数系的扩充与复数的引入

第3讲 数系的扩充与复数的引入一、 基础知识梳理：1．复数的有关概念：(1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R，i 叫作 ，a 叫作复数的 ，b 叫作复数的 ．②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a ，b ∈R)．(2)复数集①定义： 组成的集合叫作复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．2．复数的分类及包含关系(1)分类：复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示： .3．两个复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当 .4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)Z (a ，b ) 复平面内的点 ；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) OZ →＝(a ，b )平面向量 ．5．复数的模：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝ .二．问题探究探究点一：复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1：符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．探究点二：复数的分类例2：当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2：实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点三：两复数相等例3：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .跟踪训练3：已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．探究点四：复数的几何意义例4：在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练4： 已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求复数z .三.方法小结：1.复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫作复数的虚部．2.两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．3.按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值四.练一练1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

第3章 数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.1数系的扩充和复数的概念教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即21i =-(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部用字母C 表示*5. 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数.例2例3例4（1）.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( D )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C（2）.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足(D )A.x =－21 B.x =－2或－21C.x ≠－2D.x ≠1且x ≠－2 （3）.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( A )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1例5（1）满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.（2）复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______. 例6设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值. 例7若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值. 例8已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .答案：例4（3）由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴⎩⎨⎧=--=--06531322m m m m ，∴⎩⎨⎧-==-==1614m m m m 或或∴m =－1，故选A. 例5.（1）解析：由题意知⎩⎨⎧=+-=--,0169,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或∴点对有(3，31)，(－1，31)共有2个.答案：2（2） 解析：z 1=z 2⇔⎩⎨⎧==⇔||||d b ca a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 2例6.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m ∴⎩⎨⎧<≠=--320432m m m m 且∴⎩⎨⎧≠<-==2314m m m m 且或，∴m =－1.例7 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴⎩⎨⎧=+=++02022m x mx x ，∴x =－2m ，∴,02242=+-mm ∴m 2=8，∴m =±22. 例8. 解：(1)m 须满足⎩⎨⎧≠-=-+.11,0322m m m 解：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈∅§3.1.2复数的几何意义学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例9例10．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值. [解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++=故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例11．(1)（2008天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3(2)(2007全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)3(3)（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (4)（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。