下载文档原格式
第二十一章作图与设计考情分析高频考点考查频率所占分值1.作一条线段等于已知线段★★5～８分2.作一个角等于已知角★3.作角的平分钱★4.作线段的垂直平分线★★★5.作已知直线的垂线★6.根据已知条件作三角形★★7.作三角形的外接圆★★智能图谱尺规作图的概念用无刻度的直尺和圆规作图尺规作图的步骤写已知，求作，作法，结论作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角基本作图作角的平分线尺规作图经过一点作已知直线的垂线作线段的垂直平分线利用基本作图作三角形作图举列探索如何过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆作正多边形知识能力解读知能解读（一）尺规作图的概念在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。
最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。
知能解读（二）基本作图1作一条线段与已知线段相等已知：线段a（如图所示）。
求作：一条线段长度等于a。
作法：①任何一条射线OA；②在射线OA上截取OB a（以O为圆心，以a的长为半径画弧，交OA于点B），则OB即为所求作的线段。
2作一个角等于已知角已知：AOB（如图所示）。
求作：A O B，使.A OB AOB作法：（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点,;C D（2）作射线O A，以点O为圆心，以OC长为半径面弧，交O A于点C；3作已知角的平分线已知：AOB （如图所示）。
求作：射线OC ，使.AOC BOC 作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点D ，交OB 于点E ；（2）分别以点,D E 为圆心，大于12DE 长为半径画弧，两弧在AOB 内相交于点;C （3）画射线,OC 则OC 就是所求作的射线。
4作已知线段的垂直平分线已知：线段AB （如图所示）。
求作：直线CD ,使CD 垂直平分线段AB 。
作法：（1）分别以点,A B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,C D ；（2）过点,C D 作直线CD ，则直线CD 就是线段AB 的垂直平分线。
数学九年级21章知识点本文将对数学九年级21章的知识点进行详细介绍和解析。
9年级的数学学科是学生接触到的最后一年的数学学科，也是基础知识的巩固和应用的阶段。
因此，在理解和掌握这些知识点上，同学们要加强自己的学习方法和技巧，以便能够顺利完成数学学科的学习。
下面我们就来具体了解一下数学九年级21章的知识点。
第一节：三角函数的概念和性质三角函数是数学中非常重要的概念，它是研究三角形的长度、角度和函数关系的数学工具。
三角函数主要有正弦函数、余弦函数和正切函数三种。
在这一节中，我们将学习三角函数的定义、性质以及它们之间的关系，包括互为倒数关系等。
第二节：三角函数的应用三角函数在实际生活中有着广泛的应用，比如地理测量、物体运动的分析等。
在这一节中，我们将学习如何运用三角函数解决实际问题，例如利用正弦定理和余弦定理计算未知角度或边长，以及利用三角函数的周期性进行图像的转换和变换等。
第三节：勾股定理与三角恒等变换勾股定理是三角函数中一个重要的概念，它指的是直角三角形中边长的关系。
在这一节中，我们将学习勾股定理的概念和证明方法，以及利用勾股定理解决相关问题的技巧。
同时，还将学习三角恒等变换的内容，包括和角的性质、和差化积等相关的内容。
第四节：三角函数的图像与性质三角函数的图像对于理解和应用三角函数非常重要。
在这一节中，我们将学习正弦函数、余弦函数和正切函数的图像，以及它们的性质，包括奇偶性、周期性、增减性等。
同时，还将学习如何根据函数的图像确定函数的部分性质和特征。
第五节：平面平行四边形和立体几何平行四边形是几何学中一个重要的概念，它的性质和应用都非常广泛。
在这一节中，我们将学习平行四边形的性质和判定方法，以及平行四边形的面积和周长的计算方法。
同时，还会学习立体几何中的相关知识，例如立体的表面积和体积的计算方法等。
第六节：向量的概念和运算向量是数学中一个重要的概念，它可以用来表示大小和方向的物理量。
在这一节中，我们将学习向量的定义和表示方法，以及向量的加法、减法、数量积和向量积等运算法则。
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）21.2解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.移项：将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．。
九年级数学21章知识点总近年来，随着社会的不断进步和科技的飞速发展，数学作为一门重要学科，对人们的生活起到了举足轻重的作用。
无论是在日常生活中，还是在各个行业和领域中，数学都发挥着不可忽视的作用。
在九年级数学课程中，第21章涉及了一些重要的知识点，下面来一起总结一下。
一、直线与平面在九年级数学课程的第21章中，直线与平面是最基础的概念之一。
直线是没有弯曲的线段，仅由两个端点确定，而平面是无限延伸的二维空间。
直线与平面的相交关系涉及到两者的交点、夹角等概念。
二、线段与角线段是直线上的一段部分，由两个端点确定。
在九年级数学中，线段的长度可以用统一的单位进行量化，等于两点之间的距离。
而角是由两条射线共享一个端点而形成的，通过角度的度量，我们可以对角的大小进行比较和计算。
三、平行线与垂直线平行线是指在同一个平面中，永不相交的直线。
而垂直线是指两条直线相交，且相交的角度是90度。
这些概念在几何图形的研究和计算中起到了非常重要的作用。
四、相似与全等相似和全等是进行几何图形比较和研究时常用的概念。
相似是指两个图形的形状相同，但大小可能不同。
全等则是指两个图形不仅形状相同，且大小也完全相同。
通过相似和全等的概念，我们可以更加深入地研究各种几何图形之间的关系。
五、三角形的性质在第21章中，九年级数学课程还介绍了三角形的性质。
例如，三角形的内角和总是等于180度；在等边三角形中，三个角都是60度；在等腰三角形中，底边的两个角相等，等等。
这些性质对于我们理解和计算三角形相关问题非常重要。
六、平行四边形的性质平行四边形是指具有两组相互平行的对边的四边形。
在九年级数学中，我们学习了平行四边形的性质，如对角线互相重合、对边相等等。
通过研究平行四边形的性质，我们可以更好地理解和解决相关的问题。
七、圆的性质和计算圆是由平面上距离给定点（中心）相等的点的集合。
在九年级数学中，我们学习了圆的性质，如直径、弦、弧等的概念。
同时，我们还学习了如何在计算中应用圆的相关知识，如计算圆的周长和面积等。
尺规作图的概念用无刻度的直尺和圆规作图
尺规作图的步骤写已知，求作，作法，结论
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
基本作图作角的平分线
尺规作图
经过一点作已知直线的垂线
作线段的垂直平分线
利用基本作图作三角形
作图举列探索如何过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆
作正多边形
知识能力解读
知能解读（一）尺规作图的概念
在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。
最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。
知能解读（二）基本作图
1 作一条线段与已知线段相等
已知：线段a（如图所示）。
求作：一条线段长度等于a。
作法：①任何一条射线OA；②在射线OA上截取OB a
=（以O为圆心，以a的长为半径画弧，交OA于点B），则OB即为所求作的线段。
2 作一个角等于已知角
已知：AOB
∠（如图所示）。
求作：A O B
'''
∠，使.
A O
B AOB
'''
∠=∠
作法：（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点,;
C D
（2）作射线O A''，以点O'为圆心，以OC长为半径面弧，交O A''于点C'；
3 作已知角的平分线
O
B
A
a
已知：AOB ∠（如图所示）。
求作：射线OC ，使.AOC BOC ∠=∠ 作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点D ，交OB 于点E ； （2）分别以点,D E 为圆心，大于
1
2
DE 长为半径画弧，两弧在AOB ∠内相交于点;C （3）画射线,OC 则OC 就是所求作的射线。
4 作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB （如图所示）。
求作：直线CD ,使CD 垂直平分线段AB 。
作法：（1）分别以点,A B 为圆心，大于
1
2
AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,C D ； （2）过点,C D 作直线CD ，则直线CD 就是线段AB 的垂直平分线。
5 过已知点作已知直线的垂线
（1）经过直线上一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB 的垂线，使它经过点C 。
作法：①以点C 的圆心，以任意长为半径画弧，交直线AB 于点,D E ； ②分别以点,D E 为圆心，以大于
1
2
DE 的长为半径画弧，两弧交于点F ； ③作直线CF ，则直线CF 就是所求的垂线。
（2）经过已知直线外一点作已知直线的垂线。
已知：直线AB 和AB 外一点C （如图所示）。
求作：AB 的垂线，使它经过点C 。
作法：①任取一点,K 使点K 和点C 在AB 的两侧； ②以点C 为圆心，CK 的长为半径画弧，交AB 于点,D E ； ③分别以,D E 为圆心，以大于
1
2
DE 的长为半径画弧，两弧交于点F ； ④作直线CF ，则直线CF 就是所求的垂线。
知能解读（三）尺规作图的基本步骤
（1）已知：写出已知的线段和角，画出图形。
（2）求作：求作什么图形，它符合什么条件——具体化。
（3）作法：应用“五种基本作图”（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，平分已知角，经过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线），叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹。
（4）结论：对所作图形下结论。
知能解读（四）运用基本作图作三角形 在作三角形时，一般先画出草图，分析作图步骤以及相应的字母表示，选择正确的作图程序，再按分析后编写的字母写出已知，、求作，按步骤一边画图一边写好作法。
作法中不需要重述基本作图的过程。
D
C
B
A
例如：已知线段,a a ∠和β∠，如图所示，求作,ABC ∆使,,.BC a B a C β=∠=∠∠=∠
作法：如图所示。
①作线段;BC a =
②在BC 的同侧作,,MBC a NCB BM β∠=∠∠=∠与CN 交于点,A 则ABC ∆就是所求作的三角形。
知能解读（五）过不在同一直线上的三点作圆 作圆，使它经过不同一直线上的三点,,,A B C 欲作圆使之过，,,A B C 三点，不妨设圆心为O ，则必有,OA OB OC O ==∴点既在AB 中的垂线上，也在AC 的中垂线上，而AB 与AC 不共线，∴AB ，AC 的中垂线不平行，必相交于一点，由此可知O 即为交点，且O 点唯一，当,,A B C 三点位置一定时，可知半径也唯一，故所作圆唯一，如图所示。
方法技巧归纳
方法技巧（一）基本作图的运用方法
基本作图是指作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线、过已知点作已知直线的垂线，运用上述五种基本作图，可以解决一些作图问题。
注意
尺规作图一定要准确地写出已知、求作、作法和最后的结果，图形上要保留作图痕迹，这是很重要的，也是作图过程的直观表现。
方法技巧（二）利用基本作图作三角形的方法
利用基本作图作三角形，常见的有已知三边三角形、已知两边及其夹角作三角形、已知两角及其夹边作三角形以及已知两边和其中一边上的高作三角形等。
点拨
本题应用了作一条线段等于已知线段和作已知直线的垂线两种基本作图，本题关键是先作出一边上的高。
方法技巧（三）尺规作图在实际生活中的应用
现实中的很多设计问题都可以将其转化为尺规作图，利用尺规作图可以有效地解决生活、生产中的实际问题，现举例如下。
点拨
（1）三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，确定外心时，只需作出任意两边的垂直平分线即可。
（2）圆中90°的圆周角所对的弦是直径，此结论是证直径的重要方法。
易混易错辨析
易混易错知识
在实际问题中，由于对题目理解不透，考虑不全导致错误。
易混易错对题目要求和题意理解不透，导致漏掉解的情况而出错
中考试题研究
(2)
(1)
a
中考命题规律
本讲知识在中考中所占比例较小，一般不单独考查，常和其他知识一直综合考查。
主要是利用基本作图解决有关的实际问题，属基础题、低档题。
中考试题（一）对基本作图的理解
中考试题（二）动手操作与推理。
