九年级数学上册月考检测试卷1

重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b23．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：35．（4分）下列命题中，不一定是真命题的是（）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间8．（4分）下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．729．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于．15．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线于点M（只保留作图痕迹）；（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选：B．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2【解答】解：a2•a3＝a5，故A错误，不符合题意；a与2a2不能合并，故B错误，不符合题意；（﹣3ab）2•2ab2＝18a3b4，故C错误，不符合题意；6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2，故D正确，符合题意；故选：D．3．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝．故选：B．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：3【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC和△A′B′C′的周长之比为1：3，故选：D．5．（4分）下列命题中，不一定是真命题的是（）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分【解答】解：A、平行四边形的两条对角线长度不一定相等，故本选项命题不一定是真命题，符合题意；B、菱形的两条对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；C、矩形的两条对角线长度相等且互相平分，是真命题，不符合题意；D、正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分，是真命题，不符合题意；故选：A．6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．故选：D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间【解答】解：∵25＜31＜36，∴5＜＜6，∴3＜﹣2＜4．故选：A．8．（4分）下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．72【解答】解：观察图形发现第一个图形有8个正方形，第二个图形有8+7＝15个正方形，第三个图形有8+7×2＝22个正方形，…第n个图形有8+7（n﹣1）＝7n+1个正方形，当n＝9时，7n+1＝7×9+1＝64个正方形．故选：C．9．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD，交DA的延长线于N，设EF与AD交于T，如图所示：则∠N＝∠EMB＝∠EMA＝90°，∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，∴∠BEF＝∠BAD＝∠EFG＝∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝EF，∴∠N＝∠EMA＝∠MAN＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴∠1+∠DTE＝90°，∠2+∠FTA＝90°，∵∠DTE＝∠FTA，∴∠1＝∠2，在△DME和△FNE中，，∴△DME≌△FNE（AAS），∴EM＝EN，∴矩形AMEN为正方形，∴AE平分∠DAN，∴∠EAD＝45°，∴∠EAF＝∠BAD+∠EAD＝90°+45°＝135°，∴∠2＝180°﹣∠EAF﹣AEF＝180°﹣135°﹣α＝45°﹣α，∴∠1＝∠2＝45°﹣α，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，∴∠EDH＝∠1+∠ADB＝45°﹣α+45°＝90°﹣α，∴∠HDG＝∠EDG﹣∠EDH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠BHF＝∠DHG＝90°﹣∠HDG＝90°﹣α．故选：D．10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①﹣d“闪减操作”后的式子|a+b﹣c|﹣|﹣e|，﹣c﹣d“闪减操作”后的式子|a+b|﹣|﹣e|对这两个式子作差，得（|a+b﹣c|﹣|﹣e|）﹣（|a+b|﹣|﹣e）＝|a+b﹣c|﹣|﹣e|﹣|a+b|+|﹣e|＝|a+b﹣c|﹣|a+b|，结果不含与e相关的项，∴①正确；②若每种操作只闪退一项，则分三种情况：+b闪减操作”后的结果|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a+c+d+e，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a﹣c﹣d﹣e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a+c+d+e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a﹣c﹣d﹣e，﹣c“闪减操作”后的结果|a+b|﹣|﹣d﹣e|，当a+b≥0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b+d+e，当a+b≥0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b﹣d﹣e，当a+b≤0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝﹣a﹣b+d+e，当a+b≤0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|﹣a﹣b﹣d﹣e，﹣d“闪减操作”后的结果|a+b﹣c|﹣|﹣e|，当a+b﹣d≥0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c+e，当a+b﹣d≥0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c﹣e，当a+b﹣d≤0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c+e，当a+b﹣d≤0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c﹣e，共有12种不同的结果，∴②错误；③∵|+b|+|+b+2|＝|b﹣0|+|b﹣（﹣2）|，在数轴上表示点b与0和﹣2的距离之和，∴当距离取最小值0﹣（﹣2）＝2时，b的最小值为﹣2，同理|﹣c+1|+|﹣c+4|＝|1﹣c|+|4﹣c|，在数轴上表示点c与1和4的距离之和，∴当距离取最小值4﹣1＝3时，c的最小值为1，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|＝|1﹣d|+|﹣6﹣d|，在数轴上表示点d与1和﹣6的距离之和，∴当距离取最小值1﹣（﹣6）＝7时，d的最小值为﹣6，∴当|+b|+|+b+2|，|﹣c+1|+|﹣c+4|，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|都取最小值时，（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝2×3×7＝42，∴③正确，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是30° ．【解答】解：∵∠A是锐角，sin A＝，∴∠A＝30°，故答案为：30°．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是6．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，∴这个多边形的边数是6．故答案为：6．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为142° ．【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝38°，∴∠ADP＝∠1＝38°，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠BPD+∠ADP＝180°，∴∠BPD＝180°﹣38°＝142°．故答案为：142°．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于5．【解答】解：根据题意得a2﹣a＝1，b2﹣b＝1，所以3a2+2b2﹣3a﹣2b＝3a2﹣3a+2b2﹣2b＝3（a2﹣a）+2（b2﹣b）＝3+2＝5．故填515．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝8．【解答】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，∵BA⊥OB于点B，∴∠ABD＝90°．∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，∴∠ABB′＝60°，∴∠B′BD＝90°﹣60°＝30°．∵点B′的坐标为（1，），∴OD＝1，B′D＝，∴BB′＝2B′D＝2，BD＝＝3，∴OB＝1+3＝4，AB＝BB′＝2，∴A（4，2），∴k＝4×2＝8．故答案为：8．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为8．【解答】解：，解得：，∵不等式组有且只有2个整数解，∴，解得2＜a≤5.5，解分式方程得y＝2a﹣5，∵y的值解为正数，∵2a﹣5＞0，且2a﹣5≠3，∵a＞2.5且a≠4，∴满足条件的整数a的值有3和5，∴3+5＝8．故答案为：8．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质可得AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，，∴，∴CF＝BC﹣BF＝4，在Rt△ABF，由勾股定理得，∴，∵∠BAF+∠BF A＝90°＝∠BF A+∠CFE，∴∠BAF＝∠CFE，∴在Rt△EFC中，，∴，故答案为：3．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝5；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是2222．【解答】解：根据题意可知0≤a﹣c≤8，a﹣c＝b﹣d+1．M＝1000a+100b+10c+d，N＝1000c+100d+10a+b．＝，＝，＝10（a﹣c）+b﹣d＝10（a﹣c）+a﹣c﹣1，＝11（a﹣c）﹣1，∵F（M）能被6整除，∴a﹣c＝5．∵c≥1，∴a≥6．当a＝6时，c＝1．∵a﹣c＝b﹣d+1，∴d＝b﹣4．∴，∵G（M）为完全平方数，∴b＝3．∴d＝﹣1（舍去）．同理，当a＝7时，c＝2，M＝7420；当a＝8时，c＝3，M＝8531；当a＝9时，c＝4，M＝9642；∴满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差＝9642﹣7420＝2222．故答案为：5；2222．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．【解答】解：（1）9（x+y）2﹣25（x﹣y）2＝（3x+3y+5x﹣5y）（3x+3y﹣5x+5y）＝﹣4（4x﹣y）（x﹣4y）；（2）＝1﹣•＝1﹣＝＝﹣．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，移项得x2﹣2x＝2，配方得x2﹣2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，开方得，解得；；（2），去分母，得m﹣4+m+2＝0，解得m＝1，经检验，m＝1是原方程的根．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线于点M（只保留作图痕迹）；（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．【解答】（1）解：如图所示．.（2）证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．故答案为：DF＝CF；∠AFD＝∠MFC；；等于两底边之和的一半．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．【解答】解：（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是1.5x元，根据题意得：﹣＝20，解得：x＝14，经检验，x＝14是所列方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×14＝21（元）．答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；（2）第一次购买大罗非的数量是840÷21＝40（斤）．根据题意得：14（80﹣40﹣2m）+（21﹣m）（40+2m）＝1340，整理得：m2+13m﹣30＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣15（不符合题意，舍去）．答：m的值为2．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．【解答】解：（1）当0≤x≤3时，y1＝＝4x，当3＜x≤5时，y1＝﹣×6×（2x﹣6）﹣＝﹣4x+24，∴y1＝；（2）函数y1，y2的图象如图：函数y1的性质：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3＜x≤5时，y随x的增大而减小；（3）由两个函数图像可知，当y1≤y2时x的取值范围为0＜x≤2.1或x＝5．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）【解答】解：（1）AC⊥BC，理由如下：∵AC＝72cm，BC＝54cm，AB＝90cm，∴AC2+BC2＝722+542＝8100，AB2＝8100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC．（2）过F作FN⊥AB交AB延长线于N，过C作CM⊥AB于M，延长DG交FN于K，∵EH∥DG∥AB，∴GK⊥FN，∴四边形MNKC是矩形，∴NK＝CM，∵△ABC的面积＝AB•CM＝AC•BC，∴90CM＝72×54，∴CM＝43.2（cm），∴NK＝CM＝43.2（cm），∵EH∥DG，∴∠FGK＝∠EHG＝60°，∴sin∠FGK＝sin60°＝＝，∵FG＝80cm，∴FK＝40≈69.28（cm），∴FN＝FK+NK＝69.28+43.2≈112.5（cm）．∴购物车把手F到AB的距离约是112.5cm．25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．【解答】解：（1）根据题意可知点A（m，﹣3）在直线和双曲线的图象上，∴，解得m＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），代入双曲线得：k＝（﹣2）×（﹣3）＝6，由图象可知点B与点A关于原点对称，∴B（2，3）；（2）过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，作点B关于y轴的对称点点B'，并向下平移一个单位记为B''，连接B''C，则BE∥CF，B'B''＝1，∴△DCF∽△DBE，∴，∵BC＝2CD，B（2，3），B'（﹣2，3），B''（﹣2，2），∴，BE＝3，∴CF＝1，即点C的纵坐标为1，∵点C在反比例函数的图象上，∴C（6，1），B''C＝，∴MB+MN+NC的最小值即为B'B''+B''C＝1+；（3）当∠ODP＝∠DOB时，当DP在x轴下方时，DP∥AB，设直线BC的解析式为y＝kx+b，由（2）可知：B（2，3），C（6，1），∴解得，∴，当y＝0时，，解得x＝8，∴D（8，0），∵DP∥AB，直线AB的解析式为，∴设直线DE的解析式为，把D（8，0）代入得：12+m＝0，∴m＝﹣12，∴，由P是直线DE与反比例函数的交点可得：，解得，此时点P在第三象限，符合题意，当DP在x轴上方时，则与下方的DP关于x轴对称，可得直线DP的解析式为：，再解方程组得，此时点P在第一象限，两个都符合题意，∴点P的横坐标为：．．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，∴AD＝2AE＝4，∴AB＝2AD＝8，BD＝AD＝4，∴BE＝AB﹣AE＝6，过E作EF⊥BC于F，如图1，∴EF＝BE＝3，BF＝BE＝3，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴CF＝2BD﹣BF＝8﹣3＝5，∴CE＝＝2，（2）证明：∵∠ABC＝30°，AB＝AC，∴∠BAC＝120°，又∵∠GAH＝120°，∴∠F AB＝∠CAH，∵AH＝AG，∴∠AHG＝30°＝∠ABC，∴∠ABF＝∠AHC，∴△ABF∽△AHC，∴＝，∵PH∥FG，∴△CHP∽△CGF，∴＝，又∵△ABC∽△AGH，∴＝，∴＝，∴＝，∵＝，∴＝＝+1＝+1＝，∴CP＝FB；（3）延长BM交AC于F，延长AN到E，使NE＝BN，连接BE，如图3：∵∠BAN﹣∠CBN＝30°，∴∠BAN＝∠CBN+30°，∴∠BNE＝∠BAN+∠ABN＝∠CBN+∠ABN+30°＝60°，∵NE＝BN，∴△BEN是等边三角形，∴∠E＝60°，∵∠ANB＝180°﹣∠BNE＝120°＝∠BAC，∴△ABN∽△FBA，∴＝＝，∠BAE＝∠AFB，∴△ANF∽△BEA，∴＝＝，∴FN＝＝＝，∴BF＝FN+BN＝，∴AB2＝BN•BF＝5+，过F作FG⊥BC于F，过N作NH⊥BC于H，∵∠ACB＝30°，∴FG＝FC＝（AB﹣AF）＝AB，CG＝AB，∴BG＝BC﹣CG＝AB﹣AB＝AB，∵NH∥CF，∴＝＝＝，∴NH＝AB，BH＝AB，∴CH＝BC﹣BH＝AB，∴CN2＝CH2+NH2＝9，∴CN＝3．。

九年级上册数学第一次月考试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列二次根式中，最简二次根式是（）A. √(8a)B. √(2a/3)C. √(3a)D. √(a^2b^4)2. 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（）A. y = 2xB. y = -x/2C. y = 3/xD. y = -2x + 13. 下列运算正确的是（）A. 3a + 2b = 5abB. 5a^2 - 2b^2 = 3C. 7a + a = 7a^2D. (x - 1)^2 = x^2 - 14. 下列说法中，正确的是（）A. 无限小数是无理数B. 绝对值等于它本身的数是非负数C. 垂直于同一直线的两条直线互相平行D. 相等的角是对顶角5. 下列方程中，是一元二次方程的是（）A. x^2 + 2x = x^2 - 1B. (x + 1)^2 = 4xC. x^2 + y = 1D. 1/x^2 + x = 16. 已知直线y = kx + b 经过点(1, -2) 和(-2, 4)，则k 的值为（）A. -2B. 2C. -4/3D. 4/37. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 圆8. 下列不等式组中，解集为x > 3 的是（）A. { x > 2, x < 3 }B. { x > 3, x > 4 }C. { x ≤2, x > 3 }D. { x > 3, x ≥2 }9. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（）A. 对全市中学生目前使用手机情况的调查B. 对某品牌电视机的使用寿命的调查C. 对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查D. 对全国小学生课外阅读情况的调查10. 下列关于概率的描述性定义中正确的是（）A. 必然发生的事件的概率是0B. 不可能发生的事件的概率是1C. 概率是1 的事件在一次试验中一定不会发生D. 概率是0.5 的事件在一次试验中有可能不发生二、填空题（每题3分，共18分）11. 计算：√(16) = _______。

人教版九年级上册数学第一次月考试题一、单选题1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A 0=B ．2x +1=0C ．20y x +=D ．21x =12．方程（x+3）（x-4）=0的根是（）A ．123,4x x =-=B ．123,4x x ==C ．1234,x x ==-D ．123,4x x =-=-3．已知关于x 的方程260--=x kx 的一个根为x=4，则实数k 的值为（）A ．25B ．52C ．2D ．54．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=5．已知方程2380x x --=的两个解分别为12,x x ，则1212,x x x x +⋅的值分别是（）A ．3，-8B ．-3，-8C ．-3，8D ．3，86．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是（）A ．236(1)3625x -=-B ．236(12)25x -=C ．236(1)25x -=D ．225(1)36x -=7．抛物线22(2)1y x =-+的顶点坐标是（）A ．()2,1B ．()2,1-C ．()1,2D ．()1,2-8．抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，则一元二次方程20ax bx c ++=的解是（）A ．x=-1B ．x=3C ．x=-1或x=3D ．无法确认9．将抛物线y=4x 2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A ．y=4（x+1）2+3B ．y=4（x ﹣1）2+3C ．y=4（x+1）2﹣3D ．y=4（x ﹣1）2﹣310．二次函数2(2)1y x =+-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．将方程()()3152x x x -=+化为一元二次方程的一般式______．12．一元二次方程x 2﹣4=0的解是_________．13．已知关于x 的一元二次方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______14．函数243y x x =-++有_____（填“最大”或“最小”），所求最值是_______15．抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(3,0)，则这条抛物线的对称轴是x =______.16．已知二次函数23(1)y x k =-+的图象上三点1(2,)A y ，2(3,)B y ，3(4,)C y -，则1y 、2y 、3y 的大小关系是_____．17．将抛物线247y x x =++沿竖直方向平移，使其顶点在x 轴上，且过点A （m ，n ），B （m+10，n ），则n=________三、解答题18．解方程：（1）2410x x --=（2）()255x x-=-19．已知抛物线y=4x 2-11x-3.(1)求它的对称轴;(2)求它与x 轴,y 轴的交点坐标.20．已知关于x 的方程（1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根；（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．21．如图，抛物线2y x bx c =-++经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）．（1）求此抛物线的解析式：（2）设抛物线的顶点为B ，求∆OAB 的面积S ．22．如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m ，另外三边木栏围着，木栏长40m ．（1）若养鸡场面积为200m 2，求鸡场靠墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m 2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由23．已知抛物线()2114y a x =-+与直线21y x =+的一个交点的横坐标是2（1）求a 的值；（2）请在所给的坐标系中，画出函数21(1)4y a x =-+与21y x =+的图象，并根据图象，直接写出12y y ≥时x 的取值范围24．大润发超市以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现每天的销售量y （件）与每件的销售价x （元）之间满足一次函数1623y x=-（1）写出超市每天的销售利润w （元）与每件的销售价x （元）之间的函数关系式；（2）如果超市每天想要获得销售利润420元，则每件商品的销售价应定为多少元？（3）如果超市要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少元最合适？最大销售利润为多少元？25．如图所示，抛物线2y x mx n =-++经过点A （1，0）和点C （4，0），与y 轴交于B（1）求抛物线所对应的解析式．（2）连接直线BC ，抛物线的对称轴与BC 交于点E ，F 为抛物线的顶点，求四边形AECF 的面积．（3）x 轴上是否存在一点P ，使得PB+PE 的值最小，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．参考答案1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D11．238100x x --=12．x=±213．34m >且2m ≠14．最大715．116．123y y y <<17．2518．（1）2x =±，（2）5x =或4x =19．（1）x=118（2）该抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)，1-,04⎛⎫⎪⎝⎭；该抛物线与y 轴的交点坐标为(0,-3).20．（1）m=1；0（2）见解析21．（1）y ＝−x 2＋2x ；（2）122．（1）20m ．（2）不能达到250m 2，理由见解析．23．（1）a=-1；（2）图见解析，-1≤x≤224．（1）w=－32x +252x －4860；（2）40或44；（3）42元，432元25．（1）254y x x =-+-；（2）458；（3）存在，P （2011，0）。

人教版九年级上册数学第一次月考试卷一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．下列是二次函数的是（）A ．22y x =+B ．21y x =+C ．11y x=-+D ．220(0)ax a -=≠2．若关于x 的一元二次方程20x x m -+=的一个根是1x =，则m 的值是()A ．1B ．0C ．－1D ．23．关于x 的一元二次方程220(0,40)ax bx c a b ac ++=≠->的根是（）A ．2b a ±B ．2b a -C ．2b -D ．2b a-±4．下列一元二次方程没有实数根的是（）A ．2210x x ++=B ．220x x ++=C ．210x -=D ．2210x x --=5．用配方法解方程2640x x +-=时，配方结果正确的是（）A ．()235x +=B ．()265x +=C ．()2313x +=D ．()2613x +=6．对于二次函数()212y x =--+的图象与性质，下列说法正确的是（）A ．对称轴是直线1x =，最大值是2B ．对称轴是直线1x =，最小值是2C ．对称轴是直线1x =-，最大值是2D ．对称轴是直线1x =-，最小值是27．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．a ＜－2B ．a ＞－2C ．－2＜a ＜0D ．－2≤a ＜08．据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a 万件和b 万件，则（）A ．b=（1+22.1%×2）aB ．b=（1+22.1%）2aC ．b=（1+22.1%）×2aD ．b=22.1%×2a9．将抛物线y=2x 2平移后得到抛物线y=2x 2+1，则平移方式为（）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位10．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac ＞0；②当x≥1时，y 随x 的增大而减小；③2a+b=0；④b 2-4ac ＜0；⑤4a-2b+c ＞0，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．方程x 2=9的解为_____．12．把一元二次方程2346x x =-化成一般式是__________．13．已知函数24y x x m =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为_______．14．已知二次函数2y x =，在14x -≤≤内，函数的最小值为______________．15．抛物线y ＝（x －h ）2－k 的顶点坐标为（－3，1），则h －k=______________16．已知关于x 的方程2x mx 60+-=的一个根为2，则这个方程的另一个根是__．17．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的部分对应值如下表：则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在x ＝2时，y ＝_________．X …-3-20135…y…7-8-9-57…三、解答题18．解方程，2230x x +-=．19．已知抛物线的顶点为（1，4），与y 轴交点为（0，3），求该抛物线的解析式.20．若关于x 的二次方程（m+1）x 2+5x+m 2﹣3m=4的常数项为0，求m 的值．21．关于x 的一元二次方程x 2＋（2m ＋1）x ＋m 2－1=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根．22．己知：二次函数y =ax 2+bx +6（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点A ，点B 的横坐标是一元二次方程x 2﹣4x ﹣12=0的两个根．（1）求出点A ，点B 的坐标．（2）求出该二次函数的解析式.23．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．24．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y （单位：m ）与飞行时间x （单位：s ）之间具有函数关系y=﹣5x 2+20x ，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m 时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？25．如图，已知抛物线y＝－x2＋4x＋m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为对称轴上一点，要使PA＋PC最小，求点P的坐标．参考答案1．A【分析】直接利用二次函数以及一次函数的定义分别判断得出答案．【详解】A、y=x2+2，是二次函数，故此选项正确；B、y=-2x+1，是一次函数，故此选项错误；C 、y=1x-+1，不是二次函数，故此选项错误；D 、()2200x a -=≠，是一次二次方程，故此选项错误；故选A ．【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数定义，正确把握相关定义是解题关键．2．B 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程可得到关于m 的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．【详解】把x=1代入x 2-x+m=0得1-1+m=0，解得m=0．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．3．D 【详解】当20,40a b ac ≠->时，一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式为x =2b b ac a-.故选D.4．B 【分析】通过计算方程根的判别式，满足0 即可得到结论.【详解】解：A 、2=2411=0-⨯⨯ ，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；B 、2=1421=-70-⨯⨯ ,方程没有实数根，故本选项正确；C 、2=04(1)=40-⨯- ,方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；D 、2=(-2)41(1)=80-⨯⨯- ,方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；故答案为B.【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．（1）当0 ，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当=0 ，方程有两个相等的两个实数根；（3）当0 时，方程无实数根．5．C 【分析】将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半可得．【详解】∵x 2+6x=4，∴x 2+6x+9=4+9，即（x+3）2=13，故选C ．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．6．A 【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【详解】解：由抛物线的解析式：y=-（x-1）2+2，可知：对称轴x=1，开口方向向下，所以有最大值y=2，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．7．C【分析】由关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根可得2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭，解不等式即可求出a 的取值范围．【详解】∵关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，∴2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭，解得：a >−2，∵a <0，∴−2<a <0．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键．8．B 【详解】【分析】根据题意可知2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a 万件，2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a ，由此即可得.【详解】由题意得：2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a 万件，2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a 万件，即b=（1+22.1%）2a 万件，故选B.【点睛】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.9．C 【解析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”，将原抛物线以各个选项描述的平移方式进行平移可以获得不同的解析式，与题目中给出的解析式一致的选项即为正确选项.A 选项：将原抛物线向左平移1个单位，平移后的抛物线应为y =2(x +1)2，故A 选项错误；B 选项：将原抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线应为y =2(x -1)2，故B 选项错误；C 选项：将原抛物线向上平移1个单位，平移后的抛物线应为y =2x 2+1，故C 选项正确；D 选项：将原抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线应为y =2x 2-1，故D 选项错误.因此，本题应选C.点睛：本题考查了二次函数图象平移的相关知识.二次函数图象向上或向下平移时，应将平移量以“上加下减”的方式作为常数项添加到原解析式中；二次函数图象向左或向右平移时，应先以“左加右减”的方式将自变量x 和平移量组成一个代数式，再用该代数式替换原解析式中的自变量x .要特别注意理解和记忆二次函数图象左右平移时其解析式的相关变化.10．B 【详解】（1）由图可知，0 0a c ><，，∴0ac <，故①错；（2）由图可知，当1≥x 时，y 随x 的增大而增大，故②错；（3）由图可知，抛物线的对称轴为直线：12bx a=-=，∴2b a =-，即20a b +=，故③正确；（4）由图可知，抛物线和x 轴有两个不同的交点，∴240b ac ->，故④错；（5）由图可知，当2x =-时，图象在x 轴上方，即当2x =-时，420y a b c =-+>，故⑤正确；∴有2个结论正确，故选B.11．x=±3【分析】直接用开平方法求解即可．【详解】解：∵29x =，∴x=±3．故答案为：x=±3．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．12．23460x x -+=【分析】方程整理为一般形式即可．【详解】方程整理得：3x 2-4x+6=0，故答案为3x 2-4x+6=0．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax 2+bx+c=0（a≠0）．13．4【分析】由抛物线与x 轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出m 的值．【详解】∵函数y=x 2-4x+m 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2-4ac=（-4）2-4×1×m=0，解得：m=4，故答案为4【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．14．0【分析】根据二次函数的性质即可判断出函数的最小值.【详解】∵a=1>0，∴二次函数2y x =的图象开口向上，∴二次函数2y x =的图象在14x -≤≤内有最低点，为原点（0，0），故二次函数2y x =，在14x -≤≤内，函数的最小值为0，故答案为0.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质.熟记二次函数的图象与性质是解题关键.15．-2【分析】根据二次函数的顶点式可直接进行求解．【详解】解：由题意得：h=-3，k=-1，∴()312h k -=---=-；故答案为-2．【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．－3．【解析】∵方程2x mx 60+-=的一个根为2，设另一个为a ，∴2a=－6，解得：a=－3．17．-8【分析】观察表中的对应值得到x ＝−3和x ＝5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x ＝1，所以x ＝0和x ＝2时的函数值相等．【详解】解：∵x ＝−3时，y ＝7；x ＝5时，y ＝7，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，∴x ＝0和x ＝2时的函数值相等，∴x ＝2时，y ＝−8．故答案为：−8．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．18．1231x x ，=-=【分析】利用因式分解法求一元二次方程的解即可．【详解】原方程因式分解得：(3)(1)0x x +-=∴1231x x ，=-=【点睛】本题考查利用因式分解法求一元二次方程的解．熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．19．y=-（x-1）2+4.【分析】根据顶点坐标设其顶点式，再将（0，3）代入求解可得.【详解】设抛物线的解析式为y=a （x-1）2+4，将点（0，3）代入，得a+4=3．解得a=-1，抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4.【点睛】解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式.20．4【解析】试题分析：根据方程中常数项为0，求出m 的值，检验即可．试题解析：解：∵关于x 的二次方程（m+1）x 2+5x+m 2﹣3m ﹣4=0的常数项为0，∴m 2﹣3m ﹣4=0，即（m ﹣4）（m+1）=0，解得：m=4或m=﹣1，当m=﹣1时，方程为5x=0，不合题意；则m 的值为4．考点：一元二次方程的一般形式．21．（1）m ＞－54；（2）x 1=0，x 2=－3．【详解】试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程2x +（2m+1）x+2m ﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=()()2221411m m +-⨯⨯-=4m+5＞0，解得：m ＞54-；（2）m=1，此时原方程为2x +3x=0，即x （x+3）=0，解得：1x =0，2x =﹣3．考点：根的判别式；解一元二次方程——因式分解法；解一元一次不等式．22．（1）A （-2，0），B （6，0），（2）y=-12x 2+2x+6．【分析】（1）利用因式分解法解方程x 2-4x-12=0即可得到A 点和B 点坐标；（2）设交点式y=a （x+2）（x-6）=ax 2-4ax-12a ，则-12a=6，解得a=-12，所以抛物线解析式为y=-12x 2+2x+6．【详解】（1）解方程x 2-4x-12=0得x 1=-2，x 2=6，所以A （-2，0），B （6，0），（2）因为抛物线与x 轴交于点A （2，0），B （6，0），则抛物线解析式为y=a （x+2）（x-6）=ax 2-4ax-12a ，则-12a=6，解得a=-12，所以y=-12x 2+2x+6．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题：从二次函数的交点式y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ，b ，c 是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x 轴的交点坐标（x 1，0），（x 2，0）．也考查了二次函数的性质．23．（1）20%；（2）10368万元.【解析】试题分析：（1）首先设该县投入教育经费的年平均增长率为x ，然后根据增长率的一般公式列出一元二次方程，然后求出方程的解得出答案；（2）根据增长率得出2017年的教育经费.试题解析：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则有：6000=8640解得：=0.2=-2.2（舍去）所以该县投入教育经费的年平均增长率为20%（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%所以2017年该县投入教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）考点：一元二次方程的应用24．（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m 时，飞行时间是1s 或3s ；（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s ；（3）在飞行过程中，小球飞行高度第2s 时最大，最大高度是20m ．【详解】分析：（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．详解：（1）当y=15时，15=﹣5x 2+20x ，解得，x 1=1，x 2=3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m 时，飞行时间是1s 或3s ；（2）当y=0时，0═﹣5x 2+20x ，解得，x 3=0，x 2=4，∵4﹣0=4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s ；（3）y=﹣5x 2+20x=﹣5（x ﹣2）2+20，∴当x=2时，y 取得最大值，此时，y=20，答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s 时最大，最大高度是20m ．点睛：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．25．（1）243y x x =-+-；（2）P 点坐标为（2，－1）【分析】（1）设点A 的坐标为()1,0x ，点B 的坐标为()2,0x ，然后根据AB=2及抛物线的对称轴可求解A 、B 的坐标，进而抛物线解析式可求；（2）连接BC ，交直线x ＝2于点P ，则PA ＝PB ，则有PA ＋PC ＝PB ＋PC ＝BC ，所以此时PA ＋PC 最小，然后求出直线BC 的解析式，进而问题可求．【详解】解：（1）设点A 的坐标为()1,0x ，点B 的坐标为()2,0x ，2121222x x x x +⎧=⎪⎨⎪-=⎩，∴1213x x =⎧⎨=⎩，把点A 的坐标（1，0）代入24y x x m =-++得3m =-，所以抛物线的解析式为243y x x =-+-；（2）解：连接BC ，交直线x ＝2于点P ，则PA ＝PB，如图所示：∴PA ＋PC ＝PB ＋PC ＝BC ，∴此时PA ＋PC 最小，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C （0，－3），B （3，0）代入得330b k b =-⎧⎨+=⎩，解得31b k =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y ＝x －3，当x ＝2时，y ＝x －3＝2－3＝－1，∴P 点坐标为（2，－1）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

2024-2025学年湖北省部分学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一元二次方程4x2+x−3=0中一次项系数、常数项分别是( )A. 2，−3B. 0，−3C. 1，−3D. 1，02.解方程(x+1)2=3(1+x)的最佳方法是( )A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法3.抛物线y=−3x2+2x−1与y轴的交点为( )A. (0,1)B. (0,−1)C. (−1,0)D. (1,0)4.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+1=0有实数根，则k的取值范围是( )A. k≥54B. k>54C. k>54且k≠1 D. k≤54且k≠15.若关于x的方程x2−kx−3=0的一个根是x=3，则k的值是( )A. −2B. 2C. −12D. 126.关于x的方程|x2−2x−3|=a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是( )A. a=0B. a=0或a=4C. a>4D. a=0或a>47.在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是( )A. 12x(x+1)=110 B. 12x(x−1)=110 C. x(x+1)=110 D. x(x−1)=1108.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是( )A. 无实数根B. 有两个相等实数根C. 有两个同号不等实数根D. 有两个异号实数根9.二次函数y=ax2+bx+c，若ab<0，a−b2>0，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在该二次函数的图象上，其中x1<x2，x1+x2=0，则( )A. y1=−y2B. y1>y2C. y1<y2D. y1、y2的大小无法确定10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc<0；②b>a+c；③2a−b=0；④b2−4ac<0．其中正确的结论个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

九年级上册数学试卷第一次月考一、选择题（每题3分，共30分）1. 一元二次方程x^2-2x = 0的根是（）A. x_1=0，x_2=-2B. x_1=1，x_2=2C. x_1=1，x_2=-2D. x_1=0，x_2=22. 二次函数y = (x - 1)^2+2的对称轴为（）A. x = - 1B. x = 1C. x = -2D. x = 23. 方程(x + 1)(x - 2)=x + 1的解是（）A. x = 2B. x = 3或x=-1C. x=-1D. x = 0或x = 34. 已知二次函数y=ax^2+bx + c（a≠0）的图象开口向上，对称轴为直线x = 1，且经过点(-1,y_1)，(2,y_2)，则y_1与y_2的大小关系为（）A. y_1>y_2B. y_1C. y_1=y_2D. 无法确定。

5. 把方程x^2-4x - 6 = 0配方成为(x + m)^2=n的形式，结果为（）A. (x - 2)^2=2B. (x - 2)^2=10C. (x + 2)^2=2D. (x + 2)^2=106. 关于x的一元二次方程kx^2+2x - 1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k>-1B. k≥slant - 1C. k≠0D. k>-1且k≠07. 二次函数y = -x^2+2x + 7的最大值为（）A. 7B. 8C. 9D. 108. 若二次函数y = ax^2+bx + c的图象与x轴交于(-1,0)，(3,0)两点，则方程ax^2+bx + c = 0（a≠0）的两根为（）A. x_1=-1，x_2=3B. x_1=1，x_2=-3C. x_1=-1，x_2=-3D. x_1=1，x_2=39. 抛物线y = 3(x - 2)^2+5的顶点坐标是（）A. (-2,5)B. (2,5)C. (-2,-5)D. (2,-5)10. 已知关于x的一元二次方程x^2-mx + 2m - 1 = 0的两根x_1、x_2满足x_1^2+x_2^2=14，则m的值为（）A. -2B. 2C. -2或2D. 以上都不对。

人教版九年级上册数学第一次月考试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．抛物线265y x x =-+的顶点坐标为()A ．（3，4-）B ．（3，4）C ．（3-，4-）D ．（3-，4）2．下列说法错误的是（）A ．成中心对称的两个图形的对称点到对称中心的距离相等B ．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心C ．如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么两个图形一定关于这个一点成中心对称D ．成中心对称的两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角也相等3．一元二次方程221x x -=的一次项系数和常数项依次是（）A ．1-和1B ．1-和1-C ．2和1-D ．1-和34．二次函数()20y ax bx c a =++≠图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A ．当1m ≠时，2a b am bm+>+B ．若221122ax bx ax bx +=+，且12x x ≠，则122x x +=C ．0a b c -+>D ．0abc <5．设m 、n 是方程220120x x +-=的两个实数根，则22m m n ++的值为（）A ．2008B ．2009C ．2010D ．20116．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A ．b 2＞4acB ．ax 2+bx+c≥﹣6C ．若点（﹣2，m ），（﹣5，n ）在抛物线上，则m ＞n D ．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣17．已知二次函数2y ax bx c =++同时满足下列条件：对称轴是1x =；最值是15；二次函数的图象与x 轴有两个交点，其横坐标的平方和为15a -，则b 的值是（）A ．4或30-B ．30-C ．4D ．6或20-8．函数()2156y m x x =---是关于x 的二次函数，则m （）A ．等于1B ．不等于1C ．等于1-D ．不等于1-9．一元二次方程2310x x +-=，通过配方后变形正确的是（）A ．25(3)2x +=B ．2313()24x +=C ．25(3)4x -=D ．2313()22x +=10．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A ．22(1)8y x =++B ．218(1)8y x =+-C ．22(1)89y x =-+D ．22(1)8y x =--二、填空题11．请将函数21212y x x =++写成2()y a x h k =-+的形式为________．12．在我们刚刚学过的九年级数学下册课本第11页，用“描点法”画某个二次函数图象时，列了如下表格：x (3456)78…y…7.55 3.53 3.55…根据表格上的信息回答问题：该二次函数在9x =时，y =________．13．如图，抛物线28y x bx =++与y 轴相交于点A ，与过点A 平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第二象限），抛物线的顶点C 在直线OB 上，且点C 为OB 的中点，对称轴与x 轴相交于点D ，平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为________．14．二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分对应值如下表：x …﹣3﹣20135…y…7﹣8﹣9﹣57…①抛物线的顶点坐标为(1，﹣9)；②与y 轴的交点坐标为(0，﹣8)；③与x 轴的交点坐标为(﹣2，0)和(2，0)；④当x ＝﹣1时，对应的函数值y 为﹣5．以上结论正确的是______．15．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx+（m+2）=0有实数根，则m 取值范围是____．16．已知正方形的周长是c cm ，面积为S cm 2，则S 与c 之间的函数关系式为_____.17．已知1x =是方程20x mx -=的解，则方程的另一根为________．18．请你写出一个二次项系数是1，两个实根之和为5的一元二次方程___________.19．若方程2(3)0x a ++=有解，则a 的取值范围是________．20．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （米）与时间t （秒），满足关系：h=20t-5t 2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为第_________秒时．三、解答题21．解下列方程：（1）2410x x -+=22323x x +=+（）（）（）22．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为315m 的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x 米：(1)用含x 的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．(2)请列出关于x 的方程．23．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，16AB cm =，6AD cm =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3/cm s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止，点Q 以2/cm s 的速度向D 移动．()1P 、Q 两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ 的面积为233cm ；()2P 、Q 两点从出发开始到几秒时？点P 和点Q 的距离是10cm ．24．已知抛物线2y x bx c =++，经过点()0,5A 和点()3,2B ．()1求抛物线的解析式；()2指出它的开口方向，对称轴和顶点坐标．()3若()()12,1,A m y B m y +都在函数图象上，比较1y 与2y 的大小．25．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．()1若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？()2在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？26．已知如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,1C -，连接AC ，2AO CO =，直线l 过点()0,G t 且平行于x轴，1t <-，()1求抛物线对应的二次函数的解析式；()2若D 为抛物线214y x bx c =++上一动点，是否存在直线l 使得点D 到直线l 的距离与OD 的长恒相等？若存在，求出此时t 的值；()3如图2，若E 、F 为上述抛物线上的两个动点，且8EF =，线段EF 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值．参考答案【答案】A【解析】22265(3)4(3)43-4y x x x x y =-+=--⇒-=+故定点坐标为（，）2．C【解析】【分析】利用中心对称图形的性质进行分析即可．【详解】解：A、成中心对称的两个图形的对称点到对称中心的距离相等，此选项正确，不合题意；B、在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心，正确，不合题意；C、如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么两个图形一定关于这个一点成中心对称，错误，有可能是位似，故此选项正确；D、成中心对称的两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角也相等，正确，不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握其性质是解题关键．3．B【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式进行选择．【详解】解：2x2-x=1，移项得：2x2-x-1=0，一次项系数是-1，常数项是-1．故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b 分别叫二次项系数，一次项系数．4．C 【解析】【分析】利用x=1时函数最大值对A 进行判断；利用对称性对B 进行判断；利用对称性判断抛物线与x 轴的一个交点在点（-1，0）与原点之间，从而得到x=-1时函数值为负数，从而可对C 进行判断．抛物线的最大值用抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y 轴的交点位置可判断a 、b 、c 的符号，则可对D 进行判断．【详解】解：A 、因为抛物线的对称轴为直线x=1，则当x=1时函数值最大，最大值为a+b+c ，则当m≠1时，a+b+c ＞am 2+bm+c ，所以A 选项的结论正确；B 、因为221122ax bx ax bx +=+，则若221122ax bx c ax bx c ++=++,且x 1≠x 2，所以x 1，x 2关于对称轴对称，则x 1+x 2=2，所以B 选项的结论正确；C 、由于抛物线的对称轴为直线x=1，则x=-1与x=3时的函数值y 相等，因为当x=3时，y ＜0，则当x=－１时，y ＜0，即a-b+c ＜0，所以C 选项的结论错误；D 、由抛物线开口向下得a ＜0，由对称轴在y 轴右侧得b ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得c ＞0，所以abc ＜0，所以D 选项的结论正确．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点．注意抛物线是轴对称图形在解题中的应用．5．D 【分析】由于m 、n 是方程x 2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=-1，并且m 2+m-2012=0，然后把m 2+2m+n 可以变为m 2+m+m+n ，把前面的值代入即可求出结果.【详解】解：∵m 、n 是方程x 2+x-2012=0的两个实数根，∴m+n=-1，并且m2+m-2012=0，∴m2+m=2012，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012-1=2011．故选D．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．6．C【分析】根据二次函数图像与系数的关系，二次函数和一元二次方程的关系进行判断.【详解】A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合是解题的关键.7．C【解析】【分析】由在x=1时取得最大值15，可设解析式为：y=a（x-1）2+15，只需求出a即可，又与x轴交点横坐标的平方和为15-a，可求出a，所以可求出解析式得到b的值．【详解】解：解法一：∵x轴上点的纵坐标是0，∴由题可设抛物线与x轴的交点为（1-t，0），（1+t，0），其中t＞0，∵两个交点的横坐标的平方和等于15-a即：（1-t）2+（1+t）2=15-a，可得，由顶点为（1，15），可设解析式为：y=a（x-1）2+15，将（，0）代入解析式，得a=-2或a=15（不合题意，舍去）∴y=-2（x-1）2+15=-2x2+4x+13，∴b=4；解法二：∵对称轴是x=1，最值是15，∴设y=ax2+bx+c=a（x-1）2+15，∴y=ax2-2ax+15+a，设方程ax2-2ax+15+a=0的两个根是x1，x2，则x1+x2=2aa--=2，x1•x2=15aa+，∵二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15-a，（x1）2+（x2）2=（x1+x2）2-2x1x2=15-a，∴()22152aa+-=15-a,a2-13a-30=0，a1=15（不合题意，舍去），a2=-2，∴y=-2（x-1）2+15=-2x2+4x+13；∴b=4．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的最值及待定系数法求解析式，灵活运用相关知识是解题关键．8．B【解析】【分析】根据二次函数的定义得到m-1≠0，然后解不等式即可．【详解】解：∵函数y=（m-1）x 2-5x-6是关于x 的二次函数，∴m-1≠0，∴m≠1．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义：函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）叫二次函数．9．B 【解析】【分析】先把-1移到方程右边，再把方程两边加上3的一半的平方即可得到2313()24x +=【详解】解：移项得x 2+3x=1，方程两边都加上232⎛⎫ ⎪⎝⎭得，x 2+3x+232⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+232⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2313(24x +=故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：先把常数项移到方程右边，再把二次项的系数化为1，然后两边加上一次项系数的一半的平方，使方程左边变形为完全平方式.10．D 【分析】顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ，h ，k 是常数，a≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标．【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，-8）故二次函数的解析式为y=2（x-1）2-8故选D ．【点睛】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标是（h ，k ）．11．21(2)12y x =+-【解析】【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】解：y=21212x x ++=12（x 2+4x+4）-2+1=12（x+2）2-1，即y=21(2)12x +-.故答案为：21(2) 1.2x +-【点睛】二次函数的一般式和顶点式，掌握配方法是解题关键．12．7.5【解析】【分析】根据二次函数的图象关于对称轴对称并观察表格知当x=3和当x=9时的函数值相等，据此可以求得当x=9时的函数值．【详解】解：∵二次函数的图象关于对称轴对称，且观察表格知当x=4和当x=8时的函数值相等，∴当x=3和当x=9时的函数值相等，∵当x=3时y=7.5，∴当x=9时y=7.5．故答案为7.5．【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是通过观察表格找到规律，也可以用待定系数法求得函数的解析式后再求函数值．13．268y x x =++【分析】先确定A （0，8），则表示出B 点坐标（-b ，8）（b ＞0），利用点C 为OB 的中点可得到C（-12b ，4），根据抛物线的顶点坐标公式得到248b 4⨯-=4，解得b=4或b=-4（舍去），所以抛物线解析式为y=x 2+4x+8=（x+2）2+4，则D （-2，0），然后设平移后的抛物线解析式为y=x 2+mx+n ，再把A 点和D 点坐标代入得到m 、n 的方程组，接着解方程组求出m 、n 即可．【详解】解：当x=0时，y=x 2+bx+8=8，则A （0，8），∵AB ∥x 轴，∴B 点的纵坐标为8，当y=8时，x 2+bx+8=8，解得x 1=0，x 2=-b ，∴B （-b ，8）（b ＞0），∵点C 为OB 的中点，∴C （-12b ，4），∵C 点为抛物线的顶点，∴248b 4⨯-=4，解得b=4或b=-4（舍去），∴抛物线解析式为y=x 2+4x+8=（x+2）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x=-2，∴D （-2，0），设平移后的抛物线解析式为y=x 2+mx+n ，把A （0，8），D （-2，0）代入得，8420n m n =⎧⎨-+=⎩，解得m 68n =⎧⎨=⎩，所以平移后的抛物线解析式为y=x 2+6x+8．故答案为y=x 2+6x+8．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了抛物线的几何变换．14．①②④【分析】由上表得与y 轴的交点坐标为（0，-8）；与x 轴的一个交点坐标为（-2，0）；函数图象有最低点（1，-9）；有抛物线的对称性可得出与x 轴的另一个交点坐标为（4，0）；当x=-1时，对应的函数值y 为-5．从而可得出答案．【详解】由上表得与y 轴的交点坐标为（0，-8）；函数图象有最低点（1，-9）；由列表可得：与x 轴的一个交点坐标为（-2，0），由有抛物线的对称性可得出与x 轴的另一个交点坐标为（4，0）；当x=-1时，对应的函数值y 为-5，所以：①抛物线的顶点坐标为（1，-9）；②与y 轴的交点坐标为（0，-8）；③与x 轴的交点坐标为（-2，0）和（4，0）；④当x=-1时，对应的函数值y 为-5．故答案是：①②④．【点睛】考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，体现了数形结合的思想方法．15．m≤2且m≠1【解析】∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx+（m+2）=0有实数根，∴2)210(4(1)(2)0m m m m --≠⎧⎨∆=--+≥⎩，解得m≤2且m≠1．故答案为m≤2且m≠1．16．S=1 16c2【详解】试题分析：先根据正方形的周长得到正方形的边长，再根据正方形的面积公式即可得到结果.由题意得考点：正方形的周长和面积公式点评：特殊四边形的判定和性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.17．0【分析】把x=1代入方程，可求m，再把m的值代入方程，可得x2-x=0，利用因式分解法可解方程，从而可求另一根．【详解】解：∵x=1是方程x2-mx=0的解，∴1-m=0，∴m=1，∴x2-x=0，解得x1=0，x2=1．故答案为0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．方程的解是使等式成立的未知数的值，直接代入方程，求出m即可．18．(答案不唯一).【详解】试题分析：一个二次项系数是1，两个实根之和为5的一元二次方程可以为:()()x1 x 40--=,即(答案不唯一).试题解析：考点：1.开放型;2.一元二次方程定义.19．0a ≤【分析】这个式子先移项，变成（x+3）2=-a ，再根据方程（x+3）2+a=0有解，则-a 是非负数，从而求出a 的取值范围．【详解】解：∵方程（x+3）2+a=0有解，∴-a≥0，则a≤0．【点睛】本题考查了解一元二次方程，一个数的平方一定是非负数．20．2【解析】h=20t-5t 2=-5（t-2）2+20，∵-5＜0，∴函数有最大值，则当t=2时，球的高度最高．故答案为2．21．（1）12x =+，22x =()123x =-，21x =-．【解析】【分析】（1）找出a ，b ，c 的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解；（2）方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：（1）这里a=1，b=-4，c=1，∵△=16-4=12，∴2b b ac x a-±==2±；()()2 2(3)230x x +-+=，()()3320x x ++-=，30x +=或320x +-=，所以13x =-，21x =-．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．22．（1）x 2+2x ；（2）x 2+2x=15．【分析】（1）长方体运输箱底面的宽为x m ，则长为（x +2）m ；容积=长×宽×高；（2）令（1）代数式表示出的容积=15即可.【详解】（1）长方体运输箱底面的宽为x m ，则长为（x+2）m ．容积为x （x+2）×1=x 2+2x ；（2）x 2+2x=15．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---几何问题，仔细审题，找出题目中的等量关系是解答本题的关键.23．()1P 、Q 两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ 的面积为233cm ；()2从出发到1.6秒或4.8秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ．【分析】（1）设P 、Q 两点从出发开始到x 秒时四边形PBCQ 的面积为33cm 2，则PB=（16-3x ）cm ，QC=2xcm ，根据梯形的面积公式可列方程：12（16-3x+2x ）×6=33，解方程可得解；（2）作QE ⊥AB ，垂足为E ，设运动时间为t 秒，用t 表示线段长，用勾股定理列方程求解．【详解】（1）设P 、Q 两点从出发开始到x 秒时四边形PBCQ 的面积为33cm 2，则PB=（16-3x ）cm ，QC=2xcm ，根据梯形的面积公式得12（16-3x+2x ）×6=33，解之得x=5，（2）设P ，Q 两点从出发经过t 秒时，点P ，Q 间的距离是10cm ，作QE ⊥AB ，垂足为E ，则QE=AD=6，PQ=10，∵PA=3t ，CQ=BE=2t ，∴PE=AB-AP-BE=|16-5t|，由勾股定理，得（16-5t ）2+62=102，解得t 1=4.8，t 2=1.6．答：（1）P 、Q 两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ 的面积为33cm 2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ．【点睛】（1）主要用到了梯形的面积公式：S=12（上底+下底）×高；（2）作辅助线是关键，构成直角三角形后，用了勾股定理．24．()1245y x x =-+．（2）抛物线开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为()2,1；()312y y <．【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入函数解析式，根据待定系数法列式求解即可．（2）配成顶点式，再根据二次函数的性质求解．（3）根据函数的增减性进行解答即可．【详解】解：()1∵抛物线2y x bx c =++经过点()0,5A 和()3,2B 点，∴5932c b c =⎧⎨++=⎩，解得：45b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式是：245y x x =-+．（2）2245(2)1y x x x =-+=-+，∵10a =>，∴抛物线开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为()2,1．()3∵()1,A m y 比()21,B m y +离对称轴2x =近，∴12y y <．【点睛】主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．25．（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元．()2因为让利于顾客，所以定价定为8元．【分析】（1）根据等量关系：每千克水果的利润×每天的销售量=每天的总利润420元，可列出方程，解方程即可；（2）让定价尽量小即可让利于顾客．【详解】解：（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，设单价应为x 元，由题意得：（x-5）[160-20（x-7）]=420，化简得，x 2-20x+96=0，解得x 1=8，x 2=12．答：若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元．（2）因为让利于顾客，所以定价定为8元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.26．(1)21 14y x =-;(2)见解析;(3)2.【解析】【分析】(1)根据点C 坐标,可得c=-1,然后根据AO=2CO,可得出点A 坐标,将点A 坐标代入求出b 值,即可得出函数解析式;(2)假设存在直线l 使得点D 到直线l 的距离与OD 的长恒相等,设出点D 坐标,分别求出OD 和点D 到直线l 的距离,然后列出等式求出t 的值;(3)作EN ⊥直线l 于点G,FH ⊥直线l 于点H,设出点E 、F 坐标,表示出点M 的纵坐标,根据(2)中得出的结果,代入结果求出M 纵坐标的最小值.【详解】()1∵()0,1c -，∴2114y x bx =+-，又∵2AO OC =，∴点A 坐标为()2,0-，代入得：1210b --=，解得：0b =，∴解析式为：2114y x =-；()2假设存在直线l 使得点D 到直线l 的距离与OD 的长恒相等，设21,14D a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2114OD a ===+，点D 到直线l 的距离：2114a t -+，∴22111144a t a -+=+，解得：2t =，∵1t <-，∴2t =-，故当2t =-时，直线l 使得点D 到直线l 的距离与OD 的长恒相等；()3作EN ⊥直线l 于点N ，FH ⊥直线l 于点H ，设()11,E x y ，()22,F x y ，则12EN y =+，22FH y =+，∵M 为EF 中点，∴M 纵坐标为：()()12222222EN FH y y EN FH -+-++==-，由()2得：EN OE =，FH OF =，∴1222222y y EN FH OE OF +++=-=-，要使M 纵坐标最小，即22OE OF +-最小，当EF 过点O 时，OE OF +最小，最小值为8，∴M 纵坐标最小值为822222OE OF +-=-=．【点睛】本题考查了二次函数的综合知识,涉及到抛物线解析式的求法,点到直线的距离、两点间的距离等知识,涉及到的知识点比较多,难度比较大,是中考中的压轴题.。

人教版九年级上册数学第一次月考试题一、单项选择题。

（每小题3分，共30分）1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A ．2130x x++=B ．220xy x +=C ．252x x =-D ．20ax bx c ++=2．小明在解方程220x x -=时，只得出一个根2x =，则漏掉的一个根是（）A ．2x =-B ．0x =C ．1x =D ．3x =3．二次函数2231y x x =-+图象一定过点（）A ．()1,1-B ．(),215-C ．()0,1-D ．()3,74．若1x 、2x 是一元二次方程2280x x --=的两个根，则1212x x x x +-的值是（）A ．10B ．8-C ．6-D ．25．将抛物线()212y x =-+向左平移1个单位，再向下平移5个单位后所得抛物线的解析式为（）A ．()227y x =-+B ．()223y x =-+C ．23y x =-D ．27y x =+6．对于二次函数()=+-2y x 12的图象，下列说法正确的是（）A ．开口向下B ．对称轴1x =C ．顶点坐标()1,2--D ．与x 轴无交点7．有1个人得了流感，经过两轮传染共有144人患流感，则第三轮后共有（）人患流感．A ．1000B ．1331C ．1440D ．17288．在同一坐标系中，一次函数2y ax =+与二次函数2y x a =+的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．9．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ．k>－14B ．k>－14且0k ≠C ．k<－14D ．k ≥－14且0k ≠10．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为()4,0，抛物线的对称轴是1x =．下列结论中：①0abc <；②20a b +=；③0a c +>；④若点(),A m n 在该抛物线上，则2am bm c a b c ++≤++．⑤方程24ax bx c ++=有两个不相等的实数根；其中正确的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题11．一元二次方程290x -=的解是______．12．二次函数245y x x =-+的顶点坐标是__________．13．关于x 的方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是一元二次方程，则m 的值为____．14．关于x 的一元二次方程x 2﹣x+m=0没有实数根，则m 的取值范围是______.15．一元二次方程23100x x +-=的两个根是12x =-，253x =，那么二次函数2310y x x =+-与x 轴的交点坐标是________．16．a 是方程210x x +-=的一个根，则代数式3222007a a ++的值是________．17．如图，坐标平面上，二次函数24y x x k =-+-的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且0k >．若ABC ∆与ABD ∆的面积比为1:3，则k 值为________．三、解答题18．解方程2340x x +-=．19．一个二次函数，当自变量0x =时，函数值1y =-，且过点()2,0-和点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，求这个二次函数的解析式．20．某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同，求该快递公司投递总件数的月平均增长率．21．已知关于x 的一元二次方程2240x x m --=．（1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两个实数根1x 、2x 满足1229x x +=，求m 的值．22．已知二次函数y=x 2-2x-3．（1）用配方法把y=x 2-2x-3化为y=a （x-h ）2+k 的形式为__________（2）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数图像．x ……y……（3）结合图像回答：不等式2230x x --<的解集是．23．王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的关系可以表示为2+112243y x x =-+，铅球从出手到落地的路线如图所示．（1）求铅球出手点的离地面的高度OA 是多少米？铅球推出的水平距离OB 是多少米？（2）求铅球推出的水平距离是多少米时铅球到达最高点？24．如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm ，窗户的透光面积为ym 2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y 与x 的函数关系式（结果要化成一般形式）；（2）能否使窗的透光面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少?如果不能，请说明理由．（3）窗的宽度为多少米时，窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 过A ，B ，C 三点，点A 的坐标是（3，0），点C 的坐标是（0，﹣3），动点P 在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x 轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．C2．B3．B4．A5．C6．C7．D8．D9．B10．B11．x 1＝3，x 2＝﹣3．12．（2,1）13．2-14．m>0.2515．()2,0-，5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭16．200817．118．14x =-，21x =19．2312y x x =+-20．10%．21．（1）证明见解析；（2）22．（1）()214y x =--；（2）见解析；（3）1x <-或3x >23．（1）铅球出手点离地面的高度是2米，铅球推出的水平距离DB 是12米；（2）铅球推出水平距离是4米时到达最高点，最高点是83米24．（1）233(02)2y x x x =-+<<；（2）不能使窗的透光面积达到2平方米，理由见解析；（3）窗的宽度为1米时，面积最大为32平方米25．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）存在，点P 的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）．。

人教版九年级上册数学第一次月考试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．21x y +=B ．2243x x +-C ．134x x+=D ．220x -=2．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（）A ．()225x +=B ．()223x +=C ．()225x -=D ．()223x -=3．二次函数2y x =-图象的顶点坐标为（）A ．（0，0）B ．（-1，0）C ．（1，0）D ．（0，-1）4．一元二次方程2230x x -+=的根的情况是（）A ．方程没有实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程有两个不相等的实数根D ．无法判断方程实数根情况5．将二次函数23y x =-的图象沿x 轴向左平移2个单位长度后得函数为（）A ．()232y x =--B ．232y x =--C ．232y x =-+D ．()232y x =-+6．某次球赛共有x 个队参加，每两个队之间打一场比赛，共打了171场，由题意可列出的方程是（）A ．1(1)1712x x -=B ．(1)171x x -=C ．2(1)171x x +=D ．(1)171x x +=7．已知函数()212y x =-++的图象上两点A (1，n )与B (－3，m )，则正确的是（）A ．n m>B ．n m=C ．n ＜mD ．无法确定8．若x =-1是关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 的一个根，则2022-2a+2b 的值为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．20229．同一直角坐标系中，函数231y x y x =-=-与的交点在（）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0，a ，b ，c 为常数)的图象如图所示，则ax 2＋bx ＋c ＝m 有实数根的条件是()A ．m≤－2B ．m≥－2C ．m≥0D ．m ＞4二、填空题11．已知抛物线2(5)y a x =-的开口向下，则a 的取值范围为________12．若关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________13．二次函数223y x x =+-的图像与x 轴有_________个交点．14．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程28160x x -+=的根，则该三角形的面积为________15．已知2222(2)()15a b a b +++=，那22a b +的值是________16．二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ab ＞0；②a+b ﹣1＝0；③a ＞1；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a．其中正确结论的序号是_____．三、解答题17．解方程：（1）2410x x -=+（2）()()2322x x x -=-18．已知一元二次方程220x mx m --=的一个根是12-．求m 的值和方程的另一个根．19．已知二次函数223y x x =--（1）用配方法223y x x =--把化为2()y a x h k =-+的形式（2）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数图像．x ……y……（3）结合图像回答：当－1<x <2时，函数值y 的取值范围．20．今年疫情期间，某家快递公司业务迅速增长，统计3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假设该公司每月投递的快递总件数的增长率相同（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）按照这个速度，6月份完成投递的快递总件数为多少件？21．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0．（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC 的一边长a ＝3，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求k 值多少？22．2020年上半年疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩400个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x 条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y 个．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）设该厂每天可以生产的口罩w 个，请求出w 与x 的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？23．如图，抛物线2y x bx c =-++经过直线4y x =-+与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D （1）求此抛物线的解析式及D 点坐标；（2）若点M 为在x 轴上方的抛物线上的一个动点，当ACM △与ABC 的面积相等，求此时点M 的坐标．24．如图，在ABC 中，∠ACB=90°，BC=BD ，AC=AE ．连结DC ，CE ．（1）求∠DCE 的度数．（2）设BC=a ，AC=b ．①线段BE 的长是关于x 的方程2220x bx a +-=的一个根吗？说明理由．②若D 为AE 的中点，求ab的值．25．已知关于x 的二次函数y ＝ax 2﹣4ax+a+1（a ＞0）（1）若二次函数的图象与x 轴有交点，求a 的取值范围；（2）若P （m ，n ）和Q （5，b ）是抛物线上两点，且n ＞b ，求实数m 的取值范围；（3）当m≤x≤m+2时，求y 的最小值（用含a 、m 的代数式表示）．参考答案1．D 2．C 3．A 4．A 5．D6．A 7．B 8．B 9．B 10．B 11．a ＜5.12．k ＜1．13．214．6.15．3.16．②③④17．（1）1x 2=-，2x 2=-（2）12x 2,x 3==．18．1m =，方程的另一个根为119．（1）()214y x =--；（2）填表，作图见解析；（3）4-＜y ＜0.20．（1）10%；（2）13.31万件．21．（1）详见解析；（2）k ＝32或2．22．（1）40020y x =-；（2）()22054500w x =--+（020x ≤≤且x 为整数），增加5生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为4500个．23．（1）234y x x =-++，32524D ⎛⎫⎪⎝⎭，；（2）()04M ，或()34.M ，24．（1）45︒；（2）①线段BE 的长是关于x 的方程2220x bx a +-=的一个根，理由见解析；②3.425．（1）a≥13；（2）m ＜﹣1或m ＞5；（3）y 的最小值为：am 2﹣3a+1或﹣3a+1或am 2﹣4am+a+1．。

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷基础知识达标测（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：第二十一章~第二十二章（人教版）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单选题1．下列函数中是二次函数的有（）；③y=x(3―5x)；④y=(1+2x)(1―2x)+4x2①y=3―2；②y=2x2A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．【详解】①y=3―2，是二次函数；，分母中含有字母，不是二次函数；②y=2x2③y=x(3―5x)=―5x2+3x，是二次函数；④y=(1+2x)(1―2x)+4x2=1―4x2+4x2=1，不是二次函数.则二次函数共2个，故选：B2．已知关于x的一元二次方程(k―2)x2+3x+k2―4=0的常数项为0，则k的值为（ ）A．―2B．2C．2或―2D．4或―2【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得k―2≠0，由题意又知k2―4=0，联立不等式组，求解可得答案．【详解】解：根据题意可得：k―2≠0k2―4=0，解得k=―2．故选：A．3．用配方法解方程x2―x―154=0时，变形结果正确的是（）A．x―=4B．x=72C．x―=4D．x―=72【答案】A【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．【详解】解：∵x2―x―154=0，∴x2―x=154，∴x2―x+14=154+14，∴x=4；故选：A．4．已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x…―4―2035…y…―24―80―3―15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）A．图象的开口向上B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大C．图象经过第二、三、四象限D．图象的对称轴是直线x=1【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得4a―2b+c=―8c=09a+3b+c=―3，解得a=―1c=0b=2，∴二次函数的解析式为y=―x2+2x=―(x―1)2+1，∵a=―1<0，∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；图象的对称轴是直线x=1，故选项D符合题意；当0<x<1时，y的值随x的值增大而增大，当x>1时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；∵顶点坐标为(1,1)且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；故选：D．5．若a是关于x的方程3x2―x―1=0的一个根，则2024―6a2+2a的值是（）A．2026B．2025C．2023D．2022【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把x=a代入3x2―x―1=0，得3a2―a=1，然后把所求式子化为2024―2 (3a2―a)代入计算即可作答．【详解】解：∵a是关于x的方程3x2―x―1=0的一个根，∴3a2―a=1，∴2022―6a2+2a=2024―2(3a2―a)=2024―2×1=2022，故选：D．6．将抛物线C1:y=3x2+ax+b向左平移1 个单位，向上平移1 个单位后得到新抛物线C2 :y=3x2+3x―17，则a―b的值为（）A．12B．15C．18D．21【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：依题意，y=3x²+ax+b向左平移 1 个单位，向上平移1 个单位后得到：y=3 (x+1)2+a(x+1)+b+1=3x2+6x+3+ax+a+b+1=3x2+(6+a)x+a+b+4∴6+a=3,a+b+4=―17解得：a=―3,b=―18∴a―b=―3―(―18)=15，故选：B．7．王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（）A．x(x―1)2+x=2304B．x(x―1)2=2304C．x(x―1)+x=2304D．x(x―1)=2304【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程即可．【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：x(x―1)+x=2304；故选C．8．直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【详解】解：A、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；B、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；C、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，ab>0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab<0，故选项不符合题意；D、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，对称轴位于y轴左侧，则ab>0，故选项符合题意；故选：D．9．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2―2ax+4(a>0)．若A(m―1,y1)，B(m,y2)，C (m+2,y3)为抛物线上三点，且总有y1>y3>y2，则m的取值范围可以是（）A．m<1B．m>32C．0<m<12D．1<m<32【答案】C【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线求得对称轴，再结合抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．【详解】解：∵y=ax2―2ax+4(a>0)，∴抛物线对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，∵m―1<m<m+2，y1>y3>y2，∴A、B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，∴1―(m―1)>m+2―1>1―，解得：0<m<12，故选：C．10．如图，已知顶点为(―3,―6)的抛物线y=ax2+bx+c过(―1,―4)，则下列结论：①abc<0；②对于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③―5a+c=―4；④若ax2+bx+c≥―4，则x≥―1；⑤a<45；其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与y轴的交点，即可判断a,b,c的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把(―1,―4)代入y=ax2+bx+c，得a―b+c=a―6a+c=―5a+c=―4，故③正确，由(―1,―4)关于直线x=―3对称的点为(―5,―4)，进而得若ax2+bx+c≥―4，则x≥―1或x≤―5，故④错误；由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(―3,―6)，b=6a，得c=9a―6，再由―5a+c=―4，得a=12<45，故⑤正确．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵对称轴为直线x=―3=―b2a<0，∴b>0，b=6a，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc<0，故①正确；∵抛物线的顶点坐标为(―3,―6)，即x=―3时，函数有最小值，∴ax2+bx+c≥―6，∴对于任意的x，均有am2+bm+c+6≥0，故②错误；∵抛物线y=ax2+bx+c过(―1,―4)，∴a―b+c=a―6a+c=―5a+c=―4，故③正确；∵抛物线y=ax2+bx+c过(―1,―4)，(―1,―4)关于直线x=―3对称的点为(―5,―4)，∴若ax2+bx+c≥―4，则x≥―1或x≤―5，故④错误；∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(―3,―6)，b=6a，∴4ac―b24a =4ac―36a24a=c―9a=―6，∴c=9a―6，∵―5a+c=―4，∴―5a+9a―6=―4，解得a=12<45，故⑤正确．∴正确的个数为3.故选：B．第II卷（非选择题）二、填空题11．关于x的方程(a―3)x2―4x―1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【答案】a>―1且a≠3【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2―4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且Δ>0列式求解即可．【详解】解：由题意，得Δ=(―4)2―4(a―3)×(―1)>0且a≠0，∴a>―1且a≠3．故答案为：a>―1且a≠3．12．若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为．【答案】m＞﹣1【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1），∴顶点坐标为（2，m+1），∵顶点在第一象限，∴m+1＞0，∴m的取值范围为m＞﹣1．故答案为：m＞﹣1．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．13．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y=―0.2x2+1.5x―2，则最佳加工时间为min．【答案】3.75【分析】根据二次函数的对称轴公式x=―b2a直接计算即可．【详解】解：∵y=―0.2x2+1.5x―2的对称轴为x=―b2a =― 1.52×(―0.2)=3.75（min），故：最佳加工时间为3.75min，故答案为：3.75．【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A―3，-1，B0，2两点，则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是．【答案】―3<x<0【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线y=a x2+bx+c与直线y=kx+m的交点坐标是解题关键．【详解】解：由图象可知，当―3<x<0时，抛物线位于直线上方，∴不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是：―3<x<0，故答案为：―3<x<015．已知关于x的方程x2―(m+3)x+4m―4=0的两个实数根．若等腰三角形ABC的一边长a=5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，△ABC的周长为．【答案】13或14【分析】由等腰三角形的性质可知b=c或b、c中有一个为5，①当b=c时，根据根的判别式Δ=0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x=5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，∴b=c或b、c中有一个为5．①当b=c时，Δ=（m-5）2=0，解得：m=5，∴原方程为x2-8x+16=0，解得：b=c=4，∵b+c=4+4=8＞5，∴4、4、5能构成三角形．该三角形的周长为4+4+5=13．②当b或c中的一个为5时，将x=5代入原方程，得：25-5m-15+4m-4=0，解得：m=6，∴原方程为x2-9x+20=0，解得：x1=4，x2=5．∵4、5、5能组成三角形，∴该三角形的周长为4+5+5=14．综上所述，该三角形的周长是13或14，故答案为：13或14．【点睛】本题考查了三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是需要分类讨论，以防漏解．16．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=x2―4x+6上运动，过点A作AC⊥x 轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是．【分析】根据正方形的性质得到，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB 的最小时，即AC 的值最小．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠B=90°∴∴，∵y=x 2-4x+6=（x-2）2+2，∴当x=2时，AC 有最小值2，即正方形的边长AB【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便．三、解答题17．解方程(1)x 2―3x +1=0；(2)4x (2x ―1)=3(2x ―1)．【答案】(1)x 1=x 2=(2)x 1=12，x 2=34．【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．【详解】（1）解：x 2―3x +1=0，Δ=(―3)2―4×1×1=5>0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x =∴x 1=x 2=（2）解：4x (2x ―1)=3(2x ―1)，4x (2x ―1)―3(2x ―1)=0(2x ―1)(4x ―3)=0，2x ―1=0或4x ―3=0，∴x 1=12，x 2=34．18．已知一个二次函数的图象以A(―1,4)为顶点，且过点B(2,―5)．(1)求该函数的解析式；(2)设抛物线与x 轴分别交于点C ，D ，与y 轴交于点E ，则△CDE 的面积为__________．【答案】(1)y =―(x +1)2+4(2)6【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是∶（1）设顶点式y =a (x +1)2+4，然后把B(2,―5)代入求出a 的值即可；（2）根据抛物线解析式求得线段CD 的长度和点E 的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解∶设函数解析式为y =a (x +1)2+4，把B(2,―5)代入，得―5=9a +4，解得a =―1，∴y =―(x +1)2+4；（2）解∶令y =0，则0=―(x +1)2+4，解得x 1=―3，x 2=1，∴CD =1―(―3)=4，令x =0，则y =―(0+1)2+4=3，∴E (0,3)，∴OE=3，×4×3=6，∴△CDE的面积为12故答案为：6．19．已知关于x的方程x2+ax―a―5=0．(1)若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)a＝1，方程的另一个根为﹣3(2)见解析【分析】（1）将x=2代入方程x2+ax―a―5=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，即可得到结论．【详解】（1）∵x＝2是方程x2+ax―a―5=0的解∴把x＝2代入方程x2+ax―a―5=0得：4+2a-a﹣5＝0解得a＝1∵x1+x2＝-a∴2+x2＝―1∴x2＝-3∴a＝1，方程的另一个根为﹣3．（2）∵Δ=a2-4（-a-5）＝a2+4a+20=（a+2）2+16＞0，∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，关键是掌握根的判别式Δ=b2―4ac以及根与系数的关系．20．已知抛物线y=3ax2+2bx+1．(1)若a=1，b=2，求该抛物线与x轴的交点坐标；(2)若a+b=―1，且当x=1时，对应的y>0，试判断当0<x<1时，抛物线与x轴是否有交点？若有，证明有几个交点；若没有，请说明理由．【答案】(1)(―1,0)或―1,03(2)有两个交点，证明见解析【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握相关的知识．（1）先求出抛物线的解析式，然后令y=0求解即可；（2）根据题意得：当x=1时，y=3a+2b+1>0，由a+b=―1得b=―1―a，进而得到a>1，Δ=4b2―12a=4(a―1)2+4a>0，推出抛物线y=3ax2+2bx+1与x轴有两个交点，顶点在x轴下方，得到对称轴：0<―b3a<1，结合当x=0时，y=1；当x=1时，对应的y>0，即可证明．【详解】（1）解：当a=1，b=2时，抛物线为：y=3x2+4x+1，令y=3x2+4x+1=0，解得：x1=―1，x2=―13，∴该抛物线与x轴的交点坐标为(―1,0)或―13,0；（2）当0<x<1时，抛物线与x轴有两个交点，理由如下：由条件得：当x=1时，y=3a+2b+1>0．∵a+b=―1，即b=―1―a，∴3a+2b+1=3a+2(―1―a)+1=a―1>0，∴a>1，∴Δ=4b2―12a=4(―1―a)2―12a=4(a―1)2+4a>0，∴抛物线y=3ax2+2bx+1与x轴有两个交点，顶点在x轴下方．该抛物线的对称轴为：x=―b3a，∵b=―1―a，∴―b3a =a+13a=13+13a，∵a>1，∴0<―b3a<1，∴抛物线的对称轴大于0小于1，∵当x=0时，y=1；当x=1时，对应的y>0，∴当0<x<1时，抛物线与x轴有两个交点．21．某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份累计收入达364万元，且2，3月份的生产收入保持相同的增长率，3月份后每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月3月生产收入的月增长率(2)购进新设备需一次性支付640万元，则使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费）【答案】(1)每月的增长率是20%．(2)使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．【分析】本题主要考查理一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出方程和不等式是解题的关键．（1）设每月的增长率为x ，那么2月份的生产收入为100(1+x )，三月份的生产收入为100(1+x )2，根据1至3月份的生产收入累计可达364万元可列方程求解即可；（2）设使用新设备y 个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据不等关系可列不等式求解即可．【详解】（1）解：设每月的增长率为x ，由题意得：100+100(1+x )+100(1+x )2=364，解得x =0.2或x =―3.2（不合题意舍去）．答：每月的增长率是20%．（2）解：设使用新设备y 个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有364+100(1+20%)2(y ―3)―640≥(90―5)y ，解得y ≥12．答：使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．22．在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点(1,1)，(0,0)，―13，―……都是和谐点．(1)判断二次函数y =x 2―2(2)若二次函数y =ax 2+2x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点(1,1)．①求这个二次函数的表达式；②若0≤x ≤m 时，函数y =ax 2+2x +c +32(a ≠0)的最小值为1，最大值为3，求实数m 的取值范围．（可通过画出函数图象草图来求解）【答案】(1)存在和谐点，和谐点的坐标为―1，―1，(2,2)(2)①y =―12x 2+2x ―12；②2≤m ≤4【分析】（1）设函数y =x 2―2的和谐点为(x,x)，代入求解即可；（2）①将点(1,1)代入y =ax 2+2x +c ，再由ax 2+2x +c =x 有且只有一个根，Δ=1―4ac =0，两个方程联立即可求a 、c 的值；②由①可知y =―12x 2+2x +1=―12(x ―2)2+3，当x =2时，y =3，当x =0时，y =1，当 x =4时，y =1，则2≤m ≤4时满足题意；【详解】（1）存在和谐点，和谐点的坐标为(―1,―1),(2,2)；设函数y =x 2―2的和谐点为(x,x)，可得x =x 2―2，解得x =―1或x =2，∴和谐点为(―1,―1),(2,2)；（2）①∵点(―1,―1)是二次函数y =ax 2+2x +c(a ≠0)的和谐点，∴1=a +2+c ,∴c =―a ―1,∵二次函数y =ax 2+2x +c(a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点，∴ax 2+2x +c =x 有且只有一个根，∴Δ=1―4ac =0，∴a =―12,c =―12，∴该二次函数的表达式为：y =―12x 2+2x ―12；②由①可知， y =―12x 2+2x +1=―12(x ―2)2+3，∴抛物线的对称轴为直线x =2，当x =2时，y =3，当x =0时，y =1，当x =4时，y =1，∵函数的最小值为1 ，最大值为3 ，当2≤m ≤4时，函数的最小值为1 ，最大值为3 ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合是解题的关键．23．某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y （万元）与年产量x （万件）（如图①所示）；该产品的销售单价z （元/件）与年销售量x （万/件）之间的函数图像是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w 万元（毛利润=销售额―生产费用）(1)求出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；(2)求w 与x 之间的函数关系式；(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润．【答案】(1)y =110x 2，z =―110x +30(0≤x ≤100)(2)w =―15x 2+30x(3)今年最多可获得毛利润1120万元【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是正确求出一次函数和二次函数的解析式．（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据毛利润=销售额―生产费用求出解析式即可；（3）首先求出x 的取值范围，再由二次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）解：图①可得函数经过点(100,1000)，设抛物线的解析式为y =ax 2(a ≠0)，将点(100,1000)代入得：1000=10000a ，解得：a =110，故y 与x 之间的关系式为y =110x 2，图②可得：函数经过点(0,30)，(100,20)，设z =kx +b ，则100k +b =20b =30 ，解得：k =―110b =30，故z 与x 之间的关系式为z =―110x +30(0≤x ≤100)；（2）解：w =zx ―y =―110x 2+30x ―110x 2=―15x 2+30x ，∴w 与x 之间的函数关系式为w =―15x 2+30x；（3）解：令y =490，得110x 2=490，解得：x =70（负值舍去），由图象可知，当0<y ≤490时，w =―15x 2+30x =―15(x 2―150x )=―15(x ―75)2+1125，∵―15<0，∴当x ≤75时，w 随x 的增大而增大，∵0<x ≤70，∴当x =70时，w 有最大值=―15×(70―75)2+1125=1120，答：今年最多可获得毛利润1120万元．24．综合与探究如图，二次函数y =―x 2+bx +c 的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(―4，0)，且OA =OC ，E 是线段OA 上的一个动点，过点E 作直线EF 垂直于x 轴交直线AC 和抛物线分别于点D 、F ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点E 的横坐标为m ．当m 为何值时，线段DF 有最大值，并写出最大值为多少；(3)若点P 是直线AC 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以点P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)二次函数解析式为y =―x 2―3x +4(2)当m =―2时，DF 有最大值，且最大值为4(3)存在点Q 使得以点P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形是菱形，且―Q (―2,―3)或Q (―4,5)【分析】（1）根据A(―4，0)，OA=OC，运用待定系数法即可求解；（2）根据A(―4，0)，C(0,4)，求出直线AC的解析式，根据点E的横坐标为m，可用含m的式子表示点D,F的坐标，由此可得DF的长关于m的二次函数，根据最值的计算方法即可求解；（3）根据题意可求出BC的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点Q在直线AC下方；第二种情况：如图所示，点Q在直线AC上方；图形结合，即可求解．【详解】（1）解：∵二次函数y=―x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A 的坐标为(―4，0)，∴OA=4，∵OA=OC，∴OC=4，则C(0,4)，把A(―4，0)，C(0,4)代入二次函数解析式y=―x2+bx+c得，―16―4b+c=0c=4，解得，b=―3c=4，∴二次函数解析式为y=―x2―3x+4．（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为y=―x2―3x+4，且A(―4，0)，C(0,4)，∴设直线AC所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，∴―4k+b=0b=4，解得，k=1b=4，∴直线AC的解析式为y=x+4，∵点E的横坐标为m，直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F，∴点D、F的横坐标为m，∴D(m,m+4)，F(m,―m2―3m+4)，∴DF=―m2―3m+4―(m+4)=―m2―4m=―(m+2)2+4，∴当m=―2时，DF有最大值，且最大值为4．（3）解：∵二次函数y=―x2―3x+4的图像与x轴交于A，B两点，且A(―4，0)，∴令y=0时，x2+3x―4=0，则x1=―4，x2=1，∴B(1,0)，且C(0,4)在Rt△BOC中，OB=1，OC=4，∴BC===第一种情况：如图所述，点Q在直线AC下方，四边形PCBQ是菱形，则PC∥BQ，BQ=BC=AC的解析式为y=x+4，∴设直线BQ所在直线的解析为y=x+c，把点B(1,0)代入得，0=1+c，解得，c=―1，∴直线BQ的解析式为y=x―1，设Q(q,q―1)，过点Q作QH⊥x轴于点H，∴BH=1―q，QH=q―1，∴BQ===2q2―4q―15=0，∴q==∴当q=q―1=1=当q=q―1=―1=―第二种情况：如图所示，点Q在直线AC上方，四边形BCQP是菱形，QP∥BC，BP=BC=B(1,0)，C(0,4)，∴直线BC的解析式为y=―4x+4，设P(p,p+4)，∴BP==p2+3p=0，解得，p1=0（与点C重合，不符合题意，舍去），p2=―3，即P(―3,1)，∴设PQ所在直线的解析式为y=―4x+n，把点P(―3,1)代入得，n=―11，∴直线PQ的解析式为y=―4x―11，根据题意，设Q(r,―4r―11)，∴PQ==17r2+102r+136=0，，即r1=―2，r2=―4，∴r=―102±3434∴Q(―2,―3)或Q(―4,5)，综上所述，存在点Q使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形，且Q―Q(―2,―3)或Q(―4,5)．【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键．。