(新课标)2017高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 第1讲 分类加法计数原理与(理)习题

2017高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量第1讲分类加法计数原理与(理)习题A组基础巩固一、选择题1．已知两条异面直线a、b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为导学号 25402342( )A．40 B．16C．13 D．10[答案] C[解析] 分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．2．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有导学号 25402343( )A．32个B．34个C．36个D．38个[答案] A[解析] 先把数字分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32个这样的子集．3．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为导学号 25402344( )A．56 B．54C．53 D．52[答案] D[解析] 在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52个．4．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有导学号 25402345( )A．18个B．15个C．12个D．9个[答案] B[解析] 依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共计3＋6＋3＋3＝15个．5．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先羸3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有导学号 25402346( )A．6种B．12种C．18种D．20种[答案] D[解析] 分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一个前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．6．(2015·商洛一模)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花导学号 25402347( )A．3 360元B．6 720元C．4 320元D．8 640元[答案] D[解析] 从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选一个号有6种选法，由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6＝4 320(种)选法，故至少需花4 320×2＝8 640(元)．二、填空题7．(2015·河北保定调研)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个.导学号 25402348[答案] 17[解析] A＝{1}时，B有23－1种情况；A＝{2}时，B有22－1种情况；A＝{3}时，B有1种情况；A＝{1,2}时，B有22－1种情况；A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17个．8．如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种.导学号 25402349[答案] 180[解析] 按区域分四步：第一步，A区域有5种颜色可选；第二步，B区域有4种颜色可选；第三步，C区域有3种颜色可选；第四步，D区域也有3种颜色可选．由分步乘法计数原理，可得共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方法．9．(2015·湖南十二校联考)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.导学号 25402350[答案] 108[解析] 把区域分为三部分，第一部分1,5,9，有3种涂法．第二部分4,7,8，当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；当5,7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．10．在2014年南京青奥会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.导学号 25402351[答案] 2 880[解析] 分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．∴安排方式有4×3×2＝24种．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种．∴安排这8人的方式有24×120＝2 880种．三、解答题11．为参加2014年云南昭通地震救灾，某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？导学号 25402352[答案] 48[解析] 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种抽调方法．故共有C 17＋A 27＋C 37＝84种抽调方法．12．现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有多少种？导学号 25402353[答案] 48[解析] 先给最上面的一块着色，有4种方法，再给中间左边一块着色，有3种方法，再给中间右边一块着色，有2种方法，最后再给下面一块着色，有2种方法，根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种方法．B 组 能力提升1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，定义函数f ：M →N .若点A (1，f (1))、B (2，f (2))、C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，则满足条件的函数f (x )有导学号 25402354( )A ．6种B ．10种C ．12种D ．16种 [答案] C[解析] 由DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，说明△ABC 是等腰三角形，且BA ＝BC ，必有f (1)＝f (3)，f (1)≠f (2)；当f(1)＝f(3)＝1，时，f(2)＝2、3、4，有三种情况．f(1)＝f(3)＝2；f(2)＝1、3、4，有三种情况．f(1)＝f(3)＝3；f(2)＝2、1、4，有三种情况．f(1)＝f(3)＝4；f(2)＝2、3、1，有三种情况．因而满足条件的函数f(x)有12种．2．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后结束测试，则恰好3次就结束测试的情况有________种.导学号 25402355[答案] 32[解析] 恰好3次就结束，即第3次测试到的产品运行不稳定：(1)若3次测试的产品运行分别为稳定、不稳定、不稳定，则有2×8＝16(种)情况；(2)若3次测试的产品运行分别不稳定、稳定、不稳定，则有2×8＝16(种)情况，故共有32种情况．3．若m、n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________.导学号 25402356[答案] 300[解析] 第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步：4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步：2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300.4．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？导学号 25402357 [答案] 20[解析] 由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此种共有6×3＝18(种)；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2(种)；所以根据分类加法计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．5．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？导学号 25402358[答案] 11[解析] 方法一：分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为1001.共1个．(2)若1个相同，则信息为0001,1101,1011,1000.共4个．(3)若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为0101；②位置一与二相同，则信息为0011；③位置一与二相同，则信息为0000；④位置一与二相同，则信息为1111；⑤位置一与二相同，则信息为1100；⑥位置一与二相同，则信息为1010.共6个．故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.方法二：若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C14＝4(个)；若2个相同，共有C24＝6(个)．故共有1＋4＋6＝11(个)．。