《3.3.1利用导数判断函数的单调性》教学案1

3．3.1 利用导数判断函数的单调性[学习目标] 1.掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．[知识链接]以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？答：根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．[预习导引]1．函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)2.一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”.要点一 利用导数判断函数的单调性例1 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． 证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则cos x <0，sin x >0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． 规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )单调递增(或递减)；但要特别注意，f (x )单调递增(或递减)，则f ′(x )≥(或≤)0.跟踪演练1 证明：函数f (x )＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．证明 ∵f (x )＝ln x x ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln xx 2.又0<x <e ，∴ln x <lne ＝1.∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数． 要点二 利用导数求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4)f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36由f ′(x )>0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )<0解得－3<x <2故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 减区间是(－3,2) (2)f ′(x )＝cos x －1.因为0<x <π，所以cos x －1<0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π) (3)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x>0，解得－33<x <0或x >33.又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0， 解得x <－33或0<x <33.又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3x 2－3t令f ′(x )>0，得3x 2－3t >0，即x 2>t ， ∴当t ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，且f ′(x )在R 的任何子区间上都不恒为零，函数的增区间是(－∞，＋∞)； 当t >0时，令f ′(x )>0得，x >t 或x <－t ， 令f ′(x )<0得－t <x <t ，函数的增区间是(－∞，－t )和(t ，＋∞)； 减区间是(－t ，t )规律方法 求函数的单调区间的具体步骤是：(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4) 定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪演练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x; (2)f (x )＝x 3－x 2－x .解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x ，由f ′(x )＝2x －1x >0且x >0，得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0且x >0得0<x <22， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. (2) f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13＜x ＜1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．要点三 已知函数单调性求参数的取值范围例3 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立，即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵y ＝2x 3在[2，＋∞)上是单调递增的，∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16]．规律方法 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f (x )在区间I 上单调递增(或减)，转化为不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间I 上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．跟踪演练3 已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是减函数，则b 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3.1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 答案 A解析 ∵x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．3．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B．a ＝1 C ．(－∞，1] D ．(0,1) 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1， 又f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1<0在(0,1)内恒成立， ∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1.4．函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______． 答案 (2，＋∞) (－∞，2)解析 y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2；令y ′<0，得x <2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)；减区间为(－∞，2)．1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．。

利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标：1. 让学生理解导数的定义和几何意义。

2. 学会利用导数判断函数的单调性。

3. 能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容：1. 导数的定义和几何意义。

2. 利用导数判断函数的单调性。

3. 导数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义，导数与函数单调性的关系。

2. 难点：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

四、教学方法与手段：1. 教学方法：讲解法，案例分析法，讨论法。

2. 教学手段：黑板，PPT。

五、教学过程：1. 导入：回顾导数的定义和几何意义，引导学生思考导数与函数单调性的关系。

2. 新课讲解：讲解如何利用导数判断函数的单调性，通过示例让学生理解并掌握方法。

3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂练习环节，观察学生对利用导数判断函数单调性的掌握程度。

2. 课后作业的完成情况，评估学生对知识的巩固程度。

3. 学生参与讨论的积极性和对实际问题分析的能力。

七、教学反思：2. 根据学生的反馈调整教学方法，提高教学效果。

3. 针对学生的掌握情况，适当调整教学内容和难度。

八、教学拓展：1. 引导学生思考导数在其他数学领域的应用，如微分方程、优化问题等。

2. 介绍导数在物理学、经济学等学科中的应用，拓宽学生的视野。

九、教学资源：1. PPT课件：包含导数定义、几何意义、判断函数单调性的方法及实际案例。

2. 练习题：涵盖不同难度的题目，用于巩固所学知识。

3. 实际问题案例：涉及多个领域的实际问题，用于引导学生运用导数解决实际问题。

十、教学进度安排：1. 本节课共计45分钟，具体安排如下：导入：5分钟新课讲解：15分钟案例分析：15分钟课堂练习：10分钟作业布置：5分钟2. 课后作业：布置课后练习，要求学生在下次课堂上提交。

利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义；2. 掌握利用导数判断函数单调性的方法；3. 能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容1. 导数的定义与几何意义2. 导数的计算公式3. 利用导数判断函数单调性4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，利用导数判断函数单调性；2. 难点：导数的计算，利用导数解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义及计算公式；2. 利用例题讲解利用导数判断函数单调性的方法；3. 结合实际问题，运用导数进行求解；4. 引导学生进行小组讨论和探究，提高学生的动手能力和解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数单调性概念，引导学生思考如何判断函数的单调性。

2. 讲解导数的定义与几何意义：结合图形，解释导数的定义，说明导数的几何意义。

3. 讲解导数的计算公式：列出常见函数的导数公式，引导学生理解导数计算的方法。

4. 利用导数判断函数单调性：讲解如何利用导数判断函数的单调性，给出判断标准。

5. 例题讲解：选择具有代表性的例题，讲解利用导数判断函数单调性的步骤。

6. 小组讨论：让学生分组讨论实际问题，引导他们运用导数进行求解。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数在判断函数单调性及解决实际问题中的应用。

8. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

10. 课堂评价：根据学生的课堂表现、作业完成情况等方面进行评价，鼓励学生积极参与课堂活动。

六、教学拓展1. 引入拉格朗日中值定理和柯西中值定理，解释它们与导数的关系。

2. 探讨导数在求解函数极值、最大值和最小值问题中的应用。

3. 介绍导数在微分方程求解中的作用。

七、课堂互动1. 提问：请学生解释导数的概念及其在几何上的意义。

2. 示例：让学生上台演示如何计算给定函数的导数。

（选修1-1） 3.3.1 利用导数判断函数的单调性(第1课时)教学设计济南市一、【教学内容分析】本节内容隶属于导数在研究函数中的应用，是在学生学习了函数的单调性，导数的概念、计算、几何意义的基础上进行的。

一方面，函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。

对于函数单调性的研究在高中可分为两个阶段：第一个阶段是在数学《必修1》中，用定义研究函数单调性；第二阶段在《选修1-1》中，用导数研究函数单调性。

虽然学生已经能够使用定义判定在所给区间上函数的单调性,但在判断较为复杂的函数单调性时,使用定义法局限性较大。

而通过本节课的学习，能很好的解决这一难题，能够使学生充分体验到导数作为研究函数单调性的工具，其有效性和优越性。

另一方面，导数是求函数的单调性、极值以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用。

所以，学习本节课既加深了学生对前面所学知识之间的联系，也为后继学习做好了铺垫，教材的这种设计独具匠心，起到了承前启后的作用。

考虑到学生的接受能力，本节课分两课时完成，本课内容为第一课时，主要意图是引导学生借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

使学生体验数学知识的发生发展过程，使知识形成体系，更好的为后续学习服务。

（第二课时，主要研究三次函数的求单调区间问题、函数增减快慢与导数的关系以及有关单调性的含参恒成立问题。

）二、【学生学习情况分析】在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义、公式及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识。

用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣.三、【设计思想】本着“以教师为主导、学生为主体、问题解决为主线”的教学思想，运用“问题探究”式的教学方法.通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神.本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解.四、【教学目标】依据新课标纲要，学生已有的认知基础和本节的知识特点，制定了以下教学目标：(1) 知识与技能目标：借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识.（2）过程与方法目标：会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间.（3）情感、态度与价值观目标：通过实例探究函数单调性与导数关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.五、【教学重点难点】教学重点：利用导数判断函数的单调性.教学难点：1、判断导数在给定区间上的符号；2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力.六、【教学过程】（一）创设情境引入课题首先由极限跳水视频引入，高台跳水是教材一以贯之的例子，这样即引起学生注意，又体现新教材强调背景的特点。

《3.3.1利用导数判断函数的单调性》教学案教学目标(一)知识目标：1)正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2)掌握利用导数判断函数单调性的步骤.(二)能力目标：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力.(三)情感、态度与价值观目标：在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般.教学重点难点教学重点：利用导数判断函数单调性.教学难点：利用导数判断函数单调性..教学过程【引 例】1．确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：2243(2)1y x x x =-+=--，在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数. 问：1)、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？ 2)、研究函数的单调区间你有哪些方法？(1)观察图象的变化趋势；(函数的图象必须能画出的)(2)利用函数单调性的定义.(复习一下函数单调性的定义) 2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？(1)能画出函数的图象吗？(2)能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？(产生认知冲突)【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f (x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决.(研究的必要性)事实上用定义研究函数243=-+y x x 的单调区间也不容易.【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究.问：如何入手？(图象) 从函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象吗？}都是反映函数随自变量的变化情况.1、研究二次函数243=-+y x x 的图象；(1)学生自己画图研究探索.(2)提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？(3)(开口方向，对称轴)既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析.(4)提示：我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律？(5)学生继续探索，得出初步规律.几何画板演示，共同探究.得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系.(学生总结)：①该函数在区间(,2)-∞上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；在区间(2,)+∞上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象.(验证)(1)观察三次函数3y x =的图象；(几何画板演示)(2)观察某个函数的图象.(几何画板演示)指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系.这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性(幻灯放映课题).【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答.(幻灯放映)一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的增函数；如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的减函数.若在某个区间内恒有'()0f x =，则()f x 为常函数.这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的.严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到.这儿我们可以直接用这个结论.小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂. 结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性.下面举例说明：【例题讲解】例1：求证：31y x =+在(,0)-∞上是增函数.由学生叙述过程老师板书：因为 '3'2(1)2y x x =+=，(,0)x ∈-∞，所以 20x >，即'0y >，所以函数31y x =+在(,0)-∞上是增函数.注：我们知道31y x =+在R 上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明. 学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论.例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x ， 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数. 学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域；(2) 求函数f (x )的导数f ′(x ).(3) 令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间【课堂练习】1．确定下列函数的单调区间(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3 (1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4)令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1.∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数， )x (f y '=的图象如图所示， 则)x (f y =的图象最有可能是( )小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？【课堂小结】1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.2.本节课中，用导数去研究函数的单调性是中心，能灵活应用导数解题是目的，另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般，从简单到复杂.。

利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义；2. 学会利用导数判断函数的单调性；3. 能够运用单调性解决实际问题。

二、教学重难点1. 导数的定义和几何意义；2. 利用导数判断函数的单调性。

三、教学方法1. 讲解法：讲解导数的定义、几何意义和判断函数单调性的方法；2. 示例法：通过典型例题演示和分析，让学生掌握判断函数单调性的技巧；3. 练习法：让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学准备1. 导数的定义和几何意义的相关资料；2. 典型例题及解题思路；3. 练习题。

五、教学过程1. 导入：回顾导数的定义和几何意义，引导学生思考如何利用导数判断函数的单调性。

2. 新课讲解：讲解如何利用导数判断函数的单调性，并举例说明。

3. 示例分析：分析典型例题，引导学生掌握判断函数单调性的方法和技巧。

4. 练习巩固：让学生独立完成练习题，检验对导数判断函数单调性的掌握程度。

5. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点，强调重点和难点。

6. 布置作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学反思在课后对教学效果进行反思，看学生是否掌握了利用导数判断函数单调性的方法，及时调整教学策略，提高教学效果。

七、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。

八、教学评价通过课堂讲解、练习题和课后作业，评价学生对利用导数判断函数单调性的掌握程度。

九、教学拓展引导学生思考如何利用导数判断函数的极值和拐点，为后续课程做铺垫。

十、教学资源1. 导数的定义和几何意义的相关教材和资料；2. 典型例题及解题思路的PPT；3. 练习题及答案。

六、教学活动设计1. 课堂导入：通过回顾上一节课的内容，引导学生思考如何利用导数来判断函数的单调性。

2. 新课讲解：详细讲解利用导数判断函数单调性的方法和步骤，并通过示例进行说明。

3. 小组讨论：让学生分成小组，讨论如何解决一些复杂的函数单调性问题，并分享各自的解题思路。

3.3.1 利用导数判断函数的单调性教学目标：知识技能：(1)探索函数的单调性与导数的关系;(2)会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间;过程方法：(1)在“分析、实验、讨论、总结”的探究过程中,发展学生自主学习能力；(2)强化数形结合思想.情感态度：(1)培养学生的探究精神；(2)体验动手操作带来的成功感.教学重点难点：教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系.教学过程：（一）设问篇：有效设问，引入新课如何判断函数()1f x x x=+ (x ＞0)的单调性，你有几种方法？ （利用选号程序，挑选一名幸运的同学，可提升学生注意力 ）设计意图：利用问题吸引学生，达到激发学习兴趣的目的.若学生能说出单调区间，则追问端点“1”的由来；若学生不清楚单调性，则引导他们用定义法求解，但判断差值的正负会很麻烦.有便捷而通用的方法吗？从而引入新课.（二）例题讲解例1：已知x ＞1，证明：ln x ＋1x＞1. 证明：令f (x )＝ln x ＋1x(x ＞1)， ∴f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2， ∵x ＞1，∴f ′(x )＞0，∴f (x )＝ln x ＋1x在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (1)＝ln 1＋1＝1.从而ln x ＋1x＞1， 命题得证．例2：已知x ＞0，证明：1＋2x ＜e 2x .证明：设f (x )＝1＋2x －e 2x ，则f ′(x )＝2－2e 2x ＝2(1－e 2x )，当x ＞0时，2x ＞0，e 2x ＞e 0＝1，∴f ′(x )＝2(1－e 2x )＜0，∴函数f (x )＝1＋2x －e 2x 在(0，＋∞)上是减函数．∵函数f (x )＝1＋2x －e 2x 是连续函数，∴当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，∴当x ＞0时，1＋2x －e 2x ＜0，即1＋2x ＜e 2x .变式训练：已知f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0得e x ≥a ，当a ≤0时，有f ′(x )＞0在R 上恒成立；当a ＞0时，有x ≥ln a .综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调增区间为[ln a ，＋∞)．(2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立．∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0.因此实数a 的取值范围是(－∞，0].（三）归纳篇：归纳结论，揭示本质函数单调性与其导数正负的关系：在某个区间(),a b 内，如果'()f x >0,那么函数()y f x = 在区间(),a b 内单调递增；如果'()f x <0,那么函数()y f x = 在区间(),a b 内单调递减. 强调：某个区间是定义域的子区间.（四）课堂小结，内化知识引领学生按这一模式进行小结，提高学生概括归纳总结的能力，升华对知识的理解.（五）作业布置必做题：课本习题第1，2题（六）板书设计函数的单调性与导数结论：例1 引例解：解：变式：解：注意：。

《3.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案教学目标：知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法；情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用.教学过程：一、自学导航1．情境：(1) 必修一中，如何定义函数单调性的？ （2）如何用定义判断一些函数的单调性？一般地，设函数 f(x) 的定义域为I ：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f (x) 在这个区间上是减函数． 问题：能否用定义法讨论函数()x f x e x =-的单调性？ 学生活动讨论函数342+-=x x y 的单调性.解：取x1＜x2，x1、x2∈R ， 取值 f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差 ＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号 ∴y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减． 判断 当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，∴y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增.2. 研究函数342+-=x x y 的导函数值的符号与单调性之间的关系. 二、探究新知1.导数符号与函数单调性之间的关系我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即y '>0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即y '<0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数.如果在这个区间内y '>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数； 如果在这个区间内y '<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数. 说明：（1）如果某个区间内恒有y '=0，则f(x)等于常数；（2）y '>0（或y '<0）是函数在(a ，b ）上单调增（或减）的充分不必要条件. 2.利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x)＜0，得函数的单调递减区间．三、例题精讲：例1 求函数()23252x f x x x =--+的单调区间.解：()f x '=3x2－x －2=0，得x=1，23-.在（－∞，－32）和［1，+∞)上()f x '>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数. 所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］.变式题1：求函数2()2ln f x x x =-的单调区间．答案：增区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭变式题2：设函数()(0)kxf x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间；解：由()()'10kx fx kx e =+=，得()10x k k=-≠，若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减. 点评：（1）注意定义域和参数对单调区间的影响； （2）同一函数的两个单调区间不能并起来；（3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法， 但它是一种一般性的方法.例2 若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 .答案：1[,)3+∞变式题1:若函数123+++=mx x x y 有三个单调区间，则实数m 的取值范围是 .答案：1(,)3-∞变式题2:若函数123+++=mx x x y 在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 则实数m 的值是 . 答案：-5变式题3：若函数123+++=mx x x y 在1(0,)2上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则整数m 的值是 . 答案：-1.m 变式题4：若函数123+++=mx x x y 的单调递减区间是4[2,]3-，则则实数m 的值-2 2xyO 1-1 -1 1是 . 答案：-8例 3 设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为 答案：④变式题1：如果函数()y f x =的导函数的图象如下图所示，给出下列判断： ①函数()y f x =在区间1(3,)2--内单调递增； ②函数()y f x =在区间1(,3)2-内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④函数()y f x =的单调递增区间是[2,2][4,)-+∞U则上述判断中正确的是____________．答案：③变式题2：已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是答案：③xyO 图xy O①xy O② xy O③ yO④xO-2 2 xy1 -1-2 12 Oxy-2-2 21-112O-2 4xy1-1 -212 O-22xy-124 ① ② ③ ④备选例题：已知函数()ln 3(R)f x a x ax a =--∈．(1)求函数()f x 的单调区间； (2)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒，对于任意的]2,1[∈t ，函数32()['()]2mg x x x f x =++在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；(3)求证：ln 2ln3ln 4ln 1(2,N )234n n n n n*⨯⨯⨯⨯<≥∈L ． 解：(1)(1)'()(0)a x f x x x-=> 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞； 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1； 当0=a 时，)(x f 不是单调函数(2)12)2('=-=af 得2-=a ，()2ln 23f x x x =-+- ∴x x m x xg 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立， 所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴3793m -<<- (3)令1-=a 此时3ln )(-+-=x x x f ，所以2)1(-=f ，由(Ⅰ)知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立，∵2,N*n n ≥∈，则有1ln 0-<<n n ，∴nn n n 1ln 0-<< ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n*-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈L L四、课堂精练1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 .答案：(0,)34 2. 已知函数()y f x =在定义域[4,6]-内可导，其图象如图，记()y f x =的导函数为'()y f x =，则不等式'()0f x ≥的解集为 .411[4,][1,]33--U3. 若函数()321f x x ax =-+在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 .答案：a≥3 讨论函数1()cos 2f x x x =-的单调性. 答案：函数在7[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈上单调递增；在711[2,2]()66k k k Z ππππ++∈上单调递增 五、回顾小结判断函数单调性的方法；2.导数符号与函数单调性之间的关系；3.利用导数确定函数的单调性的步骤. 分层训练1.函数y=8x2-lnx 的单调递增区间是 . 答案：1[,)4+∞2．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是 ． 答案：a=c=0,3b ≤3.已知函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在（－∞，+∞）上是增函数，则m 的取值范围是 . 答案：2＜m ＜44.若函数2()2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数,则实数k 的取值范围是 .答案：33(,)22-5. 已知函数()ln f x x =,()ag x x=,设()()()F x f x g x =+．求函数()F x 的单调区间； 解：()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+>，()()221'0a x aF x x x x x-=-=> （1）若0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增.由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减.∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.（2）若0a ≤，则()'0F x >在()0,+∞上恒成立，∴()F x 在()0,+∞上单调递增. 6.已知函数32()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈．若函数()f x 在区间（-1,1）上不单调，求a 的取值范围．答案：（-5，-1） 六、拓展延伸1.已知函数32()f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在（0，2）上是减函数，且方程f (x)=0有三个根，它们分别是,2,αβ.(1)求c 的值； （2）求证：(1)2f ≥； （3）求||αβ-的取值范围. （1）解：2()32f x x bx c '=++Q ，由条件知(0)0f '=，0c ∴=. （2）证明：由2()320f x x bx '=+=得1220,3bx x ==-，∵ f (x)在（0，2）上是减函数，2223bx ∴=-≥即3b ≤-，又(2)840f b d =++=(1)1372f b d b ∴=++=--≥. （3）解：322()(84)(2)[(2)24]f x x bx b x x b x b =+-+=-++++Q由 f (x)=0有三个根分别是,2,αβ，,αβ∴是方程2(2)240x b x b ++++=的两根 2||(2)16b αβ∴-=-+，由（2）可知3b ≤-||3αβ∴-≥. 2.已知a R ∈,函数3211()2()32f x x ax ax x R =-++∈.（1）当a=1时，求函数f (x)的单调递增区间；（2）函数f (x)是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由； （3）若函数f (x)在[1,1]-上单调递增，求a 的取值范围.解: (1) 当a=11a =时,3211()232f x x x x =-++,2()2f x x x ∴'=-++. 令()0,f x ∴'>即2()2f x x x ∴'=-++,即220x x -++>， 解得12x -<<. 所以函数f (x)的单调递增区间是(1,2)-.(2) 若函数f(x)在R 上单调递减,则()0f x ∴'≤对x R ∈都成立,所以220x ax a -++≤对x R ∈都成立, 即220x ax a --≥对x R ∈都成立. 280a a ∴∆=+≤, 解得80a -≤≤.∴当80a -≤≤时, 函数f (x)在R 上单调递减.(3) 解法一：∵函数f(x)在[-1,1]上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立. 令2()2g x x ax a =--，则(1)120(1)120g a a g a a =--≤⎧⎨-=+-≤⎩， 解得1a ≥.解法二：Q 函数f (x)在[1,1]-上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立. 即22x a x ≥+对[1,1]x ∈-都成立.令2()2x g x x =+, 则2(4)()(2)x x g x x +'=+. 当10x -≤<时，()0g x '<；当01x <≤01x <≤时，()0g x '>. ()g x ∴在[1,0]-上单调递减,在[0,1]上单调递增.1(1)1,(1)3g g -==Q ，()g x ∴在[1,1]-上的最大值是1. 1a ∴≥.七、课后作业八、教学后记：。

3.3.1利用导数研究函数的单调性重庆市茄子溪中学 封雪教学目标：1. 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。

重难点：重点：利用导数工具研究函数的单调性，培养学生研究函数性质的方法。

难点：探索导数的特征与研究函数性质之间的关系。

复习与回顾1、增减函数的定义：一般地，设D 为函数()f x 定义域内的某个区间：若对任意的12x x D ∈、，且12x x <,都有__________,则称函数()f x 是区间D 上的增函数； 若对任意的12x x D ∈、，且12x x <,都有_________,则称函数()f x 是区间D 上的减函数；2、函数）（x f y =的导数的几何意义是什么？ 模块一、自主学习、合作解疑师：判断函数单调性的方法有哪些？ 生：定义法和图像法。

师：请同学叙述定义法，以及图像法的特点。

活动一：请同学们判断函数2x y =的单调性。

xyo2y x = 函数在上为____函数，在上为____函数。

师：同学们都能根据二次函数的图像判断出它们的单调性。

图像法让我们可以更直观的判断函数的单调性。

对于函数x x y 33-=你能判断它的单调性吗？生：我们还没有学过三次函数的图像怎么画，所以图像法是不行了；我们可以用定义法进行判断，可是三次函数运算是非常麻烦的。

师：非常好，同学们都能积极思考，这就是我们今天这节课要学习的内容。

下面我们先来画出函数342+-=x x y 的图像并判断其单调性。

2师：观察函数对称轴右侧图像，过右侧图像中的任一点作一条切线，观察他们的斜率？生：这些切线的斜率都大于零。

师：每一个函数在某一点的切线斜率值是否等于该函数在该点处的导数值？生：是。

根据导数的几何意义可得。

师：你有何发现呢？生：在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.函数y=x2－4x＋3的图象：师：再观察函数对称轴左侧的你有什么发现？生：该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;师：导数的正负与函数的单调性有关系吗？生：若函数的导数值大于零，则函数为单调递增；若函数的导数值小于零，则函数为单调递减。