考研数学矩阵的8大秩及其证明2009
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证明：根据矩阵秩的定义直接得出。
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证明：对矩阵A 任意添加列后变成矩阵(), A B ，则秩显然不小于()R A ，即： ()(), R A B R A ≥ 同理： ()(), R A B R B ≥
因而：()(){}(), , Max R A R B R A B ≤成立。
又设 ()(), R A r R B t ==，把, A B 分别做列变换化成列阶梯形~
~
, A B
1110
3
810
1100
1000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
如：就是列阶梯形
用~
~~
~
1
1
, r r a a b b 分别表示非全零列，则有：
()~
~~
()1~~
~
~~
()1
, 00, , , 0
0表示列变换表示列变换c r c c r A A a a A B A B B B b b ⎧⎛⎫−−−−−→= ⎪⎪⎪⎝⎭
⎛⎫
⇒−−→⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪−−−−−→= ⎪⎪⎝⎭
⎩
由于初等变换后互为等价矩阵，故()~~, , R A B R A B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
而矩阵~~, A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭只含有r t +个非全零列，所以：()()~~~~, , R A B r t R A B R A R B ⎛⎫⎛⎫
≤+⇒≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
。
综合上述得：()(){}()()(), , Max R A R B R A B R A R B ≤≤+
●特别地：如B b =为列向量，则()1R b ≡()()() , 1R A R A B R A ⇒≤≤+。 ●如B E =，设()(), , m n m R A B R A E ⨯=， 则
()()() , , m n m m m n m m R A E R E m R A E m ⨯⨯≥≥=⇒=
()3
证明：
()()()()()()()()()()()()
2 , , , , , , A B B A B R A B B R A B R A R B R A B R A B B R A B R A B R A R B +→⇒+=−−−−→+≥=+≥+⇒+≤+由公式知
()4
证明：()1 设()()() ,AB C B AX C R A R A C R C =⇒=⇒=≥是的解
()()()()
()
()()()()()(){},min , T R B R B T
T
T
T
T
T
T
B A
C R B
R B
C
R C R B R C R C R AB R A R B n
==⇒=≥−−−−
−→≥⇒=≤≤又，
()2 设()(), m n n s R A r R B t ⨯⨯==
则A 的标准型为000r
m n E ⨯⎛⎫
⎪⎝⎭，B 的标准型为000t n s
E ⨯⎛⎫
⎪⎝⎭ 存在可逆矩阵, , , m s n n P Q P Q 使：
()()()()()111111
1
1
00 0
000000000000000n r n t r
t m n n s m n n s
r t r
t
m n n s m n n s m n n s m n n s
r t
r n t n n n n
n r t m E
E P AQ P BQ E E E E AB P Q P Q P M Q m m M Q P m m R AB R P -⨯-⨯⨯------⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯---⨯-⨯⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫
⎪
=−−−→= ⎪
⎝
⎭
⇒=分块()()()()11
00000000 000000 0000 n r n t r t n n s m n n s r t n n m n n s r t r n t r
t n r t m n n s E E M Q E E R M m m E E R m m -⨯---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--⨯⨯⨯⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=()()000r r t t r r t t r t E m E R R E m E R m ⨯⨯⨯⎛⎫
== ⎪⎝⎭
()()()()()()()()()()()()() --r t n n n n n n n n r t r t r t r t m M R M n M n r n t M m R m R m n n r n t r t n R A R B n R AB R m R A R B n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡--≥--=+-=+-⇒=≥+-注意到矩阵是满秩矩阵的子阵，。
考虑到极端情况：即中有行没有一个零元素，有列没有一个零元素，这时，中的零元素全部在矩阵中，从而使取得最小值，所以：
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证明：设()12, ,
, l B b b b =，则
()()()12, ,
, 0, 0,
, 00 1,2,
,l i A b b b Ab i l =⇒==
()()()()()()
()()12 0 0 ,., , , i l B l AX AX S R S n R A b S R B R b b b R S n R A R A R B n
===-∈⇒=≤=-⎡⎤⎣⎦⇒+≤ 上式说明的个列向量都是齐次方程的解。如果的解空间为 其维数就是 显然，
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证明：分三种情况
