满秩矩阵及矩阵满秩分解引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.一 矩阵的秩定义1.1[1] 一个矩阵A 中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩.记作rankA .利用定义1.1计算矩阵的秩运算量很大,故而给出矩阵秩的第二定义.定义1.2[2] 矩阵A 的秩等于A 的行秩,也等于A 的列秩,即行秩等于列秩.行秩指矩阵行向量组的秩,列秩指矩阵列向量组的秩.定理1.1 定义1.1和定义1.2等价.证明 设A 的秩为r ,则A 有不等于零的r 阶子式D .不妨设D 位于A 的左上角,设A 的前r 个列向量为12,,,r ααα.设12,,,r k k k ,使得11220(1)r r k k k ααα+++=考虑线性方程组11220(2)r r x x x ααα+++=因为（2）的系数矩阵12(,,,)r B ααα=中有一个不等于零的r 阶子式D ,所以B 的秩为r ,从而线性方程组的（2）只有零解.因此满足（1）式的120r k k k ====,也即证明了12,,,r ααα线性无关.设121,,,,r r j j j j αααα+是A 的任意1r +个列向量.考虑线性方程组121''''1210(3)r r j j r j r j x x x x αααα++++++=因为方程组(3)的系数矩阵),,,,(c 121+=r j jr j j αααα的秩小于1r +,所以（3）有非零解,也即有121(,,,,,,),r r n A ααααα+=()r rank rankA n r r ==+ααααα,,,,,,121 .二 满秩矩阵 2.1满秩矩阵的概念定义2.1.1 设()F M A n n ⨯∈上的一个矩阵,若n rankA =,则称A 为满秩矩阵. 定义2.1.2 设()()n m F M A n m ≠∈⨯上的一个矩阵,若m rankA =,则称A 为行满秩矩阵;若n rankA =,则称A 为列满秩矩阵.命题2.1.1 若()n n A M F ⨯∈上的一个满秩矩阵,则0det ≠A .命题2.1.2 若n m ⨯矩阵的m 个行向量线性无关,则称此矩阵为行满秩矩阵;若m n ⨯矩阵的n 个列向量线性无关,则称此矩阵为列满秩矩阵.例 2.1.1111210120111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,则A 的三个列向量123111210,,,120111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知123,,ααα线性无关.由命题2.1.2可知,A 为列满秩矩阵,且3=rankA .而121111211001T A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三个行向量()()()'''1231211,1121,1001ααα===易知线性无关. 由命题2.1.2可知,T A 为行满秩矩阵,且3=T rankA .2.2满秩矩阵的性质性质2.2.1 设()()m n A M F m n ⨯∈≠上的一个矩阵,若A 为行满秩矩阵,则n m ≤;若A 为列满秩矩阵,则m n ≤.证法Ι 若A 为行满秩矩阵,则m rankA =,即存在A 的一个不为0的m 阶子式.当m n >,则A 不存在不为0的m 阶子式,故n m ≤.同理可证,若A 为列满秩矩阵,则m n ≤.证法Ⅱ 若A 为行满秩矩阵,则m rankA =,由命题2.1.2知,有m 个行向量线性无关;当m n >,则有n 个列向量线性无关.由此可得A 的行秩为m ,列秩为n .但这与“A 的行秩等于A 的列秩”矛盾,因此rankA m =,即n m ≤.同理可证,若A 为列满秩矩阵,则m n ≤.引理2.2.1[3] 设()()()(),,p n F M B n m F M A p n n m ≠∈≠∈⨯⨯那么:()()rankB rankA AB rank n rankB rankA ,m in ≤≤-+其中()AB rank n rankB rankA ≤-+称为“Sylvester 不等式”.性质2.2.2 设()()()(),,p n F M B n m F M A p n n m ≠∈≠∈⨯⨯若A 为列满秩矩阵,则()rankB AB rank =;若B 为行满秩矩阵,则()rankA AB rank =.证明 若A 为列满秩矩阵,则n rankA =,由“Sylvester 不等式”知()AB rank rankB ≤,再由引理2.2.1知()rankB AB rank ≤,从而()rankB AB rank =.同理可证,若B 为行满秩矩阵,则()rankA AB rank =.引理2.2.2 设()()n m F M A n m ≠∈⨯,则存在数域F 上非零的p n ⨯矩阵B ,使得0=AB 的充分必要条件为rankA n <.其逆否命题可表述为设()()n m F M A n m ≠∈⨯,则存在数域F 上非零的n p ⨯矩阵B ,使得0AB ≠的充分必要条件为.rankA n ≥定理2.2.1 设()()()(),,p n F M B n m F M A p n n m ≠∈≠∈⨯⨯且0≠B ,若()()B rank AB rank =,则A 为列满秩矩阵.证明 由于0B ≠,故()()0>=B rank AB rank ,从而0≠AB ,由引理2.2.2的逆否命题知n rankA ≥,又()()n m F M A n m ≠∈⨯,故n rankA ≤,从而n rankA =,即A 为列满秩矩阵. 定理2.2.2 设()()()(),,p n F M B n m F M A p n n m ≠∈≠∈⨯⨯且0A ≠,若()()A rank AB rank =,则B 为行满秩矩阵.证明 由于0A ≠,故()()0>=A rank AB rank ,从而0AB ≠,由引理2.2.2的逆否命题知n rankB ≥,又()()p n F M B p n ≠∈⨯,故n rankB ≤,从而n rankB =,即B 为行满秩矩阵.引理2.2.3[1] 设A 为n m ⨯矩阵,即,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 通过行初等变换和第一种列初等变换能把A 化成如下形式,00000000001000100011,21,211,1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++ rn r r n r n r c c c c c c B 进而再利用一系列第三种列初等变换能把B 化成如下形式,0000000000001000001000001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= r D 这里.,,0n r m r r ≤≤≥性质2.2.3 若A 为m n ⨯的列满秩矩阵,则存在n 行m 列的行满秩矩阵B ,使得n I BA =;若C 为m n ⨯的行满秩矩阵,则存在n 行m 列的列满秩矩阵D ,使得m I CD =.证明 因为A 为列满秩矩阵,显然n m ≥,由引理2.2.3知,则存在可逆的m 阶方阵P,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n I PA将P 在n 行和1n +行之间划分成块,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q B P 则B 为m n ⨯矩阵, Q 为()m n m ⨯-矩阵,则,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n I QA BA A Q B PA 知n I BA =.又由于rankA BA rank =)(,,n m rankB ≥≥而n rankB ≤知n rankB =,故B 为行满秩矩阵.同理可证,对于m n ⨯的行满秩矩阵C ,必存在n 行m 列的列满秩矩阵D ,使得m I CD = 性质2.2.4 设()()()()p n F M B p n F M A p n p n ≠∈≠∈⨯⨯,,且()()n m F M H n m ≠∈⨯上的一个列满秩矩阵,若HA HB =,则左消去律成立即A B =.证明 因为()()n m F M H n m ≠∈⨯,由HA HB =,()()()()p n F M B p n F M A p n p n ≠∈≠∈⨯⨯,,则0,HA HB -=即H(A-B)=0 设()n H ααα,,,21 =, 12i i i mi αααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1,2,3,,.i n =111212122212p p n n np a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 111212122212,p p n n np b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭从而有()0,,,22112222222121111212111121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------np np n n n n p p p p n b a b a b a b a b a b a b a b a b aααα, 故有111222()()()0(1,2,,),j j j j nj nj n a b a b a b j p ααα-+-++-==由于H 为列满秩矩阵,12,,,n ααα线性无关,从而()p j n i b a ij ij ,,2,1;,,2,1 ===即A B =.性质2.2.5 设()()()()p n F M B p n F M A p n p n ≠∈≠∈⨯⨯,,且()()n m F M H n m ≠∈⨯上的一个行满秩矩阵,若AH BH =,则右消去律成立即A B =.证明 因为()()n m F M H n m ≠∈⨯,又H 为行满秩矩阵,由性质2.2.3知必存在一列满秩m n ⨯矩阵S ,使得m I HS =;由条件知AH BH =,给等式两边同乘S 得到A B =.定理2.2.3 设A 为n m ⨯矩阵, r rankA =,则(1) 存在m 行r 列的列满秩矩阵H 和r 行m 列的行满秩矩阵L ,使得A HL =. (2) 若11L H HL A ==,其中H 与1H 为m 行r 列的列满秩矩阵,L 与1L 为r 行n 列的行满秩矩阵,则必存在非奇异矩阵P 使得111,L P L P H H -==.证明 （1）由于rankA r =,当r m =时,A I A m =是A 的一个满秩分解;当r n =时,nAI A =是A 的一个满秩分解;当{}n m r ,m in 0<<时,我们知道,可通过行初等变换将A 化000r I ⎛⎫⎪⎝⎭形式,也即存在m 阶可逆矩阵B 和n 阶可逆矩阵C 有()00,000rr r II A B C B I C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令(),0,0r rI H B L I C ⎛⎫== ⎪⎝⎭则.A HL =（2）因为L 是r 行n 列的行满秩矩阵,所以由性质2.2.3知,存在n 行r 列的列满秩矩阵D ,使得m I LD =,于是在11L H L =,两边右乘D ,有D L H H 11=. 令D L P 1=知P 是r 阶方阵,下证P 可逆.由于H 是m 行r 列的列满秩矩阵,所以存在r 行m 列的行满秩矩阵A ,使n I AH =,从而()P AH AH I n 1==,所以P 是r 阶可逆矩阵.又因,,1111-==HP H L H HL故而.,1111L P L L HP HL --==三 矩阵的满秩分解 3.1矩阵满秩分解的概念定义3.1.1[4] 设()()n m F M A n m ≠∈⨯,0rankA r =>,若存在r m ⨯的列满秩矩阵P 和n r ⨯的行满秩矩阵G ,使得PG A =,则称此分解为矩阵A 的满秩分解.推论3.1.1 任意n m ⨯矩阵()0>rankA A 都存在满秩分解. 根据定理2.2.3显然易证.3.2初等变换法基于定理2.2.3,我们可以得知,对任意矩阵()0>rankA A 都能利用初等变换法进行满秩分解.初等变换法包括行初等变换和列初等变换.行初等变换有三种变换形式,1交换两行记作ij P ,表示将第i 行与第j 行交换;2某一行乘一非零常数记作()k D i ,表示给第i 行乘一非零常数k ;3某一行乘一非零常数加到另一行记作()k T ij ,表示给第j 行乘一非零常数k 加到第i 行.对应的初等矩阵为 1 交换两行;10111101⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ij P 2 第i 行乘一非零常数k();1111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= k k D i 3 第j 行乘一非零常数k 加到第i 行ij 11(k)=.011k T ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭列初等变换也有三种变换形式,1变换两列记作'ij P ,表示将第i 列与第j 列交换;2给某一列乘一非零常数记作'()i D k ,表示给第i 列乘一非零常数k ;3给某一列乘一非零常数加到另一列记作'()ij T k ,表示给第j 列乘一非零常数k 加到第i 列.实际上,对任意一个矩阵()0>rankA A ,进行一系列相应行或列的初等变换后都可以化成 000rI ⎛⎫⎪⎝⎭ 形式;另外,给矩阵A 左乘或右乘若干个对应初等矩阵也可以将其化成000r I ⎛⎫⎪⎝⎭形式.例3.2.1 求矩阵1332A=2695-1-330⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解.解()()()()()()().000000100001000010000001000013000001000013001001000013001031000013002331260013002331260059622331033159622331'24'34'41'21123221313131221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=------P T T T T T T T A 则存在3阶可逆矩阵,P,125012013101010001100012001120010001100010011)1()2()2()1(31213212⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=T T T T P存在4阶可逆矩阵,Q,0310010010003311001001001000000113000100001000110000100001010011000010000100031)3()1()3(24''34'41'21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---=P T T T Q使得,000,0001212--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q I P A I PAQ 其中,0010010013001031,11103201111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--Q P (),000001221121----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q I I P Q I P A,113211001001111032011021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-I P H (),13001031001001001300103100100001012⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-Q I L 其中,2==rankL rankH进而得HL A =,其中H 为列满秩矩阵,L 为行满秩矩阵.3.3 一类特殊矩阵的满秩分解定义3.3.1[4] 设()()n m F M A n m ≠∈⨯,矩阵A 的行转置矩阵与列转置矩阵分别为()()(),11211222211211121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---n n n m m m mn m m R a a a a a a a a a a a a A11(1)121122(1)2221(1)2m1 =,a nn nn C mnm n m a a a a a a a a A a a a ---⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭若(),A A A A C R ==则称A 为行（列）对称矩阵.定理3.3.1[5] 设()()n m F M A n m ≠∈⨯,则,,n C m R AJ A A J A ==,其中m J 表示次对角线元素全为1,其余元素全为0的m 阶方阵; n J 表示次对角线元素全为1,其余元素全为0的n 阶方阵.证明 将矩阵A 按行、列分块为,121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-m m A αααα (),121n n A ββββ-=则,0001001001001000121121R m m m m m A A J =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--αααααααα()().0001001001001000121121C n nn n n A AJ ==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--ββββββββ行对称矩阵只有两种类型1当行对称矩阵行数为偶数行时,可表示为B JB ⎛⎫⎪⎝⎭;2当行对称矩阵行数为奇数行时,可表示为,B JB α⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中()(),n m F M B n m ≠∈⨯1()n M F α⨯∈，J 为次对角矩阵.列对称矩阵也有两种类型1当列对称矩阵列数为偶数列时,可表示为();B BJ 2当列对称矩阵列数为奇数列时,可表示为(),B BJ β其中m n()B MF ⨯∈定理3.3.2（行对称矩阵分解定理）设()()n m F M B n m ≠∈⨯的满秩分解为()()()(),,,2n r F M G n m F M F FG B n r n m ≠∈≠∈=⨯⨯,αβ=G (),1F M r ⨯∈β则① 行对称矩阵2()m n m B A M F J B ⨯⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的满秩分解为.m F A G J F ⎛⎫=⎪⎝⎭ ② 行对称矩阵(21)()m n m B A M F J B α+⨯⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解为.m F A G J F β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明 ①由条件知2(),(),m r r n m F M F G M F J F ⨯⨯⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭使得.m m m F FG B G A J F J FG J B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②由条件知(21)()m r m F M F J F α+⨯⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭,n (),r G M F ⨯∈ 使.m m m F FG B G G A J F J FG J B ββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭定理3.3.3（列对称矩阵分解定理）设()()n m F M B n m ≠∈⨯的满秩分解为B FG =,()(),r m F M F r m ≠∈⨯()(),n r F M G n r ≠∈⨯,αβ=F (),1F M r ⨯∈β则① 列对称矩阵()2()m n n A B BJ M F ⨯=∈的满秩分解为().n A F G GJ = ② 列对称矩阵()(21)()m n A B BJ M F α⨯+=∈的满秩分解为().n A F G GJ β=证明 ①由条件知()2(),()m r n r n G GJ M F F M F ⨯⨯∈∈()()()n n n F G GJ F G FGJ B BJ A ===②由条件知()(21)(),(),r n m r n G GJ M F F M F β⨯+⨯∈∈使得()()().n n n F GGJ F GF FGJ B BJ A ββα===四 总结首先,本文通过导入矩阵的秩,引出一类特殊矩阵——满秩矩阵,并深入研究了它的一些重要性质;特别地,给出了这些性质的详细证明以及强调了它们之间的联系.这样加深了我们对满秩矩阵的了解.其次,提出矩阵的满秩分解,重点介绍了一种矩阵满秩分解的方法——初等变换法,并通过举例对其进行了强化.这样帮助我们掌握了矩阵的满秩分解.最后,强调一类特殊矩阵满秩分解的形式,并对其展开了深入探讨.这部分作为对一般矩阵满秩分解内容的补充,有效地提高了我们分析矩阵满秩分解问题的能力.致谢本论文是在邵海琴老师的悉心指导下完成的,感谢邵老师对我的辛勤培育.从论文的立题到论文的撰写整个过程无不浸透着老师的心血,她广博的学识,严肃的科学态度，严谨的治学精神,灵活的思维方式,耐心细致的言传身教深深感染激励着我,将使我终身受益.导师不但在学习上给予我耐心细致的指导,在生活中也给了我莫大的关怀,这份师恩我将终身难忘.同时,我要感谢我们学院给我们授课的各位老师,正是由于他们的传道、授业、解惑,让我学到了专业知识,让我的大学生活丰富多姿.最后,感谢数应06四班的同学和我的舍友给予我的帮助.我为自己能够在这样一个温馨和谐的班级体中学习生活,深感愉快和幸福.参考文献[1]刘仲奎,杨永保.高等代数[M]. 北京:高教出版社,2005:74-75,111-112.[2]王萼芳,石名生.高等代数（第三版）[M].北京:高教出版社,2003:127-129.[3]张艳丽,刘洁晶.矩阵秩几个重要结论[J].河北:衡水学院学报,2008,10(1):60-61.[4]王金林.矩阵分解的方法[J].江西:南昌航空工业学院学报（自然科学版）,2004,18(3):20-24.[5]袁晖坪.对称矩阵的满秩分解和正交对角分解[J].上海:上海理工大学学报,2007,29(3):72-79.。
