专题三 培优点12 用“不动点法”求数列的通项公式

不动点法求数列通项的原理
不动点法求数列通项的原理是：对于某等比数列Ａa1,a2,a3…，设其
公比为q，首项为a1，那么这个等比数列的通项公式是a1q^(n-1)，也就
是可以从数列中找出一个不变的数字，即不动点。

在等比数列中，给定任
意一个数字，比如a2，它和它前面一项，也就是a1，公比可以推导出来。

即q=(a2/a1)，接下来，对于a1，a2，a3，……an，它们之间的公比q都
是不变的，也就是说，它们前后两项之间的比值是不变的，这就是不变点。

由此，通过知道首项与公比就可以确定这个等比数列的通项公式是
a1q^(n-1)。

不动点法求数列通项公式 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020不动点法求数列通项公式通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的.首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如：a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点.下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧.◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项.【说明：这题是“相异不动点”的例子.】先求不动点∵a[n+1]=2/(a[n]+1)∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】=(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2)=(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2)=(-a[n]+1)/(2a[n]+4)=(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)∵a[1]=2∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2◎例2：已知数列{a[n]}满足a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1,求通项.【说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒数的方法.】∵a[n]=2-1/a[n-1]∴采用不动点法,令：x=2-1/x即：x^2-2x+1=0∴x=1 【重合不动点】∵a[n]=2-1/a[n-1]∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1 【使用不动点】a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]两边取倒数,得：1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1)即：1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1∵a[1]=3∴{1/(a[n]-1)}是首项为1/(a[1]-1)=1/2,公差为1的等差数列即：1/(a[n]-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2∴a[n]=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)例3：已知数列{a[n]}满足a[1]=1/2,S[n]=a[n]n^2-n(n-1),求通项.【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含n的例子.】∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n将上面两式相减,得：a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1)(n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n(n+2)a[n+1]=na[n]+2a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2) 【1】采用不动点法,令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)解得：x=1 【重合不动点】设：a[n]-1=b[n],则：a[n]=b[n]+1 【使用不动点】代入【1】式,得：b[n+1]+1=(b[n]+1)n/(n+2)+2/(n+2) b[n+1]=b[n]n/(n+2)即：b[n+1]/b[n]=n/(n+2)于是：【由于右边隔行约分,多写几行看得清楚点】b[n]/b[n-1]=(n-1)/(n+1) 【这里保留分母】b[n-1]/b[n-2]=(n-2)/n 【这里保留分母】b[n-2]/b[n-3]=(n-3)/(n-1)b[n-3]/b[n-4]=(n-4)/(n-2).b[5]/b[4]=4/6b[4]/b[3]=3/5b[3]/b[2]=2/4 【这里保留分子】b[2]/b[1]=1/3 【这里保留分子】将上述各项左右各自累乘,得：b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]∵a[1]=1/2∴b[1]=a[1]-1=-1/2∴b[n]=-1/[n(n+1)]∴通项a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]◎例4：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(2a[n]+1)/3,求通项.【说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法.】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3求不动点：x=(2x+1)/3,得：x=1 【重合不动点】∴a[n+1]-1=(2a[n]+1)/3-1 【使用不动点】即：a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)∴{a[n]-1}是首项为a[1]-1=1,公比为2/3的等比数列即：a[n]-1=(2/3)^(n-1)∴a[n]=1+(2/3)^(n-1)【又】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3∴3a[n+1]=2a[n]+1这时也可以用待定系数法,甚至直接用观察法,即可得到：3a[n+1]-3=2a[n]-2∴a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)【下面同上】◎例5：已知数列{x[n]}满足x[1]=2,x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n]),求通项.【说明：现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法.】∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])∴采用不动点法,设：y=(y^2+2)/(2y)y^2=2解得不动点是：y=±√2 【相异不动点为无理数】∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2) 【使用不动点】={(x[n]^2+2)/2x[n]-√2}/{(x[n]^2+2)/2x[n]+√2}=(x[n]^2-2√2x[n]+2)/(x[n]^2+2√2x[n]+2)={(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}^2∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2∴ln{(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)}=2ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)} 【取对数】∵x[1]=2>√2∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=3-2√2∴{ln((x[n]-√2)/(x[n]+√2))}是首项为ln(3-2√2),公比为2的等比数列即：ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}=2^(n-1)ln(3-2√2)(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(3-2√2)^[2^(n-1)]x[n]-√2=(3-2√2)^[2^(n-1)](x[n]+√2)x[n]-x[n](3-2√2)^[2^(n-1)]=√2(3-2√2)^[2^(n-1)]+√2∴x[n]=√2{1+(3-2√2)^[2^(n-1)]}/{1-(3-2√2)^[2^(n-1)]}◎例6：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n]),求通项.【说明：现在举个不动点是虚数的例子,说明有些题目可以采用不动点法,但采用其他解法可能更方便.】求不动点：x=(1+x)/(1-x),即：x^2=-1,得：x[1]=i,x[2]=-i 【相异不动点为虚数,i为虚数单位】∴(a[n+1]-i)/(a[n+1]+i) 【使用不动点】={(1+a[n])/(1-a[n]-i}/{(1+a[n])/(1-a[n]+i}=(1+a[n]-i+a[n]i)/(1+a[n]+i-a[n]i)={(1+i)/(1-i)}{(a[n]-i)/(a[n]+i)}=i(a[n]-i)/(a[n]+i)∵a[1]=2∴{(a[n]-i)/(a[n]+i)}是首项为(a[1]-i)/(a[1]+i)=(2-i)/(2+i),公比为i的等比数列即：(a[n]-i)/(a[n]+i)=[(2-i)/(2+i)]i^(n-1)(a[n]-i)(2+i)=(a[n]+i)(2-i)i^(n-1)2a[n]-2i+ia[n]+1=(2a[n]+2i-ia[n]+1)i^(n-1){2+i-(2-i)(i)^(n-1)}a[n]=2i-1+(2i+1)i^(n-1)a[n]=[2i-1+(2i+1)i^(n-1)]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]∴a[n]=[2i-1+(2-i)i^n]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]【下面用“三角代换”,看看是否更巧妙一些.】∵a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n])∴令a[n]=tanθ,则a[n+1]=[tan(π/4)+tanθ]/[1-tan(π/4)tan θ]=tan(π/4+θ)∵θ=arctan(a[n]),π/4+θ=arctan(a[n+1])∴上面两式相减,得：arctan(a[n+1])-arctan(a[n])=π/4∵a[1]=2∴{arctan(a[n])}是首项为arctan(a[1])=arctan2,公差为π/4的等差数列即：arctan(a[n])=arctan2+(n-1)π/4∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]。

用不动点法求数列的通项定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.证明：因为 p 是)(x f 的不动点p b ap =+∴ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qca pca k --=）（2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则k p a p a n n +-=--111 （这里da c k +=2）证明：由x x f =)(得x dcx bax x f =++=)(，所以0)(2=--+b x a d cx（1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a pa qc a pc a qc ab qd a pc a bpd a qca pc a qdb a qc a pd b a pc a qdca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pca k --=，则q a p a k q a p a n n n n --=----11（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2=--+b p a d cp 所以ap cp pd b -=-2，cda p 2-=所以 dca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以da c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令da ck +=2，则k p a p a n n +-=--111 例1：设}{n a 满足*11,2,1N n a a a a nn n ∈+==+，求数列}{n a 的通项公式 解：作函数xx x f 2)(+=，解方程x x f =)(求出不动点1,2-==q p ，于是 12212221211+-⋅-=++-+=+-++n n n n n n n n a a a a a a a a ，逐次迭代得n n n na a a a )21(12)21(12111-=+-⋅-=+-- 由此解得nn n n n a )1(2)1(21---+=+ 例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,2211≠-==+a a a a a a a nn ，求数列}{n a 的通项公式解：作函数xa a x f 22)(-=，解方程x x f =)(求出不动点a p =，于是a a a a a a a a aa a a a a aa n n n nn n 11)(1211221+-=-=-=--=-+ 所以}1{a a n -是以a a a 111=-为首项，公差为a1的等差数列 所以a n a n a a n a a a a n =⋅-+=⋅-+-=-1)1(11)1(111，所以naa a n +=定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a fex cbx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++证明: Θk x 是)(x f 的两个不动点∴fex c bx ax x k k k k +++=2即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k∴222221211222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⇔22222112222221211222)()()()(x u x u x u x u bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔22222112222221211222)()(x u x u x u x u abx x a e u a ex b u a bx x a e u a ex b u n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-221122x aex b x aex b ⇔⎩⎨⎧=-+=-+0)2(0)2(21x e a b x e a b Θ11 21x x0≠ ∴方程组有唯一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.解:作函数为xx x f 22)(2+=,解方程x x f =)(得)(x f 的两个不动点为2±2222211)22(22222222222222+-=++-+=++-+=+-++n n nn n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a再经过反复迭代,得1122211222211)2222()22()22()22(22--+-=+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-=+-=+-----n n a a a a a a a a n n n n n n由此解得11112222)22()22()22()22(2------+-++⋅=n n n n n a其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知1,011≠>a a 且)1(4162241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.解: 作函数为)1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 33,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 423423422422411)11(146414641)1(4161)1(41611-+=+-+-++++=-+++++++=-+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n。

高中数学常用方法—利用函数的不动点求数列的通项公式1． 函数的不动点：给出函数()y f x =，满足方程0()f x x =的解0x ，称为函数()y f x =的一个不动点。

例 求函数()24f x x =-的不动点。

解：令24x x -=，解出4x =，即4是函数()24f x x =-的一个不动点。

2． 用函数的不动点求数列的通项公式：如果给出的数列的递推式中不含有自变量n 的函数()f n ，那么就可以考虑用函数的不动点法：首先求出函数的不动点，然后把递推式的两边都减去不动点，最后把递推式的两边都化为相同的形式去求数列的通项公式。

例 已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+求数列的通项公式na 。

解：因为121n na a +=+，所以211x x x =+⇒=-，两边都减去不动点1-得11211n n a a ++=++，所以可以得到112(1)n n a a ++=+，设1n na b +=，所以12n n b b +=，数列{}n a 为等比数列，故1122n n n b b -=⋅=，所以121nn na b =-=-。

例 已知数列{}na 中，11a =，1112n n aa +=+求数列的通项公式na 。

解：因为1112n n aa +=+，所以1122x x x =+⇒=，两边都减去不动点2得12212n n aa +-=+-，所以可以得到112(2)2n n aa +-=-，设2nna b -=，所以112n nb b +=，故111122n nn b b --⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，所以1222nnn ab -=+=-。

3．定理1：若函数(),01f x ax b a a =+≠≠且，p 是函数()f x ax b=+的一个不动点，即()f p p =，如果数列{}nx 满足递推关系1(),1nn x f x n -=>，则1()nn x p a x p --=-。

用不动点法求数列的通项欧阳光明(2021.03. 07)定义：方程fW = x的根称为函数/(X)的不动点.利用递推数列/⑴的不动点，可将某些递推关系© =/(«…_.)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1 ：若f(x)=ax+b(a^O t a^\), p是/(x)的不动点，％满足递推关系a n = («> 1),则a n~P = «(«n-i - P),即｛〜- 〃｝是公比为a的等比数列.证明：因为"是/⑴的不动点••• h-p = -up由a n = a -a n_x + Z?得a n -p = a-a n_} +b-p =a{a n_x - p) 所以心- 〃｝杲公比为。

的等比数列.定理 2 :设f(x) = O,cul-hc 0) , ｛a…｝满足递推关系cx +aa” = > 1,初值条件 5 丰/(«,)(1)：若/(X)有两个相异的不动点阳, 则哥(这里(2):若加只有唯-不动点P,则古=古+“(这里证明：由f(x) = x得/(切=竺二=X,所以cF +(d-a)x-b = 0 cx + d (1)因为几g是不动点，所以/璟欧阳光明末创编2021.03.07P= =><q =•所以a _pcqd b璟欧阳光明末创编2021.03.07末欧阳光明末创编2021.03.07璟欧阳光明末创编2021.03.07心-i + b------ _ P5 _ p = Si + d = (G _ pc)g +b — M = u 一 pc 5 -q 叫I + b _q (a-qc)“”T +b-qd a-qc+ d令“u,则g 』—a_qc j_q n q⑵因为卩是方程+(d-a)x-b = 0的唯一解，所以ch +(d-a)p-b = 0 所以b _ pd = cphp , p = ^L 所以2c_ 叫i +b _(a-cp)a n ^ +b-pd _ (a 一cp)a n ^ + cp 2一ap _(a-cp)(a n ^ 一p)% — p = ---- — p = ----------- = --------------- = ------------ca n ^ + d ca n ^ + d 5-i + d c% + d所以1_ 1 ca n ^ + 〃 _ 1c(d —[ 一 p) + d + cp _ c d + cp 1 _ 1心一“ a _ cp %】—〃 a - cp - p u_cp a-cp a,^ - p 如一卩令 k = , 贝[J 一!一 = ! + ka + d a n 一 p a n _｛ 一 p例1：设｛"”｝满足叮1,%严心,"M,求数列心的通项公式例2：数列｛〜｝满足下列关系：«! =2a,a n+l =2«-—,6/^0,求数列｛"”｝的 通项公式定理3：设函数心)=亦+/：+.“°,£H0)有两个不同的不动点龙严，ex + J且由u n+l =f(u…)确定着数歹II ｛“”｝，那么当且仅当b = 0,e = 2a 时.厶匚1 =(色匚土)2%] _ 工2 5 _ 工2 证明:•••忑杲f(x)的两个不动点pd b ci _ qcP"i _ q末欧阳光明末创编2021.03.07 x k = —~~ " §D c — x k f = (e — a)x k2 -bx k (k = 1,2) % +f璟欧阳光明末创编2021.03.07赚欧阳光明床创编2021.03.07叫田一刃=0冷2+/?匕+0 —吗(纨仏+/)=叫2+(S J+C-%J=dl< + (b_仅])匕 +2_d)X]2 _吠叫田一H 血 +bu fJ +c-x2(eu fj+f) au^ +(b-ex2)u n +c-x2f aii^ +(b-ex2)i｛n +(e-a)x^-bx2于是，••• 5 H 0 •••方程组有唯一解"=0" 2“1 X2例3:已知数列0｝中“ =2,% = 半,"，求数列｛殆的通项.其实不动点法除了解决上廂所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题：例4 :已知①> 0,q H 1且弘=，求数列⑷｝的通项.他(吋+1)解：作函数为/(X)= J，解方程f M = x得f(x)的不动点为4x( jr +1)“ =-1宀=1，® 一¥'宀•取"T，0= T作如下代换：4T JH-I逐次迭代后，得“=(y w (m+iy* -(q-i)“己知曲线C n .x2-2nx + y2 = 0(// = 1,2,...).从点P(-1,0)向曲线C“引斜率为忍伙” > 0)的切线/” ,切点为P…(x nt y…).(1 )求数列心与｛儿｝的通项公式;(2 )证明:设P，彳为实数，a，0是方程x2-px + q = 0的两个实根，数列｛兀｝满足州=/儿x2 = p2-q 9x… = px n_｝ -qx n_2(“ = 3,4,…).(1 )证明：a + /3= p9 c(P = q；(2)求数列｛兀J的通项公式；(3)若p = l, q = t，求｛£｝的前 "项和S n.己知函数f(x) = x2+x-\, a, 0是方程f(x) = 0的两个根(a>0), f(x)床欧阳光明床创编是/(X)的导数，设⑷=1, 5+1 = 4“ 一= 1'2,…)・*欧阳光明*创编2021.03.072021.03.07*欧阳光明*创编2021.03.07f g(1) 求0 0的值；(2) 证明：对任意的正整数“，都有a fl >a ； (3) 记^=lnj^(n = l,2,..),求数列他｝的前门页和S”13陕西文21.(本小题满分12分)已知数列匕｝满足， «!=1-a 2 = 2,a 卄2= %1 :心,n e N'. (I)令乞=%-a… ,证明:｛加是等比数列；(II)求｛%｝的通项公式。

高中数学常用方法—利用函数的不动点求数列的通项公式1． 函数的不动点：给出函数 yf (x) ，满足方程 f ( x 0 ) x 0 的解 x 0 ，称为函数 yf ( x) 的一个不动点。

例 求函数 f ( x) 2x 4 的不动点。

解：令 2x4 x ，解出 x4 ，即 4 是函数 f ( x)2x 4 的一个不动点。

2． 用函数的不动点求数列的通项公式： 如果给出的数列的递推式中不含有自变量n 的函数 f ( n) ，那么就可以考虑用函数的不动点法：首先求出函数的不动点，然后把递推式的两边都减去不动点，最后把递推式的两边都化为相同的形式去求数列的通项公式。

例已知数列a n中， a 1 1， a n 1 2a n 1 求数列的通项公式 a n 。

解：因为 a n12a n 1 ，所以 x 2 x 1 x1，两边都减去不动点1 得 a n 1 1 2a n 1 1 ，所以可以得到an 11 2(a n 1) ， 设 a n 1 b n ， 所 以 b n 1 2b n ， 数 列 a n 为 等 比 数 列 ， 故 b n b 1 2n12n， 所 以a nb n 1 n。

21例已知数列n中， a 11， a n 11a n 1求数列的通项公式 a n 。

a2解：因为 a n11a n 1 ，所以 x1x 1x 2 ，两边都减去不动点2 得 a n 12 2a n 1 2 ，所以可以得到2 2111 n 1an 122 b n ，所以 b n 1b n b 11 n ，所以a n2 b n 21 n 。

(a n 2) ，设 a nb n ，故2222231：若函数 f ( x) ax b, a 0且 a 1ax b 的一个不动点，即f ( p)p ，如果数列．定理， p 是函数 f ( x)x n 满足递推关系 x nf (x n 1 ), n 1，则 x n p a( x n 1 p) 。

4． 定理 2 ：设 f ( x)ax b c 0, adbc 0 ，数列x 满足递推关系xf ( x 1 ), n 1 ，且初始值cx dnnnx 1 f ( x 1 ) ，如果函数 f ( x) ax bx n p kxn 1p ，这里 ka pc有两个相异的不动点p, q ，则qxn 1q，也就是cx dx na qc说数列x n p 是以 k 为公比的等比数列；如果函数 f (x)axb只有唯一的不动点 p ，则 11k ，x n qcx dx n p x n 1p这里 k2c ，即数列 1 是以 k 为公差的等差数列。

高三理科培优：用不动点法求数列的通项公式 （一）对于数列⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅++⋅==--)2(,1111n d a c b a a a a a n n n ，函数d cx b ax x f ++=)(， 结论1、若函数)(x f 有两个相异的不动点q p ,，即方程0)(2=--+b x a d cx 有两个相异实根q p ,，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--q a p a n n 是以q a p a --11为首项，以cq a cp a --为公比的等比数列。

结论2、若函数)(x f 只有唯一的不动点p ，即方程0)(2=--+b x a d cx 只有唯一实根p ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p a n 1是以p a -11为首项，以d a c +2为公差的等差数列。

练习1、已知数列{}n a 中，*111,2,3553,2N n n a a a a n n n ∈≥++==--，求数列{}n a 的通项公式。

练习2、已知数列{}n a 中，*111,2,214,2N n n a a a a n n n ∈≥+-==--，求数列{}n a 的通项公式。

（二）对于数列⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅++⋅==--)2(,211211n c a a b a a a a a n n n ，函数c ax b ax x f ++=2)(2， 结论3、若上述函数cax b ax x f ++=2)(2有两个相异的不动点q p ,，即方程02=-+b cx ax 有两个相异实根q p ,，则有*211,2,N n n q a p a q a p a n n n n ∈≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=----结论4、若上述函数cax b ax x f ++=2)(2只有唯一一个不动点p ，即方程02=-+b cx ax 只有唯一一个实根a c p 2-=，则有数列{}p a n -是以p a -1为首项，以21为公比的等比数列。

练习3、已知数列{}n a 中，*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+，求数列{}n a 的通项公式。

不动点方法求数列通项定义：对函数()y f x =，若存在0x 满足()00f x x =，那么称0x 为函数的不动点。

下面介绍不同几类的数列的通项求法。

1． 1n n a pa q +=+，()0,1p p ≠≠设()f x px q =+，将1n n a pa q +=+看做()1n n a f a +=。

计算()f x x =可得不动点01q x p =-，构造1n n q b a p=--。

将n b 代入n a 的表达式中可得1n n b pb +=是一个等比数列。

由此可得：11n n b p b -=，故1111n n q qa p a p p -⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭2． 1n n n aa ba ca d++=+，()0c ≠且1a b c d =。

若0a b c d ≠可以通过上下同除一个常数使得行列式为1。

设()ax b f x cx d +=+，计算不动点可得方程ax bx cx d+=+，对于方程()20cx d a x b +--=。

因此，对于不动点的结构而言，有三种不同情况。

情况一： 方程有两个不同的实数根，记作12,λλ。

那么构造12n n n a b a λλ-=-，可得1n n b b λ+=。

这里λ=或者λ=，到底取哪个值与n b 的构造方法有关。

由此可得11n n b b λ-=，所以1111212n n n a a a a λλλλλ-⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，所以()()()11111211211n n n a a a a λλλλλλλλ--⎛⎫-=+- ⎪ ⎪---⎝⎭情况二：方程有两个相同实数根，记作122a d c λλ-==，此时2a d +=。

故11a cλ-=那么构造11n n b a λ=-。

可得1n n b b c +=+。

所以()11n b b n c =+-。

()111111n n c a a λλ=+---，所以()111111n a n c a λλ-=+--情况三：方程有两个共轭虚根。

用不动点法求数列的通项之蔡仲巾千创作定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.证明：因为 p 是)(x f 的不动点ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则qa pa k q a p a n n n n --⋅=----11（这里qca pca k --=）（2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则k pa p a n n +-=--111 （这里da ck +=2）证明：由x x f =)(得x dcx bax x f =++=)(，所以0)(2=--+b x a d cx（1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=qc a bqd q pc a b pd p ，所以q a pa qc a pc a qc ab qd a pc a bpd a qca pc a qdb a qc a pd b a pc a qdca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pca k --=，则qa p a k q a p a n n n n --=----11（2）因为p是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2=--+b p a d cp所以ap cp pd b -=-2，cda p 2-=所以dca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以da c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令da ck +=2，则k pa p a n n +-=--111例1：设}{n a 满足*11,2,1N n a a a a nn n ∈+==+，求数列}{n a 的通项公式 例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,2211≠-==+a a a a a a a nn ，求数列}{n a 的通项公式 定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a fex c bx ax x f 有两个分歧的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++证明: k x 是)(x f 的两个不动点∴fex cbx ax x k k kk +++=2即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k ∴222221211222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,1121x x 0≠∴方程组有唯一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:例4：已知1,011≠>a a 且)1(4162241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.解: 作函数为)1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 33,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<< 设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ．已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln(12)n n n a b n a βα-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足，*11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

用不动点法求数列的通项定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.证明：因为p 是)(x f 的不动点pb ap =+∴ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---所以}{p a n -是公比为a 的等比数列.定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则qa pa k q a p a n n n n --⋅=----11（这里qca pca k --=）（2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则k pa p a n n +-=--111（这里da ck +=2）证明：由x x f =)(得x dcx bax x f =++=)(，所以0)(2=--+b x a d cx （1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以q a pa qc a pc a qc ab qd a pc a bpd a qca pc a qdb a qc a pd b a pc a qdca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qca pca k --=，则q a p a k q a p a n n n n --=----11（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2=--+b p a d cp 所以ap cp pd b -=-2，cda p 2-=所以dca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以da c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令d a c k +=2，则k pa p a n n +-=--111例1：设}{n a 满足*11,2,1N n a a a a nn n ∈+==+，求数列}{n a 的通项公式例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,2211≠-==+a a a a a a a nn ，求数列}{n a 的通项公式定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a f ex cbx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++证明: k x 是)(x f 的两个不动点∴f ex c bx ax x k k kk +++=2即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k ∴222221211222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,2212111(x u x u x u x u n n n n --=--++⇔22222112222221211222)()()()(x u x u x u x u bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+⇔22222112222221211222)()(x u x u x u x u abx x a e u a ex b u a bx x a e u a ex b u n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-221122x aex b x a ex b ⇔⎩⎨⎧=-+=-+0)2(0)2(21x e a b x e a b 1121x x 0≠∴方程组有唯一解ae b 2,0==例3：已知数列}{n a 中,*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:例4：已知1,011≠>a a 且)1(4162241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.解:作函数为)1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为i x i x x x 33,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换:42342342242241111(146414641)1(4161)1(41611-+=+-+-++++=-+++++++=-+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n 已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521nn nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<< 设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ．已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-=' ，，．（1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>；（3）记ln(12)n n n a b n a βα-==- ，，，求数列{}n b 的前n 项和nS 13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足，*11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

巧用不动点法求数列的通项公式不动点法是解决函数方程和递归式问题的一种有效方法。

在数学中，如果一个函数f(x) 恰好等于x，那么x 就是这个函数的不动点。

巧用不动点法，我们也可以用来求解数列的通项公式。

通过这种方法，我们可以更加轻松地理解与求解数列的通项公式。

一、不动点法的概念及定理：不动点法早在古希腊数学家Euclid时代就已经被使用，但真正的发展是在20世纪50年代，康托尔和斯考特对其进行了重要的发展。

不动点法主要应用于非线性方程及函数不动点领域。

在数学中，一个函数的不动点是指一个值x，满足f(x) = x。

这个概念的重要性体现在不动点存在定理上。

这个定理告诉我们，任何连续、紧、单调的函数都有一个不动点。

这个定理的应用范围极广，包括了不少基本的方程难题。

二、利用不动点法求解数列的通项公式的思路：利用不动点法求解数列的通项公式，我们首先要找到数列中存在的不动点。

对于一个数列{a1, a2, a3, ...} ，我们可以对其进行递推求解，得到{a1, a2, a3, ...} 的确切关系式（称为递推式），然后你可以进行转化以便寻找不动点。

我们要利用某些方法来确定这个递推式的不动点，即一个数x等于这个数列中每一项。

(即满足a(x)=x)。

最终我们可以得到一个只含有x的方程，此方程就是这个数列的通项公式。

三、一个示例：举一个最简单的例子。

有一个数列{1, 2, 3, 4, 5, ...}，这个数列的递推式为an = an-1 + 1，即每一项是前一项加1。

我们尝试用不动点法来计算这个数列的通项公式。

首先对这个数列进行递推，我们可以得到an = a1 + (n - 1)，即第n项等于首项加上公差乘以n-1。

到这里我们已经成功地将递推式从" an = an-1 + 1 " 修改为" an = a1 + (n-1) "。

接下来，我们要寻找这个递推式的不动点。

将an+1 = a1 + n 代入an = a1 + (n - 1) 中，可以得到a1 + n = a1 + (n - 1) + 1 ,消去a1 ，我们可以得到n =n。

用不动点法求数列的通项定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.证明：因为 p 是)(x f 的不动点ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---所以}{p a n -是公比为a 的等比数列.定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx b ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qca pc a k --=） （2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则k p a p a n n +-=--111 （这里da c k +=2） 证明：由x x f =)(得x dcx b ax x f =++=)(，所以0)(2=--+b x a d cx （1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a p a qc a pc a qc a b qd a pc a b pd a qc a pc a qd b a qc a pd b a pc a q dca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qca pc a k --=，则q a p a k q a p a n n n n --=----11 （2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2=--+b p a d cp所以ap cp pd b -=-2，cd a p 2-=所以 dca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以da c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令da c k +=2，则k p a p a n n +-=--111 例1：设}{n a 满足*11,2,1N n a a a a n n n ∈+==+，求数列}{n a 的通项公式 例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,2211≠-==+a a a a a a a nn ，求数列}{n a 的通项公式 定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a fex c bx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++ 证明: k x 是)(x f 的两个不动点 ∴fex c bx ax x k k k k +++=2即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k ∴222221211222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是, 11 21x x 0≠ ∴方程组有唯一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项. 其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:例4：已知1,011≠>a a 且)1(4162241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.解: 作函数为)1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 33,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nx x x x x y -⋅⋅⋅⋅<< 设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ． 已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln (12)n n n a b n a βα-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S 13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足，*11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。