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第3章 地图投影的基本理论

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地图投影复习资料

地图投影复习资料

地图投影复习资料基本概念地图投影是在平面上建立与地球曲面上相对应的经纬网的数学法则。

任务（1）研究将地球面上的地理坐标描写到平面上，建立地图数学基础的各种可能的方法； （2）讨论这些方法的理论、变形规律、实用价值以及不同投影坐标的相互换算等问题。

大地水准面与大地体（Geoid ）大地水准面设想当海水面完全处于静止状态下，并延伸到大陆内部，使它成为一个处处与铅垂线（重力线）正交的连续的闭合曲面，这个曲面叫做。

由它所包围的球体，叫做大地体。

地球椭球面与地球椭球体(Ellipsoid)地球椭球体选择一个大小和形状同大地水准面极为接近的，以椭圆短轴为旋转轴的旋转椭球面。

这个旋转椭球面可代表地球的形状，又称为地球椭球面或参考椭球面（原面）。

由它所围成的球体，称为或地球椭球。

地球椭球体的形状和大小扁率(Flattening or Compression) 第一偏心率(First Eccentricity)第二偏心率(Second Eccentricity)地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标点两极 (pole) 线经线(meridian) 纬线(parallel) 面平行圈(parallel)子午圈(meridian) : 长半径为ae ，短半径为be 的椭圆 地理坐标地理纬度(latitude ) 地理经度(longitude)子午圈：通过地面任一点的法线可以有无数法截弧，它们 与椭球面相交则形成无数法截弧，其中有一对互相垂直的法截弧，称为主法截弧。

主法截弧都是椭圆，其中一个是子午圈。

卯酉圈：与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉圈。

地球椭球面上的子午圈始终代表南北方向；卯酉圈除了两个极点外，代表东西方向。

子午圈曲率半径：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最小的曲率半径卯酉圈曲率半径：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最大的曲率半径子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径（N ）之间的关系：M ≤N 在赤道上：在极点上：子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径（N ）除在两极处相等外，在其它纬度相同的情况下，同一点上卯酉圈曲率半径均大于子午圈曲率半径。

地图投影第三章方位投影

地图投影第三章方位投影
角度、面积等变形线为以投影中心为圆线的同心圆。 球面上的微圆投影为椭圆，且误差椭圆的
长半径和纬线方向一致，短半径与经线方 向一致，且等于微圆半径r，又因自投影中 心，纬线扩大程度越来越大，所以变形 椭圆的长半径也越来越长，椭圆越来越扁。 常用来做两极的投影。
横轴方位投影 ——等距
经纬线形状
中央经线为直线，其它经线是对 称于中央经线的曲线。中央纬线 为直线，其它纬线是对称于中央 纬线的曲线。在中央经线上纬线 间隔相等。在中央纬线上经线间 隔相等。
从区域所在的地理位置来说，两极地区和南、北半球图采 用正轴方位投影；赤道附近地区和东、西半球图采用横轴 方位投影；其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。
横轴、斜轴方位投影变形分布规律
投影面在p点与地球面相切，过新极点p可做许多大圆， 命名为垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名为等高圈。 这样垂直圈相当于地理坐标系的经线圈，等高圈相当于纬 线圈，等高圈和垂直圈投影后的形式和变形分布规律和正 轴方位投影时，情况完全一致。
3 21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
七. 球心投影（日晷投影）
4 3
21
八. 方位投影的分析和应用
方位投影的差别是取决于纬圈或等高圈投影半径p
的形式，而ρ的具体形式是取决于变形性质或透
视条件。
4
根据方位头因的长度比、面积比和角度最大变形的
公式来看，在正轴投影中，它们是纬度3 φ的函数， 在斜轴和横轴投影中，它们是天顶距Z的函数1
方位投影变形性质的图形判别
方位投影经纬线形式具有共同的特征，判别时先看构成形 式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。
正轴投影，纬线为以投影中心为圆心的同心圆，经线为放 射状直线，夹角相等。横轴投影，赤道与中央经线为垂直 的直线，其他经纬线为曲线。斜轴投影，除中央经线为直 线外，其余的经纬线均为曲线。

03第三章地图投影

03第三章地图投影
②水准原点：（海拨≠零点）其高程是以青岛验潮站平 均海平面为零点，经过精密水准测量进行连测而得。
③其高程值：是埋设于青岛观象山密封井下的永久性的 标志点与验潮站平均海平面之间的高差。
1956年国务院批准建立的黄海高程系的 水准原点距平均海平面的高差为： 72.289m(利用50—56年观测记录)。
四等三角网的边长约4公里，可以保证在1：1万比例尺测图 时，每幅图内有1—2个控制点，每点大约控制20平方公里的 范围。
测量平面控制点的位置，通常采用三角测量的方法。这 种方法的实质是在地面上建立一系列相连接的三角形（ 组成三角锁和三角网，），量取一段精确的距离作为起 算边，在这个边的两端点，采用天文观测方法确定其点 位（经度、纬度和方位角），用精密测角仪器测定各三 角形的角值，根据起算边的边长和点位，就可推算出其 他各点的坐标。这样推算的坐标，称为大地坐标。
此外，在一些局部地区也可以用精密导线测量方法，测 量导线边的边长和夹角，推算各点的大地坐标。
（2）高程控制网：
测量高程控制点的主要方法是水准测量，有时也 用三角高程测量。
水准测量是借助水平视线来测定两点间的高差。 连续的水准测量即可组成作为全国高程控制的水 准网。
根据测量精度的不同，水准测量分为四等，作为 全国测图及工程建设的基本高程控制。
精度要求不高时，可将椭球体处理为正球体，地理坐标 均采用地球表面的球面坐标，经纬度均用地心坐标。
天文经纬度只能在天球上定义，天文经（纬）度与大地 经（纬）度相同时，其轨迹在大地经（纬）线附近呈非 平面曲线摆动。但由于θ角（铅垂线与法线的夹角）很 小，这种摆动的幅度也很小。
地心 地心纬度
大地纬度 天文纬度
2.地球体的物理表面（准规则曲面-假想面）

地图投影的基本方法

地图投影的基本方法

地图投影的基本⽅法地图投影的基本⽅法：数学解析法是在球⾯与投影⾯之间建⽴点与点的函数关系，通过数学的⽅法确定经纬线交点位置的⼀种投影⽅法。

⼏何透视法是利⽤透视的关系，将地球体⾯上的点投影到投影⾯（借助的⼏何⾯）上的⼀种投影⽅法。

地球仪上的经纬线的长度的特点：第⼀，纬线长度不等；第⼆，在同⼀条纬线上，经差相同的纬线弧长相等；第三，所有经线长度相等。

地球仪上的经纬线⽹格⾯积的特点：第⼀，在同⼀纬度带内，经差相同的球⾯⽹格⾯积相等；第⼆，在同⼀经度带内，纬度愈⾼，⽹格⾯积愈⼩。

地球仪上的经纬线⾓度的特点：a bc在图（b、c）上，只有中央经线和各纬线相交成直⾓，其余的经线和纬线均不呈直⾓相交，⽽在地球仪上经线和纬线处处都呈直⾓相交，这表明地图上有⾓度变形。

变形椭圆指地球椭球体⾯上的⼀个微⼩圆，投影到地图平⾯上后变成的椭圆，特殊情况下为圆。

可证明球⾯上的⼀个微⼩圆，投影到平⾯上之后是个椭圆。

在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微⼩圆的⽐较，说明变形的性质和⼤⼩。

椭圆半径与⼩圆半径之⽐，可说明长度变形。

很显然，长度变形随⽅向的变化⽽变化，其中有⼀个极⼤值，即椭圆长轴⽅向，⼀个极⼩值，即椭圆短轴⽅向。

这两个⽅向是相互垂直的，称为主⽅向。

椭圆⾯积与⼩圆⾯积之⽐，可说明⾯积变形。

椭圆上两⽅向线的夹⾓和⼩圆上相应两⽅向线的夹⾓的⽐较，可说明⾓度变形。

baxy⼏何投影⽅位投影圆柱投影圆锥投影条件投影伪圆柱投影伪⽅位投影多圆锥投影伪圆锥投影常⽤地图投影⼀、世界地图常⽤投影（1）墨卡托投影（Mercator Projection）墨卡托投影属于正轴等⾓圆柱投影。

该投影设想与地轴⽅向⼀致的圆柱与地球相切或相割，将球⾯上的经纬线⽹按等⾓的条件投影到圆柱⾯上，然后把圆柱⾯沿⼀条母线剪开并展成平⾯。

经线和纬线是两组相互垂直的平⾏直线，经线间隔相等，纬线间隔由⾚道向两极逐渐扩⼤（如图）。

图上⽆⾓度变形，但⾯积变形较⼤。

等⾓航线：是地球表⾯上与经线相交成相同⾓度的曲线。

(地图学课件)第2讲链接(第三章我国地形图采用的地图投影)

(地图学课件)第2讲链接(第三章我国地形图采用的地图投影)

此投影在纬度60°以内，采用经差6 °、
Nn=1
纬差4 °为一图幅。经纬线间隔1 °。经线
均为直线，中央经线左右各2 °的经线，
保持长度不变，中央经线的长度较实际长
度略小。纬线为圆弧，边纬线垂直于中央
经线，并保持实长，其余纬线长度较实长
为小。由于每一幅地图的范围不大，所以变形也小。 Ns=1
第五节 我国地形图采用的地图投影
第五节 我国地形图采用的地图投影
我国地形图的投影，除1：100万比例尺地形图采用国际投影和等角圆锥 投影外，其余都采用高斯—克吕格投影
一、国际投影（又称改良多圆锥投影） 5、对多圆锥投影原理的解释 多圆锥投影，中央经线投影为直线且保持长度不变，其余经线投影为对
称于中央经线的曲线；赤道投影为直线，其余纬线投影为同轴圆弧， 圆心位于中央经线上，各纬线投影后保持长度不变且与中央经线正 交。
我国地形图的投影，除1：100万比例尺地形图采用国际投影和等角圆锥 投影外，其余都采用高斯—克吕格投影
一、国际投影（又称改良多圆锥投影） 3、拼接时产生的后果 由于各幅地图均系单独投影，虽然同一列与同一行图幅可以密切拼接，
但上下左右四幅拼接在一起，则发生裂隙。如果九幅或更多幅地图 拼接在一起，则变形更大，但仍可有效的进行研究地区的阅读。 4、七十年代以前，我国1/100万地图一直采用国际投影，现在改用等角 圆锥投影。
第五节 我国地形图采用的地图投影
我国地形图的投影，除1：100万比例尺地形图采用国际投影和等角圆锥
投影外，其余都采用高斯—克吕格投影
一、国际投影（又称改良多圆锥投影）
这种投影既不等角也不等积，中央经线是一条没有变形的线，离中央经
线越远，变形越大。
1、此种投影方式应用于1：100万比例尺的地形图

地图投影的基本原理(1)

地图投影的基本原理(1)
的方法称为地图投影。
地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之
间一一对应的函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本方法
1）几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特
征点用垂直投影的方法投影到图纸上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为投影没有
sin( ') a b sin( ')
ab
显然当（a +a ′）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形：
sin( ') a b
ab
以ω表示角度最大变形： 令
2( ')
sin a b
2 ab
地图投影基本理论
五、地图投影条件
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时 存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生，如投影后 角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变 形。
E、F、G、H称为一阶基本量， 或称高斯系数。
地图投影基本理论
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的 表达式：
sin dy ds
cos dx
tg
dsddmαyxds dsdxysndd
y x
d dLeabharlann x D'x'
dy
C'
（x+dx,y+dy）
dx
ds'
dsm'
Ψ
B'
dsn'
A' （x,y）
O
y
地图投影基本理论
tan tan ' tan b tan (1 b) tan

00.地图学原理与方法

00.地图学原理与方法
第十六章 多媒体电子地图与互联网地图
第一节 多媒体电子地图 第二节 电子地图的设计和制作 第三节 互联网地图的特点和制作
第六篇 地图分析与应用
第十七章 地图分析
第一节 地图分析概述 第二节 传统地图分析的基本方法 第三节 数字地图分析的基本方法
第十八章 地图应用（ 阅读章节）
第一节 地图在科学研究方面的应用 第二节 地图在国民经济建设中的应用 第三节 地图在军事上的应用
第五篇 现代地图制图的技术方法
第十四章 数字地图与地图数据库
第一节 数字地图 第二节 矢量数字地图 第三节 栅格数字地图 第四节 地图数据库
第十五章 数字地图制图技术与方法
第一节 数字地图制图技术的形成和发展 第二节 数字地图制图系统 第三节 数字地图数据处理与编辑 第四节 地图数据的符号化 第五节 纸质地图数字化生产与出版
第一篇 概论
第一章 地图
第一节 地图的基本特性和定义 第二节 地图的基本内容 第三节 地图的分类 第四节 地图的分幅与编号 第五节 地图的功能
第二章 地图学
第一节 地图学的现代特征和定义 第二节 地图学的学科体系和各主要学科的研究内容 第三节 现代地图学的基本内容 第四节 地图学与其他学科的关系 第五节 地图学发展的历史与趋势
第三篇 地图内容要素表示方法
第六章 地图信息源及其处理
第一节 地图信息源 第二节 地图资料（数据）处理 第三节 地图上地理内容要素的空间分布特征 第四节 地图上地理要素变量的量表方法
第七章 地图符号设计
第一节 地图符号的基本概念与特性 第二节 地图符号的视觉变量 第三节 地图符号的分类 第四节 地图符号的功能 第五节 地图符号设计的基本方法
第八章 地图整体效果设计

地图学复习笔记

地图学复习笔记

第一章地图的基本知识§1.5地图基本内容（选择题或填空）地图的内容可分为三个部分：数学基础、地理要素、整饰要素。

①数学基础：控制点（平面和高程）、坐标网（经纬网和方里网）、比例尺和地图定②地理要素：普通地图（地理要素：自然和人文要素）和专题地图（地理基础和主题要素）。

③整饰要素：包括外图廓、图名、接图表、图例、坡度尺、三北方向、图解等内容。

详细请看书P10——P11§1.6地图的分幅与编号三、我国地形图的分幅编号（★）表1-2及例题见附1§1.7地图的成图过程（名词解释、简答题，加详细描述）一、制作地图的基本途径制作地图的两条途径：实测地图（野外实测和航测法成图）和编绘地图。

①外实测地图：利用测量仪器对地球表面的局部区域地物、地貌的空间位置和几何形状进行测定，按一定的比例尺缩小绘制成地形图；②航测法成图：利用航空影像来测制地图。

2、编绘地图：根据各种各样的制图材料——实测地形图、统计资料、航（卫）片、政府公告、地理考察资料、草图等编制成为用户需要的各种类型的地图。

三、计算机地图制图（补看内容）概念：以计算机及由计算机控制的输入、输出设备为主要工具，通过数据库技术和数字处理方法实现的地图制图称为计算机地图制图。

计算机制作地图的过程分为四个阶段：①地图设计；②数据出入；③数据处理；④图形输出。

（可看P18图1-10）第二章地图学§2.1地图的定义和基本内容1、地图学的定义：地图学研究地理信息的表达、处理和传输的理论和方法，以地理信息可视化为核心，探讨地图的理论实质、制作技术和使用方法的综合性科学。

2、我国的学者廖克根据现代地图学发展的特点和趋势，提出现代地图学的三大分支为：理论地图学、地图制图学、应用地图学。

第三章地图投影的基本原理§3．1地图投影的基本概念（名词解释）地图投影：就是按照一定数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换到平面上，使地面点位的地理坐标与地图上相对应的点位的平面直角坐标或平面极坐标间，建立一一对应的函数关系。

地图投影复习资料

地图投影复习资料

地图投影复习资料地图投影：是利用一定数学方法则把地球表面的经、纬线转换到平面上的理论和方法。

投影变换：是将一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标的过程。

极值长度比：通常指沿变形椭圆的长半径a与短半径b的长度比之总称。

曲率半径：曲率的倒数，即某点的弯曲程度。

垂直圈：垂直圈又称地平经圈，指天球上经过天顶的任何大圆。

主法截面：通过A点的法线AL可作出无穷多个法截面,为说明椭球体在某点上的曲率起见,通常研究两个相互垂直的法截面的曲率,这种相互垂直的法截面为主法截面。

长度变形：长度变形又称“长度误差”、“长度变异”、“长度相对变形”，是衡量地图投影变形大小的一种数量指标。

等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。

变形椭圆：地球面上一微分圆投影到平面上一般成为微分椭圆，微分椭圆的任意两相互垂直的直径，投影后为微分椭圆的两共轭直径，且该微分椭圆可以表现投影变形的性质和大小。

面积变形：地球面上无限小面积投影到平面上的大小与它原有面积大小的相对变形。

1、地图投影的目的与意义地图投影是将立体地球上的种种标线及位置，转换到平面方格坐标的一种方式，在投影出来的地图上，无论是长度和面机，都必须与实际长度面积等比例，位子也必须正确，这是地图投影最基本的原则。

2、地图投影与其他学科的关系地图投影同许多学科和应用技术有着密切的联系1. 与数学：从地图投影的发展来看，它是伴随着数学的发展而前进的；2. 与测量学：天文-大地测量为测制地图提供地球参考椭球体的大小形状及有关参数，并建立大地原点；大地测量学在大地原点的基础上所建立的各级三角点，则需要应用地图投影计算出它们的平面直角坐标；3. 与地图编制：地图编制与地图投影同属于地图学的重要组成部分；4. 与航海、航天、宇宙飞行：等角投影无角度变形适用于航海和航天图；宇宙飞行可以服务于地图投影，并可促使地图投影向新的方向发展。

3、每种投影的性质，要满足的条件及原因1. 等角投影：要满足的条件是ω=0,m=n,a=b和β=β’；在投影上任意两方向线的夹角与地球面相应的家教相同；2. 等面积投影：要满足的条件是vp=P-1=0或P=1；投影面上的有限面积与地球上相应的面积相等；3. 等距离投影：要满足的条件是正轴经线长度比m=1,斜轴或横轴垂直圈长度比μ1=1。

高二第三章地理知识点总结

高二第三章地理知识点总结

高二第三章地理知识点总结地理是一门研究人类与自然环境相互作用的学科，它探究着地球的自然现象、人类活动和相关的环境问题。

在高二的第三章中，我们学习了许多关于地理的重要知识点。

以下是对这些知识点进行总结：一、地球的运动和地理经纬度1. 地球的自转地球自转是指地球绕自身轴线旋转的运动，每天自西向东旋转一周。

地球自转产生了昼夜变化和地球形状的赤道膨胀。

2. 地球的公转地球的公转是指地球绕太阳运动的轨道。

地球公转决定了季节变化和地球与太阳的距离变化。

3. 地理经纬度地理经纬度是测量和标示地球上任意一点位置的方式。

经度是指连接地球两极的线上，从英国伦敦为基准线，向东西两个方向以180°为单位划分，东经用E表示，西经用W表示。

纬度是指与地球赤道线垂直的线上，以赤道为基准线，向北南两个方向以90°为单位划分。

二、地球的内部结构和板块构造1. 地壳、地幔和地核地球内部分为地壳、地幔和地核三个不同部分。

地壳是地球最外层的岩石壳层，地幔是地壳之下的厚厚岩石层，地核是地幔之下的由铁和镍构成的核心部分。

2. 板块构造理论板块构造理论是地球科学中的重要理论之一，它认为地球的岩石表层被分割成多个大块或小块，这些块被称为地球板块。

板块构造理论解释了地球上地震、火山和地壳运动的产生机制。

三、地球的天气和气候1. 大气圈和气候带大气圈是地球上围绕地球表面的气体层，其中包括了水汽和氧气等气体。

气候带是指大气圈中纬度对应的不同气候区域。

2. 气象要素和气候要素气象要素是指描述天气现象的基本要素，如温度、湿度、气压、风速等。

气候要素是指描述长期气象统计平均值的要素，如年平均气温、年平均降水量等。

四、地球的水资源和水循环1. 地球上的水资源地球上的水资源包括地表水、地下水和冰雪水等形式。

水资源对人类的生产生活至关重要。

2. 水循环过程水循环是地球上水分在不同形式间循环流动的过程。

水循环包括了蒸发、降水、融化、蒸散等环节。

投影知识

投影知识
长度比是一个变量，不同点其长度比不等，即使在同 一点上其长度比亦随方向变化而变化。它是投影方式、 点位和方向的函数。
μ
A
f (projection, position, direction)
B' B ds A'
ds'
C' C D'
D
大连海事大学
张三丰
投影变形理论（二）
面积比 P=dF'/dF，面积变形 ν p=P – 1，面积比或面积变形也是一个 变量，它是随点位的变化而变化的。
地图投影总结
Summary of Map Projection
大连海事大学
张三丰
思考几个问题？
理解目标
Target
为什么 目标 是什么
怎么理解 怎么计算
目标
大连海事大学
张三丰
目录
03 04 05 06 07 13
Contents
16
Page
投影的 基本理论
墨卡托投 影的特性
高斯投影 的特性
如何理解 投影变形
x p 2 = +232836.180 m m x p = +232836.180
对称性、等角性、等长性
大连海事大学
张三丰
高斯-克吕格投影的特性
x
①中央子午线投影后为直线，且长度 不变。 ②除中央子午线外，其余子午线的投 影均为凹向中央子午线的曲线， 并以中央子午线为对称轴。投影 后有长度变形。 ③赤道线投影后为直线，但有长度变 形。
平行圈
赤道 子午线
O
y
中央子午线
大连海事大学
L n＝ （四舍五入） 3
大连海事大学
张三丰

第3章地图投影的基本原理

第3章地图投影的基本原理

α ds
m
ds
dsn
利用上式可以获得平面上经 纬线微分线段的表达式：
Ed dλ=0时， AD dsm
Gd dΦ=0时， AB dsn
q dsn'
B'
y
地图投影基本理论
将投影的一般表达式取x、y对Φ、λ的全微分：
x x d d y y dy= d d dx=
2 2 3 2
式中： a 椭球的长半径
e 第一偏心率
B
子午圈截面：包含子午圈的截面。 子午圈曲率半径通常用字母M表示，它是A点上所有法截 弧的曲率半径中的最小值
为纬度
地图投影基本理论
N
2
a (1 e sin B)
2 1 2
式中： a 椭球的长半径
e 第一偏心率
B
卯酉圈截面：垂直于子午圈的截面。 卯酉圈曲率半径是所有法截弧的曲率半径中的最大值， 以字母N表示：
地图投影基本理论
沿经线微分线段
x
x'
dy dx
AD Md
C'
D'
沿纬线微分线段
AB ds' rd
α ds
m
ds
dsn
对角线
dsm'
ds AC M 2 d 2 r 2 d 2
Ψ
A' C点对A点方位角α为：
rd sin O ds
q dsn'
B'
Md cos ds
P=1
由面积变形公式得： H=M*r 或 ab=1
地图投影基本理论
（三）等距离投影条件 使某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种 投影叫做等距离投影。在经纬线正交的投影中，等距

（地图学课件）高斯投影

（地图学课件）高斯投影

第五节 我国基本比例尺地形图投影我国地形图采用的投影，除1:100万比例尺地形图采用国际投影和正轴等角割圆锥投影外，其余全部采用高斯-克吕格投影。

一、1:100万地形图投影 我国1:100万地形图，20世纪70年代以前一直采用国际百万分之一投影，现改用正轴等角割圆锥投影。

国际百万分之一投影又称改良多圆锥投影，它是由普通多圆锥投影经改良而成的,属任意投影。

此投影在纬度60︒以内，采用纬差6︒经差4︒为一幅。

由于每一幅地图的范围不大，所以变形较小，在我国范围内长度变形不超过0.6%，面积变形不超过1.2%(图3-18左)，角度变形不超过5'。

正轴等角割圆锥投影是按纬差4︒分带，各带投影的边纬与中纬变形绝对值相等，每带有两条标准纬线。

长度与面积变形的规律是：在两条标准纬线(ϕ1，ϕ2)上无变形；在两条标准纬线之间为负(投影后缩小)；在标准纬线之外为正(投影后增大),如图3-18右。

二、1:50万及其更大比例尺地形图采用投影我国1:50万和更大比例尺地形图，规定统一采用高斯-克吕格投影。

1．高斯-克吕格投影的基本概念此投影是横轴等角切椭圆柱投影。

其原理是：假设用一空心椭圆柱横套在地球椭球体上， 使椭圆柱轴通过地心，椭圆柱面与椭圆体面某一经线相切；然后，用解析法使地球椭球体面上经纬网保持角度相等的关系，并投影到椭圆柱面上(图3-19左)；最后，将椭圆柱面切开展成平面，就得到投影后的图形(图3-19右)。

此投影因系德国数学家高斯(Gauss)首创，后经克吕格(Kruger )补充，故名高斯-克吕格投影(Gauss- Kruger Projection)或简称高斯投影。

改良多圆锥投影（左） 正轴割圆锥投影（右）图3-18 1:100万地形图投影的变形图3-19 高斯-克吕格投影的几何概念2．分带规定为了控制变形，采用分带投影的办法，规定1∶2.5万～1∶50万地形图采用6°分带；1∶1万及更大比例尺地形图采用3°分带，以保证必要的精度。

3第三章地图投影

3第三章地图投影
为坐标轴，推导其投影变形。
（3）角度变形
（3）角度变形
（3）角度变形
' (180 2 ') (180 2 )
X A
2( ')
即： ( ')
Y
2
将上式代入（2-14）式得：
sin sin（ '）= a b
2
ab
若已知经线长度比m，纬线长度比n，以及经
纬线夹角q，则角度最大变形公式可写成：
❖ 因此，通过对地图与地球仪上经纬网的比较， 可以发现，地图投影变形表现在长度、面积和 角度三方面。
地球仪与地图上经纬网比较
a
b
纬线长度a 经线长度b、c 同一纬线上，经差相同的纬线弧长c
c 同一经线上，纬差相同的经线弧长 同纬度带，同经差构成球形梯面b、 c 经纬线正交否b、c
1.变形概念
❖ 地图投影变形是球面转化成平面的必然结果， 没有变形的投影是不存在的。
若投影后，经纬线不正交，则：
P = a·b= m ·n ·sinq (q ≠ 90)
面积比和面积变形因位置不同而异
（3）角度变形
❖ 地面上任意两条方向线的夹角а，与经过投影后的相应 两方向线夹角а′之差值，称为角度变形
❖ 投影面上经纬线夹角变形ε为： ε＝θ′-90°
❖ 过地面上一点可以引无数的方向线，由两条方向线组 成的角度有无数个。
❖ 利用变形椭圆的图解和理论，我们就能更为科 学和准确地阐述地图投影的概念、变形的性质 及变形大小
微分圆何以投影后为椭圆
❖ 经线CD和纬线AB为直角坐标系X、Y，圆心 0为直角坐标系原点
x' x
m 为经线长度比；
y' y
n

地图投影的基本方法

地图投影的基本方法

地图投影的基本方法：数学解析法是在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。

几何透视法是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影面（借助的几何面）上的一种投影方法。

地球仪上的经纬线的长度的特点：第一，纬线长度不等；第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等； 第三，所有经线长度相等。

地球仪上的经纬线网格面积的特点：第一，在同一纬度带内，经差相同的球面网格面积相等； 第二，在同一经度带内，纬度愈高，网格面积愈小。

地球仪上的经纬线角度的特点：a bc在图（b、c）上，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交，这表明地图上有角度变形。

变形椭圆指地球椭球体面上的一个微小圆，投影到地图平面上后变成的椭圆，特殊情况下为圆。

可证明球面上的一个微小圆，投影到平面上之后是个椭圆。

在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微小圆的比较，说明变形的性质和大小。

椭圆半径与小圆半径之比，可说明长度变形。

很显然，长度变形随方向的变化而变化，其中有一个极大值，即椭圆长轴方向，一个极小值，即椭圆短轴方向。

这两个方向是相互垂直的，称为主方向。

椭圆面积与小圆面积之比，可说明面积变形。

椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两方向线的夹角的比较，可说明角度变形。

baxy几何投影方位投影圆柱投影圆锥投影条件投影伪圆柱投影 伪方位投影 多圆锥投影 伪圆锥投影常用地图投影一、世界地图常用投影（1）墨卡托投影（Mercator Projection）墨卡托投影属于正轴等角圆柱投影。

该投影设想与地轴方向一致的圆柱与地球相切或相割，将球面上的经纬线网按等角的条件投影到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪开并展成平面。

经线和纬线是两组相互垂直的平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大（如图）。

图上无角度变形，但面积变形较大。

等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。

(地图学课件)第三章地图投影思考题

(地图学课件)第三章地图投影思考题
第3章 地图投影
§1 地图投影的概念 §2 地图投影的分类 §3 常用的地图投影 §4 大型GIS中的地图投影 §5 我国基本比例尺地形图投影 §6 地形图的分幅与编号
现代地图学基础 第3章 地图投基本方法，解析法的一般公式表达。 2、地图投影变形的种类，其基本特征是什么。 3、地图投影的基本类别有哪些，其投影图形经纬线的基本特征是什么， 能够看图识别不同的投影类型。 4、能够看图识别几种世界地图常用的地图投影。 5、我国基本比例尺地形图采用投影类型和基本特征。 6、高斯-克吕格投影的几何原理解释。 7、高斯-克吕格投影的分带有几种，对应的具体规定。 8、大中比例尺地形图的坐标网类型有哪些？具体规定如何？能够从图上 阅读这几种坐标值。 9、理解高斯投影的三个基本条件描述，理解其正算公式的推导过程。 10、理解并掌握高斯投影的变形规律（包括角度和长度）。 11、理解叙述1991年之前我国基本比例尺地形图的分副标准和编号规定。 12、理解叙述1991年之后我国基本比例尺地形图的分副方法和编号规定。 13、给定一个老的地形图图号（或者一个新的图号），能够完成到新的编 号（或老的）之间的转换。 14、给定图上任意的一个点的经纬度坐标，能够计算它所在相应比例尺地 图的图幅编号；已知一个地图的编号，能够计算其内廓点的经纬度坐标。 15、能够进行不同比例尺地形图编号的行列关系换算。
现代地图学基础 第3章 地图投影

武汉大学测绘学院地图学课后思考题

武汉大学测绘学院地图学课后思考题

第一章．地图的基本知识地图的基本特性：可量测性直观性；一览性地图：根据一定的数学法则将地球上的自然和人文现象，使用地图语言，通过制图综合，缩小反映在平面上，反映各种现象的空间分布、组合、联系、数量和质量特征及其在时间中的发展变化。

数字地图：具有确定坐标和属性特征，按特殊数学法则构成的地理现象离散数据的有序组合。

电子地图：数字地图经过可视化处理在屏幕上显示出来的地图。

地图按内容分类：普通地图、专题地图国家基本比例尺地图：1:5千、1:1万、1:2.5万、1:5万、1:10万、1:25万、1：50万、1:100万，共8中比例尺的普通地图。

地图内容：数学基础、地理要素、整饰要素地图的成图方法：实测成图、编绘成图计算机制图的基本过程及内容：地图设计、数据输入、数据处理、图形输出第三章．地图投影的基本理论一. 地图投影变形表现在哪几个方面？为什么说长度变形是主要变形？答：（1）长度变形面积变形角度变形（2）由于地图投影上各点是变形时不相同的，我们先从普通的意义上来研究某一点上变形变化的特点，再深入研究不同点上的变形变化规律，便不难掌握整个投影的变化规律。

各种变形（面积、角度等）均可用长度变形来表示，因此长度变形时各种变形的基础。

二.什么是长度比、长度变形？什么是面积比和面积变形？什么是角度变形？答：长度比（u）：地面上微分线段投影后长度ds`与它固有长度ds之比值。

公式u=ds`/ds 长度变形：长度比与1的差值。

公式Vp=u-1面积比（p）：地面上微分面积投影后的大小dF`与它固有面积dF的比值。

公式P=dF`/dF 面积变形：面积比与1的差值。

公式：vp=P-1角度变形：某一角度投影后角值B`与它在地面上的固有角值B之间之差的绝对值。

三．.地图投影是如何进行分类的？答：（1）按变形性质分类：等角等面积任意（2）按投影方式分类：几何投影：A.按辅助投影面类型分：方位圆柱圆锥B.按辅助投影面和地球的位置关系分：正轴横轴斜轴条件投影：条件投影式在几何投影的基础之上，根据某些条件按数学法则加以改造形成的。

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阿波隆尼定理(Apollonius): 椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和； 两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘 积。
L K
据阿波隆尼定理，有：
b
m2 + n2 = a 2 + b2 mn sin θ = ab
由（1）±（2）×2 得：
K
（１） （２）
θ a
O
n
m
a + b = m 2 + n 2 + 2mn sin θ a − b = m 2 + n 2 − 2mn sin θ
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第7页/共56页
y′ x′ = n 为纬线长度比 = m 为经线长度比； 设 y x y′ x′ 把 x= y= n m
代入微分圆方程： x + y = r
2 2 2
x′ 2 y ′2 并令 r=1,整理得： 2 + 2 = 1 m n
此式是以椭圆中心为原点，以相交 成θ角的经、纬线(共轭直径）为坐标轴 的椭圆方程式。 由此可以证明：地球面上一微分圆 ，投影到平面上一般成为微分椭圆（特 殊情况下仍为圆）。
如 1:10 000 如 百万分之一
§3.2 变形椭圆
变形椭圆（底索指线）：地球面上一个微分圆（小到可 忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），投影到平面上 后，一般成为微分椭圆，特殊情况下为一个圆。通过对这个 微分椭圆的研究，可以分析地图投影的变形状况。
地球面上一微分圆的任意两相互垂直的直径，投影到平面 上一般成为微分椭圆的两共轭直径。
2010年10月24日9时2分
第三章 地图投影的基本理论
第2页/共56页
地图投影的实质：是将 地球椭球面上的经纬线网按 照一定的数学法则转移到平 面上。 如何转换?
2010年10月24日9时2分
第三章 地图投影的基本理论
第3页/共56页
二、投影变形
由于地球椭球面 是不可展的曲面，要 把它完整地表示到平 面上，必须有条件地 进行局部拉伸和局部 缩小，所以必然会产 生变形。投影变形表 现在以下三个方面： （1）长度变形 （2）面积变形 （3）角度变形
2010年10月24日9时2分
第三章 地图投影的基本理论
第22页/共56页
2010年10月24日9时2分
第三章 地图投影的基本理论
第23页/共56页
二、按投影方式分类
（一）几何投影: 将椭球面上的经纬线用几何的方法投影到 几何投影 辅助面上，然后再展开成平面。 1.按辅助投影面的类型划分 方位投影: 以平面作为投影面的投影。 圆柱投影: 以圆柱面作为投影面的投影。 圆锥投影: 以圆锥面作为投影面的投影。
第三章 地图投影的基本理论 第19页/共56页
ω
根据 sin
2
ω
2
+ cos
2
ω
2
2
=1
b 得： tan(90 − β ) = tan β a b cot β = tan β a
a tan β = ± b
把上式代入（1）式： （2）
2 ab ⎛ a −b ⎞ cos = 1 − ⎜ ⎟ = 2 a+b ⎝ a+b⎠
x′2 y ′2 则椭圆方程式为： 2 + 2 = 1 a b
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第9页/共56页
为了求证经纬线长度比（m、n）与极值长度比（a、b）的 关系，也就是证明阿波隆尼定理，下面我们从任一方向的长度 比开始推证：
OM′ r ′ = 设 μ= OM r 2 2 2 由右图得：r ′ = x′ + y′ 其中： x′ = ax y′ = by y = r sin β 而： x = r cos β
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第4页/共56页
三、主比例尺和局部比例尺
地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投 影长度之比。 可表达为（d 为图上距离，D 为实地距离）
d 1 = D M
根据地图投影变形情况，地图比例尺分为： 主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
ω
2 = a −b tan = 2 cos ω 2 ab 2
把 β + β ' = 90 代入（1）式：
ω
sinΒιβλιοθήκη ωb⎛ a ⎞ tan β ' = ⎜ ± ⎜ b⎟ ⎟ a⎝ ⎠
b tan β ' = ± a
（3）
第20页/共56页
b tan β ' = tan β a
2010年10月24日9时2分
由于斜角坐标系中的微分椭
1 圆与直角坐标系中的微分椭圆是 S ΔO′M ′D′ = abxy 2 同一个微分椭圆，所以 P = P2 1 1 mn sin θ = ab abxy S ΔO′M ′D′ 2 P2 = = = ab 从而证明了阿波隆尼定理中 1 S ΔOMD xy 的第二条。 2
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第13页/共56页
（1）
第三章 地图投影的基本理论
根据： β + β ' = 90
2 ω 两式相加得： β = 45 + 4
两式相减得： β ′ = 45 −
β −β '=
ω
ω
4
把 β 和 β′ 分别代入（2）和（3）式得：
a tan(45 + ) = ± 4 b b tan(45 − ) = ± 4 a
2010年10月24日9时2分
对于： μ （1）当
2
= a cos β + b sin β
2 2 2 2
β = 0 ，则 μ = a ，代表极大长度比。 （2）当 β = 90 ，则 μ = b ，代表极小长度比。
从而证明了：极大、极小长度比的方向是互相垂直的二方向。
β = β 0 ，则 μ = m m 2 = a 2 cos 2 β 0 + b 2 sin 2 β 0 （2）则纬线的方向角为 β 0 + 90 ，即 β = β 0 + 90 ，则 μ = n
y' =b y
第17页/共56页
y′ by b = tan β tan β ' = = x′ ax a
将上式两边各减和各加 tanβ 即：
b b tan β − tan β ' = tan β − tan β = (1 − ) tan β a a b b tan β + tan β ' = tan β + tan β = (1 + ) tan β a a
dF ' πab P= = 2 = a ⋅b dF π1
P = a·b = m · n P = m · n · sinθ
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
Vp = p − 1
(θ = 90) (θ ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变化。
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第16页/共56页
2010年10月24日9时2分
第三章 地图投影的基本理论
第24页/共56页
2.按辅助投影面和地球（椭球）体的位置关系划分 正轴投影:辅助投影平面与地轴垂直，或者圆锥、圆柱 面的轴与地轴重合的投影。 横轴投影:辅助投影平面与地轴平行，或者圆锥、圆柱 面的轴与地轴垂直的投影。 斜轴投影:辅助投影平面的中心法线或圆锥、圆柱面的 轴与地轴斜交的投影。 3.按辅助投影面与地球（椭球）面的相切或相割关系划分 切投影:辅助投影面与地球（椭球）面的相切。 割投影:辅助投影面与地球（椭球）面的相割。
ω
（4）
ω
（5）
第21页/共56页
第三章 地图投影的基本理论
3.4 地图投影的分类
一、按投影的变形性质分类
等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面 等角投影 上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或 a=b， m=n）。 等积投影: 投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即 等积投影 面积变形为零Vp=0（或 P=1，ab=1）。 任意投影: 投影图上，长度、面积和角度都有变形，它 任意投影 既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长 度变形的任意投影（a=1或b=1）。
ds ' μ= ds
Vμ = μ − 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
2010年10月24日9时2分
第三章 地图投影的基本理论
第15页/共56页
二、面积比公式
面积比和面积变形：投影平面上微小面积（变形椭圆面 面积比 面积变形 积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。 P 表示面积比 Vp 表示面积变形
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第5页/共56页
地图比例尺的表示 1.数字式比例尺 2.文字式比例尺 3.图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 4.特殊比例尺 变比例尺 无级别比例尺
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第6页/共56页
椭圆内任一条直径 d 的平行弦中点在椭圆内的轨迹形成 另一直径 d ′，则d ′称为 d 的共轭直径。
2010年10月24日9时2分 第三章 地图投影的基本理论 第14页/共56页
§3.3 投影变形的基本公式
一、长度比公式
长度比和长度变形：投影面上一微小线段（变形椭圆半 长度比 长度变形 径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定 的比例缩小）之比。 μ 表示长度比，Vμ 表示长度变形。