2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (理科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（四川卷）第I 卷（选择题 共50分）1. 设集合}0)2)(1({<-+x x x 集合}1{x x x B <<=，则A B = A. {X -1<X<3} B. {X -1<X<1} C. {X 1<X<2} D. {X 2<X<3}2. 设i 是虚数单位，则复数ii 23- A. -iB. -3iC. i.D. 3i3. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值是 A. 23-B.23C. 21-D.214. 下列函数中，最小正周期为x 且图象关于原点对称的函数是 A. y=cos （2x+2p ） B. Y=sin （2x+2p ） C. Y=sin2x+cos2x D. Y=sinx+cosx5. 过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =A.B. C. 6 D. 6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A. 144个 B. 120个C. 96个D. 72个7. 设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC = ，2DN NC = ，则AM NM ⋅=A. 20B. 15C. 9D. 68. 设a ，b 都是不等于1的正数，则“333ab>>”是“log 3log 3a b <”的 A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件9. 如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为A. 16B. 18C. 25D.81210. 设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是A. ()13，B. ()14，C. ()23，D. ()24，第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科（四川卷）1、设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案：A解析：本题考查集合的运算以及一元二次不等式的解法,属于送分题. 易知A={x|(x+1)(x-2)<0}={x|-1<x<2},所以A∪B={x|-1<x<3},选A.2、设i是虚数单位,则复数i3-=A.-iB.-3iC.iD.3i答案：C解析：本题考查复数的四则运算,属于容易题.i3-=-i-=-i+2i=i,选C.3、执行如图所示的程序框图,输出S的值为A.-B.C.-D.答案：D解析：本题考查程序框图与特殊角的三角函数值的计算,求解的关键是读懂循环结束的条件“k>4 ?”.由程序框图与循环结束的条件“k>4 ?”可知,最后输出的S=sinπ=sinπ,选D.4、下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A.y=cos(2x+π)B.y=sin(2x+π)C.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x答案：A解析：本题考查三角函数的周期性和奇偶性,只需将已知函数化为正弦型函数f(x)=A sin(ωx+φ),即可判断.采用验证法.由y=cos(2x+π)=-sin 2x,可知该函数的最小正周期为π且为奇函数,故选A.5、过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=A. B.2 C.6 D.4答案：D解析：本题考查双曲线的标准方程、简单几何性质以及两点间的距离公式,属于基础题.由双曲线的标准方程x2-=1得,右焦点F(2,0),两条渐近线方程为y=±x,直线AB:x=2,所以不妨取A(2,2),B(2,-2),则|AB|=4,选D.6、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有A.144个B.120个C.96个D.72个答案：B解析：本题考查两个计数原理的灵活运用、排列组合的概念及运算,求解的关键是按最高位分两类处理:①万位为4,②万位为5.当五位数的万位为4时,个位可以是0,2,此时满足条件的偶数共有=48(个);当五位数的万位为5时,个位可以是0,2,4,此时满足条件的偶数共有=72(个),所以比40 000大的偶数共有48+72=120(个),选B.7、设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=A.20B.15C.9D.6答案：C解析：本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等.选择,为基向量.∵=3,∴+++,又=2,∴+-,于是·=(+)·(-)=(4+3)·(4-3)=(16||2-9||2)=9,故选C.8、设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：本题考查指数函数、对数函数的图象和性质,考查充要关系的判定,属于中档题.由指数函数的性质知,若3a>3b>3,则a>b>1,由对数函数的性质,得log a 3<log b 3;反之,取a=,b=,显然有log a 3<log b 3,此时0<b<a<1,于是3>3a>3b,所以“3a>3b>3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件,选B.9、如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[,2]上单调递减,那么mn的最大值为A.16B.18C.25D.答案：B解析：本题考查二次函数的图象、单调区间、最值的求法以及线性规划的综合运用.由已知得f'(x)=(m-2)x+n-8,又对任意的x∈[,2],f'(x)≤0,所以′′,即.画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,令mn=t,则当n=0时,t=0,当n≠0时,m=.由线性规划的相关知识知,只有当直线2m+n=12与曲线m=相切时,t 取得最大值.由,解得n=6,t=18,所以(mn)max=18,选B.10、设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4) 答案：D解析：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系的判定,考查化归与转化思想、数形结合思想. 当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,即x=5±r,所以0<r<5;所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则.又,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),k AB=.设圆心为C(5,0),则k CM=.因为直线l与圆相切,所以·=-1,解得x0=3,于是=r2-4,r>2,又<4x0,即r2-4<12,所以0<r<4,又0<r<5,r>2,所以2<r<4,选D.11、在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是(用数字填写答案).答案：-40解析：本题主要考查二项展开式指定项的系数的求解,属于基础题.由二项展开式的通项T r+1=(2x)5-r(-1)r(r=0,1,…,5)知,当r=3 时,T4=(2x)5-3(-1)3=-40x2,所以含x2的项的系数是-40.12、sin 15°+sin 75°的值是.答案：解析：本题主要考查两角和与差的正弦公式的运用,考查考生的运算求解能力.sin15°+sin75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=2sin45°·cos30°=.13、某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是小时.答案：24解析：本题是指数函数的简单应用题,考查幂的运算法则及函数与方程思想.由题意得,即,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y=e33k+b=·e b=()3×192=24(小时).14、如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F 分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为.答案：解析：本题考查异面直线的概念及异面直线所成角的余弦值的求法,考查考生的空间想象能力.取BF的中点N,连接MN,EN,则EN∥AF,所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角.在△EMN中,当点M与点P重合时,EM⊥AF,所以当点M逐渐趋近于点Q时,直线EN与EM的夹角越来越小,此时cos θ越来越大.故当点M与点Q重合时,cos θ取最大值.设正方形的边长为4,连接EQ,NQ,在△EQN中,由余弦定理,得cos∠QEN==-,所以cos θ的最大值为.15、已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=.现有如下命题:①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.其中的真命题有(写出所有真命题的序号).答案：①④解析：本题主要考查函数的图象、性质、导数及其应用,考查考生利用所学知识解决问题的能力.因为f(x)=2x在R上是单调递增的,所以对于不相等的实数x1,x2,m=>0恒成立,①正确;因为g(x)=x2+ax,所以n==x1+x2+a,正负不定,②错误;由m=n,整理得f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2).令函数p(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax,则p'(x)=2x ln 2-2x-a,令t(x)=p'(x),则t'(x)=2x(ln 2)2-2,又t'(1)=2(ln 2)2-2<0,t'(3)=8(ln 2)2-2>0,从而存在x0∈(1,3),使得t'(x0)=(ln 2)2-2=0,于是p'(x)有极小值p'(x0)=ln2-2x0-a=-2log2-a,所以存在a=-2log2,使得p'(x0)=>0,此时p(x)在R上单调递增,故不存在不相等的实数x1,x2,使得f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),不满足题意,③错误;由m=-n,得f'(x)=-g'(x),即-a=2x ln 2+2x.设h(x)=2x ln 2+2x,则h'(x)=2x(ln 2)2+2>0,所以h(x)在R上是单调递增的,且当x→+∞时,h(x)→+∞,当x→-∞时,h(x)→-∞,所以对于任意的a,y=-a与y=h(x)的图象一定有交点,④正确.16、设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)记数列{}的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值.答案：(Ⅰ)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(Ⅱ)由(Ⅰ)得.所以T n=++…+=1-.由|T n-1|<,得|1--1|<,即2n>1 000.因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10.解析：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和等基础知识,考查运算求解能力.由S n=2a n-a1,得a2=2a1,a3=4a1,再通过a1,a2+1,a3成等差数列确定首项a1=2是解决(Ⅰ)的切入点;由(Ⅰ)知{}是首项为,公比为的等比数列,所以T n=1-,然后解不等式即可.17、某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(Ⅰ)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望.答案：(Ⅰ)由题意,参加集训的男、女生各有6名.代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为. 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-.(Ⅱ)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为X 1 2 3P因此,X的数学期望为E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×+2×+3×=2.概率、分布列、数学期望等相关概念不熟,从题干中提取数据时被无关信息干扰,或计算出错.解析：本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.(Ⅰ)先求对立事件“A中学没有学生入选代表队”的概率,然后利用对立事件的概率计算公式即可得解;(Ⅱ)参赛的男生人数X的可能取值为1,2,3,分别求出X=1,2,3的概率,由此求出X的分布列和数学期望.18、一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.(Ⅰ)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(Ⅱ)证明:直线MN∥平面BDH;(Ⅲ)求二面角A-EG-M的余弦值.答案：(Ⅰ)点F,G,H的位置如图所示.(Ⅱ)连接BD,设O为BD的中点,连接OM,OH.因为M,N分别是BC,GH的中点,所以OM∥CD,且OM=CD,HN∥CD,且HN=C D.所以OM∥HN,OM=HN.所以MNHO是平行四边形,从而MN∥OH.又MN⊄平面BDH,OH⊂平面BDH,所以MN∥平面BDH.(Ⅲ)方法一连接AC,过M作MP⊥AC于P.在正方体ABCD-EFGH中,AC∥EG,所以MP⊥E G.过P作PK⊥EG于K,连接KM.所以EG⊥平面PKM,从而KM⊥E G.所以∠PKM是二面角A-EG-M的平面角.设AD=2,则CM=1,PK=2.在Rt△CMP中,PM=CM sin 45°=.在Rt△PKM中,KM=.所以cos∠PKM=.即二面角A-EG-M的余弦值为.方法二如图,以D为坐标原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz.设AD=2,则M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0),所以=(2,-2,0),=(-1,0,2).设平面EGM的一个法向量为n1=(x,y,z),由得取x=2,得n1=(2,2,1).在正方体ABCD-EFGH中,DO⊥平面AEGC,则可取平面AEG的一个法向量为n2==(1,1,0),所以cos<n1,n2>=,故二面角A-EG-M的余弦值为.解析：本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.(Ⅰ)利用平面展开图的有关知识求解;(Ⅱ)考虑用三角形的中位线寻找平行于平面BDH的直线即可证明;(Ⅲ)作出二面角的平面角,在三角形中求解,也可以建立空间直角坐标系,求出平面ACGE的法向量、平面MEG的法向量,即可求得结论.19、如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(Ⅰ)证明:tan;(Ⅱ)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.答案：(Ⅰ)tan .(Ⅱ)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(Ⅰ),有tan +tan +tan +tan=++°°+°°=+.连接B D.在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos A,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos C,所以AB2+AD2-2AB·AD cos A=BC2+CD2+2BC·CD cos A. 则cos A=.于是sin A=.连接A C.同理可得cos B=,于是sin B =. 所以tan +tan +tan +tan= + =+ = .解析：本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.第(Ⅰ)问三角恒等式的证明,利用二倍角公式化简即得;第(Ⅱ)问,首先由A 与C 、B 与D 互补及(Ⅰ)的结果,得tan +tan ,tan +tan ,然后由余弦定理,得cos A = ,cos B = ,即可获解.20、如图,椭圆E : + =1(a >b >0)的离心率是,过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ,B 两点.当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 .(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中,是否存在与点P 不同的定点Q ,使得 恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.答案：(Ⅰ)由已知,点( ,1)在椭圆E 上.因此,解得a =2,b = . 所以椭圆E 的方程为 + =1.(Ⅱ)当直线l 与x 轴平行时,设直线l 与椭圆相交于C ,D 两点.如果存在定点Q 满足条件,则有 =1,即|QC|=|QD|.所以Q 点在y 轴上,可设Q 点的坐标为(0,y 0).当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,),(0,-).由,有,解得y0=1,或y0=2.所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为(0,2).下面证明:对任意直线l,均有.当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以x1+x2=-,x1x2=-.因此+=2k.易知,点B关于y轴对称的点B'的坐标为(-x2,y2).又k QA==k-,K QB'==-k+=k-,所以k QA=k QB',即Q,A,B'三点共线..所以′故存在与P不同的定点Q(0,2),使得恒成立.解析：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.(Ⅰ)由题意得点(,1)在椭圆E上,然后进行求解;(Ⅱ)分动直线l的斜率存在与不存在两种情况讨论,其中对运算的变形是求解的难点所在.21、已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.答案：本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想.(Ⅰ)由已知得g(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+),g'(x)=,通过判断函数y=x2-x+a(x>0,a>0)的正负确定g(x)的单调性;(Ⅱ)通过构造新函数,结合函数的零点存在性定理进行证明.解析：(Ⅰ)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+),所以g'(x)=2-+.当0<a<时,g(x)在区间(0,),(,+∞)上单调递增,在区间(,)上单调递减;当a≥时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由f'(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+)=0,解得a=.令φ(x)=-2(x+)ln x+x2-2()x-2()2+.则φ(1)=1>0,φ(e)=--2()2<0.故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=,u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.所以0==a0<<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.由(Ⅰ)知,f'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.所以,当x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|= （ ）A ．1BCD ．2 2．sin 20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A．BC ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2nn n ∀∈N 2，＞ B ．2nn n ∃∈N 2，≤ C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212 xC y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A．( B．( C．( D．( 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3[)21,e -B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数()=(ln f x x x 为偶函数，则a =________.14．一个圆经过椭圆22=1164x y +的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i ωω=8i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c =＋y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.1sin20cos10cos20sin10sin302+==，故选10<数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）2exy，AB 的取值范围是(62,62)-+．11111111=235572123n b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=AC FG G=，⊥平面AFC⊂平面AEC3数学试卷第13页（共21页）数学试卷第14页（共21页）数学试卷第15页（共21页）数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）60（Ⅰ）连接AE 90， 90，90，∴DE 是圆1AE =，CE BE ，212x -，解得∴60ACB ∠=．90，可得1sin45=2．数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B （ ）A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3} 1.【答案】A【解析】{|12}A x x =-<<，且{|13}B x x =<<{|13}A B x x ∴⋃=-<<，故选A2.设i 是虚数单位，则复数32i i- =（ ） A.-i B.-3i C.i. D.3i 2.【答案】C【解析】3222ii i i i i-=--=，故选C 3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（ ） A.3 B.3 C.-12 D.123.【答案】D【解析】进入循环，当5k =时才能输出k 的值，则51sin62S π==，故选D 4.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A. cos(2)2y x π=+B. sin(2)2y x π=+C. sin 2cos 2y x x =+ D sin cos y x x =+4.【答案】A 【解析】 A. cos(2)sin 22y x x π=+=-可知其满足题意B. sin(2)cos 22y x x π=+=可知其图像的对称中心为(,0)()42k k Z ππ+∈，最小正周期为π C. sin 2cos 22sin(2)4y x x x π=+=+可知其图像的对称中心为(,0)()28k k Z ππ-∈，最小正周期为πD. sin cos 2sin()4y x x x π=+=+可知其图像的对称中心为(,0)()4k k Z ππ-∈小正周期为2π5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）（Ａ）（B） （C ）6 （D）5.【答案】D 【解析】由题可知渐近线方程为y =，右焦点(2,0)，则直线2x =与两条渐近线的交点分别为A (2,，B (2,-，所以||AB =6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 6.【答案】B 【解析】分类讨论① 当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数，其余位置没有限制，故有133472C A =种。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将选答案对应的标号涂黑.第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2．设i 是虚数单位，则复数32i i-= （ ）A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A． BC ．12-D ．124．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 （ ）A ．πcos(2)2y x =+ B ．πsin(2)2y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+5．过双曲线的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（ ）A．3B． C ．6D．6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（ ）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．设四边形ABCD 为平行四边形，||=6AB ，||=4AD .若点M ，N 满足=3BM MC ，DN =2NC ，则AM NM =（ ）A ．20B ．15C ．9D ．68．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3>3>3a b ”是“log 3log 3a b <”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．如果函数1()(2)(8)10022f x =m x +n x+m n --（≥，≥）在区间1[,2]2上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．81210．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11．在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是_________（用数字填写答案）. 12．sin15+sin75的值是_________.13．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系y =e kx b +（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是_________小时.14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ 的最大值为_________.15．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； （4）对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有_________（写出所有真命题的序号）.2213y x -=---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1|1| 1 000n T -<成立的n 的最小值.17．（本小题满分12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. （Ⅰ）求A 中学至少有一名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN ∥平面BDH ； （Ⅲ）求二面角A EG M --的余弦值.19．（本小题满分12分）如图A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角.（Ⅰ）证明：1cos tan 2sin A AA-=；（Ⅱ）若180A C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tantan 22A B++tantan 22C D+的值. 20．（本小题满分13分）如图，椭圆2222:+1(0)x y E a b a b=>>，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点.当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中是否存在与点P 不同的定点Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a ＞. （Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】∵集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合B={x|1＜x ＜3}，∴集合{|12}A x x =-<<， ∵A ∪B={x|﹣1＜x ＜3}，故选：A【提示】求解不等式得出集合{|12}A x x =-<<，根据集合的并集可求解答案 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】∵i 是虚数单位，则复数32i i -，∴4i 2121i i i i--==-=，故选：C【提示】通分得出4i 2i-，利用i 的性质运算即可【考点】复数代数形式的乘除运算 3.【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得1k =，2k = 不满足条件4k >，3k = 不满足条件4k >，4k = 不满足条件4k >，5k =满足条件4k >，5π1sin62S ==，输出S 的值为12． 故选：D ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当5k =时满足条件4k >，计算并输出S 的值为12【考点】程序框图 4.【答案】A【解析】解：πcos 2sin 22y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 πsin 2cos22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；πsin 2cos224y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选：A ．【提示】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可 【考点】两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法 5.【答案】D【解析】解：双曲线2213yx -=的右焦点（2，0），渐近线方程为y =，过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，2x =，可得A y =，B y =-，∴||AB =故选：D ．【提示】求出双曲线的渐近线方程，求出AB 的方程，得到AB 坐标，即可求解||AB ． 【考点】双曲线的简单性质 6.【答案】B【解析】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有3424A =种情况，此时有32472⨯=个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有3424A =种情况，此时有22448⨯=个，共有7248120+=个．故选：B【提示】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案． 【考点】排列、组合及简单计数问题 7.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足3BM MC =，2DN NC =，∴根据图形可得：3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+，∴NM AM AN =-，∵2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，22239216AM AB AB AD AD =++， 22233342AM AN AB AD AB AD =++，||6AB =，||4AD =，∴22131239316AM NM AB AD =-=-=故选；C【提示】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+， 2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，结合向量结合向量的数量积求解即可．【考点】平面向量数量积的运算 8.【答案】B【解析】解：A 、B 都是不等于1的正数，∵333a b >>，∴1a b >>，∵l og 3l og 3a b <，∴3311log log a b <，即lg lg 0lg lg b a a b -<，lg lg 0lga lgb 0b a -<⎧⎨>⎩或lg lg 0lga lgb 0b a ->⎧⎨<⎩ 求解得出：1a b >>,10a b >>>或1b >，01a <<根据充分必要条件定义得出：“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分不必要条件，故选：B ．【提示】求解333a b >>，得出1a b >>，log 3log 3a b <，lg lg 0lga lgb 0b a -<⎧⎨>⎩或lg lg 0lga lgb 0b a ->⎧⎨<⎩数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 9.【答案】B【解析】解：∵函数21()(2)(8)1(0,0)2f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴①2m =，8n <对称轴82n x m -=--， ②20822m n m ->⎧⎪-⎨-≥⎪-⎩即22120m m n >⎧⎨+-≤⎩ ③208122m n m -<⎧⎪-⎨-≤⎪-⎩即22180m n m <⎧⎨+-≤⎩ 设22120x x y >⎧⎨+-≤⎩,22180x y x <⎧⎨+-≤⎩或28x y =⎧⎨<⎩设k y x =，2ky x '=-，当切点为00()x y ,，k 取最大值． ①202k x -=-，202k x =，00212y x +=-，2000022x y x x ==，可得03x =，06y =，∵32x =>∴k 的最大值为3618⨯=②2012k x =，10200012x y x x ==，002180y x -+=，解得：09x =，092y =∵02x < ∴不符合题意．③2m =，8n =，16k mn ==综合得出：3m =，6n =时k 最大值18k mn ==，故选；B【提示】根据二次函数的单调性得出①2m =，8n <对称轴82n x m -=--，②20822m n m ->⎧⎪-⎨-≥⎪-⎩③208122m n m -<⎧⎪-⎨-≤⎪-⎩构造函数22120x x y >⎧⎨+-≤⎩或22180x y x <⎧⎨+-≤⎩或28x y =⎧⎨<⎩运用导数，结合线性规划求解最大值．【考点】二次函数的性质10.【答案】D【解析】解：设11()A x y ,，22()B x y ,，00()M x y ,，则斜率存在时，设斜率为k ，则2114y x =，2224y x =，利用点差法可得02ky =，因为直线与圆相切，所以0015y x k=--，所以03x =，即M 的轨迹是直线3x =，代入抛物线方程可得y =±所以交点与圆心(50),的距离为4，所以24r <<时，直线l 有2条；斜率不存在时，直线l 有2条；所以直线l 恰有4条，24r <<，故选：D ．【提示】先确定M 的轨迹是直线3x =，代入抛物线方程可得y =±(50),的距离为4，即可得出结论．【考点】抛物线的简单性质，直线与圆的位置关系第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】40-【解析】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，515(2)(1)rrr r T C x -+=-；要求2x 的项的系数，∴52r -=，∴3r =，∴2x 的项的系数是2335()2140C =--． 故答案为：40-．【提示】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第1r +项，整理成最简形式，令x 的指数为2求得r ，再代入系数求出结果 【考点】二项式定理的应用 12.【解析】解：sin15sin 75sin15cos15cos45cos15sin 45)60︒+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=︒=．． 【提示】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值． 13.【答案】24【解析】解：由题意可得，0x =时，192y =；22x =时，48y =． 代入函数e kx by +=，可得e 192b =，22e 48k b +=，即有111e 2k =，e 192b =，则当33x =时，331e 192248k b y +==⨯=． 故答案为：24．【提示】由题意可得，0x =时，192y =；22x =时，48y =．代入函数e kx by +=，解方程，可得k ，b ，再由33x =，代入即可得到结论． 【考点】函数与方程的综合运用 14.【答案】25【解析】解：根据已知条件，AB ，AD ，AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直接坐标系，设2AB =，则：(000)A ,,，(100)E ,,，(210)F ,,；M 在线段PQ 上，设(0,,2)M y ，02y ≤≤；∴(1,,2)EM y =-，(2,1,0)AF =；∴cos |cos ,55EMAF θ==；数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）∴22244cos =5(y 5)y y θ-++，设22445(y 5)y y t -+=+，整理得：2(51)42540t y y t -++-=①，将该式看成关于y 的方程；（1）若15t =，则14y =-，不符合02y ≤≤，即这种情况不存在；（2）若15t ≠，①便是关于y 的一元二次方程，该方程有解；∴164(51)(254)0t t =---≥△；解得4025t ≤≤；∴t 的最大值为425；∴2cos θ的最大值为425，cos θ最大值为25．故答案为：25．【提示】首先以AB ，AD ，AQ 三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，(02)M y ,,，从而可求出向量EM ，AF 的坐标，由cos cos ,EM AF θ=得到22244cos 5(5)y y y θ-+=+，可设22445(5)y y t y -+=+，可整理成关于y 的方程，根据方程有解即可求出t 的最大值，从而求出cos θ的最大值． 【考点】异面直线及其所成的角 15.【答案】①④【解析】解：对于①，由于21>，由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增，即有0m >，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得()g x 在,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减，在2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,递减，则0n >不恒成立，则②错误；对于③，由m n =，可得1212()()()()f x f x g x g x -=-，考查函数2()2x h x x ax =+-，()22ln 2xh x x a '=+-，当a →-∞，()h x '小于0，()h x 单调递减，则③错误；对于④，由m n =-，可得1212[()()()(])f x f x g x g x -=--，考查函数2()2xh x x ax =++，()22ln 2x h x x a '=++，对于任意的a ，()h x '不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【提示】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数2()2xh x x ax =+-，求出导数判断单调性，即可判断③； 通过函数2()2xh x x ax =++，求出导数判断单调性，即可判断④．【考点】命题的真假判断与应用 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）2n na = （Ⅱ）10【解析】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a -=，有1122(2)n n n n n a S S a a n ≥-==﹣﹣﹣，即12(2)n n a a n ≥=﹣， 从而212a a =，32124a a a ==，又∵1a ，21a +，3a 成等差数列，∴11142(21)a a a ++=，解得：12a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n na =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：112n n a =，∴1122212[1()]1111122212nn n n T -=+++==--． 由1|1|1000n T -<，得111121000n --<，即21000n >．∵9102512100010242=<<=，∴10n ≥． 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10． 【提示】（Ⅰ）由已知数列递推式得到12(2)n n a a n ≥=﹣，再由已知1a ，21a +，3a 成等差数列求出数列首项，可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得n T ，结合1|1|1000n T -<求解指数不等式得n 的最小值． 【考点】数列的求和． 17.【答案】（Ⅰ）99100（Ⅱ）2【解析】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生个有6人，参赛学生全从B 中抽出（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为：333433661100C C C C =，因此A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1991100100-=； （Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X 表示参赛的男生人数，则X 的可能取值为：1，2，3，2333461(1)5C C P X C ===，2333463(2)5C C P X C ===，3133461(3)5C C P X C ===．则数学期望11232555EX =⨯+⨯+⨯=．【提示】（Ⅰ）求出A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；（Ⅱ）求出X 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X 的分布列，然后求解数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列 18.【答案】（Ⅰ）如图 （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）3【解析】解：（Ⅰ）F 、G 、H 的位置如图；证明：（Ⅱ）连接BD ，设O 是BD 的中点，∵BC 的中点为M 、GH 的中点为N ，∴数学试卷 第16页（共21页） 数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）OM CD ∥，12OM CD =，HN CD ∥，12HN CD =，∴OM HN ∥，OM HN =，即四边形MNHO 是平行四边形，∴MN OH ∥，∵MN BDH ⊄平面；OH BDH ⊂面，∴MN BDH 直线∥平面；（Ⅲ）方法一：连接AC ，过M 作MH AC ⊥于P ，则正方体ABCD EFGH -中，AC EG ∥，∴MP EG ⊥，过P 作PK EG ⊥于K ，连接KM ，∴KM PKM ⊥平面则KM EG ⊥，则PKM ∠是二面角A EG M --的平面角，设2AD =，则1CM =，2PK =，在Rt CMP △中，sin 45PM CM =︒=，在R t P K M △中，KM ，∴cos 3PK PKM KM ∠==，即二面角A EG M --的余弦值为3． 方法二：以D 为坐标原点，分别为DA ，DC ，DH 方向为x ，y ，z 轴建立空间坐标系如图：设2AD =，则(120)M ,,，(0,2,2)G ，(2,0,2)E ，(1,1,0)O ，则(2,2,0)GE =-，(1,0,2)MG =-，设平面EGM 的法向量为(x,y,z)n =，则00n GE n MG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22020x y x z -=⎧⎨-+=⎩，令2x =，得(2,2,1)n =，在正方体中，DO AEGC ⊥平面，则(1,1,0)n DO ==是平面AEG 的一个法向量，则cos ,3||||9m n m n m n ====⨯．二面角A EG M --．【提示】（Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可； （Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN BDH ∥平面； （Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解． 法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定． 19.【答案】（Ⅰ）见解析 【解析】证明：（Ⅰ）222222sin 2sin 1cos tan cos2sin cos sin A AA A AAA A -===．等式成立．（Ⅱ）由180A C +=︒，得180C A =︒-，180D B =︒-，由（Ⅰ）可知：tantan tan tan 2222A B C D +++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)A B A B A B A B ---︒--︒-=+++︒-︒-22sin sin A B =+连结BD ，在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A -=+，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，在BCD △中，有2222cos BD BC CD BC CD C -=+，所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD C +=-+-，则：2222222265343cos 2(AB AD BCCD)2(6534)7AB AD BC CD A +--+--===+⨯+÷． 于是sin A ==AC ， 同理可得：2222222263542(AB CD)2(63541)1cos 9AB BCAD CD BC ADF B +--+--==+⨯+÷=， 于是sin B=所以tan tantan tan2222A B C D +++22sin sin A B =+=【提示】（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．（Ⅱ）通过180A C +=︒，得180C A =︒-，180D B =︒-，利用（Ⅰ）化简22tantan tan tan 2222sin sin A B C D A B+++=+，连结BD ，在ABD △中，利用余弦定理求出sin A ，连结AC ，求出sin B ，然后求解即可【考点】三角函数恒等式的证明20.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）存在与点P 不同的定点(0,2)Q，使得QA PA QBPB=恒成立【解析】解：（Ⅰ）∵直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为 ∴点在椭圆E ， ∴22222211c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2a =，b =，∴椭圆E 的方程为：22142x y +=；（Ⅱ）结论：存在与点P 不同的定点(0,2)Q，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立． 理由如下：当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，如果存在定点Q 满足条件，数学试卷 第19页（共21页）数学试卷 第20页（共21页）数学试卷 第21页（共21页）则有||||||||QA PA QB PB =，即||||QC QD =． ∴Q 点在直线y 轴上，可设0(0,)Q y ．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，则M 、N的坐标分别为、(0,，又∵||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =． ∴若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0,2)．下面证明：对任意直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为11)(,A x y 、22)(,B x y ，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=，∵22(4)8(12)0k k =++>△， ∴122412k x x k +=-+，122212x x k-=+， ∴121212112x x k x x x x ++==， 已知点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为22(,)x y -， 又11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111OB y kx k k K x x x x --===-+=---， ∴AO QB k k =，即Q 、A 、B '三点共线，∴12QAQA x PA QB QB x PB==='． 故存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得QA PA QBPB=恒成立．【提示】（Ⅰ）通过直线l 平行于x 轴时被椭圆E截得的线段长为，2，计算即得结论；（Ⅱ）通过直线l 与x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(02),．然后分直线l 的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l ，均有QA PAQB PB=即可． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程 21.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】解：（Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()2()2ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+ ⎪⎝⎭，∴21124222()2()22()2x a a g x x x x -+-'=-+=． 当104a <<时，()g x在10,2⎛ ⎝⎭，12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间⎝⎭上单调递减；当14a ≥时，()g x 在(0,)+∞上单调递增． （Ⅱ）由()2()2ln 210a f x x a x x ⎛⎫'=---+= ⎪⎝⎭，解得11ln 1x x a x ---=+，令2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2ln 221111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则(1)10ϕ=>，211(2)2()2011e e e e e e ϕ----⎛⎫=--< ⎪++⎝⎭． 故存在0(1,)x e ∈，使得0(0)x ϕ=．令000101ln 1x x a x ---=+，()1ln (1)u x x x x =--≥，由1()10u x x '=-≥知，函数()u x 在(1,)+∞上单调递增．∴0011100()(1)()20111111u x u u e e a x e x ----=<=<=<++++． 即0(0,1)a ∈，当0a a =时，有0()0f x '=，00()()0f x x ϕ==．由（Ⅰ）知，()f x '在(1,)+∞上单调递增，故当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，从而0()()0f x f x >=； 当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，从而0()()0f x f x >=． ∴当(1,)x ∈+∞时，()0f x ≥．综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解．【提示】（Ⅰ）求出函数()f x 的定义域，把函数()f x 求导得到()g x 再对()g x 求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数()g x 的单调期间； （Ⅱ）由()f x 的导函数等于0把a 用含有x 的代数式表示，然后构造函数2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2ln 221111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由函数零点存在定理得到0(1,)x e ∈，使得0(0)x ϕ=．令000101ln 1x x a x ---=+，()1ln (1)u x x x x =--≥，利用导数求得0(0,1)a ∈，然后进一步利用导数说明当0a a =时，若(1,)x ∈+∞，有()0f x ≥，即可得到存在(01)a ∈,，使得()0f x ≥在区间(1,)+∞内恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解．【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z |＝(A )1 (B )2 (C )3 (D )2(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(A )32-(B )32 (C )12- (D )12(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为(A )∀n ∈N ， 2n >2n (B )∃ n ∈N ， 2n ≤2n (C )∀n ∈N ， 2n ≤2n (D )∃ n ∈N ， 2n ＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312 (5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：=1 上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(233-，233) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 (7)设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD =，则(A ) 1433AD AB AC =-+ (B ) 1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 4133AD AB AC =-(8)函数f （x ）=cos （ωx+ϕ）的部分图像如图所示， 则f (x )的单调递减区间为A ．（k π﹣，k π+，），k ∈z B ．（2k π﹣，2k π+），k ∈z C ．（k ﹣，k+），k ∈zD ． （，2k+），k ∈z(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝(A )5 (B )6 (C )7 (D )8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何 体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20π，则r ＝(A )1 (B )2 (C )4 (D )812.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ,其中a 1,若存在 唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )A .[32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [32e，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ . (14)一个圆经过椭圆=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ______________________ .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ______________________ .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，2243n n n a a S +=+ (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设 11n n n b a a +=，求数列}的前n 项和.(18) (本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC ＝120°E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面AFC ;(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.(19) (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()i ii w w yy =--∑46.6 563 6.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =8118i i w w ==∑(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋x y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑A B C F E D(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点.(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- .(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数.请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若OA= CE ，求∠ACB 的大小．(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 .(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I ）理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

四川卷理数-2015年高考部分试题解析（参考版）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<集合{|13}B x x =<<，则AB =A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3} 【答案】A 【解析】试题分析：{|12},{|13},{|13}A x x B x x AB x x =-<<=<<∴=-<<，选A.2.设i 是虚数单位，则复数32i i-A.-iB.-3iC.i.D.3i 【答案】C 【解析】试题分析：3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是A.-12 D.12【答案】D 【解析】试题分析：4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是A.y cos(2)2.sin(2)2.sin 2cos 2.sin cos x B Y x C Y x x DY x xpp=+=+=+=+【答案】A 【解析】 试题分析：5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB = （A）3（B）（C ）6 （D）【答案】D 【解析】 试题分析：6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】 试题分析：7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】 【解析】 试题分析：8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b>>”是“log 3log 3a b <”的（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 试题分析：9.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为 （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B 【解析】 试题分析：10.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，【答案】D 【解析】 试题分析：第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】 试题分析：12.=+ 75sin 15sin .【解析】 试题分析：考点：13.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C）满足函数关系b kx e y +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

2015年高考四川卷理数试题解析（精编版）（解析版）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB =（ ）(){|13}A x x -<< (){|11}B x x -<< (){|12}C x x << (){|23}D x x <<【答案】A【考点定位】集合的基本运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答. 2.设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i 【答案】C【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是( )（A ）2-（B ）2（C ）-12 （D ）12【答案】D【考点定位】程序框图.【名师点睛】程序框图也是高考的热点，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出来.4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+【答案】A【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(B)（D ）【答案】D【考点定位】双曲线.【名师点睛】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为22220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB =，4AD =故可选,AB AD 作为基底.8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333ab>>”是“log 3log 3a b <”的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】命题与逻辑.【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考. 9.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.10.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x =上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解. 12.=+ 75sin 15sin .【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有sin cos )a b αααϕ+=+.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.13.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C）满足函数关系bkx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)满足3BM MC =，2DN NC =，∴根据图形可得：3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+，∴NM AM AN =-，∵2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，22239216AM AB AB AD AD =++，22233342AM AN AB AD AB AD =++，||6AB =，||4AD =，∴221312316AM NM AB AD =-=-【提示】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+，2233AN AD DC AD AB =+=+，2()AM NM AM AM AN AM AM AN =-=-，结合向量结合向量的数量积求解即可．k kM 在线段PQ 上，设(0,,2)M y ∴(1,EM =-，(2,1,0)AF =,55y EM AF y =；2445)y ++，设25)t =+，整理得：5EM AF得到从而可求出向量EM，AF的坐标，,【考点】异面直线及其所成的角112++=2n>．1000方法二：以D 为坐标原点，轴建立空间坐标系如图：则(2,2,0)GE =-，(1,0,2)MG =-的法向量为(x,y,z)n =0n GE n MG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，得(2,2,1)n =，AEGC ，则(1,1,0)n DO ==224,3||||92m n m n m n +==⨯M -的余弦值为2222sin 1cos sin A A-=cos AB AD A ，cos BC CD C ，22cos 2cos AB AD A BC CD BC CD C =+-，226532(AB AD BC CD)2(6534)7AD BC CD --+--=+⨯+÷7A =，连结AC 632(AB CD)2(6BC AD CD BC ADF +--+=+⨯。