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第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论

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第四章 地球椭球及其数学计算

第四章 地球椭球及其数学计算
✓ 旋转椭球体的特点
• 对称性 • 过任意一点的子午圈的形状和大小相同 • 平行圈（纬圈）和赤道圈都是正圆
子午圈的形状和大小 决定了地球椭球的形状和大小
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球的基本几何参数
✓ 椭球长半径
a
✓ 椭球短半径
b
✓ 椭球的扁率
✓ 椭球的第一偏心率e
✓ 椭球的第二偏心率 e '
导航学
第四章 地球椭球及其数学计算
张小红 武汉大学测绘学院
第四章 地球椭球及其数学计算
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系 4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系 4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系 4.4 地球椭球上的曲率半径 4.5 椭球面上的弧长计算 4.6 法截线与大地线 4.7 大地主题解算 4.8 导航中大地线长度的计算方法 4.9 把地面观测值归算至椭球面
4.4 地球椭球上的曲率半径
4.4 地球椭球上的曲率半径
平均曲率半径
✓ 平均曲率半径就是过该点的所有的法截弧的曲率半径的算术平均值
积分
椭球面上任一点处的平均曲率半径就等于该处的子午圈曲率半 径与卯酉圈曲率半径的几何平均值
4.4 地球椭球上的曲率半径
M、N、R 的关系
NRM
N 90 R 90 M 90 c
d W d1 e 2si2B n e 2siB n co Bs
dB dB
W
d dB xaW si3B n(1e2)
W 1e2sin2B
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M
a(1 e2 ) W3
M
c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明

第四章地球椭球数学变换

第四章地球椭球数学变换


y
M x
18
Fundation of Geodesy
2019/11/2
15.3高斯投影坐标正反算公式
15.3.1
(1) (2) (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。
19
Fundation of Geodesy
2019/11/2
由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋 转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质， 即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央 子午线。 x为l的偶函数，而y则为l的奇函数。
L0=111o
WGS84 (6378137,298.257223563)
A001 2463376.6502
49592.0721
GDZ80 (6378140,298.257)
A001 2463377.7973
49592.0955
BJ54 (6378245,298.3)
A001 2463420.5657
2019/11/2
22
Fundation of Geodesy
2019/11/2
23
Fundation of Geodesy
2019/11/2
15.3.2高斯投影坐标反算公式
在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面， 投影面是椭球面，已知的是平面坐标(x,y)， 要求的是大地坐标(B，L)，相应地有如下 投影方程 lB21((xx,,yy))
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28
Fundation of Geodesy
2019/11/2
15.3.3高斯投影正反算公式的几何解释
29
Fundation of Geodesy
2019/11/2
30
Fundation of Geodesy

第四章椭球数学投影变换

第四章椭球数学投影变换

sin sin 1 sin cos 2
(a )
sin sin 2 sin cos 1
(b)
sin cos 1 cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 cos
(c )
sin cos 2 sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 cos
(d )
cos sin 1 sin 2 cos 1 cos 2 cos
(h ) (g )
26
• 球面上大地主题反解方法
已 知 1 , 2 ,
， 求 ,, 12
27
2 、椭球面和球面上坐标关系式
28
▪ 在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:d源自Bcos MA
dS
22
4.7.5 白塞尔大地主题解算方法
白塞尔法解算大地主题的基本思想:
以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅 助球面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭 球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅 助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最 后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。
B 1 ,B 2 ,A 1 ,A 2 ,L ,S 1 , 2 ,1 ,2 ,,
这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地 元素与球面上相应元素之间的关系式,同时也要解 决在球面上进行大地主题解算的方法。
23
▪ 在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算: 已知 1, 1, 求解 2, 2,
球面上大地主题反算: 已知 1, 2 ,
求解 , 1, 2
24
1、球面三角元素间的相互关系
(e)
cos 2 cos cos 1 cos sin 1 sin cos 1
(f)
cos 2 cos 2 sin 1 sin cos 1 cos cos 1 ( g)

第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论2

第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论2

16 32
16
32
X
a(1 e2 )[A
B2
B1
B 2 (sin 2B2
sin2B1)
C 4 (sin 4B2
sin4B1)
D 6
(sin 6B2
sin6B1)
E 8
(sin 8B2
sin8
B1
)
F 10
(sin10B2
sin10B1)
L
]
A 1 3 e2 45 e4 175 e6 11025 e8 43659 e10 +L 4 64 256 16384 65536
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
2）子午圈曲率半径：
N RA 1 e '2 cos2 Acos2 B
N M R0 1 e2 cos2 B
a(1 e2 ) c M W3 V3
E
315 e8 3465 e10 +L
16384 65536
F
639 e10 +L
131072
180o 57.2958 ' 60 3437.7468 '' ' 60 206264.8098
3、子午线弧长和平行圈弧长
Arc Length of Meridian and Parallel Circle
2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
4）平均曲率半径：

第7章地球椭球及其数学投影4PPT课件

第7章地球椭球及其数学投影4PPT课件
B 2B 1B d d B S M S d d3B 3 S MS 23 4 3
类似地，有：
L 2L 1L d d S L M S d d3L 3 S M S 23 44 A 2 1A 1 2A d d A S M S d d3A 3 S M S 23 4 5
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
BB2B1 ddB S0Sdd2SB 2 0
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
同样可得到：
LL2L1d dS L 0Sdd2S L 20S22dd3S L 30S63
AA21800A1d d
A S0Sdd2S A 20S22dd3S A 30
S3 6
若能求出各阶导数，便可得正解公式。下面来求各阶导数:
收敛快，精度高。 ② 由于求定中点M很复杂，将M点用大地线两 端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并用迭代计算 实现大地主题正算。 2）公式推导： 设M点是大地线P1P2的中点，P1P2=S则 有：MP2 =S/2，MP1=-S/2仿勒让德级 数，在M点展开得：
1
2
1 与 2 两式相减（偶数项全被抵消），得：
31!dd3SL3 1S3
A211
800
A(0) 1 1!
d d
A S S1
1 2!
dd2SA2 1S2
1 3!
dd3SA3 1S3
又因为当S=0时有：
B(0)=B1 ， L(0)=L1 ， A(0)=A12 可得纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式：
B2
B1ddB S0Sdd2SB 2 0
第4章 地球椭球及其数学投影 变换的基本理论
4.7 大地测量主题解算概述

(椭球、投影、变形)PPT课件

(椭球、投影、变形)PPT课件
椭球变换
在地图制作中，椭球变换用于将地球的椭球体模型转换为更便于分析的数学模型。这涉及 到对地球的形状、大小和赤道半径等参数的精确测量和计算，以确保地图的准确性和可靠 性。
遥感影像处理中的椭球、投影、变形应用
遥感影像校正
遥感影像在获取过程中会受到多种因素的影响，如地球曲率、大气折射等，导致影像产生畸变和失真。遥感影像校正 的目的是消除这些影响，提高影像质量和精度。
缺点
投影需要使用特定的设备和材料，成本较高；投影的精度和稳定性可能受到环 境因素的影响；投影的图像质量可能会受到投影角度、距离和光线等因素的影 响。
03 变形的基本概念
变形的原因
地球是一个近似于椭球的旋转体，由于地球自转、公转和地球内部物质 分布不均匀等因素的影响，地球表面各点的位置会发生微小的变化。
投影方法是将球面上的点投影到平面上的方法，由于投影方法的不同， 会导致投影结果与实际地形存在一定的差异，从而产生变形。
不同的地图用途和比例尺要求也会对地图的变形产生影响，例如在大比 例尺地图中，为了更好地反映地形细节，需要进行地图的局部放大，这 也会导致地图的变形。
变形的分类
按变形性质可分为几何变形和投影变形。几何变形是由于地图制作过程中几何图形的变化而 引起的变形，如地图投影时产生的变形；投影变形是由于投影方法不同而引起的变形，如将 地球表面投影到平面时产生的变形。
投影方法
在地理信息系统中，投影是将地球表面上的点映射到二维平面上的方法。 不同的投影方法适用于不同的应用场景，如地图制作、遥感影像处理等。
03
变形处理
在地理信息系统中，由于地球的椭球体模型与实际地球形状存在差异，
因此需要进行变形处理以减小误差。变形处理的方法包括地图投影、地

第四章地球椭球及其数学投影变换的基本理论10


mL
N
E cosB
G mB N cosB
正形投影长度比与方向A无关，要使m与A脱离关系，则必须满足 F=0，E=G，即 ：
Fxxyy 0 q l q l
1
2
Eqx
2
qy
x2 l
y2 l
G
2
由 1 式可得：
y y
x l
q l x
3
q
将 3 式代入 2 式可得：
x q
÷÷ 2
y q
÷÷ 2
y l
y = N1000000+500000+y
§6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger Projection
四2. 自高然斯坐平标与面通直用角坐坐标标系
通用坐标（假定坐标） 在高斯平面横坐标y至加上500000m的基础上，再在前 面冠以代号所形成的坐标。 自然坐标 例： 自然坐标：（30 456.33m，-200.25m） 通用坐标：（30 456.33m，20 499 799.75m）
A
对投影方程全微分有： 对L＝常数的子午微分弧的投影
对B＝常数的平行圈微分弧的投影
那么 由上式可得 ：
cos
AB
x dB B
AC
y dL L
AB mMdB AC mNcosBdL
sin
BB
y dB B
CC
x dL L
AB mMdB AC mNcosBdL
（式中负呈是因为随B增加而y减少）
B x d q x q N B q M co B d q xs d B d B q B xNc M o Bs q xNc M o Bs y l B y d q y q N B q M co B d q ys d d B B q B yNc M o Bs q yNc M o Bs x l

第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论


sin B V sin u
cos B W cosu
14
常用坐标系及其关系

U、φ之间的关系 y y tan 1 e 2 tan u x x Ｂ、φ之间的关系
tan 1 e 2 tan u

tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经 过计算，当B=45°时
dx a sin B (1 e 2 ) dB W3
17
椭球面上几种曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
c M 3 V
18
椭球面上几种曲率半径 卯酉圈曲率半径(N)
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截 形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧， 一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线， 这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半 径乘以两截弧平面夹角的余弦。
13
常用坐标系及其关系 • B、u、 φ之间的关系 B和u之间的关系
x a cos u , y b sin u a a b sin B 2 x cos B , y (1 e ) sin B W W V
sin u
1 e2 sin B W
1 cosu cos B W
第四章 地球椭球数学投影的基本理论
1
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小 常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): • 长半轴ａ a b • 短半轴ｂ a • 椭圆的扁率 a 2 b2 • 椭圆的第一偏心率 e e a e • 椭圆的第二偏心率 a 2 b2 通常用a , '

大地测量学基础习题与思考题及答案含重点及两份武大测绘试题@

《大地测量学基础》习题与思考题一 绪论1．试述您对大地测量学的理解？2．大地测量的定义、作用与基本内容是什么？3．简述大地测量学的发展概况？大地测量学各发展阶段的主要特点有哪些？4．简述全球定位系统（GPS ）、激光测卫（SLR ）、 甚长基线干涉测量（VIBL ）、 惯性测量系统（INS ）的基本概念？ 二 坐标系统与时间系统1．简述是开普勒三大行星定律？ 2．什么是岁差与章动？什么是极移？ 3．什么是国际协议原点 CIO?4．时间的计量包含哪两大元素？作为计量时间的方法应该具备什么条件? 5．恒星时、 世界时、 历书时与协调时是如何定义的？其关系如何？ 6．什么是大地测量基准？7．什么是天球？天轴、天极、天球赤道、天球赤道面与天球子午面是如何定义的 ？ 8．什么是时圈 、黄道与春分点？什么是天球坐标系的基准点与基准面？ 9．如何理解大地测量坐标参考框架？10．什么是椭球的定位与定向?椭球的定向一般应该满足那些条件？ 11．什么是参考椭球？什么是总地球椭球？12．什么是惯性坐标系？什么协议天球坐标系 、瞬时平天球坐标系、 瞬时真天球坐标系？13．试写出协议天球坐标系与瞬时平天球坐标系之间，瞬时平天球坐标系与瞬时真天球坐标系的转换数学关系式。

14．什么是地固坐标系、地心地固坐标系与参心地固坐标系？15．什么协议地球坐标系与瞬时地球坐标系？如何表达两者之间的关系？16．如何建立协议地球坐标系与协议天球坐标系之间的转换关系，写出其详细的数学关系式。

17．简述一点定与多点定位的基本原理。

18．什么是大地原点？大地起算数据是如何描述的？19．简述1954年北京坐标系、1980年国家大地坐标系、 新北京54坐标系的特点以及它们之间存在相互关系。

20．什么是国际地球自传服务(IERS ）、国际地球参考系统(ITRS) 、国际地球参考框架(ITRF)? ITRS 的建立包含了那些大地测量技术，请加以简要说明？21. 站心坐标系如何定义的？试导出站心坐标系与地心坐标系之间的关系？22．试写出不同平面直角坐标换算、不同空间直角坐标换算的关系式？试写出上述两种坐标转换的误差方程式？ 23．什么是广义大地坐标微分方程（或广义椭球变换微分方程）？该式有何作用？ 三 地球重力场及地球形状的基本理论1．简述地球大气中平流层、对流层与电离层的概念。

第四章 1椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质


极点曲率半径
1 − e 2 sin 2 B 2 2 1 + e ′ co s B
t、η2、W、V写在黑板
四、经线和纬线的曲线方程
• 起始子午线的曲线方程： 起始子午线的曲线方程：
X 2 Z2 + 2 =1 2 a b Y =0
• 经度为 的经线方程： 经度为L的经线方程： 的经线方程 两个面的截线 • 纬度为 的纬线方程： 纬度为B的纬线方程： 的纬线方程
第四章 地球椭球及其 数学投影变换的基本理论
第四章 第一讲主要内容
一、地球椭球的几何、物理参数 二、地球椭球参数间的相互关系 三、旋转椭球面上的几种坐标系 四、各坐标系间的关系
上一讲应掌握的内容
1、垂线偏差公式和拉普拉斯方程 、垂线偏差公式和
ξ =ϕ −B η = (λ − L) cos ϕ
A = α − (λ − L) sin ϕ
二、地球椭球（正常椭球）4个基本参数及关系 地球椭球（正常椭球） 个基本参数及关系 • 地球椭球（正常椭球）仅用几何元素不能反映其 物理意义，通称用4个基本参数来反映几何物理特 征。 a, J2 , fM (GM ), ω • 根据4个基本参数可求得椭球扁率：
3 q 近似公式：α = J 2 + 2 2 1 ≈ 298.257
b2 x 2 x c tgB = 2 ⋅ = (1 − e ) a y y
y = x (1 − e 2 ) tan B
x = a cos B 1 − e 2 sin
2
B
=
a cos B W
子午平面坐标系与大地坐标系的关系(续)
a N= x = N cos B W a cos B a cos B = x= 2 2 W 1 − e sin B
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4.7 大地主题解算
• 4.7.4 高斯平均引数反算公式 • 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:
73
4.7 大地主题解算
74
4.7 大地主题解算
75
4.7 大地主题解算
• 4.7.5 白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想: 以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球 面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面 上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面 上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球 面上的计算结果换算到椭球面上。
33
4.4 椭球面上的弧长计算
34
4.4 椭球面上的弧长计算



如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内 的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个 弧长约为4 0 0 0 8 5 4 9 . 9 9 5 m。即一象限子午线弧 长约为10000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需 按(11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：Δ Ｘ＝Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即为所求的弧长。 当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可 视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度 点的子午圈的曲率半径Mｍ
47
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 垂线偏差改正 以测站A为中心 作出单位半径的 辅助球,u是垂线 偏差，它在子午 圈和卯酉圈上的 分量分别以ξ,η表示， M是地面观测目标m在球 面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)
48
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 标高差改正
49
4.6 将地面观测值归算至椭球面
20
4.3 椭球面上的几种曲率半径
21
4.3 椭球面上的几种曲率半径

卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短 轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的 旋转轴上。
22
4.3 椭球面上的几种曲率半径
• 主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半 径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这 在微分几何中统称为主曲率半径。
64
4.7 大地主题解算
• (1)建立级数展开式:
65
4.7 大地主题解算
66
4.7 大地主题解算
67
4.7 大地主题解算
• (3)由大地线微分方程依次求偏导数:
68
4.7 大地主题解算
69
4.7 大地主题解算
70
4.7 大地主题解算
71
4.7 大地主题解算
注意： 从公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。 但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近 的迭代方法进行公式的计算。 ������ 除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算， 其 计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度可达到 72 0.001”。
46
4.6 将地面观测值归算至椭球面
观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线， 而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏 差。 归算的两条基本要求： ①以椭球面的法线为基准； ②将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 • 将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改 正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改 正为三差改正。
3、子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上， 以子午圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标 系。在该坐标系中，P点的位置用L, x, y表示。
7
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上 以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系; 以椭球 长半径a为半径作辅助圆，延长Ｐ２Ｐ与辅助圆相 交Ｐ１点，则OP１与x轴夹角称为P点的归化纬度 u。
大地测量学基础 BASIS OF GEODESY
建工院测绘工程教研室 戴小军
1
第四章 地球椭球及其数学投影变换
椭球面上的常用坐标系
本
椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算 横轴墨卡托投影、高斯投影
章
知 识
点
兰勃托投影
2
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
42
4.5 大地线 • 大地线的微分方程和克莱劳方程
43
4.5 大地线
44
4.5 大地线
• 大地线的克莱劳方程
在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径 与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于 常数。式中常数C也叫大地线常数
45
4.5 大地线
• 当大地线穿越赤道时
• 当大地线达极小平行圈时
• 由克莱劳方程可以写出
23
4.3 椭球面上的几种曲率半径
24
4.3 椭球面上的几种曲率半径
25
4.3 椭球面上的几种曲率半径
26
4.3 椭球面上的几种曲率半径
• ������ 任意法截弧的曲率半径
27
4.3 椭球面上的几种曲率半径
•任意法截弧的曲率半径的变化规律: ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法 截弧的方位角A有关。 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即 Ｒ０＝Ｍ； 当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝ Ｎ。主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。 当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当A由 90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是 以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
17
4.3 椭球面上的几种曲率半径
18
4.3 椭球面上的几种曲率半径

19
4.3 椭球面上的几种曲率半径
卯酉圈曲率半径(N) 卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面 相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧，一为 法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具 有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等 于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。
35
4.4 椭球面上的弧长计算
• 由子午弧长求大地纬度
• 平行圈弧长公式
36
4.4 椭球面上的弧长计算
• 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
37
4.5 大地线
两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线， 在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是 怎样的一条线呢? 它应是大地线。 相对法截线
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2、空间直角坐标系 坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z 轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平 均北极点；X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文 台所决定的子午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面 垂直，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 截面差改正
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4.6 将地面观测值归算至椭球面
将地面观测的长度归算至椭球面 基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认 为它是基线平均高程面上的长度，以Ｓ０表示，现 要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。 • 1.垂线偏差对长度归算的影响
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4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和 大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元 素):
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4.1地球椭球基本参数及其互相关系
• 为简化书写，还常引入以下符号
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
4.2.1 各种坐标系的建立 1、大地坐标系 • 大地经度B 大地纬度L 大地高H
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
4-194
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算 4.7.3 高斯平均引数正算公式
高斯平均引数正算公式推导 的基本思想：
首先把勒让德级数在P１点展 开改在大地线长度中点M展开，以 使级数公式项数减少，收敛快，精 度高；其次，考虑到求定中点M 的复杂性，将M 点用大地线两端 点平均纬度及平均方位角相对应的 m 点来代替，并借助迭代计算便可 顺利地实现大地主题正解。
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• B、u、φ之间的关系 • B和u之间的关系
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• U、φ之间的关系
• Ｂ、φ之间的关系
• 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小， 经过计算，当B=45°时
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的 交线叫法截线。
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 5、大地极坐标系 M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为 连接MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。 以M为极点； MN为极轴； P点极坐标为（S, A)
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 4.2.2 坐标系之间的相互关系 • 子午平面坐标系同大地坐标系的关系
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
• 平均曲率半径
椭球面上任意一点的平均曲率半径R 等于该点 子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均 值
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4.3 椭球面上的几种曲率半径 • M，N，R的关系
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
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4.4 椭球面上的弧长计算
• 子午线弧长计算公式