绵阳高中高考适应性考试理科数学

四川省绵阳市（新版）2024高考数学统编版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题复数（）.A．B．C．D．第(2)题已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（）A．B．C．D．第(3)题圆上的点到直线的距离的最小值是（）A．B．C．D．第(4)题设向量，若，则（）A．B．0C．3D．3或第(5)题已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是A．-3B．-1C．1D．3第(6)题在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．第(7)题是首项，公差的等差数列，如果，则序号n等于（）A．667B．668C．669D．670第(8)题已知集合，，那么（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知实数，，满足，且，则下列结论正确的是（）A．的最小值为B．的最大值为C．的最小值为D．取最小值时第(2)题在中，，，，且，则（）A．B．C．D．，，，使得第(3)题甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A．，，是两两互斥的事件B．事件与事件B相互独立C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是____.第(2)题某校高三共有1200人参加考试，数学成绩，不低于60分的同学有960人，估计90分以上同学人数为_____________．第(3)题已知圆与圆有三条公切线，则_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在极坐标系中，射线：与圆：交于点，椭圆的方程为：，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.（1）求点的直角坐标和椭圆的直角坐标方程；（2）若为椭圆的下顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值.第(2)题在平面直角坐标系中，点在运动过程中，总满足关系式.(1)求点的轨迹的方程；(2)过点作两条斜率分别为的直线和，分别与交于和，线段和的中点分别为，若，证明直线过定点.第(3)题过直线上一个动点作抛物线的两条切线，分别为切点，直线与轴分别交于两点．(1)证明：直线过定点，并求点的坐标；(2)在（1）的条件下，为坐标原点，求的最大值．第(4)题设等差数列的公差为，令，记分别为数列的前项和.(1)若，求数列的通项公式；(2)若数列是公比为正数的等比数列，，，求数列的前项和.第(5)题我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况，随机调查了120个学生，得到这些学生5天内每天坚持自主学习时长（单位：小时）的频数分布表，假如每人学习时间长均不超过5小时．时长学生数3024401610(1)估计这120个学生学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)以表中的分组中各组的频率为概率，校领导要从120名学生中任意抽取两名进行家长座谈．若抽取的时长，则赠送家长慰问金100元；抽取的时长，则赠送家长慰问金200元；抽取的时长，则赠送家长慰问金300元．设抽取的2名学生家长慰问金额之和为，求的分布列及数学期望．。

绵阳中学2024届高三高考适应性考试（一）数学（理科）时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合ππ2π2π,Z 42A k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππππ,Z 42B k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A. A B ⊆B. BA ⊆C. A B =D. A B ⋂=∅2. 已知i 为虚数单位，则复数()21i 2i-+的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题()11:221x p f x =+-为奇函数；命题:0,,sin tan 2q x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是A. ()p p ∧⌝是真命题B. ()p q ⌝∨是真命题C. p q ∧是假命题D. p q ∨是假命题4. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为（ ）A.B.C.D.5. 若数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，则n a 的最大值与最小值之和为（ ） A. 13-B.57 C. 2D.736. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.B.C.D.7. 已知函数()()sin 0f x x ωω=>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()g x 且()g x 满足77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，则正数ϕ的最小值为（ ） A.π12B.π6 C.π3D.π28. 三棱柱111ABC A B C -，底面边长和侧棱长都相等．1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.B.12C.D.9. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有（ ）种． A. 72B. 144C. 384D. 43210. 已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅= ，且2c a c b -+-=r r r r ，则2c a +r r的取值范围是（ ）A. []1,3B. ⎡⎤⎣⎦C. D. ⎤⎥⎦11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据：lg 20.3010=，lg 30.4771=)（ ） A 4B. 5C. 6D. 712. 已知定义在R 上的函数(),()f x f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，②当0x ≥时，()210f x x +'+>，若不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为（ ）A 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. (0,)+∞D. 2,(0,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13.若6的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中3x -的系数为__________．14. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的单调性与函数()e xf x =的单调性相同，且满足463a a +=，372a a ⋅=．若[]0,πx ∈，则22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭的概率为__________15.ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()25sin sin sin sin ,5,cos 31C A B B C A a A -=-==，则ABC 的周长为__________． 16. 已知抛物线()22(0),2,1y px x P =>为抛物线内一点，不经过P 点的直线:2l y x m =+与抛物线相交..于,A B 两点，连接,AP BP 分别交抛物线于,C D 两点，若对任意直线l ，总存在λ，使得,(0,1)AP PC BP PD λλλλ==>≠成立，则该抛物线方程为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且25214a a a =，设关于x 的不等式()222*3x n x nx n n n +-<--∈N 的解集中整数的个数为n c ．（1）求数列{}n a 前n 项和为n S ；（2）若数列满足1122332nn n n S c b c b c b c b c ++++-=，求数列{}n b 的通项公式． 18. 如图（1）在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC CD ===若沿AB 将三角形PAB 折起，使120PAD ∠=︒，构成四棱锥P ABCD -，如图（2）E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PCD ；（2）求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值．19. 某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．的（1）根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）（2）已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．20. 在直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，AB的最小值为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若与A ，B 不共线的点P 满足()2OP OA OB λλ=+-，求PAB 面积的取值范围．21. 现定义：()()213321f x f x x x --为函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率.已知函数()e axf x =，()22ln g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ，且函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为大于0，求实数a 的取值范围；（2）若对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标是()0,1，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），0πθ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，1C 与2C 交于A ，B 两点．（1）将曲线2C 极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？ （2）过点P 作垂直于1C 的直线l 交2C 于C ，D 两点，求11PA PB PC PD+的值．选修4-5：不等式选讲23 设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合ππ2π2π,Z 42A k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππππ,Z 42B k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A. A B ⊆ B. BA ⊆C. A B =D. A B ⋂=∅【答案】A 【解析】【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断. 【详解】当2,Z k n n =∈时，ππ2π2π,Z 42B n n k A αα⎧⎫=+≤≤+∈=⎨⎬⎩⎭， 的.当21,Z k n n =+∈时，ππ2ππ2ππ,Z 42B n n k αα⎧⎫=++≤≤++∈⎨⎬⎩⎭， 所以A B ⊆. 故选：A2. 已知i 为虚数单位，则复数()21i 2i-+的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得2(1i)2i 24i 2i 2i 55--==--++，得到共轭复数为24i 55-+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数()22i 2i (1i)2i 24i 2i 2i 555----===--++，可得共轭复数为24i 55-+，其在复平面内对应点为24,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B ．3. 已知命题()11:221x p f x =+-为奇函数；命题:0,,sin tan 2q x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是A. ()p p ∧⌝是真命题B. ()p q ⌝∨是真命题C. p q ∧是假命题D. p q ∨是假命题【答案】B 【解析】【分析】先判断命题,p q 都是真命题，故可得正确选项． 【详解】对于p ，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()1112221212--=+=+--xx xf x ，进一步化简得到()()121111212221x x x f x f x -+-=+=--=---，故()f x 为奇函数，故p 为真命题．对于q ，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如图所示，,sin ,DOB x CE x BCx ∠===，tan BD x =，因为OBC OBD OBC S S S ∆∆<<扇形， 故1111sin 1tan 222x x x x ⨯⨯<⨯⨯<⨯⨯，即sin tan <<x x x ．故q 真命题， 综上，p q ⌝∨为真命题，选B ．【点睛】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．4. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据点()2,1--在抛物线的准线上则可得4p =，进而可得抛物线的焦点坐标，再求出a 的值，由点()2,1--在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b 的值，则可得c 的值，进而可得答案. 【详解】根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--， 即点()2,1--在抛物线的准线上，又由抛物线()220y px p =>的准线方程为22px =-=-，则4p =，则抛物线的焦点为()2,0，为则双曲线的左顶点为()2,0，即2a =点()2,1--在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±，由双曲线的性质，可得1b =，则c =，则焦距为2c =，故选：B5. 若数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，则n a 的最大值与最小值之和为（ ） A. 13-B.57 C. 2D.73【答案】C 【解析】【分析】由题可得2129n a n +-=，利用数列的增减性可得最值，即求.【详解】∵数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，当1n =时，157a =，当2n ≥时，()12117n b n -=--，()1212727122929117n nn nb n a b n n n ---===+----=， 1n =时也适合上式，∴2129n a n +-=，∴当4n ≤时，数列{}n a 单调递减，且n a 1<，当5n ≥时，数列{}n a 单调递减，且n a 1>， 故n a 的最大值为53a =，最小值为41a =-， ∴n a 的最大值与最小值之和为2. 故选：C.6. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =. 故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.7. 已知函数()()sin 0f x x ωω=>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()g x 且()g x 满足77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，则正数ϕ的最小值为（ ） A.π12B.π6 C.π3D.π2【答案】C【解析】【分析】由函数的最大值求出ω的表达式，根据图像变换结合对称性求出ϕ的表达式，根据ϕ为正数求出最小值【详解】依题意，()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，11πππsin 2π122663k k ωωω⎛⎫∴=⇒=+⇒=+⎪⎝⎭，1k Z ∈时，把()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()()sin 2g x x ωϕ=-， 又77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得7π12x =是()g x 的一条对称轴， ()2222π7πππ7π2π,Z Z 1222424k k k k ωϕϕω∴⨯-=+∈⇒=--+∈ 即()()1222ππ7,Z 23k k k k ϕ=-+∈，当120k k ==时，正数ϕ取最小值π3故选：C ．8. 三棱柱111ABC A B C -，底面边长和侧棱长都相等．1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题意设1,,,1AB a AC b AA c a b c ======，11,,,60,,a b b c c a AB a c BC a b c ===︒=+=-++，由数量积的运算律、模的运算公式以及向量夹角的余弦的关系即可运算求解.【详解】设1,,,1AB a AC b AA c a b c ======，由题意11,,,60,,a b b c c a AB a c BC a b c ===︒=+=-++，1AB === ，1BC == ，又()()22111111122AB BC a c a b c b a b c c a ⋅=+⋅-++=⋅+⋅+-=++-=，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1cos cos ,AB θ= . 故选：D ．9. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有（ ）种． A. 72 B. 144 C. 384 D. 432【答案】D 【解析】【分析】根据所取数字之和为10，分3类，再由分类加法计数原理求解即可. 【详解】分3类：①红1蓝1，红4蓝4，排成一排44A 24=； ②红2蓝2，红3蓝3，排成一排44A 24=；③2个1选1张，2个2选1张，2个3选1张，2个4选1张，排成一排1111422224C C C C A 384⋅=， 由分类加法计数原理，共2424384432++=种， 故选：D ．10. 已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅=，且2c a c b -+-=r r r r ，则2c a +r r的取值范围是（ ）A. []1,3B. ⎡⎤⎣⎦C.D. ⎤⎥⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题．详解】由题设单位向量()()()1,0,0,1,,a b c x y ===，【()()1,2,2c a x y c b x y ∴-=--=-，，+=即(),x y 到()1,0A 和()0,2B ，而AB =故动点(),P x y 表示线段AB 上的动点.又2c a +=，该式表示()2,0-到线段AB 上点的距离，其最小值为点()2,0-到线段:220(01)AB x y x +-=≤≤的距离，而d =，故|2|min c a +==.最大值为()2,0-到()1,0A 的距离是3，所以2c a +r r的取值范围是⎤⎥⎦． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：根据向量关系可得动点的轨迹，再根据点到直线的距离可得点点距的最小值.2c a +=表示点到线段上的连线的范围，结合其几何关系不难解决问题．11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据：lg 20.3010=，lg 30.4771=)（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C 【解析】【分析】根据规律可总结出第n 次操作去掉区间的长度和为123n n -，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.【详解】第一次操作去掉的区间长度为13； 第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；以此类推，第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，∴进行了第n 次操作后，去掉区间长度和112133122212393313nn n nnS -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+==- ⎪⎝⎭-，由902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21310n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，22331lg101log log 10 5.68210lg 2lg 3lg 3n ∴≥=-=-=-≈-， 又n N *∈，n ∴的最小值为6. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.12. 已知定义在R 上的函数(),()f x f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，②当0x ≥时，()210f x x +'+>，若不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为（ ）A 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. (0,)+∞D. 2,(0,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令()2()=++F x f x x x ，由()210f x x +'+>得到其单调性，再由()()2f x f x x =--，得到其奇偶性求解.【详解】解：令()2()=++F x f x x x ，则()()210'=++>'F x f x x ，.所以()F x 在[0,)+∞上递增， 因为()()2f x f x x =--，所以()22()()-+--=++f x x x f x x x ，即()()F x F x -=，所以()F x 是偶函数，不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+等价于：()()()()22(21)2121(1)11+++++>+++++f x x x f x x x ，即()()211F x F x +>+，即()()211+>+F x F x ， 所以211x x +>+， 解得23x <或0x >， 故选：D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13. 若6的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中3x -的系数为__________．【答案】1 【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解.【详解】()()12566166C C 10,16rrrr rr r r T a xr --+⎛==-⋅= ⎝0,6r =时为有理项，06621a a a ∴+=⇒=，由3125366r r x --=-⇒=∴系数：()6666C 11a -=, 故答案为：1.14. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的单调性与函数()e xf x =的单调性相同，且满足463a a +=，372a a ⋅=．若[]0,πx ∈，则22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭的概率为__________【答案】14##0.25 【解析】【分析】由等比数列性质可列关于46,a a 的方程组，结合{}n a 为单增等比数列，即可求得q ，进一步利用三角恒等变换化简表达式22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭得到πsin 24x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，结合[]0,πx ∈解三角不等式即可得解.【详解】37462a a a a == ，又46463,,a a a a +=∴是方程2320x x -+=的两根， 又{}n a 为单增等比数列，2461,22a a q ∴==⇒=又2ππcos 22cos sin2cos212124x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ212sin 244x x ⎛⎫⎛⎫++≥⇒+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， []ππ9πππ3ππ0,π,2,,204444444x x x x ⎡⎤∈∴+∈∴≤+≤⇒≤≤⎢⎥⎣⎦ ， ∴所求概率π014π04P -==-. 故答案为：14．15.ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()25sin sin sin sin ,5,cos 31C A B B C A a A -=-==，则ABC 的周长为__________． 【答案】14 【解析】【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：2222a b c =+；再结合255,cos 31a A ==和余弦定理得出b c +的值即可求解. 【详解】因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin C A B C A B B C A B C A -=-， 即sin sin cos sin cos sin 2sin sin cos C A B B C A B C A +=，.由正弦定理可得：cos cos 2cos ac B ab C bc A +=，由余弦定理可得：22222222222a cb a bc c b a +-+-+=+-，整理得：2222a b c =+.因为255,cos 31a A ==， 所以222225025cos 231b c b c a A bc ⎧+=⎪⎨+-==⎪⎩，整理得：2250231b c bc ⎧+=⎨=⎩，则9b c +===， 所以14a b c ++=， 故答案为：14.16. 已知抛物线()22(0),2,1y px x P =>为抛物线内一点，不经过P 点的直线:2l y x m =+与抛物线相交于,A B 两点，连接,AP BP 分别交抛物线于,C D 两点，若对任意直线l ，总存在λ，使得,(0,1)AP PC BP PD λλλλ==>≠成立，则该抛物线方程为______.【答案】24y x = 【解析】【分析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，根据,AP PC BP PD λλ==推出()()123421y y y y λλ+++=+，结合点在抛物线上可得12y y p +=，34y y p +=，即可求得p ，即得答案.【详解】由题意设()()()()112212334434,,,,(),,,,,()A x y B x y x x C x y D x y x x ≠≠，由AP PC λ=可得：()()11332,12,1x y x y λ--=--，可得：1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得：2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，则：()()()()123412344121x x x x y y y y λλλλ⎧+++=+⎪⎨+++=+⎪⎩（*）将,A B 两点代入抛物线方程得2211222,2y px y px ==，作差可得：()1212122y y y y p x x -+=-，而12122y y x x --=，即12y y p +=， 同理可得，34y y p +=，代入（*），可得2p =， 此时抛物线方程为24y x =， 故答案为：24y x =三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且25214a a a =，设关于x 的不等式()222*3x n x nx n n n +-<--∈N 的解集中整数的个数为n c ．（1）求数列{}n a 的前n 项和为n S ；（2）若数列满足1122332nn n n S c b c b c b c b c ++++-= ，求数列{}n b 的通项公式． 【答案】（1）2n S n =（2）112n b n=+ 【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程，求得2d =，得到21n a n =-，结合等差数列的求和公式，求得n S 的值，得到答案；（2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，求得21n x n <<+，得到n c n =，进而得到()212222n b b nb n n +++-= ，当2n ≥时，()21212211n b b n b n -⎡⎤+++-=-⎣⎦ ，两式相减得112n b n=+，进而得到数列{}n b 的通项公式．【小问1详解】由等差数列{}n a 的首项11a =，且25214a a a =，可得()()()2111134a d a d a d ++=+，整理得212a d d =，即22d d =，因为0d >，所以2d =，所以()21N n a n n *=-∈，可得()()2121135212n n n S n n +-=++++-== ．【小问2详解】由不等式2223x n x nx n n +-<--，即22(31)20x n x n n +++-<， 解得21n x n <<+，因为()2223Nx n x nx n n n *+-<--∈解集中整数的个数为nc，所以n c n =，又因为2112233122n n n n S c b c b c b c b c n ++++-== 可得()21232232n b b b nb n n ++++-= ， 即()21232232n b b b nb n n ++++=+ ，当2n ≥时，()()22121221(1)211n b b n b n n n -⎡⎤+++-=-+-=-⎣⎦ ，两式相减得()2212n nb n n =+≥，则()1122n b n n=+≥， 当1n =时，1221b -=，解得132b =，满足上式，所以112n b n =+， 所以数列{}n b 的通项公式为112n b n=+． 18. 如图（1）在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC CD ===若沿AB 将三角形PAB 折起，使120PAD ∠=︒，构成四棱锥P ABCD -，如图（2）E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PCD；的（2）求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）先利用几何关系证明和线面垂直的判定定理BA ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面BEF ，最后可得平面BEF ⊥平面PCD ；（2）建系，然后分别求出平面PBC 和平面PAD 的法向量，代入二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】因为2BD PC =，所以90PDC ∠=︒，因为//,AB CD E 为CD 中点，2CD AB =，所以//AB BE 且AB DE =， 所以四边形ABED 为平行四边形， 所以//,BE AD BE AD =．而,BA PA BA AD ⊥⊥，又PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BA ⊥平面PAD ．因为//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ， 又因为PD ⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ， 所以CD PD ⊥且CD AD ⊥， 又因为在平面PCD 中，//EF PD ，于是CD FE ⊥．因为在平面ABCD 中，//BE AD ，于是CD BE ⊥． 因为,FE BE E EF =⊂ 平面,BEF BE ⊂平面BEF ， 所以CD ⊥平面BEF ，又因为CD ⊂平面PCD ， 所以平面BEF ⊥平面PCD ． 【小问2详解】以A 点为原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，面ABD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，由（1）知BA ⊥平面PAD ，所以z 轴位于平面PAD 内，所以30,PAz P ∠︒=到z 轴的距离为(1,0,P ∴-，同时知())()0,0,0,,2,0A BC ，),2,0PB BC ==，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z，所以()()),,000,020,,2,00x y z n PB y n BC y x y z ⎧⋅=⎧⋅=+=⎪⎪∴⇒⎨⎨⋅=+=⎪⋅=⎪⎩⎩， 令1y =，则n ⎛= ⎝；又)AB =为平面PAD 的一个法向量，所以cos ,n AB n AB n AB⋅===⋅，又因为平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的平面角为锐角， 所以平面PBC 与平面PAD19. 某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．（1）根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）（2）已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望． 【答案】（1）高于 （2）分布列见解析，()2541625E X =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出a ，再分别根据频率分布直方图和茎叶图求平均数，比较即可；（2）先利用古典概型的概率公式求出甲答对每道题的概率，再利用二项分布求出X 所有可能取值的概率，得到分布列，根据分布列求数学期望即可. 【小问1详解】根据频率分布直方图各矩形面积和为1得()20.2500.3750.5000.6250.51a ++++⨯=，解得0.125a =，所以全部参赛人员的整体水平为7.07.57.58.08.08.58.59.09.09.59.510.00.50.1250.2500.6250.5000.3750.1258.531222222++++++⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈ ⎪⎝⎭， 根据茎叶图可知某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平为7.58.68.79.09.29.68.7676+++++≈，所以某工厂的参赛6名人员的演唱水平高于全部参赛人员的平均水平． 【小问2详解】从这6位抽取2位的基本事件总数为26C ，分差大于0.5的基本事件为除数据()8.6,8.7，()()()()()8.6,9.0,9.2,9.6,9.2,9.0,8.7,9.0,9.2,8.7外的9个基本事件，故概率为26993C 155P === 依题意X 的取值为3，4，5，则()333235355125P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2222333232322344C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()222222443232322165C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以X 的分布列为X 34 5P35125 234625 216625所以()352342162541345125625625625E X =⨯+⨯+⨯=． 20. 在直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C ab a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，AB 的最小值为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若与A ，B 不共线的点P 满足()2OP OA OB λλ=+-，求PAB 面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）⎛ ⎝.【解析】【分析】(1)根据通径的性质即可求解；(2)取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点．得PABOAB S S = ，设AB 方程，与椭圆方程联立，表示出OAB S 并求其范围即可.【小问1详解】由右焦点()1,0F 知，1c =，当AB 垂直于x 轴时，AB最小，其最小值为22b a=．又∵222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．【小问2详解】解法一：取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点． ∴PAB OAB S S = ．当AB 垂直于x 轴时，A ，B的坐标分别为⎛ ⎝，1,⎛ ⎝，OAB S =△； 当AB 不垂直于x 轴时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠． 则点O 到直线AB的距离d =，联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2222124220k x k x k +-+-=， 则2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+，()2810k ∆=+>，2AB x =-==，∴1122OABS AB d =⋅==△， 令212t k =+，则()2112t k t -=>，此时OABS ⎛= ⎝△． 综上可得，PAB面积的取值范围为⎛ ⎝． 解法二：当AB 垂直于x 轴时，A ，B的坐标分别为⎛ ⎝，1,⎛⎝， 由()2OP OA OB λλ=+-，得点P的坐标为(-，则点P 到直线AB 的距离为1，又AB =PAB的面积为112=，当AB 不垂直于x 轴时，设其斜率为k ， 则直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠， 设P ，A ，B 的坐标分别为()00,x y ，()11,x y ，()22,x y ，则()111y k x =-，()221y k x =-，由()2OP OA OB λλ=+-，得()0122x x x λλ=+-，()()()()()0121212212122y y y k x k x k x x λλλλλλ=+-=-+--=+--⎡⎤⎣⎦，即()002y k x =-．故点P 在直线()2y k x =-上，且此直线平行于直线AB．则点P 到直线AB的距离d =，联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2222124220k x k x k +-+-=， 则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，2AB x =-==，∴1122PABS AB d =⋅==△， 令212t k =+，则()2112t k t -=>，此时PABS ⎛= ⎝△． 综上可得，PAB面积的取值范围为⎛ ⎝． 解法三：取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点． ∴PAB OAB S S = ，设直线AB 的方程为1x ty =+，则点O 到直线AB 的距离d =联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()222210t y ty ++-=， 则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，()2810t ∆=+>，2AB y =-==，∴1122OABS AB d =⋅==△，∴OAB S ⎛=⎝△， 即PAB面积的取值范围为⎛ ⎝． 21. 现定义：()()213321f x f x x x--为函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率.已知函数()e axf x =，()22ln g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ，且函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为大于0，求实数a 的取值范围；（2）若对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）[)e,+∞ 【解析】【分析】（1）由题意得到()f x 单调递增，即0a >，故1212e 2,e 2ax axx x ==，分离参数后得到()ln 2x a x=有两不等实根，构造()()ln 2x h x x=，得到其单调性，结合函数图象得到实数a 的取值范围；（2）由题意得到()()()()212133332121f x f xg x g x x xx x-->--，转化为对任意21x x >，有()()()()2211f x g x f x g x ->-，构造()()()22e ln ax r x f x g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得到()0r x '≥在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，解法一：考虑a<0与0a >两种情况，结合同构思想，得到()ln m x x x =+，求出其单调性，得到e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，变形为2e 0ax x a --≥，构造()2e axl x x a =--，求导后得到其单调性，求出e a ≥； 解法二：变形为212e ln axx a a a ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭，构造()()212e ,ln ax m x n x x a a a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，观察得到()m x 与()n x 互为反函数，从而证明出()m x x ≥恒成立即可，构造()2e ax l x x a=--，求导后得到其单调性，求出e a ≥；方法三：对()r x 二次求导，构造()22e 1axx a x a ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求导后分0a >与a<0两种情况，分析出0a >时，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一0x ，使得()00x ϕ=，求出()2e ln 20axr x a x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，转化为只需()00r x '≥即可，利用基本不等式证明出结论，且a<0时，不合题意，得到答案. 【小问1详解】()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为正，可得()f x 单调递增，即0a >.故若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ， 即存在不同的12,x x ，使得1212e2,e 2ax ax x x ==，故方程e 2ax x =有两不等实根，化简得()ln 2x a x=有两不等实根.即y a =与()()ln 2x h x x=有两个不同的交点. 由()()21ln 2x h x x -'=，可知()h x 在e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增，在e ,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 且当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →， 故要使y a =与()()ln 2x h x x=有两个不同的交点，e 202ea h ⎛⎫<<=⎪⎝⎭, 故实数a 的取值范围是20,e ⎛⎫⎪⎝⎭；【小问2详解】由对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，可得()()()()212133332121f x f x g x g x x x x x -->--，由21x x >可得，()()()()2121f x f x g x g x ->-，即对任意21x x >，有()()()()2211f x g x f x g x ->-可得()()()22e ln axr x f x g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 即()2ln 20axr x ae x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 解法一：①当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立. ②当0a >时，()()e ln 2ln 20axr x a ax a +'=-+-≥在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 即()e ln ln 22axa ax a ax ax ++≥+++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 令()()ln ,e ln ln 22axm x x x a ax a ax ax =+++≥+++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()e 2ax m a m ax ≥+.显然()m x 在()0,∞+上单调递增，得e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.即2e 0ax x a --≥恒成立令()()2e ,e 1axax l x x l x a a-='=--， 可得()l x 在ln ,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故ln ln 10a a l a a -⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，解得e a ≥ 解法二：①当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立. ②当0a >时，2e ln 20axa x a ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭可转化为212e ln axx a a a ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭，令()()212e ,ln axm x n x x a a a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，可得()m x 与()n x 互为反函数， 故()()m x n x ≥恒成立，只需()m x x ≥恒成立即可，即2e 0axx a--≥恒成立. 令()()2e ,e 1axax l x x l x a a -='=--，可得()l x 在ln ,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故ln ln 10a a l a a -⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，解得e a ≥. 解法三：令()22e 1axx a x a ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得()()2e 3axx a ax ϕ'=+ ①当0a >时，32a a -<-，此时()x ϕ在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由210a ϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，故在2,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一0x ，使得()00x ϕ=，即0202e 1ax a x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即001e 2ax a a x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，000221ln ln 2ln e ax x a ax a a ⎛⎫+==-- ⎪⎝⎭， 令()()2e ln 2axt x r x a x a ⎛⎫==- ⎝'+-⎪⎭，则()21e 2axt x a x a'=-+， 当02,x x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0t x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0t x '>， 此时()r x '在02,x a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()2e ln 20axr x a x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，只需()00r x '≥即可. 而()000021e ln 22ln 22ax r x a x ax a a a x a ⎛⎫=-+-=++- ⎪⎛⎫⎝⎭+' ⎪⎝⎭ 00122ln 4242ln 02a x a a a a x a ⎛⎫=+++-≥-+≥ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，解得e a ≥经检验，当e a =时等号成立，故e a ≥②当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立.故e a ≥.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标是()0,1，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），0πθ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，1C 与2C 交于A ，B 两点．（1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？（2）过点P 作垂直于1C 的直线l 交2C 于C ，D 两点，求11PA PB PC PD +的值． 【答案】（1）244x y =+，抛物线；（2）18. 【解析】【分析】（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=，对2C 的极坐标方程进行化简即可求得其直角坐标方程，再根据方程判断曲线类型即可；（2）联立直线l 的参数方程与曲线2C 的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数的几何意义求得1PA PB=，再将θ替换为π2θ+，即可求得1PC PD ，相加即可求得最后结果.。

2020届四川省绵阳市高三第四次高考适应性考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1. 已知集合{}{1,0,1,2},|1,x A B x e x R =-=≥∈,则A B =（） A. {0,1,2} B. {1,2} C. {}1-D. {2}【答案】A【解析】首先解不等式1x e ≥,得到{}|0B x x =≥,再求A B 即可.【详解】因为010x x e e e x ≥⇒≥⇒≥,所以{}|0B x x =≥.{0,1,2}A B ⋂=.故选：A2. 等差数列{}n a 中,353,7a α==,则7a =（ ）A. 5B. 9C. 11D. 13 【答案】C【解析】根据等差中项直接计算即可.【详解】因为5a 是37,a a 的等差中项,所以5372a a a =+,即7143a =+,解得711a =,故选：C3. 在平面内(AB AC →→==,则||BC →=（ ）A. 23B. 22C. 2D. 3【答案】B【解析】 根据向量减法可得BC AC AB →→→=-,直接计算向量的模即可.【详解】(1,3),(3,1)AB AC →→∴==-∴(31,13)BC AC AB →→→=-=--- 22||(31)(13)22BC →∴=--+-=, 故选：B4. 5G 时代悄然来临,为了研究中国手机市场现状,中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况,得到如下统计图,根据该统计图,下列说法错误的是（ ）A. 2019年全年手机市场出货量中,5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量【答案】D【解析】根据统计图,逐项分析即可.【详解】对于A,由柱状图可得五月出货量最高,故A 正确;对于B,根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小,故B 正确;对于C,根据曲线上数据可得仅仅四月五月比同比高,其余各月均低于2018年,且明显总出货量低于2018年,故C 正确;对于D,可计算的2018年12月出货量为()3044.4114.7%3569.05÷-=,8月出货量为。

四川省绵阳中学2025届高考适应性月考卷（一）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.若正实数a ，b 满足，则ab 的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.83.已知，，，则（ ）A. B. C. D.4.已知为锐角，且，则（ ）B.D.或5.已知的部分图象如图，则可能的解析式为（ ）A. B. C. D.6.在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.{}3log 2A x x =<{B y y ==()R A B = ð(0,9)[9,)+∞{0}[9,)+∞ [0,9)24a b ab +=-1334a -⎛⎫=⎪⎝⎭lg 4b =3log 2c =a b c>>a c b>>c a b>>c b a>>απ2cos 43α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos 2α=1919-2cos ()()x xf xg x +=()g x ()22x xg x -=+()22x xg x -=-2()g x x=()ln g x x=321()813f x x ax ax =--+(3,0)-a 90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,+∞(),3-∞-93,2⎛⎫- ⎪⎝⎭7.已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）A. B.为递增数列 C.为递减数列D.8.已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（ ）A.关于对称B.关于点对称C.的周期D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.某类汽车在今年1至5月的销量y （单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）：月份x 12345月销量y2.4m455.5若变量y 与x 之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）A. B.残差绝对值最大为0.2C.样本相关系数D.当解释变量每增加1，响应变量增加0.8510.函数满足，，有，下列说法正确的有（ ）A. B.C.为奇函数D.记，则在上单调递减11.对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，数列的前项和为，则D.若，，则三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为{}n a q n n S 6220S S =≠2q ={}n a {}n a 42S S =(1)y f x =+()y g x =R 1x =()g x ()(2)g x g x =-()f x ()f x 2x =()f x (4,0)()f x 4T =(2027)0f =ˆ0.85 1.45yx =+3.1m =0r <x y ()f x x ∀y ∈R ()()()f xy yf x xf y =+(0)0f =(1)0f =()f x ()()f x g x x=()g x (0,)+∞{}n a 1n n n a a a +∆=-21n n n a a a +∆=∆-∆*n ∈N n a n =20n a ∆=2n a n =1n na a +∆>∆3n a n ={}nb n n a ∆6n b n=(2)2n n a n ∆=+⋅12a =22n n na a a ∆=+∆π()3sin(2)()2f x x ϕϕ=+<π(,0)6()f x ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦________.13.已知数列满足，且，则________.14.，则在处的切线方程为________.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）为了了解某校学生每天课后自主学习数学的时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，学校数学组老师进行了一些调研，得到以下数据.学习时间x 2030405060数学成绩y59728297110（1）已知y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y 关于x 的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩（结果精确到整数）；（参考数据：，）（2）由于新高考改革，对于同学们自主学习提出了更高的要求，所以某校提倡学生周日下午学生返校自习，实施一段时间后，抽样调查了200位学生.按照是否参与周日自习以及成绩是否有进步，统计得到列联表.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周日自习与成绩进步”是否有关（结果精确到0.01）.没有进步有进步合计参与周日自习30130160未参与周日自习202040合计50150200附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.（本小题满分15分）已知.（1）讨论的单调性；{}n a 134n n a a +=+10a =n a =cos 2()sin xf x x =()f x ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭118070ni ii x y==∑219000ni i x ==∑22⨯0.001α=ˆˆˆybx a =+()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ˆˆay bx =-22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++αx α()ln f x x a x =+()f x（2）若的零点个数大于2，求a 的取值范围.17.（本小题满分15分）在锐角中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，.（1）求证：；（2），求的取值范围.18.（本小题满分17分）有个正数，排成行列的数表：其中表示位于第行，第列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有列公比相等，已知，，.（1）求；（2）若n 为偶数，求.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）当时，求证：；（2）求证：；（3）记集合，若集合的子集至少有4个，求的取值范围.()f x ABC △22b c ab =-2C B =2b =a 2(4)n n ≥n n ij a i j 141a =333a =355a =1112131412122232423132333434142434441234n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⎛⎫⎪⋯ ⎪ ⎪⋯ ⎪⋯ ⎪ ⎪⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎪⋯⎝⎭in a 224466nn a a a a ++++ ()(1)ln(1)(2)f x x x k x =----1k =()0f x ≥()1111*234enn n +++≤∈N 22eln e 10e kx k x A x x kx k +⋅=--⋅-⎭≥⎧⎫⎨⎬⎩+A k四川省绵阳中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案CCBBDAAB【解析】1.，，，故选C.2.，，，当且仅当时取“”，，故选C.3.，，，又，，，故选B.4.，，，又，.又，，，，，故选B.5.由图象对称性：为偶函数，又为偶函数，则为偶函数，排除B ；从定义域看，排除A ；当时，，，排除C ，故选D.6.在上有下穿变号零点，无上穿变号零点，，故选A.7.，，，，是公比为的等比数列，，即：，，，，，，，故A 对；{09}A x x =<<{0}B y y =≥()R {0}[9,)A B ∴=+∞ ða b +≥ 24ab ∴-≥20ab ∴≥1≤-2≥4ab ∴≥2a b ===min ()4ab ∴=0314a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭ lg101b <=3log 31c <=32lg 22lg 22lg 3lg 9lg101lg 2log 2lg 3b c ====<= b c ∴<a c b ∴>>2sin )3αα-=-14(1sin 2)29α∴-=1sin 29α∴=cos 2α∴==π02α<< ππ3π444α∴<+<π2cos 43α⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π2∴<π3π44α+<ππ42α∴<<π2π2α∴<<cos 2α∴=()f x 2cos y x x =+()g x 2()g x x =0x →()f x →+∞2()28f x x ax a '=-- (3,0)-(3)0,(0)0f f '->⎧∴⇒⎨'<⎩902a <<6220S S =≠ 1q ∴≠±2S ∴42S S -64S S -2q ()242S S ∴-=()264S S S -2242420S S S S -⋅-=()244220S S S S ∴--=()22222220S S q S q S ∴+⋅⋅-=422222220q S q S S ∴⋅+⋅-=4210q q ∴+-=2q ∴=2q ∴=q =，不为单调数列，故B ，C错；又D 错，故选A.8.与关于对称①，为奇函数②，又③，由①②③消去，得到：④关于点对称，⑤关于对称，，的对称轴有，，所以，正确；对称中心为，，所以B 错误；，所以D 正确，故选B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABABCABD【解析】9.由题意知：，又，则，，故A 对；各月份对应残差为0.1，，0，0.15，.残差绝对值最大为0.2，故B 对；变量与呈正线性相关，则，故C错；当解释变量增加1，响应变量不一定增加0.85，故D 错，故选AB.10.令；令；令，令为奇函数.由，可得，可用对数函数换底，如：，当时，可利用导数求得在上单调递减，在上单调递增，故选ABC.11.A.，；B.，，；C.，，又时，，D .，，，…，，{}n a ∴2421S q S =+=(1)y f x =+()y g x =1x =()(3)g x f x ⇒=-()g x ()()0g x g x ⇒-+=()(2)g x g x =-()g x (3)(3)0f x f x -++=()f x ⇒(3,0)(3)(1)f x f x -=+()f x ⇒2x =()y f x ∴=4()T f x =⇒2x k =k ∈Z A C (32,0)k +k ∈Z (2027)(3)0f f =⇒ˆ0.85 1.45yx =+3x =4y = 3.1m ∴=0.05-0.2-∴y x 0r >x y 0(0)0x y f ==⇒=1(1)2(1)(1)0x y f f f ==⇒=⇒=1(1)x y f ==-⇒=2(1)(1)0f f --⇒-=1()()(1)()()()y f x f x xf f x f x f x =-⇒-=-+-⇒-=-⇒()()()f xy f x f y xy x y =+()()()g xy g x g y =+()g x ()ln f x x x =0x >()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭111n n n a a a n n +∆=-=+-= 21110n n n a a a +∴∆=∆-∆=-=22(1)21n a n n n ∆=+-=+ 123n a n +∴∆=+1n n a a +∆>∆332(1)331n a n n n n ∆=+-=++ 117b a ∴=∆= 2n ≥16n n n b a a n -=∆-∆=7,1,6, 2.n n b n n =⎧∴=⎨≥⎩1(2)2nn n n a a a n +=∆=-+⋅ 12132a a ∴-=⋅23242a a -=⋅11(1)2n n n a a n ---=+⋅，，，，，，.又时也成立，，.又，，综上，故选ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12.，，，，，，，时，，.13.设，解得：，所以.又，则，故是以2为首项，3为公比的等比数列，所以，故.14..又，在处的切线方程为：，即.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）由表计算可得，，所以，所以，2n ≥12113242(1)2n n a a n -∴-=⋅+⋅+++⋅ ()2112322(1)2n n n a a n n -∴-=⋅++⋅++⋅ ()()2212112123222(1)26(1)262412n n nnn n a a n n --⋅-∴--=⋅+++-+⋅=+-+⋅=+--- (1)2n n +⋅122n n a a n ∴-+=-⋅+2n n a n ∴=⋅2n ≥1n =2n n a n ∴=⋅*n ∈N 211(3)2(2)2(4)2n n n n n n a a a n n n ++∆=Λ-∆=+⋅-+⋅=+⋅ 22(4)2(24)22(2)22n n n n n n n a a n n n n a ∴+∆=⋅++⋅=+⋅=⋅+⋅=∆π2π6k ϕ⨯+= k ∈Z ππ3k ϕ∴=-+k ∈Z π3ϕ∴=-π()3sin 23f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ππ,122x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦∴ππ2π2,363x ⎡⎤⎢⎥⎣-∈⎦-min 3()2f x ∴=-()13n n a r a r ++=+2r =()1232n n a a ++=+10a =122a +={}2n a +1223n n a -+=⋅1232n n a -=⋅-22sin 2sin cos cos 2π()(sin )4x x x x f x f x --⎛⎫''=⇒=- ⎪⎝⎭π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π04y x ⎫-=--⎪⎭y =-+40x =84y =12211807054084ˆ 1.27900054040ni ii nii x y nxybxnx ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑ˆˆ84 1.274033.2ay bx =-=-⨯=故.当时，，由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩为141分.（2），所以小概率值的独立性检验，周日自习与成绩进步有关.16.（本小题满分15分）解：（1）定义域为，又为偶函数，由对称性只需研究的单调性及零点个数即可.当时：.讨论：（i ）当时，在上単调递增.又为偶函数，在上单调递减时：在上单调递增，在上单调递减.（ii ）当时，，，，在上单调递增，在上单调递减.又由为偶函数在上单调递减，在上单调递增当时，在和上单调递增，在和上单调递减.（2）由（1）知为偶函数当时：的零点个数大于1个，由（1）知：必有，此时：在上单调递增，上单调递减又时，，时，，.17.（本小题满分15分）（1），，，ˆ 1.2733.2yx =+85x =ˆ141y ≈22200(130203020)16.6710.8285015016040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯0.001α={0}x x ≠()()()f x f x f x -=⇒()(0)y f x x =>0x >11()ln ()ax f x x ax f x a x x+'=+⇒=+=0a ≥()0()f x f x '>⇒(0,)+∞()f x (,0)-∞0a ⇒≥()f x (0,)+∞(,0)-∞0a <11()00,f x x x a a ⎛⎫'=⇒=-⇒∈- ⎪⎝⎭()0f x '>1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()0()f x f x '<⇒10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x ()f x ⇒1,0a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭⇒0a <()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,0a ⎛⎫⎪⎝⎭()f x ⇒0x >()f x 0a <()f x 10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭⇒0x →()0f x <x →+∞()0f x <1100e f a a ⎛⎫∴->⇒-<< ⎪⎝⎭2222cos b a c ac B =+-⋅ 2cos c B a b ∴⋅=+2sin cos sin sin C B A B ∴=+2sin cos sin()sin C B B C B∴=++，，（舍），（2），，，.又，，.18.（本小题满分17分）解：（1）每一行成等差数列，，即：第3行公差为1，.设每列公比为，又，，，，（2）由（1）知：，设，，①，②，由①②得：，，.19.（本小题满分17分）（1）证明：当时，，sin()sin C B B ∴-=C B B ∴-=πC B B -+=2.C B ∴=sin sin a bA B=2sin(π2)sin a B B B ∴=--2sin 32(sin cos 2cos sin2)sin sin B BB B B a B B+∴==222cos 24cos 8cos 2a B B B ∴=+=-π0,2πππ02,,264π0π22B C B B A B B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⇒<<⎨⎪⎪<=--<⎪⎩ cos B ∴∈213cos ,24B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭24a ∴<< 344a ∴=3n a n ∴=q 141a =344a =24q ∴=2q ∴=32i in a n -∴=⋅32n nn a n -=⋅224466n nn S a a a a =++++ 11332242622n n S n --∴=⋅+⋅+⋅++⋅ 024*********n n nS -∴=⋅+⋅+⋅++⋅ 2462412223212222n n n n n S -⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪⎝⎭-024231212121222n n n nS --=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅ 2142142nn n -=-⋅-()121232n n n =--⋅112323n n ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭1322918n n n S -∴=+⋅2244661322918nnn n a a a a -∴++++=+⋅ 1k =()(1)ln(1)(2)(1)f x x x x x =---->2(1)ln(1)1x x x x -⎡⎤=---⎢⎥-⎣⎦要证，只需证：即可.令上式等价于证，在上单调递减，在上单调递增，证毕.（2）要证：等价于证：，由（1）知：，令，分别令再相加.（3）解：中元素不止一个，说明至少存在2个，使得成立.，即：.令.由（1），令，令恒成立，现在又有时，，中元素不止一个说明：的解不止一个.令.讨论：①当时：在上単调递增，此时的零点最多一个，舍去；②当时，令在上单调递增，在上单调递减.又注意到：时，，当时：，要的零点不止一个，令；∴()0f x ≥2()ln(1)0(1)1x g x x x x -=--≥>-1x t -=⇒1()ln 10(0)h t t t t=-+≥>21()()t h t h t t-'=⇒ (0,1)(1,)+∞()(1)0h t h ⇒≥=11123e nn ++≤ 11123ln eln nn +++≤ 1ln 1(0)t t t≥->()1nt n n *=∈-Z 1ln1n n n ⇒≥-2,3,4,,n n = 231111ln ln ln 121234n n n⇒+++≥++++- 1111ln 234n n⇒≥++++ A 0x >22e ln e 10ekx k x x kx k +⋅--⋅-+≥22ln 22e e e ln e 1ln e 1eex k k kx k xx kx k x kx k +⋅+⋅--⋅-+=--⋅-+ 22ln e ln e e10x k k x kx k --⋅--⋅-+≥2ln e e 10tx kx k t t --⋅=⇒-+≥1ln 1t t≥-ln 1ee 1xx t x x x --=⇒≥-⇒≥-e 1t x t t -=⇒≥+e 1e 1ttt t ≤+⇒=+0t =A ∴2ln e 0x kx k --⋅=211()ln e ()(0)kx T x x kx k T x k x x x-'=--⋅⇒=-=>0k ≤()0()T x T x '>⇒(0,)+∞()T x 0k >1()0()T x x T x k '=⇒=⇒10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭x →+∞()0T x <0x →()0T x <()T x 2()ln 1e M k k k =++⋅易知在上单调递增，又当时，有此时中元素不止一个.()M k (0,)+∞212110e M ⎛⎫=-++=⇒⎪⎝⎭210ek <<()0M k <⇒A 210e k ⇒<<。

四川省绵阳市高中2020届高考数学适应性考试（四诊）试题 理注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将答题卡交回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A {1,0,1,2,{|},}1,xB x e x R =≥∈-=则A∩B=.0,1,2}{A .{1,2}.{1}.{2}B C D -2.等差数列{a n }中35,3,7,a α==则a 7= A.5B.9C.11D.133.在平面内()(),1,3,3,1,AB AC ==-则BC =.23.22.2?.3A B C D4.5G 时代悄然来临,为了研究中国手机市场现状,中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况,得到如下统计图:根据该统计图,下列说法错误的是A.2019年全年手机市场出货量中,5月份出货量最多B.2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C.2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D.2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量5.已知直线a,b 和平面α,下列命题正确的是 A.若a ∥α,b ⊂a,则a ∥b B.若a ∥α,b ∥α,则a ∥b C.若a ⊥α,a ⊥b,则b ⊂α D.若,,a b αα⊥⊥则a ∥b6.函数()sin 1y x =-的图象A.关于点(1,0)对称B.关于直线1x =对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称7.公元263年,数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”, 提出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则圆周合体而无所失矣”.右图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图,则其输出的n 的值为(参考数据3 1.73,,tan 0.27,tan0.13)1224ππ≈≈≈A.6B.12C.24D.488.已知数列{a n }的前n 项和21,nn S p =⨯+则{a n }为等比数列的充要条件是A.p=-l .01B p << Cp=-2 D.p>19.已知曲线()2:20,0C y px y p =>>的焦点为F,P 是c 上一点,以P 为圆心的圆过点F 且与直线x=-1相切,若圆P 的面积为25π,则圆P 的方程为()()22.1125A x y -+-= ()()22.2425B x y -+== ()()22.4425C x y -+-= ()()22.4225D x y -+-=10.已知()(),f x -∞+∞在上是减函数,若()1ln 3,(2ln ),3,2a fb fc f ===则a,b,c的大小关系为.Aa c b << .B c a b << .C b a c << .D c b a <<11.定义在R 上的偶函数()f x 对任意实数x 都有()()22,f x f x -=+且当(]1,3x ∈-时,21,(1,1]()1|2|,13]x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩（，则函数()()5||g x f x x =-的零点个数为A.5B.6C.10D.1212.我们把数列()2nn a a b c=+(其中*),,a c N b ∈与()2nn b a b c=-叫做“互为隔项相消数列”,显然.n n a b Z +∈已知数列{c n }的通项公式为()21,n nc ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦其中[x]表示不超过实数x 的最大整数,则c 2020除以4的余数为 A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 13.复数21ii-= ▲ 14.某工件模具的三视图如右图所示,已知俯视图中正方形的边长为2,则该模具的体积为 ▲15.实数x,y 满足约束条件020,10,,x x y y y ⎧⎪⎨⎪≥-≥--⎩≤若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最大值为4,则ab 的最大值为 ▲16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为()()212,0,2,0,F F -点P 是双曲线上任意一点,若12·PF PF 的最小值是-2,则双曲线C 的离心率为 ▲ 三、解答题:共70分。

2023-2024学年四川省绵阳市高三下册高考热身数学（理）模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的．）1．复数()i ,R z a b a b =+∈是纯虚数的充要条件是（）A ．0a ≠且0b =B ．0b =C ．1a =且0b =D ．0a b ==2．已知命题:0p x ∀>，使得()1e 1xx +>，则p ⌝为（）A ．00x ∃≤，使得()001e1x x +≤B ．00x ∃>，使得()001e1x x +≤C ．00x ∀>，使得()001e 1x x +<D ．00x ∀≤，使得()001e 1x x +≤3．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯足球赛，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况（其中曲线图表示气温，条形图表示降雨量），下列对1—11月份说法错误的是（）A ．有5个月平均气温在30℃以上B ．有4个月平均降水量为0mmC ．7月份平均气温最高D ．3月份平均降水量最高4．已知函数()y f x =的大致图像如图所示，则函数()y f x =的解析式应为（）A ．()e ln xf x x =B ．()e ln xf x x-=C ．()e ln xf x x=D ．()e ln xf x x=5．某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A ．883B ．83C ．913D ．4036．如图，点E 为ABC △的边AC 的中点，F 为线段BE 上靠近点B 的三等分点，则AF = （）A ．1233BA BC + B ．4233BA BC + C ．5166BA BC -+D ．2133BA BC -+7．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即ABC ∠）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即ADC ∠）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A ．(2a-B ．334a +C ．314a -D ．334a 8．已知0,0m n >>，直线11e y x m =++与曲线ln 2y x n =-+相切，则11m n+的最小值是（）A ．16B ．12C ．8D ．49．如图，正方形ABCD 的边长为1，M 、N 分别为BC CD 、的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，现有以下结论：①异面直线AC 与MN 所成的角为定值．②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．③三棱锥N ACM -与B ACD -体积之比值为定值．④四面体ABCD 的外接球体积为23V π=．其中说法正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①④10．已知sin sin 3cos sin 36ππαααα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．－1C ．12D ．211．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与曲线C 在第一象限交于点P ，且1224F PF S a =△，则曲线C 的离心率为（）A B ．12C 1-D 12．若2021202220222023log 2022,log 2023,,20212022a b c d ====，则,,,a b c d 中最大的是（）A ．aB ．bC ．cD ．d第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．某班有7名班干部，其中4名男生，3名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为__________．14．已知曲线()21f x mx mx =-+在点()()1,1f 处的切线被圆224460x x y y -++-=所截弦长最短，则m =_____________．15．一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为______．16．已知函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，若存在1233,,0,2x x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()3221124x x x x x -=-=，使()()()1230f x f x f x ==>，则ϕ的值为_______________．三、解答题：共70分。

绵阳中学2024届高三高考适应性考试（二）数学（理科）时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足(1i)|1i |-=-z ，则z = （ ）A. 1B.11i 22+ C.D. 1i +2. 命题“2R,240x x x ∀∈-+≤”的否定为（ ） A. 2R,240x x x ∀∈-+≥ B. 2R,240x x x ∀∈-+≤ C. 2R,240x x x ∃∈-+>D. 2R,240x x x ∃∉-+>3. 已知集合{}|2=<<+A x a x a ，(){}2ln 6|B x y x x ==+-，且A B ⊆，则（）A. 12a -≤≤B. 12a -<<C. 21a -≤≤D. 21a -<<4. 某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm ）均在区间[]10,20内，按照[)[)[)[)[]10,12,12,14,14,16,16,18,18,20分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm 的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（ ）A. 20B. 30C. 60D. 885. 中国空间站主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排1人，问天实验舱与梦天实验舱各安排2人，则甲、乙两人安排在同一个舱内的穊率为（ ）A.15B.14C.13D.126. 已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭区间π7π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有()7ππ66f f x f ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（ ） A.π12B.π6C.π4D.π37. 已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于,,,E F G H ,连接,,,EF FG GH HE ,现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子（豆子大小忽略不计），记事件A:豆子落在圆I 内；事件B:豆子落在四边形EFGH 外，则()P B A =的在A. 14π-B.4πC. 21π-D.2π8. 已知抛物线28y x =焦点为F ，点M 在抛物线上（异于顶点），2OM ON =（点O 为坐标原点），过点N 作直线OM 的垂线与x 轴交于点P ，则2OP MF -=（ ） A. 6B.C. 4D.9. 下面关于函数()f x =的叙述中，正确的是（ ）①()f x 的最小正周期为2π②()f x 对称中心为()π,0k③()f x 的单调增区间为()2π,2ππ,Z k k k +∈④()f x 的对称轴为πx k = A. ①③B. ②③④C. ②④D. ①③④10. 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）的的A.B.C.165D.56511. 已知正四棱台1111ABCD A B C D -（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD 边长为2，上底面边长为1，则不正确的是（ ）A. 它的表面积为5+B. 侧棱与下底面所成的角为60︒C. D. 的正方体的体积大12. 已知m ，n 为实数，()e 1x f x mx n =-+-，若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，则nm的最小值是（ ） A. 1-B. 0C. 1D. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 0αα-=，则cos 2=α________ 14. 若()202222022012202212x a a x a x a x -=++++ 则20221222022....222a a a ++的值__________． 15. 在ABC 中，3,sin sin (2)AB B m A m ==⋅≥，则ABC 的面积最大值为____________．16. 已知直线与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且,OA OB OD AB ⊥⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为()1,2，则AOB 的面积=__________.三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题（共60分）17. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4是13,a a 的等比中项，且63312S S -=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ．18. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在(]14,16内的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取20名学生，用()P k 表示这20名学生中恰有k 名学生周平均阅读时间在(]8,12内的概率，其中0,1,2,,20k =⋅⋅⋅．当()P k 最大时，写出k 的值．19. 如图1，在ABC 中，ACB ∠是直角，CA CB ==P 是斜边AB 的中点，M N ，分别是,PB PC 的中点．沿中线CP 将CAP 折起，连接AB ，点Q 是线段AC 上的动点，如图2所示．（1）求证：//MN 平面ABC ；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角Q MN C --时．求AQAC的值． 条件①：BP AC ⊥；条件②：AB AC =．20. 定义：一般地，当0λ>且1λ≠时，我们把方程2222(0)x y a b a b λ+=>>表示的椭圆C λ称为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的相似椭圆.（1）如图，已知())12,,F F M 为22:4O x y += 上的动点，延长1F M 至点N ，使得11,MN MF F N =的垂直平分线与2F N 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程；（2）在条件（1）下，已知椭圆C λ是椭圆C 的相似椭圆，11,M N 是椭圆C λ的左､右顶点.点Q 是C λ上异于四个顶点的任意一点，当2e λ=（e 为曲线C 的离心率）时，设直线1QM 与椭圆C 交于点,A B ，直线1QN 与椭圆C 交于点,D E ，求AB DE +的值.21. 已知函数()e ln kxf x x =-，k ∈R .（1）已知1k ≥，若1x ≥时，()f x t ≥恒成立，求t 的取值范围； （2）当1k =时，求证：()()()11ln f x a a a ≥++-.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 参数方程为42535a x t y t m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，（t 为参数，a ∈R ）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S 的极坐标方程为()6cos sin ρθθ=-.（1）若1a =，在极坐标系中，直线l经过点3π4A ⎛⎫⎪⎝⎭，求m 的值； （2）若1m =-，直线l 与曲线S 交于A 、B 两点，求AB 的最小值. 23. 已知函数()22 3.f x x x =+++（1）求函数()f x 的最小值；（2）若,,a b c 为正实数，且()()()21f a f b f c ++=，求111a b c++的最小值. 参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足(1i)|1i |-=-z ，则z = （ ）A. 1B.11i 22+C.D. 1i +【答案】C 【解析】【分析】根据复数模的计算以及复数的除法，即可求得答案. 【详解】由题意知复数z 满足(1i)|1i |-=-z ，即(1i)z z -==+∴==， 的故选：C2. 命题“2R,240x x x ∀∈-+≤”的否定为（ ） A. 2R,240x x x ∀∈-+≥ B. 2R,240x x x ∀∈-+≤ C. 2R,240x x x ∃∈-+> D. 2R,240x x x ∃∉-+>【答案】C 【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题及相关概念求解即可.【详解】命题“2R,240x x x ∀∈-+≤”的否定为“2R,240x x x ∃∈-+>” 故选：C3. 已知集合{}|2=<<+A x a x a ，(){}2ln 6|B x y x x ==+-，且A B ⊆，则（）A. 12a -≤≤B. 12a -<<C. 21a -≤≤D. 21a -<<【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出a 的取值范围即可． 【详解】解：由260x x +->，()()023x x +-<，解得23x -<<，所以(){}{}2ln 6||23B x y x x x x ==+-=-<<，集合{}|2A x a x a =<<+≠∅， 因为A B ⊆，所以223a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得21a -≤≤．故选：C ．4. 某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm ）均在区间[]10,20内，按照[)[)[)[)[]10,12,12,14,14,16,16,18,18,20分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm 的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（ ）A. 20B. 30C. 60D. 88【答案】C 【解析】【分析】根据频率分布直方图求高度不低于16cm 的频率和频数即可．详解】由频率分布直方图知，高度不低于16cm 的频率为(0.200.10)20.60+⨯=， 所以选取的农作物样本苗中“优质苗”株数为1000.6060⨯=． 故选：C ．5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排1人，问天实验舱与梦天实验舱各安排2人，则甲、乙两人安排在同一个舱内的穊率为（ ）A.15B.14C.13D.12【答案】A 【解析】【分析】计算出安排5人的方案总数，以及甲、乙两人安排在同一个舱内的方案种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，共有1222542222C C C A 30A =种不同的方案， 甲、乙两人安排在同一个舱内共有1123C C 6=种不同的方案，【故甲、乙两人安排在同一个舱内的概率为61305=. 故选：A.6. 已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间π7π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有()7ππ66f f x f ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（ ） A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用正弦函数的图象和性质，求出1ω=，由π6是函数()f x 的最大值点，即可求出3πϕ=.【详解】由题意知，函数()f x 的最小正周期为2πT ω=，因为函数()f x 在π7π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且()7ππ66f f x f ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 所以7ππ266T =-，即12ππ2ω⋅=，解得1ω=， 又π6是函数()f x 的最大值点，7π6是函数()f x 的最小值点，所以ππ12π62k ϕ⨯+=+，又π2ϕ< ，解得3πϕ=.故选：D.7. 已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于,,,E F G H ,连接,,,EF FG GH HE ,现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子（豆子大小忽略不计），记事件A:豆子落在圆I 内；事件B:豆子落在四边形EFGH 外，则()P B A =A. 14π-B.4πC. 21π-D.2π【答案】C 【解析】【详解】分析：设正方形ABCD 边长为a ,分别求解圆I 和正方形EFGH 的面积，得到在圆I 内且在正方形EFGH 内的面积，即可求解()P B A .详解：设正方形ABCD 边长为a ,则圆I 的半径为,2a r =其面积为21.4a π 设正方形EFGH 边长为b ,,a b =⇒=其面积为211,2S a =则在圆I 内且在正方形EFGH 内的面积为21,S S S =- 故()121.S S P B A S π-==- 故选C ．点睛：本题考查条件概率的计算，其中设正方形ABCD 边长和正方形EFGH 得到在圆I 内且在正方形EFGH 内的面积是解题的关键.8. 已知抛物线28y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上（异于顶点），2OM ON =（点O 为坐标原点），过点N 作直线OM 的垂线与x 轴交于点P ，则2OP MF -=（ ） A. 6B.C. 4D.【答案】A 【解析】【分析】设200,8y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，由2OM ON = ，得N 为OM 的中点, 表示NP 的方程，求出点P 的坐标，结合抛物线的定义求得结果.【详解】法一：依题意，设200,8y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2OM ON = ，得N 为OM 的中点且200,162y y N ⎛⎫⎪⎝⎭， 则08=OMk y ，易得直线OM 的垂线NP 的方程为20002816y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.令0y =，得20416y x =+，故204,016y P ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义易知2028y MF =+，故220022426168y y OP MF ⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选:A.法二：特殊值法.不妨设()8,8M ，则()4,4N ，则1OMk =，易得直线OM的垂线NP 的方程为()44y x -=--.令0y =，得8x =，故()8,0P ，又10MF =，故216106OP MF -=-=.故选:A.9. 下面关于函数()f x =的叙述中，正确的是（ ）①()f x 的最小正周期为2π②()f x 的对称中心为()π,0k③()f x 的单调增区间为()2π,2ππ,Z k k k +∈④()f x 的对称轴为πx k = A. ①③ B. ②③④C. ②④D. ①③④【答案】D 【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简函数式，再逐一判定即可.【详解】()22sin 1cos 2tansin 22sin cos22x xx f x x x x-===== ， ①，函数()f x 的最小正周期π2π12T ==，①正确； ()f x 的定义域关于原点对称且()tan()tan (),()22x xf x f x f x -=-==∴为偶函数，(2π)()(),()f x k f x f x f x ∴+==-∴的对称轴为2ππ,Z 2x k xx k k +-==∈∴②错误，④正确；当(2π,2ππ),Z x k k k ∈+∈，即π(π,πZ 22x k k k ∈+∈时，()tan 2xf x =单调递增，③正确.故选：D10. 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A.B.C.165D.565【答案】D 【解析】【分析】建立如图所示的坐标系，根据25PB PC PD =- 可求其最大值.【详解】以A 为原点建系，()()0,2,4,0BC ，:142x yBC +=，即240x y +-=，故圆的半径为r ， ∴圆2216:5A x y +=，设BC 中点为()2,1D ， 22221120544PB PC PD BC PD PD =-=-⨯=- ，maxPD AD r =+==，∴()max8156555PB PC=-= ， 故选：D.11. 已知正四棱台1111ABCD A B C D -（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD 边长为2，上底面边长为1，则不正确的是（ ）A. 它的表面积为5+B. 侧棱与下底面所成的角为60︒C. D. 的正方体的体积大【答案】C 【解析】【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形11ABB A 的面积，即可判断A 的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断B 的正误；求得12C O 的长，分析可得2O 即为正四棱台1111ABCD A B C D -外接球的球心，且外接球半径的正误，即可判断C ，根据体积公式即可求解D ．【详解】由题意得：上底面1111D C B A 的面积1111S =⨯=，下底面ABCD 的面积2224S =⨯=， 侧面11ABB A 为等腰梯形，过1A 、1B 分别做AB 的垂线，垂足为E 、F ，如图所示，所以111EF A B ==，则12AE BF ==，所以1B F ==， 所以梯形11ABB A的面积为31(12)2S =⨯+=， 所以正四棱台1111ABCD A B C D -的表面积12345S S S S =++⨯=+，故A 正确； 连接11A C ，11B D ，且交于点1O ，连接AC ，BD 交于点2O ，连接12O O ， 则12O O 垂直底面ABCD ，过1A 作12A G AO ⊥于G ，则1A G ⊥底面ABCD ，则四边形121A GO O 为矩形，由题意得11A C ==，所以11A O =，同理2AC AO ==，又112A O GO =，所以AG =， 在1Rt A GA中，111cos 2AG A AG A A ∠===， 所以160A AG ∠=︒，即侧棱与下底面所成的角为60︒，故B 正确；所以1A G ==．连接12C O ，在112Rt C O O中，12C O ==， 所以点2O 到A 、B 、C 、D 、1A 、1B 、1C 、1D， 所以点2O 即为正四棱台1111ABCD A B C D -外接球的球心，且外接球半径R =所以外接球的表面积24π8πS =⨯=，故C 错误；正四棱台的体积1121211((1433V S S O O =⨯+⨯=⨯++=的正方体的体积32V ==，所以121V V ===>，所以12V V >，所以正四棱台1111ABCD A B C D -的正方体的体积大，故D 正确. 故选：C ．【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 12. 已知m ，n 为实数，()e 1x f x mx n =-+-，若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，则nm的最小值是（ ） A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可.【详解】()e 1,()e x x f x mx n f x m =-+-=-'， 当0m ≤时，()0f x '>恒成立，则()f x 单调递增，()0f n =，显然()0f x ≥不恒成立，当0m >时，(,ln )x m ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，∴min ()(ln )ln 1f x f m m m m n ==-+-， ∵()0f x ≥恒成立，∴ln 10m m m n -+-≥， ∴ln 1n m m m ≥-+， ∴ln 11ln 1n m m m m m m m-+≥=+-， 令1()ln 1,0h m m m m=+->， 22111(),()m h m h m m m m-=-='在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增， ∴min ()(1)0h m h ==． 故选：B【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合构造新函数法是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 0αα-=，则cos 2=α________【答案】13-【解析】【分析】首先求出tan α，再根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】由sin 0αα-=可得tan α=，故22222222cos sin 1tan 121cos 2cos sin cos sin 1tan 123ααααααααα---=-====-+++. 故答案为：13-14. 若()202222022012202212x a a x a x a x -=++++ 则20221222022 (222)a a a ++的值__________．【答案】1- 【解析】【分析】根据题意，分别令令0x =和令12x =，分别求得01a =和2022120220220222a a a a ++++= ，即可求解.【详解】由()202222022012202212x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，可得01a =；令12x =，可得2022120220220222a a a a ++++= ， 所以20221222022....011222a a a ++=-=-. 故答案为：1-.15. 在ABC 中，3,sin sin (2)AB B m A m ==⋅≥，则ABC 的面积最大值为____________． 【答案】3 【解析】【分析】先由正弦定理得到AC m BC =⋅，再建立平面直角坐标系求得点C 的轨迹，从而得到ABC 的面积关于m 的解析式，利用函数的单调性即可求得ABC 的面积最大值.【详解】因为sin sin B m A =⋅，所以由正弦定理得b ma =，即AC m BC =⋅， 以线段AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则33,0,,0,(,)22A B C x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由AC m BC =⋅m = 因为2m ≥，所以整理得2222339014m x y x m ++-+=-，由此可知点C 的轨迹是以()2233,021m m ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，以231m r m =-为半径的圆， 所以当点C 在圆上运动时，点C 到x 轴的最大距离为半径231mr m =-，所以ABC 的面积2139131212m S m m m=⨯⨯=⨯--在[)2,m ∈+∞上单调递减，所以max 9131222S =⨯=-． 故答案为：3.16. 已知直线与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且,OA OB OD AB ⊥⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为()1,2，则AOB 的面积=__________.【答案】 【解析】【分析】求出直线AB 的方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，由OA OB ⊥得到方程，然后求出p 的值，再求出12y y -，最后求出面积即可. 【详解】点D 的坐标为()1,2，则2OD k =， 又OD AB ⊥，且直线AB 过点()1,2D ， 则直线AB 的方程为()1212y x -=--，整理得250y x +-=， 设点A 的坐标为()11,x y ，点B 的坐标为()22,x y ，由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，直线AB 的方程为52xy =-，()()()1212121212125252102505x x y y y y y y y y y y ∴+=--+-+=+=， ()1212250y y y y ∴-++=①，联立52x y =-与22(0)y px p =>，消去x 得24100y py p +-=，则1212410y y py y p+=-⎧⎨=-⎩②，把②代入①，解得52p =， 故12y y -===，又直线AB 与x 轴的交点为()5,0，所以12152ABO S y y =⨯⨯-=. 故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题（共60分）17. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4是13,a a 的等比中项，且63312S S -=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ． 【答案】（1）31n a n =-（2）()231n nT n =+【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列求和公式得到关于1a 、d 的方程组，解得即可； （2）由（1）求出n S ，从而得到121131n S n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】设正项等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，因为4是13,a a 的等比中项，所以2134a a =，即()11216a a d +=，又63312S S -=，即()1161533312a d a d +-+=，即124d a =+， 解得123a d =⎧⎨=⎩或14a d =-⎧⎨=⎩（舍去），所以()23131n a n n =+-=-； 【小问2详解】 由（1）可得()2131213222n S n n n n n =+-⨯=+， 所以()312n S n n n +=+， 所以()1212113131n S n n n n n ⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭， 所以()21111121211322313131n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ． 18. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在(]14,16内的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取20名学生，用()P k 表示这20名学生中恰有k 名学生周平均阅读时间在(]8,12内的概率，其中0,1,2,,20k =⋅⋅⋅．当()P k 最大时，写出k 的值． 【答案】（1）0.1a =（2）分布列见解析；数学期望()65E X = （3）10k = 【解析】【分析】（1）根据频率和为1，可构造方程求得a 的值；（2）根据分层抽样原则可确定10人中，周平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18的人数，则可确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得X 每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；（3）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在(]8,12内的概率，利用二项分布概率公式可表示出()P k ，由此可确定结果. 【小问1详解】()0.020.030.050.050.150.050.040.0121a ++++++++⨯= ，0.1a ∴=.【小问2详解】由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在(]12,14，(]14,16，(]16,18三组的频率之比为0.05:0.04:0.015:4:1=，10∴人中，周平均阅读时间在(]12,14的人数为510510⨯=人；在(]14,16的人数为410410⨯=人；在(]16,18的人数为110110⨯=人；则X 所有可能取值为0,1,2,3，()36310C 2010C 1206P X ∴====；()2164310C C 6011C 1202P X ====；()1264310C C 3632C 12010P X ====；()34310C 413C 12030P X ====；X ∴的分布列为：的X12 3P1612310130∴数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【小问3详解】用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取1名学生，周平均阅读时间在(]8,12内的概率()10.150.120.52p =+⨯==； 则()()202020202020C 11C 1C 222k kkkk k k P k p p --=-=⨯⨯=， 若()P k 最大，则20C k最大，∴当10k =时，()P k 取得最大值.19. 如图1，在ABC 中，ACB ∠是直角，CA CB ==P 是斜边AB 的中点，M N ，分别是,PB PC 的中点．沿中线CP 将CAP 折起，连接AB ，点Q 是线段AC 上的动点，如图2所示．（1）求证：//MN 平面ABC ；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角Q MN C --时．求AQAC的值． 条件①：BP AC ⊥；条件②：AB AC =． 【答案】（1）证明见解析；（2）34.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接证明；（2）选条件①：BP AC ⊥.可以证明出,,AP BP CP 两两垂直，以P 原点，,,BP CP AP分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.选条件②：AB AC =.先证明出,,AP BP CP 两两垂直，以P 原点，,,BP CP AP分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解. 【小问1详解】在PBC 中，因为M N ，分别是,PB PC 的中点，所以//BC MN . 因为MN ⊄面ABC ,BC ⊂面ABC , 所以//MN 平面ABC . 【小问2详解】在ABC 中，ACB ∠是直角，CA CB ==，P 是斜边AB 的中点，所以CP AB ⊥，即,CP AP CP BP ⊥⊥. 选条件①：BP AC ⊥.因为BP AC ⊥，CP BP ⊥，AC CP C ⋂=,AC ⊂面ACP ,CP ⊂面ACP , 所以BP ⊥面ACP .又CP AP ⊥，可以以P 原点，,,BP CP AP分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.在ABC 中，ACB ∠是直角，CA CB ==，P 是斜边AB 的中点，所以2CP AP BP ===. 所以()0,0,0P ，()0,0,2,A ()2,0,0B ，()0,2,0C .因为M N ，分别是,PB PC 的中点，所以()1,0,0M ，()0,1,0N ，所以()1,1,0MN =- ，()0,1,0NC =. 因为点Q 是线段AC 上的动点，所以可设()()0,2,2,01CQ tCA t t t ==-≤≤,所以()()()0,1,00,2,20,12,2NQ NC CQ t t t t =+=+-=-. 不妨设(),,m x y z =为平面QMN 的一个法向量，则()()()()(),,1,1,00,,0,12,201220m MN x y z x y m MN x y z t t t y tz ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-+=⎪⎩ ，设1y =，则121,1,2t m t -⎛⎫= ⎪⎝⎭ .显然()0,0,2PA =为面CMN 的一个法向量.所以二面角Q MN C --余弦值为cos ,m PA m PA m PA ⋅==⨯.由题意可得：cos ,m PA m PA m PA⋅===⨯，解得：14t =. 所以34AQ AC =. 选条件②：AB AC =.在ABC 中，ACB ∠是直角，CA CB ==，P 是斜边AB 的中点，所以2CP AP BP ===.,CP AP CP BP ⊥⊥.因为AB AC ==，所以222AP BP AB +=，所以AP BP ⊥.所以可以以P 原点，,,BP CP AP分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()0,0,2,A ()2,0,0B ，()0,2,0C .因为M N ，分别是,PB PC 的中点，所以()1,0,0M ，()0,1,0N ，所以()1,1,0MN =- ，()0,1,0NC =. 因为点Q 是线段AC 上的动点，所以可设()()0,2,2,01CQ tCA t t t ==-≤≤,所以()()()0,1,00,2,20,12,2NQ NC CQ t t t t =+=+-=-. 不妨设(),,m x y z =为平面QMN 的一个法向量，则的()()()()(),,1,1,00,,0,12,201220m MN x y z x y m MN x y z t t t y tz ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-+=⎪⎩ ，设1y =，则121,1,2t m t -⎛⎫= ⎪⎝⎭ .显然()0,0,2PA =为面CMN 的一个法向量.所以二面角Q MN C --的余弦值为cos ,m PA m PA m PA ⋅==⨯.由题意可得：cos ,m PA m PA m PA⋅===⨯，解得：14t =. 所以34AQ AC =. 20. 定义：一般地，当0λ>且1λ≠时，我们把方程2222(0)x y a b a b λ+=>>表示的椭圆C λ称为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的相似椭圆.（1）如图，已知())12,,F F M 为22:4O x y += 上的动点，延长1F M 至点N ，使得11,MN MF F N =的垂直平分线与2F N 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程；（2）在条件（1）下，已知椭圆C λ是椭圆C 的相似椭圆，11,M N 是椭圆C λ的左､右顶点.点Q 是C λ上异于四个顶点的任意一点，当2e λ=（e 为曲线C 的离心率）时，设直线1QM 与椭圆C 交于点,A B ，直线1QN 与椭圆C 交于点,D E ，求AB DE +的值.【答案】（1）2214x y +=（2）5 【解析】【分析】（1）由图可知OM 是12F NF △的中位线，由此可得2F N 长为定值，因为点P 在1F N 的垂直平分线上，所以122PF PF PF PN +=+，根据椭圆定义求解析式即可；（2）假设出点Q 坐标，表示直线1QM 与直线1QN 的斜率，并找出两斜率关系，最后表示出两直线方程，分别与椭圆C 联立方程，利用弦长公式和韦达定理求出AB DE +的值. 【小问1详解】 连接OM ，易知212OM F N ∥且212OM F N =，24F N ∴=，又点P 在1F N 的垂直平分线上，1PF PN ∴=，12224PF PF PF PN NF ∴+=+==>2,1a c b ∴===，∴曲线C 的方程为2214x y +=. 【小问2详解】由（1）知椭圆C 方程为2214x y +=，则离心率34e λ=⇒=，∴楄圆C λ的标准方程为224133x y +=， 设()00,Q x y 为椭圆C λ异于四个顶点的任意一点，直线11,QM QN 斜率11,QM QN k k ，则112203QM QN y k k x ⋅==-， 又()222200004113334x y y x +=⇒=-， 1111142QM QN QM k k k ⎛⎫∴⋅=-≠± ⎪⎝⎭.设直线1QM 的斜率为k ，则直线1QN 的斜率为14k-. ∴直线1QM为(y k x =+，由(22,1,4y k x xy ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得()2222141240k x x k +++-=，设()()1122,,,A x y B x y，则21212212414k x x x x k-+==+，()2224114k AB x k +∴=-==+，同理可得2211614k DE k +=+，()22224111651414k kAB DE kk++∴+=+=++.21. 已知函数()e ln kxf x x =-，k ∈R .（1）已知1k ≥，若1x ≥时，()f x t ≥恒成立，求t 的取值范围； （2）当1k =时，求证：()()()11ln f x a a a ≥++-.【答案】（1）(,e k⎤-∞⎦（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出1k ≥时，()f x 在区间[)1,+∞上的最小值m ，使t m ≤即可； （2）设()()()11ln g a a a a =++-，证明()()min max f x g a =即可小问1详解】∵()e ln kxf x x =-，()0,x ∈+∞，设()()1e kxF x f x k x '==-，()0,x ∈+∞，则()221e 0kxF x k x '=+> ∴()()1e kxF x f x k x'==-在区间()0,∞+上单调递增，∵1k ≥，∴[)1,x ∀∈+∞，()()1e 1e 10kf x f k ''≥=-≥->，∴()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，()()e n1e 1l kkf x f -≥==，∴若()f x t ≥恒成立，则e k t ≤，综上所述，若1x ≥时，()f x t ≥恒成立，则t 的取值范围是(,e k⎤-∞⎦.【小问2详解】当1k =时，()e ln xf x x =-，()0,x ∈+∞，则()1e xf x x'=-，易知()f x '在区间()0,∞+上单调递增，又∵121e 202f ⎛⎫'=-=< ⎪⎝⎭，()1e 10f '=->，∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()0001e 0xf x x '=-=， 当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 在区间()00,x 上单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增，∴()f x 在0x x =处取得极小值，也是最小值，()()000min e ln xf x f x x -==，∵001e 0xx -=，∴001e x x =，两边同时取对数，又有00ln x x =-， ∴()0min 0001e ln xf x x x x =-=+， 设()()()11ln g a a a a =++-，()0,a ∈+∞，.【则()111ln ln a g a a a a a-'=-+=-，易知()g a '在区间()0,∞+上单调递减， 又∵()11ln110g '=-=>，()13ln 303g '=-<，∴()01,3a ∃∈，使()0001ln 0g a a a '=-=， 当()00,a a ∈时，()0g a '>，()g a 在区间()00,a 上单调递增， 当()0,a a ∈+∞时，()0g a '<，()g a 在区间()0,a +∞上单调递减，∴()g a 在0a a =处取得极大值，也是最大值，()()()()000max 011ln g a a g a a a +==+-，∵001ln 0a a -=，∴001ln a a =， ∴()()()()()0000ma 0000x 1111ln 11g a a a a a a a a a ++-=+=+-=+， 设l (n )h x x x =+，()0,x ∈+∞， ∵00ln x x =-，∴000()ln 0h x x x =+=， ∵001ln a a =，∴000001111()ln ln 0h a a a a a =+=-=， 易知l (n )h x x x =+在区间()0,∞+上单调递增， ∴()h x 至多有一个零点，∴001x a =，∴()()0minmax 00011f a x xg a x a +==+=， ∴()()()()()()min max 11ln f a a x f x g a a g a ≥++-≥==， 即()()()11ln f x a a a ≥++-.【点睛】方法点睛：证明不等式()()12f x g x ≥恒成立问题，可以先通过导数求出()f x 的最小值()min f x 和()g x 的最大值()max g x ，再证明()()min max f x g x ≥即可.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为42535a x t y t m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，（t 为参数，a ∈R ）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S 的极坐标方程为()6cos sin ρθθ=-.（1）若1a =，在极坐标系中，直线l经过点3π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求m 的值； （2）若1m =-，直线l 与曲线S 交于A 、B 两点，求AB 的最小值.【答案】（1）1m =-（2）【解析】【分析】（1）根据点A 的极坐标求出点A 的直角坐标，再将1a =和点A 的直角坐标代入直线l 的参数方程即可得解；（2）先将曲线S 的极坐标方程化为普通方程，再分0a ≠和0a =两种情况讨论求出直线l 所过的定点P ，再根据当Р为AB 的中点时AB 最小，结合圆的弦长公式即可得解.【小问1详解】设点A 的直角坐标为()00,x y ，因为点A的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭.∴03π24x ⎛===- ⎝，03π24y ===， ∴当1a =时，得422,532,5t t m ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解之，得5,1.t m =-⎧⎨=-⎩ ∴1m =-；【小问2详解】将曲线S 的极坐标方程()6cos sin ρθθ=-化为直角坐标方程为()()223318x y -++=，∴曲线S 是以()3,3C -为圆心，半径r =的圆，当1m =-时，若0a ≠，化直线l 的参数方程为普通方程l ：()3124y x a +=--， 直线l 过定点()2,1P -，若0a =，直线l 的普通方程为l ：2x =，直线l 也过点()2,1P -，∴直线l 恒过定点()2,1P -，∵()()222313518-+-+=<，∴点Р在圆C 内，∴当Р为AB 的中点时AB 最小，这时PC AB ⊥，PC ==∴minAB ==. 23. 已知函数()22 3.f x x x =+++（1）求函数()f x 的最小值；（2）若,,a b c 为正实数，且()()()21f a f b f c ++=，求111a b c ++的最小值. 【答案】（1）min 1()2f x =（2）9.2【解析】【分析】（1）由绝对值的定义去掉绝对值符号后得函数的单调性，从而得最小值； （2）结合（1）得出2a b c ++=，然后利用柯西不等式可得最小值．【小问1详解】 35,23()2231,22335,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=+++=---<≤-⎨⎪⎪+>-⎪⎩， ()f x 在3(,)2-∞-上单调递减，在3(,)2-+∞上单调递增，所以min 31()()22f x f =-=； 【小问2详解】 由已知得当0x >时，()35,f x x =+则由()()()21f a f b f c ++=得： 3()1521,a b c +++=即：2,a b c ++= 则由柯西不等式得：111()9,a b c a b c ++++≥ 所以11192a b c ++≥，当且仅当23a b c ===时等号成立. 所以111a b c ++的最小值为9.2。

考试时间：2022年5月19日下午3：00～5:00南山中学高2022届高考适应性考试数学试题（理工类）编辑 龙小平一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合21{|},{|1}A x x x B x x =≤=≥，则A B =( )A.(,1]-∞B.[0,1]C. (0,1]D. (,0)(0,1]-∞2、已知i 为虚数单位，复数11i -的虚部是（ ） A. 12 B. 12-C. 12iD. 12i -3、下列说法中正确的是（ ） A.()00f =是函数()f x 是奇函数的充要条件B. 若6πα=，则1sin 2α=的否命题是若6πα≠，则1sin 2α≠C. 若:p 0R x ∃∈，20010x x -->，则:p ⌝R x ∀∈，210x x --<D. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题4、执行右面的程序框图，假如输入的x 在[1,3]-内取值， 则输出的y 的取值区间为（ ）A.[0,2]B.[1,2]C.[0,1]D.[1,5]-5、将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个 单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4x π=对称，则φ的最小值为（ ） A ．18π B ．34π C ．12πD ．38π6、某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积的最大值为( ) A ．1 B.16 C.13 D.127、某学校组织演讲竞赛，预备从甲、乙等8名同学中选派4名同学参与，要求甲、乙两名同学至少有一人参与，且若甲、乙同时参与时，他们的演讲挨次不能相邻，那么不同的演讲挨次的种类为( )A ．1860 B ．1320 C ．1140 D ．10208、已知)02(534sin )3sin(<<--=++απαπα，则)32cos(πα+=( ) A ．54-B ．54 C. 53-D. 539、过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →，则|BC |＝( )A.92 B ．6 C.132D ．8 10、已知函数)(ln 22)(2R a x a ax x x f ∈--=，则下列说法错误．．的是( ) A.当21≥a 时，函数y =)(x f 有零点 B.若函数y =)(x f 有零点，则21≥aC.存在0<a ，使函数y =)(x f 有唯一零点D.若函数y =)(x f 有唯一零点，则1≤a 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11、若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________12、假如nx x )13(32-的开放式中各项系数之和为128，则开放式中31x 的系数是13、已知圆C:()()22341x y -+-=和两点(),0m A -，(),0m B （0m >），若圆上存在点P ，使得90∠APB =，则m 的取值范围是14、设x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,00440434y x y x y x ，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则ab 的最大值为________ 15、已知函数()3f x x =的图象为曲线C ，给出以下四个命题：①若点M 在曲线C 上，过点M 作曲线C 的切线可作一条且只能作一条； ②对于曲线C 上任意一点()()111,0P x y x ≠，在曲线C 上总可以找到一点()22,Q x y ，使1x 和2x 的等差中项是同一个常数；开始0?x ≥ 是2log (1)y x =+结束否第11题图x输入y输出21x y -=-③设函数()()2sin2g x f x x=-，则()g x 的最小值是0；④若()()8f x a f x +≤在区间[]1,2上恒成立，则a 的最大值是2.其中全部正确命题的序号是________三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、（本小题满分12分）已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝)21,cos 3(-x ， 函数f (x )＝(a ＋b )·a －2. (1)求函数f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，其中A 为锐角，a ＝32，c ＝4，且f (A )＝1，求△ABC 的面积S .17、（本小题满分12分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣扬效果，随机抽取了100名年龄阶段在[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示.（1）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数； （2）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50,60)年龄段抽取的人数；（3）从（2）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50,60) 年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，3CD =．（1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M BQ C --大小的为60 ，求QM 的长． 19、（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和是nS ，且112n n S a += ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 记23log 4nn a b =，数列21{}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，若不等式n T m <对任意的正整数n 恒成立，求m 的取值范围。

绵阳中学高级高考适应性检测数学（理科）试题一、选择题:本题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确答案。

1、复数(1)z a a ai =-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A.0B.1C.0或1D.1或22、直线310x -=的倾斜角α为（ ） A.3πB. 23πC.6π D.56π 3、函数ln(1)1y x =-+，(1)x >的反函数为（ ） A.11(1)x y ex -=+>B. 11()x y e x R -=+∈ C. 11(1)x y ex +=->D. 11()x y ex R +=-∈4、各项均为正数且公差为1的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则1lim nn n n S a a →∞+=⋅（ ）A.1B. 12C. 13D. 145、给出互不重合的直线m n l 、、和互不重合的平面αβ、，下列四个命题： ①若,,m lA A m αα⊂=∉，则l 与m 不共面；②若l 、m 是异面直线，//,//,l m αα且,n l n m ⊥⊥，则n α⊥； ③若,,,//,//l m lm A l m ααββ⊂⊂=，则//αβ；④若//,//,//l m αβαβ，则//l m . 其中真命题有：A.1个B.2个C.3个D.4个6、5位同学报名参加甲和乙两个课外小组，每位同学都要报名且限报1个，且甲小组至少有2名同学报名，乙小组至少有1名同学报名，则不同的报名方法有（ ）A.25B.50C.100D.1207、设抛物线28y x =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，则弦AB 的长为（ ） A.5 B.8C.10D.128、为得到cos 2y x =的图像，可将sin y x =的图像（ ） A. 先将横坐标缩短为原来的一半，再向左平移4π个单位. B. 先将横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2π个单位. C.先向左平移4π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半. D.先向右平移2π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半.9、设二元一次不等式组1,1,30x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为M ，若曲线22y px =经过区域M ，则实数p 的取值范围是（ ） A.(0,2]B. 1[,)4+∞C.1[,)2+∞D. 1[,2]410、设向量(,),(0,0),||1,(1,3),m x y x y m n a m n =≥≥===⋅，则222()2()T a a a a=-++的最大值为（ ）A.8B.7C.42D. 42111、已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x 都有()(4),(1)(3)f x f x f x f x =-+=-+，若[0,4]x ∈时，()||f x x a b =-+，则a b +的值为（ ）A.2B. 0C. 1D.无法确定12.已知直角FPA ∆,090,FPA ∠=060.PFA ∠=以F 为左焦点， A 为右顶点的椭圆经过点P ,则椭圆的离心率为（ ）A. 12B. 13C. 34D. 23二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分。

绵阳中学2024届高三高考适应性考试（四）数学（理科）时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}244,RA y y x x x ==-+∈，(){}2ln 4B x y x ==-，则A B = （）A [)0,2B. []22-,C. ()2,0-D. ()2,2-2. 已知i 是虚数单位，若复数z 的实部为1，4z z ⋅=，则复数z 的虚部为（ ）A.B.C. 1-或1D.3. 已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为A. 0x y ±=B. 0x ±=C.0y ±=D. 20x y ±=4. 18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ+++⋅⋅⋅+=+（常数0.557γ=⋅⋅⋅）．利用以上公式，可以估计111100011000220000++⋅⋅⋅+的值为（ ）A. ()4ln 210⨯B. 4ln 2+C. 4ln 2-D. ln 25. 若实数x ,y 满足约束条件21050x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩,则z x y =+的（ ）A. 最大值为4B. 最小值为4C. 最大值为5D. 最小值为56. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，12a =，879S S S ≥≥，则公差d 的取值范围是（ ）.的A 24,715⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 21,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. 41,154⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 2,07⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7. 记函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若π2πT <<，且()y f x =的图象的一条对称轴为π6x =，关于该函数有下列四个说法： ①23ω<<； ②π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭； ③()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④为了得到()sin g x x ω=的图象，只需将()f x 的图象向右平移π4个单位长度． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知递增数列{}n a 满足()121*n n n n a a a a n +++-=-∈N ．若41014a a +=，21224a a ⋅=，则数列{}n a 的前2023项和为（ ） A. 2044242 B. 2045253C. 2046264D. 20472769.记ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角π4C =，ππsin sin 44b A a B c ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角B =（ ）A.π8B.π6C.5π8D.π310. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN的长度保持相等，记(0CM BN a a ==<<．则下列结论错误的是（ ）.的A. B. 当12a =时，MN 的长度最小 C. 异面直线AC 与BF 所成的角为60°D. //MN 平面BCE11. 已知直线l 与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥，OH AB ⊥交AB于点H ，点H 的坐标为()2,2，则p 的值为（ ） A.32B. 2C.52D. 312. 已知当1x >时，关于x 的不等式1ln a x a x++>恒成立，则实数a 的值不可能是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量(),2a m =- ，()1,1b =，若a b a b -=+ ，则m =______．14. 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是______. 15. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，2AB CD =，点M 在侧棱PC 上，点Q 在侧棱AP 上运动，若三棱锥-M BDQ 的体积为定值，则PMMC=_____ 16. 潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期性变化，人们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻t （单位：小时）与对应水深y （单位：米）的函数关系式为()π3sin 100246y t t =+≤≤.某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次卸货最长时间不超过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸完货，要及时驶入深水区域，则该船第一次停止卸货的时刻为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC 中，边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，3a =，2239c b b =-+． （1）求角C 的大小；（2）若cos c A=，求ABC 的面积． 18. 如图所示的五边形SBADC 中ABCD 是矩形，2BC AB =，SB SC =，沿BC 折叠成四棱锥S ABCD -，点M 是BC 的中点，2SM =．（1）在四棱锥S ABCD -中，可以满足条件①SA =；②cos SBM ∠=；③sin SAM ∠=，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC ⊥底面ABCD ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）（2）在（1）的条件下求直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值．19. 世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比2:0，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为12，乙队每名球员射进的概率为23．每轮点球结果互不影响．（1）设甲队踢了5球，X 为射进点球的个数，求X 的分布列与期望；（2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．20. 已知函数3()1(0)ex ax f x a =-≠．（1）讨论()f x 在()0,∞+上单调性；（2）若不等式322e ()ln 3x f x x x x x ≥++恒成立，求a 的取值范围．21. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为()1F，点12P ⎫⎪⎭在E 上．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知椭圆E 的上顶点为A ，圆222:(1)(0)M x y r r -+=>，椭圆E 上是否存在两点,B C 使得圆M 内切于ABC ？若存在，求出直线BC 的方程；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12x m y m=+⎧⎨=-⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知点()1,0A ，曲线1C 与曲线2C 交于E ，F 两点，求11AE AF+的值． [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()2123f x x x =-++． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若存在x 使得不等式()()22231f x x a -+≥-恒成立，求实数a 的取值范围．的参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}244,RA y y x x x ==-+∈，(){}2ln 4B x y x ==-，则A B = （ ）A. [)0,2B. []22-,C. ()2,0-D. ()2,2-【答案】A 【解析】【分析】利用对数式有意义及交集的定义即可求解. 【详解】由244y x x =-+，得()220y x =-≥， 所以{}0A y y =≥.由240x ->，得240x -<，即()()220x x -+<，解得22x -<<， 所以{}22B x x =-<<，所以{}{}[)0220,2A B y y x x ⋂=≥⋂-<<=. 故选：A.2. 已知i 是虚数单位，若复数z 的实部为1，4z z ⋅=，则复数z 的虚部为（ ）A. B. C. 1-或1D.【答案】A 【解析】【分析】设1i z b =+，则1i z b =-，由4z z ⋅=，列出方程求解即可. 【详解】由题意，设1i z b =+，则1i z b =-， 所以()()1i 1i 4z z b b ⋅=+-=，即214b +=，所以b =即1z =-或1=+z ，所以复数z 的虚部为故选：A.3. 已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为A. 0x y ±=B. 0x ±=C.0y ±=D. 20x y ±=【答案】C 【解析】【详解】b a ==== ，渐近线方程是0y y =⇔±=，故选C, 4. 18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ+++⋅⋅⋅+=+（常数0.557γ=⋅⋅⋅）．利用以上公式，可以估计111100011000220000++⋅⋅⋅+的值为（ ）A. ()4ln 210⨯B. 4ln 2+C. 4ln 2-D. ln 2【答案】D 【解析】【分析】所求式子为1111111123200002310000⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据已知中的公式直接计算即可. 【详解】1111111111110001100022000023200002310000⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20000ln 20000ln10000ln 20000ln10000lnln 210000γγ=+-+=-==.故选：D.5. 若实数x ,y 满足约束条件21050x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩,则z x y =+的（ ）A. 最大值为4B. 最小值为4C. 最大值为5D. 最小值为5【答案】D 【解析】【分析】画出可行域,由z x y =+,可知z 可看作直线y x z =-+在y 轴上的截距,平移直线即可得出结果.【详解】解:由题知约束条件21050x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩, 画出约束条件如下:联立21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩可得: 32x y =⎧⎨=⎩, z x y =+可写为:y x z =-+,z 可看作直线y x z =-+在y 轴上的截距,由可行域可知, 当y x z =-+与5y x =-+重合时,z 有最小值,最小值为5. 故选:D6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，879S S S ≥≥，则公差d 的取值范围是（ ） A. 24,715⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 21,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. 41,154⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 2,07⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】方法1：等差数列通项公式的基本量代入不等式组求解即可. 方法2：等差数列前n 项和公式的基本量代入不等式组求解即可. 【详解】方法1：∵{}n a 为等差数列，12a =， ∴1(1)2(1)n a a n d n d =+-=+-，878787997892002702470027280471515d S S S S a d d S S S S a a d d d ⎧≥-⎪≥-≥≥+≥⎧⎧⎧⎧⎪⇒⇒⇒⇒⇒-≤≤-⎨⎨⎨⎨⎨≥-≤+≤+++≤⎩⎩⎩⎩⎪≤-⎪⎩； 方法2：∵{}n a 为等差数列，12a =， ∴1(1)(1)222n n n n n S na d n d --=+=+，∴87792877616142702472276984150471514182215d d d S S d d S S d d dd ⨯⨯⎧⎧≥-+≥+⎪⎪≥+≥⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⇒-≤≤-⎨⎨⎨⎨≥⨯⨯+≤⎩⎩⎪⎪+≥+≤-⎪⎪⎩⎩. 故选：A.7. 记函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若π2πT <<，且()y f x =的图象的一条对称轴为π6x =，关于该函数有下列四个说法： ①23ω<<； ②π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭； ③()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④为了得到()sin g x x ω=的图象，只需将()f x 的图象向右平移π4个单位长度． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】利用周期公式求出ω的范围可判断①；由π6x =为一条对称轴得π(Z)642πππk k ω+=+∈，结合ω的范围可求得ω，从而得出()f x 的解析式，求值π2f ⎛⎫⎪⎝⎭可判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用三角函数图象平移的规律可判断④. 【详解】由2πT ω=且π2πT <<，故12ω<<，故①错误；因为π6x =为一条对称轴，故π(Z)642πππk k ω+=+∈，164k ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由于12ω<<，故32ω=，则π3()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3sin sin π0222πππ4f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确； 当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，30,2π4π2x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故③正确；将()f x 的图象向右平移π4个单位长度得33sin sin 2π4π4π28y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，而()3sin2g x x =，故④错误． 所以，正确的有②③，共2个． 故选：B ．8. 已知递增数列{}n a 满足()121*n n n n a a a a n +++-=-∈N ．若41014a a +=，21224a a ⋅=，则数列{}n a 前2023项和为（ ）A. 2044242B. 2045253C. 2046264D. 2047276【答案】D 【解析】【分析】根据121n n n n a a a a +++-=-，推出122n n n a a a ++=+，推出数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，根据等差数列的通项公式以及0d >求出11,1a d ==，再根据等差数列求和公式可求出结果. 【详解】因为121n n n n a a a a +++-=-，所以122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 是等差数列， 设公差为d ，因为数列{}n a 为递增数列，所以0d >， 由41014a a +=，得113914a d a d +++=，即176a d =-，由21224a a ⋅=，得11()(11)24a d a d ++=，将176a d =-代入，得21d =， 又0d >，所以1d =，11a =，所以数列{}n a 的前2023项和为202312023202220232S a d ⨯=+⨯=2023202310112047276+⨯=.故选：D9. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角π4C =，ππsin sin 44b A a B c ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角B =（ ）A.π8B.π6C.5π8D.π3【答案】C 【解析】的【分析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得B 与A 的关系，进一步计算得出结果. 【详解】已知角π4C =，ππsin sin 44b A a B c ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由正弦定理可得ππsin sin sin sin sin 44B A A B C ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)sin cos sin cos B A A B -=()sin 1B A -=， 因为3π,0,4A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以B A -3π3π,44⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以π2B A -=. 又3π4B A +=，所以5π8B =. 故选：C . 10. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记(0CM BN a a ==<<．则下列结论错误的是（ ）A. B. 当12a =时，MN 的长度最小 C. 异面直线AC 与BF 所成的角为60°D. //MN 平面BCE【答案】B【解析】 【分析】把图形补形成一个正方体，根据正方体的性质求解判断各选项：正方体的对角线是其外接球直径，从而易得外接球半径，判断A ；过M 作//MP AB 交BC 于P ,过N 作//NQ AB 交BE 于Q ,证明MPQN 是平行四边形，用a 表示出MN 的长，求得最小值，判断B ；求出异面直线所成的角判断C ；由线面平行的判定定理证明线面平行判断D ．【详解】如图，把该模型补成一个以ABCD 和ABEF 为相邻面的正方体，A 正确； 过M 作//MP AB 交BC 于P ,过N 作//NQ AB 交BE 于Q ,连接PQ ，则//MP NQ ， 又NQ BN CM MP EF BF CA AB===，AB EF =，所以MP NQ =，则MPQN 是平行四边形，MN PQ =， //MN PQ ，另一方面CP CM BN BQ CB CA BF BE ====，CP BQ ==11BP CP =-=-，PQ ====，所以a =时，PQ 取得最小值，B 错误；正方体中易得//BF CH ，ACH ∠或其补角是异面直线AC 与BF 所成的角，ACH 是等边三角形，60ACH ∠=︒，因此异面直线AC 与BF 所成的角是60︒，C 正确；由//MN PQ ，MN ⊄平面BCE ，PQ ⊂平面BCE ，∴//MN 平面BCE ，D 正确．故选：B ．11. 已知直线l 与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥，OH AB ⊥交AB于点H ，点H 的坐标为()2,2，则p 的值为（ ） A. 32 B. 2 C. 52 D. 3【答案】B【解析】【分析】写出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程与抛物线方程可得12x x 与12y y ，代入0OA OB ⋅= 可得P的值.【详解】∵(2,2)H ，OH AB ⊥，∴ 20120OH k -==-，1AB OH k k ⨯=-， ∴1AB k =-∴直线AB 的方程为：2(2)y x -=--，即：4y x =-+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22414022y x y y y pxp =-+⎧⇒+-=⎨=⎩， 1681102p p∆=+=+>，128y y p =-， ∴2222121212221111()(8)162244x x y y y y p p p p p =⋅=⋅=⋅-=， 又∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅= ，∴12121680x x y y p +=-=，∴2p =.故选：B.12. 已知当1x >时，关于x 的不等式1ln a x a x ++>恒成立，则实数a 的值不可能是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D【解析】【分析】化为ln 10x x ax a -++>恒成立，构造函数()ln 1f x x x ax a =-++(1)x >，求导后讨论a ，当1a ≤时，()(1)0f x f >=，符合题意；当1a >时，求出()f x 的最小值1min ()(e )a f x f -=1e 1a a -=-++，化为1e 10a a --++>，再构造函数1()e 1(1)a g a a a -=-++>，利用导数可得结果.【详解】当1x >时，关于x 的不等式1ln a x a x++>恒成立，即ln 10x x ax a -++>恒成立， 令()ln 1f x x x ax a =-++(1)x >，则()ln 1f x x a '=+-，当10a -≥，即1a ≤时，由1x >，得ln 0x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数，所以()(1)0f x f >=，符合题意；当10a -<，即1a >时，由()0f x '<，得10e a x -<<，由()0f x '>，得1e a x ->，所以()f x 在1(0,e )a -上为减函数，在1(e ,)a -+∞上为增函数，所以1min ()(e )a f x f -=111e ln e e 1a a a a a ---=-⋅++1e 1a a -=-++，所以只需1e 10a a --++>即可，设1()e 1(1)a g a a a -=-++>，则1()e 1a g a -'=-+，当1a >时，1e 1a ->，所以()0g a '<，所以()g a 在(1,)+∞上为减函数，因为(2)e 30g =-+>，2(3)e 40g =-+<，所以存在0(2,3)a ∈，使得0()0g a =，当01a a <<时，()0g a >，当0a a >时，()0g a <，要使1(e )()0a f g a -=>，只需0a a <，结合选项可知，实数a 的值不可能是3.故选：D【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，则()max f x k <；（2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，则()min f x k >；（3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，则()min f x k <；（4）若[],x a b ∀∈，使得()f x k >成立，则()max f x k >．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量(),2a m =- ，()1,1b = ，若a b a b -=+ ，则m =______．【答案】2【解析】【分析】求出向量a b - 、a b + 的坐标，利用平面向量的模长公式可得出关于m 的等式，解之即可.【详解】因为(),2a m =- ，()1,1b = ，则()1,1a b m +=+- ，()1,3a b m -=-- ，因为a b a b -=+ ，则=2m =.故答案为：2. 14. 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是______. 【答案】80-【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项10315(2)C r r r r T x-+=-⋅，确定r 的值，代入即可求解. 【详解】由二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为251031552C ()()(2)C r r r r r r r T x x x --+=⋅-=-⋅， 令1031r -=，可得3r =，所以展开式中x 的系数为335(2)C 80-⋅=-.故答案为：80-.15. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，2AB CD =，点M 在侧棱PC 上，点Q 在侧棱AP 上运动，若三棱锥-M BDQ 的体积为定值，则PM MC=_____ 【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，由MBD 面积为定值，借助等体积法确定//PA 平面MBD 即可计算作答.【详解】在四棱锥P ABCD -中，点M 是侧棱PC 上的定点，则MBD 面积为定值，三棱锥-M BDQ 的体积M BDQ Q MBD V V --=为定值，因此点Q 到平面MBD 的距离为定值，又点Q 是侧棱AP 上的动点，于是侧棱AP 上的所有点到平面MBD 的距离都相等，则//PA 平面MBD ，如图，连接AC BD N ⋂=，连接MN ，平面PAC 平面MBD MN =，而PA ⊂平面PAC ， 因此//MN PA ，有PM AN MC NC =，梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB CD =，则2AN AB NC CD ==， 所以2PM MC=. 故答案：216. 潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期性变化，人们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻t （单位：小时）与对应水深y （单位：米）的函数关系式为()π3sin 100246y t t =+≤≤.某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次卸货最长时间不超过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸完货，要及时驶入深水区域，则该船第一次停止卸货的时刻为______.【答案】6时【解析】【分析】令船底与海底距离为()f t ，则()()π3sin 1070.37526f t t t =+---⎡⎤⎣⎦，化简后求导判断单调性，从而确定当26t ≤≤时，() 4.5f t ≥，即可求解.【详解】令船底与海底距离为()f t ，则()()π3sin1070.37526f t t t =+---⎡⎤⎣⎦，[]2,10t ∈ 所以()π393sin 684t f t t =++，所以()ππ3cos 268f t t '=+， 又()3308f '=>，()3π6082f '=-<，()3908f '=> 所以()()()()12122,6,6,10,0t t f t f t ''∃∈∈==，所以当12t t ≤<或210t t <≤时，()0,f t '>当12t t t <<时，()0,f t '<所以()f t 在[)(]122,,,10t t 上单调递增；()f t 在()12,t t 上单调递减.为又因为()()23 4.5,6 4.5,(10)6 4.5f f f =>==<， 所以当26t ≤≤时，() 4.5f t ≥；当610t <≤时，() 4.5f t <所以该船第一次停止卸货的时刻为6时.故答案为：6时三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在ABC 中，边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，3a =，2239c b b =-+．（1）求角C 的大小；（2）若cos c A=，求ABC 的面积． 【答案】（1）π3C =（2 【解析】【分析】（1）将3a =代入2239c b b =-+中，然后再利用余弦定理求角C ；（2）利用正弦定理及cos c A=可求出角A ，进而可求出c ，再利用sin sin()B A C =+求出sin B ，最后利用面积求解即可.【小问1详解】 3a = ，由2239c b b =-+得222c b ab a =-+，即222ab b a c =+-，2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===，又()0,πC ∈， π3C ∴=； 【小问2详解】由正弦定理得sin sin cos a C c c A A⋅===，=，sin 21A ∴=， 又2π4ππ0,02,2332A A A <<∴<<∴= ， 即π4A =，c A ∴===，1sin sin()sin()432ππB A C =+=+=+=，11sin 322ABC S ac B ∴===⨯ 18. 如图所示的五边形SBADC 中ABCD 是矩形，2BC AB =，SB SC =，沿BC 折叠成四棱锥S ABCD -，点M 是BC 的中点，2SM =．（1）在四棱锥S ABCD -中，可以满足条件①SA =；②cos SBM ∠=；③sin SAM ∠=，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC ⊥底面ABCD ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）（2）在（1）的条件下求直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）25【解析】【分析】（1）选条件①②，利用勾股定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；选条件①③，利用正弦定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；选条件②③，利用余弦定理和勾股定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；（2）由（1）可得SM ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．【小问1详解】证明：（1）方案一：选条件①②．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在Rt SBM 中，cos SBM ∠=，所以1BM =，又因为ABCD 是矩形，2BC AB =，所以1BM AB ==，AM =，由2SA AM SM ===可得222SA AM SM =+，所以SM AM ⊥，则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；方案二：选条件①③．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在SAM △中，2SA SAM SM =∠==，所以由正弦定理得：sin sin SA SM SMA SAM =∠∠=sin 1SMA ∠=， 即π2SMA ∠=，所以SM MA ⊥， 则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；方案三：选条件②③．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在Rt SBM 中，cos SBM ∠=，所以1BM =，又因为ABCD 是矩形，2BC AB =，所以1,BM AB AM ===，又因为在SAM △中，sin SAM ∠=，则cos SAM ∠=， 设SA x =，2222cos SM SA AM SA AM SAM =+-⋅∠，所以有2360x --=，解得1x =或2x =)，所以SA =，由2SA AM SM ===可得222SA AM SM =+，所以SM AM ⊥， 则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；【小问2详解】在（1）条件下知SM ⊥平面ABCD ，且MD AM ⊥，故如图所示：以M 为坐标原点，以MA 所在直线为x 轴，以MD 所在直线为y 轴，以MS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,2S，)A，()D，0C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()2SD =-，)2SA =- ， 设平面SAD 的法向量为(),,n x y z =，则2020n SD z n SA z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，则)n =，2SC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设直线SC 与平面SAD 所成角为θ，则2sin 5n SC n SC θ⋅==⋅ ，直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值为25. 19. 世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比2:0，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为12，乙队每名球员射进的概率为23．每轮点球结果互不影响．（1）设甲队踢了5球，X 为射进点球的个数，求X 的分布列与期望；（2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率． 【答案】（1）分布列见解析，5()2E X = （2）19【解析】【分析】（1）由题意知1(5,)2X B ，由二项分布求出X 的分布列与期望； （2）由题意知甲乙两队比分为1：4或2：4，求出相应的概率再相加即可. 【小问1详解】由题意知，1(5,)2X B ，X 可能的取值为0，1，2，3，4，5.511(0)()232P X ===，15515(1)C (232P X ===，2551105(2)C (23216P X ====，3551105(3)C (23216P X ====，45515(4)C ()232P X ===，511(5)().232P X ===所以X 的分布列为 X 012345P132 532 516 516 532 13215()522E X =⨯=． 【小问2详解】设“第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出”为事件A ，由题意知，甲乙两队比分为1：4或2：4，设“甲乙两队比分为1：4”为事件1A ，“甲乙两队比分为2：4”为事件2A ，若甲乙两队比分为1：4，则乙射进4次，甲前三次射进一次，第4次未进，134131121()C ()()22327P A =⋅=， 若甲乙两队比分为2：4，则乙射进4次，甲前四次射进两次，24424122()C ((),2327P A =⋅= 所以12121()()()27279P A P A P A =+=+=． 即在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出的概率为19． 20. 已知函数3()1(0)ex ax f x a =-≠．（1）讨论()f x 在()0,∞+上的单调性；（2）若不等式322e ()ln 3x f x x x x x ≥++恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）3e 11,ln 32723⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据函数求解导数()f x '，故按照0a >，a<0确定导函数正负区间，得函数到单调性；（2）根据不等式322e ()ln 3xf x x x x x ≥++，参变分离得32e 113ln 222x x x x a x---≤恒成立，故可构造函数32e 113()ln 222x g x x x x x=---确定函数的单调性求最小值min ()g x ，则min ()a g x ≤求得a 的取值范围．【小问1详解】解：因为3()1e x ax f x =-，()0,x ∈+∞，所以3223(3)()e e x xax ax ax x f x --'==．当0a >时，由()0f x ¢>，得3x >；由()0f x '<，得03x <<． 则()f x 在()0,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增．当0a <时，由()0f x '<，得3x >；由()0f x ¢>，得03x <<． 则()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减．综上，当0a >时，()f x 在()0,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增； 当0a <时，()f x 在()0,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减． 【小问2详解】解：不等式322e ()ln 3x f x x x x x ≥++恒成立，即不等式3322e 2ln 3x ax x x x x -++≥恒成立，即等价于32e 113ln 222x x x x a x---≤恒成立．设32e 113()ln 222x g x x x x x=---，()0,x ∈+∞则242341(3)e (3)e 1132()22x x x x x x g x x x x x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭'=-++=．设21()e 2xh x x x =--，则()e 1x h x x '=--． 设()e 1x x x ϕ=--，则()e 1xx ϕ'=-．由()0x ϕ'>，得0x >，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增， 则()()00ϕϕ>=x ，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增． 因为()010h =>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增， 则()0g x '=，得3x =，所以当03x <<时，()0g x '<，当3x >时，()0g x '>，所以()g x ()0,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，则3mine 11()(3)ln 32723g x g ==--．在故3e 11ln 32723a ≤--，即a 的取值范围是3e 11,ln 32723⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．21. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为()1F，点12P ⎫⎪⎭在E 上．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知椭圆E 的上顶点为A ，圆222:(1)(0)M x y r r -+=>，椭圆E 上是否存在两点,B C 使得圆M 内切于ABC ？若存在，求出直线BC 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）直线BC 存在，且直线BC的方程为0x y ++=. 【解析】【分析】（1）根据圆椭上的点和焦点坐标求出a ,b ,c ，即可求出椭圆方程；（2）设点,B C 的坐标，利用直线AB 、AC 与圆M 相切，求出直线BC 方程，再利用直线BC 与圆M 相切建立r 的方程，求解即可. 【小问1详解】由题意可知椭圆的右焦点为)2F，因为点12P ⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以121224,22PF PF a a a +====c =1b =，椭圆E 的方程为2214x y +=．【小问2详解】由（1）可知椭圆的上顶点为()0,1A ，假设这样的,B C 存在，且设()()1122,,,B x y C x y ， 则直线AB 的斜率为111y k x -=，直线AB 的方程为()11110y x x y x --+=， 因为直线AB 与圆M 相切，则d r =r =两边平方化简得()()2222111111x y r x y ⎡⎤+-=+-⎣⎦，整理得()()()()22221111111210rx r yx y -+--+-=，因为()221141x y =-，消去21x 得()()()()()2222111114111210r y ry x y -⋅-+--+-=，因为11y ≠，两边同时除以11y -，得()()()()221111411120r y r y x-⋅++---=，整理得()()2211231510x ryr -+-+-=，即点B 直线()()22231510x r y r -+-+-=上，同理点C 也在直线()()22231510x ry r -+-+-=上，因此直线BC 的方程为()()22231510x ry r -+-+-=，若直线BC 与圆Mr =，解得r=r =因此直线BC 存在，且直线BC的方程为20x y -+=，即0x y +=. 【点睛】关键点点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12x m y m=+⎧⎨=-⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知点()1,0A ，曲线1C 与曲线2C 交于E ，F 两点，求11AE AF+的值． 在【答案】（1）曲线1C 的普通方程为220x y +-=；曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）1 【解析】【分析】（1）消去参数m 可得曲线1C 的普通方程；根据sin y ρθ=，cos x ρθ=，可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）将曲线1C 的参数方程化为标准形式，将1C 的参数方程的标准形式代入2C 的直角坐标方程，根据直线参数方程中参数的几何意义可求出结果.小问1详解】由12x m y m=+⎧⎨=-⎩，消去m 得220x y +-=， 则曲线1C 的普通方程为220x y +-=. 由24cos sin θρθ=，得22sin 4cos ρθρθ=， 根据sin y ρθ=，cos x ρθ=，得24y x =. 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =. 【小问2详解】将曲线1C化为1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），易知()1,0A 在曲线1C 上，联立214x y y x ⎧=+⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，得250t -=， 设点,E F 对应的参数分别为12,t t ，则12t t +=，125t t =-，【所以11AE AF +12121211t t t t t t +=+=12||5t t -==1==.[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()2123f x x x =-++． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若存在x 使得不等式()()22231f x x a -+≥-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）73,44⎛⎫- ⎪⎝⎭ （2）[]1,3- 【解析】【分析】（1）去绝对值将()f x 转化为分段函数分别求解，再取并集即可；（2）先利用绝对值的三角不等式求函数()223y f x x =-+的最大值，再转化为关于参数a 的不等式，解不等式即可． 【小问1详解】由题意，函数()342,23121234,22142,2x x f x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，则不等式()5f x <等价于32425x x ⎧≤-⎪⎨⎪--<⎩或13245x ⎧-<<⎪⎨⎪<⎩或12425x x ⎧≥⎪⎨⎪+<⎩， 解得7342x -<≤-或3122x -<<或1324x ≤< 所以不等式()5f x <的解集为73(,)44-.【小问2详解】因为()223212321(23)4f x x x x x x -+=--+≤--+=， 所以存在关于x 使得不等式()()22231f x x a -+≥-恒成立，等价于2(1)4a -≤恒成立，解得13a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]1,3-.。