四、柱坐标系与球坐标系

人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计课程目标本课程旨在引导高中学生了解形式变量，学习如何应用数学知识来描述和解决问题。

通过本课程，学生将学习追踪点在三维空间中的运动的方程，并将使用四柱坐标系和球坐标系来描述和解决此类问题。

本课程将探讨以下重点：•四柱坐标系的基本原理和应用场景•球坐标系的基本原理和应用场景•如何将一个点的坐标从一个坐标系转换为另一个坐标系教学大纲课时一•介绍课程目标，概述课程内容。

•引导学生理解形式变量的概念，了解如何使用形式变量描述运动的方程。

•讲解四柱坐标系的概念和原理，演示应用场景。

•授课结束后，布置课后作业：熟练使用四柱坐标系描述运动。

课时二•查看和解决熟练使用四柱坐标系描述运动的问题，并对于存在的疑惑做出解答。

•讲解球坐标系的概念和原理，演示应用场景。

•授课结束后，布置课后作业：熟练使用球坐标系描述运动。

课时三•查看和解决熟练使用球坐标系描述运动的问题，并就存在的疑惑进行解答。

•演示如何在四柱坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。

•授课结束后，布置课后作业：熟练进行坐标转换。

课程重点四柱坐标系的基本原理和应用场景四柱坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由三个以原点为顶点的垂直平面构成，每个平面用直角坐标系来描述。

在四柱坐标系中，一个点的位置由其在三个坐标轴上的位置确定。

这个位置通常用一个三元组表示，例如(x,y,z)。

四柱坐标系通常用于描述在三维空间中的运动问题，例如运动的物体、飞行器、机器人等。

球坐标系的基本原理和应用场景球坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由一个固定原点和一个点到原点的距离以及该点与原点之间的两个角度构成。

在球坐标系中，一个点的位置由三个分量确定：距离r，方位角 $\\theta$，天顶角 $\\phi$。

球坐标系通常用于描述绕点运动问题，例如在天体物理学中，用于描述运动星体相对于一个观测者或者一个中间点的运动修正。

四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx ＝3，又x ＞0，y ＞0.∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，2. 2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，1；(2)⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos 5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得， x ＝r sin φcos θ＝4sin3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos 3π4＝－22，故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4. 由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫2，π6，π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝⎛⎭⎫12，32，3为所求．(2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝⎛⎭⎫－332，92，3为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－22，∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3，3 B.⎝⎛⎭⎫2，2π3，3 C.⎝⎛⎭⎫2，4π3，3 D.⎝⎛⎭⎫2，5π3，3 解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6 B.⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π3 解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4， 又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6.故选A. 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π4，3. 答案：⎝⎛⎭⎫32，5π4，3 7．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x ＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2， ∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2，∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A -xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。

球面坐标系和柱面坐标系的定义及其应用球面坐标系和柱面坐标系是数学中关键的方法，经常用来描述和解决一些几何和物理问题，它们与直角坐标系、极坐标系一样，是一种坐标系的表示方式。

一、球面坐标系球面坐标系是以球面为基础的坐标系，它是由半径、极角和方位角确定的。

坐标轴上的点对应着球面上的一个点，可以用三个参数（r、θ、φ）来描述它的位置。

其中，r是从坐标原点到球面上某一点的距离，是一个实数；θ是竖直方向的极角，它的范围在0到π之间；φ是水平方向的方位角，它的范围在0到2π之间。

坐标系的原点是球心，竖直方向的坐标轴是与地球赤道垂直的轴线，水平方向的坐标轴则是经过原点和北极点的轴线。

球面坐标系在物理学和天文学等领域应用广泛，例如测量地球上某一点的纬度和经度、描述电磁场的分布等。

二、柱面坐标系柱面坐标系是一种由高度、半径和角度确定的坐标系，它通常用来描述长方形坐标系缺陷的问题。

柱面坐标系可以是圆柱面坐标系或斜柱面坐标系，但都表示同样的信息。

在圆柱坐标系中，一点的坐标为(r，θ，z)，其中r表示离坐标轴的距离，θ表示与x轴的夹角，z表示高度。

而在斜柱面坐标系中，一点的坐标为(r，θ，z')，其中r和θ用同样的方式表示，z'是某个平面内的高度。

只有当某一平面中的z'为零时，斜柱面坐标系才与圆柱坐标系相同。

类似于球面坐标系的应用，圆柱坐标系和斜柱坐标系在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

例如在计算机图形学中，柱面坐标系被用来描述某些对象的形状和运动，在计算机辅助设计（CAD）中，也被用来表示机械元件的三维空间位置。

总的来说，球面坐标系和柱面坐标系是一组非常实用的工具，它们有助于我们更好地理解和描述现实世界中的各种问题。

了解和掌握这些坐标系的基础和应用，有助于我们更好地应用它们来解决实际问题。

人教版高中数学选修 4-4 同步辅导第一讲 坐标系四、柱坐标系与球坐标系简介A 级基础巩固一、选择题1．空间直角坐标系 Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面Oyz内的是 ( )A. 1， π，2B. 2， π，02 3C. ， π ， πD. 3 ， π ， π3 4 66 2π解析：由 P(ρ，θ，z)，当 θ＝ 2 时，点 P 在平面 Oyz 内． 答案： AM1， π π，则它的直角坐标为 () ．已知点 的球坐标为， 2 3 6A. 1， π πB. 3 3 1 3， 6 4，4 ，23 3 1 33 3 C. 4， 4，2 D.4 ，4，2 解析：设点 M 的直角坐标为 (x ，y ，z)，π π因为点 M 的球坐标为 1，3，6 ，ππ 3 所以 x ＝1·sin 3cos 6＝4，ππ3y ＝1·sin 3sin 6＝ 4 ，π 1z ＝1·cos 3＝ 2.33 1所以 M 的直角坐标为 4， 4 ，2 .答案： B3．设点 M 的直角坐标为 (2，0，2)，则点 M 的柱坐标为 ()A ．(2， 0，2)B ．(2，π，2)C ．( 2，0，2)D ．( 2，π，2)解析：设点 M 的柱坐标为 (ρ， θ，z)，所以 ρ＝ x 2＋y 2＝2，tan θ＝y＝0，x所以 θ＝0，z ＝2，所以点 M 的柱坐标为 (2，0，2)．答案： A4．在空间直角坐标系中的点M(x ， y ，z)，若它的柱坐标为π)3，，3 ，则它的球坐标为 (3π πB. 3π πA. 3， ，4 2， ， 43 3π π D. 3 2， π πC. 3， ，3 4 ， 34解析：因为 M 点的柱坐标为 π，设点 M 的直角坐标 M 3， ， 33为(x ，y ， z)．π 3π 3 3所以 x ＝3cos 3＝2，y ＝3sin 3＝2 ，z ＝3，3 3 3所以 M 点的直角坐标为 2， 2 ，3 .设点 M 的球坐标为 (γ， φ，θ)．γ是球面的半径，φ为向量 OM 在 xOy 面上投影到 x 正方向夹角，θ为向量 OM 与 z 轴正方向夹角．所以 r＝9＋27＋9＝3π2，容易知道φ＝，同时结合点 M 的4433 3 3直角坐标为2，2，3 ，z32可知 cosθ＝＝＝，π所以θ＝4，π π所以 M 点的球坐标为 3 2，3，4 .答案： B5．在直角坐标系中，点 (2，2，2)关于 z 轴的对称点的柱坐标为()，3π，πA. 2，2B. 2，22424，5π，7πC. 2，2D. 22，2244解析： (2， 2，2)关于 z 轴的对称点为 (－2，－ 2，2)，（－2）2＋（－2）2＝2 2，tanθ＝y＝－2＝1，x －2因为点 (－2，－ 2)在平面 Oxy 的第三象限内，5π所以θ＝4，5π所以所求柱坐标为 2 2，4，2 .答案： C二、填空题π 3π6．已知点 M 的球坐标为 4，4，4，则它的直角坐标为 _______，它的柱坐标是 ________．答案：－，，，3π22)2，2 2(2224．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为2，2π，5，且点 M73在数轴 Oy 上的射影为 N，则 |OM|＝________，|MN |＝________．解析：设点 M 在平面 Oxy 上的射影为 P，连接 PN，则 PN 为线段MN 在平面 Oxy 上的射影．因为 MN ⊥直线 Oy，MP⊥平面 Oxy，所以 PN⊥直线 Oy.2π所以 |OP|＝ρ＝2，|PN|＝ρcos 3＝1，所以 |OM|＝ρ2＋z2＝22＋（5）2＝3.在Rt△MNP 中，∠ MPN ＝90°，所以 |MN|＝ |PM|2＋|PN|2＝（5）2＋12＝ 6.答案： 36．已知点M 的球坐标为，π，3π，则点 M 到 Oz 轴的距离8444为________．解析：设点 M 的直角坐标为 (x，y，z)，π3π则由 ( r，φ，θ)＝4，4，4，π3π知x＝4sin4 cos 4＝－ 2，π3πy＝4sin4 sin 4＝2，πz＝4cos4＝2 2，所以点 M 的直角坐标为 (－2， 2，2 2)．故点 M 到 Oz 轴的距离为（－ 2） 2＋22＝2 2.答案： 2 2三、解答题9．设点 M 的直角坐标为 (1，1，2)，求点 M 的柱坐标与球坐标．解：由坐标变换公式，可得ρ＝ x 2＋y 2＝ 2，ytan θ＝x ＝1，πθ＝ 4(点 1，1)在平面 xOy 的第一象限．r ＝ x 2＋y 2＋z 2＝ 12＋12＋（ 2）2＝2.2 2 π由 rcos φ＝z ＝ 2(0≤φ≤π)，得 cos φ＝ r ＝2 ，φ＝4.π 2 ，球坐标为 π π所以点 M 的柱坐标为2， 4， 2，4， 4 . ．在柱坐标系中，点 M 的柱坐标为 2，2π， 5 ，求点 M 到 10 3原点 O 的距离．解：设点 M 的直角坐标为 (x ， y ，z)． 由 ρ，θ， ＝ ，2π，5 知(z)2 32 2 3，x ＝ ρcos θ＝2cosπ＝－ 1，y ＝2sin π＝33因此 |OM|＝x 2＋y 2＋z 2＝ （－ 1）2＋（ 3）2＋（ 5）2＝3.B 级能力提升1．空间点 P 的柱坐标为 (ρ，θ，z)，点 P 关于点 O(0， 0，0)的对称点的坐标为 (0<θ≤π)()人教版高中数学选修4-4 同步辅导A．(－ρ，－θ，－ z) C．(ρ，π＋θ，－ z)B．(ρ，θ，－ z) D．(ρ，π－θ，－ z)解析：点 P(ρ，θ，z)关于点 O(0，0， 0)的对称点为 P′(ρ，π＋θ，－ z)．答案： C2．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为 Oxy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z 轴正向，本初子午线所在平面为Ozx 坐标面，如图所示，若某地在西经 60°，南纬 45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为 ________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为3π5π，，.R433π5π答案： R，4，3ρ＝1，3．在柱坐标系中，求满足0≤θ<2π，的动点 M （ρ，θ，z）围0≤z≤ 2成的几何体的体积．解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π， 0≤z≤2 的动点 M (ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线 Oz 为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径 r＝1，h＝2，人教版高中数学选修4-4 同步辅导所以 V＝Sh＝π r2h＝ 2π.。