关于一类矩阵的秩的恒等式注记

矩阵秩的一个恒等式及其证明骈俊生【摘要】就文[1]中提出的A2=E条件下的猜想:t∑i=1 rank(A+kiE)=(t-1)n+rank(ftA+gtE),给出了等式成立的条件及等式的具体表达式,并予以证明,使问题得以彻底解决.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2007(023)002【总页数】6页(P141-146)【关键词】Sylvester公式;秩;初等变换【作者】骈俊生【作者单位】南京信息职业技术学院,南京,210046【正文语种】中文【中图分类】基础科学第 2 3 卷第 2 期 20 0 7 年 4 月大学数学 CO L L E G E M A T H E M A T I C S Vo l.2 3 , N o.2 Ap r.2 0 0 7矩阵秩的一个恒等式及其证明骈俊生（南京信息职业技术学院，南京 2 1 0 0 4 6）[ 摘要] 就文[ 1] 中提出的 AZ = E 条件下的猜想：∑ r a n k ( A + k ．E ) 一（t- 1 ）n + r a n k ( f t A + g , E ) ，给出 i- l 了等式成立的条件及等式的具体表达式，并予以证明，使问题得以彻底解决．[ 关键词] S yl v e s t e r 公式；秩；初等变换[ 中图分类号] 0 1 5 1.2 [ 文献标识码] C [ 文章编号] 16 7 2 - 1 4 5 4( 2 0 0 7 ) 0 2 - 0 1 4 1 - 0 61 问题的提出文[ 1] 研究了 S yl v e s t e r 公式‘乳33 何时取等号的问题并加以推广，主要得到以下几个结果（本文沿用[ 1] 的记号， P 表示数域，E 表示， z 阶单位矩阵）．定理 1 设A ∈ p n X ” ，点，Z ∈ P ，矗≠Z ，则 ra n k ( A + k E ) + r a n k ( A + I E ) 一 n + r a n k 《A + k E ) ( A + l E ) ）． (1 ) 定理 2 设 A i ， Az ，… ， A ，都是以阶方阵，则r a n k ( A l ) + r a n k ( A 2 ) + … + r a n k ( A , ) ≤( t - l ) n + r a n k ( A i A z … A , ).(2 ) rlr l f — l 定理 3 设A ∈P ” ‰ ，志，，志。

第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。

定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。

λ-矩阵的等价和矩阵多项式秩的恒等式刘宏锦;周金森;刘利敏【摘要】设U(λ)与V(λ)都是m×m阶的λ-矩阵.若U(λ)与V(λ)等价,则对于任意的n阶方阵A,分块矩阵U(A)与V(A)的秩相等.利用此结论刻画了幂零矩阵、零化多项式等.同时,通过考虑两个对角λ-矩阵等价的充要条件,使关于矩阵多项式秩的一些恒等式的讨论有了新的统一的方法.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2016(032)003【总页数】5页(P97-101)【关键词】λ-矩阵;等价;矩阵多项式;秩【作者】刘宏锦;周金森;刘利敏【作者单位】龙岩学院信息工程学院,福建龙岩364012;福建师范大学数学与计算机科学学院,福州350117;龙岩学院信息工程学院,福建龙岩364012;龙岩学院信息工程学院,福建龙岩364012【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵多项式秩的恒等式的问题一直受到关注. 最近发表的论文大都是利用多项式理论以及分块矩阵的初等变换等方法,针对一些较为具体的问题研究矩阵多项式的秩的恒等式,得到了各种结论,如文献[1-6].本文从新的观点——λ-矩阵的等价来探讨矩阵秩的等式,对一些已知结论给出统一的新证明方法，这种方法快速而简便.设P是数域,Pn×n和P[λ]分别表示P上的n阶方阵和一元多项式的集合.设A∈Pn×n, rank(A)表示矩阵A的秩,E表示单位矩阵.一个元素取自P[λ]的矩阵称为λ-矩阵.λ-矩阵的初等变换指的是P[λ]上的以下三种变换：(i)矩阵的两行(列)互换位置； (ii)矩阵的某一行(列)乘以非零常数；(iii)矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的φ(λ)倍,这里φ(λ)∈P[λ].与数字矩阵一样,以上三种初等变换对应三类初等λ-矩阵,除第3种情况外,其余2类与数字矩阵的初等矩阵相同,第3种初等变换对应的初等λ-矩阵的形式如下定义1[7] m×m阶的λ-矩阵U(λ)称为与V(λ)等价,如果可以经过一系列初等变换将U(λ)化为V(λ).定理1[7] 任意一个m×m阶非零的λ-矩阵U(λ)都等价于其中r≥1, di(λ) (i=1,2,…,r)是首项系数为1的多项式,且称Λ(λ)为U(λ)的标准形.定义2[7] 标准形的主对角线上非零元素d1(λ),d2(λ),…,dr(λ)称为U(λ)的不变因子组.将λ-矩阵U(λ)的不变因子d1(λ),d2(λ),…,dr(λ)在P上分解为不可约因式之积其中pi(λ)是首1的两两互素的不可约多项式,kij≥0,0≤k1j≤k2j≤…≤krj,j=1,2,…,t.定义3[8] 若上面分解式中的kij>0,则称(λ)为U(λ)的一个初等因子,U(λ)的全体初等因子称为U(λ)的初等因子组.定理2[8] 设U(λ)与V(λ)都是m×m阶的λ-矩阵,则下列叙述等价.(i)U(λ)与V(λ)等价；(ii)存在一系列初等λ-矩阵，使(iii)U(λ)与V(λ)有相同的标准形；(iv)U(λ)与V(λ)有相同的不变因子组；(v)U(λ)与V(λ)有相同的初等因子组.定理3[8] 设U(λ)经初等变换后化为对角阵,且其中pj(λ)是首1的两两互素的不可约多项式(j=1,2,…,t)且kij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,t),则是U(λ)的初等因子组.下面引理给出了判定两个对角λ-矩阵等价的一个判定方法.引理1 设其中这里p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)为两两互素的首1的不可约多项式,ai,bi∈P, kij,lij≥0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…,t).则U(λ)与V(λ)等价的充要条件是证由定理3,U(λ)与V(λ)有相同初等因子的充要条件是对任意j=1,2,…,t,都有再由定理2,即可得证.定理4 若m×m阶的λ-矩阵U(λ)与V(λ)等价,则对任意n阶方阵A∈Fn×n,都有证由定理2,存在初等λ-矩阵P1(λ),P2(λ),…Pl(λ),Q1(λ),Q2(λ),…,Qs(λ),使得这样对于任意n阶方阵A,有它是mn×mn阶数字矩阵,其中U(λ)中的第(i,j)个元素uij(λ)化为uij(A)，是一个n 阶方阵.特别地,常数多项式a,化为n阶方阵aE.注意到Pi(λ),Qj(λ)作为λ-矩阵是可逆矩阵,所以数字矩阵Pi(A),Qj(A)也是可逆矩阵.事实上,设Pi(λ)-1=Si(λ),则Pi(A)-1=Si(A). 因为左乘或右乘可逆矩阵不改变矩阵的秩，所以定理成立.利用定理可得到如下幂零矩阵(推论1)、零化多项式(推论2)的刻画.推论1 设A是n阶方阵,则At=O的充要条件是的秩为(t-1)n，其中式中分块矩阵的主对角线上有t个A.证这是因为如下两个λ-矩阵等价推论2 设A是n阶方阵,f(λ)=λm+b1λm-1+…+bm-1λ+b m,则f(A)=O的充要条件是的秩为(m-1)n.证由于f(λ)=λm+b1λm-1+…+bm-1λ+bm的伴侣阵的特征矩阵等价于,对角阵中主对角线上有m-1个1.再由定理4,即得推论2的证明.设不全为零的fi(λ)∈P[λ](i=1,2,…,s), 用(f1(λ), f2(λ), …,fs(λ)),[f1(λ),f2(λ), …, fs(λ)]分别表示f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)的首项系数为1的最大公因式和最小公倍式,记用分别表示d(A)与m(A).对于多个多项式的最大公因式、最小公倍式有如下结论. 引理2 设fi(λ)(i=1,2,…,s)在数域P上的分解式为其中p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)为两两互素的首1的不可约多项式,kij≥0 (i=1,2,…,t;j=1,2,…,s).则这里(i=1,2,…,t).推论3[1] 设A∈Pn×n,fi(λ)∈P[λ],fi(λ)≠0 (i=1,2,…,s,s≥2),那么下面的秩等式成立；.证这里只证(i),(ii)类似可证.设fi(λ)(i=1,2,…,s)在数域P上的分解式为其中p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)为两两互素的首1不可约多项式.取这里i=1,2,…,s,j=1,2,…,t.由引理2,因为由引理与等价.再由定理4,推论4[2] 设f(λ),g(λ),h(λ)∈P[λ],A∈Pn×n,且.则证由,设f(λ),h(λ)在数域P上的标准分解式为其中p1(λ),p2(λ),…pt(λ),q1(λ),q2(λ),…,qs(λ)是两两互素的首1不可约多项式,a,b∈P.令其中p1(λ),p2(λ),…pt(λ),q1(λ),q2(λ),…,qs(λ),u1(λ),u2(λ),…,um(λ)仍是两两互素的首1不可约多项式,c∈P.若记则,,由引理1,U(λ)与V(λ)的初等因子组相同,所以U(λ)与V(λ)等价.再由定理4,即有推论5[3] 设A∈Pn×n,f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)是数域P上的s个两两互素的多项式.则下列矩阵多项式秩等式成立证由f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)两两互素,对角阵等价于对角阵(主对角线上有s-1个1).由定理4,推论6[4] 设A∈Pn×n,正整数m,t满足m>t≥2,则At=Am当且仅当证利用与等价,再由定理4即可得证.利用本文的主要结论定理4不仅能刻画幂零矩阵、零化多项式,还可以给出幂等矩阵、对合矩阵、矩阵可对角化等的判定.λ-矩阵等价的充要条件是它们的初等因子组相同,由引理1,两个对角λ-矩阵等价的形式可以是多样的,所以利用定理4可以给出丰富的矩阵多项式秩的恒等式.【相关文献】[1] 左可正.关于矩阵多项式秩的二个恒等式[J] .山东大学学报(理学版)，2011，46(4):90-97.[2] 胡付高，曾玉娥.一类矩阵多项式秩的恒等式与应用[J].山东大学学报(理学版)，2008，43(8):51-54.[3] 徐国进，胡付高，李发来.一类矩阵多项式秩的恒等式[J] .大学数学，2010，26(2):127-129.[4] 杨忠鹏，陈梅香，林国钦.关于矩阵方幂的秩恒等式的注记[J].福州大学学报(自然科学版)，2009，3(1):24-28.[5] 杨忠鹏，林国钦，陈梅香.矩阵多项式秩的和的恒等式及其应用[J].大学数学，2010，26(1):149-152.[6] 胡付高.一类矩阵多项式的秩特征[J] .大学数学，2007，23(3):164-166.[7] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数 [M].3版.北京高等教育出版社，2003:330-334.[8] 林亚南.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2013:210-222.。

编号莆田学院毕业论文课题名称：矩阵多项式秩的若干新结果系别数学系学生姓名学号专业数学与应用数学年级 2003级指导教师2007 年 6 月目录0 引言 (1)记号与定义 (1)研究现状 (1)1 预备知识 (3)2 主要结论及其证明 (5)3 关于猜想1和猜想2的解决 (9)4 结论的一些应用 (11)参考文献 (14)致谢 (15)矩阵多项式秩的若干新结果摘要本文证明了矩阵多项式秩的一个新结果：两个矩阵多项式秩的和等于它们最大公因式矩阵的秩与最小公倍式矩阵秩的和。

利用这个结果可以推导出诸多文献的重要结果及其一些新结论。

2004年，文献[1]提出矩阵A的一次多项式秩的恒等式的两个猜想，作为本文所得结果的应用，可以在更一般的情况下证明这个两个猜想是正确的。

【关键词】矩阵多项式互素多项式猜想Some New Results of Rank of Matrix PolynomialAbstractA new result of rank of matrix polynomial is proved in this paper:The sum of ranks of two matrix polynomials is equal to the sum of ranks of the greatest common factor matrix and the minimal common multiple matrix.We can prove lots of important results and some new conclusions from this result.In 2004,the paper [1] gives two conjectures about the identity of rank of simple polynomial .As the application of the results in this paper ,we can prove that the two conjectures are right in more common situation.【Key Words】Matrix Polynomial; Coprime Polynomial; Conjecture莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

矩阵秩的等式与不等式的证明及应用矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人.而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。

11 预备知识1.1 矩阵的定义定义1.1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==所排列成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a称为m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵.记作111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1.1） 简记为()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯，这m n ⨯个数称为A 的元素.当m n =时，矩阵A 称为n 阶方阵.例如，431259370⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是一个3阶方阵.1.2 矩阵秩的定义定义1.2 通过在m n ⨯矩阵A 中任取k 行k 列（,k m k n ≤≤）的行列交叉处的2k 个元素，而不改变它们在A 中所处的位置顺序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式. m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kkm n C C ⋅个.定义 1.3 如果矩阵A 有一个不为零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式都为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，这个数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ，并且规定零矩阵的秩等于零.2 矩阵秩的性质在矩阵秩的问题当中，有些问题仅依靠定义来解决比较复杂和困难，而利用性质则会简单些，下面我们总结和归纳出了矩阵秩的一些性质.性质2.1 矩阵的行秩与列秩相等.证明 考虑线性方程组0AX =，首先如果未知数的个数超过A 的行秩，则它有非零解.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，考虑方程组0AX =，它由m 个方程n 个未知数组成.从A 的行向量中任意选取r 个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B ，所以方程组0AX =和0BX =同解.在这种情况下，如果B 的列数大于行数，那么方程组0BX =必有非零解，因此0AX =也有非零解.接着证明行秩等于列秩.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，列秩为s .考虑A 的任意1r +个列向量组成的矩阵C ，因为C 的行秩小于或等于r （因为C 的行向量是由A 的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0存在非零解，这表明这1r +个列向量是线性相关的.所以A 的列秩最大为r ，即s r ≤.同理可证r s ≤，因此s r =.性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩.数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换： （1）用数域P 中的一个非零数k 乘以矩阵的某一行（列）； （2）将矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）； （3）交换矩阵中两行（列）的位置.证明 设m n ⨯矩阵A 通过一次初等行变换转变为m n ⨯矩阵B ,且()1R A r =，()2R B r =.1.初等交换变换：i jr rA B ↔→（交换矩阵的第i 行与第j 行）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式均全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任11r +阶子式等于任意非零常数k 与矩阵A 的某个11r +阶子式的乘积.2.初等乘法变换：ikr A B →（将矩阵的第i 行与用非零常数k 相乘）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积.3.初等加法变换：i j r krA B +→（将矩阵的第j 行的k 倍加到矩阵的第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B .（1）若1B 不包含矩阵B 的第i 行或同时包含第j 行与第i 行，那么由行列式的性质得11+1r B D =这里的1+1r D 为矩阵A 的任意11r +阶子式；（2）若1B 包含第i 行但不包含第j 行，那么由行列式的性质得11111r r B D k C ++=+这里的11r D +，11r C +均为矩阵A 的11r +阶子式。

收稿日期：2009-09-06基金项目：2008年福建省高校服务海西建设重点项目（2008HX03）；福建省教育厅科研基金资助项目（JA08196）；莆田学院科研基金资助项目（2006Z006）作者简介：张金辉（1975-），男，福建莆田人，讲师，硕士。

0引言设C n ×n 为复数域C 上所有n ×n 矩阵的集合，I 为n ×n 的单位矩阵，A ∈C n ×n 的秩记为r A ，如果矩阵A ,B ∈C n ×n 满足A 2=A ,B 2=I ，则分别称A ,B 为幂等矩阵和对合矩阵，这是两种有着广泛应用的矩阵类。

Y.Tian 和Styan 在文[1-2]中应用初等变换的方法得到许多有关幂等矩阵的秩等式，并在此基础上利用幂等矩阵与对合矩阵的密切关系，也给出了一些对合矩阵的秩等式。

命题1（见文[1]推论2.14）设P ,Q ∈C n ×n 是任意两个幂等矩阵，则r P- Q 2-P-Q =r I-P + Q +r P- Q -n（1）文[2]将P =12I + A ,Q =12I-B （由文[1]知当A ,B 是对合矩阵时，P ,Q 均为幂等矩阵）代入到已有的幂等矩阵的秩等式，整理而得：命题2（见文[2]定理4.21）设A ,B ∈C n ×n 是任意的两个对合矩阵，则（a ）rA-B22-A-B 2 =r I-A + B +r A- B -n（2）（b ）rA +B22-A +B 2 =r I-A- B +r A + B -n（3）特别地，（c ）12A-B 是幂等矩阵圳r I-A + B +r A-B =n （4）（d ）12A +B 是幂等矩阵第16卷第5期莆田学院学报Vol.16No.52009年10月Journal of Put ian UniversityOct.2009文章编号：1672-4143（2009）05-0005-03中图分类号：O151.21文献标识码：A关于一个矩阵秩等式的注记及其应用张金辉，杨忠鹏，林志兴（莆田学院数学与应用数学系，福建莆田351100）摘要：从一个简单的对任意矩阵都适用的矩阵秩恒等式出发，对一个对合矩阵秩等式进行修正，结果表明它是对任意矩阵都成立的恒等式；作为应用，还推广一个已有的幂等矩阵的秩等式。

第30卷第3期孝感学院学报V O L.30　NO.3　2010年5月JOURNAL　OF　XIAOGAN　UNIVE RSIT Y M A Y.2010　一类矩阵的秩恒等式黄　弘,熊一能(孝感学院数学与统计学院,湖北孝感432000)摘　要:利用计算不为0的特征值的个数来计算矩阵的秩,得到一类矩阵秩的几个矩阵秩恒等式,并给出它们的应用。

关键词:矩阵秩;Sy lvester公式;F ro benius公式中图分类号:O151.12 文献标识码:A 文章编号:1671-2544(2010)03-0020-031　介绍 设F m×n为数域F上所有m×n阶矩阵的集合,rank A为A∈F m×n的秩,E为单位矩阵,f(A)为A的多项式。

当A∈F m×n,正整数m≥2时,如果A m=A,且A k≠A(k=2,3,…,m-1),称A 为m-幂等矩阵;如果A m=A,且A k≠E(k=1, 2,…,m-1),称A为m-对合矩阵。

矩阵的秩是线性代数中一个基本而深刻的概念。

关于矩阵的秩,有一系列的基本不等式,其中Sy lvester不等式与Frobenius不等式占有重要的地位。

下面是著名的Sy lvester与Frobenius不等式:Sy lvester不等式　设A∈F m×n,B∈F n×1,C ∈F l×s,则rank A+rank B≤rank(AB)+nFrbenius不等式　rank(AB)+rank(BC)≤rank(ABC)+rank(B)。

关于矩阵多项式的秩的恒等式,它已成为众多研究者的研究课题,获得了不少好的结果[3-4]。

2008年,胡付高等在文献[4]中讨论了矩阵的秩Fro benius公式等号成立的条件,并给出了下列结论:命题1[4]　设A∈F n×n,f(x),g(x),h(x)∈F[x],(f(x),h(x))=1,则rank[f(A)g(A)]+rank[g(A)h(A)]=rank[f(A)g(A)h(A)]+rank[g(A)]。