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地图投影基本理论

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地图投影的基本理论

地图投影的基本理论

∆u = u ′ − u
10） （4－10）
角度变形也是一个变量， 角度变形也是一个变量，它随着点位 和方向的变化而变化。 和方向的变化而变化。在同一点上某特 殊方向上，其角差具有最大值， 殊方向上，其角差具有最大值，这种最 大值称为该点上的角度最大变形。 大值称为该点上的角度最大变形。
4．标准点和标准线 标准点， 标准点，系地图投影面上没有任何变形 的点，即投影面与地球椭球体面相切的切点。 的点，即投影面与地球椭球体面相切的切点。 离开标准点愈远，则变形愈大。 离开标准点愈远，则变形愈大。 标准线，系地图投影面上没有任何变形 标准线， 的一种线， 的一种线，即投影面与地球椭球体面相切或 相割的那一条或两条线。 相割的那一条或两条线。
一个直径30厘米的地球仪，相当于 一个直径30厘米的地球仪， 30厘米的地球仪 地球的五千万分之一；即使直径1 地球的五千万分之一；即使直径1米的地 球仪， 球仪，也只有相当于地球的一千三百万 分之一。 分之一。在这一小的球面上是无法表示 庞大地球上的复杂事物。并且， 庞大地球上的复杂事物。并且，地球仪 难于制作，成本高， 难于制作，成本高，也不便于量测使用 和携带保管。 和携带保管。
由于地球（或地球仪） 由于地球（或地球仪）面是不可展的曲 而地图是连续的平面。因此， 面，而地图是连续的平面。因此，用地图表 示地球的一部分或全部， 示地球的一部分或全部，这就产生了一种不 可克服的矛盾——球面与平面的矛盾，如强 球面与平面的矛盾， 可克服的矛盾 球面与平面的矛盾 行将地球表面展成平面， 行将地球表面展成平面，那就如同将桔子皮 剥下铺成平面一样， 剥下铺成平面一样，不可避免地要产生不规 则的裂口和褶皱， 则的裂口和褶皱，而且其分布又是毫无规律 可循。 可循。为了解决将不可展球面上的图形变换 到一个连续的地图平面上，就诞生了“ 到一个连续的地图平面上，就诞生了“地图 投影”这一学科。 投影”这一学科。

地图投影基本知识

地图投影基本知识

由以下两个式子计算α：
sin cos0 cos sin 0 cos( 0 )
sin Z cos cos(90 ) sin(90 0 ) sin(90 ) cos(90 0 ) cos( 0 )
正弦定理：
sin Z sin(90 ) sin( 0 ) sin sin Z sin cos sin( 0 )
（3）地图投影的变形 我国1984年编制的世界地图
（3）地图投影的变形：微分圆到变形椭圆
微分圆
形状不变： 等角投影
某个方向 长度不变
面积不变
都改变
地球表面经投影以后在长度、角度和面积要发生一定程度的变形。
长度变形
角度变形
面积变形和长度变形
投影变形示意图
① 长度比和长度变形
② 面积比和面积变形
（3）球面坐标系的常用公式
P Q(φ ,λ )
0 0
α Z A(φ,λ)
W
E
Q’ P’
球面上任意点，既可用 大地坐标（，）表示， 也可以用球面极坐标（ ，Z）来表示。
（3）地图投影分类 ① 按投影面划分
方位投影：投影面为平面 圆锥投影：投影面为圆锥面 圆柱投影：投影面为圆柱面 伪方位投影
OA方向的长度比：
OA方向的角度变形：
x r cos y r sin
x ax y by
OA方向的角度变形： x r cos y r sin
x ax y by
y by b tan tan x ax a
OA方向的角度变形：
sin( ) b tan tan cos cos tan (1 a ) sin( ) b tan tan tan (1 ) cos cos a

02第03章 地图投影的基本原理

02第03章 地图投影的基本原理

第三章地图投影的基本原理§1 1 地图投影基本概念地图投影基本概念地图投影基本概念§2 2 地图投影基本理论地图投影基本理论地图投影基本理论§1 地图投影基本概念一、地图投影的概念和实质二、地图投影的研究对象及任务地图投影——在球面与平面之间建立点与点之间对应函数关系的数学方法。

研究地图投影的理论、方法、应用和变换等学问的科学，称地图投影学或数学制图学。

{),(),(21λϕλϕf y f x ==一、地图投影基本方法1．几何透视法——利用透视线的关系，将地球体面上的点投影到投影面上的一种投影方法。

2．数学分析法——在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，在平面上确定坐标网的一种投影方法。

实施投影时，①球面上一些经纬线的交点展绘在平面上；②对应连接经线和纬线，构成经纬网，球面上的点，按其经纬度转绘在平面上。

二、地图投影的基本概念地图投影原理证明，在一般情况下，椭球表面上无限小的圆圈投影到平面上为一椭圆，称之为变形椭圆（变形椭圆（ellipse of distortion ellipse of distortion ellipse of distortion））。

即，图形的比例尺不仅取决于点位，而且可能随着该点上方向的不同而变化。

因此，可分为主比例尺和局部比例尺。

主比例尺---等于地球椭球模型的比例尺。

局部比例尺---是作为地图上无限短的线段与椭球面上相应线段之比值。

取地面上一个微分圆，将它投影后变为椭圆（除个别为正圆外，一般皆为椭圆），通过研究其在投影平面上的变化，作为地图投影变形的几何解释，这样的椭圆称为变形椭圆（TissotTissot’’s indicatrix 蒂索指线）。

只要有投影就会产生变形；对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就一定存在另一种或两种变形。

人们只有掌握地图投影变形性质和规律，才能有目的地支配和控制地图投影的变形。

§2 地图投影的变形Tissot’’s TheoremTissot一、长度变形二、角度变形三、面积变形四、等变形线M.A. Tissot’s Theorem定律底索法国数学家无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交关系。

地图投影基础知识知识讲解

地图投影基础知识知识讲解
地图投影
一、地图投影的基本问题 二、常见地图投影 三、地图投影的选择与辨认
一、地图投影的基本问题
1 地图投影的概念
地图投影就是在球面与平面之间建立其 经纬度与直角坐标函数关系的数学方法
2 地图投影的变形 3 地图投影的分类 4 地图投影的命名 5 GIS中地图投影的选择与判别
1 地图投影的概念
• 数学上的投影 面1
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
横轴圆柱投影
x y
高斯-克吕格投影原理图
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
高斯投影特征： 中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影 的对称轴 投影后无角度变形，即保角投影 中央经线无长度变形 同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处最大 同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； 为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投 影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限 度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影 在6°带范围内，长度变形线最大不超过0.14%
长度变形、面积变形、角度变形
地图投影变形的图解示例 （摩尔维特投影－等积伪圆柱投影）
长度变形
角度变形
地图投影变形的图解示例
（UTM－横轴等角割圆柱投影）
面积变形和长度变形
投影变形示意图
地图投影——地图投影的变形
地图投影的变形示意
3 地图投影的分类
按承影面的形状分为：方位投影（平面 投影）、圆锥投影Байду номын сангаас园柱投影
空间斜轴墨卡托(SOM)投影
• 该投影是美国针对陆地卫星对地面扫描 图像的需要设计的一种近似等角性质的 投影。

地图投影的基本原理(1)

地图投影的基本原理(1)
的方法称为地图投影。
地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之
间一一对应的函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本方法
1）几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特
征点用垂直投影的方法投影到图纸上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为投影没有
sin( ') a b sin( ')
ab
显然当（a +a ′）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形：
sin( ') a b
ab
以ω表示角度最大变形： 令
2( ')
sin a b
2 ab
地图投影基本理论
五、地图投影条件
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时 存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生，如投影后 角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变 形。
E、F、G、H称为一阶基本量， 或称高斯系数。
地图投影基本理论
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的 表达式：
sin dy ds
cos dx
tg
dsddmαyxds dsdxysndd
y x
d dLeabharlann x D'x'
dy
C'
（x+dx,y+dy）
dx
ds'
dsm'
Ψ
B'
dsn'
A' （x,y）
O
y
地图投影基本理论
tan tan ' tan b tan (1 b) tan

地图投影的基本理论

地图投影的基本理论
1 地图投影的概念
第一节 地图投影的基本概念
1 地图投影的概念
在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系 的数学方法，称为地图投影
x = f1(j , l )
y = f2(j , l )
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则 转移到平面上。
第一节 地图投影的基本概念
1 地图投影的概念
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺 地图比例尺：图上距离与相应实地距离之比。
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺 地图比例尺：图上距离与相应实地距离之比。
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺
主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
x
y
代入： x2 + y2 = r2，得
x2 y2 r 2 m2 n2
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小 圆，投影后通常会变为椭圆，即变 形椭圆。
第二节 变形椭圆
主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球
面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上 仍然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一 对线的方向称为主方向。取主方向作为微分椭圆的 坐标轴。
面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形椭圆面积）
dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF 之比。
P 表示面积比 Vp 表示面积变形
P dF dF
= 0 不变
VP

P 1
> <
0 0
变大 变小
第一节 地图投影的基本概念

地图投影的名词解释

地图投影的名词解释

地图投影的名词解释地图投影是将三维的地球表面投影到二维平面上的一种方法。

由于地球是一个近似于椭球体的形状，而平面是一个无限大的二维表面，所以在将地球表面转化为平面的过程中，必然会出现形状、面积、方向等的变形，这就是地图投影的本质所在。

一、地图投影的基本原理地图投影是地理学与地图制图学中的重要内容，其基本原理可以理解为建立地球和平面之间的映射关系。

在投影过程中，地球表面上的点被映射到平面上的相应点，形成了地图上的数据。

而为了准确地表示地球表面的形状、地理特征等信息，需要选择适合的投影方案。

二、地图投影的分类根据不同的目的和需求，地图投影可以分为多种类型，常见的包括等距投影、等面积投影、等角投影和混合投影等。

1. 等距投影等距投影是指投影后的地图上的任意两点之间的距离与地球上的相应两点之间的距离保持一致。

这种投影方法在测量和导航等领域非常有用，常见的等距投影有墨卡托投影和极射同圆投影等。

2. 等面积投影等面积投影是指在地球表面的任意区域上，被投影到地图上的区域与地球上相应区域的面积保持一致。

这种投影方法在研究地区的面积分布、资源分布等方面非常有用，常见的等面积投影有兰勃托投影和豪森投影等。

3. 等角投影等角投影是指投影后的地图上的任意两条曲线之间的夹角与地球上的相应两条曲线之间的夹角保持一致。

这种投影方法在表示地球表面的形状、方向等方面非常有用，常见的等角投影有兰勃托投影和伪卫星投影等。

4. 混合投影混合投影是指将两种或多种投影方法结合起来使用，通过调整参数或变换过程来达到更好的投影效果。

这种投影方法在综合考虑地球表面的形状、面积、方向等特征上非常有用，常见的混合投影有兰勃托-兰勃托投影和兰勃托-极射同圆投影等。

三、地图投影的应用领域地图投影在地理信息系统、导航、城市规划等领域具有广泛的应用。

通过合适的投影方法，可以制作出形状准确、信息完整的地图，为人们的生产、生活与研究提供参考和支持。

1. 地理信息系统地图投影在地理信息系统中是至关重要的，它将实际地球表面上的数据转化为平面上的点、线、面等要素，使得地理数据在计算机中得以处理和分析。

地图学课件-第二编 地图投影

地图学课件-第二编 地图投影

殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称 殊位置 ， 直角投影后仍保持直交 ， 此二直交直线方向 ， 之为主方向。 之为主方向。 a’
a
d o
b
d’ o’
b’
c
c’
第二节
变形椭圆
在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除 在接触点位置外，一般情况下为椭圆， 下面我们用 数学方法验证一下。
(x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得
x2/a2+y2/b2=1
这是一个椭圆方程，这表明该微小圆投影后为长半径 为a短半径为b的椭圆，这种椭圆可以用来表示投影后的 变形，故叫做变形椭圆。
在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，来 说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以 说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而 变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长 短半径方向之间，长度比μ，为b<μ<a;椭圆面积与小圆 面积之比，可以说明面积变形;椭圆上任意两条方向线的 夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。
⑶圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或 相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展 为平面而成。
2.非几何投影 不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法确 定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般 按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆住投影、伪圆锥投 影和多圆锥投影等。
地球的形状近似于一个球体，但并不是一个正球体，而是一个极 半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似于梨形 的椭球体。这个不规则的地球体满足不了测绘工作的需要，于是人 们选择了一个最接近地球形状的旋转椭圆体表示地球，称为地球椭球 体。 我国1953年以前采用海福特椭球体，从1953年起采用克拉索夫斯基 椭球体，它的长半径a=6378245m，短半径b=6356863m ，偏率d=ab/a=1：298.3 由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小比例尺地图 时，因为缩小的程度很大，如制作1：1000万地图，地球椭球体缩小 1000万倍，这时长短半径之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地图 时，可忽略地球扁率，将地球视为圆球体，地球半径为6371km。制 作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。

第3章地图投影的基本原理

第3章地图投影的基本原理

α ds
m
ds
dsn
利用上式可以获得平面上经 纬线微分线段的表达式：
Ed dλ=0时， AD dsm
Gd dΦ=0时， AB dsn
q dsn'
B'
y
地图投影基本理论
将投影的一般表达式取x、y对Φ、λ的全微分：
x x d d y y dy= d d dx=
2 2 3 2
式中： a 椭球的长半径
e 第一偏心率
B
子午圈截面：包含子午圈的截面。 子午圈曲率半径通常用字母M表示，它是A点上所有法截 弧的曲率半径中的最小值
为纬度
地图投影基本理论
N
2
a (1 e sin B)
2 1 2
式中： a 椭球的长半径
e 第一偏心率
B
卯酉圈截面：垂直于子午圈的截面。 卯酉圈曲率半径是所有法截弧的曲率半径中的最大值， 以字母N表示：
地图投影基本理论
沿经线微分线段
x
x'
dy dx
AD Md
C'
D'
沿纬线微分线段
AB ds' rd
α ds
m
ds
dsn
对角线
dsm'
ds AC M 2 d 2 r 2 d 2
Ψ
A' C点对A点方位角α为：
rd sin O ds
q dsn'
B'
Md cos ds
P=1
由面积变形公式得： H=M*r 或 ab=1
地图投影基本理论
（三）等距离投影条件 使某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种 投影叫做等距离投影。在经纬线正交的投影中，等距

第二章_地图投影

第二章_地图投影

最终，得出计算的表达式： （2.22）
可见，其放大系数是关于赤道成纬向轴对称的。
三种地图投影方式小结：
（1）极射赤面投影:通常用于制作极地天气图 和北半球天气底图。 （2）兰勃托投影:通常用于制作中纬度地区的 天气图，如亚欧天气底图。 （3）麦卡托投影:通常用于制作低纬或热带地 区的天气底图。
本章习题及思考题
1、l 、m 和 k 的表达式 利用（2.3）式，可得到l的表达式：
（2.13）
而地图投影放大系数的表达式则为：
（2.14）
在标准纬度上有m=1，根据（2.14）式可解出k
→
（2.15）
2、实际计算m的方法 采用求解极射赤面投影地图投影放大系数的同等的方 法，不难得到以下关系式： 令 =11142.37KM（2.16） 为兰勃托投影映像面上赤道到北极点的距离。
四、Lambert Projection（兰勃托）
在双标准纬线下是一“等角正轴割圆锥投影”，兰勃托 投影属于正形投影，其光源位于地球球心，映像面为一 个与地球表面相割30°N和60°N的圆锥面，圆锥角为 90°。
投影后，在映像平面上，经线为一组由北极点向赤道辐 射的直线，而纬线为一组以北极点为圆心的同心圆弧， 可见投影后经纬线仍然是正交的，也称为双标准线等角 圆锥投影。下面用类似的方法来讨论其地图投影放大系 数的计算。
正形投影的光源位于球心，映像面为圆锥面，映像 面圆锥角为α（0° <α<180°），标准纬度为 Φ。
πΚ
1、地图放大系数m的计算 地球表面纬度为 Φ处，纬圈的长度为： 定义：k 为单位经度所张的圆锥角，表示了圆锥的几 何特征，称之为圆锥常数，故整个圆锥面张开所成 的平面角为 2πΚ 。纬度为 Φ处的纬圈在映像平面上 的长度为 （ l 为映像平面上纬度为 Φ的纬圈上任意一点到北极点 的距离）

3第三章地图投影

3第三章地图投影
为坐标轴，推导其投影变形。
（3）角度变形
（3）角度变形
（3）角度变形
' (180 2 ') (180 2 )
X A
2( ')
即： ( ')
Y
2
将上式代入（2-14）式得：
sin sin（ '）= a b
2
ab
若已知经线长度比m，纬线长度比n，以及经
纬线夹角q，则角度最大变形公式可写成：
❖ 因此，通过对地图与地球仪上经纬网的比较， 可以发现，地图投影变形表现在长度、面积和 角度三方面。
地球仪与地图上经纬网比较
a
b
纬线长度a 经线长度b、c 同一纬线上，经差相同的纬线弧长c
c 同一经线上，纬差相同的经线弧长 同纬度带，同经差构成球形梯面b、 c 经纬线正交否b、c
1.变形概念
❖ 地图投影变形是球面转化成平面的必然结果， 没有变形的投影是不存在的。
若投影后，经纬线不正交，则：
P = a·b= m ·n ·sinq (q ≠ 90)
面积比和面积变形因位置不同而异
（3）角度变形
❖ 地面上任意两条方向线的夹角а，与经过投影后的相应 两方向线夹角а′之差值，称为角度变形
❖ 投影面上经纬线夹角变形ε为： ε＝θ′-90°
❖ 过地面上一点可以引无数的方向线，由两条方向线组 成的角度有无数个。
❖ 利用变形椭圆的图解和理论，我们就能更为科 学和准确地阐述地图投影的概念、变形的性质 及变形大小
微分圆何以投影后为椭圆
❖ 经线CD和纬线AB为直角坐标系X、Y，圆心 0为直角坐标系原点
x' x
m 为经线长度比；
y' y
n

2 第二章 地图投影

2 第二章 地图投影
当 l , k 0 为正形圆锥投影的 极限情形。不能再 采用普遍的正形投 影中的关系式来对 之进行讨论，
而是从地图放大系 数的定义入手，来 求有关的表达式。
NIM NUIST
等经纬度网格，没反映麦卡托投影的 放大系数
NIM NUIST
高纬放大系数大
地球表面纬度为处，纬圈的长度为： Ls 2Rs 2a cos
（2.22）
可见，其放大系数是关于赤道成纬向轴对称的。
NIM NUIST
三种地图投影方式总结：
（1）极射赤面投影，在极地和高纬度地区产 生的变形较小，这种投影方式通常用于制作极地 天气图和北半球天气底图。
（2）兰勃托投影，在中纬度地区产生的变 形较小，这种投影方式通常用于制作中纬度地区 的天气图，如亚欧天气底图。
1
cos sin
k
（2.16）
NIM NUIST
可解出
sin
le2/ k le2/ k
l2/k l2/k
（2.17）
根据
m L kl kl
Ls a cos a sin
m
kl
从而有：
a
1
le2 / k le2 / k
l 2/k l 2/k
2
（2.18）
f
2
le2 le2
/ /
k k
l2/k l2/k
（2.19）
NIM NUIST
五、麦卡托投影（Mercator投影）
麦卡托投影，光源位于球心， 映像面是与地球表面相割于南北 纬22.5的圆柱面，标准纬度：
1 22.5 N , 2 22.5 S
NIM NUIST
P70-图2.8
投影后，经线 为等距平行的直线 ，纬线为与经线垂 直的直线。

地图投影的原理及应用

地图投影的原理及应用

地图投影的原理及应用1. 地图投影的基本原理地图是将地球表面的三维空间变成二维平面，为了能够在平面上准确表示地球表面的地理信息，地图采用了投影的方式。

地图投影是将地球表面经纬度坐标系上的点投影到平面上的过程。

地图投影的基本原理主要包括以下几个方面：1.1 地球的形状对地图投影的影响地球是一个近似于椭球体的几何体，而地图是平面上的二维图形。

由于地球的形状不同于平面，所以在进行地图投影时需要对地球的形状进行适当的变换和调整。

1.2 地图投影的分类地图投影可以根据投影面形状的不同进行分类，常见的地图投影包括圆柱投影、圆锥投影和平面投影。

•圆柱投影是指将地球表面的经纬度坐标投影到一个切线于地球的圆柱面上，然后再将该圆柱面展开成平面。

•圆锥投影是指将地球表面的经纬度坐标投影到一个切线于地球的圆锥面上，然后再将该圆锥面展开成平面。

•平面投影是指将地球表面的经纬度坐标投影到一个切线于地球的平面上。

1.3 常见的地图投影方法常见的地图投影方法有正轴等角投影、保角正轴等秘莉投影、兰伯特投影等。

•正轴等角投影：该投影方法是以地球球心为视点，平行线和经线保持等间距的投影方式，保持角度的一致性。

•保角正轴等秘莉投影：该投影方法是在正轴等角投影的基础上，通过调整投影面形状，使得面积的变化可以最小化，从而保持角度和面积的一致性。

•兰伯特投影：该投影方法以一个圆锥面切线于地球的一个经线，然后将该圆锥面展开成平面。

这种投影方法在地理信息系统中使用较为广泛。

2. 地图投影的应用地图投影的应用非常广泛，以下列举了几个常见的应用领域：2.1 地理信息系统（GIS）地理信息系统是利用计算机和空间数据采集、存储、管理、查询和分析技术来展示和分析地球表面的信息。

地图投影是GIS中非常重要的一部分。

GIS主要包括地图显示、GIS分析与查询、地图制作等功能。

在地图显示和地图制作功能中，地图投影能够将地理数据以地图的形式进行可视化展示。

2.2 旅游和导航在旅游和导航方面，地图投影被广泛应用于电子地图和导航系统中。

03第三章地图投影

03第三章地图投影
精度要求不高时，可将椭球体处理为正球体，地理坐标 均采用地球表面的球面坐标，经纬度均用地心坐标。
天文经纬度只能在天球上定义，天文经（纬）度与大地 经（纬）度相同时，其轨迹在大地经（纬）线附近呈非 平面曲线摆动。但由于θ角（铅垂线与法线的夹角）很 小，这种摆动的幅度也很小。
地心 地心纬度
大地纬度 天文纬度
大地经度——指参考椭球面上某一点的大地子 午面与本初子午面间的两面角；东+西-
大地纬度——指参考椭球面上某一点的垂直线 （法线）与赤道面的夹角。北+南-
3）地心经纬度
主要应用于地理学、地图学中（地心——指地球椭球体 的质量中心）
地心经度——等同于大地经度；
地心纬度——指参考椭球面上任一点和椭球中心连线与 赤道面之间的夹角。
可致以大设地想水这准个面静也止不规的则平。均海水面穿过大陆和岛屿形成一个 此闭时合，的地曲球面表，面这上点就的是铅大垂地线水不准一面定。指大向地地水心准。面所包围的 须形在体不，考叫虑大地地球球内部体质。量分布不均的因素时—才是规则的。
由3）于地地球球物体理内表部面质：量分布的不均匀，引起重力方向的变化 是，一导个致起处伏处不和平重的重力力方等向位成面正。交的大地水准面成为一个不 4规）大则地的体、：仍然是不能用数学表达的曲面。
2.地球体的物理表面（准规则曲面-假想面）
1）假想水准面（基准面）：静止海平面
当无海波洋浪静、止潮时汐，、它水流的、自大由气水压面变必化定，与流该体面处上于各平点衡状的态重。力方 2向）大（地铅水垂准线面方：向）成正交，我们把这个面叫做水准面。
但基水准准面面+其有向无陆数地多的个延，伸其部中分有=一一个个封与闭静曲止面的。平均海水面相 实 即重使际合海上。平：面静止，地球内部质量不均匀—重力场不规则。导

地图投影理论

地图投影理论

克 拉 索 夫 斯 基 (Kpacobckhh) 1940 I.U.G.G 1967
埃 维 尔 斯 特 (Everest) 珠峰 1830
坐标系
所谓坐标系，包含两方面的内容：一是在把 大地水准面上的测量成果化算到椭球体面上的计 算工作中，所采用的椭球的大小；二是椭球体与 大地水准面的相关位置不同，对同一点的地理坐 标所计算的结果将有不同值。即使是二个坐标系 所用的椭球体大小一样，而椭球体与大地水准面 之间的相差位置不同，也会对同一点计算出不同 的结果。因此，选定了一个一定大小的椭球体， 并确定了它与大地水准面的相关位置，就算确定 了一个坐标系。
如果采用另一个可展曲面圆柱面来进行类似 的投影处理。这样就成为圆柱投影。事实上，从 几何观点看来，圆柱投影是圆锥投影的一个特殊 形式。当圆锥顶点延伸到无穷远时，圆锥就成为 圆柱。在圆柱投影中，显然经线成为平行直线， 纬线也成为平行直线，并且互相正交。有一类圆 柱投影，由于它有一种适合于航海的特性（等角 圆柱投影），所以广泛用作为编绘海图的数学基 础。 圆柱可以圆锥面的一个特例，当圆锥顶角扩大 成180°时变成了平面。这种从地球表面到平面 的投影就是方位投影。世界图上常见的南、北极 地图和东西半球地图就是这种投影。对于既非两 极地区，也不是赤道地区，则可以用一个平面切 于投影区域中心处，然后再用一定的数学条件投 影到该平面上。
• 采用不同的资料推算，椭球体的元素值是不同的。下表是世界各国常 用的地球椭球体的数据。
椭球体名称 白塞尔(Bessel)
克拉克(Clarke) 克拉克(Clarke) 海福特(Hayford)
年代 1841
1880 1866 1910
长 半 轴 a 短 半 轴 b （米） （米） 扁率
6377397
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学习难点
1．长度比的基本公式 2．投影的三种条件
第一节 地图投影的概念与若干定义
地球表面的经纬线网格与平面建立了相互对应的网格的数学 关系时，则地球表面各该网格内的要素也能满足这种数学法则而 被表示在平面上。
地图投影：利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示 到平面上。
主要内容：研究把曲面表示到平面所采用的各种数学法则。 如果地球表面上有一点A (φ，λ)，它在平面上的对应点是A′(x， y)，此两点坐标之间可用下列函数关系式表示：
（1）
它随点的位置（经纬度）、方位角而变化。
当α=0°或α=90°时，即为 m E
M
n G r
引入m、n，（1）式也可表示为：
EG m n M r
•主方向与极值长度比
将（１）式对α求一阶导数，并设在α＝ α0时有极值
d 2 d
E M2
sin 20

G r2
sin 20

2F Mr
cos 20
0
化简后有：
tan 20

2F Mr

E M2

G r2

或 tan
2
＝２mn
0
m2
cos
n2

考虑正切函数周期，上式有二解：２α0及２α0+180。对应 极值长度比的方向有α0及α0+90。
结论：极值长度比在椭球体表面处于两个互相垂直的方向上。 称这两个特殊的方向为主方向。
sin ' sin(n m )
1 EG

x


y


x


y




H EG
cos ' cos( n m )
1 EG

x


x


y


y




F EG
经纬线投影后的夹角 与90度之差值ε
tan tan( '90) 1 F tan ' H
变形椭圆 用来论述和显示投影变形的工具。
地面一点的微分圆(也称单位圆)，在投影后一般地成为一个微 分椭圆，利用这个微分椭圆能较恰当地、直观地显示变形的特征。
x' mx y' ny x2 y2 r 2

x'
2


y'
2

r2


x'
2


y' 2
1
m n
y' by r' (ax)2 (by)2


r' r

a2( x)2 b2( y)2
r
r
a2 cos2 b2 sin 2
上式即为微分圆上任一点长度比与极值长度比之关系式。
变形椭圆的方位角 －－变形椭圆长半轴与经线的夹角
在直角三角形A’O’A’0中
x'
O'
A0'

m E 1 M
沿纬线等距离：
n G 1 r
等角投影条件： m n
等面积投影条件：m nsin '1
§２-4 地图投影中变形的理论
一点上任意方向长度比的定义：
ds' Ed 2 Gd2 2Fdd
ds
ds2
将：sinα=r·dλ/ds，cosα=M·dφ/ds 代入上式得：

cot0 )
tan 0

cot 0

2 cot
2 0


Er 2 GM FMr
2
tan
2 0

2F Mr

E M2

G r2

tan0 tan01 1
主方向与极值长度比
极值长度比：一点上各长度比中的最大值与最小值。
极值长度比在椭球体表面处于两个互相垂直的方向上 主方向：极值长度比的两个互相垂直的方向。 在平面上两个主方向仍保持正交。
b=μ2r
令微分圆半径r=1，则有：
a=μ1
b=μ2
结论：微分椭圆长、短半轴的大小，等于O点上主方向的长度比。
如果一点上主方向的长度比(极值长度比)已经决定，则微分椭 圆的大小及形状即可决定。
求定一点上与主方向夹角为β的OA半径的长度比


OA' OA

r' r
而 r'
x'2 y'2
x' ax
将极值长度比的方向α0及α0+90代入（1）式的二阶导数， 则二者必反符号。也即一个为极大值，一个为极小值。
在平面上两个主方向仍保持正交。
tan rd d M tan Md d r
tan Hd H d d Ed Fd E F d d

y


y

r

x

M
等面积条件 dF’=dF
而 dF=M·r·dφ·dλ
dF ' dsm' dsn' sin Hdd
H Mr
或
x y x y Mr

等距离投影条件：沿某特定方向长度比为1。
2）一点上任一方向的方位角投影前后保持相等，α＝α’
ds'
ds
G r

E M

x

x

y

y
0

rd Hd Md Ed
ds ds E ds ds E
把Ｅ、Ｇ代入前式，并由后式
y

求出后将其代入前式得
x



r M
x’ dy C’
sin dy cos dx tan dy
ds’
ds'
ds'
dx
D’ dx
dsm’
ψ
ψn dsn’
A’ O
B’ Y
tan

y

x

d d
Ψ是任意方向与Ｘ轴夹角。当dλ和dφ为零时，对应经纬 线方向与Ｘ轴夹角
y d
sin m
(2-1)
由于球面上经纬线是连续而规则的曲线，而地图上一定范 围之内经纬线也必定是连续和规则的，因此规定：
在一定的区域内，函数f1、f2应单值、有限而连续。 如果从(2-1)中消去φ，可得经线投影方程式：
F1(x，y，λ)=0 如若消去λ，便有纬线投影方程式：
(2-2)
F2(x，y，φ)=0 如在(2-1)式中令λ＝λ0＝常数，则方程
化简后即为
tg '0 b
a
a2 m2 m2 b2
沿经、纬线长度比与极值长度比的关系式
一点上任意方向长度比与沿经、纬线长度比的关系式

dy dsm'

E d

x d
cos m

dx dsm'

E d

1 y
E
1 x
E
sin n

dy dsn'

y d
G d

cos n

dx dsn'

x d
G d

1 y
G 1 x
G
经纬线投影后的夹角 D' A' B' 360 n m
Fd
E
微分梯形投影后的面积，即（以经线顺时针方向计算至 ds’， 即α的投影），即平行四边形A’B’C’D’的面积：
dF ' dsm' dsn' sin Hdd
§２-３等角条件、等面积条件与等距离条件
等角条件：
1）经纬线投影后正交， ＝90° F 0 或 H EG
m
cos
' 0
y'
A'
A0'

m
s
in

' 0
代入椭圆方程 x' 2 y' 2 1
a b
θ’
Ａ’
m
x'
α0’ Ａ’
O’
n0
φ
得
m
2
cos2

' 0
a2

m
2
s
in
2

' 0
b2
1
用三角基本公式可化上式为
y'
λ
m2

m2
tan2
' 0
1
a2 (1 tan2 0') b2 (1 tan2 0')
将极值长度比的方向α0及α0+90代入右式
tan HM tan Er MF tan
tan 0

HM tan0 Er MF tan0
tan 01

Er
HM cot0 MF cot0
tan0

tan 01

E2r2

M
2F 2
H 2M 2
ErMF(tan0
第二章 地图投影基本理论
学习指导
学习目标与要求
1．掌握地图投影的概念与若干定义 2．掌握地图投影的基本公式 3．掌握等角条件、等面积条件与等距离条件 4．了解地图投影的类型
学习重点
1．掌握主方向、变形椭圆的概念 2．掌握地图投影长度比、面积比、角度变形的基本公式 3．掌握等角条件、等面积条件与等距离条件