高中数学必修二期中考试卷

【压轴卷】高中必修二数学下期中第一次模拟试题(及答案)(1)一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面2．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．42B ．32C ．322D ．22 3．若直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则a 的值为（ ） A ．1-或2B ．1-C ．2D ．不存在 4．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D ．415．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 6．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π7．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+258．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．15B ．5C ．64D ．10 9．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．160 10．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF，则1AF FA 的值为( )A ．1B ．12或2C ．22或2D ．13或3 二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v ，则点A 的横坐标为________．14．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.15．若直线y x b =+与曲线234y x x =+-有公共点，则b 的取值范围是______． 16．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．17．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。

【压轴卷】高中必修二数学下期中模拟试题附答案(1)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ） A ．2732B ．1086+ C ．166+ D ．322166+3．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．644．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．46．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm8．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26B ．5C ．26D ．42+9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．3010．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763 B ．1603C ．1283D ．3211．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56πC ．14πD ．64π12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 二、填空题13．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.14．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.16．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．17．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.18．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．19．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.20．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题21．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．22．如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=︒==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.（1）求证：PD MCE ∥平面；（2）若PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积. 23．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．24．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.25．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）．26．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC ⊥平面11AA B B ； （2）证明：//DE 平面ABC .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．D解析：D 【解析】 【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值. 【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=， 设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+= 所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(1132216644264232+⨯⨯⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．3．A解析：A 【解析】 【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O . 则2a OA =,1PO ⊥平面ABCD . 则22211OO O A OA +=,即()2222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=-令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．4．B解析：B 【解析】 【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故2222000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题． 【详解】解：根据题意作出图形： 设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．6．C解析：C 【解析】 【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.8．A解析：A 【解析】 【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=. 故选:A. 【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．10．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．11．C解析：C 【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．B解析：B 【解析】 【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ， 所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143xx ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AFFA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=【解析】 【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.14．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD ⊥平面ADC 可推知BD ⊥AC 数量积为零②由折叠后AB ＝AC ＝BC 三角形为等边三角形得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC 根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③ 【解析】 【分析】①由折叠的原理，可知BD ⊥平面ADC ，可推知BD ⊥AC ，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC ＝BC ，三角形为等边三角形，得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC ，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC 和平面ABC 不垂直． 【详解】BD ⊥平面ADC ，⇒BD ⊥AC ，①错； AB ＝AC ＝BC ，②对；DA ＝DB ＝DC ，结合②，③对④错． 故答案为②③ 【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．15．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角【解析】 【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离. 【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，11,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题. 16．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半解析：360π【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k，下底半径为3k，由因为母线与底面的夹角是60o，得到母线长为2k，高为3k.就可以根据轴截面的面积k=，代公式求出侧面积即可.解出6【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k，下底半径为3k，由于母线与底面的夹角是60o，所以母线长为2k3k.由于轴截面的面积为1803， 所以()46318032k k k+⨯=，解得6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12. 所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=. 故答案为：360π 【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.17．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：26+ 【解析】 【分析】首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解．【详解】在POB V 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '， 使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='， 所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点， 从而2626222OC OE EC ''=+=+= 亦即CE OE +26+ 26+【点睛】本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．18．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4 【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,, 当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥所以切线长的最小值为=4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.19．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】【解析】 【分析】将y y =()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC =+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：y ==()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC +，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，1BA ==min y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.20．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：1515,1515⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=Q ，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴211k +解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．三、解答题21．（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）存在，77k -≤≤或34k =±． 【解析】 【分析】（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴11⋅=-C M AB k k 即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,33F ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆L 相切时，由223402321k k⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+得34k =±，又202357554DE DFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当332525,,44k ⎡⎤⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦U 时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点． 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程 22．（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，易知底面EBCD 是平行四边形，则O 为BD 中点，又M 是BP 中点，可知PD MO P ，则结论可证.（2）先证明ADE V 是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得PD ⊥平面BCDE ，则由（1）可知MN ⊥平面BCDE ，则MN 为三棱锥M BCE -的高，底面BCE V 的面积容易求得，根据公式求三棱锥M BCE -的体积. 【详解】（1）在平面图中，因为12BE AB CD ==且//BE CD ， 所以四边形EBCD 是平行四边形； 在立体图中，连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，所以点O 是BD 的中点，又因为点M 为棱PB 的中点，所以//OM PD ，因为PD ⊄平面MCE ，OM ⊂平面MCE ，所以//PD 平面MCE ；（2）在平面图中，因为EBCD 是平行四边形，所以DE BC =，因为四边形ABCD 是等腰梯形， 所以AD BC =，所以AD DE =，因为45BAD ∠=︒，所以AD DE ⊥；在立体图中，PD DE ⊥，又平面PDE ⊥平面EBCD ，且平面PDE ⋂平面EBCD DE =，PD ⊂平面PDE 所以PD ⊥平面EBCD ，由（1）知//OM PD ，所以OM ⊥平面EBCD ，在等腰直角三角形ADE 中，因为2AE =，所以2AD DE ==所以11222OM PD AD ===，又1BCE ADE S S ∆∆==， 所以1236M BCE BCE V S OM -∆=⋅⋅=. 【点睛】本题考查平面几何与立体几何的关系，线面平行的证明，面面垂直的性质等，有一定的综合性，属中等题.23．（1）34230x y --=; （2）4310x y ++=.【解析】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=.试题解析：（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --= （2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++= 24．（1）见解析（2）存在点G 且1EG =满足条件.【解析】试题分析：（1）根据//,//DE AF AB CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，设EG t =，求得几何体GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM --，利用t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t 的值. 试题解析：解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=， 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值. 25．（1）750x y +-=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求直线CD的方程，只需确定C，D坐标即可：34 (,)55C-，(5,0)D，直线CD的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线CD的方程为750x y+-=．（2）证明动圆过定点，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：22+0x y Dx Ey F+++=设(3,4)(01)C m m m-<≤，则D(5+4,0)m，从而()()2220,{916340,54540.Fm m mD mE Fm m D F=+-++=++++=解之得(54),0D m F=-+=,103E m=--,整理得22435(2)0x y x y m x y+---+=，所以△OCD的外接圆恒过定点为(2,1)-．试题解析：（1）因为(3,4)A-，所以22(3)45OA=-+=， 1分又因为4AC=，所以1OC=，所以34(,)55C-， 3分由4BD=，得(5,0)D， 4分所以直线CD的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 5分所以直线CD的方程为1(5)7y x=--，即750x y+-=． 6分（2）设(3,4)(01)C m m m-<≤，则5OC m=． 7分则55AC OA OC m=-=-，因为AC BD=，所以5+4OD OB BD m=-=，所以D点的坐标为(5+4,0)m8分又设OCD∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F+++=，则有()()2220,{916340,54540.Fm m mD mE Fm m D F=+-++=++++=10分解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=， 12分整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=， 令2243=0,{+2=0x y x y x y +--，所以0,{0.x y ==（舍）或2,{ 1.x y ==- 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-． 14分考点：直线与圆方程26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过证明1A A AC ⊥和AB AC ⊥，即可证得AC ⊥平面11AA B B ；（2）通过证明//DE AO ，即可证得//DE 平面ABC .【详解】（1）由题，得1A A ⊥平面ABC ，所以1A A AC ⊥，又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥，因为1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ；（2）连接,OE OA ，因为,E O 分别为1,B C BC 的中点，所以1//OE BB 且112OE BB =， 易得1//AD BB 且112AD BB =， 所以//AD OE 且AD OE =，所以四边形OADE 为平行四边形，则//DE AO ，因为AO ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，DE平面ABC.所以//【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.。

【典型题】高中必修二数学下期中一模试题(带答案)一、选择题1．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π 2．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2 3．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π4．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在 5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1 6．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D 417．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．92πC ．18πD ．40π 9．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C ．26D ．42+10．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π11．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.14．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。

2020年温州市高中必修二数学下期中第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．26B ．36C ．23D ．223．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<4．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C 3D ．3 5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或16．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A 31+ B 31C 2D 51- 7．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=2，则a 的值为( ) A ．-2或2B ．12或32C ．2或0D ．-2或08．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．16010．如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立11．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 二、填空题13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．14．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________. 15．若圆的方程为2223()(1)124kx y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．16．已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________. 17．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60o ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与CD 所成的角为60o ④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒ 则上面结论正确的为_______．18．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.20．已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥；（2）E 是侧棱PC 上一点，记PEPCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 22．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为22)4πρθ=-.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度.24．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.25．已知过点()0,2P -的圆M 的圆心(),0a 在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为22．（1）求M 的标准方程；（2）若过点()0,1Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A 、B 两点，若PAB △的面积为33，求直线l 的方程．26．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ， 延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴11613OO =-=∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34，∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积． 【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．3．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.4．A解析：A 【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则PM =又1122MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．5．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c=且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率. 【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥， 又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-， 在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=， 即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212e -==， 故选：B 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值即可. 【详解】把圆的方程化为标准式为:22(1)(2)5x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2).则圆心到直线0x y a -+=的距离2d ==, 即11a -=,化简得11a -=或11a -=-,解得:2a =或0a =. 所以a 的值为0或2. 故选C. 【点睛】本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值.8．B解析：B 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．9．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥， 在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-= 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.10．C解析：C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．【详解】正四面体ABCD中，,E F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，⊥成立，故A错误；在A中，不存在点G，使PG EF⊥成立，故B错误；在B中，不存在点G，使FG EP在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．11．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.12．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为 解析：62【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 距离最小，易知最小值为6214．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切． ()()22232122a a ---+-=，∴a=1或9，a=1时，2，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程 15．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程解析：(0,1)-，1【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大，此时0k =()2211x y ∴++=，所以圆心为(0,1)-半径为1考点：圆的方程 16．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的30y +-=【解析】【分析】先求出k OA ，从而圆O 在点(处的切线的方程的斜率k = ，由此能出圆O在点A 处的切线的方程．【详解】k OA =O 在点(处的切线的方程的斜率k =，∴圆O 在点A (处的切线的方程1y x =-） ，30y +-=．30y +-=.【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题. 17．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E 是BD 的中点易得∠AED ＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB 与平面BCD解析：②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．【详解】作出如图的图象，E是BD的中点，易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角B AC D--的平面角，又BH=DH=32AC,BD=2,AC cos∠BHD=-1,3故二面角B AC D--不是120︒综上知②③④是正确的故答案为②③④【点睛】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．18．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥所以切线长的最小值为=4.故答案为4 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.19．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43π 【解析】【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .【详解】PA ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥I 平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π. 【点睛】 本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.20．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以解析：25x y +=【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上，再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值，即得过点A 的圆的切线方程.【详解】因为22125+=，所以点()1,2A 在圆上，设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0,12k =∴=-， 所以切线方程为112022x y --++=， 所以切线方程为25x y +=， 故答案为：25x y +=【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）34. 【解析】【分析】（1）证明AD BD ⊥，利用平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，可得AD ⊥平面PBD ，从而AD PB ⊥；（2）作//EF BC ，交PB 于点F ，连接AF ，连接DF ，PBD ∆中，由余弦定理求得cos BPD ∠=【详解】 （1）证明：在ABD △中，2AD =Q ，4AB =，60BAD ∠=︒，∴由余弦定理可得BD =222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥.∵平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，AD ∴⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBDAD PB ∴⊥.（2）解：作//EF BC ，交PB 于点F ，连接AF ，由////EF BC AD 可知A ，D ，E ，F 四点共面，连接DF ，所以由（1）的结论可知，PB ⊥平面ADE ，当且仅当PB DF ⊥. 在PBD △中，由4PB =，23BD =25PD = 余弦定理求得cos 25BPD ∠=，∴在Rt PDF V中，cos 3PF PD BPD =∠=， 因此34PE PF PC PB λ=== 【点睛】 本题考查立体几何有关知识，考查线面、面面垂直，考查运算能力，属于中档题．22．（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【分析】【详解】分析：（1）先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明．（2）判断出P 为AM 中点，，证明MC ∥OP ，然后进行证明即可．详解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．因为M 为»CD上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ．而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．（2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．23．（1）22220x y x y +--=；（27【解析】【分析】 （1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线C 的直角坐标方程； （2）把直线参数方程化为普通方程，曲线C 是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．【详解】（1）因为22)4πρθ=-，所以()22cos cos sin sin 2cos sin 44ππρθθθθ⎫=+=+⎪⎭ 即()22cos sin ρρθρθ=+.因为222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，所以222()x y x y +=+，所以曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= （2）因为直线l 的参数方程为32112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以333(3)3x -=-= 所以l 的直角坐标方程为330x -+=所以圆心()1,1到直线l 的距离()21331213d -+==+， 所以21222274AB d =-=-=AB 7 【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．24．（1）见解析（2）存在点G 且1EG =满足条件.【解析】试题分析：（1）根据//,//DE AF AB CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，设EG t =，求得几何体GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM --，利用t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t 的值.试题解析：解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=， 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值.25．（1）224x y +=；（2）1y =.【解析】【分析】（1）根据题意可得圆M 的方程为()2224x a y a -+=+，求出圆心到直线20x y +-=的距离，结合M 截直线20x y +-=所得弦长为利用勾股定理列方程可得a 的值，代入圆M 的方程即可得结果；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，结合直线与圆的位置关系可得AB 的值，求出点P 到直线AB的距离，由三角形面积公式可得21321d AB k⨯⨯=⨯=+'k 的值，代入直线l 的方程即可得结果． 【详解】（1）根据题意，圆M 的圆心(),0a 且经过点()0,2-，则圆M 的方程为()2224x a y a -+=+，圆心M 到直线20x y +-=的距离d =，若圆M 截直线20x y +-=所得弦长为则有22242a ⎛+=+ ⎝⎭， 解可得：0a =，则2244r a =+=，则圆M 的方程为224x y +=；（2）根据题意，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，圆M 的方程为224x y +=，则圆心M 到直线l的距离d =，则2AB == 又由()0,2P -，则P 到直线l的距离'd ==，若PAB △的面积为132d AB ⨯⨯==' 解可得：0k =，则直线l 的方程为1y =．【点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆方的位置关系，以及点到直线的距离公式与三角形面积公式的应用，涉及直线与圆相交弦长的计算，属于基础题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.26．（1）①l α⊂；②m α⊄；③m A α=I ；④A l ∉，示意图答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，作出示意图即可；（2）根据题意，作出示意图即可.【详解】（1）l α⊂；m α⊄；m A α=I ；A l ∉；示意图如下：（2）如图，直线IL 即为所求.【点睛】本题考查了空间点､线､面之间的位置关系，属于基础题.。

2020-2021北京市⾼中必修⼆数学下期中第⼀次模拟试卷附答案2020-2021北京市⾼中必修⼆数学下期中第⼀次模拟试卷附答案⼀、选择题1．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平⾯ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表⾯积为（） A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π2．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ?⾯积的最⼤值是（）A ．32-B ．4C ．6D ．32+3．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球⾯上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三⾓形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．44．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（） A ．－3B ．－4C ．－6D ．36-5．如图，已知正⽅体1111ABCD A B C D -中，异⾯直线1AD 与1A C 所成的⾓的⼤⼩是()A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o6．已知⼀个三棱锥的三视图如图所⽰，其中俯视图是等腰直⾓三⾓形，则该三棱锥的外接球表⾯积为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π7．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表⾯上，ABC ?是边长为43的等边三⾓形，SA ⊥平⾯ABC ，且SB 与平⾯ABC 所成的⾓为6π，则球O 的表⾯积为（） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π8．某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b10．已知实数,x y 满⾜250x y ++=，那么22x y +的最⼩值为（） A ．5B ．10C ．25D ．21011．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球⼼的球⾯上，且2AB =，4AC =，25BC =,三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表⾯积为（） A ．22πB ．743πC ．24πD ．36π12．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多⾯体的三视图，则该多⾯体的体积为（）A ．64B ．643C ．16D ．163⼆、填空题13．如图，在长⽅形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上⼀动点，现将AFD V 沿AF 折起，使平⾯ABD ⊥平⾯ABC ，在平⾯ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂⾜，设AK t =，则t 的取值范围是__________．14．过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线⽅程为____________．15．⼀个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表⾯上，则球O 的表⾯积为________16．若圆1C ：220x y ax by c ++++=与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.17．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______． 18．⼩明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的⼏何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22，类似地，他研究了函数()32x g x x -=-，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____19．已知棱长等于23的正⽅体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球⼼为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平⾯截球O 的截⾯⾯积的最⼩值为________.20．如图所⽰，⼆⾯⾓l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平⾯内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥⾯ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=?，M 为BC 的中点．（1）求证：平⾯PDM ⊥平⾯PAM ；（2）若⼆⾯⾓P DM A --为30°，求直线PC 与平⾯PDM 所成⾓的正弦值． 22．如图，四棱锥P －ABCD 的底⾯ABCD 是平⾏四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，PA ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平⾯PAB ；（2）若⼆⾯⾓P －AD －B 为60°．①证明：平⾯PBC ⊥平⾯ABCD ；②求直线EF 与平⾯PBC 所成⾓的正弦值．23．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ?沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平⾯PBD ⊥平⾯BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上⼀点，且2BM CM =，求证：//OM 平⾯PCD .24．已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满⾜AC BD = （1）若4,AC =求直线CD 的⽅程；（2）证明：OCD ?的外接圆恒过定点（异于原点）．25．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最⼤时直线1l 的⽅程. 26．已知三⾓形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-；（1）求直线AB ⽅程的⼀般式；（2）证明△ABC 为直⾓三⾓形；（3）求△ABC 外接圆⽅程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除⼀、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽⾼的长⽅体的外接球，从⽽可得球半径，进⽽可得结果.详解：因为PA ⊥平⾯AB ，,AB BC ?平⾯ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽⾼的长⽅体的外接球，外接球的直径等于长⽅体的对⾓线，即2R ==246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表⾯积的求法，属于难题.要求外接球的表⾯积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见⽅法有：①若三条棱两垂直则⽤22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥⾯ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ?外接圆半径）③可以转化为长⽅体的外接球；④特殊⼏何体可以直接找出球⼼和半径.2．D解析：D 【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆⼼在该直线上，从⽽求出圆⼼坐标与半径，要使得PAB ?⾯积最⼤，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最⼤，所以⾼最⼤1+，PAB S ?最⼤值为3 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆⼼（-2k，0）在直线x-y-1=0上，∴-2k-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆⼼坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的⽅程为2x -+2y=1，即x-y+2=0∴圆⼼到直线AB 的距离为2.∴△PAB ⾯积的最⼤值是1321322||(1)222222AB ++=??=3+2 故选D ．【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最⼤距离.⽽圆上动点到定直线的最⼩距离为圆⼼到直线距离减去半径，最⼤距离为圆⼼到直线距离加上半径.3．C解析：C 【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利⽤截⾯的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个⼩三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从⽽建⽴关于r 的⽅程，即可求出r ，从⽽解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球⼼为O ，球的半径r ．SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平⾯AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个⼩三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+==三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多⾯体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个⼩三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．4．A解析：A 【解析】【分析】求出圆⼼坐标和半径，根据圆的弦长公式，进⾏求解即可. 【详解】由题意，根据圆的⽅程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆⼼坐标为(1,1)-，半径1r a =-，⼜由圆⼼到直线的距离为11222d -++==，所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应⽤，其中根据圆的⽅程，求得圆⼼坐标和半径，合理利⽤圆的弦长公式列出⽅程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能⼒.5．C解析：C 【解析】【分析】在正⽅体1111ABCD A B C D -中，利⽤线⾯垂直的判定定理，证得1AD ⊥平⾯1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所⽰，在正⽅体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥，由线⾯垂直的判定定理得1AD ⊥平⾯1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异⾯直线1AD 与1A C 所成的⾓的⼤⼩是90o ．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平⾯垂直的判定与证明，以及异⾯直线所成⾓的求解，其中解答中牢记异⾯直线所成的求解⽅法和转化思想的应⽤是解答的关键，平时注意空间思维能⼒的培养，着重考查了推理与论证能⼒，属于基础题．6．C解析：C 【解析】【分析】2的等腰直⾓三⾓形，与底⾯垂直的侧⾯是个等腰三⾓形，底边长为2，⾼为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正⽅体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知⼏何体是⼀个侧棱与底⾯垂直的三棱锥，底⾯是斜边上的⾼为2的等腰直⾓三⾓形，与底⾯垂直的侧⾯是个等腰三⾓形，底边长为2，⾼为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正⽅体的外接球相同，其直径为23，半径为3∴三棱锥的外接球体积为()343433ππ?=故选C 【点睛】本题主要考查了三视图，⼏何体的外接球的体积，考查了空间想象能⼒，计算能⼒，属于中档题．7．C解析：C 【解析】【分析】根据线⾯夹⾓得到4SA =，计算ABC ?的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ??=+，解得答案.【详解】SA ⊥平⾯ABC ，则SB 与平⾯ABC 所成的⾓为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ?的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ??=+ ?，解得25R =，故球O 的表⾯积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学⽣的计算能⼒和空间想象能⼒.8．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图可知，⼏何体是三棱柱消去⼀个同底的三棱锥，如图所⽰，三棱柱的⾼为，消去的三棱锥的⾼为，三棱锥与三棱柱的底⾯为直⾓边长分别为和的直⾓三⾓形，所以⼏何体的体积为，故选C ．考点：⼏何体的三视图及体积的计算．【⽅法点晴】本题主要考查了⼏何体的三视图的应⽤及体积的计算，着重考查了推理和运算能⼒及空间想象能⼒，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、⾼平齐”的原则，还原出原⼏何体的形状，本题的解答的难点在于根据⼏何体的三视图还原出原⼏何体和⼏何体的度量关系，属于中档试题．9．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <">，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、"的正负，所以它们的⼤⼩不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以⼀个负数1lg c改变不等号⽅向，所以选项B 正确;对于选项C ，利⽤cy x =在第⼀象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利⽤xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】⽐较幂或对数值的⼤⼩,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利⽤指数函数或对数函数的单调性进⾏⽐较；若底数不同,可考虑利⽤中间量进⾏⽐较.10．A解析：A 【解析】22x y +(,)x y 到坐标原点的距离，⼜原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+22x y +5 A.11．C解析：C 【解析】【分析】由已知可得三⾓形ABC 为直⾓三⾓形，斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆圆⼼，利⽤三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底⾯的距离，可求出球的半径，然后代⼊球的表⾯积公式求解．【详解】在ABC V 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥，则斜边BC 的中点O '就是ABC V 的外接圆的圆⼼，∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '=，解得1OO '=，221(5)6R =+=，球O 的表⾯积为2424R ππ=．故选C ．【点睛】本题考查球的表⾯积的求法，考查锥体体积公式的应⽤，考查空间想象能⼒和计算能⼒，属于基础题.12．D解析：D 【解析】根据三视图知⼏何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正⽅体⼀部分，直观图如图所⽰：B 是棱的中点，由正⽅体的性质得，CD ⊥平⾯,ABC ABC ?的⾯积12442S =??=，所以该多⾯体的体积1164433V =??=，故选D.⼆、填空题13．【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平⾯则⼜则因为所以故综上的取值范围为点睛:⽴体⼏何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件解析：1,12【解析】当F 位于DC 的中点，点D 与AB 中点重合，1t =．随F 点到C 点，由CB AB ⊥，CB DK ⊥，得CB ⊥平⾯ADB ，则CB BD ⊥．⼜2CD =，1BC =，则BD =．因为1AD =，2AB =，所以AD BD ⊥，故12t =．综上，t 的取值范围为1,12??．点睛:⽴体⼏何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.14．【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l 的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l 的⽅程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所解析：3210x y +-=【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的⽅程即可．【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为23 ，所以直线l 的斜率为32- ，则直线l 的⽅程为：3212y x -=-+（），化简得3210x y +-=.即答案为3210x y +-=．【点睛】本题考查学⽣掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据⼀点和斜率写出直线的点斜式⽅程，是⼀道基础题．15．【解析】【分析】设此直三棱柱两底⾯的中⼼分别为则球⼼为线段的中点利⽤勾股定理求出球的半径由此能求出球的表⾯积【详解】∵⼀个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球⾯上∴设此直三棱柱两底⾯的中⼼分别解析：21π【解析】【分析】设此直三棱柱两底⾯的中⼼分别为12,O O ，则球⼼O 为线段12O O 的中点，利⽤勾股定理求出球O 的半径2R ，由此能求出球O 的表⾯积．【详解】∵⼀个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的球⾯上，∴设此直三棱柱两底⾯的中⼼分别为12,O O ，则球⼼O 为线段12O O 的中点，设球O 的半径为R ，则2223232132324R =+??= ? ? ?∴球O 的表⾯积2S 4R 21ππ== . 故答案为：21π．【点睛】本题考查球的表⾯积的求法，空间思维能⼒，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．16．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆⼼关于直线对称则两圆的圆⼼的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆⼼半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为解析：165-【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆⼼关于直线对称，则两圆的圆⼼的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上，圆1C 的半径也为2，即可求出参数,,a b c 的值. 【详解】解：因为圆1C ：220x y ax by c ++++=，即22224224ab a b cx y 骣骣+-琪琪+++=琪琪桫桫，圆⼼111,22C a b ??--，半径r =由题意，得111,22C a b ??-- 与()20,0C 关于直线21y x =-对称，则112,122112221,22b a ba ?-?=-??-??--??=?-?解得85=-a ，45b =，圆1C的半径22r ==，解得165c =-. 故答案为：165-【点睛】本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.17．【解析】【分析】根据空间直⾓坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直⾓坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能⼒属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直⾓坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直⾓坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能⼒，属基础题.18．【解析】【分析】根据斜率的⼏何意义表⽰函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最⼤值为最⼩值为过点与图象相切的切线斜率设为切线⽅程为代⼊得解析：3[2]4+ 【解析】【分析】根据斜率的⼏何意义，()32x g x x -=-表⽰函数y x =图象上的点与点(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】()32x g x x -=-为点(,)x x 与点(2,3)连线的斜率，点(,),[0,1]x x x ∈在函数,[0,1]y x x =∈图像上，(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最⼤值为31221AB k -==-，最⼩值为过A 点与,[0,1]y x x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线⽅程为(2)3y k x =-+，代⼊,[0,1]y x x =∈得，320,0,14(32)0kx x k k k k -+-=≠?=--=，即281210k k -+=，解得37k +=或37k -= 当374k +=时，37[0,1]372x ==-∈+?，当374k -=时，37[0,1]3724x ==+?-? 不合题意，舍去，()g x 值域为37[,2]4+.故答案为:37[,2]+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的⼏何意义，考查数形结合思想，属于中档题.19．【解析】【分析】当过球内⼀点的截⾯与垂直时截⾯⾯积最⼩可求截⾯半径即可求出过点的平⾯截球的截⾯⾯积的最⼩值【详解】解：棱长等于的正⽅体它的外接球的半径为3当过点的平⾯与垂直时截⾯⾯积最⼩故答案为：【解析：3π. 【解析】【分析】当过球内⼀点E 的截⾯与OE 垂直时，截⾯⾯积最⼩可求截⾯半径，即可求出过点E 的平⾯截球O 的截⾯⾯积的最⼩值．【详解】解：棱长等于23的正⽅体1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||6OE = 当过点E 的平⾯与OE 垂直时，截⾯⾯积最⼩，963r =-=，33S ππ=?=，故答案为：3π．【点睛】本题考查过点E 的平⾯截球O 的截⾯⾯积的最⼩值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．20．【解析】【分析】推导出两边平⽅可得的长【详解】⼆⾯⾓为是棱上的两点分别在半平⾯内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线⾯⾯⾯间的位置关系等基础知识考查运算求解能⼒考查函数与⽅程解析：217. 【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平⽅可得CD 的长．【详解】Q ⼆⾯⾓l αβ--为60?，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平⾯α、β内，且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r2222CA AB BD CA BD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g361664268cos12068=+++=，CD ∴的长||68217CD ==u u u r．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查函数与⽅程思想，是中档题．三、解答题21．（1）详见解析；（2）30．【解析】【分析】（1）在直⾓梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥⾯ABCD ，得DM PA ⊥，利⽤线⾯垂直的判定可得DM ⊥平⾯PAM ，进⼀步得到平⾯PDM ⊥平⾯PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为⼆⾯⾓P DM A --的平⾯⾓为30°，求得tan301PA AM =??=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建⽴空间直⾓坐标系，求出PC u u u r 的坐标及平⾯PDM 的⼀个法向量，由PC u u u r与n r 所成⾓的余弦值可得直线PC 与平⾯PDM 所成⾓的正弦值．【详解】（1）证明：在直⾓梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ====可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂⾜为E ，则1,22DE AE ==29AD =，则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥．∵PA ⊥⾯ABCD ，∴DM PA ⊥，⼜PA AM A =I ，∴DM ⊥平⾯PAM ，∵DM ?平⾯PDM ，∴平⾯PDM ⊥平⾯PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为⼆⾯⾓P DM A --的平⾯⾓为30°，则tan301PA AM =??=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建⽴空间直⾓坐标系，则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，2,1,0)C ，(2,1,0)M ，1),1,1),1)PC PD PM =-=--=-u u u r u u u r u u u u r．设平⾯PDM 的⼀个法向量为(,,)n x y z =，由00n PD y z n PM y z ??=--=?=+-=u u u v v u u u u v v ，取1x =，得n ?= ??r ．∴直线PC 与平⾯PDM 所成⾓的正弦值为：|||cos ,|||||PC n PC n PC n ?<>===?u u u r ru u u r r u u u r r【点睛】向量法是求⽴体⼏何中的线线⾓、线⾯⾓、⾯⾯⾓时常⽤⽅法. 22．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②11．【解析】试题分析：（1）要证明//EF 平⾯PAB ，可以先证明平⾯//EF MA ，利⽤线⾯平⾏的判定定理，即可证明//EF 平⾯PAB ；（2）①要证明平⾯PBC ⊥平⾯ABCD ，可⽤⾯⾯垂直的判定定理，即只需证明PB ⊥平⾯ABCD 即可；②由①BE ⊥平⾯PBC ，所以FEB ∠为直线EF 与平⾯PBC所成的⾓，由PB =ABP ∠为直⾓，即可计算,AM EF 的长度，在Rt EBF ?中，即计算直线EF 与平⾯PBC 所成的⾓的正弦值．试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ．⼜由于E 为AD 中点，因⽽MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平⾏四边形，所以EF ∥AM ．⼜AM ?平⾯PAB ，⽽EF ?平⾯PAB ，所以EF ∥平⾯PAB ．（2）①证明：如图，连接PE ，BE ．因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，⽽E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为⼆⾯⾓P －AD －B 的平⾯⾓．在△PAD 中，由PA ＝PDAD ＝2，可解得PE ＝2．在△ABD 中，由BA ＝BD，AD ＝2，可解得BE ＝1．在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB从⽽∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．⼜BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从⽽BE ⊥BC ，因此BE ⊥平⾯PBC ．⼜BE ?平⾯ABCD ，所以平⾯PBC ⊥平⾯ABCD ．②连接BF ．由①知，BE ⊥平⾯PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平⾯PBC 所成的⾓．由PB及已知，得∠ABP 为直⾓．⽽MB ＝12PB＝2，可得AM＝2，故EF＝2．⼜BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111．所以直线EF 与平⾯PBC 所成⾓的正弦值为21111．考点：直线与平⾯平⾏的判定及直线与平⾯垂直的判定与性质；直线与平⾯所成⾓的求解．【⽅法点晴】本题主要考查了直线与平⾯平⾏的判定及直线与平⾯垂直的判定与性质，直线与平⾯所成⾓的求解，熟练掌握线⾯位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平⾯所成的⾓是解答的关键，本题的第⼆问的解答中，根据BE ⊥平⾯PBC ，可以确定FEB ∠为直线EF 与平⾯PBC 所成的⾓，可放置在Rt EBF ?中，即计算直线EF 与平⾯PBC 所成的⾓的正弦值．23．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）先证明PO ⊥平⾯BCD ，再证明平⾯PBD ⊥平⾯BCD ；（Ⅱ）先证明//OM DC .再证明//OM 平⾯PCD . 【详解】（Ⅰ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2CO AO =，所以6CO =，3AO =.即3PO =，⼜因为35PC =PO CO ⊥ . 因为AC BD ⊥于点O ，所以PO BD ⊥. ⼜因为BD OC O ?=，所以PO ⊥平⾯BCD . ⼜因PO ?平⾯PBD ，所以平⾯PBD ⊥平⾯BCD . （Ⅱ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2BODO=，⼜因为2BM CM =，因此BO BMDO CM=，所以//OM DC . ⼜因为OM ?平⾯PCD ，DC ?平⾯PCD ，所以//OM 平⾯PCD . 【点睛】本题主要考查线⾯平⾏和⾯⾯垂直的证明，意在考查学⽣对这些知识的理解掌握⽔平和分析推理能⼒.24．（1）750x y +-=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求直线CD 的⽅程，只需确定C ，D 坐标即可：34(,)55C -，(5,0)D ，直线CD 的斜率40153755-=-??--，直线CD 的⽅程为750x y +-=．（2）证明动圆过定点，关键在于表⽰出圆的⽅程，本题适宜设圆的⼀般式：22+0x y Dx Ey F +++=设(3,4)(01)C m m m -<≤，则D (5+4,0)m ，从⽽()()2220,{916340,54540.F m m mD mE F m m D F =+-++=++++=解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．试题解析：（1）因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=， 1分⼜因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -， 3分由4BD =，得(5,0)D ， 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-??--， 5分所以直线CD 的⽅程为1(5)7y x =--，即750x y +-=． 6分（2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =． 7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，所以D 点的坐标为(5+4,0)m 8分⼜设OCD ?的外接圆的⽅程为22+0x y Dx Ey F +++=，。

【压轴卷】高中必修二数学下期中模拟试题(及答案)(1)一、选择题1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ） A ．1 B ．221- C ．22 D ．22．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．26B ．36C ．23D ．22 3．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1 4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．306．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭7．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( )A ．72πB ．56πC ．14πD ．64π8．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 9．已知点()1,2-和3,0⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．10C ．25D ．21011．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aC ．2aD ．22a 二、填空题13．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．14．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.15．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.16．一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________17．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.18．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．19．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ．20．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.三、解答题21．如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=o ，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．22．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．23．如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=︒==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.（1）求证：PD MCE ∥平面；（2）若PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积.24．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=o 分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 3B AF C --的正切值．25．求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且平行于直线10x y -+=；（2）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线320x y --=.26．在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=.（1）求B 点坐标；（2）求ABC ∆面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=， 圆心到直线的距离222d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为221-.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=233 323⨯=，∴116 133OO=-=，∴高SD=2OO1=26，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=3，∴132623S ABCV-=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．3．D解析：D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a +=--， 由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a 2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4．C解析：C【解析】【分析】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为23，半径为3∴三棱锥的外接球体积为()343433ππ⨯=故选C【点睛】 本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．5．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．6．D解析：D【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m r m n n r⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

第九章统计A（基础卷）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020春•郑州期中）某中学为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，500名学生身高的全体是（）A．总体B．个体C．从总体中抽取的一个样本D．样本的容量【解答】解：为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，这500名学生身高的全体是总体．故选：A．2．（2020春•盐城期末）某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为800、1000、800（单位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为48人，那么此样本的容量n为（）A．108 B．96 C．156 D．208【解答】解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为800：1000：800＝4：5：4，现用分层抽样的方法抽出的样本中高一学生有48人，∴由分层抽样性质，得：，解得n＝156．故选：C．3．（2020•赣州模拟）从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，……50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）（注：表为随机数表的第1行与第2行）0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 62977424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676A．24 B．36 C．46 D．47【解答】解：由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24．故选：A．4．（2020•山西模拟）如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．则甲组数据的中位数，乙组数据的平均数分别为（）A．12，15 B．15，15 C．15，15.9 D．15，16.8【解答】解：由茎叶图得：甲组数据为：9，12，15，24，27，乙组数据为：8，15，18，19，24，故甲组数据的中位数是15，乙组数据的平均数是：16.8，故选：D．5．（2020•新课标Ⅲ）设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．10【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，∴数据10x1，10x2，…，10x n的方差为：100×0.01＝1，故选：C．6．（2020春•闵行区校级期中）在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A．100 B．85 C．65 D．55【解答】解：因为S210.2，所以40×10.2＝408，若存在x＝55，则（x）2＝（55﹣82）2＝729408，则方差必然大于10.2，不符合题意，所以55不可能是所有成绩中的一个样本．故选：D．7．（2020•4月份模拟）学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为n 的样本，并将得到的数据分成[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]四组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中支出在[40，50]的同学有24人，则n＝（）A．80 B．60 C．100 D．50【解答】解：本题考查频率分布直方图，考查数据处理能力．由频率分布直方图可得，支出在[40，50]的频率为1﹣（0.01+0.024+0.036）×10＝0.3．根据题意得，解得n＝80．故选：A．8．（2020•深圳模拟）一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如表：组别（0，10] （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70]频数12 13 24 15 16 13 7则样本数据落在（10，40]上的频率为（）A．0.13 B．0.52 C．0.39 D．0.64【解答】解：由频率分布表知，样本数据落在（10，40]上的频率为：0.52．故选：B．二．多选题（共4小题）9．（2020春•启东市校级月考）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取了20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（）A．2000名运动员是总体B．所抽取的20名运动员是一个样本C．样本容量为20D．每个运动员被抽到的机会相等．【解答】解：由题意知，2000名运动员的年龄是总体，所以A错误；所抽取的20名运动员的年龄是一个样本，所以A错误；样本容量是20，所以C正确；每个运动员被抽到的机会相等，所以D正确．故选：CD．10．（2020•烟台一模）2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，疫情就是命令，防控就是责任．在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争．右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）A．16天中每新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大B．16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C．16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D．19至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和【解答】解：由频率分布折线图可知，16天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势，但具体到每一天有增有减，故A错误；由每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量，则16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数，故B正确；由图可知，16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000，故C正确；由图可知，20日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和，故D错误．∴正确的结论是BC．故选：BC．11．（2020春•济宁月考）一组数据2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，记3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均值为a，方差为b，则（）A．a＝7 B．a＝ll C．b＝12 D．b＝9【解答】解：2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，设X＝（x1，x2，x3，…，x n），E（2X+1）＝2E（X）+1＝7，得E（X）＝3，D（2X+1）＝4D（X）＝4，D（X）＝1，3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均值为a，方差为b，a＝E（3X+2）＝3E（X）+2＝11，b＝D（3X+2）＝9D（X）＝9，故选：BD．12．（2020•淄博模拟）某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20名肥胖者健身前（如直方图（1）所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg）变化情况，对比数据，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A．他们健身后，体重在区间[90，100）内的人数较健身前增加了2人B．他们健身后，体重原在区间[100，110）内的人员一定无变化C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD．他们健身后，原来体重在区间[110，120]内的肥胖者体重都有减少【解答】解：体重在[90，100）内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，增加了2人，所以A 正确；他们健身后，体重在[100，110）内的百分比没有变，但人员组成可能改变，所以B错误；他们健身后，20人的平均体重大约减少了（0.3×95+0.5×105+0.2×115）﹣（0.1×85+0.4×95+0.5×105）＝5（kg），所以C错误；因为图（2）中没有体重在[110，120）内的人员，所以原来体重在[110，120）内的肥胖者体重都有减少，所以D正确．故选：AD．三．填空题（共4小题）13．（2020•江苏模拟）某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同学数学成绩的方差为10．【解答】解：由图可得这五位同学考试成绩分别为122，128，129，130，131；则这五位同学数学成绩的平均数为：（122+128+129+130+131）＝128，方差[（122﹣128）2+（128﹣128）2+（129﹣128）2+（130﹣128）2+（131﹣128）2]＝10．故答案为：10．14．（2020•南通模拟）为了解某校学生课外阅读的情况，随机统计了1000名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示，则阅读时间在[125，150）中的学生人数为200．【解答】解：由频率分布直方图得：阅读时间在[125，150）中的频率为：1﹣（0.004+0.012+0.016）×25＝0.2．∴阅读时间在[125，150）中的学生人数为：1000×0.2＝200．故答案为：200．15．（2020•扬州模拟）某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，则应从高三年级抽取15名志愿者．【解答】解：∵高三年级的学生人数占的比例为，则应从高三年级抽取的人数为5015，故答案为：15．16．（2020•中卫三模）从2021个学生中选取202人志愿者，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样法从2021人中剔除1人，剩下的2020人按系统抽样取出202人，则每人入选的概率．【解答】解：根据抽样的性质可知，无论哪种抽样，每个个体抽到的概率都是相同的，用简单随机抽样从2021人中剔除1人，每个人被剔除的概率相等，剩下的2020人再按系统抽样的方法抽取，每个人被抽取的概率也相等，即，故答案为：．四．解答题（共5小题）17．（2020•宁德模拟）A、B两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩（单位：分）记录如下：A71 62 72 76 63 70 85 83B73 84 75 73 7876 85B同学的成绩不慎被墨迹污染（，分别用m，n表示）．（1）用茎叶图表示这两组数据，现从A、B两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由（不用计算）；（2）若B同学的平均分为78，方差s2＝19，求m，n．【解答】解：（1）A、B两同学参加了8次测验，成绩（单位：分）茎叶图如下：由茎叶图可知，B同学的平均成绩高于A同学的平均成绩，所以选派B同学参加数学竞赛更好．（2）因为（73+84+75+73+70+m+80+n+76+85）＝78，所以m+n＝8，①，因为S2[52+62+32+（m﹣8）2+（n+2）2+22+72]＝19，所以（m﹣8）2+（n+2）2＝4，②联立①②解得，m＝8，n＝0．18．（2020•武侯区校级模拟）成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）．根据检查结果：得分在[80，100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60，80）评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40，60）评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20，40）评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．【解答】解：（1）得分[20，40）的频率为0.005×20＝0.1；得分[40，60）的频率为0.010×20＝0.2；得分[80，100]的频率为0.015×20＝0.3；所以得分[60，80）的频率为1﹣（0.1+0.2+0.3）＝0.4．设班级得分的中位数为x分，于是，解得x＝70．所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分．（2）由（1）知题意“良”、“中”的频率分别为0.4，0.2．又班级总数为40．于是“良”、“中”的班级个数分别为16，8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2．因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗．所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级．记这个事件为A．则为两个评定为“中”的班级．把4个评定为“良”的班级标记为1，2，3，4，2个评定为“中”的班级标记为5，6．从这6个班级中随机抽取2个班级用点（i，j）表示，其中1≤i＜j≤6．这些点恰好为6×6方格格点上半部分（不含i＝j对角线上的点），于是有种．事件仅有（5，6）一个基本事件．所以．所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为．19．（2020•甲卷三模）中国女排一直是国人的骄傲，2019年女排世界杯于9月14日﹣9月29日在日本举行，中国女排10连胜提前夺冠，获世界杯第五冠、三大赛第十冠．中国女排用胜利点燃国人的激情，女排精神成为了拼搏、不服输的代表．某校受此影响，也举办了校园排球联赛，每班各自选出12人代表队，最后甲、乙两班进入决赛，如下茎叶图所示的是对每名队员上场时间做的统计，根据茎叶图回答问题：（Ⅰ）计算甲、乙两班队员上场的平均时间，并根据茎叶图分析哪班队员上场时间更均衡（不需要计算）；（Ⅱ）赛后学校在上场时间超过50分钟（包括50分钟）的队员中随机抽取2人评为最佳运动员，则两人中至少有一人来自乙班的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）甲班队员上场的平均时间31.25，乙班队员上场的平均时间34.5．由茎叶图分析甲班队员上场时间更均衡．（Ⅱ）上场时间超过50分钟的队员甲班有两人为A，B，乙班有3人为C，D，E．则从5人中随机抽取2人的取法有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE．共有10种，至少有一人来自乙班的有9种，故两人中至少有一人来自乙班的概率P．20．（2020春•锡山区校级期中）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，1），[1，2），…，[8，9）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a＝b．（1）求直方图中a，b的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．【解答】解：（1）由题意得：，解得a＝0.15，b＝0.06．由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．（2）由频率分布直方图得：全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1﹣0.04﹣0.08＝0.88，∴全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为：400000×（1﹣0.04﹣0.08）＝352000．（3）∵前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88＞0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73＜0.85，∴5≤x＜6，由0.15×（x﹣5）＝0.85﹣0.73，解得：x＝5.8，因此，估计月用水量标准为5.8吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．21．（2020•迎泽区校级模拟）2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于[20，45]岁的人中随机地抽取x人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．（1）求x，y，z的值；（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在[25，35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30，35]中的概率．组数分组“环保族”人数占本组频率第一组[20，25）45 0.75第二组[25，30）25 y第三组[30，35）20 0.5第四组[35，40）z0.2第五组[40，45） 3 0.1【解答】解：（1）由题意得：．（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值为：22.5×0.06×5+27.5×0.04×5+32.5×0.04×5+37.5×0.03×5+42.5×0.03×5＝30.75≈31．．（3）从年龄段在[25，35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，[25，30）中选：95人，[30，35]中选：94人，在这9人中选取2人作为记录员，基本事件总数n，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30，35]包含的基本事件个数：m26，∴选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30，35]中的概率p．。