第12章 整式的乘除课件

(2)原式=（2a）²－ 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2.
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3.多项式4a²+ma+9是完全平方式(fāngshì)，那么m的值是（D ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12
4.计算： 2 0 1 4 2 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 2 .
解
步骤
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
一提：公因式；
二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
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内容(nèiróng)总结
12.5 因式分解。（3）-x2-y2。三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）。3.中间有两 底数之积的±2倍.。（5）x2+x+0.25.。（4）因为ab不是a与b的积的2倍.。所以16x2+24x+9是一个完全平 方式，。（2）-x2+4xy-4y2.。解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）。分析：（1）中有公因式3a,应先提出(tí chū)公因式，再进一步分解因式。1002－2×100×99+99²。二套：公式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
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辨一辨：下列多项式能否用平方差公式(gōngshì)来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2

后Байду номын сангаас____可套.
2.公式中的“a”,“b”可表示单项式也可表示____;若表示多项式 ,应将多项式用括号括起来. 3.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 .
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探究点三 完全(wánquán)平方公 式
你能将多项式 a2+2ab+b2与多项式 a2-2ab+b分2 解 因式吗？
5.分解因式的一般思路： 一提（提公因式法）二套（ 运用公式法）平方差公式法 (两项) 完全平方公式法(三
项) 三分组（针对分解因式是三项式且不能直接(zhíjiē)分解的 ， 要考虑分组分解。
4.分解到最后一定要检查是否分解到不能再分解为止.
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达标检测 反思 目 (fǎn sī) 标
(4) 5m2a45m2b4(5) 3xy33xy
3、简便计算：
（1） 42291721 （2） 51 25 2 448 25 24
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4.下列多项式，能用完全平方公式(gōngshì)分解因式的是( )
A、x2+xy+y2
B、x2－2x－1
C、-x2-2x-1
D、x2+4y2
5.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )
1、下列多项式中，能否(nénɡ fǒu)用平方差分解因式？ (1) x -xy (2) x +xy (3) x2+y2 (4) x2-y2 (5) - x2+y2 (6) - x2-y2 (7) x3-y2 (8)x4-y4 2、分解因式：
(1) x xy 2 (2) –a4+16 （3） (2x3y)2(3x2y)2

（1）系数相乘； （2）相同字母的幂相乘； （3）其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.
【例 】 计算：
新课讲解
（1）3x2y ·（-2xy3）;
（2）（-5a2b3）·（-4b2c）.
解：（1）3x2y·(-2xy3) =[3·(-2)]·(x2·x)·(y·y3) =-6x3y4.
单项式相乘的结果 仍是单项式.
3a 2ab
3a 2a b
随堂即练
1.若长方形的宽是a2,长是宽的2倍,则长方形的面积为
_2_a_4__.
2.一个三角形的一边长为a,这条边上的高的长度是它的 1，
3
那么这个三角形的面积是__16_a_2_.
3.下面的计算对吗？如果不对,应当怎样改正？
（1）3a3 ·2a2=6a6
× (
) 改正： 3a3 ·2a2=6a5 .
2.计算： （1）x2 ·x3 ·x4= x9 ; (2)(x3)6= x18 ; (3)(-2a4b2)3= -8a12b6 ; (4) (a2)3 ·a4= a10 ；
（5）
-
5 3
5
-
3 5
5
=
1
.
单项式与单项式相乘
新课讲解
【问题1】光的速度约为3×105km/s,太阳光照射到地球上需 要的时间大约是5×102s,你知道地球与太阳的距离约是多少千 米吗?
HS八(上) 教学课件
第12章 整式的乘除
12.2 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
学习目标
1.理解并掌握单项式与单项式相乘的运算法则.（重点） 2.能熟练运用法则进行运算及解决有关化简求值问题.（难点）
复习引入
1.幂的运算性质有哪几条？ 同底数幂的乘法法则：am·an=am+n ( m,n为正整数). 幂的乘方法则：(am)n=amn ( m,n为正整数). 积的乘方法则：(ab)n=anbn( m,n为正整数). 同底数幂的除法法则：am÷an=am-n(a ≠0,m,n为正整数,且m>n).

练习 下面的计算对不对？若不对，应当怎样改正？
（1） x6 x2 x3； （2） a3 a a3； （3） y5 y2 y3； （4）（-c）4 （-c）2 -c2.
例1 计算:
（1）x8÷x2 ；（2） a4 ÷a ；
（3）(ab) 5÷(ab)2；
思考：当底数是几个因式的积或是一个多项式时,需要 怎么看待? 解: (1) x8 ÷x2=x 8-2=x6.
学习目标
1.理解幂的乘方法则； 2.运用幂的乘方法则进行计算．
合作探究 达成目标
探究点一 幂的乘方法则的推导
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的
结果有什么规律:
(1)（32）3 = 32×32×32 = 3( )
(2)（a2）3 = a2 × a2 × a2 =a( )
(3)（am）3 =
试一试
计算：
(ab)3= (ab)• (ab)•(ab) = (a•a•a)•(b•b•b) = a3b3
(ab)4 = a4b4
由 (ab)3 = a3b3
(ab)4 = a4b4 从左到右的变化
猜想 (ab)n= anbn
(n是正整数)
根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：
（ab）（n n是正整数）．
1．下列各式中运算正确的是（ ） A．a2·a5=a20 B. a2+a5=a7 C. a2·a2=2a2 D. a2·a5=a7 2.下列能用同底数幂进行计算的是（ ） A.(x+y)2(x-y)3 B.（-x+y）3（x+y）2
C.(x+y)2(x+y)3 D.-(x-y)2(-x-y)
3.计算：
推广：（abc）n =anbncn.

B．27x6＋2x4＋x
C．27x6－2x4－x3
D．27x4－2x2－x
1.单项式除法法则包含三个方面： (1)系数相除； (2)同底数幂相除； (3)对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数
作为商的一个因式． 2.进行单项式除法运算时应注意： (1)单项式的系数包括它前面的符号； (2)不要漏掉只在被除式里出现的字母； (3)运算顺序．
这里，商式中的 项a、b和c是怎 样得到的？你能 总 结出多项式
除以单项式的法 则吗？
知2－讲
多项式除以单项式法则： 多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个 单项式，再把所得的商相加．
即：用字母表示为（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m=a+b. 步骤： （1）用多项式的每一项除以单项式； （2）把每一项除得的商相加.
知2－练
1 (8x4－6x3－4x2＋10x)÷(－2x)的结果是( )
A．－4x3－3x2－2x＋5 B．－4x3＋3x2＋2x－5
C．－4x3－3x2＋2x D．－4x4＋3x3＋2x2－5x
2 计算(－81xn＋5＋6xn＋3－3xn＋2)÷(－3xn－1)等于( )
A．27x6－2x4＋x3
例4 计算：(1)(8a3－2a2＋6a)÷(－2a)；
(2)
2 3
a5b82a 2b61 3ab32
.
导引：(1)直接利用多项式除以单项式法则计算；(2)应先
算乘方，再利用多项式除以单项式法则计算．
解：(1)原式＝8a3÷(－2a)＋(－2a2)÷(－2a)＋6a÷(－2a)
＝－4a2＋a－3；
(2)原式＝
2 3
a5b8
2a 2b6

17．对于任何实数，我们规定符号ab
c 的意义是：a
d
bx＋1＝0 时，x3＋x 1x－x－ 1 2的值．。
解：xx＋－12 3xx－1＝(x＋1)(x－1)－3x(x－2)＝x2－1－3x2＋6x＝－2x2＋ 6x－1，∵x2－3x＋1＝0，∴x2－3x＝－1，∴原式＝－2(x2－3x)－1＝2
检测练习
一、选择题 1.下列运算正确的是( D ) A．(x－2)2＝x2－4 B．x3·x4＝x12 C．x6÷x3＝x2 D．(x2)3＝x6 2.下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是( D ) A．(x－2y)(2y＋x) B．(2y－x)(－x－2y) C．(x－2y)(－x－2y) D．(－2y－x)(x＋2y)
多项 式的 乘法
单项 式的 除法
单项式与 多项式的 除法
乘法公 式（因 式分解）
同底数幂的乘法
am •an=am+n (m、n都是正整数) 幂的乘方 (am)n=amn (m、n都是正整数) 积的乘方
(ab)=an bn (n是正整数)
同底数幂的除法
1.am ÷an=am－n
(a≠0，m、n都是正整数，m>n)
4.反向思考法：如逆用乘法公式解题等。
中考考向分析 热点：整式的乘除法、整式乘法的应 用。
冷点：整式乘除法中技能性解题方法。
本章知识在中考中主要以选择、填空 题予以考查，少数中档题考查乘法公式的 应用，约占中考试卷的7%左右。
知识体系表解
整 式 的 乘 除
幂 的 运 算 性 质
单项 式的 乘法
单项式与 多项式的 乘法
（3）利用（2）猜想的结论计算： 29－28＋27－……＋23－22＋2。 解：在(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn中，取a＝2，b＝ －1，n＝10，得(2＋1)(29－28＋27－…＋23－22＋2－1)＝210－(－1)10， 即3(29－28＋27－…＋23－22＋2－1)＝1023，29－28＋27－…＋23－22＋2 －1＝341，∴29－28＋27－…＋23－22＋2＝342。

×
) 3ab
只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指 数写在商里，防止遗漏.
2.计算：（1）6a3÷2a2； （3）-9a3b2c÷3ab.
（2）24a2b3÷3ab； (4)（6x2y3 )2÷(3xy2)2.
解：（1） 6a3÷2a2
（2） 24a2b3÷3ab
＝（6÷2）（a3÷a2）
=(24÷3)a2-1b3-1
(4)am an amn
(2) a2n÷an；= an (4) (a2)3 ·(-a3 )÷a3. =−a9 ÷a3 =−a6
单项式除以单项式
探究发现 1.计算
(1)2a 4a2 ______
(2)8a3 4a2 ________
(3)3x2 y 2xy3 ______
知识要点
单项式除以单项式的法则
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式； 对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商 的一个因式. 理解 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
被除式的系数 底数不变， 除式的系数 指数相减.
保留在商里 作为因式.
典例精析
例 计算：

(1)24a3b3 3ab2;
=3a；
=8ab2；
（3）-9a3b2c÷3ab =(-9÷3)a3-1b2-1c = -3a2bc.
(4)(6x2 y3)2 (3xy2 )2 36x4 y6 9x2 y4 (36 9) x42 y64 4x2y2
注意：运算顺序：先乘方，再乘除
3.计算12a5b4c4÷(-3a2b2c)÷2a3b2c3，其结果正确的是( ) (A)－2 (B)0 (C)1 (D)2 【解析】选A.12a5b4c4÷(-3a2b2c)÷2a3b2c3 =［12÷(-3)÷2］·(a5÷a2÷a3)·(b4÷b2÷b2)·(c4÷c÷c3) =-2.

8．因式分解的步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先 提取公因式； 在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，视察多项 式的次数：二项式可以尝试运用 平方差公式分解因式；三项 式可以尝试运用 两数和(差)公的式分解因式； 分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能
再分解 为止．
9．图形面积与代数恒等式
整体思想
例6 若2a+5b-3=0，则4a·32b= 8 . 【解析】已知条件是2a+5b-3=0，无法求出a，b的值因此可以 逆用积的乘方先把4a·32b.化简为含有与已知条件相关的部分， 即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.
[注意] 其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的字
母，还可以是一个任意的代数式；这几个法则容易混淆，计算 时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．
2．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 相同字母的幂 分别 相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一 起作为积的一个 因式 . 单项式与多项式相乘，用 单项式 和 多项式 的每一项分别相 乘，再把所得的积 相加 . 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项 与另一个 多项式的 每一项 相乘，再把所得的积 相加 .
5．因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的 积 的情势，叫做多项式的 因式分解．
因式分解的过程和 整式乘法 的过程正好相反．
6．用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的 最大公约数 ；字母取多项式各项 相同 的字母；各字母 指数取次数最 低 的． 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公 因式提到 括号 外面，将多项式写成 因式乘积 的情势，这 种分解因式的方法叫做提公因式法． [注意] 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时 先要考虑多项式的各项有无公因式．

1 2 2 1 1 xy－ 4 自我诊断 3. 计算：(－xy＋ )(－xy－ )＝ 2 2
.
.
1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32

1016
(3)(xm)2; x2m
(2)(－a3)5； －a15
(4)－(x2)m. －x2m
7．(3分)若3×9m×27m＝321，则m的值为( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
8．(3分)计算2m·4n的结果是( D )
A．(2×4)m＋n
B．2·2m＋n
C．2n·2mn
D．2m＋2n
9．(3分)下列等式中，能成立的个数是( B ) ①a2m＝(a2)m；②a2m＝(－am)2； ③a2m＝(am)2；④a2m＝(－a2)m. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20．(8分)已知ax＝2，ay＝3，求a2x＋3y，a3x＋2y的值． 20.108，72
【综合应用】 21．(11分)在比较216和312的大小时，我们可以这样来处理： ∵216＝(24)4＝164，312＝(33)4＝274， 又∵16＜27，∴164＜274，即216＜312. 你能类似地比较下列各组数的大小吗？
18．(12分)计算： (1)3(x2)3·x3－(x3)3＋(－x2)·x7；
x9 (2)(a2)m·(an)3－(am－1)2·(a3)n·a2；
0 (3)(x－y)[(y－x)m＋1]2·[(x－y)m]4.
(x－y)6m＋3
19．(8分)设n为整数，且x2n＝7，求(x3n)2－4·(x2)2n的值． 19.147
15．若2x＋5y－3＝0，则4x·32y＝___8_____.
16．计算：[(－y2)2]3＋[(－y)3]4＝___2_y_12___.
17．观察下列各式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝ 32，26＝64，27＝128，28＝256.通过观察，你能发现89的个 位数是____8____．