矩阵秩重要知识点总结_考研必看

矩阵的秩计算矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用来描述矩阵的线性相关性和线性无关性。

在计算机科学、工程学和物理学等领域中，矩阵的秩也有着广泛的应用。

本文将从基本概念、计算方法和应用三个方面介绍矩阵的秩。

一、基本概念矩阵的秩指的是矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

具体来说，对于一个m行n列的矩阵A，如果它的秩为r，那么就意味着存在r 个线性无关的行或列，且没有更多的线性无关行或列。

同时，矩阵的秩也等于它的列空间或行空间的维度。

二、计算方法对于一个矩阵A，可以通过进行初等行变换或初等列变换来求解其秩。

初等行变换包括交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的k倍。

初等列变换与之类似。

通过这些变换，可以将矩阵A转化为行简化阶梯形或列简化阶梯形，从而求得其秩。

可以通过矩阵的特征值来计算矩阵的秩。

具体来说，对于一个n阶矩阵A，如果它有n个非零的特征值，那么它的秩为n。

反之，如果它只有k个非零特征值，那么它的秩就是n-k。

三、应用1. 线性方程组的解：对于一个m行n列的矩阵A和n行1列的矩阵X，可以通过求解AX=0来得到线性方程组的解。

如果矩阵A的秩等于n，那么线性方程组有唯一解；如果矩阵A的秩小于n，那么线性方程组有无穷多解；如果矩阵A的秩小于m，那么线性方程组无解。

2. 矩阵的相似性：矩阵的秩还可以用于判断两个矩阵是否相似。

如果两个矩阵A和B相似，那么它们的秩相等。

3. 矩阵的逆：对于一个n阶矩阵A，如果它的秩等于n，那么它是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

反之，如果矩阵A的秩小于n，那么它是不可逆的。

4. 图像处理：在图像处理中，可以使用矩阵的秩来判断图像的信息量。

如果一个图像的秩较高，那么它包含了更多的信息；反之，如果一个图像的秩较低，那么它的信息量较少。

总结起来，矩阵的秩是描述矩阵线性相关性和线性无关性的重要指标。

它可以通过初等行变换、初等列变换或特征值来计算。

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。

例如 共有个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。

显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。

2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。

规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } .(4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。

例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。

解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。

()n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯k nk m c c ()n m ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果求 a . 解或 例3 则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

矩阵秩重要知识点总结_考研必看一．矩阵等价行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价矩阵等价的充要条件1. 存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B2. R(A)=R(B)二．向量的线性表示Case1：向量b能由向量组A线性表示: b=λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λmαm充要条件:1.线性方程组Ax=b有解2.R(A)=R(A,b)Case2：向量组B能由向量组A线性表示充要条件：R(A)=R(A,B)推论∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A)Case3：向量组A能由向量组B线性表示充要条件：R(B)=R(B,A)推论∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B)Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价充要条件:R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)Case5：n维单位坐标向量组En能由矩阵A的列向量组线性表示充要条件是:R(A)=R(A,E)n=R(E)=n，所以R(A)=n=R(A,E)三．线性方程组的解1. 非齐次线性方程组（1） R(A)=R(A,B),方程有解.（2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一.（3） R(A)=R(A,B)（4）R(A) ≠R(A,B)2．齐次线性方程组（1）一定有解（2）有非零解的充要条件R(A)四．向量组线性相关性向量组线性相关：存在不全为0的实数λ1、λ2，λ3…λn,满足λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λnαn=0充要条件:（1） R(A)（2）向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示（3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解．Case1：向量组A要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一Case2：向量组A只包含一个向量α，α是零向量，向量组A线性无关; α是非零向量，向量组A线性无关。

矩阵的秩的运算法则矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们判断矩阵的性质和解决一些实际问题。

在矩阵的秩的运算中，有一些基本的法则和规则，下面我将为大家介绍一下。

首先，我们需要明确什么是矩阵的秩。

矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

换句话说，矩阵的秩就是矩阵中非零行或非零列的最大个数。

我们用r(A)表示矩阵A的秩。

接下来，我们来看一下矩阵的秩的运算法则。

首先是矩阵的加法。

如果两个矩阵A和B的秩相等，即r(A) = r(B)，那么它们的和矩阵A + B的秩也相等，即r(A + B) = r(A) = r(B)。

这个法则告诉我们，矩阵的秩在加法运算中是保持不变的。

其次是矩阵的乘法。

如果两个矩阵A和B相乘，那么它们的秩满足以下关系：r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}。

也就是说，两个矩阵相乘后的秩不会超过原矩阵的秩的较小值。

这个法则告诉我们，矩阵的秩在乘法运算中是有限制的。

再次是矩阵的转置。

如果矩阵A的秩为r(A)，那么它的转置矩阵A^T的秩也为r(A^T) = r(A)。

这个法则告诉我们，矩阵的秩在转置运算中是保持不变的。

最后是矩阵的行变换。

对于一个矩阵A，我们可以进行一系列的行变换，如交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。

这些行变换不会改变矩阵的秩。

也就是说，经过行变换后的矩阵与原矩阵的秩相等。

综上所述，矩阵的秩的运算法则包括矩阵的加法、乘法、转置和行变换。

在矩阵的加法中，秩保持不变；在矩阵的乘法中，秩有一定的限制；在矩阵的转置中，秩保持不变；在矩阵的行变换中，秩也保持不变。

矩阵的秩的运算法则在线性代数的学习和应用中起着重要的作用。

通过运用这些法则，我们可以更好地理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。

同时，这些法则也为我们提供了一些计算矩阵秩的方法和技巧，使我们能够更加高效地进行矩阵的秩运算。

总之，矩阵的秩的运算法则是线性代数中的重要内容，它们帮助我们理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。

第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。

定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。

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分析2017考研数学矩阵秩的基本性质 矩阵是线性代数的最基本内容和工具，线性代数中其它大部分问题的解决都需要用到矩阵，包括：线性方程组解的分析和计算、向量的线性关系的分析、特征值和特征向量以及二次型的分析和计算等，矩阵几乎贯穿线性代数的始终。

矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它在讨论方程组的解的结构和向量组的线性关系中有重要的作用，下面本文对矩阵秩的基本性质做些总结分析，供各位2017考研的同学参考。

一、矩阵秩的定义
虽然矩阵的秩是根据最高阶非零子式的阶数来定义的，但在具体计算一个矩阵的秩时，我们一般不用定义来求秩，而是根据上面的基本性质(3)，用初等行变换将矩阵化为阶梯形，其非零行的行数即矩阵的秩。

在线性方程组中，矩阵的秩本质上就是方程组的约束条件个数。

关于矩阵的秩，除了上面的基本性质外，还有一些其它常用的性质，想进一步了解的同学请关注其他相关资讯。

（实。

1/浅析秩的一些相关公式在线性代数这门学科里，秩是非常关键也是常用的一个工具，要深刻理解和掌握秩这个武器，必须还要熟记与秩有关的一些公式，这样才能在考试中得心应手，下面对秩的公式进行了总结，也方便同学们掌握这部分内容。

1.()()()Tr r r k ==A A A ，0k ≠；前一篇笔者讲到了，矩阵的秩等于其行秩也等于其列秩，所以将矩阵转置了之后秩是没有改变的，数乘也是不改变秩的。

2.()min{,}m n r m n ⨯≤A ；矩阵形式：结合矩阵秩的概念，非零子式的最高阶数即为矩阵的秩，矩阵最高阶子式为min{,}m n ，故其非零子式最高阶应小于等于min{,}m n ；向量形式：若将矩阵m n ⨯A 写成向量组的形式，即1[,...,]m n n αα⨯=A ，矩阵的秩等于向量组的秩，则有的向量组的秩1(,...,)min{,}n r m n αα≤。

3.若向量组1,...,n αα可由向量组1,...,m ββ表出，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ<。

这个推导过程上一篇文章笔者已经介绍了，就不在这介绍过多了，若将向量组组成矩阵的形式，有()min{(),()}r r r ≤AB A B ，这个矩阵形式的公式是最常用的，关于这个公式还有如下几点推论：推论1：若n n ⨯P 可逆，则()()r r =AP A ,()()r r =PB B ；这条推论的用法就是乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩，那么可逆矩阵的本质就是若干个初等矩阵相乘，乘以可逆矩阵相当于做了若干次初等变换，初等变换是不改变秩的。

推论2：若m n m n ⨯⨯≅A B ，等价于()()m n m n r r ⨯⨯=A B ；两个同型矩阵等价的充要条件 版权所有翻印必究是其秩相同。

推论3：若向量组1,...,n αα与向量组1,...,m ββ等价，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ=，这条推论两个向量组等价的必要条件是这两个向量组的秩相同，这只是一个必要条件，而非充要条件，要和推论2区别开。