高三数学复数测试题doc

高三数学二轮精品专题卷：复数及算法框图考试范围：复数及算法框图一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．32111ii i +-的值等于（ ） A ． 1 B ．1-C ．iD ．i -2．执行下图所示的程序框图，输出结果是（ ） A ．5B ．3C ．2D ．13．（理）已知复数z 满足i iz -=+121，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为 （ ） A ．i 21-B ．i 21+C ．i +2D ．i -2（文）若i 是虚数单位，则复数12-i i的共轭复数是 （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --14．执行下图所示的程序框图，输出结果是（ ） A ．5 B ．8C ．13D ．215．若复数z 满足i z i 41=-）（，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．下图给出的是计算39151311+⋯+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i第2题图 第4题图 第6题图 7．若复数iia z -+=1，且03＞zi ，则实数a 的值等于 （ ）A ．1B ．1-C ．21D ．21-8．下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为7时，输出y 的结果恰好是1-，则处理框中的关系式是 （ ） A ．3x y =B ．x y -=2C ．x y 2=D ．1+=x y9．（理）已知∈b a ,R ，且复数∈++=biia z 1R ，则ab 等于 （ ） A ．0B ．1-C ．2D ．1（文）集合{}*-∈-==N n i i x x P n n ,|的子集的个数为 （ ） A ．4B ．8C ．16D ．无数个10．如下图，若输入的x 的值分别为3π和32π时，相应输出的y 的值分别为21,y y ，则 （ ）A ．21y y =B ．21y y ＞C ．21y y ＜ D ．无法确定11．若复数ia z 21-=是纯虚数，其中a 是实数，则=||z （ ） A ．1B ．2C ．21 D ．41 12．下图是统计高三年级2000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是560，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是 （ ） A ．0.28B ．0.38C ．0.72D ．0.62第8题图 第10题图 第12题图13．在复平面上的平行四边形ABCD 中，向量AC 、BD对应的复数分别为i 104+、i 86+-，则向量DA 对应的复数为 （ ） A ．i 182+ B ．i 91+C ．i 182-D ．i 91-14．运行列流程图，输出结果为（ ） A ．5B ．3C ．3-D ．2-14题图15．（理）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m 的取值范围是 （ ） A ．(56，72] B ．(72，90] C ．(90，110] D ．(56，90)（文）按如图所示的程序框图运算，若输出2=k ，则输入x 的取值范围是（ ） A ．］，（2200942007 B ．），［2200942007 C ．），（2200942007 D ．］，［220094200715（文）图 15（理）图 二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.把答案填写在题中横线上） 16．已知复数 300sin 600cos i z -=，则在复平面内，复数z1所对应的点在第 象限． 17．如下图，根据程序框图可知，输出的函数）（x f 的解析式为 ．18．已知纯虚数z 满足i m z i +=+21）（，其中i 是虚数单位，则实数m 的值等于 ． 19．如下图是计算3331021+⋯++的程序框图，图中的①、②分别是 和 ．第17题图 第19题图 第20题图20．在流程图中（右上），若输出的函数）（x f 的函数值在区间］，［3391内，则输入的实数x 的取值范围是 ． 21．（理）已知∈b R 复数211+++i i b 的实部和虚部相等，则b 等于 ． （文）已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则225z i = ．22．如下图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为π433时，输出的y 的结果为 ． 23．已知复数i n m z ）（lg lg -=，其中i 是虚数单位，若复数z 在复平面内对应的点在直线x y =上，则mn 的值等于 ．．24．阅读下面的程序框图，该程序输出的结果是 ．22题图 24题图25．若复数）（）（ai i z ++=212对应的点在复平面的第一象限，则实数a 的取值范围是 ．26．如图所示的程序框图，若输入7=n ，则输出的n 值为 ．第26题图27．若数列{}n a 满足n n a i a i i a )1()1(11+=-=+，,则=2011a ． 28．如图是一个算法的程序框图，当输出结果为41时，请你写出输入的x 的的值 ．第28题图29．设复数i a a z )2()4(2++-=，若02＜z ，则实数a 的值为 ． 30．（理）如图所示的流程图，输出的结果为 ． （文）一个算法的程序框图如下，则其输出结果是 ．30（理）图 30（文）图2012届专题卷数学专题五答案与解析1．【命题立意】本题考查虚数单位i 的性质及其运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i的性质：1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）复数的除法运算法则． 【答案】A 【解析】2311111111i i i i i i i -+=--+=-++=--． 2．【命题立意】本题考查对基本算法语句以及顺序结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法中的赋值语句；（2）算法中的输出语句．【答案】C 【解析】2352m n m n =→=→=→=．3．（理）【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数乘法运算法则；（2）共轭复数的概念． 【答案】A 【解析】由112z i i+=-得2(1)122112z i i i i =--=+-=+，所以12z i =-． （文）【命题立意】本题考查复数的除法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数除法运算法则；（2）共轭复数的概念． 【答案】A 【解析】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===---+-，故复数21ii -的共轭复数是1i +． 4．【命题立意】本题考查算法中的循环结构以及程序框图．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）赋值语句的含义；（2）循环结构的特点． 【答案】B 【解析】执行过程为：1,1,2x y z ===→1,2,3x y z ===→2,3,5x y z ===→3,5,8x y z ===→5,8,1310x y z ===>，输出8y =．5．【命题立意】本题考查复数除法运算以及复数的几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的除法运算法则；（2）复数的几何意义．【答案】B 【解析】由于(1)4i z i -=，所以4221iz i i==-+-，因此复数z 对应的点在复平面的第二象限．6．【命题立意】本题考查对算法循环结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的基本要求；（2）算法循环结构中的计数变量的赋值规则．【答案】C 【解析】式子11113539+++⋅⋅⋅+一共有20项，所以循环体应执行20次，当计数变量i 的值大于20时跳出循环，因此应填20>i ．7．【命题立意】本题考查复数的运算以及复数的有关概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的运用；（2）若两个复数能够比较大小，它们都是实数．【答案】A 【解析】由于331(1)(1)1111222a i ai ai i a azi i i i i +--++-=⋅===+--，依题意得1010a a -=⎧⎨+>⎩，解得1a =．8．【命题立意】本题考查算法中的循环结构及其应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行过程特点；（2）常见函数的性质．【答案】A 【解析】依题意，输入的x 值为7，执行4次循环体，x 的值变为1-，这时，如果输出y 的结果恰好是1-，则函数关系式为3y x =．9．（理）【命题立意】本题考查复数的相关概念除法运算、分母实数化方法、【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数时实数的充要条件；（2）分母实数化方法．【答案】D 【解析】2()(1)()(1)1(1)(1)1a i a i bi a b ab i z bi bi bi b ++-++-===++-+，由于R ∈z ，所以10ab -=，即1ab =．（文）【命题立意】本题考查虚数单位i 幂值的周期性以及集合子集的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i 幂值的周期性： 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）若集合有m 个元素，则有2m 个子集． 【答案】B 【解析】当1,2,3,4n =时，2,0,2,0x i i =-，因此集合P 只有3个元素：2,2,0x i i =-，故有8个子集．10．【命题立意】本题考查算法条件分支结构与三角函数的求值．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分支结构的运行流程；（2）正弦函数与余弦函数的求值．【答案】B 【解析】输入x 的值为3π时，输出112y =，输入x 的值为23π时，输出212y =-，因此有12y y >，选B ．11．【命题立意】本题考查纯虚数的概念以及复数模的求解．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的应用；（2）纯虚数的概念；（3）复数模的计算公式． 【答案】C 【解析】由于221222(2)(2)44a i a z i a i a i a i a a +===+--+++，所以204a a =+，得0a =，这时12z i =，故1||2z =． 12．【命题立意】本题考查算法循环结构以及统计中频率的计算．[来源:金太阳新课标资源网 ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的特点；（2）频率的计算公式． 【答案】C 【解析】根据流程图可知，输出结果为数学分数低于90分的同学的人数，因此这次考试数学分数不低于90分的同学的是20005601440-=，其频率为14400.722000=． 13．【命题立意】本题考查复数的几何意义以及复数与向量的关系．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键知识点：（1）复数的几何意义；（2）复数与向量的一一对应关系．【答案】D 【解析】设平行四边形对角线交于O 点，则11,22AO AC OD BD ==，即25,34A O i O D i =+=-+，又因为DA OA OD AO OD =-=-- ，所以向量DA 对应的复数为(25)(34)19DA i i i =----+=-，选D ． 14．【命题立意】本题考查算法程序框图的理解与运用以及余弦定理的应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）理解流程图的执行过程；（2）利用余弦定理判断三角形是钝角三角形的方法．【答案】D 【解析】程序的运行过程为：2,4,5m a b ===，以2,4,5为三边的三角形是钝角三角形，1,4n m =-=，以4,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，6m =，以6,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，8m =，以8,4,5为三边的三角形是钝角三角形，2n =-，109m =>，输出2n =-． 15．（理）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】B 【解析】由于程序的运行结果是10，所以可得24681012141624681012141618mm +++++++<⎧⎨++++++++≥⎩，解得7290m <≤．（文）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】A 【解析】由于程序的运行结果是2k =，所以可得2120102(21)12010x x +≤⎧⎨++>⎩，解得2007200942x <≤． 16．【命题立意】本题考查复数的除法运算以及几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的运算方法——分母实数化．（2）复数za bi =+在复平面内对应的点为(,)ab ．【答案】三【解析】 300sin 600cos i z -=001cos600sin 3002zi =-=-，于是112z ==-，所以1z对应的点在第三象限．17．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构以及分段函数问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法条件分支结构的特点；（2）分段函数的解析式应分段求解．【答案】22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或【解析】依题意，当()x h x >，即22x x x +<，10x -<<时，2()2f x x x =+；当()x h x ≤，即22x x x +≥，0x ≥或1x ≤-时，()f x x =．因此22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或．18．【命题立意】本题考查纯虚数的概念与复数的运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）一个复数为纯虚数，可设其为)0,(≠∈=b b bi z R ；（2）复数的运算．【答案】12-【解析】2(2)(1)(21)(12)(1)2122m i m i i m m ii z m i z i ++-++-+=+⇒===+，因为z 为纯虚数，所以12m =-．19．【命题立意】本题考查循环结构以及循环体的补充．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中计数变量的赋值方法；（2）循环结构中累加变量的赋值方法． 【答案】3ss i =+ 1i i =+【解析】要补充的循环体应该由计数变量i 和累加变量s 构成，根据该算法的功能，应在①处填3ss i =+，②处填1i i =+．[来源:金太阳新课标资源网]20．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的条件分支结构的特点；（2）已知分段函数的函数值求自变量值时应分段求解．【答案】1[2,]2--【解析】若[3,3]x ∉-，则1()1[9f x =∉不合题意，当[3,3]x ∈-时，1()3[9x f x =∈，解得1[2,]2x ∈--，此即为x 的取值范围．21．（理）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法；（2）若复数),(R ∈+=b a bi a z ，则其实部与虚部分别为,a b ．【答案】12-【解析】1()(1)1(1)(1)12(1)12(1)(1)22222b i b i i b b i b b i i i i ++-++-+-+=+=+=+++-，依题意有2122b b +-=，解得12b =-．（文）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数实部与虚部的概念；（2）复数的乘法与除法运算法则．【答案】43i -+【解析】依题意2z i =-+，则2225252525(34)43(2)34(34)(34)i i i i i i z i i i i +====-+-+--+. 22．【命题立意】本题考查算法流图以及三角函数的周期与求值问题．[来源: ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）正弦函数的最小正周期为2π．33sin(8)sin 44y πππ=-=． 23．【命题立意】本题考查复数的几何意义、对数运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的几何意义；（2）对数的运算法则． 【答案】1【解析】依题意，复数z 在复平面内对应的点是(lg ,lg )m n -，它在直线y x =上，所以0lg lg =+n m ，即0)lg(=mn ，所以1=mn ．24．【命题立意】本题考查算法的循环结构及其应用【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中循环体的执行次数；（2）赋值语句的含义．【答案】729【解析】按照程序框图，可知最后输出结果为1999729s =⨯⨯⨯=． 25．【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及复数几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的乘法运算法则；（2）复数的几何意义．[来源: ]【答案】0a <【解析】2(1)(2)2(2)24z i ai i ai a i =++=+=-+，其对应的点在第一象限，则有20a ->，所以0a <．26．【命题立意】本题考查算法流程图以及幂函数的单调性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行流程；（2）幂函数的单调性． 【答案】1-【解析】执行过程53175,()3,()1,()1,()n n f x x n f x x n f x x n f x x=→==→==→==→=-=在(0,)+∞单调递减，故输出1n =-．27．【命题立意】本题考查虚数单位i 的幂值的周期性与等比数列的定义及通项公式．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）等比数列的定义及通项公式；（2）虚数单位i 的幂值的周期性．【答案】i -【解析】由1(1)(1)n n i a i a +-=+得111n n a ii a i++==-，所以数列{}n a 是公比为i 的等比数列，于是20102010201120111()()a a i i i i i =⋅=⋅==-．28．【命题立意】本题考查算法条件分支结构以及分段函数的求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）条件分支结构的特点；（2）分类讨论解决分段函数求值问题． 【答案】2-，42【解析】令124x =，得2x =-，所以当输入的2x =-时，输出结果为14；令21log 4x =，得142x =，所以当输入的42=x 时，输出结果也为14；29．【命题立意】本题考查复数的运算以及纯虚数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）若一个复数的平方是负数，则它一定是纯虚数；（2）纯虚数的概念． 【答案】2【解析】由2z＜0知z 一定为纯虚数，所以得：24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =．30．（理）【命题立意】本题考查算法流程图以及三角函数的周期性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的循环结构；（2）sin 3n π的值具有周期性．2320112012sin sin sin sin sin33333sπππππ=+++++的值，由于23456sin0,sin0 333333ππππππ======，所以23456sin sin sin sin sin sin0333333ππππππ+++++=，因此2320112012sin sin sin sin sin033533333sπππππ=+++++=⨯=（文）【命题立意】本题考查算法流程图与三角函数周期性与求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）cos2nπ的值具有周期性．【答案】0【解析】该算法的功能是计算式子232012cos cos cos cos2222pππππ=++++的值，由于234cos0,cos1,cos0,cos1,2222ππππ==-== ，所以(0101)5030p=-++⨯=．。

2022-2024北京高三二模数学汇编复数的四则运算一、单选题1．（2024北京西城高三二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是1)-，则⋅=z z （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．（2024北京顺义高三二模）已知复数z 的共轭复数z 满足()1i 2i z +⋅=，则z z ⋅=（ ）A B ．1 C ．2 D ．4 3．（2024北京通州高三二模）在复平面内，复数z 对应的点的坐标为1,1，则2i z =（ ） A ．1i -+ B ．22i -+ C ．1i - D ．22i - 4．（2023北京昌平高三二模）已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=，则a 的值为（ ）A B ．2 C ．D ．2± 5．（2023北京丰台高三二模）若复数i(i 1)z =-，则|1|z -=（ ）A ．2i --B ．i -CD ．5二、填空题6．（2024北京海淀高三二模）若()2(i)2i R x x +=∈，则x = .7．（2024北京昌平高三二模）已知复数1i iz +=，则z z ⋅= ． 8．（2024北京东城高三二模）若复数z 满足2i 1i z =++.则在复平面内，z 对应的点的坐标是 . 9．（2023北京海淀高三二模）在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅= ． 10．（2022北京海淀高三二模）已知,a b 均为实数.若()i i i b a +=+，则a b += ． 11．（2022北京东城高三二模）已知复数z 满足(1i)3i z -=+，则z = ，||z = ．参考答案1．D【分析】由复数的几何意义得出z ，再运算化简即可.【详解】复数z 对应的点的坐标是1)-，所以i z ，i z =，所以)22i i i 314z z ⋅==-=+=. 故选：D ．2．C 【分析】根据复数除法运算求出z ，然后即可求解.【详解】因为()1i 2i z +⋅=， 所以()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z -===+++-， 所以1i z =-，所以()()1i 1i 2z z ⋅=-+=.故选：C3．A【分析】由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可.【详解】由题意可得1i z =-， 所以()()()2i 1i 2i 2i i 11i 1i 1i 1i z +===-=-+--+， 故选：A.4．D【分析】根据共轭复数的概念及复数的乘法运算得解.【详解】因为i z a =+， 所以2(i)(i)15z z a a a ⋅=+-=+=，解得2a =±，故选：D5．C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数模的计算公式计算可得.【详解】因为2i(i 1)i i 1i z =-=-=--，所以12i z -=--，则|1|z -故选：C6．1【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于x 的方程组，解之即可得解.【详解】因为2(i)2i x +=，所以222i i 2i x x ++=，即212i 2i x x -+=，所以21022x x ⎧-=⎨=⎩，解得1x =. 故答案为：1.7．2【分析】由复数的运算和共轭复数的定义计算求出结果即可. 【详解】由题意可得()1i i 1i 1i iz +==-+=-， 所以1i z =+， 所以()()21i 1i 1i 2z z ⋅=-+=-=，故答案为：2.8．()1,3【分析】根据复数的乘法运算求z ，再结合复数的几何意义分析求解. 【详解】因为2i 1i z =++，可得()()2i 1i 13i z =++=+， 所以z 对应的点的坐标是()1,3.故答案为：()1,3.9．2【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，由乘法运算即可求解.【详解】由题意可知1i z =+ ，所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=， 故答案为：210．0【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.【详解】()i i i i 1b a a ==++-，故1,1a b ==-，0a b +=. 故答案为：0.11． 12i +/2i+1 【分析】利用复数的除法化简得到z =12i +，利用复数的模长公式即得.【详解】∵(1i)3i z -=+， ∵3i 3i 1i 1()(1+i)24i 12i ()i (1i)2z +====+--+++，z =故答案为：12i +。

专题四 向量、复数1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i解析：选B.1＋2i (1－i )2＝1＋2i 1－2i ＋i 2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i 2＝－1＋12i. 2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4 D.45解析：选D.∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)|21＋i|＝( )A ．2 2B ．2 C. 2 D ．1解析：选C.由21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 1－i 2＝1－i ，∴|21＋i |＝|1－i|＝ 2.故选C. 4．(2013·高考大纲全国卷)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析：选B.因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.5．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i解析：选A.设z ＝a ＋b i ，则(1－i)(a ＋b i)＝2i ，即(a ＋b )＋(b －a )i ＝2i. 根据复数相等的充要条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b －a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， ∴z ＝－1＋i.故选A.6．(2013·高考山东卷)复数z ＝(2－i )2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25 B.41 C ．5 D. 5解析：选C.z ＝(2－i )2i ＝4－4i ＋i 2i ＝3－4ii＝－4－3i ，∴|z |＝(－4)2＋(－3)2＝25＝5.7．(2013·高考山东卷)复数z ＝(2－i )2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25 B.41 C ．5 D. 5解析：选C.z ＝(2－i )2i ＝4－4i ＋i 2i ＝3－4ii＝－4－3i ，∴|z |＝(－4)2＋(－3)2＝25＝5.8．(2013·高考浙江卷)已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5i D ．7＋5i解析：选C.(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i. 9．(2013·高考大纲全国卷)(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8i D ．8i解析：选A.原式＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i 2＝－8.10．(2013·高考山东卷)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：选D.由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3＝5(2＋i )5＋3＝5＋i ，∴z＝5－i.故选D.11．(2013·高考北京卷)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选A.∵z ＝i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i ，∴复数z 在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限．12．(2013·高考福建卷)在四边形ABC D 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C.∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴AC →⊥BD →，∴S 四边形ABC D ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 13．(2013·高考安徽卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3解析：选D.由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，知 OA →，OB →＝π3.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB 中，取OC →＝λOA →，过点C 作C D ∥OB 交AB 于点D ，作DE ∥OA 交OB 于点E ，显然OD →＝λOA →＋CD →.由于CD OB ＝AC AO ，CD OB ＝2－2λ2，∴CD →＝(1－λ)OB →，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋μOB →＝OP →，∴λ＋μ＝1时，点P 在线段AB 上， ∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P 必在△OAB 内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P 构成的集合恰好是以AB 为一边，以OA ，OB 为对角线一半的矩形，其面积为S ＝4S △OAB ＝4×12×2×2s in π3＝4 3.14．(2013·高考浙江卷) 设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC 解析：选D.不妨设AB ＝4，则P 0B ＝1，P 0A ＝3. 设点C 在直线AB 上的投影为点C ′.A 项，若∠ABC ＝90°，如图，则PB →·PC →＝|PB →|·|PC →|·co s ∠BPC ＝|PB →|2， P 0B →·P 0C →＝|P 0B →|2.当点P 落在点P 0的右侧时，|PB →|2<|P 0B →|2，即PB →·PC →<P 0B →·P 0C →，不符合；B 项，若∠BAC ＝90°，如图，则PB →·PC →＝|PB →|·|PC →|co s ∠BPC ＝－|PB →||P A →|， P 0B →·P 0A →＝－|P 0B →||P 0A →|＝－3.当P 为AB 的中点时，PB →·PC →＝－4， PB →·PC →<P 0B →·P 0C →，不符合；C 项，若AB ＝AC ，假设∠BAC ＝120°，如图，则AC ′＝2，PB →·PC →＝|PB →|·|PC →|co s ∠BPC ＝－|PB →||PC →|，P 0B →·P 0C →＝|P 0B →||P 0C →|co s ∠BP 0C ＝－|P 0B →||P 0C →′|＝－5.当P 落在A 点时，－|PB →||PC ′→|＝－8，所以PB →·PC →<P 0B →·P 0C →，不符合．故选D.15．(2013·高考福建卷)复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C.z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．16．(2013·高考辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)解析：选A.AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝(35，－45)．17．(2013·高考辽宁卷)复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选B.因为z ＝1i －1＝－12－12i ，所以|z |＝|－12－12i|＝22.18．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b, 则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0解析：选C.由a ∥b ⇒m 2＝1×2⇒m ＝2或m ＝－ 2. 19．(2013·高考陕西卷)设z 是复数， 则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 解析：选C.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2.故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确． 选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ， 由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．20．(2013·高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2 解析：选C.∵a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴|a ＋b |＝ 2. ∴|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1. ∴c 2－2c ·(a ＋b )＋1＝0， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∴c 2＋1＝2|c ||a ＋b |co s θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． ∴c 2＋1＝22|c |co s θ≤22|c |.∴c 2－22|c |＋1≤0. ∴2－1≤|c |≤2＋1.∴|c |的最大值为2＋1. 21．(2013·高考湖南卷)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选B.∵z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．22．(2013·高考江西卷)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D.因为z ＝i(－2－i)＝1－2i ，所以复数z 对应的点在第四象限．23．(2013·高考湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D(3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.由已知得AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322. 24.(2013·高考四川卷)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B.表示复数z 的点A 在第二象限，由共轭复数的定义，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．25．(2013·高考浙江卷)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3i D ．－1＋i 解析：选B.(－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i. 26．(2013·高考北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选D.∵(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴复数(2－i)2在复平面内对应点的坐标为(3，－4)， 对应的点位于复平面内第四象限． 27．(2013·高考广东卷)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.对于①，若向量a ，b 确定，因为a －b 是确定的，故总存在向量c ，满足c ＝a －b ，即a ＝b ＋c ，故正确；对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足a ＝λb ＋μ c ，故正确；对于③，如果a ＝λb ＋μ c ，则以|a |，|λb |，|μ c |为三边长可以构成一个三角形，如果b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ满足a ＝λb ＋μ c ，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以|a |，|λb |，|μ c |为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误．故选C.28．(2013·高考广东卷)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选D.法一：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以x ＋y i ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )i (－i )＝4－3i ，故|x＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.法二：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以－y ＋x i ＝3＋4i ，所以x ＝4，y ＝－3，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.法三：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以(－i)i(x ＋y i)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i ，即x ＋y i ＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.29．(2013·高考安徽卷)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选D.因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.30．(2013·高考福建卷)在四边形ABC D 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C.∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴AC →⊥BD →，∴S 四边形ABC D ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 31．(2013·高考福建卷)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限． 32．(2013·高考辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)解析：选A.AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝(35，－45)．33．(2013·高考辽宁卷)复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选B.因为z ＝1i －1＝－12－12i ，所以|z |＝|－12－12i|＝22.34．(2013·高考陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a||b|”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.若|a ·b |＝|a ||b |，若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ； 若a ，b 均不为零向量，则 |a ·b |＝|a ||b ||co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |， ∴|co s 〈a ，b 〉|＝1，∴〈a ，b 〉＝π或0， ∴a ∥b ，即|a ·b |＝|a ||b |⇒a ∥b . 若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π， ∴|a ·b |＝||a ||b |co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |， 其中，若a ，b 有零向量也成立， 即a ∥b ⇒|a ·b |＝|a ||b |. 综上知，“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 35．(2013·高考陕西卷)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2B ．若z 1＝z －2，则z －1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：选D.A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z －1＝z －2，真命题；B ，z 1＝z －2⇒z －1＝z ＝2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2⇒|z 2|2⇒z 1·z －1＝z 2·z －2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题． 36．(2013·高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2] 解析：选A.∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量， ∴|a |＝|b |＝1.又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1. ∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2，∴c 2＋1＝22|c |co s θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤co s θ≤1， ∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1. 37．(2013·高考湖南卷)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选B.∵z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．38．(2013·高考江西卷)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：选C.因为M ＝{1,2，z i}，N ＝{3,4}，由M ∩N ＝{4}，得4∈M ，所以z i ＝4，所以z ＝－4i.39．(2013·高考湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D(3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.由已知得AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322. 40．(2013·高考湖北卷)在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，所以z －＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．41.(2013·高考四川卷)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．C D ．D解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．42．(2013·高考重庆卷)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，52B.⎝⎛⎦⎤52，72C.⎝⎛⎦⎤52，2D.⎝⎛⎦⎤72，2 解析：选D.∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →) ＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA 2→＝0， ∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA 2→. ∵AP →＝AB 1→＋AB 2→， ∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →.∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1， ∴OP 2→＝1＋1＋OA 2→＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OB 2→·OA →)＝2＋OA 2→＋2(－OA 2→)＝2－OA 2→， ∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA 2→<14，∴74<OA 2→≤2，即|OA →|∈⎝⎛⎦⎤72，2. 43．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABC D 的边长为2，E 为C D 的中点，则AE →·BD →＝________.解析：如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，A D 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D(0,2)，E(1,2)，∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：244．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：5 45．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.解析：|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°. ∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝t ×1×1×12＋(1－t )×1＝t 2＋1－t ＝1－t2.∵b ·c ＝0，∴1－t2＝0，∴t ＝2.答案：246．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABC D 的边长为2，E 为C D 的中点，则AE →·BD →＝________.解析：如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，A D 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D(0,2)，E(1,2)，∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：247．(2013·高考山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为 ________.解析：∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，∴(λAB →＋AC →)(AC →－AB →)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，∴(λ－1)|AC →||AB →|co s 120°－9λ＋4＝0.∴(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.答案：71248．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，A D ＝12AB ，B E ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12. 答案：1249．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，A D ＝12AB ，B E ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12. 答案：1250．(2013·高考浙江卷)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：根据题意，得 (|x ||b |)2＝x 2(x e 1＋y e 2)2＝x 2(x e 1)2＋(y e 2)2＋2xy e 1·e 2＝x 2x 2＋y 2＋2xy cosπ6＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝11＋(y x )2＋3y x ＝1(y x ＋32)2＋14.因为(y x ＋32)2＋14≥14，所以0<(|x ||b |)2≤4，所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.答案：251．(2013·高考北京卷)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．解析：设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y ＋1)．由题意知AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)． 由AP →＝λAB →＋μAC →知(x －1，y ＋1)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1. ∴⎩⎨⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33，∵1≤λ≤2,0≤μ≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3.作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4,2)，N (6,3)，故|MN |＝ 5.又x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×35＝3.答案：3 52．(2013·高考天津卷)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________. 解析：(3＋i)(1－2i)＝3－5i －2i 2＝5－5i. 答案：5－5i 53．(2013·高考天津卷)在平行四边形ABC D 中，A D ＝1，∠BA D ＝60°，E 为C D 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析：由已知得AC →＝AD →＋AB →，BE →＝AD →－12AB →，∴AC →·BE →＝AD →2－12AB →·AD →＋AB →·AD →－12AB →2＝1＋12AB →·AD →－12|AB →|2＝1＋12|AB →|·|AD →|co s 60°－12|AB →|2＝1，∴|AB →|＝12.答案：1254．(2013·高考天津卷)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________. 解析：(3＋i)(1－2i)＝3－5i －2i 2＝5－5i. 答案：5－5i 55．(2013·高考浙江卷)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：根据题意，得 (|x ||b |)2＝x 2(x e 1＋y e 2)2＝x 2(x e 1)2＋(y e 2)2＋2xy e 1·e 2＝x 2x 2＋y 2＋2xy cosπ6＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝11＋(y x )2＋3y x ＝1(y x ＋32)2＋14.因为(y x ＋32)2＋14≥14，所以0<(|x ||b |)2≤4，所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.答案：2 56．(2013·高考北京卷)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λ a ＋μ b ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.答案：4 57．(2013·高考天津卷)在平行四边形ABC D 中，A D ＝1，∠BA D ＝60°，E 为C D 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析：设AB 的长为a (a >0)，又因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE→＝(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0，∴a ＝12，即AB 的长为12.答案：1258．(2013·高考湖北卷)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)， ∴z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i 59.(2013·高考四川卷)如图，在平行四边形ABC D 中，对角线AC 与B D 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →. 又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. 答案：2 60．(2013·高考天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：由(a ＋i)(1＋i)＝b i 可得(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ，因此a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，故a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i 61．(2013·高考重庆卷)设复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，∴|z |＝ 12＋22＝ 5. 答案： 5 62．(2013·高考安徽卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．解析：由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2.又|a |＝3|b |，所以co s 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－|b |23|b |2＝－13. 答案：－1363．(2013·高考江西卷)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析：由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，所以a 在b 方向上的射影为|a |·co s 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝52.答案：5264．(2013·高考四川卷)在平行四边形ABC D 中，对角线AC 与B D 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →. 又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. 答案：265．(2013·高考重庆卷)已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.解析：|z |＝⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝⎪⎪⎪⎪5i (1－2i )5＝|i ＋2|＝ 5. 答案： 566．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D(图中阴影部分)，z ＝x ＋y 取得最小值时的最优整数解为(0,1)，取得最大值时的最优整数解为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)．点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：6 67．(2013·高考江苏卷)已知a ＝(co s α，s in α)，b ＝(co s β，s in β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(co s α＋co s β，s in α＋s in β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，co s α＝co s (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入s in α＋s in β＝1，得s in α＝s in β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. 68．(2013·高考江苏卷)已知a ＝(co s α，s in α)，b ＝(co s β，s in β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(co s α＋co s β，s in α＋s in β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，co s α＝co s (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入s in α＋s in β＝1，得s in α＝s in β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.。

高三数学复数试题1.复数的共轭复数等于（）【答案】C【解析】依题意可得.故选C.【考点】复数的运算.2.已知复数，则的共轭复数是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵＝＝，∴，故选A．【考点】1、复数的运算；2、共轭复数．3.设z=1–i（i是虚数单位），则复数＋i2的虚部是A．1B．－1C．i D．－i【答案】A【解析】根据复数的四则运算可得：＋i2= i,∴虚部是1.【考点】复数的概念与四则运算.4.定义一种运算如下:=x1y2-x2y1,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是.【答案】-1-(-1)i【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.5.若a＋bi＝ (i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝()A．－2B．－1C．1D．2【答案】A【解析】因为a＋bi＝＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－26.若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】设,,,复数的坐标，故选D.【考点】复数运算与几何意义7.已知复数，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】【解析】，其实部为－1，虚部为0.选D.【考点】复数的基本运算及概念.8.复数的虚部为 ( )A．2B．C．D．【答案】B【解析】由复数的定义知其虚部为，选B.【考点】1.复数的定义；2.复数的计算.9.复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，虚部为-1.【考点】复数的概念和运算.10.已知复数（其中是虚数单位），则_________.【答案】.【解析】.【考点】复数的四则运算11.关于复数，下列说法中正确的是（）A．在复平面内复数对应的点在第一象限B．复数的共轭复数C．若复数为纯虚数，则D．设为复数的实部和虚部，则点在以原点为圆心，半径为1的圆上【答案】C【解析】由题可知，对应的点为（-1,1）为第二象限，故A错；，故B错；若为纯虚数，则，故选C；为（-1,1），在半径为的圆上，故D 错.【考点】复数的运算与性质12.=（）A．-8B．8C．D．【答案】A【解析】.故选A.【考点】复数运算13.复数的模为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B【考点】本题考查复数的运算。

高三数学单元测试《平面向量及复数》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量=⋅︒︒=︒︒=b a b a 则),37cos ,53(cos ),67cos ,23(cos （ ）A ．23 B ．21 C ．－23 D ．－21 2．如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A ．2B ．32 C ．2 D ．－ 32 3．220041i i i ++++的值是（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．i4．若a =(2,－3), b =(1,－2)，向量c 满足c ⊥a ,b •c =1,则c 的坐标是 （ ）A ．(3,－2)B ．(3,2)C ．(－3,－2)D ．(－3,2)5．使i R i a ()(4∈+为虚数单位）的实数a 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3||,3,3=-==AD e CD e AB ，则四边形ABCD 是 （ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O （0，0），A （3，0），B （0，3），点P 在线段AB 上，且OP OA t AB t AP ⋅≤≤=则),10(的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1281,2==，a 与b 的夹角为︒60，则使向量b a λ+与b a 2-λ的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． )31,(---∞B ． ),31(∞++-C ． ),31()31,(∞++----∞D ． )31,31(+---9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若212121,0,z z z z C z z >>-∈则且B ．22z z =C ．若,0=-z z 则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数，则θ的值为（ ）A ．)(42Z k k ∈-ππ B ．)(42Z k k ∈+ππC ．)(42Z k k ∈±ππD ．)(42Z k k ∈+ππ 11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，下列结论中正确的是（ ）A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数zz 12+（ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：i zi z 212||2+=-，则z= . 14．把函数)y =2x 2—4x +5的图象按向量a 平移后，得到y =2x 2的图象，且a ⊥b ，c =(1，－1)，b ·c =4，则b =_____________。

第七章 复数单元测试卷一、单选题1．（辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知i 为虚数单位，则复数()i 12i z =-的虚部是（ ） A ．i B ．1 C ．2 D ．2i【答案】B 【分析】化简复数2i z =+即得解. 【详解】解：由题得()i i 122i z =-=+， 所以复数的虚部为1. 故选：B2．（山东省德州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出55z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】 221i 22|2i |2(1)5i i +=+=-=+-=，55(1i)55z +=== 则复数z 在复平面内所对应的点坐标为55⎝⎭，在第一象限.故选：A3．（山东省淄博市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 是纯虚数，11i z+-是实数，则z =（ ）A ．－iB ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B4．（2022·广东茂名·一模）已知,a b 为实数，且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i + B ．12i + C ．32i -- D ．32i +【答案】A 【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得,a b ，进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以i 34i a b +=+故选：A5．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C.6．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数a ，b ，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a ，b ，下列式子仍然恒成立的是（ ） A ．||||||ab a b = B ．10a a+≠ C ．()20a b +≥D ．22a a =【答案】A 【分析】对于选项A ：结合复数的乘法和模长公式即可判断；选项B ：计算1a a+，然后根据复数运算结果举出反例即可；选项CD ：复数的平方可能为虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数与实数既不能比较大小也不相等. 【详解】不妨令11i a x y =+，22i b x y =+，选项A ：112212121221(i)(i)()i ab x y x y x x y y x y x y =++=-++，从而222222121212211122||()()||||ab x x y y x y x y x y x y a b =-++++，故A 正确； 选项B ：111111222211111111i ()i i x y a x y x y a x y x y x y +=++=++-+++， 当10x =，11y =时，10a a+=，故B 错误； 因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，故CD 错误. 故选：A7．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】21i 12i i i 1i 2+++==-，且i 的乘方运算是以4为周期的运算 所以202120222021202221i i 1i 1i i i i i z +⎛⎫=+++ ===-⎝-⎪+⎭，所以复数z 所对应的点()1,1-，在第二象限. 故选：B8．（2022·全国·高一）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C二、多选题9．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，22z z a b ==+，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC10．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知复数z 满足()12i 5z -=（其中i 为虚数单位），则下列选项正确的是（ ） A ．5z =B ．复数z 的共轭复数为12i z =+C ．复数z 在复平面表示的点位于第一象限D ．复数z 的虚部为2 【答案】CD 【分析】利用复数代数形式的乘除运算求出复数z ，然后逐一核对四个选项即可得出答案. 【详解】解：因为()12i 5z -=，所以()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+， 所以145z +A 错误； 复数z 的共轭复数为12i z =-，故B 错误；复数z 在复平面表示的点的坐标为()1,2，位于第一象限，故C 正确； 复数z 的虚部为2，故D 正确. 故选：CD.11．（2021·福建福州·高三期中）复数132z =-，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．210z z ++=C ．21z z= D ．2021132z = 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可． 【详解】解：因为132z =-，所以132z =-，对于A ： 2131313i 12244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确； 对于B ：22201131313133i 222414z z ⎛⎫⎛⎫--=+= ⎪ ⎪ ⎭⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎝+=++⎝⎭⎭ ⎪ ⎪，故B 正确； 对于C ：2131132213213i i44z -===---+，2221313313i 2442z ⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝=⎭， 所以21z z=，即选项C 正确；对于D ：132z =-+，2132z -=，2231313131222z ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-⋅-+=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎭⎝，4z z =，所以20212132z z -==，故D 错误．故选：ABC ．12．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）欧拉公式i cos isin x e x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A ．复数2i e 对应的点位于第二象限 B ．i 2e π为纯虚数C i 3ix +12D ．i 6e π的共轭复数为132-【答案】ABC【分析】利用欧拉公式把选项A ，B ，D 化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C 的分子化成复数的代数形式，再进行除法运算判断即得. 【详解】对于A ，2i cos 2isin 2e =+，因22ππ<<，即cos20,sin20<>，复数2i e 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i2cos isini 22e πππ=+=，i 2e π为纯虚数，B 正确；对于C i (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos 3i 3i(3i)(3i)x x x x x x x+-+-+++-，于是得i 223cos sin 3sin cos 1()()4423ix x x x x +-++，C 正确； 对于D ，6i31cos isini 662e πππ=+=31i 2，D 不正确. 故选：ABC三、填空题13．（2021·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答. 【详解】因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-，由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，于是得：22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =，所以m 的值是52.故答案为：5214．（2021·上海长宁·一模）在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号） 【答案】（2）（3） 【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案. 【详解】221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误.设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，()()()2212i z z ac bd ad bc ac bd ad bc ⋅=-++=-++22222222a c b d a d b c =+++22222222222212z z a b c d a c b d a d b c ⋅+++++2）正确.222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）15．（2021·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy 中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x →=(a ，b )，对应复数z =a +ib ，向量x 逆时针旋转一个角度θ，得到复数'(i )(cos isin )cos sin i(sin cos )z a b a b a b θθθθθθ=++=-++，于是对应向量'(cos sin ,sin cos )x a b a b θθθθ→=-+.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC 的两个顶点坐标是A (1，2)，B (3，4)，则C 的坐标是___________.(任写一个即可) 【答案】(23,33)-(答案不唯一) 【分析】首先设出C 的坐标，然后分别写出AB →，AC →，利用向量的旋转公式即可求解. 【详解】不妨设C 的坐标为00(,)x y ，且AC →是AB →逆时针旋转60得到， 因为A (1，2)，B (3，4)，所以(2,2)AB →=，00(1,2)AC x y →=--， 从而AB →对应的复数为22i z =+，AC →对应的复数为'(22i)(cos 60isin 60)13(13)i z =++=-，所以00(1,2)(13,13)AC x y →=--=+，解得023x =033y = 故C 的坐标是(23,33). 故答案为：(23,33).16．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________． 【答案】4 【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆， 又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离， 所以62i z --的最小值为()()22163221514PC -=-++=-=．故答案为：4．四、解答题17．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数i()z b b =∈R ，31iz +-是实数. （1）求复数z ；（2）若复数2()8m z m --在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 【答案】 （1）3i z =-（2）(0,9)【分析】 （1）先将i z b =代入31iz +-化简，再由其虚部为零可求出b 的值，从而可求出复数z ， （2）先对2()8m z m --化简，再由题意可得2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩从而可求得结果 （1） 因为i z b =，所以33i (3i)(1i)3(3)i 1i 1i 22z b b b b ++++-++===--， 因为31iz +-是实数，所以30b +=，解得3b =-. 故3i z =-.（2）因为3i z =-，所以()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+.因为复数2()8m z m --所表示的点在第二象限，所以2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩解得09m <<，即实数m 的取值范围是(0,9).18．（2021·全国·高一课时练习）求复数1i +，1i --2，2i -的辐角主值．【答案】π4，5π4，0，3π2 【分析】计算12r =11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩结合102πθ≤<，得到辐角主值，同理可得其他答案． 【详解】设这4个复数的模分别为1r ，2r ，3r ，4r ，辐角主值分别为1θ，2θ，3θ，4θ．因为221112r =+11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，又102πθ≤<，故1π4θ=． 同理，可以求得：5π5π1i 2cos isin 44⎫--=+⎪⎭， )22cos0isin 0+，3π3π2i 2cos isin 22⎫-=+⎪⎭， 故4个复数的辐角主值分别为π4，5π4，0，3π2． 19．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数11i z =+，23i z =-.（1）求21z z ； （2）若4i()z a a R =+∈满足2z z +为纯虚数，求||z .【答案】（1）12i -（2）5【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数a ，再根据复数模的计算公式即可求出．（1）213i (3i)(1i)33i i 112i 1i (1i)(1i)2z z ------====-++-． （2）因为2(3)3i z z a +=++为纯虚数，∴30a +=，∴3a =-.即34i z =-+，22||(3)45z =-+=．20．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：（1）28x +；（2）223x x -+；（3）2321x x -+.【答案】（1）28(22i)(22i)x x x +=+-（2）223(12i)(12i)x x x x -+=--- （3）212123213((x x x x -+-+=） 【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式. （1）2228=8i (2i)(2i)x x x x +-=+- （2）()22223=12i (12i)(12i)x x x x x -+--=-- （3）∵ 22222112321=3)3[()i ]3339x x x x x -+-+=--( ∴ 212123213[()33x x x x -+=-- ∴ 212123213((x x x x -+-+=） 21．（2021·湖北·高一期末）已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位． （1）求,p q 的值；（2）记复数i z p q =+，求复数1iz +的模． 【答案】（1）2,5p q =-=（258【分析】（1）由题知()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，再根据复数相等求解即可； （2）由（1）得25i z =-+，故37i 1i 2z +=+，再求模即可. （1）解：知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根， 所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=， 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得2,5p q =-=. 所以2,5p q =-=（2）解：由（1）得复数25i z =-+， 所以()()()()25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++- 所以复数1i z +9495844+= 22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数()31i 1i z =-． （1）求1arg z 及1z ；（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值．【答案】（1）17arg 4z π=，122z = （2）221【分析】（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解． （2）z 设为三角形式，和复数1z 的代数形式，共同代入1z z -，化简后可求最大值． （1）解：()31i 1i 22i z =-=-，将1z 化为三角形式，得1772cos isin 44z ππ⎫⎪=⎭+， ∴17arg 4z π=，122z = （2） 解：由于复数z 满足1z =，设cos isin z αα=+，则()()1cos 2sin 2i z z αα-=-++， ()()2221cos 2sin 2924z z πααα⎛⎫-=-++=+- ⎪⎝⎭，当sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，21z z -取得最大值942+ 所以1z z -的最大值为221．。

高考复习试卷含答案一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2017·山东)复数3－i1－i等于 ( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 答案：C解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i 2＝2＋i.故选C.2．(2017·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i答案：D解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i.3．(2017·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i 答案：D解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2－a ＋(a ＋2)i2，则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D.4．(2017·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( )A ．2iB ．0C ．－2iD ．－2 答案：B解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B.5．(2017·北京朝阳4月)复数z ＝2－i1＋i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－32i ，它对应的点在第四象限，故选D.6．(2017·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则ba的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12答案：A解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a的值为－2，故选A.7．(2017·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝14－3i ，故选B.8．(2017·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6C.23πD.56π 答案：D解析：3－i 对应的点为(3，－1)，所求直线的斜率为－33，则倾斜角为56π，故选D. 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b ic ＋d i为实数，则( )A ．bc ＋ad ≠0B ．bc －ad ≠0C ．bc －ad ＝0D ．bc ＋ad ＝0 答案：C解析：因为a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ，所以由题意有bc －adc 2＋d2＝0⇒bc －ad ＝0.10．已知复数z ＝1－2i ，那么1z ＝ ( )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25iD.15－25i 答案：D 解析：由z ＝1－2i 知z ＝1＋2i ，于是1z ＝11＋2i ＝1－2i 1＋4＝15－25i.故选D.11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．6B ．－6C ．0 D.16答案：A解析：z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝(3＋2b )＋(6－b )i 5是实数，则实数b 的值为6，故选A.12．(2017·广东)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B解析：α(i )表示i n ＝1的最小正整数n ，因i 4k ＝1(k ∈N *)，显然n ＝4，即α(i )＝4.故选B. 13．若z ＝12＋32i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 2等于( )A ．－12＋32i B ．－3＋33iC ．6＋33iD ．－3－33i 答案：B解析：∵T r ＋1＝C r 4x4－r (－z )r ， 由4－r ＝2得r ＝2，∴a 2＝C 24(－z )2＝6×(－12－32i )2＝－3＋33i .故选B.14．若△ABC 是锐角三角形，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i (sin B －cos A )对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B解析：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞90°，B ＞90°－A ， ∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴z 对应的点在第二象限．15．如果复数2－bi1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2答案：C解析：2－bi 1＋2i ＝(2－bi )(1－2i )5＝(2－2b )5＋(－4－b )5i由2－2b 5＝－－4－b 5得b ＝－23.16．设函数f (x )＝－x 5＋5x 4－10x 3＋10x 2－5x ＋1，则f (12＋32i )的值为( )A ．－12＋32i B.32－12iC.12＋32i D ．－32＋12i 答案：C解析：∵f (x )＝－(x －1)5∴f (12＋32i )＝－(12＋32i －1)5＝－ω5(其中ω＝－12＋32i )＝－ω＝－(－12－32i )＝12＋32i .17．若i 是虚数单位，则满足(p ＋qi )2＝q ＋pi 的实数p ，q 一共有 ( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 答案：D解析：由(p ＋qi )2＝q ＋pi 得(p 2－q 2)＋2pqi ＝q ＋pi ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ p 2－q 2＝q ，2pq ＝p .解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝0，q ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝－1，或⎩⎨⎧p ＝32，q ＝12，或⎩⎨⎧p ＝－32，q ＝12，因此满足条件的实数p ，q 一共有4对．总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特别注意不要出现漏解现象，如由2pq ＝p 应得到p ＝0或q ＝12.18．已知(2x 2－x p )6的展开式中，不含x 的项是2027，那么正数p 的值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：由题意得：C 46·1p 4·22＝2027，求得p ＝3.故选C. 总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含x 的项，即找常数项．19．复数z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是一一对应的关系，即z ＝a ＋bi ，与复平面上的点Z (a ，b )对应，由z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )知：a ＝－lg(x 2＋2)＜0，又2x ＋2－x －1≥22x ·2－x －1＝1＞0；∴－(2x ＋2－x －1)＜0，即b ＜0.∴(a ，b )应为第三象限的点，故选C.20．设复数z ＋i (z ∈C )在映射f 下的象为复数z 的共轭复数与i 的积，若复数ω在映射f 下的象为－1＋2i ，则相应的ω为 ( )A ．2B ．2－2iC ．－2＋iD ．2＋i 答案：A解析：令ω＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则ω＝[a ＋(b －1)i ]＋i ， ∴映射f 下ω的象为[a －(b －1)i ]·i ＝(b －1)＋ai ＝－1＋2i .∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝－1，a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝2.∴ω＝2. 第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。

复 数A 级——基础达标1．(2021·广东省七校联考)已知复数z ＝2＋i1－i(i 为复数单位)，那么z 的共轭复数为( ) A.32＋32i B ．12－32iC.12＋32i D ．32－32i解析：选B 由题意知z ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋2i ＋i －12＝12＋32i ，所以z ＝12－32i ，故选B.2．(2021·湖北八校第一次联考)设i 是虚数单位，若复数a ＋5i1＋2i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选C 由已知，得a ＋5i1＋2i ＝a ＋5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋2＋i ，由题意得a ＋2＝0，所以a ＝－2.故选C.3．(2021·武昌区高三调研)已知复数z 满足zz －i＝i ，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为zz －i ＝i ，所以a ＋b i a ＋(b －1)i ＝i ，所以a ＋b i ＝(1－b )＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，b ＝a ，解得a ＝b ＝12，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，位于第一象限，故选A.法二：因为z z －i ＝i ，所以z ＝11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，位于第一象限，故选A.4．(2021·长沙市四校模拟考试)已知复数z ＝(1＋i )2i (1－i )，则下列结论正确的是( )A ．z 的虚部为iB ．|z |＝2C ．z 的共轭复数z ＝－1＋iD ．z 2为纯虚数解析：选D z ＝(1＋i )2i (1－i )＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，则z 的虚部为1，所以选项A 错误；|z |＝12＋12＝2，所以选项B 错误；z 的共轭复数z ＝1－i ，所以选项C 错误；z 2＝(1＋i)2＝2i 是纯虚数，所以选项D 正确．故选D.5．(2021·江西五校联考)复数z 满足(z －2)·i ＝z (i 为虚数单位)，z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是( )A ．z 2＝2iB ．z ·z ＝2C ．|z |＝2D ．z ＋z ＝0解析：选B 由题意，得z i －2i ＝z ，z (i －1)＝2i ，z ＝2ii －1＝2i (i ＋1)(i －1)(i ＋1)＝2(i －1)－2＝1－i ，则z 2＝－2i ，z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2，|z |＝2，z ＋z ＝1－i ＋1＋i ＝2，故选B.6．(2021·广东省七校联考)设复数z 满足|z －1－i|＝2，则|z |的最大值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 复数z 满足|z －1－i|＝2，故复数z 对应复平面上的点是以A (1,1)为圆心，2为半径的圆，|AO |＝2(O 为坐标原点)，故|z |的最大值为2＋2＝2 2. 7．(多选)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题，其中的真命题为( )A ．|z |＝2B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1＋iD ．z 的虚部为－1解析：选BD ∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，故选B 、D. 8．(多选)下列命题正确的是( )A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z (z 是z 的共轭复数)D ．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )且|z －2|＝3，则yx 的最大值为 3解析：选BCD 对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，故A 错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B 正确；对于C ，由a ＋b i ＝a －b i 得b ＝0，故C 正确；对于D ，∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.9.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则|z 1－z 2|＝ .解析：由图象可知z 1＝i ，z 2＝2－i ， 故|z 1－z 2|＝|－2＋2i|＝ (－2)2＋22＝2 2.答案：2 210．(2021·昆明市三诊一模)复数z 的共轭复数z 满足(2＋i)z ＝|3＋4i|，z ＝ . 解析：法一：由(2＋i)z ＝|3＋4i|，得z ＝|3＋4i|2＋i ＝52＋i ＝5(2－i )(2＋i )(2－i )＝2－i ，所以z ＝2＋i.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(2＋i)(a －b i)＝5，即2a ＋b ＋(a －2b )i ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝5，a －2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i. 答案：2＋i11．(2021·福建省三明市高三模拟)若|z 1－z 2|＝1，则称z 1与z 2互为“邻位复数”．已知复数z 1＝a ＋3i 与z 2＝2＋b i 互为“邻位复数”，a ，b ∈R ，求a 2＋b 2的最大值．解：由题意，|a ＋3i －2－b i|＝1，故(a －2)2＋(3－b )2＝1， ∴点(a ，b )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上， 而a 2＋b 2表示点(a ，b )到原点的距离，故a 2＋b 2的最大值为(22＋(3)2＋1)2＝(1＋7)2＝8＋27.12．(2021·张家口调研)已知复数z 满足：z 2＝3＋4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限．(1)求复数z ；(2)设a ∈R ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 021＋a ＝2，求实数a 的值． 解：(1)设z ＝c ＋d i(c ，d ∈R 且c <0，d <0)， 则z 2＝(c ＋d i)2＝c 2－d 2＋2cd i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c 2－d 2＝3，2cd ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝1(舍去)．∴z ＝－2－i.(2)∵z ＝－2＋i ，∴1＋z1＋z ＝－1－i －1＋i ＝1＋i 1－i＝(1＋i )22＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋z 1＋z 2 021＝i 2 021＝i 2 020＋1＝i 505×4＋1＝i ， ∴|a ＋i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3.B 级——综合应用13．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，下列命题中正确的是( )A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z 2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2解析：选BC 设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，若|z 2|＝|z 3|，则a 22＋b 22＝a 23＋b 23，此时z 2＝±z 3不一定成立，故A 错误； 若z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又因z 1≠0，所以z 2＝z 3，故B 正确； 若z 2＝z 3，则a 2＝a 3，b 2＝－b 3，所以|z1z2|＝(a1a2－b1b2)2＋(a1b2＋a2b1)2＝(a1a2)2＋(b1b2)2＋(a1b2)2＋(a2b1)2.|z1z3|＝(a1a3－b1b3)2＋(a1b3＋a3b1)2＝(a1a2＋b1b2)2＋(－a1b2＋a2b1)2＝(a1a2)2＋(b1b2)2＋(a1b2)2＋(a2b1)2.所以|z1z2|＝|z1z3|，故C正确；当z2＝z1时，z1z2＝|z1|2，此时z1＝z2不一定成立，故D错误．14．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m 的值为．解析：∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3，经检验符合题意．答案：3或615．(2021·高仿密卷)已知复数z＝b i(b∈R)，z－21＋i是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解：(1)因为z＝b i(b∈R)，所以z－21＋i＝b i－21＋i＝(b i－2)(1－i)(1＋i)(1－i)＝(b－2)＋(b＋2)i2＝b－22＋b＋22i.又因为z－21＋i是实数，所以b＋22＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4m i＋4i2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．C 级——迁移创新16．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数． 则z ＝ .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5ba 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 答案：－1－2i 或－2－i。

高三数学一轮复习题：虚数复数一、单选题（共26题；共52分）1.（2019高三上·嘉兴期末）已知复数 z 1=1+2i ， z 2=2−i （ i 是虚数单位），则 z 1⋅z 2= ( )A.B. C. D. 2.复数1−i 1+i 的共轭复数是（ ）A. iB. −iC. 1D. 1−i3.（2018·成都模拟）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 (2−i)z =1 ，则复数 z 的虚部为（ ）A. B. C.D. 4.已知复数z= -1+2i(其中i 为虚数单位)，则5i z=A. 2-iB. 2+iC. -2-iD. -2+i5.（2016高三上·新津期中）已知复数z 满足（1+ √3 i ）z=2 √3 i （i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.已知i 是虚数单位，若复数(1+ai )(2+i )是纯虚数，则实数a 等于( )A. 2B. 12C. −12D. −27.若a +bi =(1+i )(2−i )（i 是虚数单位，a,b 是实数），则a+b 的值是 （ ）A. 2B. 3C. 4D. 58.已知复数z =1−2i ， 那么1z −=( ) A. √55+2√55i B. √55−2√55i C. 15+25i D. 15−25i 9.复数数z 满足（z ﹣i ）（2﹣i ）=5．则z=（ ）A. ﹣2﹣2iB. ﹣2+2iC. 2﹣2iD. 2+2i10.（2017·成都模拟）若 1+ai2+i =1+2i ，则a=（ ）A. ﹣5﹣iB. ﹣5+iC. 5﹣iD. 5+i11.若复数z 满足3﹣i=（z+1）i ，则复数z 的共轭复数z −的虚部为（ ）A. 3B. 3iC. -3D. -3i12.复数z=1-i,则1z +z 对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限13.（2017·大连模拟）设z=1﹣i （i 是虚数单位），则 z 2+2z 的虚部为（ ）A. ﹣iB. 1﹣iC. ﹣1D. ﹣1﹣i14.（2017·高台模拟）若复数z 满足（2+i ）z=|1﹣2i|，则复数z 所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限15.若i 为虚数单位，则1+i 1−i等于 （ ）A. iB. −iC. 1D. －116.（2018·银川模拟）已知复数z,满足 z(2−i)=2+4i ，则复数 z 等于（ ）A. 2iB. − 2iC. 2+iD. − 2i+ 217.已知i 为虚数单位，若复数（1+ai ）（2+i ）是纯虚数，则实数a 等于（ ）A. 2B. 12C. -12D. -218.满足i 3·z =1−3i 的复数z 是（ ）A. −3+iB. −3−iC. 3−iD. 3+i19.在复平面内，复数z=2−i i 的共轭复数z −对应的点所在的象限（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限20.（2018·河南模拟）已知 a ∈R ，复数 z =(a−i)(1+i)i ，若 z̅=z ，则 a = （ ）A. 1B. −1C. 2D. −221.（2017·河西模拟）已知复数z= 2−1+i ，则（ ）A. z 的虚部为﹣1B. z 的实部为1C. |z|=2D. z 的共轭复数为1+i 22.（2017·大理模拟）i 为虚数单位，若复数z=（1﹣ai ）（1+i ）（a ∈R ）的虚部为﹣3，则|z|=（ ）A. 3√2B. 4C. √34D. 5 23.（2017·青州模拟）复数z 的共轭复数为 z̅ ，若 1−i z⋅z̅+i 为纯虚数，则|z|=（ ）A. 2B. √3C. √2D. 124.（2016·大连模拟）若 2+ai1+i =b+i ，则复数a+bi 在复平面内表示的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限25.设复数Z满足(√3−i)·Z=2i，则||Z||=（）A. √2B. √3C. 1D. 226.（2020·西安模拟）设复数z=(x−1)+yi（x,y∈R，i为虚数单位），若|z|≤1，则y≥√3x 的概率为( )A. 16+√34πB. 56+√34πC. 56−√34πD. 16−√34π二、填空题（共16题；共16分）27.（2014·北京理）复数（1+i1−i）2=________．28.已知复数z（1+i）=2i，则|z|等于________29.（2018高三上·东区期末）已知i是虚数单位，复数z满足z⋅(1+√3i)=1，则|z|=________30.（2018高三上·丰台期末）若复数z=(1+i)(1+a i)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a= ________．31.（2017·长沙模拟）若复数z为纯虚数，且|z1+i |=√22（i为虚数单位），则z=________.32.（2017高三上·苏州开学考）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为z̅，若2z= z̅+2﹣3i，则z=________．33.（2017·淮安模拟）设复数z满足z（2+i）=10﹣5i，（i为虚数单位），则复数z的实部为________．34.（2017·海淀模拟）已知复数z=1−ii，则|z|=________．35.已知复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则|z|=________36.（2017·丰台模拟）在复平面内，复数3+4ii对应的点的坐标为________．37.（2016·江苏模拟）已知复数z=2−i1+i，则z的共轭复数的模为________．38.（2016·南通模拟）已知复数z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则z的共轭复数为________．39.（2017高三下·长宁开学考）复数z满足1+z1−z=i，则|z|=________．40.设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为________ .41.（2018·孝义模拟）复数z满足(1−2i)z=7+i，则复数z的共轭复数z=________．42.（2017·南京模拟）若复数z满足z+2z̅=3+2i，其中i为虚数单位，z̅为复数z的共轭复数，则复数z的模为________．三、解答题（共8题；共55分）43.（2018高二下·乌兰月考）已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？44.（2017·上海模拟）若α，β是实系数方程x2+x+p=0 的二根，|α﹣β|=3，则求实数p的值及方程的根．45.（201920高三上·长宁期末）在复平面内复数 z 1 、 z 2 所对应的点为 Z 1 、 Z 2 ， O 为坐标原点， i 是虚数单位.（1）z 1=1+2i ， z 2=3−4i ，计算 z 1⋅z 2 与 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）设 z 1=a +bi ， z 2=c +di （ a,b,c,d ∈R ），求证： |OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|z 1⋅z 2| ，并指出向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足什么条件时该不等式取等号.46.（2018·长宁模拟）已知复数 z 满足 |z|=√2 ， z 2 的虚部为2．（1）求复数 z ；（2）设 z , z 2 , z −z 2 在复平面上的对应点分别为 A ， B ， C ，求△ ABC 的面积．47.如果复数z=6−bi 1+2i（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数． ①求z ．②求|z|．③负数z 在复平面内对应的点在第几象限．④若z （m+i ）是纯虚数，求m 的值．⑤求（z z ）2016 ．48.已知复数z 满足z+2i 、z 2−i 均为实数，且复数（z+xi ）2在复平面上对应的点在第一象限． （1）求复数z ；（2）求实数x 的取值范围．49.（2017高三上·赣州开学考）已知复数Z 1 ， Z 2在复平面内对应的点分别为A （﹣2，1），B （a ，3）．（1）若|Z 1﹣Z 2|= √5 ，求a 的值．（2）复数z=Z 1•Z 2对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值．50.关于x 的不等式||x +a 21x |＜0的解集为（﹣1，b ）． （1）求实数a ，b 的值；（2）若z 1=a+bi ，z 2=cosα+isinα，且z 1z 2为纯虚数，求tanα的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】D11.【答案】A12.【答案】D13.【答案】C14.【答案】D15.【答案】A16.【答案】A17.【答案】A18.【答案】D19.【答案】B20.【答案】B21.【答案】A22.【答案】C23.【答案】D24.【答案】A25.【答案】C26.【答案】D二、填空题27.【答案】-128.【答案】√229.【答案】1230.【答案】131.【答案】±i32.【答案】2﹣i33.【答案】334.【答案】 √235.【答案】√236.【答案】（4，﹣3）37.【答案】√10238.【答案】3+4i39.【答案】140.【答案】 √541.【答案】1−3i42.【答案】 √5三、解答题43.【答案】 解:由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，复数z 的虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋yi(x 、y ∈R)，则 {x =a 2−2a +4y =−(a 2−2a +2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x≥3)44.【答案】解：因为α，β是实系数方程x 2+x+p=0 的二根，所以α+β=﹣1，αβ=p ， 又|α﹣β|=3，所以|α﹣β|=3= = 解得 ，当p=﹣2，α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴x 1=﹣2，x 2=1；当 ，∴ ．实数p 的值及方程的根为：．45.【答案】 （1）解： z 1⋅z 2=(1+2i)⋅(3−4i)=11+2iOZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2) ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)所以 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5（2）解： ∵z 1=a +bi ， z 2=c +di∴z 1⋅z 2=(ac −bd)+(ad +bc)i∴|z 1⋅z 2|2=(ac −bd)2+(ad +bc)2∵OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b) ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,d)∴OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ac +bd ， |OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(ac +bd)2∴|z 1⋅z 2|2−|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(ac −bd)2+(ad +bc)2−(ac +bd)2 =(ad +bc)2−4ac ⋅bd =(ad −cb)2≥0所以 |OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|≤|z 1⋅z 2| ，当且仅当 ad =cb 时取“ = ”，此时 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .46.【答案】 （1）解：设 z =x +y i （ x , y ∈R ），则 {x 2+y 2=2 ,2xy =2 ,解得 {x =1 ,y =1 或 {x =−1 ,y =−1 . 所以 z =1+i 或 z =−1−i（2）解：由（1）知， z =1+i 时， z 2=2i ， z −z 2=1−i ，所以， A(1 , 1) ， B(0 , 2) ， C(1 , −1) ， S ΔABC =1 ． 当 z =−1−i 时， z 2=2i ， z −z 2=−1−3i ，所以， A(−1 , −1) ， B(0 , 2) ， C(−1 , −3) ， S ΔABC =1 ．47.【答案】解：①复数z=6−bi 1+2i =(6−bi )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=6−2b+(−12−b )i 5， 复数z=6−bi 1+2i （其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，可得6﹣2b=12+b ，解得b=﹣2，z=2﹣2i ．②|2﹣2i|=√22+(−2)2=2√2．③复数z 在复平面内对应的点（2，﹣2）在第四象限．④z （m+i ）=（2﹣2i ）（m+i ）=2m+2+（2﹣2m ）i ，是纯虚数，可得2m+2=0，解得m=﹣1． ⑤（z z ）2016=(2+2i 2−2i )2016=[(1+i 1−i )2]1008=[2i −2i ]1008=1．48.【答案】解：（1）复数z 满足z+2i 、z 2−i 均为实数，设z=x+yi （x ，y ∈R ），又z+2i=x+（y+2）i ，且为实数，∴y+2=0，解得y=﹣2．∴z 2−i =x−2i 2−i =(x−2i )(2+i )2−i 2+i =2x+25+x−45i ， ∵z 2−i 为实数，∴x−45=0，解得x=4．∴z=4﹣2i（2）∵复数（z+xi ）2=[4+（x ﹣2）i]2=16﹣（x ﹣2）2+8（x ﹣2）i=（12+4x ﹣x 2）+（8x ﹣16）i ，∴{12+4x −x 2>08x −16>0，解得2＜x ＜6． 即实数x 的取值范围是（2，6）．49.【答案】 （1）解：由复数的几何意义可知：Z 1=﹣2+i ，Z 2=a+3i ．∵|Z 1﹣Z 2|= √5 ，∴|﹣a ﹣2﹣2i|= √(−a −2)2+(−2)2 = √5 ．解得a=﹣3或﹣1（2）解：复数z=Z 1•Z 2=（﹣2+i ）（a+3i ）=（﹣2a ﹣3）+（a ﹣6）i 对应的点在二、四象限的角平分线上，依题意可知点（﹣2a ﹣3，a ﹣6）在直线y=﹣x 上 ∴a ﹣6=﹣（﹣2a ﹣3），解得a=﹣950.【答案】解：（1）不等式||x +a 21x|＜0即x （x+a ）﹣2＜0的解集为（﹣1，b ）． ∴﹣1，b 是方程x 2+ax ﹣2=0的两个实数根，∴﹣1+b=﹣a ，﹣b=﹣2， 解得a=﹣1，b=2．（2）z 1z 2=（﹣1+2i ）（cosα+isinα）=（﹣cosα﹣2sinα）+（2cosα﹣sinα）i 为纯虚数， ∴﹣cosα﹣2sinα=0，2cosα﹣sinα≠0， 解得tanα=﹣12．。