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数值计算方法(第4章)2

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第四章-传热学数值计算方法

第四章-传热学数值计算方法

xe xe
fekP
1
fe kE
显然，这相当于线性插值。当界面e位于两个节点之 间的中点时，fe=0.5, 此时
ke
1 2
kP
kE
2020-5-3
太原理工大学
11 /72
②.调和平均法
Thermal
利用传热学基本公式可以导出界面上当量导热系数的调和平 均公式。据界面上热流密度连续的原则，写出下式：
12 /72
③.两种方法的比较
Thermal
算术平均法简单方便，但在处理导热性能相差很大的组合材料 导热时存在明显缺陷。下面讨论两种极限情况：
➢ kE0, 即设想交界面e 是k 相差很大的两种材料的分界面， 节点E的控制容积是绝热材料，这时节点E、P之间的导热量应
该小到接近于零，即两点间的热阻应接近于∞。但用算术平均
2020-5-3
太原理工大学
3 /72
Thermal
④. 把热传导用作流体流动计算方案的基本组成部分 的做法有助于理解动量传递与热量传递之间的类 似性（用某种方法把速度与温度相比拟）。
本章内容将是流动与换热数值解的基础
2020-5-3
太原理工大学
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§4.2 一维稳态热传导
Thermal
§4.2-1 基本方程
一维稳态导热问题的控制方程：
其中：S SC SPTP
d dx
k
dT dx
S
0
相应的离散化方程： aPTP aETE aWTW b
式中：
aE
ke
xe
aW
kw
xw
aP aE aW SPx b SCx
2020-5-3
太原理工大学

(完整版)数值计算方法教案

(完整版)数值计算方法教案

《计算方法》教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课教师：***编写时间：2011年 8月新疆医科大学工程学院张利萍教案目录《计算方法》教学大纲 (4)一、课程的性质与任务 (4)二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4)三、课程改革与特色 (5)四、推荐教材及参考书 (5)《计算方法》教学日历..................................... 错误!未定义书签。

第一章绪论 .. (6)第1讲绪论有效数字 (6)第2讲误差………………………………………………………………………………第二章线性方程组的直接法 (14)第3讲直接法、高斯消去法 (14)第4讲高斯列主元消去法 (22)第5讲平方根法、追赶法 (29)第三章插值法与最小二乘法 (31)第6讲机械求积、插值型求积公式 (32)第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37)第8讲高斯公式、数值微分 (42)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分 (48)第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法 (59)第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60)第17讲牛顿法、弦截法 (64)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法 (67)第21讲迭代公式的建立 (68)第22讲第23讲第24讲向量范数、迭代收敛性 (71)第25讲《计算方法》教学大纲课程名称：计算方法/Computer Numerical Analysis B学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab语言）适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部）、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。

第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)

第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)

第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。

当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。

在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。

本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。

§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。

该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。

由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。

§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。

多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。

当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。

数值计算方法及其应用

数值计算方法及其应用

数值计算方法及其应用第一章引言数值计算方法是一种基于数学分析和计算机技术的计算方法，是概括了现代计算各个领域的一类方法。

随着计算机技术的不断进步，数值计算方法已经成为了计算机科学中的一个重要领域，涉及到计算机科学、数学、物理、工程等领域。

本文将从数值计算方法的基本概念、数值计算方法算法的分类、数值计算方法的优缺点以及数值计算方法的应用等方面加以探讨。

第二章数值计算方法的基本概念数值计算方法是使用数学方法和数值技术处理各种数学问题的一种方法。

它是一种解决数学问题的有效工具，不同于传统的数学方法，数值计算方法采用的是数值计算机计算技术，使得计算机可以精确计算、预测和模拟各种数学问题，如数值微积分、连续函数数值解、离散方程数值解等。

数值计算方法的核心概念就是数值算法，数值算法是指实现数值计算方法的算法，包括基于数学分析的算法和基于经验数据的算法。

第三章数值计算方法算法的分类数值计算方法算法可以分为以下几类：1.数值微积分算法2.解线性方程组的数值方法3.常微分方程的数值解法4.偏微分方程的数值解法5.数值优化方法6.数值统计算法7.数学模型的数值计算方法第四章数值计算方法的优缺点数值计算方法的优点：1.数值计算方法可以解决非常复杂和高度非线性的数学问题2.数值计算方法无所不能，可做大量的计算3.数值计算方法具有较高的可重复性和可验证性4.数值计算方法可以通过计算机进行高速计算，节省了人力成本和时间成本数值计算方法的缺点：1.数值计算方法的实现程序错误会导致计算结果失真2.数值计算方法对于计算精度的要求很高3.数值计算方法对于计算机硬件和软件的要求也很高第五章数值计算方法的应用数值计算方法已经被广泛应用于各个领域，如：1.科学研究：能够用计算机进行大规模复杂计算，计算机模拟得出科学研究结论，如气象学模拟，生命科学中的反应动力学分析等。

2.工程设计：例如结构力学分析、电路设计、流体力学分析和控制系统等。

3.数据科学：如数据挖掘、计算机视觉、自然语言处理、人脸识别等。

Ch04：数值计算方法之函数增量的计算方法

Ch04：数值计算方法之函数增量的计算方法

6． sin(u)/u的数学解释
对于适当的u，注意到sin(u)/u可看成是sin(x)在x=0处的 u增量比
sin( u ) sin( 0 u ) sin( 0) u u
所以我们采用统一的记号把它记为 sin( u ) DQSINTV (u ) u 利用泰勒展式求数值解的源代码见教材第90页程序4.03。 对任何一个连续可微的实函数f(x)，如果我们得到了 它在x=x0处的泰勒展式，那么我们不难直接利用泰 勒展式求f(x)在x=x0 处的Δx增量比。
1. 问题的提出
当|u|充分小时，对于计算ln (1+u)的数字结果这个数学 问题来说，由于数学问题的条件数会变得充分大，所 以u的较小的相对误差会导致ln(1+u)的较大的相对误 差。 利用流行的程序设计语言提供的库函数来计算，不难 验证，这个问题依然普遍存在。利用第3章程序3.14来 计算，令a=1+u，那么程序中计算x=(a-1)/(a+1)也是非 常不利的运算。 所以，如果有效地解决了当|u|充分小时ln (1+u)的精确 计算问题，那么第3章的遗留问题和我们这一节所要解 决的问题都得到解决。
4.4 对数函数增量的计算方法
记LOG(x)为数学中的以e为底的对数函数ln x，利用我 们习惯的记号，LOG(x)在x0处的Δx增量和相应的增量 比可以记为 DLOG(x0,Δx) =LOG(x0+Δx)-LOG(x0) DQLOG(x0,Δx)=[LOG (x0+Δx)- LOG(x0)]/Δx 虽然利用对数函数的性质可以得到 DLOG(x0,Δx)=LOG (1+Δx/ x0) DQLOG(x0,Δx)=LOG (1+Δx/ x0)/Δx 在许多情况下也能得到非常理想的结果，但还是存在 一些问题。

【推荐】数值计算方法：第4章-多项式插值方法.ppt

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两点
多项式插值就是直线
， 经过这两点的
称给定
为线性插值多项式。称
为关于点
的线性插值基函数，其在节点处满足：
6
4.2.1 线性插值与二次插值 假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式
几何上
是通过三点
可以用基函数的方法求的表源自式，是二次函数，的抛物线.
7
4.2.2 拉格朗日插值多项式
求n+1个次数 满足
且次数不超过n 的多项式，其所给出形式的系数为
称
为牛顿（Newton）均差插值多项式.
系数 就是均差表4-1中主对角线上的各阶均差， 它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.
25
4.3.2 Newton均差插值多项式 （*）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与
拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点（给3.出7）的
式求 x 的近似值。
解 (1) 选取节点x=2,3,4
xf 一 二 三
kk
(x k)
阶 均
阶 均
阶 均
31
32
4.4 分段低次插值
4.4.1 Runge现象 在次数 增加时逼近 的精度是否也增加?
问题：根据区间 上给出的节点做出的插值多项式
事实上，对于有些函数，插值多项式次数很高时会在某些区 间内产生较大的误差。例如著名的Runge现象。
分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.
35
4.4.2 分段低次插值
例如分段线性插值。 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来

数值计算方法 第4章复习

第4章 数值积分与微分一、考核知识点：梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余项，复合梯形公式及其余项，复合辛卜生公式，高斯求积公式，代数精度，。

二、考核要求：1．了解代数精度概念，掌握插值型求积公式代数精度的判别方法。

2．熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项；熟练掌握辛卜生，熟练掌握运用它们计算定积分的近似值。

三、重、难点分析例1 在区间]1,1[-上，求以1,0,1321==-=x x x 为节点的插值求积公式。

解：由系数计算公式得 ⎰⎰⎰---=++==-+-+==----=11211111031)11()1(,34)10)(10()1)(1(,31)11()1(dx x x A dx x x A dx x x A 所以求积公式为)1(31)0(34)1(31)(11f f f dx x f ++-≈⎰- 例2求积公式)2(31)1(34)0(31)(20f f f dx x f ++≈⎰的代数精确度为（ ）。

解 由于此公式为3个节点的插值求积公式，代数精度至少为2。

令3)(x x f =，代入插值求积公式得左边=441204203==⎰x dx x ，右边4231134)0(31333=++=， 所以 左边=右边 再令4)(x x f =，代入插值求积公式得左边=532204=⎰dx x ，右边=320231134031444=++ 所以 左边≠右边 所以此公式具有3次代数精度。

例3 用梯形公式和4=n 的复合梯形公式求积分⎰+101x dx ，并估计误差。

解 （1） 梯形公式因为 1,0==b a ，11)(+=x x f ，代入梯形公式得 则75.0]111101[21)]1()0([211110=+++=+≈+⎰f f dx x （2） 复合梯形公式 因为 414=-=a b h 和复合梯形公式得 )]1())43()21()41((2)0([811110f f f f f dx x ++++≈+⎰ 697.0]21)746454(21[81≈+++⨯+= 因为 11)(+=x x f ， 3)1(2)(x x f +='' ， 2)(max 102=''=≤≤x f M x 所以 96116122)3(12)()(23=⨯≤''-=f n a b f R 注意：在用复合梯形公式计算 积分时注意系数的排列。

数值计算方法第4章4-06反插值


(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
x 3 ，代入
p(3) (3 0)(3 4) 0 (3 1)(3 4) 2 (3 1)(3 0) 10 8
(1 0)(1 4)
(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
（2）由于 f (x) 是单调连续函数，用反插值，将函数表转换成反
函数表
y f (x)
-1
0
2
10
1
x f 1(y) - 3
-1
0
4
?
已知连续函数 f ( x) 在x 1,0,2,3 的值分别是-4，-1，0，3，用牛
顿插值求（1） f (1.5) 的近似值。（2） f ( x) 0.5 时，x 的近似值。
解 （1）根据已知条件列表
x
-3 -1
0
4
3
f (x) - 1
0
2
10
？
取靠近 3 的三个节点- 1，0，4，作拉格朗日二次插值
p(x) (x 0)( x 4) 0 (x 1)( x 4) 2 (x 1)( x 0) 10 将
(1 0)(1 4)
y f (x) 则 x f 1 ( y) ，有函数表。
y
-4
-1
0
3
0.5
x
-1
0
2
3
?
根据已知 x f 1 ( y) 的函数值，构造差商表。
y
x
-4
-1
-1
0
0
2
3
3
牛顿插值多项式
一阶
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《计算方法》教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课教师：***编写时间：2011年 8月新疆医科大学工程学院张利萍教案目录《计算方法》教学大纲 (4)一、课程的性质与任务 (4)二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4)三、课程改革与特色 (5)四、推荐教材及参考书 (5)《计算方法》教学日历..................................... 错误!未定义书签。

第一章绪论 .. (6)第1讲绪论有效数字 (6)第2讲误差………………………………………………………………………………第二章线性方程组的直接法 (14)第3讲直接法、高斯消去法 (14)第4讲高斯列主元消去法 (22)第5讲平方根法、追赶法 (29)第三章插值法与最小二乘法 (31)第6讲机械求积、插值型求积公式 (32)第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37)第8讲高斯公式、数值微分 (42)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分 (48)第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法 (59)第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60)第17讲牛顿法、弦截法 (64)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法 (67)第21讲迭代公式的建立 (68)第22讲第23讲第24讲向量范数、迭代收敛性 (71)第25讲《计算方法》教学大纲课程名称：计算方法/Computer Numerical Analysis B学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab语言）适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部）、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。

数值计算方法第2版 第4章 插值法


x y
x0 y0
x1 y1
y1 y0 ( x x0 ) x1 x0 x x0 x x1 y0 y1 l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 x0 x1 x1 x0
2 表达式 拉格朗日插值多项式
P ( x)
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
第4章 插值法
4.1 引言 4.2 拉格朗日插值 4.3 逐次线性插值 4.4 牛顿插值 4.5 等距节点插值 4.6 反插值 4.7 埃尔米特插值 4.8 分段插值法 4.9 三次样条插值
4.1 引言
4.1.1 插值问题及代数多项式插值
1 插值 已知某些(有限)点的函数值求其余点的函数值。 定义 函数y=f(x)在区间[a,b]上有函数值 yi f ( xi ),i 0,1,, n
满足插值条件 P ( xi ) yi , (i 0,1, 2)
l0 A( x x1 ) ( x x2 ) l0 ( x0 ) A( x0 x1 ) ( x0 x2 ) 1
的n次抛物线 y=P (x),近似代替曲线 y=2.1 线性插值(二点一次插值） 1 定义 已知f(x0)=y0，f(x1)=y1 , x0≠x1 要构造线性函数 P(x)=a0 + a1 x , 使满足插值条件 P(x0)=y0 , P(x1)=y1 .
y y0 y1 y0 x x0 x1 x0 P ( x) y0
y 10 11
解
x0=100, x1=121, x=115
P ( x) x x0 x x1 y0 y1 x0 x1 x1 x0
115 P(115)
115 121 115 101 10 11 10.914 100 121 121 100
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插商表2
xk
f ( xk ) f ( x0 )
f ( x1 ) f ( x2 )
一阶差商 二阶差商 三阶差商 n 阶差商 单元号 F(0)
x0
x1 x2 x3

f [ x0 , x1] f [ x1, x2 ] f [ x2 , x3 ]

F(1)
f [ x0 , x1, x2 ] f [ x1, x2 , x3 ]
N4 ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1] ( x x0 )( x x1) f [ x0 , x1, x2 ] ( x x0 )( x x1)( x x2 ) f [ x0 , x1, x2 , x3 ] ( x x0 )( x x1)( x x2 )( x x3 ) f [ x0 , x1, x2 , x3 , x4 ] f ( x0 ) ( x x0 )( f [ x0 , x1] ( x x1)( f [ x0 , x1, x2 ] ( x x2 ) f [ x0 , x1, x2 , x3 ]))
等距节点Newton插值公式
f ( x1 ) f ( x0 ) 1 f [ x0 , x1 ] f 0 x1 x0 h
插商与差分的关系 （1）用前插表示N(x) 在等距节点条件下有：

f [ x1 , x2 ]) f [ x0 , x1 ]) f [ x0 , x1 , x 2 ] x2 x0 1 1 f1 f 0 1 2 h h f0 2 2h 2! h 一般有 1 f [ x0 , x1 ,...,x n ] n f 0 n! h n
类似地可以证明 n( xi ) f ( xi ) N
(i 0,1,2,...n)
由插值的唯一性知： ( x) Ln ( x),因此他们的余式也相等 N f ( n 1) ( ) 即： ( x) f [ x, x0 , x1 ,...xn ] ( x) n 1)! 故有差商与导数的关系 f ( n 1) ( ) f [ x, x0 , x1 ,...xn ] n 1)! 其中，介于x, x0 , x1 ,...xn的最大值与最小值之间 。
( z j z j 1 ) ( x j x j 1 )
;
2)对 j =i，i+1，…，n 做 zi f j ;
(4)计算插值 N(u) 1)输入插值 u； 2)v=0; 3) 对 i=n,n-1, … ， 0 做 v v(u xi ) f i ； (5)输出 u,v。
4.2.3 等距节点 Newton 插值公式
若令x xn sh(一般取s 0)则 s s( s 1) 2 N n ( x) N n ( xn sh) f n f n fn 1! 2! s( s 1)...(s n 1) n ... fn n! h n 1 Rn ( x) s( s 1)...(s n) f ( n 1) ( ), ( xn nh, xn ) (n 1)!




表 4.2.2 f(x)=sin x 关于节点 0, 一阶差商 二阶差商

, , , 的差商表 6 4 3 2
三阶差商 四阶差商
xk
0
f ( xk )
0

6
1 2
2 2
3 2
1
0.954 929 658

4
0.791 089 691
-0.208 607 6

3
0.607024424

在实际应用中 ，常是等距节点情况，即
xi a ih (i 0,1,2,...,n)
这里h>0为常数，称为步长，这时Newton插值公 式就可以简化，为此我们引入差分概念。
定义 4.2.2 设函数 f(x)在等距节点 xi a ih (i=0,1,2,…，n) 上值为 fi f ( xi ) ，则
重点插商
为使用方便，我们规定 f [ x, x, x0 , x1 ,...xn ] lim f [ x h, x, x0 , x1 ,..., xn ]
h 0
lim
h 0
f [ x h, x0 , x1 ,..., xn ] f [ x, x0 , x1 ,..., xn ] h
d f [ x, x0 , x1 ,..., xn ] dx 为重点插商。
Newton插值计算
插商表1
xk
f ( xk )
一阶插商 二阶插商 三阶插商 单元号
x0
x1
x2
f ( x0 )
F(0)
f ( x1 )
f [ x0 , x1 ]
F(1)
x3
f ( x2 ) f ( x3 )
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x3 ]
4.2.2 Newton 插值公式
由差商定义
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ] x x0
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x, x0 ]
(1)
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ] x x1
n (1)称 fi fi1 fi (i=0,1,2,…，n)为函数 f(x)在点{ xi }0 上
的一阶向前差分（简称差分） ；又称 k fi k 1 fi1 k 1 fi
n (k=1,2,…,n;i=0,1,…,n-k)为函数 f(x)在点{ xi }0 上的 k 阶向前差 n 分，这里约定{ xi }0 ;
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )(x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] ... ( x x0 )(x x1 )...(x xn 1 ) f [ x0 , x1 ,...xn 1 ] ( x x0 )(x x1 )...(x xn 1 )(x x) n f [ x, x0 , x1 ,...xn ] N n ( x) Rn ( x)

f [ xn2 , xn1, xn ]
F(2) F(3)
f ( x3 )

f ( xn )

f [ xn3 , xn2 , xn1, xn ]
Hale Waihona Puke f [ x0 , x1, , xn ]

F(n)
xn
f [ xn1, xn ]
求Nn(x)



插商表1计算简单，好实现，但数值不稳 定。 插商表2在计算机上稳定性好，但算法复 杂。 计算Nn(x)常采用秦九韶程序（取n=4）
f [ x0 , x1 , x2 ]
F(2)
f [ x0 , x1 , x3 ] f [ x , x , x , x ] F(3) 0 1 2 3
…
xn
…
f ( xn )
…
f [ x0 , xn ]
……
………
f [ x0 , x1 , xn ] f [ x , x , x , x ] F(n) 0 1 2 n
-0.351 538 65
-0.136 489 09

2
0.255 872 63
-0.447 100 35
-0.091 254 70
0.028 797 106
算法 4.2.1（Newton 插值法） (1) 输入： xi , f j (2) zi f j （i=0，1，2，…，n） (3)计算差商 对 i=1，2，…，n 做 1)对 j =i，i+1，…，n 做 f j
f ( xn ) f ( xn 1 ) 1 f [ xn , xn 1 ] f n xn xn 1 h f [ xn , xn 1 ] f [ xn 1 , xn 2 ] f [ xn , xn 1 , xn 2 ] xn xn 2 1 1 f n f n 1 1 h h 2 fn 2h 2! h 2 一般有 1 f [ xn , xn 1 ,..., x1 , x0 ] n fn n! h n
(2) 称 fi fi fi1 (i=n,n-1,…,1)为函数 f(x)在点 fi fi fi1 上 的后差分；又称 k fi k 1 fi k 1 fi1 (k=1,2,…,n; i=n-k+1,…,2,1)
n 为函数 f(x)在点{xi }0 上的 k 阶向后差分，同样约定 0 fi fi 。
若令x x0 th, 则Newton插值公式和余式具有形 式 N n ( x) N n ( x0 th) t t (t 1) 2 t (t 1)...(t n 1) n f0 f0 f 0 ... f0 1! 2! n! n 1 h Rn ( x) t (t 1)...(t n) f ( n 1) ( ), ( x0 , x0 h) (n 1)!
n 其中N n ( x)、Rn ( x)分别为f ( x)在节点{xi }0 上的Newt on
插值公式和余项。
可以验证： N n ( x0 ) f ( x0 ) N n ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 x0 ) f [ x0 , x1 ] f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x1 x0 ) f ( x1 ) x1 x0 N n ( x2 ) f ( x0 ) ( x2 x0 ){ f [ x0 , x1 ] ( x2 x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ]} f [ x2 , x0 ] f [ x0 , x1 ] f ( x0 ) ( x2 x0 ){ f [ x0 , x1 ] ( x2 x1 ) } x2 x1 f ( x0 ) ( x2 x0 ) f [ x2 , x0 ] f ( x0 ) ( x2 x0 ) f ( x2 ) f ( x0 ) f ( x2 ) x2 x0