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2015-2016学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1＜x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．A、（1，2]B．[﹣1，2] C．（1，3]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．13．“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）A．0 B．1 C．9 D．184．设x∈R，则“x＜1”是“x|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC 的长为（）A．5 B．4 C．D．36．若双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=﹣20x 的焦点重合，则双曲线的方程为（）（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．已知定义在R上的函数f（x）=x2+|x﹣m|（m为实数）是偶函数，记a=f（log e），b=f（log3π），c=f（e m）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．已知定义域为R的奇函数f（x）的周期为4，且x∈（0，2）时f（x）=ln（x2﹣x+b），若函数f（x）在区间[﹣2，2]上恰有5个零点，则实数b应满足的条件是（）A．﹣1＜b≤1 B．﹣1＜b＜1或b= C．＜b D．＜b≤1或b=二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共30分。
9．若复数是纯虚数，则实数a的值为______．10．在（x﹣）8的展开式中，的系数为______．11．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为______．12．曲线y=x2和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为______．13．如图，在△ABC中，∠B=，∠BAC的平分线交BC于点D，AD=，AC=，则△ABC的面积为______．14．如图，已知l1，l2，l3，…l n为平面内相邻两直线距离为1的一组平行线，点O到l1的距离为2，A，B是l1的上的不同两点，点P1，P2，P3，…P n分别在直线l1，l2，l3，…l n上．若=x n+y n（n∈N*），则x1+x2+…+x5+y1+y2+…+y5的值为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2016-2017学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一.选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的1．（5分）cos等于（）A．﹣B．﹣C．D．2．（5分）已知=2，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）函数f（x）=sin（+）（x∈R）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．（5分）为了得到周期y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．（5分）设平面向量=（5，3），=（1，﹣2），则﹣2等于（）A．（3，7）B．（7，7）C．（7，1）D．（3，1）6．（5分）若平面向量与的夹角为120°，=（，﹣），||=2，则|2﹣|等于（）A．B．2 C．4 D．127．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，=（3，2），=（﹣1，2），则•等于（）A．1 B．6 C．﹣7 D．78．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2α的值为（）A．B．±C．﹣ D．09．（5分）计算cos•cos的结果等于（）A．B．C．﹣ D．﹣10．（5分）已知α，β∈（0，），且满足sinα=，cosβ=，则α+β的值为（）A．B．C． D．或二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，且在这个区间上的最大值是，则ω的值为．12．（4分）已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣3），若向量λ+与向量=（﹣4，7）共线，则λ的值为．13．（4分）已知函数y=3cos（x+φ）﹣1的图象关于直线x=对称，其中φ∈[0，π]，则φ的值为．14．（4分）若tanα=2，tanβ=，则tan（α﹣β）等于．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，若点E为BC的中点，点F在CD上，•=6，则•的值为三.解答题（本大题5小题，共40分）16．（6分）已知向量与共线，=（1，﹣2），•=﹣10（Ⅰ）求向量的坐标；（Ⅱ）若=（6，﹣7），求|+|17．（8分）已知函数f（x）=cos2x+2sinx（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）求f（x）的值域．18．（8分）已知sinα=，α∈（，π）（Ⅰ）求sin（α﹣）的值；（Ⅱ）求tan2α的值．19．（8分）已知=（1，2），=（﹣2，6）（Ⅰ）求与的夹角θ；（Ⅱ）若与共线，且﹣与垂直，求．20．（10分）已知函数f（x）=sinx（2cosx﹣sinx）+1 （Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．2016-2017学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的1．（5分）cos等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：cos=cos（2π﹣）=cos=．故选：C．2．（5分）已知=2，则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵==2，则tanα=﹣，故选：B．3．（5分）函数f（x）=sin（+）（x∈R）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【解答】解：函数f（x）=sin（+）（x∈R）的最小正周期是：T===4π．故选：D．4．（5分）为了得到周期y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵y=sin（2x+）=sin[2（x+）﹣]，∴只需把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度即可得到y=sin（2x+）的图象．故选：A．5．（5分）设平面向量=（5，3），=（1，﹣2），则﹣2等于（）A．（3，7）B．（7，7）C．（7，1）D．（3，1）【解答】解：∵平面向量=（5，3），=（1，﹣2），∴﹣2=（5，3）﹣（2，﹣4）=（3，7）．故选：A．6．（5分）若平面向量与的夹角为120°，=（，﹣），||=2，则|2﹣|等于（）A．B．2 C．4 D．12【解答】解：∵平面向量与的夹角为120°，=（，﹣），||=2，∴||=1，∴=||•||•cos120°=1×2×=﹣1，∴|2﹣|2=4||2+||2﹣4=4+4﹣4×（﹣1）=12，∴|2﹣|=2故选：B7．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，=（3，2），=（﹣1，2），则•等于（）A．1 B．6 C．﹣7 D．7【解答】解：∵=+=（3，2），=﹣=（﹣1，2），∴2=（2，4），∴=（1，2），∴•=（3，2）•（1，2）=3+4=7，故选：D8．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2α的值为（）A．B．±C．﹣ D．0【解答】解：∵sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α=，则sin2α=﹣，故选：C．9．（5分）计算cos•cos的结果等于（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：cos•cos=cos•=﹣sin•cos=﹣sin=﹣．故选：D．10．（5分）已知α，β∈（0，），且满足sinα=，cosβ=，则α+β的值为（）A．B．C． D．或【解答】解：由α，β∈（0，），sinα=，cosβ=，∴cosα＞0，sinβ＞0，cosα=，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，由α，β∈（0，）可得0＜α+β＜π，∴α+β=．故选：A．二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，且在这个区间上的最大值是，则ω的值为．【解答】解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]上单调递增，∴≤．再根据在这个区间上f（x）的最大值是，可得ω•=，则ω=，故答案为：．12．（4分）已知向量=（﹣1，2），=（2，﹣3），若向量λ+与向量=（﹣4，7）共线，则λ的值为﹣2 ．【解答】解：向量=（﹣1，2），=（2，﹣3），向量λ+=（﹣λ+2，2λ﹣3），向量λ+与向量=（﹣4，7）共线，可得：﹣7λ+14=﹣8λ+12，解得λ=﹣2．故答案为：﹣2．13．（4分）已知函数y=3cos（x+φ）﹣1的图象关于直线x=对称，其中φ∈[0，π]，则φ的值为．【解答】解：∵函数y=3cos（x+φ）﹣1的图象关于直线x=对称，其中φ∈[0，π]，∴+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，则φ的最小正值为，故答案为：．14．（4分）若tanα=2，tanβ=，则tan（α﹣β）等于．【解答】解：∵tanα=2，tanβ=，∴tan（α﹣β）===．故答案为：．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，若点E为BC的中点，点F在CD上，•=6，则•的值为﹣1【解答】解：以A为原点，AB为x轴、AD为y轴建系如图，∵AB=3，BC=2，∴A（0，0），B（3，0），C（3，2），D（0，2），∵点E为BC的中点，∴E（3，1），∵点F在CD上，∴可设F（x，2），∴=（3，0），=（x，2），∵•=6，∴3x=6，解得x=2，∴F（2，2），∴=（﹣1，2），∵=（3，1），∴•=﹣3+2=﹣1，故答案为：﹣1三.解答题（本大题5小题，共40分）16．（6分）已知向量与共线，=（1，﹣2），•=﹣10 （Ⅰ）求向量的坐标；（Ⅱ）若=（6，﹣7），求|+|【解答】解：（Ⅰ）∵向量与共线，=（1，﹣2），∴可设=λ=（λ，﹣2λ），∵•=﹣10，∴λ+4λ=﹣10，解得λ=﹣2，∴（﹣2，4），（Ⅱ）∵=（6，﹣7），∴+=（4，﹣3），∴|+|==5．17．（8分）已知函数f（x）=cos2x+2sinx（Ⅰ）求f （﹣）的值；（Ⅱ）求f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=cos2x+2sinx，（Ⅰ）f （﹣）=cos （﹣）+2sin （﹣）=+2×（﹣）=﹣；（Ⅱ）f（x）=（1﹣2sin2x）+2sinx=﹣2+，∴当x=+2kπ或x=+2kπ，k∈Z时，f（x ）取得最大值；当x=﹣+2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值﹣3；∴f（x）的值域是[﹣3，]．18．（8分）已知sinα=，α∈（，π）（Ⅰ）求sin（α﹣）的值；（Ⅱ）求tan2α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵sinα=，α∈（，π），∴．∴sin（α﹣）==；（Ⅱ）∵，∴tan2α=．第11页（共13页）19．（8分）已知=（1，2），=（﹣2，6）（Ⅰ）求与的夹角θ；（Ⅱ）若与共线，且﹣与垂直，求．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（﹣2，6），∴||==，||==2，=﹣2+12=10，∴cosθ===，∴θ=45°（Ⅱ）∵与共线，∴可设=λ=（﹣2λ，6λ），∴﹣=（1+2λ，2﹣6λ），∵﹣与垂直，∴（1+2λ）+2（2﹣6λ）=0，解得λ=，∴=（﹣1，3）20．（10分）已知函数f（x）=sinx（2cosx﹣sinx）+1 （Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx（2cosx﹣sinx）+1 =2sinxcosx﹣2sin2x+1=（2sinxcosx）+（1﹣2sin2x）=sin2x+cos2x第12页（共13页）=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）令z=2x+，则函数y=2sinz在区间[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z上单调递增；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x ≤+kπ，k∈Z，令A=[﹣，]，B=[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，则A∩B=[﹣，]；∴当x∈[﹣，]时，f（x）在区间[﹣，]上单调递增，在区间[，]上的单调递减．第13页（共13页）。
天津市和平区2017届高三上学期期末考试理科数学试题温馨提示：本试卷包括第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第I 卷选择题（共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：一、选择题，在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知()(1)12a bi i i ++=+，其中i 为虚数单位，则实数a,b 满足条件 (A)a =l ，b=3 (B)a=3，b=l (C)13,22a b == (D)31,22a b == (2)“a=1"是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)要得到函数tan(2)3y x π=-的图象只需将tan 2y x =的图象(A)向右平移3π个单位长度 (B)向左平移3π个单位长度 (C)向右平移6π个单位长度 (D)向左平移6π个单位长度(4)某程序框图如图所示，若程序运行后，输出S 的结果是 (A)246 (B)286(C)329 (D)375(5)在91)x-的展开式中，常数项是(A)-36 (B)36 (C)-84 (D)84 (6)函数(3)(1),0()2ln ,0x x x f x x x +-≤⎧=⎨-+>⎩的零点个数为(A)3 (B)2 (C)l (D)0(7)已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]上单调递减，设(0),(2),(1)a f b f c f ===-，则(A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<c<a (D)c<b<a(8)在R 上定义运算(1)a b a b ⊗=-．若不等式()()1x y x y +⊗-<对于实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是(A)(2,0)- (B)(1,1)- (C)13(,)22- (D)31(,)22-第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2016-2017学年天津市和平区高二(上）期末数学试卷(理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆"的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知F1（﹣3，0），F2（3,0），动点P满足|PF1|﹣｜PF2｜=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线 D．不存在3．在空间直角坐标中，点P(﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是( ）A．1 B．2 C．3 D．4．已知空间两点A（3，3，1），B(﹣1，1,5)，则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．5．抛物线y2=﹣x的准线方程是( ）A．y= B．y= C．x= D．x=6．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．7．直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合8．已知在空间四边形ABCD中，，,，则=（) A．B．C．D．9．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,若∠PF2Q=90°,则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．13．（5分)已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b）,B2（0，b），A（a，0）,焦点F(c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．14．已知A（1,0，0）,B（0，﹣1，1),+λ与的夹角为120°，则λ=．三、解答题（本大题共5小题，共50分。
2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在3．在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4．已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．5．抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=6．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．7．直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合8．已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．9．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．14．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，及椭圆的定义，我们分别判断“m ＞n＞0”⇒“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的真假，及“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p 是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p 是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在【考点】轨迹方程．【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可．【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题．3．在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】利用坐标的定义，即可求点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离．【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，故选B．【点评】本题是基础题，考查空间距离的求法，考查计算能力，比较基础．4．已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据空间中两点的距离公式，代入计算线段的长度即可．【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为|AB|==6．故选：A．【点评】本题考查了空间中两点的距离公式与应用问题，是基础题目．5．抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，由此可得抛物线y2=﹣x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的简单性质列出方程，求解即可．【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．7．直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线l1、l2的方向向量分别为，，得到1×8﹣3×2﹣1×2=0，即可得出结论．【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为，，∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，∴l1⊥l2．故选A．【点评】本题考查直线的方向向量，考查向量的数量积公式，比较基础．8．已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】由空间四边形ABCD性质及向量加法法则得==（）﹣，由此能求出结果．【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，∴==（）﹣=（）﹣=．故选：B．【点评】本题考查向量求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用．9．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，可得|PF1|=|F1F2|，从而可得e的方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．二、填空题（2016秋•和平区期末）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是x2=±24y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用已知条件，求出抛物线的距离p，然后写出抛物线方程即可．【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．12．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求双曲线方程为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．13．已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件列出方程，通过椭圆的几何量的关系求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．14．（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解： +λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．∵+λ与的夹角为120°，∴cos120°==，化为，∵λ＜0，∴λ=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）（2016秋•和平区期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意离心率及c求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由e=，设a=2k，c=（k＞0），得b=k，在分（2，0）为长轴或短轴的一个端点求解．【解答】（1）解：由得，，解得，a=9，∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为；（2）解：由e=，设a=2k，c=（k＞0），则b=，由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，此时2k=2，∴k=1，得b=1，则椭圆的标准方程为．若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，则椭圆的标准方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．16．（10分）（2016秋•和平区期末）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）令抛物线E的方程，根据抛物线E的焦点为（1，0），即可求得结论；（Ⅱ）利用点差法，结合线段AB恰被M（2，1）所平分，求出AB的斜率，即可求得直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（10分）（2016秋•和平区期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，由•=0即可证明AN⊥BM．（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由向量的夹角公式即可求得直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N（2，1，0），…（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…∴•=0…（5分）∴⊥，即AN⊥BM…（6分）（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），由，可得，…（9分）解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1，1），…（11分）可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==…（12分）【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角的求法，正确利用空间向量的应用是解题的关键，属于基本知识的考查．18．（10分）（2016秋•和平区期末）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题设知，，能求出椭圆方程．（2）将y=kx +2代入，得（3k 2+1）x 2+12kx +9=0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），以PQ 为直径的圆过D （1，0），则（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2=0，由此能推导出存在k=﹣满足题意．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a ＞b ＞0）过点A （a ，0），B （0，b ）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为，∴，，解得a=，b=1，∴椭圆方程是．（2）将y=kx +2代入，得（3k 2+1）x 2+12kx +9=0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），以PQ 为直径的圆过D （1，0） 则PD ⊥QD ，即（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2=0， 又y 1=kx 1+2，y 2=kx 2+2，得（k 2+x ）x 1x 2+（2k ﹣1）（x 1+x 2）+5=0，又，，代上式，得k=，∵此方程中，△=144k 2﹣36（3k 2+1）＞0，∴k ＞1，或k ＜﹣1． ∴存在k=﹣满足题意．【点评】本题考查椭圆方程的求法，探索满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．（10分）（2016秋•和平区期末）如图是一个直三棱柱（以A 1B 1C 1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以B1为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，然后证明OC∥平面A1B1C1．（2）结合（1）中的空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，平面ACA1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣AC﹣A1的正弦值，即可．【解答】（本题满分10分）（1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）依题意，，因为，…所以，所以，又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），则，…（5分）设为平面ABC的一个法向量，由得解得不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，所以．…（7分）设为平面ACA1的一个法向量，由得解得不妨设y2=1，则x2=1，所以．…（9分）因为，，于是，所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）【点评】本题考查空间向量的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断方法，考查空间想象能力以及计算能力．。
2017-2018学年天津市和平区高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={0，﹣1，2，﹣3，4}，B={x|x2＜12}，则A∩B=（）A．{4}B．{﹣1，2，﹣3}C．{0，﹣1，2，﹣3}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}2．（5分）“a=2”是“关于x的方程x2﹣3x+a=0有实数根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）A．9 B．5 C．1 D．﹣54．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（）A．（，）B．（）C．[，]D．[] 5．（5分）阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．72 B．90 C．101 D．1106．（5分）将函数y=sin（）的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（）A．y=sin B．y=sin（）C．y=sin（）D．y=sin（）7．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，=2，且AE与BF相交于点G，则的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=，若始终存在实数b，使得函数g（x）=f（x）﹣b的零点不唯一，则a的取值范围是（）A．[2，4） B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，4]二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）已知i是虚数单位，则复数=．10．（5分）（2x﹣）6的展开式中x3的系数为．（用数字作答）11．（5分）一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．（5分）已知a＞0，则的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=﹣4，则f（﹣a）的值为．14．（5分）现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2=2bc．（Ⅰ）若sinA=sinC，求cosA；（Ⅱ）若cos=，a=6，求△ABC的面积．16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响．（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC的中点，E为AD的中点，点F在线段PB上，PA=AC=4，BC=2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBC；（Ⅱ）若，求证：EF∥平面ABC；（Ⅲ）求PE与平面ADB所成角的正弦值．18．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中a1=b1=1，a2+b3=a4，a3+b4=a7．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=（a1+a2+…+a n）（b1+b2+…+b n），求数列{c n}的前n项和S n．19．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点F的弦为AB、过原点的弦为CD，若CD∥AB，求证：为定值．20．已知函数f（x）=ax2﹣x，g（x）=blnx，且曲线f（x）与g（x）在x=1处有相同的切线．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立；（Ⅲ）当n∈[6，+∞）时，求方程f（x）+x=ng（x）在区间（1，e n）内实根的个数．2017-2018学年天津市和平区高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={0，﹣1，2，﹣3，4}，B={x|x2＜12}，则A∩B=（）A．{4}B．{﹣1，2，﹣3}C．{0，﹣1，2，﹣3}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}【解答】解：集合A={0，﹣1，2，﹣3，4}，B={x|x2＜12}={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={0，﹣1，2，﹣3}．故选：C．2．（5分）“a=2”是“关于x的方程x2﹣3x+a=0有实数根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：关于x的方程x2﹣3x+a=0有实数根，则△=9﹣4a≥0，解得a≤．∴“a=2”是“关于x的方程x2﹣3x+a=0有实数根”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）A．9 B．5 C．1 D．﹣5【解答】解：作出变量x，y满足约束条件的可行域，如图所示的阴影部分，如图：由z=3x﹣y可得y=3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，作直线L：3x﹣y=0，可知把直线平移到A（2，1）时，Z最大，故z max=5．故选：B．4．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（）A．（，）B．（）C．[，]D．[]【解答】解：渐近线方程y=±x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是[﹣，]两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点．此直线的斜率的取值范围[﹣，]．故选：D．5．（5分）阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A ．72B ．90C ．101D ．110 【解答】解：执行程序框图，有 S=0，k=1满足条件n ＜10，有S=2，k=2 满足条件n ＜10，有S=6，k=3 满足条件n ＜10，有S=12，k=4 满足条件n ＜10，有S=20，k=5 满足条件n ＜10，有S=30，k=6 满足条件n ＜10，有S=42，k=7 满足条件n ＜10，有S=56，k=8 满足条件n ＜10，有S=72，k=9 满足条件n ＜10，有S=90，k=10此时，不满足条件n ＜10，输出S 的值为90， 故选：B ．6．（5分）将函数y=sin （）的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（ ）A ．y=sinB ．y=sin （） C ．y=sin （）D ．y=sin （）【解答】解：∵将函数y=sin （）的图象向左平移个单位，得到：y=f （x +）=sin [（x +）﹣]=sin （x ﹣）．∴将函数y=sin（）的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为y=sin（x﹣）．故选：D．7．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，=2，且AE与BF相交于点G，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，如图：正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，E（2，1），=2，F（，0），且AE与BF相交于点G，AE的方程为：y﹣2=﹣即x+2y﹣4=0，BF的方程为：y﹣2=3（x﹣2），即3x﹣y﹣4=0，，可得G（，），=（，﹣），=（﹣，﹣2），则=﹣+=．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，若始终存在实数b，使得函数g（x）=f（x）﹣b的零点不唯一，则a的取值范围是（）A．[2，4） B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，4]【解答】解：由题可知函数g（x）=f（x）﹣b的零点不唯一，等价于两函数y=f（x）与y=b图象的交点个数不唯一．因为m（x）=﹣x2+ax的图象是开口向下、对称轴的抛物线，n（x）=2ax﹣5的图象是恒过（0，﹣5）的直线，注意到m（1）=a﹣1、n（1）=2a﹣5，所以分a≤0、0＜a≤2、a＞2三种情况讨论：①当a≤0时，m（1）＞n（1），又因为y=m（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，y=n（x）在（0，+∞）上单调递减（当a=0时为常数函数），所以y=f（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，所以始终存在实数b使得在（﹣∞，0）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一；②当0＜a≤2时，y=m（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，由于y=n（x）在（0，+∞）上单调递增，且n（1）≤0，所以始终存在正实数b使得在（﹣∞，+∞）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一；③当a＞2时，y=m（x）在（﹣∞，1）上单调递增，y=n（x）在（1，+∞）上单调递增，欲使始终存在实数b使得在（﹣∞，0）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一，则必有m（1）＞n（1），即a﹣1＞2a﹣5，解得：a＜4．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，4）．故选：C．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）已知i是虚数单位，则复数=1﹣i．【解答】解：=．故答案为：1﹣i．10．（5分）（2x﹣）6的展开式中x3的系数为60．（用数字作答）=（2x）6﹣r=（﹣1）r26﹣2r，【解答】解：通项公式：T r+1令6﹣=3，解得r=2．∴展开式中x3的系数==60．故答案为：60．11．（5分）一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由几何体的三视图知：该几何体是正四棱锥和半球体的组合体，球的半径r=1，正四棱锥底面是边长为正四棱锥侧棱长为l==，高为2，则它的体积V=V正四棱锥+V半球体=+=．故答案为：．12．（5分）已知a＞0，则的最小值为﹣1．【解答】解：a＞0，则=4a+﹣5﹣5=﹣1，当且仅当a=时取等号．故答案为：﹣1．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=﹣4，则f（﹣a）的值为4．【解答】解：由4﹣x2≥0，得﹣2≤x≤2，此时1≤x+3≤5，即|x+3|=x+3，则f（x）===，则f（﹣x）==﹣=﹣f（x），即f（x）是奇函数，则f（﹣a）=﹣f（a）=﹣（﹣4）=4，故答案为：414．（5分）现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为480．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，由于甲不能被排在边上，则甲可以在中间的4个位置，有4种情况；②，将剩余的5人全排列，安排在其他5个位置，有A55=120种情况，则有4×120=480不同排法；故答案为：480三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2=2bc．（Ⅰ）若sinA=sinC，求cosA；（Ⅱ）若cos=，a=6，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由sinA=sinC及正弦定理，得a=c．∵a2=2bc，∴a=c=2b．由余弦定理，得cosA===．（Ⅱ）由已知a2=2bc，a=6，得bc=18．∵在△ABC中，为锐角，且cos=，∴sin==．∴sinA=2sin cos=2×=．由bc=18，sinA=及公式S=bcsinA，∴△ABC的面积S==4．16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响．（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件A，B，C，则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC∪A C．∵ABC与A C互斥，且A，B，C彼此独立，∴P（ABC∪A C）=P（ABC）+P（A C）=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（）P（C）=；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．∴随机变量X的分布列为：数学期望E（X）=0×．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC的中点，E为AD的中点，点F在线段PB上，PA=AC=4，BC=2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBC；（Ⅱ）若，求证：EF∥平面ABC；（Ⅲ）求PE与平面ADB所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，AD⊂平面PAC所以BC⊥AD．由在△PAC中，PA=AC，D为PC中点，所以AD⊥PC，且PC∩BC=C，所以AD⊥平面PBC．（Ⅱ）证明：依题意，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．可得A（0，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，2，2），E（0，1，1），F（，3，1）．∵平面ABC的一个法向量，，∴，即AP⊥EF．∵EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC．（Ⅲ）解：设平面ADB的法向量为，，则，．即．设PE与平面ADB所成角为θ，∵，∴sinθ=|cos|=||=．∴PE与平面ADB所成角的正弦值为．18．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中a1=b1=1，a2+b3=a4，a3+b4=a7．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=（a1+a2+…+a n）（b1+b2+…+b n），求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由a1=b1=1，得a n=1+（n﹣1）d，，由a2+b3=a4，a3+b4=a7，得q2=2d，q3=4d，∴d=q=2．∴{a n}的通项公式a n=2n﹣1，{b n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a1+a2+…+a n=n2，b1+b2+…+b n=2n﹣1，故．则S n=（1×2+2×22+…+n×2n）﹣（1+2+…+n）．令T n=1×2+2×22+…+n×2n，①则T n=1×22+2×23+…+n×2n+1，②由②﹣①，得T n=n×2n+1﹣（2+22+23+…+2n）=（n﹣1）×2n+1+2．∴S n=（n﹣1）×2n+1+2﹣（1+2+…+n）=（n﹣1）×2n+1﹣+2．19．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆过右焦点F的弦为AB、过原点的弦为CD，若CD∥AB，求证：为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，原点到直线x﹣y+=0的距离为b，则有b==．由=，得a2=b2=4．∴椭圆E的方程为+=1．（Ⅱ）证明：（1）当直线AB的斜率不存在时，易求|AB|=3，|CD|=2，则：=4．（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，依题意K≠0，则直线AB的方程为y=k（x﹣1），直线CD的方程为y=kx．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则x1+x2=，x1x2=，∴|AB|=•|x1﹣x2|=•=，由整理得x2=，则|x3﹣x4|=．∴|CD|=•|x3﹣x4|=4．∴=•=4．综合（1）（2），∴=4为定值．20．已知函数f（x）=ax2﹣x，g（x）=blnx，且曲线f（x）与g（x）在x=1处有相同的切线．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立；（Ⅲ）当n∈[6，+∞）时，求方程f（x）+x=ng（x）在区间（1，e n）内实根的个数．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R），∴，g'（x）=2ax﹣1．…（2分）∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，∵f（1）=a﹣1，g（1）=0，f（1）=g（1），∴a=1．∵f′（x）=2ax﹣1，g′（x）=，∴f′（1）=2a﹣1，g′（1）=b．∵f′（1）=g′（1），即2a﹣1=b，∴b=1．（Ⅱ）证明：设u（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣x﹣lnx，x＞0，∴u′（x）=2x﹣1﹣=．令u′（x）=0，则有x=1，当u′（x）＞0，即x＞1时，函数u（x）单调递增，当u′（x）＜0，即0＜x＜1时，函数u（x）单调递减，∴u（x）≥u（1）=0，即f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立．（Ⅲ）设h（x）=ng（x）﹣f（x）﹣x=nlnx﹣x2，其中x∈（1，e n），∴h′（x）=﹣2x=﹣．令h′（x）=0，则有x=．当h′（x）＞0，解得1＜x＜，函数h（x）的单调递增，当h′（x）＜0，解得＜x＜e n，函数h（x）的单调递减，∴h（x）=h（）=（ln﹣1）≥3（ln3﹣1）＞0，极大值∴h（e n）=n2﹣e2n=（n+e n）（n﹣e n），设t（x）=x﹣e x，其中x∈（6，+∞），则t′（x）=1﹣e x＜0，∴t（x）在（6，+∞）内单调递减，t（x）＜（6）＜0，∴x＜e x，故h（e n）＜0，而h（1）=﹣1．结合函数h（x）的图象，可知h（x）在区间（1，e n）内有两个零点，∴方程f（x）+x=ng（x）在区间（1，e n）内实根的个数为2．。
