中考压轴题动态几何之其他问题2

《中考压轴题》专题47：动态几何之其他问题（解析几何）一、选择题1. 在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A（－3，0），点B（0，3），点P的坐标为（1，0），与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点重合，在边AB 从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数ky(k0)x=≠中，k的值的变化情况是A. 一直增大B. 一直减小C. 先增大后减小D. 先减小后增大3.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是A．2 B．3 C．4 D．54 如图，直线1y x2=与双曲线kyx=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线1y x2=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线kyx=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为A、3B、6C、94D、925. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线kyx=（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是A．1 B．2 C．3 D．46. 如图，直线y=2x与双曲线2yx=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为A．（1.0）B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2）D．（﹣2.1）或（2，﹣1）7. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是A．45°B．60°C．90°D．120°8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线3y x4=上一点，则点B与其对应点B′间的距离为A．94B．3 C．4 D．5二、填空题1. 如图，已知点A是双曲线2yx=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线kyx=（k＜0）上运动，则k的值是．2. 如图，已知点A是双曲线2yx=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线kyx=（k＜0）上运动，则k的值是．3.如图，直线l1⊥x轴于点A（2，0），点B是直线l1上的动点．直线l2：y=x+1交l1于点C，过点B作直线l3垂直于l2，垂足为D，过点O，B的直线l4交l2于点E．当直线l1，l2，l3能围成三角形时，设该三角形面积为S1，当直线l2，l3，l4能围成三角形时，设该三角形面积为S2．（1）若点B在线段AC上，且S1=S2，则B点坐标为；（2）若点B在直线l1上，且S2=3S1，则∠BOA的度数为．3. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的△是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为。

中考数学压轴题策略之动态几何问题
面对中考，考生对待考试需保持平常心态，复习时仍要按知识点、题型、易混易错的问题进行梳理，不断总结，不断反思，从中提炼最正确的解题方法，进一步提高解题能力。

下文准备了动态几何问题的解题策略的内容。

解这类问题的基本策略是：
1.动中觅静：这里的〝静〞就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.
2.动静互化：〝静〞只是〝动〞的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住〝静〞的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到〝动〞与〝静〞的关系.
3.以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系.
总之，解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。

具体做法是：
①全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中的变与变的量及其位置关系;
②应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变〝动〞为〝静〞;
③在各类〝静态图形〞中运用相关的知识和方法(如方程、相似等)
进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。

另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是此题基本的做题思想和方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出【答案】，更重要的是明确此题的方法和思路。

《中考压轴题》专题32：动态几何之双（多）动点形成的最值问题一、填空题1.如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．2.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．3.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．二、解答题1.如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？2.如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？3.如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数关系式；②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．4.在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．（1）如图①，当点E 自D 向C ，点F 自C 向B 移动时，连接AE 和DF 交于点P ，请你写出AE 与DF 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E ，F 分别移动到边DC ，CB 的延长线上时，连接AE 和DF ，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E ，F 分别在边CD ，BC 的延长线上移动时，连接AE ，DF ，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E ，F 分别在边DC ，CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P ，由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP 的最小值．5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx 4=+-与x 轴交于点A（﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C ，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M ，H 分别从点A ，B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行，当点M 到达原点时，点H 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M 的直线l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ，设点M 的运动时间为t 秒（t ＞0）．求点M 的运动时间t 与△APH 的面积S 的函数关系式，并求出S 的最大值．6．如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴相交于A、B两点．（1）试求点A、C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．7．如图，直线4y x83=-+与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．（1）写出A，B两点的坐标；（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx 3(a 0)=+-≠与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使CBK PBQ S S 5:2=△△：，求K 点坐标.9.如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点C （0，1），顶点为Q （2，3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC ．（1）求直线CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，求证：△CEQ ∽△CDO ；（4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．10.如图，直线y x 412=-+与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线y=x 交于点C ．在线段OA 上，动点Q 以每秒1个单位长度的速度从点O 出发向点A 做匀速运动，同时动点P 从点A 出发向点O 做匀速运动，当点P 、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，交直线AB 、OC 于点E 、F ，连接EF ．若运动时间为t 秒，在运动过程中四边形PEFQ 总为矩形（点P 、Q 重合除外）．（1）求点P 运动的速度是多少？（2）当t 为多少秒时，矩形PEFQ 为正方形？（3）当t 为多少秒时，矩形PEFQ 的面积S 最大？并求出最大值．11.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q 从点O 、动点P 从点A 同时出发，分别沿着OA 方向、AB 方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t （秒）（0＜t≤5）．以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为点C 、D ，连结CD 、QC ．（1）求当t 为何值时，点Q 与点D 重合？（2）设△QCD 的面积为S ，试求S 与t 之间的函数关系，并求S 的最大值？（3）若⊙P 与线段QC 只有一个交点，请直接写出t 的取值范围．12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．13.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P 是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N 以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．14.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=22．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．15.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P 有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．16.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围；（3）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．17.如图，正方形AOCB 在平面直角坐标系xOy 中，点O 为原点，点B 在反比例函数k y x =（x ＞0）图象上，△BOC 的面积为8．（1）求反比例函数k y x=的关系式；（2）若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒1个单位的速度运动，同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t 表示，△BEF 的面积用S 表示，求出S 关于t 的函数关系式，并求出当运动时间t 取何值时，△BEF 的面积最大？（3）当运动时间为34秒时，在坐标轴上是否存在点P ，使△PEF 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18.如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为；（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C 的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．19.如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒53个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？20.如图，甲、乙两人分别从A(1)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．(2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．21.如图，在O A B C中，点A在x轴上，∠A O C=60o，O C=4c m．O A=8c m．动点P从点O出发，以1c m／s的速度沿线段O A→A B运动；动点Q同时．．从点O出发，以a c m／s的速度沿线段O C→C B运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．22.如图，抛物线2y x 2=-++与x 轴交于C ．A 两点，与y 轴交于点B ，点O 关于直线AB 的对称点为D ，E 为线段AB 的中点．（1）分别求出点A ．点B 的坐标；（2）求直线AB 的解析式；（3）若反比例函数k y x=的图象过点D ，求k 值；（4）两动点P 、Q 同时从点A 出发，分别沿AB ．AO 方向向B ．O 移动，点P 每秒移动1个单位，点Q 每秒移动12个单位，设△POQ 的面积为S ，移动时间为t ，问：S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t 值；若不存在，请说明理由．23.如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜103）秒．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．24.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD 上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．。

近几年中考压轴题动态几何问题归类解析一、点动带动线动例1如图1-1所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－■x＋b交折线O-A-B于点E。

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式。

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。

分析：本题是以一条运动直线为载体，以矩形为背景的有关图形面积是否改变的探究题。

问题（1）：点D在线段BC上沿CB向点B运动，其实就是直线DE向右平移。

在运动过程中，有三个临界点：直线DE经过点C（b=1），直线DE经过点A（b=■），直线DE经过点B（b=■），故分两种情况①1＜b≤■，②■＜b＜■展开讨论；问题（2）：直线DE运动过程中，重叠部分（菱形）的面积是否变化，取决于这个菱形的边长，由勾股定理可知这个菱形的边长始终不变，且为■，从而确定重叠部分的面积不会变化。

解：（1）①当点E在线段OA上时，即1＜b≤■，此时E（2b，0）∴S＝■OE·CO＝■×2b×1＝b②当点E在线段AB上时（如图1-2），即■＜b＜■，此时E（3，b－■），D （2b－2，1）∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )＝3－[■(2b－1)×1＋■×(5－2b)·(■－b)＋■×3(b－■)]＝－b2＋■b（2）如图1-3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，则四边形DNEM为平行四边形。

由轴对称知，∠MED＝∠NED又∵∠MDE＝∠NED∴∠MED＝∠MDE ∴MD＝ME∴平行四边形DNEM为菱形过点D作DH⊥OA于H，则tan∠DEN＝■，DH＝1 ∴HE＝2设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2＝（2－a）2＋12，a＝■∴S四边形DNEM＝NE·DH＝■∴矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为■。

2022年中考数学复习：动态几何问题压轴题专项训练1．已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A重合)，连接BO，将线段BO 绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE．(1)问题发现：如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为，△ACE的度数是．(2)问题探究：如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由．(3)问题解决：当△AEC=30°时，求出线段BO的长2．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，△ABC＝90°，B(4，0)，C(8，0)，tan△ACB＝2，抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点．(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；(2)如图2，过点A作AD△AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE△AB交AC于点E．△过点E作EF△AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？△连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋1的对称轴为直线x32＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．(1)直接写出抛物线的解析式和△CAO的度数；(2)动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；(3)在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．4．如图，在□ABCD 中，△ABD ＝90°，AD =，BD ＝8cm ．点P 从点A 出发，沿折线AB —BC 向终点C 运动，点P 在AB 边、BC 边上的运动速度分别为1cm /s /s ．在点P 的运动过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线，交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且QM =2PQ ，MN 与BD 在PQ 的同侧．设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为S （cm 2）．(1)求边AB 的长；(2)当0＜t ＜4时，PQ ＝ ，当4＜t ＜8时，PQ ＝ （用含t 的代数式表示）；(3)当点M 落在BD 上时，求t 的值；(4)当矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分图形为四边形时，求S 与t 的函数关系式．5．如图，四边形ABCD 是菱形，其中60B ∠=︒，点E 在对角线AC 上，点F 在射线CB 上运动，连接EF ，作60FEG ∠=︒，交DC 延长线于点G ．(1)试判断EFG 的形状，并说明理由；(2)图中7AB =，1AE =．△当CF 10=时，以点B 为原点，射线BC 为正半轴建立平面直角坐标系．平面内是否存在一点M ，使得以点M、E、F、G为顶点的四边形与菱形ABCD相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；△记点F关于直线AB的轴对称点为点N．若点N落在EDC的内部（不含边界），求CF的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝43，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．(1)求点B的坐标；(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；7．小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 从点A 出发，沿边AD 向点D 运动，同时，点F 从点B 出发，沿边BA 向点A 运动，它们的运动速度都是2cm/s ，当点E 运动到点D 时，两点同时停止运动，连接CF 、BE 交于点M ，设点E ， F 运动时问为t 秒．(1)【问题提出】如图1，点E ，F 分别在方形ABCD 中的边AD 、AB 上，且BE CF =，连接BE 、CF 交于点M ，求证：BE CF ⊥．请你先帮小明加以证明．(2)如图1，在点E 、F 的运动过程中，点M 也随之运动，请直接写出点M 的运动路径长 cm ．(3)如图2，连接CE ，在点E 、F 的运动过程中．△试说明点D 在△CME 的外接圆O 上； △若△中的O 与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t 的取值范围．8．如图，菱形ABCD ，120ABC ∠=︒，点E 为平面内一点，连接AE ．(1)如图1，点E 在BC 的延长线上，将AE 绕点A 顺时针旋转60°得AF ，交EB 延长线于点G ，连接EF 交AB 延长线于点H ，若15AEB ∠=︒，4HF =，求AE 的长；(2)如图2，点E 在AC 的延长线上，将AE 绕点A 逆时针旋转60°得AF ，连接EF ，点M 为CE 的中点，连接BM ，FM ，证明：FM =；(3)如图3，将AB 沿AS 翻折得()120AE BAE ∠<︒，连DE 交AS 于点S ，点T 为平面内一点，当DS 取得最大值时，连接TD ，TE ，若3AT =，AD =6，求TD TE -的最大值．9．已知抛物线()()12y x x m m=+-与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上一动点（点P 不与点C 重合）．(1)当ABC 为直角三角形时，求ABC 的面积(2)如图，当AP BC ∥时，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，求BQ 的长．(3)当以点A ，B ，P 为顶点的三角形和ABC 相似时（不包括两个三角形全等），求m 的值．10．已知：如图，在△ABC 纸片中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，按图所示的方法将△ACD 沿AD 折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．11．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P 是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．A-和点B，与y轴交于点C，顶点D 12．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点(1,0)-．的坐标为(1,4)(1)直接写出抛物线的解析式；∠=∠，求点P的坐标；(2)如图1，若点P在抛物线上且满足PCB CBD⊥轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN x∆为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标QMNB-，与y轴交于点C，且13．如图，已知抛物线2(0)=++≠与x轴交于点(1,0)y ax bx c aA和点(3,0)=．OC OB（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求BCE面积的最大值；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段P A绕点P逆时针旋转90︒后，点A的对应点'A恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．14．综合与探究如图，已知抛物线228y x x =--与x 轴相交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ，其顶点为点D ，连接AC ，BC ．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E ，P 为第四象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F ．若四边形DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标；（3）设点M 是线段BC 上的一个动点，过点M 作MN AB ，交AC 于点N ．点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动，运动时间为t （6t <）秒，直接写出当t 为何值时，QMN 为等腰直角三角形．15．如图△，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （4，0）、B （0，3），连结AB ．抛物线234y x bx c =++经过点B ，且对称轴是直线52x =-．（1）求抛物线的函数关系式．（2）将图△中的△ABO 沿x 轴向左平移得到△DCE （如图△），当四边形ABCD 是菱形时，说明点C 和点D 都在该抛物线上．（3）在（2）中，若点M 是抛物线上的一个动点（点M 不与点C 、D 重合），过点M 作MN △y 轴交直线CD 于点N ．设点M 的横坐标为m ，线段MN 的长为l ．求l 与m 之间的函数关系式．（4）在（3）的条件下，直接写出m 为何值时，以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形．16．如图，抛物线y ＝－212x ＋32x ＋2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，点C 在y 轴右侧的抛物线上，且AC ＝BC ，求点C 的坐标；（3）如图2，将△ABO 绕平面内点P 顺时针旋转90°后，得到△DEF （点A ，B ，O 的对应点分别是点D ，E ，F ），D ，E 两点刚好在抛物线上．△求点F 的坐标；△直接写出点P 的坐标．17．如图1，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 轴负半轴上，这三个点的坐标分别为A(4，0)，B(0，4)，C(−1，0) ．（1）请求出直线AB的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF//BC交AB于点F，当△BEF的面积是52时，求点E的坐标；（3）如图2，将点B向右平移1个单位长度得到点D，在x轴上存在动点P，若△DCO+△DPO=△α，当tan△α=4时，请直接写出点P的坐标．18．将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．(1)如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．△求证：BE平分△AEC．△取BC的中点P，连接PH，求证：PH∥CG．△若BC＝2AB＝2，求BG的长．(2)若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．19．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ△AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P 的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当Q与C重合时，则x＝s；（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+154x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD速度向点D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧做正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S与t之间的函数关系式为（不必写出t的取值范围）．参考答案：1．解：AO =CE ，△ACE =90°，理由如下：△线段BO 绕点O 顺时针旋转60°，得到线段OE ，△BO =OE ，△BOE =60°，△△BOE 为等边三角形，△△OBE =60°，BE =BO ，△△OBE =60°=△OBD +△DBE ，△△ABC 为等边三角形，△△ABC =60°=△ABO +△OBD ，AB=AC ，△△ABO =△CBE ，在△ABO 和△CBE 中，AB AC ABO CBE BO BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABO △△CBE (SAS)，△AO =CE ，△BAO =△BCE ，△AD 是等边三角形ABC 的高，△△ACB =60°，AD 也是△BAC 的平分线，△△BAO =30°=△BCE ，△△ACE =△BCE +△ACB =30°+60°=90°，故答案为：AO =CE ，△ACE =90°；(2)解：成立，理由如下：如图：连接BE ．△线段BO 绕点O 顺时针旋转了60°得EO ，△BO =EO ，△BOE =60°，△△BOE 是等边三角形，△BO =BE ，△OBE =60°，△△ABC 是等边三角形，△BA =BC ，△ABC =60°，△△ABC +△OBC =△OBE +△OBC ，即△ABO =△CBE ，在△ABO 和△CBE 中，AB AC ABO CBE BO BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABO △△CBE (SAS)，△AO =CE ，△BAO =△BCE ，△AD 是等边△ABC 的高，△△BCE =△BAO =30°，△BCA =60°，△△ACE =△BCE +△ACB =30°+60°=90°，△AO =CE ，△ACE =90°；(3)解：△当点O 1在线段AD 的延长线上时，由(1)和(2)知：△BO 1E 1是等边三角形，△ACE 1=90°，△△ACE 1=90°，△AE 1C =30°，△△E 1AC =60°，△△BAC =60°，△点A 、B 、E 1在一条直线上，△在Rt △ACE 1中，AC =2，△AE 1C =30°，△A E 1=4，△BO 1=BE 1=2；△当点O 2在线段DA 的延长线上时，△△ACE 2=90°，△AE 2C =30°，AC =2，△AE 2=4，2CE△△ABO 2△△CBE 2(SAS)，△22AO CE ==△AD 是等边△ABC 的高，AB =AC =2，△BD =1，AD ==在Rt △O 2DB 中，BD =1，而22O D AO AD ==+△2BO ===综上，BO =2或2．解：△B （4，0），C （8，0），△BC ＝4，△△ABC ＝90°，tan△ACB ＝2，△AB ＝BC •tan△ACB ＝8，△A 的坐标为（4，8），将A （4，8），C （8，0）代入y ＝ax ²+bx ，得：16486480+=⎧⎨+=⎩a b a b ， 解得：124⎧=-⎪⎨⎪=⎩a b ， △抛物线得解析式为：2142y x x =-+； (2)解：△由题得：AP ＝t ，△APE ＝△ABC ＝90°，△EAP ＝△CAB ，△tan△EAP ＝tan△CAB ＝=EP BC AP AB ， △4=8PE t ，即PE ＝2t ， △PB ＝AB ﹣AP ＝8﹣t ，△E 的坐标为（4+2t ，8﹣t ）， 将x ＝4+2t 代入2142y x x =-+， 得：2188=-+y t ， △G 的纵的坐标为2188-+t ， △EG ＝218(8)8-+--t t ＝21+8-t t ＝21(4)+28--t ，△0≤t ≤8， △t ＝4时，线段EG 有最大值且为2；△△CQ ＝t ，PE ＝2t ，AP ＝t ，BC ＝4，AB ＝8， △AE=，AC= △CE ＝AC ﹣AE＝，当△CEQ △△ACB 时，=CE CQ AC AB ，代入数据：8=t ，解得：t ＝4，当△CEQ △△ABC 时，=CE CQ AB AC ，代入数据：△28=解得t ＝409， △综上，t ＝4或409． 3． 解：由题意：32216410b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩， 解得1434a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， △抛物线的解析式为y 14=-x 234+x +1， 令y ＝0，可得x 2﹣3x ﹣4＝0，解得x ＝﹣1或4，△A （﹣1，0），令y ＝0，得到x ＝1，△C （0，1），△OA ＝OC ＝1，△△CAO ＝45°．(2)解：如图1中，过点C 作CE △OA 于E ，过点D 作DF △AB 于F ．△△NEM＝△DFM＝△NMD＝90°，△△NME + △DMF＝90°，△DMF+△MDF＝90°，△△NME＝△MDF，△NM＝DM，△MEN DFM AAS≌（）△NE＝MF，EM＝DF，△△CAO＝45°，AN=，AM＝3t，△AE＝EN＝t，△EM＝AM﹣AE＝2t，△DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，△D（4t﹣1，2t），△14-（4t﹣1）234+（4t﹣1）+1＝2t，△t＞0，故可以解得t34 =，经检验，t34=时，M，N均没有达到终点，符合题意，△D（2，32）．(3)解：如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，△QCP＝△MDB时，取E （12，0），连接EC ，过点E 作EG △EC 交PC 于G ， △M （54，0），D （2，32），B （4，0） △53244FM =-=，DM =，BM 114=，BD 52=， △DF ＝2MF ，△OC ＝2OE ，△tan△OCE ＝tan△MDF 12=， △△OCE ＝△MDF ，△△OCP ＝△MDB ，△△ECG ＝△FDB ，△tan△ECG ＝tan△FDB 43=， △EC =， △EG =G （116，23）， △直线CP 的解析式为y 211=-x +1， 由2211113144y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或411139121x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， △4139(,)11121P ，(0,1)C ，△PC =当MD BD CQ CP =或时MD BD PC CQ =，△QCP 与△MDB 相似，可得615242CQ =或2050363，△373(0,)242Q -或1687(0,)363-． 如图3﹣2中，当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，△QCP ＝△DMB 时，设PC 交x 轴于K ．△tan△OCK ＝tan△DMB ＝2，△OK ＝2OC ＝2，△点K 与F 重合，△直线PC 的解析式为112y x =-+， 由211213144y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或532x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩， △3(5,)2P -，△PC =当DM BM PC CQ =或DM BM CQ PC =时，△QCP 与△MDB 相似，可得556CQ =或7522， △49(0,)6Q -或53(0,)22-． 当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，△QCP ＝△DBM 时，同法可得2591257(,)(0,)3918P Q --，或1151(0,)99， 当点Q 在点C 上方，△QCP ＝△DMB 时，同法可得P （1，32），Q （0，176）或（0，3722）， 当点Q 在点C 上方，△QCP ＝△MDB 时，同法可得25171617(,)(0,)11121242P Q ，或1613(0,).363，当点Q 在点C 下方，点P 在y 轴的左侧时，△QCP ＝△DBM 时，同法可得71959(,)(0,)3918P Q ---，或251(0,)99-． 4(1)解：△△ABD ＝90°，AD =，BD ＝8cm ．△4cm AB = ；(2)解：当0＜t ＜4时，点P 在AB 边上，cm AP t = ，如图，△PQ △AB ，△ABD ＝90°，△PQ △BD ，△△APQ △△ABD ，△AP PQ AB BD = ， △4182AP AB PQ BD === ， 即12t PQ = ， △2cm PQ t = ；当4＜t ＜8时，点P 在BC 边上，)4cm BP t =- ，如图，△四边形ABCD 是平行四边形，△BC AD == ，AB △CD ，△BDC =△ABD =90°，△)()4cm CP BC BP t =-=-= ，△PQ △AB ，△PQ △CD ，△PQ △BD ，△△CPQ △△CBD ， △CP PQ BC BD= ，△CP BC PQ BD === ， △()162cm PQ t =- ；(3)解：如图，当点P 在AB 上时，cm AP t = ，则()4cm BP t =- ，在矩形PQMN 中， BP =QM ，△QM =2PQ ，△BP =2PQ ，△2cm PQ t =，△224t t ⨯=- ，解得：45t = ；如图，当点P 在BC 边上时，点M 与点D 重合，由（2）得：此时4182CQ CD PQ BD === ， △()162cm PQ t =-，△()18cm 2CQ PQ t ==- ， △()4cm MQ CD CQ t =-=- ，△QM =2PQ ，△()42162t t -=- ，解得：365t = ； 综上所述，当点M 落在BD 上时， t 的值为45或365； (4) 解：如图，当405t ≤≤ 时，△2cm PQ t =，QM =2PQ ，△4cm QM t =，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为22248cm S PQ QM t t t =⋅=⨯= ； 如图，当445t << 时，设MQ 交BC 于点T ，根据题意得：AQ △BT ，QT △AB ，△四边形ABTQ 是平行四边形，△4cm QT = ，△()4cm BP AB AP t =-=- ，2cm PQ t =，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为()()()2114428cm 22S PB QT PQ t t t t =+⨯=-+⨯=-+； 如图，当点N 落在AD 边上时，四边形ABPN 是平行四边形，△4cm PN AB == ，△4cm MQ PN == ，△QM =2PQ ，()162cm PQ t =-，△()21624t -= ，解得：7t = ，如图，当47t <≤ 时，设PN 交AD 于点K ，此时四边形ABPK 是平行四边形，△4cm PK AB == ，△()162cm PQ t =-，4182CQ CD PQ BD ===， △()18cm 2CQ PQ t ==- ， △()()484cm DQ t t =--=- ，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为()()()()211441628cm 22S PK DQ PQ t t t t =+⨯=-+⨯-=-+； 如图，当3685t ≤< 时，△()162cm PQ t =-，QM =2PQ ，△()324cm MQ t =- ，△矩形PQMN 与□ABCD 重叠部分的面积为()()()221623248128512cm S PQ MQ t t t t =⨯=-⨯-=-+ ，综上所述，S 与t 的函数关系式为222248(0)548(4)58(47)368128512(8)5t t t t t S t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪-+<<⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪-+≤<⎪⎩．5．(1) EFG 是等边三角形，理由如下：如图，过点E 作EM AB ∥，交FC 于M ，△四边形ABCD 是菱形，△AB CB =，△60ACB ABC ∠=∠=︒，△60ACD ACB ∠=∠=︒，△120ACG ∠=︒,△EM AB ∥，△60ABC EMC ∠∠==︒，△120EMF ∠=︒，△60EMC ECM ∠=∠=︒，△EMC △是等边三角形，△EM EC =，60MEC ∠=︒,△60FEG MEC ∠=∠=︒，△FEM GEC ∠=∠，在FEM △和GEC 中，FGM GEC EM ECEMF ECG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △()FEM GEC ASA ≅，△EF EG =，△EFG 是等腰三角形，△60FEG ∠=︒，△EFG 是等边三角形；(2)△如图所示，过点A 作AT y ⊥轴交于点T ，△60ABC ∠=︒，△30TBA ∠=︒， △1722AT AB ==，BT == 过点E 作EH y ⊥轴交于点H ，交AB 于点K ，△EH CF ∥，△AKE 是等边三角形，△1AK KE AE ===，△6BK =，△sin 6sin 606BH BK BKH =⋅∠=⨯︒==132HK BK ==，△E ，△4HE HK KE =+=，△四边形ABCD 是菱形，△7BC AB ==，△(7,0)C ，21(2D ， △CD 的解析式为373yx ，设(G x -， △EFG 是等边三角形，△22EG EF =，即2222(4)(34)x -+-=--+，解得：15=x 或212x =（舍去），当5x =时，y =-△(5,G -，当是菱形EFMG 时，(2,M --，当是菱形EFGM 时，M ，当是菱形FGEM 时，(M -，综上所述，(2,M --或(或(-；△如图，当N 在CD 上时，作CP AB ⊥于P ，点F '关于AB 的对称点N 在CD 上，△OF ON CP '==，CP BC ==△OF '=， 在Rt BOF '中，7sin 60OF OBF ''∠==︒， △14CF '=，如图，当N 在DE 上时，N 与F '关于AB 对称，AB 与DN 交于点Q ， △60ABN ABC ∠=∠=︒，△60BAC ∠=︒，△60ABN BAC ∠=∠=︒，△BN AE ∥， △AE AQ BN QB=， △AD BC ∥，△ADE CME ，AQD BQM ， △16AD AE MC CE ==，AQ AD QB MB =， △716MC =， △42MC =，△42735MB =-=， △71355AQ QB ==， △115BN =， △5BN =，△5BF BN '==，△752CF BC BF ''=-=-=，△214CF<<．6．解：由x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或﹣1，∵OA是方程的根，∴OA＝5，∴AB＝OA＝5，在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAE＝43，AB＝5，∴BE＝4，AE＝3，∴OE＝OA+AE＝5+3＝8，∴B（8，4）；(2)解：如图1中，当点F落在OB上时，AM＝t，DM＝45t，AD＝35t，∵FM OA∥，∴FM MB OA BA=，∴45555tt-=，∴t＝259，如图2中，当0＜t≤259时，重叠部分是四边形ACFM，S＝12•（AC+FM）•DM＝14434 25555t t t t ⎛⎫⋅+-⋅ ⎪⎝⎭＝25t2，如图3中，259＜t ≤5时，重叠部分是五边形ACHGM ， S ＝S 梯形ACFM ﹣S △FGH ＝()22211455225t t t ⎡⎤-⨯⨯--⎢⎥⎣⎦＝﹣41100t 2+92t ﹣254；综上所述，S ＝25t 2（0＜t ≤259）或S ＝﹣41100t 2+92t ﹣254（259＜t ≤5）． 7．(1)四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，BAE CBF ∠=∠又,E F 的运动速度都是2cm/s ，2AE BF t ∴==BAE CBF ∴≌BCF ABE ∴∠=∠90ABE EBC ABC ∠+∠=∠=︒90BCF EBC ∴∠+∠=︒90MBC ∴∠=︒(2)△90CMB ∠=．△点M 在以CB 为直径的圆上，如图1，当t ＝0时，点M 与点B 重合；如图2，当t ＝3时，点M 为正方形对角线的交点．点M 的运动路径为14圆，其路径长13642ππ⨯=． 故答案为：32π (3)△如图3．由前面结论可知：90CME ∠=△△CME 的外接圆的圆心O 是斜边CE 的中点， 则12OM OC OE CE === 在Rt △CDE 中，90D ∠=，O 是CE 的中点． △12OD CE =， △OM OC OE OD ===△点D 、C 、M 、E 在同一个圆（O ）上，即点D 在△CME 的外接圆O 上；． △304t <<． 如图4，当O 与AB 相切时，O 与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当O 与AB 相切时”是临界情况．如图4，当O 与AB 相切（切点为G ），连接OG ，并延长GO 交CD 于点H ． △AB 与O 相切，△OG AB ⊥，又△AB CD ∥，132CH DC ∴== 设O 的半径为R ．由题意得：在Rt △CHO 中，2223(6)R R +-=，解得154R =△159,22CE DE =△32AE =，即3t 4= △如图5，当304t <<时，O 与正方形的各边共有6个交点．8．(1)解：过点H 作HL △EF ，交AF 于L ，△菱形ABCD ，120ABC ∠=︒△△DAB =180°-18012060ABC ∠=-=︒︒︒，AD∥BC ，△△DAE =△AEB ，△15AEB ∠=︒，△△DAE =15°，△AE 绕点A 顺时针旋转60°得AF ，△△AEF为等边三角形，△△F=60°，△HL△EF，△△HLF=90°-△F=30°，△LF=2HF=2×4=8，根据勾股定理LH△△DAE+△EAH=△EAH+△HAF=60°△△DAE=△HAF=15°，△△HLF为△AHL的外角，△△AHL=△HLF-△HAF=30°-15°=15°，△△AHL=△HAF，△AL=LH=△AE=AF=AL+LF=；(2)证明：过B作BL△AC于L，过F作FK△AE于K，设AE=m，AC=n，△将AE绕点A逆时针旋转60°得AF，△AE=AF=m，△EAF=60°，△△AEF为等边三角形，△AF=EF，△FK△AE，△△AFK=△EFK=30°，AK=EK=12 m，在Rt△AKF中，FK==，△菱形ABCD ，120ABC ∠=︒，BL △AC ，△AL =CL =12n ,△CBL =△ABL =60°，△△LCB =90°-△CBL =30°，△BC =2BL ，在Rt △BCL 中，根据勾股定理222+BC BL CL =，即2224+BL BL CL =，解得2n BL ==， △点M 为CE 中点，△CM =EM =()1122EC m n =+， △MK =ME -KE =()111222m n m n +-=，M L=MC -CL =()111222m n n m +-=，在Rt △MKF 中，根据勾股定理FM =在Rt △MLB 中，根据勾股定理BM ，△BM =，△FM =；(3)解：连结SB ，过E 作TL △DE ，，过G 作GI △AD 于I ，过T 作TJ △AB 于J ，在TD 上截取TE ′=TE ，△将AB 沿AS 翻折得()120AE BAE ∠<︒，△△BAS =△EAS ，AB =AE ，在△ABS 和△AES 中，AB AE BAS EAS AS AS =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABS △△AES （SAS ），△△ABS =△AES ，△四边形ABCD 为菱形，△AD =AB =AE =6，△ABC =120°，△△ADE =△AED =△ABS ，△DAB =180°-△ABC =60°，△A 、S 、B 、D 四点共圆，△点S 在△ABD 的外接圆劣弧AB 上运动，△当AS △AB 时，AS 长最大，△△ADH =90°-△DAH =30°，△AH =3，DH=△点T 在以点A 为圆3为半径的圆上运动，当点A 关于TJ 直线的对称点在△ADH 的角平分线DT 上时，TD TE -的值最大，设点A 的对称点为G ，△△ADG =△HDG =1152ADH ∠=︒，GI △AD ，GH △DH ， △GI =GH =m ,AG =AH –GH =3-m ，AI =AD -DI -DH=6-在Rt △AIG 中，根据勾股定理222+AG AI IG =即()(22236+m m -=-，解得9m =，在Rt △DGH 中，根据勾股定理DG△DT=DG +TG =3，△AG =12-△AJ =JG =6-△JH =AH -AJ =3-（6-=，△TJ △AB ，DE △AB ，TL △DE ，△△TJH =△JHL =△TLH =90°，△四边形JTLH 为矩形，△JH =TL =，在DL 上截取DN =TN ，△△NDT =△NTD =15°，△△FNL =△NDT +△NTD =30°，△DN =TN =2TL =6，在Rt △TNL 中，根据勾股定理，NL9=-△DL =DN +NL =6+93-=，在Rt △AHE 中，△EAH =60°，△DE =sin60°×AE△DE△LE =DE -DL ()3=TL ，△TE=△GT -TE 最大=3-．9．(1) 解：由抛物线()()12y x x m m=+-开口向上，则m ＞0令x =0，则y =-2，即C 点坐标为（0，-2），OC =2令y =0，则()()102x x m m=+-，解得x =-2或x =m ，即点A （-2，0），点B （m ，0） △OA =2,OB =m△AB =m +2由勾股定理可得AC 2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC 2=(m -0)2+[0-（-2）]2=m 2+4 △当ABC 为直角三角形时，仅有△ACB =90°△AB 2= AC 2+BC 2,即(m +2)2=8+m 2+4,解得m =2△AB =m +2=4△ABC 的面积为：12·AB ·OC =12×4×2=4．(2)解：设BC 所在直线的解析式为：y =kx +b则02mk b b =+⎧⎨-=⎩ ，解得22k m b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ △BC 所在直线的解析式为y =2m x -2 设直线AP 的解析式为y =2m x +c 则有：0=2m×（-2）+c ，即c =4m △线AP 的解析式为y =2m x +4m 联立()()1224y x x m m y x m m⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得x =-2（A 点横坐标）,x =m +2（P 点横坐标） △点P 的纵坐标为：()24822+m m m m⨯++= △点P 的坐标为（m +2，28m m +） △OQ =m +2△BQ =OQ -OB = m +2-m =2．(3)解：△点P 为抛物线()()12y x x m m=+-上一动点（点P 不与点C 重合）．△设P （x ，()()12x x m m+-） △在△ABC 中，△BAC =45°△当以点A ，B ，P 为顶点的三角形和ABC 相似时，有三种情况：△a .若△ABC △△BAP △BP AC AB AB= 又△BP =AC△△ABC △△BAP 不符合题意；b . 若△ABP △△BAC △BP AB AB AC= 过P 作PQ △x 轴于点Q ，则△PQB =90°△△BPQ =90°-△PBQ =45°△PQ =BQ =m -x由于PQ =()()12x x m m +- △1(2)()m x x x m m-=+- △1()(2)10x m x m ⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦△x -m =0或1(2)10x m++= △x =m （舍去），x =-m -2△BQ =m -（-m -2）=2m +2△1)PB m ==+=△m 2-4m -4=0，解得：m =2-m =△m =2-△当△P AB =△BAC =45°时，分两种情况讨论：a . 若△ABP △△ABC ,则AP AC AB AB = ,点C 与点P 重合，不合题意； b . 若△ABP △△BAC ,则PB AB AB AC= , 过P 作PQ △x 轴于点Q ，则△PQA =90°△△APQ =90°-△P AB =45°△PQ =AQ =x +2由于PQ =()()12x x m m +- △12(2)()x x x m m+=+- △1(2)(2)10x x m ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦△x +2=0或1()10x m m--= △x =-2（舍去），x =2m△AQ = =2m +2△1)AP m ==+=△m 2-4m -4=0，解得：m =2-m =△m =△当△APB=△BAC=45°时，分两种情况讨论：a.过点A作PM//BC交抛物线于点M，则△MAB=△ABC，△△MAB≠△P AB，△△P AB≠△ABC，△△P AB与△BAC不相似；b. 取点C关于x轴的对称点C'，连接并延长BC'交抛物线于点N，则△NBA=△CBA，△△PBA≠△NBA，△△PBA≠△CBA，△△P AB与△BAC不相似；综上，m的值为m=2-m=10．解：如图1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，△BD2=C′D2+C′B2，△（4-x）2=x2+22，解得：x=32，△AD==(2)如图2中，当点P在C'D左侧，AC=AC'=3，则PC'=3-x，△DP△10)y x =≤≤．当点P 在C 'D 右侧，同理可得10)y x =≤≤．△y 关于x 的函数解析式为10)y x =≤≤． (3) 如图3中，△当P A =PD 时，设P A =PD =m ， 在Rt △PCD 中，△PD 2=DC ′2+C ′P 2，△2223((3))2m m =+-，解得：158=m ， △P A =158．△当AD =AP P 在P′时，△ADP 是等腰三角形， △当PD =AD 时，点P 在AB 的延长线上．如图4，AP =2AC '=6．综上所述，满足条件的P A 的值为1586． 11． (1)解：把A （﹣3，0）和C （1，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3，得，093303a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得，12a b =⎧⎨=⎩，△抛物线解析式为y ＝x 2+2x ﹣3； (2)解：设P （x ，x 2+2x ﹣3），直线AB 的解析式为y ＝kx +b ， 由抛物线解析式y ＝x 2+2x ﹣3， 令x ＝0，则y ＝﹣3， △B （0，﹣3），把A （﹣3，0）和B （0，﹣3）代入y ＝kx +b ，得，033k b b=-+⎧⎨-=⎩，解得，13k b =-⎧⎨=-⎩，△直线AB 的解析式为y ＝﹣x ﹣3， △PE △x 轴， △E （x ，﹣x ﹣3），△P在直线AB下方，△PE＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）2+94，当x＝﹣32时，y＝x2+2x﹣3＝154-，△当PE最大时，P点坐标为（﹣32，154-）；(3)存在，理由如下，△x＝﹣221⨯＝-1，△抛物线的对称轴为直线x＝-1，设Q（-1，a），△B（0，-3），A（-3，0），△当△QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，△22+a2+32+32＝12+（3+a）2，解得：a＝2，△Q1（-1，2），△当△QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，△12+（3+a）2+32+32＝22+a2，解得：a＝﹣4，△Q2（-1，﹣4），△当△AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，△12+（3+a）2+22+a2＝32+32，解得：a1a1△Q3（-1，Q4（-1，综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1-1，．12．解：∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)解：∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），∴B（3，0），设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B（3，0），D（1，﹣4），∴304k ek e+=⎧⎨+=-⎩，解得：26ke=⎧⎨=-⎩，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝32，∴E（32，0），在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC 是正方形，∴OC ＝CG ＝BG ＝3，∠COE ＝∠G ＝90°，∠OCB ＝∠GCB ＝45°， ∴∠OCB ﹣∠BCE ＝∠GCB ﹣∠BCF ， 即∠OCE ＝∠GCF ， ∴△OCE ≌△GCF （ASA ），∴FG ＝OE ＝32，∴BF ＝BG ﹣FG ＝3﹣32＝32，∴F （3，﹣32），设直线CF 解析式为y ＝k 1x +e 1，∵C （0，﹣3），F （3，﹣32），∴1113332e k e =-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：11123k e ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线CF 解析式为y ＝12x ﹣3，结合抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3，可得x 2﹣2x ﹣3＝12x ﹣3， 解得：x 1＝0（舍），x 2＝52，∴P 2（52，﹣74），综上所述，符合条件的P 点坐标为：（4，5）或（52，﹣74）；(3)解：（3）设直线AC 解析式为y ＝m 1x +n 1，直线BC 解析式为y ＝m 2x +n 2， ∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴11103m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：1133m n =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 解析式为y ＝﹣3x ﹣3， ∵B （3，0），C （0，﹣3），∴222303m n n +=⎧⎨=-⎩， 解得：2213m n =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 解析式为y ＝x ﹣3， 设M （t ，t ﹣3），则N （t ，t 2﹣2t ﹣3）， ∴MN ＝|t 2﹣2t ﹣3﹣（t ﹣3）|＝|t 2﹣3t |，①当△QMN 是以NQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ ＝90°，MN ＝MQ ，如图2，∵MQ ∥x 轴， ∴Q （﹣13t ，t ﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣13t）|，∴t2﹣3t＝±43 t，解得：t＝0（舍）或t＝53或t＝133，∴154 (,) 33M-，154 (,)93Q--；2134 (,) 33M，2134 (,)93Q-；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q（223t t-+，t2﹣2t﹣3），∴NQ＝|t﹣223t t-+|＝13|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝13|t2+t|，解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H（t，262t t--），∴Q（26t t-+，262t t--），∴QH＝|t﹣26t t-+|＝16|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×16|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：154 (,) 33M-，154 (,)93Q--；2134 (,) 33M，2134 (,)93Q-；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．13．解：（1）△抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），△OB=3，△OC=OB，△OC=3，△c=3，△30 9330a ba b++=⎧⎨-+=⎩，解得：12ab=-⎧⎨=-⎩，△所求抛物线解析式为：223y x x=--+；（2）如图2，连接BC，过点E作EF△x轴于点F，设E（a，-a2-2a+3）（-3＜a＜0），△EF=-a2-2a+3，BF=a+3，OF=-a，△S△BEC=S四边形BOCE-S△BOC=12BF•EF+12（OC+EF）•OF-12•OB•OC=1 2（a+3）•（-a2-2a+3）+12（-a2-2a+6）•（-a）-92=-32a2-92a=-32（a+32）2+278，△当a=-32时，S△BEC最大，且最大值为278．。

中考压轴题动态几何之其他存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动态几何之其他存在性问题模拟题．在中考压轴题中，动态几何之其他存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=55，且43ODOE=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：211162y x x c=-++经过点E，且与AB边相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）Q（﹣4，0）或（12，0）．【解析】试题解析：（1）∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，∴∠BDE=∠BCE=90°，∵∠BAD=90°，∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，∴△ABD∽△ODE；（2）∵43ODOE=，∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，∴CE=DE=5x，∴AB=OC=CE+OE=8x，又∵△ABD∽△ODE，∴34DA OEAB OD==，∴DA=6x，∴BC=OA=10x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得222BE BC CE=+，即222(55)(10)(5)x x=+，解得x=1，∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，∴抛物线解析式为2113162y x x=-++，当x=10时，代入可得y=74，∴AF=74，BF=AB﹣AF=784-=254，在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF=22AF AD+=227()64+=254，∴BF=DF，又M为Rt△BDE斜边上的中点，∴MD=MB，∴MF为线段BD的垂直平分线，∴MF⊥BD；（3）由（2）可知抛物线解析式为2113162y x x=-++，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，令y=0，可得21130162x x-++=，解得x=﹣4或x=12，∴M（﹣4，0），N（12，0），过D作DG⊥BC于点G，如图所示，则DG=DM=DN=8，∴点M 、N 即为满足条件的Q 点， ∴存在满足条件的Q 点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0）．考点：二次函数综合题；动点型；综合题；压轴题．原创模拟预测题2．已知，如图①，在▱ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm ，AC⊥AB，△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速移动，速度为1cm/s ，当△PNM 停止平移时，点Q 也停止移动，如图②，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4），连接PQ ，MQ ，MC ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ∥MN？（2）设△QMC 的面积为y （cm2），求y 与x 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S△QMC：S 四边形ABQP=1：4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使PQ⊥MQ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）920=t ；（2）236105y t t =-+（0＜t ＜4）；（3）t=2；（4）23=t ． 【解析】 试题分析：（1）根据勾股定理求出AC ，根据PQ ∥AB ，得出CB CQ CA CP =，544t t =-，求解即可； （2）过点P 作PD ⊥BC 于D ，根据△CPD ∽△CBA ，得出453t PD -=，求出PD=1235t -，再根据S △QMC=S △QPC ，得出y=S △QMC=12QC•PD，再代入计算即可；（3）根据S △QMC ：S 四边形ABQP=1：4，得出S △QPC ：S △ABC=1：5，代入得出（236105t t -+）：6=1：5，再计算即可；（4）根据PQ ⊥MQ 得出△PDQ ∽△MQP ，得出2PQ =MP•DQ，根据勾股定理得出22PD DQ +=MP•DQ，再分别代入得出59165)5916()5312(22t t t -⨯=-+-，求出t 即可．（4）若PQ⊥MQ，则∠PQM=∠PDQ，∵∠MPQ=∠PQD，∴△PDQ∽△MQP，∴DQPQPQPM=，∴2PQ=MP•DQ，∴22PD DQ+=MP•DQ，∵CD=1645t-，∴DQ=CD﹣CQ=1645tt--=1695t-，∴59165)5916()5312(22ttt-⨯=-+-，∴整理得0322=-tt，解得10t=（舍去），232t=，∴23=t时，PQ⊥MQ考点：相似形综合题；动点型；存在型；综合题；压轴题．原创模拟预测题3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx=++交x轴于A（﹣1，0）和B （5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）23123 55y x x=-++；（2）1；（3）①12；②G（4，32-）或（4，6）．【解析】试题解析：（1）如图1，∵抛物线23y ax bx=++交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，∴3025530a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得：35125ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为2312355y x x=-++；②如图4，连接CE，∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D 点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，∵EH=1，OH=4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为132y x=-+，设直线DG1的解析式为12y x m=-+，∵D（1，0），∴1012m=-⨯+，解得m=12，∴直线DG1的解析式为1122y x=-+，当x=4时，11422y=-⨯+=32-，∴G1（4，32-）；设直线DG2的解析式为2y x n=+，∵D（1，0），∴0=2×1+n，解得n=﹣2，∴直线D G2的解析式为22y x=-，当x=4时，y=2×4﹣2=6，∴G2（4，6）；综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，32-）或（4，6）．考点：二次函数综合题；动点型；存在型；旋转的性质；分类讨论；综合题；压轴题．原创模拟预测题4．如图，已知抛物线2y ax bx c=++的顶点D的坐标为（1，92-），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标0m<时，过p点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）214 2y x x=--；（2）﹣4≤m≤0；（3）P（341-，341-）或P（133-，331-）．【解析】试题分析：（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据等腰直角三角形的性质，可得射线AC、AD，根据角越小角的对边越小，可得PA在在射线AC 与AD之间，根据解方程组，可得E点的横坐标，根据E、C点的横坐标，可得答案；（3）分两种情况，P在第二象限和P在第三象限讨论．试题解析：（1）由A、B点的函数值相等，得：A、B关于对称轴对称．A（4，0），对称轴是x=1，得：B（﹣2，0）．将A、B、D点的坐标代入解析式，得：420164092a b ca b ca b c⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=-⎩，解得：1214abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，抛物线所对应的二次函数的表达式2142y x x=--；（2）如图1作C点关于原点的对称点D，OC=OD=OA=4，∠OAC=∠DAO=45°，AP在射线AC与AD之间，∠PAO＜45°，直线AD的解析式为4y x=-+，联立AD于抛物线，得：24142y xy x x=-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得x=﹣4或x=4，∵E点的横坐标是﹣4，C点的横坐标是0，P点的横坐标的取值范围是﹣4≤m≤0；（3）存在P 点，使∠QPO=∠BCO ，①若点P 在第二象限，如图2，设P （a ，2142a a --），由∠QPO=∠BCO ，∠PQO=CBO=90°，∴△PQO∽△COB ，∴PQ OQ CO OB =，即4a =21422a a --，化简，得2380a a --=，解得3412a -=或3412a +=（不符合题意，舍），∴2142a a --=3414-，∴P 点坐标为（3412-，3414-）；考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．。

一、选择题1．（2016浙江省温州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】C．【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．考点：动点问题的函数图象．2．（2016湖北省荆州市）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】C．【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．【解析】解；如图，由四边形的内角和定理，得：∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，由AC BC，得：∠AOC=∠BOC=50°．由圆周角定理，得：∠ADC=12∠AOC=25°，故选C．考点：切线的性质；圆周角定理；动点型．二、填空题3．（2016四川省泸州市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．【答案】6．【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．【解析】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，∴AB=AC，∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a，如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD=5，∴AP′=5+1=6，∴a的最大值为6．故答案为：6．考点：三角形的外接圆与外心；动点型；最值问题．4．（2016江苏省苏州市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，23），C 是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为．【答案】（1，3）．【分析】先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标．考点：坐标与图形性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；动点型．5．（2016浙江省舟山市）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为．【答案】4．考点：解直角三角形；动点型；分段函数；分类讨论．6．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是．【答案】256或5013．【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据''''ED DOMN O N=计算即可；②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得DO EDEF EM=计算即可．考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质；分类讨论；动点型．7．（2015贵州）如图，已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是▲ ；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是▲（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，∴Q在y轴上．∴BP∥y轴．∵CP∥x轴，∴四边形ABPC是平行四边形．∴CP=AB=23．∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：23．三、解答题8．（2016黑龙江省牡丹江市）在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．（1）如图①，求证：B P+BQ=BC；（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=1，DP=3，则BC= ．【答案】（1）证明见解析；（2）图②：B Q﹣BP=BC，图③：B P﹣BQ=BC；（3）BC=2或4．【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△ADP≌△CBQ，得BQ=PD，由AD=BD=BC得：B C=BD=BP+PD=BP+BQ；（2）图②，证明△ABP≌△CDQ，得PB=DQ，根据线段的和得结论；图③，证明△ADP≌△CBQ，得PD=BQ，同理得出结论；（3）分别代入图①和图②条件下的BC，计算即可．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，∵AP∥CQ，∴∠APQ=∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，∴DP=BQ，∵AD=BD，AD=BC，∴BD=BC，∵BD=BP+DP，∴BC=BP+BQ；（2）图②：B Q﹣BP=BC，理由是：∵AP∥CQ，∴∠APB=∠CQD，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠ABP=∠CDQ，∵AB=CD，∴△ABP≌△CDQ，∴BP=DQ，∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；图③：B P﹣BQ=BC，理由是：同理得：△ADP≌△CBQ，∴PD=BQ，∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=1+3=4，图②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=3﹣1=2，∴BC=2或4．考点：四边形综合题；和差倍分；探究型；动点型．9．（2016四川省雅安市）已知直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线kyx=交于点C（1，a）．（1）试确定双曲线的函数表达式；（2）将l1沿y轴翻折后，得到l2，画出l2的图象，并求出l2的函数表达式；（3）在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，分别交l2于点M，交双曲线于点N，求S△AMN的取值范围．【答案】（1）4yx=；（2）y=﹣x+3；（3）78≤S△AMN＜4．【分析】（1）令x=1代入一次函数y=x+3后求出C的坐标，然后把C代入反比例函数解析式中即可求出k的值；（2）设直线l2与x轴交于D，由题意知，A与D关于y轴对称，所以可以求出D的坐标，再把B点坐标代入y=ax+b即可求出直线l2的解析式；（3）设M的纵坐标为t，由题意可得M的坐标为（3﹣t，t），N的坐标为（4t，t），进而得MN=4t+t﹣3，又可知在△ABM中，MN边上的高为t，所以可以求出S△AMN与t的关系式．【解析】（1）令x=1代入y=x+3，∴y=1+3=4，∴C（1，4），把C（1，4）代入kyx=中，∴k=4，∴双曲线的解析式为：4yx =；（2）如图所示，设直线l2与x轴交于点D，由题意知：A与D关于y轴对称，∴D的坐标为（3，0），设直线l2的解析式为：y=ax+b，把D与B的坐标代入上式，得：303ba b=⎧⎨=+⎩，∴解得：13ab=-⎧⎨=⎩，∴直线l2的解析式为：y=﹣x+3；考点：反比例函数综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型；综合题．10．（2016山东省日照市）阅读理解：我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．由此你得到动点P的运动轨迹是：．知识应用：如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．拓展提高：如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．（1）求∠AQB的度数；（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．【答案】阅读理解：线段EF；知识应用：4；拓展提高：（1）120°；（2）433．【分析】阅读理解：根据轨迹的定义可知，动点P的运动轨迹是线段EF．知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF与MN交于点Q′，△GQ′E ≌△NQ′F，推出Q、Q′重合即可解决问题．拓展提高：如图2中，（1）只要证明△APD≌△CPB，推出∠DQG=∠BPG=60°结论解决问题．（2）由（1）可知点P的运动轨迹是AB，设弧AB所在圆的圆心为O，Z圆上任意取一点M，连接AM，BM，则∠M=60°，作OH⊥AB于H，则AH=BH=3，OH=3，OB=23，利用弧长公式即可解决．【解析】阅读理解：根据轨迹的定义可知，动点P的运动轨迹是线段EF．故答案为：线段EF．知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF与MN交于点Q′．∵△ABC是等边三角形，MN是中位线，∴AM=BM=AN=CN，∵AF=BE，∴EM=FN，∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B=∠GME=60°，∵∠A=∠GEM=60°，∴△GEM是等边三角形，∴EM=EG=FN，在△GQ′E和△NQ′F中，∵∠GQ′E=∠NQ′F，∠G=∠FNQ′，GE=FN，∴△GQ′E≌△NQ′F，∴EQ′=FQ′，∵EQ=QF，′点Q、Q′重合，∴点Q在线段MN上，∴段EF中点Q的运动轨迹是线段MN，MN=12BC=12×8=4，∴线段EF中点Q的运动轨迹的长为4．拓展提高：如图2中，（1）∵△APC，△PBD都是等边三角形，∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，∴∠APD=∠CPB，在△APD和△CPB中，∵AP=PC，∠APD=∠CPB，DP=BP，∴△APD≌△CPB，∴∠ADP=∠CBP，设BC与PD交于点G，∵∠QGD=∠PGB，∴∠DQG=∠BPG=60°，∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°（2）由（1）可知点P的运动轨迹是AB，设弧AB所在圆的圆心为O，Z圆上任意取一点M，连接AM，BM，则∠M=60°，∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，则AH=BH=3，OH3OB=23AB的长=12023180π⨯⨯=433π，∴动点Q运动轨迹的长433π．考点：三角形综合题；阅读型；动点型；压轴题．11．（2016山东省枣庄市）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC 上，已知EP=FP=6，EF=63，∠BAD=60°，且AB＞63．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【答案】（1）120°；（2）1033）AP的最大值为12，AP的最小值为6．【分析】（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．【解析】（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．∵PE=PF=6，EF63，∴FG=EG=33，∠FPG=∠EPG=12∠EPF．在Rt△FPG中，sin∠FPG=FGPF=336=32，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=120°；（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME=NF．又AP=10，∠PAM=12∠DAB=30°，∴AM=AN=APcos30°=10×32=53，∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=103；（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P之间运动，∴P1O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6．考点：菱形的性质；最值问题；动点型．12．（2016山东省淄博市）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．（1）求证：2 AFAM（2）求证：A F⊥FM；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠BAM=22.5．【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°，根据等腰直角三角形性质即可解决问题．（2）由（1）的结论即可证明．（3）由：A．B、M、F四点共圆，推出∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到CM CNCB CD=，推出BM=DN，再证明△ABM≌△ADN即可解决问题．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，∵∠MAN=45°，∴∠MAF=∠MBE，∴A、B、M、F四点共圆，∴∠ABM+∠AFM=180°，∴∠AFM=90°，∴∠FAM=∠FMA=45°，∴AM=2AF，∴22 AFAM=．（2）由（1）可知∠AFM=90°，∴AF⊥FM．（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM理由：∵A、B、M、F四点共圆，∴∠BAM=∠EFM，∵∠BAM=∠FMN，∴∠EFM=∠FMN，∴MN∥BD，∴CM CN CB CD=，∵CB=DC，∴CM=CN，∴MB=DN，在△ABM和△ADN中，∵AB=AD，∠ABM=∠ADN，BM=DN，∴△ABM≌△ADN，∴∠BAM=∠DAN，∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=22.5°．考点：四边形综合题；探究型；动点型．13．（2016广西来宾市）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点M为AB上的一动点，将矩形ABCD沿某一直线对折，使点C 与点M 重合，该直线与AB （或BC ）、CD （或DA ）分别交于点P 、Q ． （1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹） （2）如果PQ 与AB 、CD 都相交，试判断△MPQ 的形状并证明你的结论；（3）设AM =x ，d 为点M 到直线PQ 的距离，2y d =，①求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围； ②当直线PQ 恰好通过点D 时，求点M 到直线PQ 的距离．【答案】（1）作图见解析；（2）△MPQ 是等腰三角形；（3）10． 【分析】（1）作线段CM 的垂直平分线即可；（2）由矩形的性质得出AB ∥CD ，CD =AB =10，得出∠QCO =∠PMO ，由折叠的性质得出PQ 是CM 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出CQ =MQ ，由ASA 证明△OCQ ≌△OMP ，得出CQ =MP ，得出MP =MQ 即可； （3）①作MN ⊥CD 于N ，如图2所示：则MN =AD =6，DN =AM =x ，CN =10﹣x ，在Rt △MCN 中，由勾股定理得出222(2)6(10)d x =+-，即可得出结果；②当直线PQ 恰好通过点D 时，Q 与D 重合，DM =DC =10，由勾股定理求出AM ，得出BM ，再由勾股定理求出CM ，即可得出结果．②当直线PQ 恰好通过点D 时，如图3所示：则Q 与D 重合，DM =DC =10，在Rt △ADM 中，AM =22DM AD -=8，∴BM =10﹣8=2，∴CM =22BC BM +=2262+=210，∴d =12CM =10，即点M 到直线PQ 的距离为10．考点：四边形综合题；动点型；探究型；压轴题．14．（2016广西贵港市）如图，抛物线25y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣5，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △ABE =S △ABC 时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使∠BAP =∠CAE ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）212533y x x =+-；（2）E （﹣2，﹣5）；（3）94或154． 【分析】（1）把A 、B 两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）当S △ABE =S △ABC 时，可知E 点和C 点的纵坐标相同，可求得E 点坐标；（3）在△CAE 中，过E 作ED ⊥AC 于点D ，可求得ED 和AD 的长度，设出点P 坐标，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，由条件可知△EDA ∽△PQA ，利用相似三角形的对应边可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．【解析】（1）把A 、B 两点坐标代入解析式25y ax bx =+-，可得：255509350a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为212533y x x =+-； （2）在212533y x x =+-中，令x =0可得y =﹣5，∴C （0，﹣5），∵S △ABE =S △ABC ，且E 点在x 轴下方，∴E 点纵坐标和C 点纵坐标相同，当y =﹣5时，代入可得2125533x x +-=-，解得x =﹣2或x =0（舍去），∴E点坐标为（﹣2，﹣5）；（3）假设存在满足条件的P 点，其坐标为（m ，212533m m +-），如图，连接AP 、CE 、AE ，过E 作ED ⊥AC 于点D ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，则AQ =AO +OQ =5+m ，PQ =212533m m +-，在Rt △AOC 中，OA =OC =5，则AC =52，∠ACO =∠DCE =45°，由（2）可得EC =2，在Rt △EDC 中，可得DE =DC =2，∴AD =AC ﹣DC =522-=42．当∠BAP =∠CAE 时，则△EDA ∽△PQA ，∴ED PQ AD AQ =，即2125233542m m m +-=+，∴21215(5)334m m m +-=+或21215(5)334m m m +-=-+； ①当21215(5)334m m m +-=+时，整理可得245750m m --=，解得m =154或m =﹣5（与A 点重合，舍去）；②当21215(5)334m m m +-=-+时，整理可得2411450m m +-=，解得m =94或m =﹣5（与A 点重合，舍去），∴存在满足条件的点P ，其横坐标为94或154．考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；综合题．15．（2016内蒙古呼和浩特市）已知二次函数22y ax ax c =-+（a ＜0）的最大值为4，且抛物线过点（72，94-），点P （t ，0）是x 轴上的动点，抛物线与y 轴交点为C ，顶点为D ． （1）求该二次函数的解析式，及顶点D 的坐标；（2）求|PC ﹣PD |的最大值及对应的点P 的坐标；（3）设Q （0，2t ）是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数22y a x a x c =-+的图象只有一个公共点，求t 的取值．【答案】（1）223y x x =-++，D （1，4）；（2）2，P （﹣3，0）；（3）t 的取值是32≤t ＜3或t =72或t ≤﹣3．【分析】（1）先利用对称轴公式x =2ba-计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC ﹣PD |取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数22y a x a x c =-+（x ≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（﹣3，0），即点P 与点（﹣3，0）重合时，线段PQ 与当函数22y a x a x c =-+（x ＜0）时也有一个公共点，则当t ≤﹣3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．（3）22y a x a x c =-+的解析式可化为：2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩设线段PQ 所在的直线解析式为y =kx +b ，将P （t ，0），Q （0，2t ）代入得： 线段PQ 所在的直线解析式：y =﹣2x +2t ，分三种情况讨论：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩有一个公共点，此时t =32，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，t =3，此时线段PQ 与2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩有两个公共点，所以当32≤t ＜3时，线段PQ 与2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩有一个公共点；②将y =﹣2x +2t 代入223y x x =-++（x ≥0）得：22322x x x t -++=-+，24320x x t -++-=，令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t ）=0，t =72＞0，所以当t =72时，线段PQ 与2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩也有一个公共点；③当线段PQ 过点（﹣3，0），即点P 与点（﹣3，0）重合时，线段PQ 只与223y x x =--+（x ＜0）有一个公共点，此时t =﹣3，所以当t ≤﹣3时，线段PQ 与2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩也有一个公共点，综上所述，t 的取值是32≤t ＜3或t =72或t ≤﹣3．考点：二次函数综合题；最值问题；动点型；分类讨论；压轴题． 16．（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图所示，抛物线232y ax x c =-+经过原点O 与点A （6，0）两点，过点A 作AC ⊥x 轴，交直线y =2x ﹣2于点C ，且直线y =2x ﹣2与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的解析式，并求出点C 和点D 的坐标；（2）求点A 关于直线y =2x ﹣2的对称点A ′的坐标，并判断点A ′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P （x ，y ）是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段CA ′于点Q ，设线段PQ 的长为l ，求l 与x 的函数关系式及l 的最大值．【答案】（1）21342y x x =-，C （6，10），D （1，0）；（2）A ′（﹣2，4），A ′在抛物线上；（3）l =21911442x x -++，（﹣2＜x ≤6），l 的最大值为16916．【分析】（1）把O 、A 代入抛物线解析式即可求出a 、c ，令y =0，即可求出D 坐标，根据A 、C 两点横坐标相等，即可求出点C 坐标．（2）过点A ′作AF ⊥x 轴于点F ，求出A ′F 、FO 即可解决问题． （3）设点P （x ，21342x x -），先求出直线A ′C 的解析式，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解析】（1）把点O （0，0），A （6，0）代入232y ax x c =-+，得：03690c a =⎧⎨-=⎩，解得：140a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为21342y x x =-． 当x =6时，y =2×6﹣2=10，当y =0时，2x ﹣2=0，解得x =1，∴点C 坐标（6，10），点D 的坐标（1，0）； （2）过点A ′作AF ⊥x 轴于点F ，∵点D （1，0），A （6，0），可得AD =5，在Rt △ACD 中，CD 22510+55∵点A 与点A ′关于直线y =2x ﹣2对称，∴∠AED =90°，∴S △ADC =12×55•AE =12×5×10，解得AE =25∴AA ′=2AE =45，DE =225(25)-=5，∵∠AED =∠AFA ′=90°，∠DAE =∠A ′AF ，∴△ADE ∽△AA ′F ，∴2555'45AF A F ==，解得AF =4，A ′F =8，∴OF =8﹣6=2，∴点A ′坐标为（﹣2，4），当x =﹣2时，y =134(2)442⨯-⨯-=，∴A ′在抛物线上．（3）∵点P 在抛物线上，则点P （x ，21342x x -），设直线A ′C 的解析式为y =kx +b ，∵直线A 经过A ′（﹣2，4），C （6，10）两点，∴24610k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：34112k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线A ′C 的解析式为31142y x =+，∵点Q 在直线A ′C 上，PQ ∥AC ，点Q 的坐标为（x ，31142x +），∵PQ ∥AC ，又点Q 在点P 上方，∴l =（31142x +）﹣（21342x x -）=21911442x x -++，∴l 与x 的函数关系式为l =21911442x x -++，（﹣2＜x ≤6），∵l =21911442x x -++=219169()4216x --+，∴当x =92时，l 的最大值为16916．考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型；压轴题．17．（2016江苏省盐城市）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =2，AB =22，以点A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，交AB 于点F ． （1）求∠ABE 的大小及DEF 的长度；【答案】（1）45°，32π；（2）4． 【分析】（1）连接AE ，如图1，根据圆的切线的性质可得AE ⊥BC ，解Rt △AEB 可求出∠ABE ，进而得到∠DAB ，然后运用圆弧长公式就可求出DEF 的长度；（2）如图2，根据两点之间线段最短可得：当A 、P 、G 三点共线时PG 最短，此时AG =AP +PG =22=AB ，根据等腰三角形的性质可得BE =EG ，只需运用勾股定理求出BE ，就可求出BG 的长． 【解析】（1）连接AE ，如图1，∵AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，∴AE ⊥BC ，AE =AD =2．（2）如图2，根据两点之间线段最短可得：当A 、P 、G 三点共线时PG 最短，此时AG =AP +PG =2222+-=22，∴AG =AB ．∵AE ⊥BG ，∴BE =EG ．∵BE =22AB AE -=84-=2，∴EG =2，∴BG =4．考点：切线的性质；弧长的计算；动点型；最值问题．18．（2016浙江省宁波市）如图，已知抛物线32++-=mx x y 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】（1） m =2，顶点坐标为：（1，4）；（2）（1，2）．【分析】（1）首先把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线32++-=mx x y ，利用待定系数法即可求得m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA +PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，继而求得答案．【解析】（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线32++-=mx x y 得：20333m =-++，解得：m =2，∴223y x x =-++ =2(1)4x --+，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA +PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，∵点C （0，3），点B （3，0），∴033k b b =+⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为：y =﹣x +3，当x =1时，y =﹣1+3=2，∴当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标为：（1，2）．考点：二次函数的性质；动点型；最值问题．19．（2016湖北省武汉市）抛物线2y ax c =+与x 轴交于A ，B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P （1，﹣3），B （4，0）． ①求该抛物线的解析式；②若D 是抛物线上一点，满足∠DPO =∠POB ，求点D 的坐标；（2）如图2，已知直线PA ，PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OE OFOC+是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）①211655y x =-；②D （﹣1，﹣3）或（114，2716- ）；（2）定值为2．【分析】（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD ∥OB ，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D 点坐标；（2）根据待定系数法，可得E 、F 点的坐标，根据分式的性质，可得答案．【解析】（1）①将P （1，﹣3），B （4，0）代入2y ax c =+，得：1603a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得：15165a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，抛物线的解析式为211655y x =-； ②如图1，由∠DPO =∠POB ，得：D P ∥OB ，D 与P 关于y 轴对称，P （1，﹣3），得D （﹣1，﹣3）；如图，D 在P 右侧，即图中D 2，则∠D 2PO ＝∠POB ，延长PD 2交x 轴于Q ，则QO ＝QP ，设Q （q ，0），则222(1)3q q -+=，解得：q ＝5，∴Q （5，0），则直线PD 2为31544y x =- ，再联立23154411655y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：x ＝1或114 ，∴ D 2（114，2716- ）． 综上所述，点D 的坐标为（-1，-3）或（114，2716- ）．（2）点P 运动时，OE OF OC +是定值，设P 点坐标为（m ，211655m -），A （﹣4，0），B （4，0），设AP 的解析式为y =kx +b ，将A 、P 点坐标代入，得：24011655k b mk b m -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得b =2464554m m -+=4(4)5m -，即E（0，4(4)5m -），设BP 的解析式为y =k 1x +b 1，将B 、P 点坐标代入，得：112114011655k b mk b m +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得b 2=2464554m m -+-=4(4)5m -+，即F （0，4(4)5m -+），OF +OE =44(4)(4)55m m --+=325，OE OF OC +=321655÷=2． 考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；定值问题；压轴题．（1）若点E 在线段CA 的延长线上，设BP =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围． （2）当BP =23时，试说明射线CA 与⊙P 是否相切． （3）连接PA ，若S △APE =18S △ABC ，求BP 的长．【答案】（1）33y x =+（0＜x ＜23；（2）相切；（3）43213353． 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC 于F ，过P 作PH ⊥AB 于H ，根据等腰三角形的性质得到CF =AC •cos 30°=6×333CEP =90°，求得CE =AC +AE =6+y ，列方程PB +CP =23(6)y x +=63332y x =-+，根据BD =2BH 3＜6，即可得到结论； （2）根据已知条件得到PE =12PC =23PB ，于是得到射线CA 与⊙P 相切； （3）D 在线段BA 上和延长线上两种情况，根据三角形的面积列方程即可得到结果．【解析】（1）过A 作AF ⊥BC 于F ，过P 作PH ⊥AB 于H ，∵∠BAC =120°，AB =AC =6，∴∠B =∠C =30°，∵PB =PD ，∴∠PDB =∠B =30°，CF =AC •cos 30°=6×3233ADE =30°，∴∠DAE =∠CPE =60°，∴∠CEP =90°，∴CE =AC +AE =6+y ，∴PC =sin 60CE =23(6)3y +，∵BC =63，∴PB +CP = 23(6)3y x ++=63，∴332y x =-+，∵BD =2BH =3x ＜6，∴x ＜23，∴x 的取值范围是0＜x ＜23； （2）相切．理由如下： ∵BP =23，∴CP =43，∴PE =12PC =23=PB ，∴射线CA 与⊙P 相切； （3）当D 点在线段BA 上时，连接AP ，∵S △ABC =12BC •AF =16332⨯⨯=93，∵S △APE =12AE •PE =12y •33×（6+y ）=18S △ABC =938，解得：y =，代入332y x =-+得x =4321-． 当D 点BA 延长线上时，PC =233EC =233（6﹣y ），∴PB +CP =x +233（6﹣y ）=63，∴332y x =-，∵∠PEC =90°，∴PE =3EC =3AC AE -=33（6﹣y ），∴S △APE =12AE •PE =12x •=12y •33（6﹣y ）=18S △ABC =938，解得y =32或92，代入332y x =-得x =33或53． 综上可得，BP 的长为4321-或33或53．考点：圆的综合题；动点型；分类讨论；压轴题．21．（2016湖南省邵阳市）已知抛物线24y ax a =-（a ＞0）与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 是抛物线上一点，且PB =AB ，∠PBA =120°，如图所示． （1）求抛物线的解析式．（2）设点M （m ，n ）为抛物线上的一个动点，且在曲线PA 上移动． ①当点M 在曲线PB 之间（含端点）移动时，是否存在点M 使△APM 的面积为532？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M 在曲线BA 之间（含端点）移动时，求|m |+|n |的最大值及取得最大值时点M 的坐标．【答案】（1）232363y x =-；（2）①存在，M （3，536）；②M （3，36-）或（3-，36-）时，|m |+|n |的最大值为736． 【分析】（1）先求出A 、B 两点坐标，然后过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，根据∠PBA =120°，PB =AB ，分别求出BC 和PC 的长度即可得出点P 的坐标，最后将点P 的坐标代入二次函数解析式即；（2）①过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交AP 于点D ，分别用含m 的式子表示点D 、M 的坐标，然后代入△APM 的面积公式12DM •AC ，根据题意列出方程求出m 的值； ②根据题意可知：n ＜0，然后对m 的值进行分类讨论，当﹣2≤m ≤0时，|m |=﹣m ；当0＜m ≤2时，|m |=m ，列出函数关系式即可求得|m |+|n |的最大值．【解析】（1）如图1，令y =0代入24y ax a =-，∴204ax a =-，∵a ＞0，∴240x -=，∴x =±2，∴A（﹣2，0），B （2，0），∴AB =4，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，∴∠PBC =180°﹣∠PBA =60°，∵PB =AB =4，∴cos ∠PBC =BCPB，∴BC =2，由勾股定理可求得：PC =23∵OC =OC +BC =4，∴P （4，23，把P （4，23代入24y ax a =-，∴23a ﹣4a ，∴a 32323y x =； （2）∵点M 在抛物线上，∴232363n m =-M 的坐标为（m ，232363m -）； ①当点M 在曲线PB 之间（含端点）移动时，∴2≤m ≤4，如图2，过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交AP 于点D ，设直线AP 的解析式为y =kx +b ，把A （﹣2，0）与P （4，23）代入y =kx +b ，得：02234k bk b=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：33233k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AP 的解析式为：32333y x =+，令x =m 代入32333y x =+，∴32333y m =+，∴D 的坐标为（m ，32333m +），∴DM =2323323()()3363m m +--=23343633m m -++，∴S △APM =12DM •AE +12DM •CE =12DM （AE +CE ）=12DM •AC =233432m m -++，当S △APM =532时，∴532=233432m m -++，∴解得m =3或m =﹣1，∵2≤m ≤4，∴m =3，此时，M 的坐标为（3，536）；考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；动点型． 22．（2016辽宁省葫芦岛市）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA =∠BDE 时，求点F 的坐标；（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN ∥x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上，点Q 在平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）21262y x x =-++，D （2，8）；（2）F （﹣1，72）或（﹣3，92-）；（3）Q （2，171-）或（2，171--）．【分析】（1）由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；（2）设线段BF 与y 轴交点为点F ′，设点F ′的坐标为（0，m ），由相似三角形的判定及性质可得出点F ′的坐标，根据点B 、F ′的坐标利用待定系数法可求出直线BF 的解析式，联立直线BF 和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F 的坐标；（3）设对角线MN 、PQ 交于点O ′，如图2所示．根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P 、Q 的位置，设出点Q 的坐标为（2，2n ），由正方形的性质可得出点M 的坐标为（2﹣n ，n ）．由点M 在抛物线图象上，即可得出关于n 的一元二次方程，解方程可求出n 值，代入点Q 的坐标即可得出结论． 【解析】（1）将点B （6，0）、C （0，6）代入212y x bx c =-++中，得：01866b c c =-++⎧⎨=⎩，解得：26b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21262y x x =-++． ∵21262y x x =-++=21(2)82x --+，∴点D 的坐标为（2，8）．（2）设线段BF 与y 轴交点为点F ′，设点F ′的坐标为（0，m ），如图1所示．∵∠F ′BO =∠FBA =∠BDE ，∠F ′OB =∠BED =90°，∴△F ′BO ∽△BDE ，∴'OF BEOB DE=． ∵点B （6，0），点D （2，8），∴点E （2，0），BE =6﹣4=4，DE =8﹣0=8，OB =6，∴OF ′=BEDE•OB =3，∴点F ′（0，3）或（0，﹣3）．设直线BF 的解析式为y =kx ±3，则有0=6k +3或0=6k ﹣3，解得：k =﹣12或k =12，∴直线BF 的解析式为132y x =-+或132y x =-．联立直线BF 与抛物线的解析式得：21321262y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩①或21321262y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩②，解方程组①得：172x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或60x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴点F 的坐标为（﹣1，72）； 解方程组②得：392x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或60x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴点F 的坐标为（﹣3，92-）． 综上可知：点F 的坐标为（﹣1，72）或（﹣3，92-）．考点：二次函数综合题；动点型；压轴题．23．（2016四川省攀枝花市）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．【答案】（1）3011；（2）4195；（3）0＜t≤1813或3011＜t≤5．【分析】（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．（3）当QC与⊙P相切时，如图2，此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴AQ ACAB OA=，∴62106t t-=，∴t=1813，∴当0＜t≤1813时，⊙P与QC只有一个交点；当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=3011，∴当3011＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤1813或3011＜t≤5．考点：圆的综合题；分类讨论；动点型；压轴题．24．（2015浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．（1）若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a＝52，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．②不存在．理由如下：∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM．∴PB：A B=CM：A C．∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM．∴∠CPM=∠PCM．∴PM=CM．∴四边形PQCM是菱形．∴PQ=CQ．∴PB=CQ．∵PB=at，CQ=BD+QD=6+t，∴PM=CQ=6+t，AP=AB－PB=10－at，且at=6+t①．∵PM∥CQ，∴PM：B C=AP：A B，∴6t10at1210+-=，化简得：6at+5t=30②．把①代入②得，t=6 11 -．∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．25．（2015广东）在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．（1）写出点A、A′、C′的坐标；（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值．。