2017届高三数学一轮复习数系的扩充与复数的引入基丛点练理

课时分层训练(二十六) 数系的扩充与复数的引入A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) C [A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数．C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数．D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C ．]2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 A [(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A ．]3．(2016·山东高考)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i B [∵z ＝21－i ＝21＋i 1－i 1＋i ＝21＋i 2＝1＋i ，∴z －＝1－i.] 4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1.∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B ．]5．(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2 A [法一：z ＝1＋i i ＝1＋i －i i －i ＝1－i ， z 2＝(1－i)2＝－2i.法二：(z i)2＝(1＋i)2，－z 2＝2i ，z 2＝－2i.故选A ．]6．若i 为虚数单位，图4­4­2中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i 的点是( )图4­4­2 A ．EB ．FC ．GD ．H D [由题图知复数z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z 1＋i的点为H .] 7．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是 ( )【导学号：00090146】A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．]二、填空题8．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.]9．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i为实数，则a ＝________. －12 [1＋a i 2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i2＋i ＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i. ∵1＋a i 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.]10．(2018·南昌模拟)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________. 【导学号：00090147】 10 [z ＝－1＋i,1－z ＝1－(－1－i)＝2＋i ，所以|(1－z )·z |＝|(2＋i)(－1＋i)|＝|2＋i|·|－1＋i|＝5×2＝10.] B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( ) A ．z 21＝z 2B ．|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数C [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C ．]2．(2018·濮阳模拟)计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017＝( ) A ．－2iB ．0C ．2iD ．2 B [∵1＋i 1－i ＝1＋i 21＋i 1－i ＝2i 2＝i ，1－i 1＋i＝－i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017＝(i 4)504·i＋[(－i)4]504·(－i)＝i －i ＝0，故选B ．] 3．(2018·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫3z 2＋z 2(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z 2＝2a ＋b i ， 故2a ＋b i ＝5－2i 1－22i＝1＋2i ， 故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．] 4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________. 【导学号：00090148】12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝12＋32i.]。

2017高考数学一轮复习 第十五章 数系的扩充与复数的引入 15.1复数的概念对点训练 理1．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( )A ．2－3iB ．2＋3iC ．3＋2iD ．3－2i答案 A解析 因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i.2.设i 是虚数单位，则复数2i 1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 2i 1－i ＝＋－＋＝－1＋i ，其在复平面内所对应的点位于第二象限．3．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i 答案 A解析 由题意知：z 2＝－2＋i.又z 1＝2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.4．设z ＝10i 3＋i，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i答案 D解析 z ＝10i3＋i ＝－＋－＝30i ＋1032＋12＝1＋3i ，z ＝1－3i ，选D. 5．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i答案 D解析 由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1.所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.6.i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 答案 －2解析 由题意知，复数(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i 是纯虚数，则实部a ＋2＝0，虚部1－2a ≠0，解得a ＝－2.7．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 答案 5解析 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，a ，b ∈R ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z |＝ 5. 8．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 答案 21解析 由题意，得z ＝(5＋2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，其实部为21.。