分式(基本性质)(专题二)

代数式之分式 专题一：分式基本性质。

1、分式的基本性质。

例：下列各式中，是分式的是① ② ③ ④ ⑤ ⑥总结：练习：在代数式 、 、 、 、 、 中，分式的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、分式的意义。

例：当x______时，分式43x x --有意义； 当x 时，分式422--x x 无意义。

总结：练习：当x 时，分式 有意义；当a 时，分式 无意义．例：分式324-x x与)1)(32()1(4+-+x x x x 都有意义的条件是( )A ．x ≠23 B. x ≠1 C ．x ≠23或x ≠1 D ．x ≠23且x ≠-13、分式为0。

例：若分式242+-x x 的值为0，那么x 。

若分式33x x --的值为零，则x = 。

总结：练习：当x=_____________时，分式||99x x -+的值等于零．专题二：分式的基本性质。

①ac a b = ② y zxxy = 例： 如果把分式y x x232-中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值 。

总结：x 1)(21y x +3x x m -23-x x 1394y x +13+x x 212+-x 23y x -23+-a b a 112--x x πa 22+-x x 321+-a a练习：如果把分式63xx y -中的x,y 都扩大10倍,那么分式的值 。

例：x x xy x )(22 =+ b a b a b a b a +=-+-) (22222x x x xy )(2462 =- 222)(xyyxy = 总结：练习：)0(1)(2≠+=+a ca a a b a ab b a 2)( =+练习：下列各式中，变形不正确的是 （ ）A ．23y -=-23y B ．66y y x x -=- C ．3344x x y y =- D ．-8833x xy y-=-- 专题三：分式符号例：下列各式约分中，正确的是 （ ）A ．2a b a b ++=bB ．a b a b --+=-1C ．a b a b ---=-1D ．22a b a b--=a- b总结：练习：下列各式中，正确的是（ ）A ．x y x y -+--=x y x y -+;B ．x y x y -+-=x y x y ---;C ．x y x y -+--=x y x y +-;D ．x y x y -+-=x yx y -+专题四：分式的分子、分母系数的化整。

考点03.分式（精讲）【命题趋势】分式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，其中分式的有意义（无意义）和分式值为零（负数、正数、整数等）、最简分式等概念，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算（化简求值）考查常以选择题、填空题、计算题的形式命题。

【知识清单】1：分式的相关概念（☆☆）（1）分式的概念：如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式，其中A 为分子，B 为分母。

（2）对于分式A B 来说：①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0；④当A =B ≠0时，分式的值为1；⑤若A B >0，则A 、B 同号，若AB<0，则A 、B 异号。

2：分式的性质（☆☆）（1）分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A CC B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式。

（2）约分及约分法则1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。

（3）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。

（4）通分及通分法则1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分。

2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。

《分式》习题专题一 与分式有关的规律探究题1.一组按规律排列的式子：25811234,,,b b b b a a a a--，…(ab ≠0)，其中第7个式子是______，第n 个式子是______（n 是正整数）.2.已知a ≠0，12S a =，212S S =，322S S =，…，201020092S S =，则2010S = (用含a 的代数式表示)． 3.给定下面一列分式：3579234,,,,x x x x y y y y--…,（其中x ≠0） （1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.专题二 分式的求值4. 已知a +b =3，a -b =5，求22221684a ab b a b ab-+-的值.5. 已知11x x -=，则2421x x x ++的值为_______. 6．已知y =123x x--，x 取哪些值时： （1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．状元笔记【知识要点】1.分式的定义一般地，我们把形如AB的代数式叫做分式，其中，A，B都是整式，且B中含有字母.2.分式的基本性质分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.A B =A MB M⨯⨯，AB=A MB M÷÷. 其中，M是不等于0的整式.【温馨提示】1.分式有意义的条件是分母不为0.2.分式值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0.3.在应用分式的基本性质，分子和分母同时乘（或除以）的整式不能为0. 【方法技巧】1.判断一个代数式是否是分式的关键是看分母中是否含有字母.2.解分式求值题时通常是先约分，再代入求值，简化运算.参考答案1.207ba-31(1)nnnba--解析：观察已知式子可以发现，“－”号是间隔的，即奇数项为负，偶数项为正，再观察分式的分子上字母都是b，其指数分别是2=3×1－1，,5 =3×2－1，8=3×3－1，11=3×4－1，…，3n－1；各个分式的分母上字母都是a，而其指数与项数相同，分别是1，2，3，4，…，n，由此可求解.2.1a解析：根据题意可得12S a=，21Sa=，32S a=，41Sa=，…，2a与1a交替出现，奇数项为2a，偶数项为1a，所以20101Sa=.3.解：（1）任意一个分式除以前面一个分式，都等于2xy-；（2）第7个分式是157xy.4.解：解3,5.a ba b+=⎧⎨-=⎩得4,-1.ab=⎧⎨=⎩222221684)4=4(4)a ab b a b a ba b ab ab a b ab-+--=--（.当a=4,b=-1时，原式=174 -.5.解：242222111=11141()3 xx x x xx x==++++-+.6.解：（1）由题意得：123xx--＞0，∴1,23.xx->0⎧⎨->0⎩或1,23.xx-<0⎧⎨-<0⎩∴23<x<1；（2）由题意得：123xx--＜0，∴1,23.xx->0⎧⎨-<0⎩或1,23.xx-<0⎧⎨->0⎩∴x＞1或x＜23；（3）由题意得：1,23.xx-=0⎧⎨-≠0⎩∴x=1；（4）由题意得：2-3x=0 ，∴x=23.。

分式的定义和性质组卷2一．选择题（共24小题）1．若表示一个整数，则整数a可以值有（），则．C．D，则的值为非负数，，则的值为（．B．C钦州）如果把的是原来的D10．（2010•黔南州）如果，则=（）．D 11．（2008•乌兰察布）若x＜2，则的值是（）．．．．．．D．河北）如果把分式．（2002•朝阳区）下列各式从左到右变形正确的是（．+=3（x+1）+2y B=．=D=．下列分式中与的值相等的分式是（．B．C17．将分式的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（）．C D．18．化简﹣的结果是（）．．．不改变分式的值，使分式缩小为原来的．x，y为正数，且x≠y，下列式子正确的是（）．=B＜．＞D＞，那么的值是（B．参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．若表示一个整数，则整数a可以值有（）．若分式解：根据题意得，解得，则的值等于（．B．C D化简成含有的代数式，然后再代入数值求值．解：∵∴+1=+1=．4．已知，则的值为（）可以设为=k，即：=．故选的值为非负数，的值为非负数，即分子等于要使分式的值为非负数即≥．已知，则的值为（．B．C，代入解：∵∴==．7．（2012•钦州）如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（）=，可见新分式与原分式的值相等；珠海）若分式是原来的=，D 是最简分式，不能约分，故10．（2010•黔南州）如果，则=（）．D，就可以变形为解：∵，∴把已知中的，则的值是（==．（2007•黄冈）下列运算中，错误的是（）．B．D=，故13．（2006•漳州）下列运算正确的是（）．=河北）如果把分式中的==．（2002•朝阳区）下列各式从左到右变形正确的是（．+=3（x+1）+2y B=．=D=、分式中的分子、分母的各项没有同时扩大相同的倍数，故=，故16．下列分式中与的值相等的分式是（）．C得：．C．D．解：分式．故选．化简﹣解：﹣=，．．===，故==，故．不改变分式的值，使分式缩小为原来的==×倍．．=＜＞本题是比较两个分式∴∴＞，那么的值是（．＞==1。

.分式专题一、分式定义，注意：判别分式的依据是分母中还有字母，分母不等于零。

1、在式子y x y x x c ab y a 109,87,65,43,20,13+++π中，分式的个数是（ ）个2.下列式子:x y a y x ab x 73),(51,89,97222++-，yx 2915-中，是分式的有（ ）个 二、分式基本性质1、填空：()yx xy ba -=---..............；2．在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立：2xy =22()2ax y； 322()x xy x y --=()x x y -． 3、把分式xyyx -中的x 、y 的值都扩大2倍，则分式的值（ ）A 不变B 扩大2倍C 扩大4倍D 缩小一半4、已知31=b a ，分式ba ba 52-+的值为 ；5、若32,234a b c a b ca b c-+==++则=_______． 6、不改变分式52223x y x y -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ） 三、分式无意义与有意义，1、当x 时，分式3213+-x x 无意义；2．在分式2242x x x ---中，当x ______时有意义．3．当x____时，分式||2x x -有意义．4.2(3)--x 的取值范围是_______．5. 当x_____________时，式子23+x x ÷322--x x 有意义 四、分式值为零，1、当x 时，分式392--x x 的值为0；2．使分式234x ax +-的值等于零的条件是x____．3．在分式2242x x x ---中，当x ____时分式值为零．.__01||87.42=---x x x x ，则的值为若分式五、分式约分1．约分：34522748a bx a b x , 532164abc bc a - 22923a a a ---, xx x 52522--2．分式：①223a a ++，②22a b a b --，③412()a a b -，④12x -中，最简分式有（ ）个六、通分 1、分式222439xx x x --与的最简公分母是___ ___________. 2、分式yx 21，323x y，232xy x +的最简公分母是（ ） 3、把下列各组分式通分 （1）243,2bac bd c （2）,412-a 21-a七、分式运算 1、化简xy x x 1⋅÷的结果是（ ） 2、22332p mn p n nm÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅； 3、aa a -+-21422； 4、112---x x x ； 5、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-x y xy x x y x 2222, 6．339322++--m m m m7 、先化简，再对a 取一个你喜欢的数，代入求值．221369324a a a a a a a +--+-÷-+-．8、先化简：⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-aa a aa 121 并任选一个你喜欢的数a 代入求值．9、先化简，再求值：1312-÷+x xx x ，其中31+=x ．10、已知220x -=，求代数式222(1)11x x x x -+-+的值．11、 先化简，再求值： 3x ＋3 x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1 x －1 ＋ 1 x ＋1 ÷ 6x ，其中x ＝1．12、先化简，再求值：232224xx x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中3x =．八、分式方程，易错点：分式方程检验 1、解方程： （1）256x x x x -=--． （2）21411x x x +---=1． （3）12212+=++-x xxx x ，（4）6122x x x +=-+． （5）14143=-+--x x x ，（6）22333x x x -+=--，2、已知23(1)(2)12x A Bx x x x -=+-+-+，求A ，B 的值．3、已知分式方程21x ax +-=1的解为非负数，求a 的范围．4、已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围。

第十五章 分式15.1分式专题一 分式有意义的条件、分式的值为0的条件1．使代数式x -1有意义，那么x 的取值范围是（ ）A ．x ≥0B ．x ≠1C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠12．如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 ．3．若分式2299x x x --6+的值为零，求x 的值．专题二 约分4．化简222m mn n m mn -2+-的结果是（ ）A ．2n 2B ．m nm - C ．m n m n -+ D ．m nm +5．约分：29()2727a y x x y --=____________．6．从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并将它化简：4x 2－4xy +y 2，4x 2－y 2，2x －y ．状元笔记【知识要点】1．分式的概念一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．2．分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为：A B =CBCA⋅⋅，AB=A CB C÷÷(其中A，B，C是整式，C≠0)．3．约分与通分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．【温馨提示】1．分式的值为0受到分母不等于0的限制，“分式的值为0”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为0，不要误解为“只要分子的值为0，分式的值就是0”．2．分式的基本性质中的A、B、C表示的都是整式，且C≠0．3．分子、分母必须“同时”乘C(C≠0)，不要只乘分子（或分母）．4．性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的．但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．【方法技巧】1．分式的符号法则可总结为：一个负号随意跑，两个负号都去掉．就是说，分式中若出现一个负号，则此负号可“随”我们的“意”（即根据题目要求）跑到分子、分母以及分式本身三者中的任何一个位置上；若分式中出现两个负号，则可以将这两个负号同时去掉．[来源:数理化网]2．分式的分子、分母系数化整问题的基本做法是分式的分子、分母都乘同一个“适当”的不为零的数，这里的“适当”的数又分两种情况：若分式分子、分母中的系数都是分数时，“适当”的数就是分子、分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；若分式的分子、分母中各项系数是小数时，则“适当的数”就是10n，其中n是分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．最后根据情况需要约分时，则要约分．参考答案:1．D 解析：根据题意得：x ≥0且x －1≠0．解得x ≥0且x ≠1．故选D ．2．－3 解析：根据分式值为0，可得⎩⎨⎧≠-=-0302732x x ，解得x =－3． 3．解：∵2299x x x --6+的值为0，∴x 2－9=0且x 2－6x +9≠0．解x 2－9=0，得x =±3．当x =3时，x 2－6x +9=32－6×3+9=0，故x =3舍去．当x =－3时，x 2－6x +9=(－3)2－6×(－3)+9=36．∴当分式2299x x x --6+的值为0时，x =－3．4．B 解析：222m mn n m mn -2+-=2()()m n m m n --=m nm -．故选B ．5．3ax ay - 解析：29()2727a y x x y --=29()27()a x y x y --=()3a x y -=3ax ay-．6．解：答案不唯一，如：2222444x xy y x y -+-=2(2)(2)(2)x y x y x y -+-=22xyx y -+．别浪费一分一秒——如何利用零散时间学人们常说,时间是公平的,每个人的一天只有24个小时,所以应该珍惜时间去充实自己。

典型题:1．把分式)0(2≠-a ab a 中的字母的a ，b 都同时缩小3倍，那么分式的值是A 、扩大3倍B 、缩小3倍C 、改变D 、不改变2.将分式323x y xy-中的字母x ，y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．不变; B ．扩大为原来的3倍 C ．扩大为原来的9倍; D ．缩小为原来的133．⑴若13+a 表示一个整数，则整数a ＝ . ⑵若分式23xx -的值为负数，则x 的取值范围 ．4. ⑴当x 时，分式7253-+÷-+x x x x 有意义； ⑵ 若022(1)(1)2x x x x -+--++-有意义，则x .5．已知322(2)(5)25x a bx x x x -=-+-+-，则a =________．b =________．6．⑴已知31=+x x ，分式221xx +=________； ⑵已知m 满足01102=+-m m ，则44-+m m ＝____．7．⑴若x 2－4x ＋1＝0，则2421x x x ++的值为________； ⑵已知2112=+-x x x ，则2421x x x ++＝________．8．⑴若21=-y y x ，则y x ＝___________；⑵已知ba b a +=+511，则b aa b +＝________________．9．已知1=ab ，设11+++=b b a a M ，1111+++=b a N ，则M 和N 的大小关系是________．10．已知1=ab ，2=+b a 则式子b a a b +＝________；2211ba +＝________；11．⑴已知已知2111=-b a ，则b a ab-的值为 ；⑵已知11m n -＝3，那么2322m mn n m mn n +---的值为________．12．⑴若234a b c ==，则325a b ca b c-+++＝ ；⑵已知5:3:2::=c b a ，则分式cb a cb a 32+-++＝ ．13. 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时.A.11a b + B.1ab C.1a b + D.ab a b+ 14．一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，已知他上山的速度为u ，下山的速度为u ′，单程的路程为s ．则这个人往返这个村庄的平均速度为（ ） '2'2'....2'''u u s suu uu A B C D su u u u u u ++++分式方程的增根15．⑴若分式方程a x ax =-+1无解，则a 的值为_________； ⑵若关于x 的分式方程131=---xx a x 无解，则a ＝ .16．m 为 ，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 17.当k ＝ 时，方程xk x --=-1113会产生增根； 分式方程的解18.若关于x 的方程212x a x +=--的解是非负数,则a 的取值范围是______ .19．关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解为正数，则m 的取值范围是___ . 20．⑴当a 为何值时，)1)(2(21221+-+=+----x x a x x x x x 的解是负数。

专题二：分式分式的基本概念，基本性质，运算法则；部分分式：把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。

分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。

解数学题是运用已知条件去探求未知结论的一个过程。

如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对已知条件的运用有下列途径： (1) 直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4) 挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能.一、基本概念与计算： 例1、要使分式xx -11有意义，则x 的取值范围是 ． 例2、 112525,_______2x xy y x y x xy y -++==++已知则例3、,,00,111111a b c a b c b c c a a b≠++=已知,且则a(+)+b(+)+c(+)的值是_____例4、111111221112()()113a baba b a b a b-⨯-⨯-++已知a,b 为整数，且满足=，求a+b 的值.例5、方程11422x x +=-的一个根是4,则它的另一个根是_________例6、已知,,a b c 均为实数，且257(1)(2)112x a b cx x x x x -=++---+-， 求abc 的值。

例7、 方程2(21)5160x x x -+--+=的所有根的和是( ) 例8 方程111+6x y= 有( )组正整数解. 例9、13217219211211215217292x x x xx x x x----+=+----练习一：1．x 取______________值时, 112122x +++有意义.2． 当3221,(1)(1)(1)0a a x a x a <-+++-+=时，方程的根的情况是( ) A 两负根 B 一正一负,且负根的绝对值大 C 一正一负,且正根的绝对值大 D 没有实数根3、若分式322(4)(4)2218812512a a a a m m a a -----+--- 的值与 a 的取值无关，求m 的值。