柱坐标系和球坐标系教案

人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计课程目标本课程旨在引导高中学生了解形式变量，学习如何应用数学知识来描述和解决问题。

通过本课程，学生将学习追踪点在三维空间中的运动的方程，并将使用四柱坐标系和球坐标系来描述和解决此类问题。

本课程将探讨以下重点：•四柱坐标系的基本原理和应用场景•球坐标系的基本原理和应用场景•如何将一个点的坐标从一个坐标系转换为另一个坐标系教学大纲课时一•介绍课程目标，概述课程内容。

•引导学生理解形式变量的概念，了解如何使用形式变量描述运动的方程。

•讲解四柱坐标系的概念和原理，演示应用场景。

•授课结束后，布置课后作业：熟练使用四柱坐标系描述运动。

课时二•查看和解决熟练使用四柱坐标系描述运动的问题，并对于存在的疑惑做出解答。

•讲解球坐标系的概念和原理，演示应用场景。

•授课结束后，布置课后作业：熟练使用球坐标系描述运动。

课时三•查看和解决熟练使用球坐标系描述运动的问题，并就存在的疑惑进行解答。

•演示如何在四柱坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。

•授课结束后，布置课后作业：熟练进行坐标转换。

课程重点四柱坐标系的基本原理和应用场景四柱坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由三个以原点为顶点的垂直平面构成，每个平面用直角坐标系来描述。

在四柱坐标系中，一个点的位置由其在三个坐标轴上的位置确定。

这个位置通常用一个三元组表示，例如(x,y,z)。

四柱坐标系通常用于描述在三维空间中的运动问题，例如运动的物体、飞行器、机器人等。

球坐标系的基本原理和应用场景球坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由一个固定原点和一个点到原点的距离以及该点与原点之间的两个角度构成。

在球坐标系中，一个点的位置由三个分量确定：距离r，方位角 $\\theta$，天顶角 $\\phi$。

球坐标系通常用于描述绕点运动问题，例如在天体物理学中，用于描述运动星体相对于一个观测者或者一个中间点的运动修正。

7 柱坐标系和球坐标系主备： 审核：学习目标：1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式.学习重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系. 学习难点：利用它们进行简单的数学应用. 学习过程： 一、课前准备阅读教材1618P P -的内容，了解柱坐标系的定义, 以及如何用柱坐标系描述空间中的点.并思考下面的问题：空间中的点的表示法是不是唯一的？到目前为止，你知道了几种表示空间一个点的位置的方法？答：不是唯一的.到目前为止，我们知道了三种表示空间点的位置的方法：空间直角坐标，柱坐标系，球坐标系.二、新课导学： （一）新知： 1.柱坐标系：（1）设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱坐标，记作(,,)z ρθ.其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈.（2）柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.（3）空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ之间的变换公式为cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.2.球坐标系：（1）设P 是空间任意一点，连接O P ， 记||OP r =，O P 与O z 轴正向所夹的角为ϕ.设P 在xOy 平面的射影为Q ，O x 轴按逆时针方向旋转到O Q 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示.空间的点与有序数组(,,)r ϕθ之间建立了一种对应关系.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标，其中0,0,02r φπθπ≥≤≤≤<.（2）点P 球坐标(,,)r ϕθ与直角坐标(,,)x y z 的互化公式：①2222x y z r ++=；②sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.（二）典型例题【例1】建立适当的球坐标系，分别表示棱长为1的正方体的顶点.【解析】如图，建立球坐标系，则各个顶点的坐标分别为(1,,0)2A π，12,,0)4A π，2,,)24B ππ，13,,)4B πϕ，其中tan 2ϕ=α为锐角，(1,,)22C ππ，1(2,,)42C ππ，(0,0,0)D ，1(1,0,0)D .动动手：在例1 中，建立适当的柱坐标系，写出各个顶点的柱坐标. 【解析】如上图建立柱坐标系，则各个点的坐标如下：(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，2,,0)4B π，12,,1)4B π，(1,,0)2C π， 1(1,,1)2C π，(0,0,0)D ，1(0,0,1)D .【例2】已知点1P 的柱坐标是)1,6,2(1πP ,2P 的柱坐标是)3,32,4(2-πP ,求21P P .【解析】点1P 的柱坐标是)1,6,2(1πP 转化为直角坐标为,1,16sin2,36cos2=====z y x ππ，即)1,1,3(1P ，点2P 的柱坐标是)3,32,4(2-πP 转化为直角坐标为,3,3232sin4,232cos4-===-==z y x ππ，即)3,32,2(2--P ，所以，126P P ==.zyxD 1C 1B 1A 1DC BA动动手：在球坐标系中，求)6,3,3(ππP 与)32,3,3(ππQ 两点间的距离.【解析】将球坐标)6,3,3(ππP 化为直角坐标：93sincos364x ππ==，3sin sin 36y ππ==，33cos 32z π==，即P 的直角坐标为9333()42.将球坐标2(3,,)33Q ππ化为直角坐标：2333sincos33x ππ-==293sin sin 334y ππ==，33cos 32z π==， 即P 的直角坐标为3393,)42-. 所以22339933||()()4444PQ =--+-36=.三、总结提升：1．理解柱坐标系和球坐标系下各个量的几何意义，会在图中标出点的坐标. 2．能够将柱坐标或球坐标转化为直角坐标，在直角坐标系中解决问题. 四、反馈练习：1.在空间直角坐标系，已知点)1,1,1(-A ，则点A 关于原点对称的点的坐标)1,1,1(-- ，点A 关于z 轴对称的点的坐标)1,1,1(-.2.在以O 为极点的柱坐标系中，若点⎪⎭⎫⎝⎛1,6,4πQ ，则||OQ =17，面xOz 与半平面zOQ所成的角是6π .3. 点P 的球坐标是)2,4,2(ππ，则它的直角坐标是)1,1,0(.4. （1）球坐标满足方程3r =的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程. （2）柱坐标满足方程2ρ=的点所构成的图形是什么?【解析】(1)构成的图形是一个球面，球心在坐标系的原点，半径为3，其直角坐标方程为2229x y z ++=.(2) 图形是以z 为轴，横截面为圆（圆的半径为2）的圆柱面.5.长方体的过一个顶点的三条棱的长分别为1、16，建立适当的球坐标系，写出各个顶点的坐标.【解析】如图建立球坐标系，则各个点的坐标如下：,0)A α，1(1,,0)2A π，,)64B ππ，1,)24B ππ，,)2C πα， 1(1,,)22C ππ，0,0)D ，1(0,0,1)D.其中tanϕ=α为锐角.五、学后反思：。

§3柱坐标系和球坐标系一、教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系。

教学难点：利用它们进行简单的数学应用。

三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。

问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理（二）、讲解新课：1、柱坐标系设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： 2、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。

空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 3.数学应用例1.建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练：建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练：1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标. 3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos变式训练：极坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度. 思考:在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?（三）、巩固练习：课本P22页练习3（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则； 2．柱坐标系的作用与规则。

柱坐标系和球坐标系
[教学目标]
一、知识与技能：
1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法。

2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

3.掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化
二、过程与方法：情感、态度、价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

三、[教学重点]：在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，
四、[教学难点]：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系.利用它们进行简单的数学应用。