高中数学平面向量单元训练练习题

平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。

5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。

三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。

7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。

8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。

四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。

10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。

答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。

高中数学平面向量经典练习题（含答案）一.填空题1.在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，则AB→ + AD→ + CD→ +DB→ +BA→ = .2.已知向量a=（1，-6），b=（-2，14），则向量 13a-2b 的坐标= .3.已知向量a ，b ，若|a |=2，|b |=2√5，且（a-b ）·（2a-3b ）=68-10√15，则向量a ，b 的夹角为 .4.在△ABC 中，设BC→ =m ，BA→ =n ，D 为AC 上的一点，且AD DC= 45，若向量BD→ 用m ，n 表示，则BD→ = .5.已知向量a=（2,3m-4），b=（m-5，m+1），若a ，b 共线，则m 的值是 .6.在△ABC 中，D 为边BC 上，CD=3DB ，E 在边AC 上，且AE=2EC ，设AC→ =a→，AD→ =b→，用向量a→，b→表示向量EB→ ,则EB→ = .AEDBCADBC7.已知向量a=（-3,6），b=（4,0），c=（1,4），若a用b、c表示。

则a= .8.已知向量a=（x，5√3+11），b=（x+2√3+1，-1），若a，b互相垂直，则x的值为 .9.已知向量a（1，√2），b（-√2，x）它们的夹角为α，且sin2α=1，则x= .10.已知向量a=（1-x，1），b=（-2，2x），若向量2a+b与a-b平行，则a·b= .二、解答题11.已知向量a=（1,1），b=（√2，-1），若（xa-b）⊥（2a+b），求实数x的值.12.已知|a|=1，|b|=2，它们的夹角为60°，设c=3a+xb，d= -xa+2b，若c⊥d，求实数x的值.参考答案 一.填空题1.在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，则AB→ + AD→ + CD→ +DB→ +BA→ = .解：AB→ + AD→ + CD→ + DB→ +BA→=AB→ + AD→ + CD → +（DB→ +BA→ ）=AB→ + AD→ + CD→ +DA→=（AB→ + CD→ ）+（AD→ +DA→ ）（因为AB→ ，CD→ 大小相等，方向相反，它们的和为0）=0+0 =0故原题的答案为：02.已知a=（1，-6），b=（-2，14），则 13a-2b= .解： 13a = 13（1,-6）=（13，-2）2b=2（-2，14）=（-4, 12）13a-2b =（13+4，-2- 12）=（ 133，- 52）故原题的答案为： 133，- 523.已知向量a ，b ，若|a |=2，|b |=2√5，且（a-b ）·（2a-3b ）=68-10√15，则向量a ，b 的夹角为 .解：由已知，得|a |2=4，|b |2=20，|a |·|b |=4√5（a-b ）·（2a-3b ）=2a 2-5ab+3b 2=8-5ab+ 60 =68-5ab=68-10√15则ab=2√15cosa = ab |a |.|b|= 2√154√5= √32所以向量a ，b 的夹角为30° 故原题的答案为：30°4.在△ABC 中，设BC→ =m ，BA→ =n ，D 为AC 上的一点，且AD DC= 45,若向量BD→ 用m ，n 表示，则BD→ = .解：BC→ =m ，BA→ =n则AC→ = m-n又AD DC= 45所以DC→ = 59AC→= 59m - -59nBD→ = BC→ - DC→=m -（ 59m - 59n ）= 49m + 59n故原题的答案为： 49m + 59nADBC5.已知向量a=（2,3m-4），b=（m-5，m+1），若a ，b 共线，则m 的值是 . 解：因为a ，b 共线所以2·（m+1）=（3m -4）·（m -5） 整理，得m 2-7m+6=0 解得，m=1或m=6 故原题的答案为：1或66.在△ABC 中，D 为边BC 上，CD=3DB ，E 在边AC 上，且AE=2EC ，设AC→ =a→，AD→ =b→，用向量a→，b→表示向量EB→ ,则EB→ = .解：CD→ = b→ - a →CB → = 43CD → = 43（b→ - a→）= 43b→ - 43a→EC → = 13AC → = 13a→EB→ = EC→ +CB→ =（13a→）+（43b → - 43a →）= 43b→- a→故原题的答案是： 43b→- a→7.已知向量a=（-3,6），b=（4,0），c=（1,4），若a 用b 、c 表示。

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练单选题1、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2√3B ．−2√3iC ．√3−3iD ．3+√3i 答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i 2)=32−3√3i2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ．2、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．34C ．√24D ．√23 答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B3、如图，在△ABC 中，点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 是AC 上的点且满足AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CM 与BN 交于P 点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．12a +14b ⃗ B ．35a +15b⃗C ．14a +12b ⃗ D ．310a +35b⃗ 答案：B分析：根据三点共线有λ,μ∈R ，使AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(1−λ)4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由C ，P ，M 共线，存在λ∈R ，使AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(1−λ)4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ①， 由N ，P ，B 共线，存在μ∈R ，使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ②， 由①② {λ=μ23(1−λ)4=1−μλ=15,μ=25，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b ⃗ . 故选：B.4、已知向量a ⃑=(2，3)，b ⃗⃑=(3，2)，则|a ⃑–b ⃗⃑|= A ．√2B ．2 C ．5√2D ．50 答案：A分析：本题先计算a ⃑−b ⃗⃑，再根据模的概念求出|a ⃑−b ⃗⃑|． 由已知，a ⃑−b ⃗⃑=(2,3)−(3,2)=(−1,1)， 所以|a ⃑−b ⃗⃑|=√(−1)2+12=√2， 故选A小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．5、若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑－AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑－AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑＝0→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．2∶5 答案：B分析：由平面向量的加法结合已知可得M 为AD 的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.如图，D 为BC 边的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=12(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑) 因为3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑－AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑－AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑＝0→所以3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃑+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃑=2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃑所以S △ABM =23S △ABD =13S △ABC .故选：B6、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A =45°，a =6，b =3√2，则B 的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 答案：A分析：先由正弦定理求出sin B =12，可得B =30°或B =150°，再由a >b ，得A >B ，从而可求出B =30°.由正弦定理得bsinB=asinA，即3√2sinB=6sin45°，解得sin B =12，又B 为三角形内角，所以B =30°或B =150°， 又因为a >b ，所以A >B ，即B =30°. 故选：A.7、已知向量AB →=(2,2)，AC →=(t,1)，若AB →⋅BC →=2，则t =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：B分析：先根据已知条件计算BC →，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案. 解：根据题意得：BC →=AC →−AB →=(t,1)−(2,2)=(t −2,−1)， 所以AB →⋅BC →=2(t −2)+2×(−1)=2t −4−2=2，解得t =4. 故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题. 8、已知向量a ⃑=(√3,1)，向量a ⃑−b ⃗⃑=(√3+1,√3+1)，则a ⃑与b ⃗⃑的夹角大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：D分析：计算可得b →=(−1,−√3)，利用数量积公式计算即可得出结果. ∵向量a ⃑=(√3,1)，向量a ⃑−b ⃗⃑=(√3+1,√3+1)， ∴b →=(−1,−√3)，cos <a ,b ⃗ >=−√3−√32×2=−√32，且0≤<a ,b⃗ >≤π， ∴a →,b →的夹角为5π6=150°.故选：D. 多选题9、已知向量a ⃑=(2, −1) ， b ⃗⃑=(−3, 2) ， c ⃑=(1 , 1)，则（ ） A ．a ⃑//b ⃗⃑B ．(a ⃑+b ⃗⃑)⊥c ⃑ C ．a ⃑+b ⃗⃑=c ⃑D ．c ⃑=5a ⃑+3b ⃗⃑ 答案：BD分析：根据向量的平行与垂直坐标公式及加减运算对选项一一判断即可． 因为2×2−(−1)×(−3)=1≠0，所以a ⃑,b⃗⃑不平行，则A 错； 由(a ⃑+b ⃗⃑)⋅c ⃑=(−1,1)⋅(1,1)=−1+1=0，所以(a ⃑+b ⃗⃑)⊥c ⃑，则B 正确； 由a ⃑+b ⃗⃑=(−1,1)，c ⃑=(1 , 1)，故C 错；由5a ⃑+3b ⃗⃑=(10−9,−5+6)=(1,1)=c ⃑，故D 正确.故选：BD10、已知向量m ⃗⃗ =(1,0)，n ⃗ =(12,12)，则（ ）A ．|m ⃗⃗ |=√2|n ⃗ |B ．(m ⃗⃗ −n ⃗ )//n ⃗C ．(m ⃗⃗ −n ⃗ )⊥n ⃗D ．m ⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π4答案：ACD解析：由m ⃗⃗ ，n ⃗ 的坐标，根据向量模、夹角的坐标表示及向量垂直、平行的判定即可判断各选项的正误. ∵m ⃗⃗ =(1,0)，n ⃗ =(12,12)，∴|m ⃗⃗ |=1，|n ⃗ |=√(12)2+(12)2=√22， ∴|m ⃗⃗ |=√2|n ⃗ |，故A 正确； ∵m →−n →=(12,−12)，∴m ⃗⃗ −n ⃗ 与n ⃗ 不平行，故B 错误； 又(m ⃗⃗ −n ⃗ )⋅n ⃗ =0，C 正确； ∵cos〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√22，又〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉∈[0,π]，∴m ⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π4， D 正确. 故选：ACD11、在△ABC 中，若(a +b ):(a +c ):(b +c )=9:10:11，下列结论中正确的有（ ） A ．sinA:sinB:sinC =4:5:6B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c =6，则△ABC 外接圆的半径为8√77答案：ACD分析：先根据题意求出a ，b ，c ,结合正弦定理可得A ，D 的正误, 结合余弦定理可得B ，C 的正误. 由题意,设a +b =9x,a +c =10x,b +c =11x , 解得a =4x,b =5x,c =6x ; 所以sin A:sin B:sin C =4:5:6, 所以A 正确;由以上可知C最大,cos C=(4x)2+(5x)2−(6x)22×4x×5x=18>0所以C为锐角,所以B错误;由以上可知A最小,cos A=(5x)2+(6x)2−(4x)22×5x×6x =34,cos2A=2cos2A−1=2×916−1=18,即cos C=cos2A,因为C为锐角,2A为锐角,所以C=2A 所以C正确;因为cos C=18，所以sin C=√1−cos2C=3√78,设△ABC外接圆的半径为r,则由正弦定理可得2r=csinC =16√77所以r=8√77所以D正确.故选: ACD.填空题12、已知向量a⃑=(1,3),b⃗⃑=(3,4)，若(a⃑−λb⃗⃑)⊥b⃗⃑，则λ=__________．答案：35分析：根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．因为a⃑−λb⃗⃑=(1,3)−λ(3,4)=(1−3λ,3−4λ)，所以由(a⃑−λb⃗⃑)⊥b⃗⃑可得，3(1−3λ)+4(3−4λ)=0，解得λ=35．所以答案是：35．小提示：本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设a⃑=(x1,y1),b⃗⃑=(x2,y2)，a⃑⊥b⃗⃑⇔a⃑⋅b⃗⃑=0⇔x1x2+y1y2=0，注意与平面向量平行的坐标表示区分．。

平面向量单元测试题（2）1.已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D 的坐标为2.有下列命题：①++＝0；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若a ＝（m ，4），则|a |＝23的充要条件是m ＝7；④若的起点为A （2，1），终点为B （－2，4），则与x 轴正向所夹角的余弦值是54.其中正确命题的序号是 3.已知a ＝（－2，5），|b |＝2|a |，若b 与a 反向，则b 等于4.已知|a |＝8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为 5.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为6.已知a ＝（3，4），b ⊥a ，且b 的起点为（1，2），终点为（x ，3x ），则b 等于7.等边△ABC 的边长为1，＝a ，＝b ，＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于8.把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为 9.已知向量e 1、e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a 与b 共线，则k 等于（ ）10.已知a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a －b |是a ⊥b 的A ．充分非必15要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件11.如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，＝a ，＝b ，则＝ .12.a 、b 、a －b 的数值分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为 .13.把函数y ＝－2x 2的图象按a 平移，得到y ＝－2x 2－4x －1的图象，则a ＝ .14.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是 .15、已知向量33(cos,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-，]2,2[ππ-∈x ， (1)求证：()a b -⊥()a b +； (2)13a b +=，求cos x 的值16.已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝m a－b，c ⊥d，求m的值.17.设i、j分别是直角坐标系x轴、y轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A、B、C，且＝－2i＋m j，＝n i＋j，＝5i－j，⊥，求实数m、n的值.。

卜人入州八九几市潮王学校高一数学平面向量单元测试题(一)班级:学号一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题4分,一共48分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 〕①一共线向量是在同一条直线上的向量②假设两个向量不相等，那么它们的终点不可能是同一点③与非零向量一共线的单位向量是唯一的④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是CD AB 与、AD BC 与分别一共线 A2．平面上有A 、B 、C 三点，设m =BC AB +，n =BC AB -，假设m 与n 的长度恰好相等，那么有〔〕 A.A 、B 、C 三点必在一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角 C.△ABC 必为直角三角形，且∠B =90°D.△ABC 必为等腰直角三角形3．假设1a b ==，a ⊥b ，且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，那么k 的值是〔〕 A.－6B.6C.3D.－34．1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，那么a =21e ＋2e 与b =－31e ＋22e 的夹角是〔〕 °°C.120°°5．设两个非零向量b a ,不一共线，且b k a b a k ++与一共线，那么k 的值是()A ．1B ．1-C ．1±D ．06．(2,1),(,1)ab λ=--=．假设a 与b 的夹角为钝角，那么λ的取值范围是〔〕A ．),2(2,21+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ．),2(+∞C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,p ：向量b 与a q ：有且只有一个实数λ，使得b =λa .那么p 是q 的〔〕A.充分不必要条件 B8．设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =那么点P 的坐标是〔〕 A 、)15,8(-B 、(0,3)C 、)415,21(-D 、)23,1(9．将函数y =log 2〔2x 〕的图象F ，按a =〔2，－1〕平移到F ′，那么F ′的解析式为〔〕 A.y =log 2［2〔x －2〕］－1 B.y =log 2［2〔x ＋2〕］－1 C.y =log 2［2〔x ＋2〕］＋1D.y =log 2［2〔x －2〕］＋110．向量(cos ,sin ),(3,4)a b θθ==，其中(0,)2πθ∈，那么a b ⋅的最大值为()A3B4C5D 不确定11．在边长为1的正三角形ABC 中，设,,BC a AB c AC b ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅的值是() AB －C12．,,OA a OB b ==C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，那么用,a b 表示OD 的表达式为() A1(45)a b +B 1(97)a b +C 1(2)a b +D 1(3)a b +二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题4分，总分值是20分.把答案填在题中横线上. 13．113a(,2sin ),b (cos ,),a 322=α=α且∥b ，那么锐角α的值是； 14．m,n a 2m a n,|a |=⊥=设是两个单位向量，向量-n ， 则； 15．假设对n 个向量12,,,n a a a ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n，使得1122n n k a k a k a +++=0成立，那么称向量12,,,n a a a 为“线性相关〞.依次规定，请你求出一组实数k 1，k 2，k 3的值，它能说明1a =(1,0),2a =(1,－1),3a =(2,2)“线性相关〞：k 1，k 2，k 3的值分别是，，.16．P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0．延长AP 交BC 于点D ，假设AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP =______________、AD =________________．17．假设把函数5422+-=x x y 的图象按a 平移，得到22x y =的图象，且a ⊥b ， c =〔1，－1〕，b ·c =4，那么b 的坐标为______________. 三．解答题〔一共32分〕18．〔本小题总分值是10分〕在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值.19．〔本小题总分值是12分〕A 、B 、C 三点的坐标分别是A 〔3，0〕，B 〔0，3〕，C (sin ,cos )αα，其中322π<α<π，〔1〕假设AC BC =，求角α的值；〔2〕假设AC BC 1=-，求22sin sin 21tan α+α+α的值。

高中数学人教A 版（2019）必修二 第六章 平面向量及其应用 单元试卷一、单选题(共14题；共55分)1．（3分）已知Rt △ABC ，AB=3，BC=4，CA=5，P 为△ABC 外接圆上的一动点，且 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的最大值是（ ） A ．54B ．43C ．√176D ．532．（4分）已知向量 a ⇀ ， b ⇀ 的夹角为 60° ， |a ⇀|=1 且 c ⇀=−2a ⇀+tb ⇀(t ∈R) ，则 |c ⇀|+|c ⇀−a ⇀|的最小值为（ ） A ．√13B ．√19C ．5D ．9√1343．（4分）下列说法中：⑴若向量a →∥b →，则存在实数λ，使得a →=λb →；⑵非零向量a →，b →，c →，d →，若满足d →=(a →·c →)b →−(a →·b →)c →，则a →⊥d →⑶与向量a →=(1，2)，b →=(2，1)夹角相等的单位向量c →=(√22，√22)⑷已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA →−tBC →|≥|AC →|，则△ABC 一定为锐角三角形。

其中正确说法的序号是( ) A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)4．（4分）如图，在 ΔABC 中，点 M ， N 分别为 CA ， CB 的中点，若 AB =√5 ， CB =1 ，且满足 3AG⇀⋅MB ⇀=CA ⇀2+CB ⇀2 ，则 AG ⇀⋅AC ⇀ 等于（ ）A ．2B ．√5C ．23D ．835．（4分）定义域为[a ，b ]的函数y =f (x )图像的两个端点为A 、B ，M(x ，y)是函数y =f (x )图象上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b ，λ∈(0，1)．已知向量ON →=λOA →+(1−λ)OB →，若不等式|MN |→≤k 恒成立，则称函数y =f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y =x −1x 在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞)B ．[112，+∞)C ．[32+√2，+∞)D ．[32−√2，+∞)6．（4分）已知集合M ={1，2，3}，N ={1，2，3，4}，定义函数f ：M →N ． 若点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且DA →+DC →=λDB →(λ∈R ) ，则满足条件的函数f (x )有（ ） A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个7．（4分）点P 是△ABC 内一点且满足4PA →+3PB →+2PC →=0→，则△PBC,△PAC,△PAB 的面积比为（ ） A ．4:3:2B ．2:3:4C ．1:1:1D ．3:4:68．（4分）已知向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足 |OA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ，μ∈R) ，若M 为AB 的中点，并且 |MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ，则λ+μ的最大值是（ ） A ．1−√3B ．1+√2C ．√5D ．1+√39．（4分）在 ΔABC 中， ∠C =900，|AB|=6 ，点 P 满足 |CP|=2 ，则 PA⇀⋅PB ⇀ 的最大值为（ ） A ．9B ．16C ．18D ．2510．（4分）点M 是 △ABC 的边BC 上任意一点，N 在线段AM 上，且 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 x +y =13 ，则 △NBC 的面积与 △ABC 的面积的比值是 ( )A ．B ．C ．D ．11．（4分）如图，在半径为2的扇形 AOB 中， ∠AOB =3π4， P 是弧 AB 上的一个三等分点， M,N 分别是线段 OA ， OB 上的动点，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为（ ）A ．√2B ．2C ．4D ．4√212．（4分）在 ΔABC 中， E ， F 分别为 AB ， AC 的中点， P 为 EF 上的任一点，实数x ， y 满足 PA ⇀+xPB ⇀+yPC ⇀=0⃗ ，设 ΔABC 、 ΔPBC 、 ΔPCA 、 ΔPAB 的面积分别为 S 、 S 1 、 S 2 、 S 3 ，记 Si S=λi （ i =1,2,3 ），则 λ2⋅λ3 取到最大值时， 2x +y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．−32D ．3213．（4分）定义域为[a ，b ]的函数y =f (x )图象上两点A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，M(x ，y)是y =f (x )图象上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b ，λ∈[0，1].已知向量ON →=λOA →+(1−λ)OB →，若不等式|MN →|≤k 对任意λ∈[0，1]恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y =x −1x 在[1，3]上“k 阶线性近似”，则实数的k 取值范围为( )A ．[0，+∞)B ．[112，+∞)C ．[43−23√3，+∞)D ．[43+23√3，+∞)14．（4分）在中，已知,则为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形二、填空题(共11题；共43分)15．（4分）已知非零平面向量 a ⃗ ,b ⃗ 不共线，且满足 a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ 2=4 ，记 c ⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ ，当 b ⃗ ,c ⃗ 的夹角取得最大值时， |a −b⃗ | 的值为 ． 16．（4分）已知O 是锐角△MBC 的外接圆圆心，A 是最大角，若cosB sinC AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC sinB AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m 的取值范围为 。

平面向量的数量积及平面向量的应用海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料一、 选择题1. 点)4,3(-关于点)5,6(-B 的对称点是（ ）A ．)5,3(-B ．)29,0( C ．)6,9(-D ．)21,3(- 2. 已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．3B ．3-C ．31D ．31-3. 64==，m 与n 的夹角是 135，则n m ⋅等于（ ）A ．12B ．212C ．212-D ．12-4. 有四个式子：(1) 0·a =0;(2) 0·a =0;(3) 0-AB =BA ;(4)｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜;(5)( a ·b )·c ＝a ·(b ·c )其中正确的个数为( )A.4个B.3个C.2个D.1个5. 若),12,5(),4,3(==b a 则a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．6563B ．6533C ．6533-D ．6563-6. 已知点C 在线段AB 的延长线上，且λλ则,CA BC ==等于() A ．3 B ．31 C ．3- D ．31-7. 已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为() A ．3 B ．6 C ．7 D ．98. 已知ABC ∆的三个顶点分别是），（），，（），，（y C B A 124231-，重心)1,(-x G ，则y x 、的值分别是() A ．5,2==y x B ．25,1-==y x C ．1,1-==y x D ．25,2-==y x 9. 若a =(cos α,sin α), b =(cos β,sin β)，则( ) A. a ⊥b B. a ∥b 码 C.( a +b )⊥(a -b ) D.( a +b )∥(a -b )10. 已知向量｜a ｜=5,且a =(3,x-1),x ∈N,与向量a 垂直的单位向量是( ) A.(54，-53) B.(-54，53) C.(- 53，54)或(53，-54) D.( 54，-53)或(-54，53) 11. P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题(每小题6分，共30分.)12. 已知=--B A 、),2,5()4,3(13. a ·〔b ·(a ·c )-c ·(a ·b )〕＝ .14. ｜a ｜＝4,a 与b 的夹角为45°，则a 在b 的投影为 .15. 已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝8，a 与b 的夹角为120°，则｜4a -2b ｜＝ .16. 已知｜a ｜＝2cos22.5°，｜b ｜＝4sin22.5°，a 与b 的夹角为60°，则a ·b ＝ .17. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =三、解答题(15分)18. 平面向量),,2(),,2(),4,,3(y c x b a ==-=已知a ∥b ，c a ⊥，求c b 、及c b 与夹角。

高中数学平面向量专题经典练习题（附答案）一.单选题（共10小题，每题5分，共50分）1.设，是两个非零向量，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则存在实数，使得D.若存在实数，使得，则2.如图，在平行四边形中，分别是的中点，则图中所示的向量中与平行的有（）A.个B.个C.个D.个3.下列说法中正确的是（）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量与向量的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的4.数轴上点分别对应则向量的长度是（）A. B. C. D.5.已知向量与的方向相反，且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A. B. C.， D.6.已知为两个单位向量，则下列叙述正确的是（）A.B.若，则C.或D.若，，则7.已知点，，，，则与向量同向的单位向量为（）A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为，准线为是上一点是直线与抛物线的一个交点，若，则（）A. B. C. D.9.下列结论中正确的是（）若且，则；若，则且；若与方向相同且，则；若，则与方向相反且.A. B. C. D.10.已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为（）A.,B.C.D.二.填空题（共10小题，每题5分，共50分）11.已知向量，，若与方向相反，则等于.12.若向量满足，则.13.等腰直角中，点是斜边边上一点，若，则的面积为.14.在中，，是的中点，，则，.15.在中，内角所对的边分别为则.16.在中，内角的对边分别是若则.17.在中，，是中点，，试用表示为，若，则的最大值为.18.如图，已知在矩形中设则.19.已知向量满足则.20.已知向量与的夹角为则.三.解答题（共5小题，每题10分，共50分）21.已知与的夹角为.(1)若求；(2)若与垂直，求.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系是曲线：上任一点，点满足.设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)已知曲线向上平移个单位后得到曲线设曲线与直线：为参数)相交于两点，求的值.23.已知向量向量函数．(1)当时，求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)若函数在区间的最大值为，求函数在的最小值．24.已知的内角满足.(1)求角；(2)若的外接圆半径为求的面积的最大值.25.在中，内角的对边分别为且.(1)求角的大小；(2)若且外接圆的半参考答案一、选择题第1题第2题故选C第3题单位向量的方向是任意的，所以当两个单位向量的起点相同时，其终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项A不正确；向量与向量方向相反，长度相等，所以选项B正确；向量是既有大小，又有方向的量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项C不正确；规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项D不正确.故选B.第4题第5题故选A 第6题故选D第7题故选A第8题故选B第9题选B第10题二、填空题第11题第12题第13题第14题第15题第16题第18题第20题三、解答题第21题第23题第24题第25题。