ∵y ＝－2x 2＋8x －9＝－2(x －2)2－1，∴A (2，－1)．设所求二次函数的解析式为y ＝ax (x －3)，则由题意知－1＝a ×2(2－3)，即a ＝12.∴所求解析式为y ＝12x 2－32x.4．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为________．[答案] 3或－1[解析] 由图像知f (3)＝0， ∴m ＝3.由－x 2＋2x ＋3＝0得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝3或－1. 三、解答题5．根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图像过A (0,1)、B (1,2)、C (2，－1)三点； (2)图像顶点是(－2,3)，且过点(－1,5)；(3)图像与x 轴交于(－2,0)、(4,0)两点，且过点(1，－92)． [解析] (1)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知函数的图像经过(0,1)、(1,2)、(2，－1)三点．得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1a ＋b ＋c ＝24a ＋2b ＋c ＝－1，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝3c ＝1，∴函数的解析式为y ＝－2x 2＋3x ＋1.(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，其顶点的坐标是(h ，k )，∵顶点的坐标是(－2,3)，∴y ＝a (x ＋2)2＋3. 又∵图像过点(－1,5)，∴5＝a (－1＋2)2＋3. ∴a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3， ∴y ＝2x 2＋8x ＋11.即函数的解析式为y ＝2x 2＋8x ＋11.(3)设二次函数的解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)， 因为二次函数的图像交x 轴于(－2,0)、(4,0)两点， 且过点(1，－92)，设y ＝a (x ＋2)(x －4)， 则有－92＝a (1＋2)(1－4)，∴a ＝12. ∴所求的函数解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)， 即y ＝12x 2－x －4.6．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图像与x 轴总有交点．(1)求m 的取值范围；(2)若函数图像与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．[解析] (1)当 m ＋6＝0即m ＝－6时， 函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点； 当m ＋6≠0即m ≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，即当m ≤－59且m ≠－6时，抛物线与x 轴有一个或两个交点， 综上可知，当m ≤－59时，此函数的图像与x 轴总有交点． (2)设x 1、x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根， 则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3，当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意， ∴m 的值是－3.7．设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，且f (x )在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a 的取值范围．[解析] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a24，f (x )≥0在x ∈[－2,2]恒成立的充分条件是f (x )在x ∈[－2,2]上的最小值非负．(1)当－a2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上是增函数，最小值为f (－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤73，这与a >4矛盾，此时a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )在[－2,2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，3－a －a 24≥0⇒a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2. 结合－4≤a ≤4，可知此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上是减函数，最小值为f (2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7.∵a<－4，∴－7≤a<－4.由(1)(2)(3)可知，a的取值范围是[－7,2]．。

双基限时练(十四)二次函数的性质与图象基础强化1．下列各个函数在(1,2)上单调递减的是()A．f(x)＝x2＋2x－1B．f(x)＝－x2＋4x＋1C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝－x2＋2x－1解析D选项中的二次函数对称轴x＝1，且开口向下．故它在(1,2)上单调递减．答案 D2．某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y＝－112x 2＋23x＋53，则该运动员的成绩是()A．6 m B．10 mC．8 m D．12 m解析当y＝0时，－112x2＋23x＋53＝0，则x＝10.答案 B3．在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是()解析当m>0时，函数y＝mx＋m递增，且与y轴交于正半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2开口向下，对称轴在y轴右侧．当m<0时，函数y＝mx＋m递减，且与y轴交于负半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2开口向上，对称轴在y 轴左侧．满足上述条件的只有D 选项．答案 D4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有以下结论：①a ＋b ＋c <0；②a －b ＋c >1；③abc >0；④4a －2b ＋c <0；⑤c －a >1，其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤解析 由图象可知f (1)<0，f (－1)>1， ∴①②正确．∵－b2a ＝－1，且a <0，∴b ＝2a <0. ∵f (0)＝c ＝1，∴③正确．∵f (－2)＝f (0)＝1，∴f (－2)＝4a －2b ＋c >0， 故④不正确．∵c ＝1，a <0，∴c －a >1，∴⑤正确． 答案 C5．若二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间上的最大值为4，则a 的值为( )A ．－1B.38C ．－1或38D.38或－3解析 f (x )的对称轴为x ＝－1，当a >0时，f (x )在x ＝2处取得最大值， ∴f (2)＝4a ＋4a ＋1＝4. ∴a ＝38.当a <0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值， ∴f (－1)＝a －2a ＋1＝4， ∴a ＝－3. 答案 D6．若二次函数y ＝x 2－3x －4的定义域为，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围为( )A ．B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，＋∞ 解析 y ＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254， ∵f (0)＝f (3)＝－4，∴m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.答案 C7．抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两个交点为A ，B ，顶点为C ，则△ABC 的面积为________．解析 由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 得点A (－3,0)，B (1,0)，C (－1,4)，所以|AB |＝|1－(－3)|＝4，点C 到边AB 的距离为4，所以S△ABC＝12×4×4＝8.答案88．已知二次函数的图象开口向上，且满足f(2013＋x)＝f(2013－x)，x∈R，则f(2011)与f(2014)的大小关系为________．解析由题意，知二次函数图象的对称轴为x＝2013.∵|2011－2013|>|2014－2013|，∴f(2011)>f(2014)．答案f(2011)>f(2014)能力提升9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)，若函数f(x)的定义域和值域为，则实数a的值为________．解析∵f(x)的对称轴x＝a，∴f(x)在上单调递减．∴f(a)＝1.∴a2－2a2＋5＝1.∴a2＝4.∵a>1，∴a＝2.答案 210．已知二次函数y＝－x2＋4x＋3.(1)指出其图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)说明其图象是由y＝－x2的图象经过怎样的平移得到的．解y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7.(1)开口向下；对称轴方程为x＝2；顶点坐标为(2,7)．(2)先将y＝－x2的图象向右平移2个单位，然后向上平移7个单位，即可得到y＝－x2＋4x＋3的图象．11．已知函数f(x)＝x2－2ax＋3a2－1(a>0,0≤x≤1)．(1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的最小值是－78，求此时f (x )的最大值． 解 (1)f (x )＝(x －a )2＋2a 2－1.当a ≥1时，函数f (x )在区间上是减函数， 故f (x )的最大值为f (0)＝3a 2－1， f (x )的最小值为f (1)＝3a 2－2a . 当0<a <1时，f (x )的最小值为f (a )＝2a 2－1， f (x )的最大值为f (0)，f (1)中的较大者． 设f (1)>f (0)，即3a 2－2a >3a 2－1⇔a <12.因此，当0<a <12时， f (x )的最大值为3a 2－2a ；当12≤a <1时，f (x )的最大值为3a 2－1. (2)依题意，得⎩⎨⎧a ≥1，3a 2－2a ＝－78，或⎩⎨⎧0<a <1，2a 2－1＝－78.可以解得a ＝14. 因为0<14<12，故此时f (x )的最大值为3a 2－2a . 当a ＝14时，为3×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－516. 12．已知函数f (x )＝－x 2＋(3＋k )x ＋3，其中k 为常数． (1)若f (2)＝3，求函数f (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，设g (x )＝f (x )－mx ，若g (x )在区间上是单调函数，求实数m 的取值范围；(3)是否存在k 使得f (x )在上的最大值是4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)f (2)＝－4＋2(3＋k )＋3＝3， ∴k ＝－1.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3.(2)g (x )＝－x 2＋(2－m )x ＋3，其对称轴为x ＝2－m 2， ∵g (x )在上是单调函数， ∴2－m 2≥2，或2－m2≤－2. ∴m ≤－2，或m ≥6. (3)f (x )的对称轴为x ＝3＋k2， ①当3＋k2≤－1，即k ≤－5时，f (x )在上单调递减． ∴f (－1)＝－1－(3＋k )＋3＝4. ∴k ＝－5.②当－1<3＋k2<4，即－5<k <5时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3＋k 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋k 2，4上单调递减，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3＋k 2＝－(3＋k )24＋(3＋k )22＋3＝4. ∴k ＝－1，或k ＝－5(舍去)． ∴k ＝－1.③当3＋k2≥4，即k ≥5，f (x )在上单调递增， ∴f (4)＝－16＋4 (3＋k )＋3＝4，k ＝54(舍去)． 综上所述，k ＝－5，或k ＝－1.品 味 高 考13．若对于一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得ax 2－2x ＋2>0都成立，则a 的取值范围为( )A ．a ≥12B ．a >12 C ．a ≥－4 D ．a >4 解析 a >2x －2x 2＝－2·1x 2＋2x .设1x ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴令f (t )＝－2t 2＋2t . ∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，12.∴－2·1x 2＋2x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为12. ∴a >12.答案∴－2·1x 2＋2x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为12.∴a >12.。

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课时提能演练(十一) / 课后巩固作业(十一)(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.(2018·张掖高一检测)函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称,则( )(A)m=-2 (B)m=2(C)m=-1 (D)m=12.二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时，y的值为( )（A）-7 （B）1 （C）17 （D）253.(2018·安溪高一检测）如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间（-∞,4］上是减少的，那么实数a的取值范围是( )（A）a≤-3 （B）a≥-3 （C）a≤5 （D）a≥54.若函数f(x)=x2+ax+b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)( )(A)在(-∞,2］上是减少的，在［2,+∞)上是增加的(B)在(-∞,3)上是增加的(C)在［1,3］上是增加的(D)单调性不能确定二、填空题（每小题4分，共8分）5.(2018·蚌埠高一检测）函数y=x2+ax+3(0<a<2)在［-1，1］上的最大值是_____,最小值是______.6.已知关于x的函数f(x)=ax2+bx+c（a,b,c为常数），且ab≠0，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x2)的值等于______________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.(2018·淮安高一检测）已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间［2a,a+1］上不单调，求a的取值范围.8.（易错题）某商场以每件42元的价格购进一种服装,根据试营销量得知:这种服装每天的销售量t(t＞0,t∈N)件与每件的销售价x(x＞42,x∈N)元之间可看成是一次函数关系:t=-3x+204.(1)写出商场每天卖这种服装的销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的总销售所得与购进这些服装所花费金额的差);(2)通过对所得函数关系式进行配方,指出:商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?【挑战能力】[:（10分）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数且a≠0)满足条件:f(2)=0且方程f(x)=x有等根.(1)求f(x)的解析式;(2)问是否存在实数m、n（m＜n）使f(x)的定义域和值域分别为［m,n］和［2m,2n］？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选A.函数f(x)=x2+mx+1的图像的对称轴为x=-m2,于是-m2=1,得m=-2,故选A.2.【解析】选D.∵二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=m24⨯,∴m8=-2,∴m=-16,∴f(1)=4×12+16×1+5=25.3.【解析】选A.函数f(x)的对称轴方程为x=-()2a121-⨯=1-a,要使函数f(x)在区间(-∞,4］上是减少的,必须1-a≥4,∴a≤-3.4.【解析】选A.由已知可得该函数的图像的对称轴为x=2,又二次项系数为1＞0,所以f(x)在（-∞,2］上是减少的，在［2,+∞)上是增加的,故选A.5.【解析】函数y=x2+ax+3的对称轴方程为x=-a2,∵0<a<2,∴-1<-a2<0,∴f(x)max=f(1)=4+a,f(x)min=f(-a2)=3-2a4.答案:4+a 3-2 a 46.【解析】∵x1+x2=-ba,∴f(x1+x2)=f(-ba)=a(-ba)2+b(-ba)+c=2ba-2ba+c=c.答案：c7.【解析】（1）∵f(x)为二次函数且f(0)=f(2),∴对称轴为x=1.又∵f(x)最小值为1，∴可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0).∵f(0)=3,∴a=2,∴f(x)=2(x-1)2+1,即f(x)=2x2-4x+3.（2）由条件知2a<1<a+1,∴0<a<12.8.【解析】(1)由题意得,每天的销售利润y元与每件的销售价x元之间的函数关系式为y=(x-42)(-3x+204)=-3x2+330x-8 568(42＜x＜68,x∈N).(2)由(1)得y=-3(x-55)2+507(42＜x ＜68,x ∈N)，则当x=55时,y max =507.即当每件的销售价定为55元时,可获得最大的销售利润,每天的最大销售利润为507元.【误区警示】解答本题易漏掉函数的定义域而导致解析过程不完善.【挑战能力】【解题指南】本题是一道求函数解析式、定义域、值域的综合题，应从f(2)=0和f(x)=x 有等根着手，逐个击破.【解析】（1）∵方程ax 2+(b-1)x=0(a ≠0)有等根,∴Δ=(b-1)2-4a ×0=0,∴b=1.又f(2)=0,∴4a+2b=0,∴a=-12. ∴f(x)=-12x 2+x. （2）假设存在所求，∵f(x)=-12(x-1)2+12≤12, ∴2n ≤12,∴n ≤14. 又二次函数f(x)=-12(x-1)2+12的对称轴方程为x=1, ∴当n ≤14时,f(x)在［m,n ］上是增加的， 则()()f m 2m,f n 2n,=⎧⎪⎨=⎪⎩ 即221m m 0m 0m 2,21n n 0n 0n 2.2⎧--=⇒==-⎪⎪⎨⎪--=⇒==-⎪⎩或或 ∵m ＜n ≤14,∴m=-2,n=0. ∴存在实数m=-2,n=0使f(x)的定义域为［-2,0］,值域为［-4,0］.。

高中数学北师大版必修一：~2《二次函数的图象、二次函数的性质》双基达标+综合提高1．函数y ＝2x 2＋4x －1的对称轴和顶点分别是( )． A ．x ＝－2，(－2，－1) B ．x ＝2，(－2，－1)C ．x ＝－1，(－1，－3)D ．x ＝1，(－2,3)解析 由y ＝2x 2＋4x －1＝2(x ＋1)2－3，得对称轴是x ＝－1，顶点是(－1，－3)． 答案 C2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则( )．A ．a ＝1，b ＝－4，c ＝－11B ．a ＝3，b ＝12，c ＝11C ．a ＝3，b ＝－6，c ＝11D ．a ＝3，b ＝－12，c ＝11 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝2，4ac －b 24a ＝－1，11＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－12，c ＝11. 答案 D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ， x ≥0，－x 2＋4x ，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值X 围是( )． A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 由题知，f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1，故选择C. 答案 C4．若函数f (x )＝(a －2)x 2＋2x －4的图像恒在x 轴下方，则a 的取值X 围是________．解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＜0，Δ＝22＋4×4a －2＜0，解得a ＜74. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 5．二次函数f (x )＝x 2＋ax ，对任意x ∈R ，总有f (1－x )＝f (1＋x )，则实数a ＝________. 解析 ∵对任意x ∈R ，总有f (1－x )＝f (1＋x )，∴函数f (x )的对称轴是x ＝1－x ＋1＋x 2＝1，则有－a 2＝1，∴a ＝－2. 答案 －2 6．讨论关于x 的方程|x 2＋2x －3|＝a 的实根的个数．解 设f (x )＝|x 2＋2x －3|，g (x )＝a ， 分别作出f (x )与g (x )的图像，由图知：当a ＜0时，方程无实根；当a ＝0时，方程有两个实根；当0＜a ＜4时，方程有4个根；当a ＝4时，方程有3个实根；当a ＞4时，方程有2个实根．综合提高 限时25分钟 7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上是减函数，那么f (2)的取值X 围是( )．A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．[7，＋∞)解析 二次函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上是减函数，由于图像开口向上，∴对称轴a －12≥12. ∴a ≥2.故f (2)＝22－2(a －1)＋5＝11－2a ≤7.答案 A8．已知函数f (x )＝ax 2＋2(a －2)x ＋a －4，当x ∈(－1,1)时，恒有f (x )＜0，则a 的取值X 围为( )．A ．a ≤2B ．a ＜2C ．0＜a ＜2D ．a ＜2且a ≠0解析 法一 当a ＝0时，f (x )＝－4x －4，则此时f (x )是减函数，且f (－1)＝0，则当x ∈(－1,1)时，恒有f (x )＜f (－1)＝0，即a ＝0符合题意，排除C 、D ；当a ＝2时，f (x )＝2x 2－2，由于x ∈(－1,1)，则有f (x )＝2x 2－2＜f (－1)＝f (1)＝0即a ＝2符合题意，排除B ；故选A.法二 当x ∈(－1,1)时，有x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2＞0，又f (x )＝(x 2＋2x ＋1)a －4(x ＋1)，则恒有(x 2＋2x ＋1)a －4(x ＋1)＜0，即a ＜4x ＋1x 2＋2x ＋1＝4x ＋1恒成立， 又x ∈(－1,1)，则4x ＋1＞2， 则只需a ≤2即可．答案 A9．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f (ax ＋b )＝0的解集为________．解析 ∵f (x )＝x 2＋2x ＋a ，∴f (bx )＝(bx )2＋2bx ＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2. 则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，a ＝2. ∴f (2x －3)＝(2x －3)2＋2(2x －3)＋2＝4x 2－8x ＋5＝0.∵Δ＝64－80＜0，∴方程f (ax ＋b )＝0无实根．答案 ∅10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析 ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －42－4b ＋c ＝c ，－22－2b ＋c ＝－2.解得b ＝4，c ＝2，画出函数y ＝f (x )，y ＝x 的图像，它们的图像有3个交点，故关于x 的方程f (x )＝x 有3个解．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0 311．已知一个二次函数的图像经过点(4，－3)，并且当x ＝3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式．解法一 (利用顶点式)设二次函数解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k(a ≠0)，∵当x ＝3时，有最大值4，∴顶点坐标为(3,4)．∴h ＝－3，k ＝4.∴y ＝a (x －3)2＋4.∵函数图像过点(4，－3)，∴a (4－3)2＋4＝－3.∴a ＝－7.∴y ＝－7(x －3)2＋4＝－7x 2＋42x －59.∴二次函数的解析式为y ＝－7x 2＋42x －59.法二 (利用一般式)设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ 16a ＋4b ＋c ＝－3，－b 2a＝3，4ac －b 24a ＝4，解方程组得：a ＝－7，b ＝42，c ＝－59，∴二次函数的解析式为y ＝－7x 2＋42x －59.12．(创新拓展)设f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围．解 ①当对称轴x ＝－－2a 2x 1＝a ≤－1时，f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a ， 当x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a ，即3＋2a ≥a ⇔a ≥－3.故此时－3≤a ≤－1.②当a ＞－1时，f (x )min ＝f (a )＝a 2－2a 2＋2＝2－a 2，当x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a ，即2－a 2≥a ⇔a 2＋a －2≤0⇔－2≤a ≤1.故此时－1＜a ≤1.综上所得，实数a 的取值X 围是[－3,1]．。

［A基础达标]1．函数f（x）＝－x2＋4x＋5（0≤x〈5）的值域为（）A．（0，5］ B．［0，5］C．[5,9］D．（0,9］解析：选D。

f（x)＝－x2＋4x＋5＝－(x－2）2＋9(0≤x〈5）,当x＝2时，f(x)最大＝9；当x>0且x接近5时，f(x)接近0，故f（x）的值域为(0,9]．2．已知函数y＝x2－6x＋8在［1，a）上为减函数,则a的取值范围是( ）A．a≤3 B．0≤a≤3C．a≥3 D．1〈a≤3解析:选D。

函数y＝x2－6x＋8的对称轴为x＝3,故函数在（－∞,3］上为减函数，由题意［1，a）⊆（－∞，3]，所以1<a≤3.3．已知函数f（x）＝ax2－x＋a＋1在（－∞，2）上是递减的，则a的取值范围是（）A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!解析:选B。

当a＝0时，f（x)＝－x＋1在R上是递减的，符合题意；当a〈0时,不符合题意；当a〉0时,f（x)的对称轴为x＝错误!，在错误!上是递减的,由题意(－∞,2)⊆错误!，所以2≤错误!，即a≤错误!，综上,a的取值范围是错误!.4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x),那么（）A．f(－2)＜f(0）＜f(2）B．f（0)＜f(－2）＜f（2）C．f(2)＜f（0)＜f（－2)D．f（0）＜f(2）＜f（－2)解析：选D.函数f(x）＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f（1＋x）＝f（－x）．可知函数f（x）图像的对称轴为x＝错误!,又函数图像开口向上,自变量离对称轴越远函数值越大，故选D。

5．设二次函数f（x）＝－x2＋x＋a(a<0），若f（m)>0,则f（m ＋1)的值为( ）A．正数B．负数C．非负数D．正数、负数或零都有可能解析：选B。

由题意可得,f（x）＝－x2＋x＋a的函数图像开口向下，对称轴为x＝错误!，又a<0，则函数f（x）的图像与y轴的交点在y轴负半轴上，如图所示．设使f(m）>0的m的取值范围为错误!－k〈m<错误!＋k错误!，所以1〈错误!－k〈m＋1〈错误!＋k，所以f（m＋1）<0，故选B。

4.2 二次函数的性质课后篇巩固提升1.已知二次函数y=4x 2-mx+5图像的对称轴为x=-2,则当x=1时,y 的值为( )A.-7 B .1 C .17 D .25 解析:由已知得--m 2×4=-2,所以m=-16,这时y=4x 2+16x+5.因此当x=1时,y=4×12+16×1+5=25. 答案:D2.已知函数f (x )=ax 2+2(a-3)x+1在区间(-2,+∞)上是减少的,则a 的取值范围是( )A.[-3,0]B.(-∞,-3]C.[-3,0)D.[-2,0]解析:当a=0时,f (x )=-6x+1显然成立;当a ≠0时,要使f (x )在(-2,+∞)上是减少的,需满足{a <0,-2(a -3)2a ≤-2,解得-3≤a<0. 综上可知,a 的取值范围是[-3,0].答案:A3.已知函数y=x 2-2x+3在区间[0,m ]上有最大值3,最小值2,则实数m 的取值范围是( )A.[1,+∞) B .[1,2)C .[1,2]D .(-∞,2]解析:由于y=x 2-2x+3=(x-1)2+2,其图像如图所示,且f (0)=3,f (1)=2,f (2)=3.结合图像可知m 的取值范围是[1,2].答案:C4.已知函数f (x )=x 2+bx+c 的图像的对称轴为直线x=1,则( )A .f (-1)<f (1)<f (2)B .f (1)<f (2)<f (-1)C .f (2)<f (-1)<f (1)D .f (1)<f (-1)<f (2)解析:∵函数f (x )=x 2+bx+c 的图像开口向上,且对称轴为x=1,∴f (x )在(-∞,1)内递减,在(1,+∞)内递增,∴f (1)<f (2)<f (-1).答案:B5.已知函数f (x )=-x 2+2x+4在区间[0,m ]上有最大值5,最小值-1,则m 的值等于( )A.-1B.1C.2D.3解析:因为函数f (x )=-x 2+2x+4=-(x-1)2+5,故函数在区间(-∞,1]上单调递增;在区间(1,+∞)上单调递减. 若m ≤1,则函数在区间[0,m ]上单调递增,其最小值为f (0)=-02+2×0+4=4>-1,显然不合题意. 若m>1,则函数在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,m ]上单调递减,故函数的最大值为f (1)=5. 而f (0)=-02+2×0+4=4>-2.令f (m )=1,即-m 2+2m+4=1,也就是m 2-2m-3=0,解得m=-1或m=3. 又因为m>1,所以m=3.故选D .答案:D6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为了降低消耗,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时,矩形两边的长x ,y 应为( )A.x=15,y=12 B .x=12,y=15C .x=14,y=10D .x=10,y=14 解析:结合题中图形,可得x 20=24-y 24-8,得y=24-4x 5,矩形面积S=xy=x (24-4x 5)=-4x 25+24x ,所以当x=-242×(-45)=15时,S 最大,此时y=24-4×15=12,故选A . 答案:A7.若二次函数y=mx 2+5x+4在区间(-∞,2]上是增加的,在区间[2,+∞)上是减少的,则m 的值是 .解析:由题意可知,-52m =2,则m=-54.答案:-548.已知二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),又f (x )在[0,2]上是增加的,且f (a )≥f (0),则实数a 的取值范围是 .解析:此函数图像的对称轴为x=2+x+2-x 2=2,且f (x )在[0,2]上是增加的,如图所示,由f (0)=f (4),f (a )≥f (0),知0≤a ≤4.答案:[0,4]9.导学号85104040将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为 .解析:设正方形周长为x ,则边长为x 4,圆周长为(1-x ),圆的半径为1-x 2π(0<x<1),依题意得,面积之和为x 216+π(1-x 2π)2=(4+π)x 2-8x+416π,当x=12·84+π=44+π时,有最小值,即正方形周长为44+π. 答案:44+π 10.求二次函数y=x 2-6x+7在区间[-2,4]上的最大值和最小值.解法一y=x 2-6x+7=(x-3)2-2,故函数在区间[-2,3]上是减少的,在[3,4]上是增加的.①当-2≤x ≤3时,y 最大=23,y 最小=-2;②当3≤x ≤4时,y 最大=-1,y 最小=-2.综上可知,函数y=x 2-6x+7的最小值为-2,最大值为23.解法二(数形结合)令y=f (x )=x 2-6x+7.对称轴:x=3,f (x )最大=f (-2)=23;f (x )最小=f (3)=-2.∴f (x )的最大值为23,最小值为-2.11.已知函数f (x )=x 2-2x+2.(1)求f (x )在区间[-2,3]上的最大值和最小值;(2)若g (x )=f (x )-mx 在[-1,2]上是单调递增函数,求m 的取值范围.解:(1)因为f (x )=x 2-2x+2=(x-1)2+1,而x ∈[-2,3],所以当x=1时,f (x )取得最小值,最小值为f (1)=1.又f (-2)=(-2-1)2+1=10,f (3)=(3-1)2+1=5,故f (-2)>f (3),所以函数f (x )在区间[-2,3]上的最大值为10.(2)因为g (x )=f (x )-mx=x 2-(m+2)x+2,其对称轴为x=m+22.由函数在区间[-1,2]上单调递增可得m+22≤-1,解得m ≤-4.故m的取值范围是(-∞,-4].由Ruize收集整理。

双基限时练(七) 函数概念基 础 强 化1．下列说法中不正确的是( )A. 函数的值域中每一个数在定义域中都有数与之对应B. 函数的定义域和值域一定是不含数0的集合C. 定义域和对应法则完全相同的函数表示同一个函数D. 若函数的定义域中只含一个元素，则值域中也只含一个元素 答案 B2．函数y ＝3－x ＋x 的定义域是( ) A. {x |x ≥3} B. {x |x ≥0} C. {x |0≤x ≤3} D. {x |x ≥3}∪{0}解析 由⎩⎨⎧3－x ≥0，x ≥0，得0≤x ≤3.答案 C3．已知函数f (x )＝5－2x ，x ∈[－1,1]，则函数f (x )的值域为( ) A. [3,7) B. [3,7] C. (3,7]D. (3,7)解析 ∵－1≤x ≤1，∴3≤5－2x ≤7. 答案 B 4．观察数表x －3 －2 －1 12 3 f (x ) 4 1 －1 －3 35g (x )1423－2 －4则f (g (3)A ．3 B ．4 C ．－3D ．5解析 由数表可得：g (3)＝－4，f (－1)＝－1，∴g (3)－f (－1)＝－3，∴f (g (3)－f (－1))＝f (－3)＝4.答案 B5．函数f (x )的定义域在区间[－2,3]上，则y ＝f (x )的图像与直线x ＝2的交点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 不确定解析 由函数的定义可知x ＝2与y ＝f (x )的图像只有一个交点． 答案 B6．下列各组函数中表示同一个函数的是( ) A. f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 B. f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C. f (x )＝x 2－1，g (x )＝x 2－1 D. f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 解析 根据同一函数的定义可知，答案选A. 答案 A7．集合{x |x <2，或x ≥3}用区间表示为____________． 答案 (－∞，2)∪[3，＋∞)能 力 提 升8．已知函数f (x )＝12－x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋2的定义域为N ，则M ∩N ＝________.解析由⎩⎨⎧2－x ≥0，2－x ≠0解得x <2， ∴M ＝{x |x <2}，由x ＋2≥0，得x ≥－2， ∴N ＝{x |x ≥－2}， ∴M ∩N ＝{x |－2≤x ＜2}． 答案 [－2,2)9．已知函数f (x )＝2x －3的值域为{－1,1,3}，则f (x )的定义域是________．答案 {1,2,3}10．设一个矩形的周长为80，其中一边长为x ，求它的面积S 关于x 的函数的解析式，并写出定义域．解 由题意知，相邻的另一边长为80－2x2，且边长为正数，所以 S ＝80－2x 2·x ＝(40－x )x ， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，80－2x2>0，得0<x <40.∴函数的定义域为{x |0<x <40}． 11．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域．(2)求f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值．(3)当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值． 解(1)由⎩⎨⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，得函数的定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝38＋333.(3)当a >0时，f (a )＝a ＋3＋1a ＋2，a －1∈(－1，＋∞)，f (a －1)＝a ＋2＋1a ＋1. 12．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的关系吗？并证明你的发现；(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014. 解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＝221＋22＝45， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝15，f (3)＝321＋32＝910， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝110.(2)由(1)中的结果发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1.(3)f (1)＝121＋12＝12. 由(2)知f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，……f (2014)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12014＝1，∴原式＝12＋1＋1＋1＋…＋12013个1＝2013＋12＝40272.考 题 速 递13．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23的定义域为________．解析 因为函数f (x )的定义域是[0,1]，所以函数f (2x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23中自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，所以0≤x ≤13，所以函数f (2x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23的定义域是⎣⎢⎡0，13 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13。

双基限时练(二十一)对数的运算及其性质基础强化1．log63＋log62等于()A. 6B. 5C. 1D. log65解析log63＋log62＝log66＝1.答案 C2．对于a>0，a≠1，下列说法中，正确的是()①若M＝N，则log a M＝log a N②若log a M＝log a N，则M＝N③若log a M2＝log a N2，则M＝N④若M＝N，则log a M2＝log a N2A. ①③B. ②④C. ②D. ①②③④解析①当M＝N＝0时，不成立；②正确；③log a M2＝log a N2，若M，N>0，可得2log a M＝2log a N，故M＝N，若M，N异号，则不正确，故③不正确；④若M＝N＝0，也不正确，故只有②正确．答案 C3．已知lg2＝a，lg3＝b，则lg12等于()A．a2＋b B．b＋2aC．a＋2b D．a＋b2解析lg12＝lg4＋lg3＝2lg2＋lg3＝2a＋b.答案 B4．已知lg a ＝2.4310，lg b ＝1.4310，则ba 等于( ) A.1100 B.110 C ．10D ．100解析 lg b a ＝lg b －lg a ＝－1，∴b a ＝10－1＝110. 答案 B5．已知a ，b ，c 为正实数，且lg a ＋12lg b ＋13lg c ＝1，则a 6b 3c 2等于( )A. 10B. 106C. 1012D. 1解析 由lg a ＋12lg b ＋13lg c ＝1， 得lg ab 12 c 13＝1，即ab 12 c 13＝10，故a 6b 3c 2＝106. 答案 B6．如果方程(lg x )2－(lg2＋lg3)lg x ＋lg2lg3＝0的两根为x 1，x 2，那么x 1x 2的值为( )A. 5B. 6C. lg2lg3D. lg2＋lg3解析 由题意得lg x 1＋lg x 2＝lg2＋lg3＝lg6，∴x 1x 2＝6. 答案 B 7．已知a23 ＝49(a ＞0)，则log 23a ＝__________.解析方法一：∵a23 ＝49，∴log a 49＝23，∴2log a 23＝23，∴log a 23＝13， ∴1log a 23＝3，∴log 23 a ＝3. 方法二：∵a23 ＝49，∴a 2＝64729，∴a ＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，∴log 23a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.答案 3能 力 提 升8．已知：x ，y ∈R ，且(2x －1)2＋(y －128)2＝0，则log 2x 3y12 的值为________．解析 由(2x －1)2＋(y －128)2＝0，得x ＝12，y ＝128，log 2x 3y12 ＝3log 2x ＋12log 2y ＝－3＋12log 227＝－3＋72＝12.答案 129．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014＝4，则f (2014)＝________.解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014＝a log 212014＋b log 312014＋2＝4.得－a log 22014－b log 32014＝2. ∴a log 22014＋b log 32014＝－2.∴f (2014)＝a log 22014＋b log 32014＋2＝－2＋2＝0. 答案 010．求下列各式的值．(1)lg5(lg8＋lg1000)＋(3lg2)2＋lg 16＋lg0.06；(2)(lg5)2＋lg2·lg50.解 (1)lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－2 ＝3lg2＋3lg5－2＝1. (2)(lg5)2＋lg2(1＋lg5) ＝lg5＋lg2＝1.11．设a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋17，b ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋149，用a ，b 表示lg2和lg7.解析 a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋17＝lg 87＝lg8－lg7＝3lg2－lg7.b ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋149＝lg 5049＝lg 1002×49＝2－lg2－lg49＝2－lg2－2lg7. 由上述两式联立方程组，解得： lg2＝17(2a －b ＋2) lg7＝17(－a －3b ＋6)12．已知lg a 和lg b 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lg a )x －(1＋lg a )＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．解由题意得⎩⎨⎧lg a ＋lg b ＝1，lg a lg b ＝m ，又x 2－(lg a )x －(1＋lg a )＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(lg a )2＋4(1＋lg a )＝0， lg a ＝－2，∴a ＝1100.又lg a ＋lg b ＝1，∴lg b ＝3，∴b ＝103. 即m ＝lg a ·lg b ＝－6.考 题 速 递13．已知2x＝9，log 283＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．6B ．8C ．4D ．log 48解析 由2x ＝9，得log 29＝x ， ∴x ＋2y ＝log 29＋2log 283 ＝log 29＋log 2649 ＝log 264 ＝6. 答案 A。

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4.2 二次函数的性质[学业水平训练］1．(2014·太原五中月考）如果函数f（x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x,都有f（1＋x)＝f （－x），那么（）A．f(－2)＜f（0)＜f（2）B．f（0）＜f（－2)＜f(2)C．f(2）＜f（0)＜f(－2）D．f(0)＜f(2)＜f（－2）解析:选D。

函数f(x）＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f（1＋x）＝f（－x)．可知函数f（x）图像的对称轴为x＝错误!,又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大,故选D.2．如果函数y＝x2＋(1－a）x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是( ）A．a≥5 B．a≤－3C．a≥9 D．a≤－7解析：选C.由题意知对称轴x＝－1－a2≥4，∴a≥9.3．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m］，值域为［－8，－4]，则m的取值范围是( ) A．（0,2] B．（2，4)C．[0,4］D．［2，4］解析:选D。

由图像知对称轴为x＝2，f(0）＝－4，f(2)＝－8，f（4）＝－4,若函数在[0，m]上有最小值－8,∴m≥2.若函数在［0，m]上有最大值－4,∵f(0）＝f(4）＝－4,∴m≤4。

双基限时练(二十七)利用函数性质判定方程解的存在基 础 强 化1．函数y ＝x 2－4x －12的零点是( )A. －2B. 6C. －2,6D. 不存在解析 y ＝x 2－4x －12＝(x －6)(x ＋2)．答案 C2．如果函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A. 0,2B. 0，12C. 0，－12D. 2，－12解析 由f (x )有一个零点2，可知2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，有两个零点－12，0.答案 C3．若函数y ＝x 2＋a 存在零点，则实数a 的取值范围是( )A. a >0B. a <0C. a ≥0D. a ≤0答案 D4．已知函数y ＝f (x )的图像在区间[a ，b ]上是连续不断的，且满足f (a )·f (b )<0(a ，b ∈R ，a <b )，则函数f (x )在(a ，b )内( )A. 有且只有一个零点B. 至少有一个零点C. 无零点D. 无法确定有无零点 解析 函数y ＝f (x )在定义域内连续，且满足f (a )·f (b )<0，故函数f (x )在(a ，b )内至少有一个零点．答案 B5．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析 ∵f (x )＝e x ＋4x －3在(－∞，＋∞)内单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝e － 14 －4<0，f (0)＝－2<0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14 －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 －1>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 答案 C6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5解析 令f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2＋ln x ＝0 ∴x ＝－3或x ＝e 2，即方程f (x )＝0有两个根，∴函数f (x )有两个零点．答案 A7．若函数f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m 的一个零点比1大，另一个零点比1小，则m 的取值范围是_________________________________．解析 由题意得f (1)＝1＋m －3＋m <0，得m <1.答案 (－∞，1)能 力 提 升8．已知函数f (x )的图像是连续不断的，有如下的x ，f (x )的对应值表：解析 ∵f (2)·f (3)<0，∴在(2,3)上至少有1个零点；同理在(3,4)和(4,5)上各至少有1个零点，∴在[1,6]上至少有3个零点．答案 39．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在x 0使f (x 0)＝0，则a 的取值范围是________．解析 由题意得f (－1)，f (1)必一正一负，即f (－1)f (1)<0，得a <－1，或a >15.答案 a <－1或a >1510．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点．解 由题意得x 2－ax －b ＝0有两根2和3，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋3，－b ＝2×3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6. ∴g (x )＝－6x 2－5x －1.令g (x )＝0，得6x 2＋5x ＋1＝0即(2x ＋1)(3x ＋1)＝0，得x ＝－12，或x ＝－13.∴g (x )的零点为－12，－13.11．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点．(1)求m 的取值范围．(2)若函数有不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．解 (1)当m ＋6＝0，即m ＝－6时，y ＝－14x －5，恒有零点－514.当m ＋6≠0，即m ≠－6时，要使函数恒有零点，需Δ＝[2(m －1)]2－4(m ＋6)·(m ＋1)≥0，解得m ≤－59.综上知m ≤－59.(2)设函数的两个不同零点是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6. 由题意，得Δ＝[2(m －1)]2－4(m ＋6)(m ＋1)>0，且m ＋6≠0，得m <－59，且m ≠－6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4, 得m ＝－3，满足m <－59. ∴m 的值为－3.12．已知函数f (x )＝|x 2－2x |－a .(1)若函数f (x )没有零点，求实数a 的取值范围；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围；(4)若函数f(x)有四个零点，求实数a的取值范围．解令|x2－2x|－a＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|，y＝a，作出函数g(x)＝|x2－2x|的图像(如图所示)，由图像可知：(1)当a<0时，a≠|x2－2x|，此时函数f(x)没有零点．(2)当a＝0，或a>1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有两个交点，即f(x)有两个零点．(3)当a＝1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有三个交点，即函数f(x)有三个零点．(4)当0<a<1时，函数y＝a与y＝g(x)的图像有四个交点，即函数f(x)有四个零点．考题速递13．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝12x图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝12x的图像，易知有2个交点．答案 B。

双基限时练(十一) 二次函数的图像基 础 强 化1．函数f (x )＝2x 2＋4x －1的对称轴和顶点坐标分别是( ) A. x ＝－2 (－2，－1) B. x ＝2 (－2，－1) C. x ＝－1 (－1，－3) D. x ＝1 (－2,3)解析 ∵f (x )＝2x 2＋4x －1＝2(x 2＋2x ＋1)－3＝2(x ＋1)2－3，∴对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1，－3)．答案 C2．已知二次函数f (x )与g (x )的图像开口大小相同，开口方向相反，g (x )＝4(x －1)2－1，f (x )图像的顶点(3，－2)，则f (x )为( )A. f (x )＝4(x ＋3)2－2B. f (x )＝－4(x －3)2－2C. f (x )＝4(x －3)2＋2D. f (x )＝－4(x ＋3)2＋2解析 由题可知f (x )＝－4(x －3)2－2. 答案 B3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x >0)，－x 2＋bx ＋c(x ≤0)，)若f (0)＝－2f (－1)＝1，则2b ＋3c 的值为( )A. 4B. －2C. 2D. 8解析由题意得c＝－2(－1－b＋c)＝1，得c＝1，b＝12，∴2b＋3c＝4.答案 A4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b ＋c>0；③abc>0；④b＝2a，其中正确结论的个数是()A．4 B．3C．2 D．1解析由图可得f(1)＝a＋b＋c<0；f(－1)＝a－b＋c>0；∵－b2a＝－1，∴b＝2a；∵由b＝2a可知，a，b同号，∴ab>0，又f(0)＝c>0，∴abc>0.答案 A5．为了得到y＝x2－2x＋3的图像，只需将y＝x2的图像()A. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位B. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位解析y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.答案 B6．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是()解析 选项A ，y ＝ax ＋b 中，a >0而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，矛盾；选项B ，y ＝ax ＋b 中，a >0，b >0，而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的对称轴x ＝－b2a >0，矛盾；选项D ，y ＝ax ＋b 中，a <0，b <0，但y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向上，矛盾．答案 C7．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．解析 函数y ＝x 2－2x ＋3的图像如图．故在区间[0，m ]上y ＝3时，m ＝0或2，又对称轴方程为x ＝1，∴最小值为2，m 的取值范围是[1,2]．答案 [1,2]能 力 提 升8．下列给出的二次函数图像的开口，按从小到大的顺序排列为________． (1)f (x )＝－14x 2(2)f (x )＝13(x ＋5)2(3)f (x )＝12x 2－6 (4)f (x )＝－5(x －8)2＋9解析 因为图像在同一直角坐标系中|a |越小，图像开口就越大，根据⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14<⎪⎪⎪⎪⎪⎪13<⎪⎪⎪⎪⎪⎪12<|－5|，知图像开口按从小到大的顺序排列为(4)(3)(2)(1)． 答案 (4)(3)(2)(1)9．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图像与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合是________．解析 当m ＝1时，f (x )＝4x －1符合题意； 当m ≠1时，由题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0 即m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，或m ＝0， ∴m 的取值集合为{－3,0,1}． 答案 {－3,0,1}10．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解 将函数y ＝x 2的图像向右平移4个单位长度得到y ＝(x －4)2的图像，再向下平移2个单位长度得到y ＝(x －4)2－2，即y ＝x 2－8x ＋14，所以b ＝－8，c ＝14.11．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．解 方法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由条件，可得二次函数图像的顶点坐标为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c 0＝a ＋b ＋c 0＝49a ＋7b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73.∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.方法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)，把顶点(4，－3)代入， 得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13. ∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)， 即y ＝13x 2－83x ＋73.方法三：∵二次函数图像的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)，∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3.将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3，解得a ＝13.∴二次函数解析式为y ＝13(x －4)2－3， 即y ＝13x 2－83x ＋73.12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)、B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？解 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k 3，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－2(3－k )3＝269，解得k ＝43.所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.考 题 速 递13．已知把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的二次函数为y ＝x 2－2x ＋1，则该二次函数的解析式为________．解析 方法一：∵y ＝x 2＋bx ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22＋c －b 24，∴将y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2＋22＋c －b24＋3. ∵y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，比较对应项系数可得⎩⎪⎨⎪⎧2＋b 2＝－1，c －b 24＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝6，∴所求函数解析式为y ＝x 2－6x ＋6. 方法二：∵y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴将y ＝(x －1)2的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得解析式为y ＝(x －1－2)2－3＝x 2－6x ＋6，即二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的解析式为y ＝x 2－6x ＋6.答案 y ＝x 2－6x ＋6。

（同步课堂）2013-2014学年高中数学 2.4 二次函数性质的再研究名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]二次函数图像间的变换(1)y＝x2与y＝ax2(a≠0)图像间的变换：二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的|a|倍得到．(2)y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)图像间的变换：函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可由函数y＝ax2(a≠0)的图像变换得到．其中a决定了二次函数图像的开口大小及方向；h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h 负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．(3)y＝ax2与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像间的变换．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，通过配方可以得到它的恒等形式y＝a(x＋h)2＋k，从而知道，由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像．[小问题·大思维]1．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的顶点坐标与对称轴分别是什么？提示：顶点坐标为(－h，k)，对称轴是x＝－h.2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的参数a对其图像的开口大小与方向有什么影响？提示：当a>0时，图像开口向上，a值越大，开口越小；当a<0时，图像开口向下，a值越大，开口越大．3．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，h，k对函数图像的变换有何影响？提示：h决定了二次函数图像的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．[研一题][例1] 在同一坐标系中作出下列函数的图像．(1)y＝x2; (2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．[自主解答] (1)列表：(2)描点、连线即得相应函数的图像，如图所示． 由图像可知由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．法一：先把y ＝x 2的图像向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2的图像，然后把y ＝(x －1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1)2的图像，最后把y ＝2(x －1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y ＝2x 2－4x 的图像．法二：先把y ＝x 2的图像向下平移1个单位长度得到y ＝x 2－1的图像，然后再把y ＝x2－1的图像向右平移一个单位长度得到y ＝(x －1)2－1的图像，最后把y ＝(x －1)2－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图像．本例中如何把y ＝2x 2－4x 的图像变换成y ＝x 2的图像？ 解：∵y ＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2，故可先把y ＝2x 2－4x 的图像向上平移2个单位长度得到y ＝2(x －1)2的图像，然后再把y ＝2(x －1)2的图像向左平移1个单位长度，得到y ＝2x 2的图像，最后把y ＝2x 2的图像纵坐标变为原来的12，便可得到y ＝x 2的图像．[悟一法]二次函数图像的作法 (1)描点法：在利用描点法时，通过配方直接选出关键点，即顶点．再依据对称性选点，可减少选点的盲目性．二次函数图像的开口方向、对称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用，作图时应关注这些几何要素．(2)图像变换法：所有二次函数的图像均可以由函数f (x )＝x 2的图像经过变换得到．变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤．[通一类]1．画出y ＝12x 2－6x ＋21的图像，并说明由y ＝x 2的图像如何变换得到y ＝12x 2－6x ＋21的图像？解：y ＝12x 2－6x ＋21＝12(x －6)2＋3，顶点坐标为(6，3)，对称轴为x ＝6. 利用二次函数的对称性列表：描点连线得到函数y ＝12x 2－6x ＋21的图像如右图．平移过程如下：先把函数y ＝x 2图像上的所有点的纵坐标缩小为原来的1/2倍，得到函数y ＝12x 2的图像，再把y ＝12x 2的图像向右平移6个单位，得到函数y ＝12(x －6)2的图像，最后把y ＝12(x －6)2的图像上的所有点向上平移3个单位，即得到函数y ＝12x 2－6x ＋21的图像．[研一题][例2] (1)已知一个二次函数y ＝f (x )，f (0)＝3，又知当x ＝－3和x ＝－5时，函数的值为零，求这个二次函数的解析式；(2)已知二次函数f (x )图像的对称轴是直线x ＝－1，并且经过点(1，13)和(2，28)，求二次函数f (x )的解析式．[自主解答] (1)由题意可知－3和－5为二次函数图像与x 轴交点的横坐标， ∴设y ＝f (x )＝a (x ＋3)(x ＋5)． 又∵f (0)＝3，∴f (0)＝15a ＝3，即a ＝15.∴f (x )＝15(x ＋3)(x ＋5)＝15(x 2＋8x ＋15)＝15x 2＋85x ＋3； (2)设f (x )＝a (x ＋1)2＋k ， 由题意得f (1)＝13，f (2)＝28，∴有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝13，9a ＋k ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，k ＝1.故f (x )＝3(x ＋1)2＋1＝3x 2＋6x ＋4.[悟一法]求二次函数解析式一般利用待定系数法，但应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，一般规律：(1)已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解．(2)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式，y ＝a (x －h )2＋k (a ，h ，k 为常数，a ≠0)．(3)当已知抛物线与x 轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式，y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ，x 1，x 2是常数，a ≠0)．[通一类]2．已知二次函数y ＝f (x )分别满足下列条件， (1)图像过A (0，1)，B (1，2)，C (2，－1)三点； (2)图像顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)． 求对应函数的解析式．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)由已知函数的图像过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，c ＝1.∴函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋3x ＋1； (2)∵抛物线的顶点为(－2，3)， ∴可设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)．∵图像过点(－1，5)，∴5＝a (－1＋2)2＋3.∴a ＝2. ∴函数的解析式为f (x )＝2(x ＋2)2＋3， 即f (x )＝2x 2＋8x ＋11.若方程x 2－2x －3＝a 有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围．[巧思] 令f (x )＝x 2－2x －3，g (x )＝a 将方程有两个不相等的实数解转化为两个函数的图像有两个不同的交点．[妙解] 令f (x )＝x 2－2x －3，g (x )＝a . 作出f (x )的图像如图所示．∵f (x )与g (x )图像的交点个数即为方程x 2－2x －3＝a 解的个数． 由图可知①当a ＜－4时，f (x )与g (x )无交点，即方程x 2－2x －3＝a 无实根；②当a ＝－4时，f (x )与g (x )有一个公共点，即方程x 2－2x －3＝a 有一个实根；③当a ＞－4时，f (x )与g (x )有两个公共点，即方程x 2－2x －3＝a 有两个实根．综上所述，当方程x 2－2x －3＝a 有两个实数解时，实数a 的取值范围是(－4，＋∞)．1．二次函数y ＝x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )A ．y ＝x 2＋2 B ．y ＝2x 2C ．y ＝12x 2D ．y ＝x 2－2解析：将二次函数y ＝x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像对应的解析式为y ＝2x 2.答案：B2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图所示，则点M (a ，bc )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D. 第四象限解析：由图可知a ＞0，－b2a ＞0，c ＜0，∴bc ＞0.答案：A3．已知抛物线与x 轴交于点(－1，0)，(1，0)，并且与y 轴交于点(0，1)，则抛物线的解析式为( )A. y ＝－x 2＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝－x 2－1D ．y ＝x 2－1解析：由题意抛物线对称轴是y 轴且开口向下，顶点为(0，1)，故抛物线为y ＝－x 2＋1.答案：A4．将函数y ＝2(x ＋1)2－2向______平移______个单位，再向______平移______个单位可得到函数y ＝2x 2的图像．解析：通过y ＝2x 2→y ＝2(x ＋1)2－2反向分析，也可借助顶点分析． 答案：右 1 上 25．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)、(3，0)，其形状与抛物线y ＝－2x2相同，则y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为________________．解析：由题意，得y ＝－2(x ＋1)(x －3)＝－2x 2＋4x ＋6. 答案：y ＝－2x 2＋4x ＋66．对于二次函数y ＝－x 2＋4x ＋3，(1)指出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标．(2)说明其图像是由y ＝－x 2的图像经过怎样的平移得来． 解析：∵y ＝－(x －2)2＋7，∴(1)开口向下；对称轴为x ＝2；顶点坐标为(2，7)；(2)先将y ＝－x 2的图像向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到y ＝－x 2＋4x ＋3的图像．一、选择题1．如何平移抛物线y ＝2x 2可得到抛物线y ＝2(x －4)2－1( ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位解析：要得到y ＝2(x －4)2－1的图像，只需将y ＝2x 2的图像向右平移4个单位，再向下平移1个单位．答案：D2．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )解析：由A 、C 、D 知，f (0)＝c ＜0，∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A 、C 错；D 符合要求，由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误． 答案：D3．(2012·山东高考)设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx ，若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0解析：由于函数y ＝f (x )的图像在一三象限且关于坐标原点对称，函数y ＝g (x )的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A ，B 一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x 1x 2<0，由于y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，故x 1＋x 2，y 1＋y 2一定异号．问题即为方程－x 2＋bx ＝1x仅有两个不同的实根，即方程x 3－bx 2＋1＝0有一个二重根、一个单根．此时结合图像可知位于第一象限的点A 的横坐标为方程根，根据方程根的理论，如果x 1是方程x 3－bx 2＋1＝0的二重根，x 2为一个单根，则x 3－bx 2＋1＝(x －x 1)2(x －x 2)＝x 3－(2x 1＋x 2)x 2＋(x 21＋2x 1x 2)x －x 21x 2，这个等式对任意x恒成立，比较等式两端x 的系数可得x 21＋2x 1x 2＝0，即x 1＋2x 2＝0，即x 1＋x 2＝－x 2>0，所以x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0.答案：B4．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52D.－1＋52解析：由第一个图与第二个图中与x 轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x 1＋x 2＝－ba ≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x 1＋x 2＝－ba ＞0，又b ＞0，故a ＜0，图像开口向下，应为第三个图．由图像过原点(0，0)，即a 2－1＝0，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．答案：B 二、填空题5．将抛物线y ＝－x 2＋2x －1向左平移1个单位后，得到的解析式是________． 解析：∵y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2， ∴函数y ＝－x 2＋2x －1向左平移一个单位后， 所得函数解析式为y ＝－[(x ＋1)－1]2＝－x 2. 答案：y ＝－x 26．函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位，得到函数y ＝x 2－1的图像，则实数m ＝ ______．解析：y ＝x 2－1的图像向上平移2个单位，得到函数y ＝x 2＋1的图像，则m ＝1. 答案：17．已知二次函数f (x )的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2，4)，则f (x )＝________． 解析：设f (x )＝a (x －1)2－2， 因为过点(2，4)，所以有a (2－1)2－2＝4，得a ＝6. 所以f (x )＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4. 答案：6x 2－12x ＋48．已知方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，则实数m 的取值范围是________． 解析：设f (x )＝x 2－4|x |＋5，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x <0.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋1，x ≥0，（x ＋2）2＋1，x <0，作出f (x )的图像，如图：要使方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，需使函数f (x )与y ＝m 的图像有四个不同的交点，由图像可知，1<m <5.答案：(1，5) 三、解答题9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1，0)，B (x 2，0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？ 解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k . 由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269， 即4－2（3－k ）3＝269.解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y ＝x －2的交点坐标为(1，n )和(m ，1)，求这个二次函数的解析式．解：∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反．∴a ＝12，则y ＝12x 2＋bx ＋c .又(1，n )，(m ，1)两点均在y ＝x －2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1－2，1＝m －2⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1，即点(1，－1)和(3，1)均在所求的抛物线上． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝12＋b ＋c ，1＝92＋3b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－12.∴这个二次函数的解析式为y ＝12x 2－x －12.4．2 二次函数的性质[读教材·填要点]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质：注：记y max 、y min 分别表示函数y ＝f (x )的最大值、最小值．[小问题·大思维]1．二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗？提示：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，在其对称轴的两侧单调性一定相反，可以借助于二次函数的图像进行说明．2．二次函数的最值一定在顶点取得吗？提示：不一定，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当x ∈R 时可以，但当x 属于某局部闭区间时，不一定．3．对二次函数y ＝f (x )，若满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0)，则其对称轴方程是什么？ 提示：x ＝a .[研一题][例1] 已知函数f (x )＝12x 2－3x －34.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴，并指出它的单调区间； (2)已知f (72)＝－418，不计算函数值，试求f (52)；(3)不直接计算函数值，比较f (－14)与f (－154)的大小．[自主解答] (1)∵f (x )＝12x 2－3x －34＝12(x －3)2－214.∴f (x )图像的顶点坐标为(3，－214)，对称轴为x ＝3.单调增区间为[3，＋∞)，减区间为(－∞，3]； (2)法一：∵f (72)＝－418，又|52－3|＝|72－3|＝12，∴结合二次函数的对称性可知，f (52)＝f (72)＝－418；法二：∵函数f (x )的图像关于x ＝3对称． ∴f (3＋x )＝f (3－x )．∴f (52)＝f (3－12)＝f (3＋12)＝f (72)＝－418；(3)∵f (x )在(－∞，3]上是单调递减函数， 又－154<－14<3，所以f (－154)>f (－14)．[悟一法](1)“配方法”是研究二次函数图像和性质的基本方法，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k ，进而确定顶点坐标为(－h ，k )，对称轴为x ＝－h 等其它性质．(2)比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．[通一类]1．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，求f (1)的取值范围． 解：∵二次函数f (x )＝4x 2－mx －5在区间[－2，＋∞)上是增函数，且对称轴是x ＝m8，∴m8≤－2，即m ≤－16. ∴f (1)＝4－m ＋5＝－m ＋9≥25，∴f (1)≥25.[研一题][例2] 已知二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3， (1)当x ∈[－2，0]时，求f (x )的最值； (2)当x ∈[－2，3]时，求f (x )的最值；(3)当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )．[自主解答] ∵f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，其对称轴为x ＝1，开口向上． (1)当x ∈[－2，0]时，f (x )在[－2，0)上是单调递减的，故当x ＝－2时，f (x )有最大值f (－2)＝11; 当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝3；(2)当x ∈[－2，3]时，f (x )在 [－2，3]上是先减后增的，故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝2，又|－2－1|＞|3－1|，∴f (x )的最大值为f (－2)＝11；(3)①当t ＞1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，所以当x ＝t 时，f (x )取得取小值， 此时g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋3.②当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，f (x )在区间[t ，t ＋1]上先减再增， 故当x ＝1时，f (x )取得最小值， 此时g (t )＝f (1)＝2.③当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (t )在[t ，t ＋1]上单调递减，所以当x ＝t ＋1时，f (x )取得最小值，此时g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋2，综上得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ＋3 （t ＞1），2 （0≤t ≤1），t 2＋2 （t ＜0）.[悟一法](1)二次函数在给定区间[m ，n ]上的最值求解有以下三种情况： ①对称轴与区间[m ，n ]都是确定的；②动轴定区间，即对称轴不确定，区间[m ，n ]是确定的； ③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m ，n ]不确定．对于以上三种情况，①采用数形结合，较易解决；②和③应按对称轴和区间的位置关系分类求解，分对称轴在区间的左侧、内部、右侧三类．(2)求函数的值域应注意函数的定义域，可直接根据函数的单调性求解，也可先求其最大(小)值，再由最大(小)值确定．[通一类]2．已知函数f (x )＝x 2－(2a －4)x ＋2在[－1，1]内的最小值为g (a )，求g (a )的解析式． 解：f (x )＝[x －(a －2)]2－(a －2)2＋2，x ∈[－1，1]． 其图像的对称轴为x ＝a －2.①当a －2<－1即a <1时，函数f (x )在[－1，1]上单调递增， ∴函数f (x )的最小值g (a )＝f (－1)，即g (a )＝2a －1；②当－1≤a －2≤1即1≤a ≤3时，函数f (x )的最小值为g (a )＝f (a －2)＝－(a －2)2＋2； ③当a －2>1即a >3时，函数f (x )在[－1，1]上单调递减， ∴函数f (x )的最小值g (a )＝f (1)＝－2a ＋7. 综上：g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －1 a <1，－（a －2）2＋2 1≤a ≤3，－2a ＋7 a >3.[研一题][例3] 渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨与实际养殖量x 吨和空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求出定义域； (2)求鱼群的年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 所应满足的条件． [自主解答] (1)由题意，知空闲率为1－xm， ∴y ＝kx (1－x m)(0＜x ＜m )；(2)y ＝－km x 2＋kx ＝－k m (x －m2)2＋km4， ∵－k m＜0且0＜x ＜m ， ∴当x ＝m 2时，y max ＝km4； (3)∵当x ＝m 2时，y max ＝km4，又实际养殖量不能达到最大养殖量， ∴此时，需要m 2＋km4＜m ，解得k ＜2. 又∵k ＞0，∴0＜k ＜2.[悟一法]二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点．解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值问题．[通一类]3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司将客房日租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解：设客房日租金每间提高2x 元，则每天客房出租数为300－10x ，由x ＞0，且300－10x ＞0，得0＜x ＜30.设客房租金总收入为y 元，则有y ＝(20＋2x )(300－10x )＝－20(x －10)2＋8 000(0＜x ＜30)． 由二次函数的性质可知，当x ＝10时，y max ＝8 000.所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2，2]，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围． [巧思] 要使f (x )＞0恒成立，只需f (x )min ＞0，即可将问题转化为求f (x )的最小值问题．[妙解] 设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )＞0. (1)当－a2＜－2，即a ＞4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ＞0，得a ＜73，又a ＞4，故此时a 不存在．(2)当－a2∈[－2，2]，即a ∈[－4，4]时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24＞0，得－6＜a ＜2.又－4≤a ≤4，∴－4≤a ＜2. (3)当－a2＞2，即a ＜－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ＞0，得a ＞－7，又a ＜－4，∴－7＜a ＜－4.综上知，a 的取值范围是：－7＜a ＜2.1．函数f (x )＝4－x (x －2)的顶点坐标和对称轴方程分别是( ) A ．(2，4)，x ＝2 B ．(1，5)，x ＝1 C ．(5，1)，x ＝1D ．(1，5)，x ＝5解析：f (x )＝4－x (x －2)＝－x 2＋2x ＋4＝－(x －1)2＋5. ∴函数f (x )的图像的顶点坐标为(1，5)，对称轴方程为x ＝1. 答案：B2．二次函数y ＝a 2x 2－4x ＋1有最小值－1，则a 的值为( ) A. 2B ．－ 2C ．± 2D ．±2解析：由题意4a 2－164a 2＝－1，∴a 2＝2，∴a ＝± 2. 答案：C3．已知二次函数y ＝f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，在区间[5，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是( )A ．f (－2)<f (6)<f (11)B ．f (11)<f (6)<f (－2)C ．f (6)<f (11)<f (－2)D ．f (11)<f (－2)<f (6)解析：法一：由二次函数的两个单调区间知，该二次函数的对称轴为x ＝5，离对称轴越近函数值越小．法二：由题意知，该二次函数图像的对称轴为x ＝5. ∴f (5＋x )＝f (5－x )．∴f (－2)＝f (5－7)＝f (5＋7)＝f (12)． ∵f (x )在[5，＋∞)上单调递增，∴f (6)<f (11)<f (12)．∴f (6)<f (11)<f (－2)． 答案：C4．函数y ＝－x 2＋4x 的单调递增区间是________． 解析：∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴函数y ＝－x 2＋4x 的单调递增区间为(－∞，2]． 答案：(－∞，2]5．函数y ＝3x 2－6x ＋1，x ∈[0，3]的最大值是________，最小值是________． 解析：y ＝3(x －1)2－2，该函数的图像如下．从图像易知：f (x )max ＝f (3)＝10，f (x )min ＝f (1)＝－2.答案：10 －26．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5] . (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使函数y ＝f (x )在[－5，5]上是单调函数． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∵x ∈[－5，5]，∴当x ＝1时，f (x )的最小值为1. 当x ＝－5时，f (x )的最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图像的对称轴为x ＝－a . ∵f (x )在[－5，5]上是单调函数， ∴－a ≤－5，或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.一、选择题1．下列区间中，使函数y ＝－2x 2＋x 是增函数的是( ) A ．R B ．[2，＋∞) C ．[14，＋∞)D ．(－∞，14]解析：函数y ＝－2x 2＋x ＝－2(x －14)2＋18的图像的对称轴是直线x ＝14，图像的开口向下，所以函数在对称轴x ＝14的左边是增加的．答案：D2．如果函数y ＝4x 2－kx －8在[5，20]上是单调函数，则实数k 的取值范围为( ) A ．k ≤40B ．k ≥160C ．40<k <160D ．k ≤40或k ≥160解析：抛物线y ＝4x 2－kx －8的对称轴为x ＝k8，若函数y ＝4x 2－kx －8在[5，20]上是单调函数， 则k 8≤5或k8≥20. ∴k ≤40或k ≥160. 答案：D3．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是( )A ．(0，4]B ．[32，4]C ．[32，3]D ．[32，＋∞)解析：y ＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254，∴图像的对称轴为x ＝32，顶点为(32，－254)，结合图像可知，32≤m ≤3. 答案：C4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.56万元C ．45.6万元D ．45.51万元解析：设公司获得的利润为y ，在甲地销售了x 辆，则在乙地销售了(15－x )辆． 则y ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15，x ∈N )， 此二次函数的对称轴为x ＝10.2，∴当x ＝10时，y 有最大值为45.6(万元)． 答案：C 二、填空题5．设函数f (x )＝4x 2－(a ＋1)x ＋5在[－1，＋∞)上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数，则f (－1)＝________．解析：∵a ＋18＝－1，∴a ＝－9，则f (x )＝4x 2＋8x ＋5.∴f (－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1. 答案：16．已知二次函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋a )(常数a ，b ∈R )的图像关于y 轴对称，其值域为(－∞，4]，则a ＝________，b ＝________．解析：f (x )＝(x ＋a )(bx ＋a )＝bx 2＋a (b ＋1)x ＋a 2.f (x )图像的对称轴为x ＝－a （b ＋1）2b＝0，∴b ＝－1. ∴f (x )＝－x 2＋a 2，顶点为(0，a 2)． ∵f (x )的值域为(－∞，4]，∴a 2＝4，∴a ＝±2. 答案：±2 －17．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为 ________．解析：由图知抛物线的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标是(3，0)，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－1，0)．所以关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为x 1＝－1，x 2＝3. 答案：－1，38．已知关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4， 法一：当a ＝2时，f (x )＝－4<0恒成立；当a ≠2时，f (x )＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立， 即f (x )有最大值且最大值小于零．即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，f （x ）max ＝－a －2<0， 解得－2<a <2.综上知，a 的取值范围是(－2，2]． 法二：a ＝2时不等式显然成立，a ≠2时，若不等式成立，即f (x )＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立， 必有a －2<0，且Δ＝4(a －2)2＋4(a －2)×4<0， 解得－2<a <2. 综上得－2<a ≤2.∴a 的取值范围是(－2，2]． 答案：(－2，2] 三、解答题9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)的图像与y 轴交于点(0，1)，且满足f (－2＋x )＝f (－2－x )(x ∈R )．(1)求该二次函数的解析式；(2)已知函数在(t －1，＋∞)上为增加的，求实数t 的取值范围． 解：(1)由函数f (x )的图像与y 轴交于点(0，1)，知c ＝1. 又f (－2＋x )＝f (－2－x )，∴函数f (x )的对称轴为x ＝－22a ＝－1a ＝－2.∴a ＝12.∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.(2)∵函数f (x )在(t －1，＋∞)上为增函数， ∴t －1≥－2.∴t ≥－1.10．某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R )与销售量(t )的关系可用抛物线表示如图．(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)(1)写出销售收入(R )与销售量(t )之间的函数关系R ＝f (t )；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．解：(1)由图可知：R ＝a (t －5)2＋252，由t ＝0时，R ＝0，得a ＝－12.∴R ＝－12(t －5)2＋252(0≤t ≤5)；(2)年纯收益y ＝－12t 2＋5t －0.5－14t ＝－12t 2＋194t －0.5，当t ＝194＝4.75时，y 取得最大值10.78万元．故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．。

二次函数的图象与性质 练案一、形式上区别与联系我们知道函数2)(h x a y -=+k 的图像是一条抛物线，它的开口由a 决定，当a>0时开口________,当a<0时，开口______，它的对称轴是直线____________，顶点坐标是_________1、把函数2y ax =写成2)(h x a y -=+k 的形式可以写为 _________________，由此，我们可以得到抛物线2y ax =与2)(h x a y -=+k 的开口方向相同，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴或写成直线__________，顶点是原点或写出坐标是_______________.2、把函数k ax y +=2写成2)(h x a y -=+k 的形式可以写为 ____________________，由此，我们可以得到抛物线k ax y +=2与2)(h x a y -=+k 的开口方向相同，抛物线k ax y +=2的对称轴是y 轴或写成直线__________，顶点坐标是_______________.3、把函数2)(h x a y -=写成2)(h x a y -=+k 的形式可以写为 ___________________由此，我们可以得到抛物线2)(h x a y -=与2)(h x a y -=+k 的开口方向相同，抛物线2)(h x a y -=的对称轴是直线__________，顶点坐标是_______________.二、各型函数的图像之间的关系（一）函数2y ax =与k ax y +=2的图象关系 例如：函数22x y =与222+=x y ．（1）22x y =开口方向 、对称轴 ，顶点坐标分别是（ ， ）；222+=x y 开口方向 、对称轴 ，顶点坐标分别是（ ， ）（2）将22x y =的图象向 （上、下、左、右）平移 个单位可以得到222+=x y 的图象 ；结论：函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得（口诀：加向上，减向下）k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：（二）函数2ax y =与2)(h x a y -=的图象关系 例如：函数221x y =与2)2(21+=x y ． （1）221x y =开口方向 、对称轴 ，顶点坐标分别是（ ， ）； 2)2(21+=x y 开口方向 、对称轴 ，顶点坐标分别是（ ， ） （2）将抛物线221x y =向 平移 个单位可以得到2)2(21-=x y 的图像。