对勾函数讲解与例题解析

对勾函数详细分析对勾函数，又称为Heaviside函数或者单位阶跃函数，是一种常见的数学函数。

它在控制系统、信号处理和电路分析等领域具有广泛的应用。

在数学上，对勾函数可以通过以下方式定义：H(x)=0,x<0H(x)=1/2,x=0H(x)=1,x>0其中，H(x)表示对勾函数，x为自变量。

从定义可以看出，对勾函数在x小于0时取0，在x等于0时取1/2，在x大于0时取1对勾函数在数学上的精确定义可以依赖于Laplace变换或者Fourier 变换等数学工具，用于解决微积分和微分方程等问题。

在实际应用中，对勾函数通常以数学形式存在，用于描述信号的开关行为。

在控制系统中，对勾函数可以表示系统的阶跃响应。

阶跃响应是指当输入信号为一个单位阶跃函数时，系统所产生的响应。

对勾函数可以帮助分析系统的稳定性、零极点和频率响应等性质。

在信号处理中，对勾函数可以用于描述数字信号的采样和量化过程。

当对一个连续信号进行采样时，可以将采样函数表示为对勾函数。

对勾函数在离散时间中具有单位阶跃响应的特性，可以用于分析信号的频谱和滤波等问题。

在电路分析中，对勾函数可以用于描述开关电路的动态响应。

开关电路通常包含开关元件和电容、电感等被控元件。

对勾函数可以帮助确定电路的稳态和暂态响应，并且可以用于分析电路中的信号传输、噪声和功耗等问题。

此外，对勾函数在概率论和统计学中也有应用。

例如，对勾函数可以用于计算累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。

对勾函数可以将离散随机变量转化为连续随机变量，以进行概率计算和数值模拟等工作。

对勾函数具有一些重要的性质。

首先，它是一个连续函数，但不是光滑函数。

它在x=0处的导数不存在，即导数不连续。

其次，对勾函数是一个奇函数，即H(-x)=1-H(x)。

此外，对勾函数是一个分布函数，满足概率的基本性质，即0≤H(x)≤1总结起来，对勾函数是一个常用的数学函数，具有广泛的应用。

它可以表示系统的阶跃响应，在信号处理和电路分析等领域发挥重要作用。

对勾函数详细分析对勾函数是一种经典的激活函数，在人工神经网络中被广泛使用。

它的主要特点是非线性，能够接受任意实数作为输入，输出范围在0和1之间。

在本文中，我们会详细分析对勾函数的定义、数学性质、应用以及优缺点。

对勾函数的定义为 f(x) = 1 / (1 + exp(-x))，其中 exp(x) 表示自然指数函数。

这个函数的图像是在x轴上下限分别为负无穷大和正无穷大，y轴上下限分别为0和1的S形曲线。

当 x 趋近正无穷大时，f(x) 趋近于1；当 x 趋近负无穷大时，f(x) 趋近于0。

对勾函数的主要数学性质如下：1.非线性：对勾函数是一种非线性函数，这是它被广泛使用的主要原因之一、它可以通过增加网络的复杂度来学习复杂的非线性模式。

2.可微性：对勾函数是连续可导的函数，这使得它可以与其他函数进行组合，形成复杂的神经网络结构。

对勾函数的导数f'(x)可以通过对f(x)进行求导得到，其表达式为f'(x)=f(x)(1-f(x))。

3.单调性：对勾函数是单调递增的，这意味着当输入值增加时，输出值也会增加。

这种单调性有助于网络的学习过程。

对勾函数在人工神经网络中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.模式识别：对勾函数可以用于二分类问题的模式识别。

例如，在人脸识别中，可以使用对勾函数作为分类器来判断输入图像是人脸还是非人脸。

2.概率估计：对勾函数可以将实数映射到概率值的范围（0到1之间）。

这在机器学习中经常用于估计事件发生的概率。

3.深度学习：对勾函数是目前最流行的神经网络模型，深度神经网络中的常用激活函数。

它可以通过复杂的网络结构来学习高级的非线性模式。

虽然对勾函数有许多优点，但它也有一些缺点。

1.饱和性：当输入值较大或较小时，对勾函数的导数值会趋近于0，导致梯度消失的问题。

这会导致网络训练过程中的梯度更新过小，使得学习过程变得缓慢。

2.输出范围限制：对勾函数的输出范围为0和1之间，这意味着对勾函数不能表示负数的情况。

对勾函数，不学但又必考！2016-02-22mxb08来源阅984 转51小数老师说对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，一般会单独考察或与圆锥曲线结合考察，也就是在圆锥曲线求取值范围时会应用对勾函数的性质求解。

一、对勾函数的概念与图像形如的函数，因为其图像类似于平时的对勾，因此称这种函数为对勾函数，图像见下图。

当a>0,b>0时，当a<><>时，当a,b异号时，函数不是对勾函数，关于此时函数的图像与性质，有机会小数老师再向大家介绍。

二、对勾函数的性质（下面我们只研究a>0,b>0时的情况，其他情况可以根据函数的对称性进行研究。

）1，定义域与值域：很明显，定义域是；下面研究值域，对于值域的研究，有多种方法，下面小数老师介绍最常用的——均值定理当x>0时，，当且仅当时，等号成立，此时；当x<>时，，因为x<>，所以-a>0，所以，即，当且仅当时，等号成立，此时；所以此函数的值域是：2，顶点：由（1）可得，两顶点坐标为：3，单调性：对于函数单调性的判断，可以利用导数法或者定义法，下面小数老师采用导数法。

令f’(x)=0，所以xf’(x) + - - +f(x) 单调递增单调递减单调递减单调递增4，奇偶性：很明显，函数f(x)是奇函数。

5，渐近线：通过图像，我们可以看到，对于函数f(x)，有两条渐近线，y=ax,y=0函数与这两条直线无限接近，但永不相交。

三、例题对勾函数具有以下性质：当x≥1时，y随x增大而增大，如：2≤x≤4，那么当x=2，y有最小值2+ （1/2）=5/2；当x=4时，y有最大值为4+（1/4）=17/4.请根据上述材料，完成以下问题：（1）当3≤x≤5时，求函数的最大值和最小值；（2）0≤x≤2时，求函数的最大值和最小值。

重点知识梳理1 •对勾函数定义对勾函数是指形如：y= ax+ x(ab>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为对入勾函数”又被称为双勾函数” 勾函数” 耐克函数”或耐克曲线”2. 对勾函数y= ax+ b(a>0, b>0)的性质入⑴定义域：(一汽0)U (0 ,+x).(2) 值域：(—X, -2 V????U [2V????+^).(3) 奇偶性：在定义域内为奇函数.⑷单调性：(―X,—、y i),(\脣，+*上是增函数；(―、/a, 0),(0, \/|)上是减函数.⑸渐近线：y轴与y=ax(或y=-ax)b3. y= ax+ b(a>0, b>0)的单调区间的分界点：x求分界点方法：令ax = b x入特殊的，a>0时，y= x+£的单调区间的分界点：土. a.入4. 对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解.5. 利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：b若a>0, b>0,则x>0 时，ax+ b>2 ab.x当且仅当ax二b，x= *时取等号.在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是一正、二定、三相等”即加号两边的项ax和“都是正项，且二者乘积为定值，同时ax= b中等号可取到.若等号取不到，则应根据x x对勾函数单调性求解.典型例题剖析5例1已知f(x) = x ■-，求f(x)在下列区间的最小值.X(1)［1,2］; (2)［3,4］; (3)［- 3,—1］.【解析】如图，f(x)在(—X,—5), ( .5,+^上是增函数，在(—，5, 0), (0, .5)上是减函数.(1)由对勾函数性质可知f(x)在［1,2］上单调递减，1 f(x)min 二f(2) = 42.⑵因为f(x)在［3,4］上单调递增，2 所以f(x)min = f(3) = 43.2⑶因为f(x)在［—3,— 5 ］上单调递增，在(—5,—1］上单调递减，且f(—3) = —43, f(—1)= —6,所以f(X)min = — 6.x2+ 5变式训练已知函数f(x) = 7^=，求f(x)的最小值，并求此时x的值.\x + 4【解析】f(x)= x J5 = X +：+ 1= x2+ 4+ 1■収+ 4 彳x2+ 4 彳寸x2+ 4__________ 4 令t=J x2+4，贝U t>2 y= t+-.1••• y= t + ”在［2 ,+x单调递增,t t1 5•••当t = 2 时，y min = 2+ 2= ^，5f(x)的最小值为2,此时x的值为0.x2—2x—1求函数f(x) = + 2 (0叹w 3的值域.X I厶【解析】令t = x+ 2,则x= t —2, 2磴5(t —2)2—2(t —2)—1 y==t —+7 = t+ 7 —6,2 « 5.此时, \/x2+ 4= 2, x= 0. 综上,••• y = t +1-6在［2 , 7 ］上单调递减，在［.7, 5］上单调递增,•••当 t = ［ 7时，y min = 2 .J 7 — 6,7 1且当 t = 2 时，y = 2 + 2— 6二一2，7 2 2当 t = 5 时，y = 5 + 5 — 6 = 5，二 y max = 5.2综上，f(x)的值域为[2 7 — 6,耳•=(x — 1)2— 2(x — 1)+ 9 = x — 1+ ®— 2,x — 1 ，9 令 t = x — 1,则 f(t) = t + - — 2, t € [1,4].9 结合y =t + 9的图象与性质，可知当t € [1,3]时，函数单调递减，当t € [3,4]时，函数单调递增，17又 f(1) = 8, f(3) = 4, f ⑷二a ，所以 f(x)€ [4,8].例3某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元.今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入 100 万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为 g(n)=k 寸n +1(k>0, k 为常数，n € Z 且n 》0)若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为f(n)万元.(1) 求k 的值，并求出f(n)的表达式；(2) 问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？k 【解析】(1)由g(n) = i --- ，当n = 0时，由题意， 7n + 1可得k = 8,变式训练 求函数f(x) = x 2— 4x + 12，x € [2，5]的值域. 【解析】f(x) = x 2 — 4x + 12x — 18所以 f(n)= (100+ 10n)(10 — ---- ) — 100n(n € Z 且 n 》0.)\/n+ 1⑵由 f(n) = (100+ 10n)(10 — ^n =) — 100n=1 000— 80(pn + 1 + r~7j )< 1 00— 80>2 9= 520,当且仅当n + 1= 9 ，即n = 8时取等号，V V n+1所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.变式训练 建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池 优盖）.池壁，池底造价分别为 a 元咪2和2a 元/米2底面一边长为x 米，总造价为y.写出y 与x 的函数式，问底面边长x 为何值时总造价y 最低，是多少？【解析】长方体底面积S =晋二100米2,地面一边长为x 米, 因此另一边长为100米,入池壁总面积为8 （2x +警）米2,入二总造价 y = 100>2a + (2x + 200) 8 ax =200a + 16a(x + ^)(x>0). X•••函数y = 200a + 16a （x +号0）在（0,10］上是减函数，在（10,+ ^上是增函数, 入下列函数中最小值是4的是（4尸X + X2 尸x +xy = 21+x + 21 — x y = x 2+ 計1+ 3, (X M 0)二当x = 10时，总造价最低，且y min = 520a （元）.C .42•函数y =x + -, x € (1,3]的值域为( ) XA • [y ，5)c .[等,4) 43•函数 y = — x + — + 3, x € [- 1, 0)的值域为 1 ——4. y = 2x 2 + 3 2的最小值是1 + x45. 已知x>0,则2 + x + -的最小值是 _________ .入36. 函数y =x + 3在区间［1,2］上的最小值为 ___ —7. 若函数y = x + x(a >0)在区间(J5,+上单调递增，则a € _________________________ .入8. 建造一个容积为8m 3,深为2 m 的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是 120元和80元，则水池的最低造价为 _____________ .9.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD ,公园由长方形休闲区 A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2,人行 道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比琵=x ,求公园ABCD 所占面积S 关于—的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区 A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计？10. 如图，某单位准备修建一个面积为 600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围墙，且要 求中间用围墙EF 隔开，使得ABEF 为矩形，EFDC 为正方形，设AB =—米，已知围墙(包 括EF)的修建费用均为800元每米，设围墙(包括EF)的修建总费用为y 元.(1)求出y 关于—的函数解析式；⑵当—为何值时，设围墙(包括EF)的的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值.—2 + 2—+ 3 11. 已知函数 f(x)= — (x € ［2,+x )) (1)求f(x)的最小值；⑵若f(x)>a 恒成立，求a 的取值范围.B . [4,5) D . (4,5)12. 已知函数f(x)= x+ a, x€ [1 , + ^) a>0.入41(1)当a =㊁时，求函数f(x)的最小值；⑵若函数f(x)的最小值为4,求实数a.13 •为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层•体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元•该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万k兀)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C(x) = (0叹w 10 k为常数)，若不建隔热层，3X十5每年能源消耗费用为8万元•设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；⑵隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值.参考答案1. C A选项，由于x可取负值，显然最小值不是4，排除A ;B选项，由于x可取负值，显然最小值也不是4，排除B;2 1C 选项，由于y=2 2x+ 2 = 2(2x+ 歹)，一1换兀，令t= 2x，t>0，则y= 2(t+—)当且仅当t= 1即x= 0时，函数有最小值4,D 选项，由于y=x2+ x2+ 1 + 3 = x2+ 1 + x2+ 1 + 2，换兀，令t= x2+ 1，t>1，1则y=t+1 + 2,函数在(1，+^上单调递增，因此y>4,排除D选项.综上，答案为C.42. B由对勾函数性质可知，当x= 4,即x = 2时，表达式有最小值4,又函数在(1,2)上单x4 13调递减，在(2,3]上单调递增，f(1) = 5, f(3) = 3 + 3 =三，所以值域为[4,5)，答案为B.3. [6,7)4 4解析y= —x+ + 3= 1 —x+ + 2,1 —x 1 —x4若t= 1,则y= 1 +1 + 2= 7,换元，令t= 1 —x,则x€ [ —1, 0)时t€ (1,2],4y = t + 4+ 2,函数在(1,2]上单调递减，4若t= 2,则y = 2 + 2 + 2 = 6,故函数值域为［6,7).4. 2 6-2解析换元，令t= 1 + x2,则t>1 x2= t- 1,3 3y = 2(t-1)+ t = 2t+ - - 2,函数在［1 , , 3］上单调递减，在［,|,+x上单调递增，所以当t= ：j时，函数有最小值2 6 — 2.5. 6解析由对勾函数性质可知，当x=4,即x= 2时，表达式有最小值6.x6. 2 33解析因为y=x+ x在区间［1, 3 ］上单调递减，在［3, 2］上单调递增，所以当x= .3时入函数有最小值2 . 3.7. (0,5］8. 1 760解析池底面积为8= 4 cm2,设池底宽为x cm,则长为4 cm,则水池的造价为4X120+ 2(42 x xX320x = 1 760.9. 解析⑴设休闲区的宽为a米，则其长为ax米.由a2x=4 000,得a= 2°^,则S= (a + 8)(ax+ 20) = a2x+ (8x+ 20)a + 160=4 000+ (8x+ 20) 20 10+ 160=80 10(2 ,x+ 5 ) + 4 160,5(2)S= 80再(2&+玄)+ 4 i60 > i600^i0+ 4 i60= 5 760,当且仅当2 x= 3 4 5，即x= 2.5时取等号，此时a=40,7xax= 100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A i B i C i D i应设计为长100米，宽40米.i0.解析(i)设AD= t米，则由题意得xt= 600,且t>x, 故t= 6 7 8 9 10 11x!°>x，可得0<x<i0 6, x则y= 800(3x+ 2t) = 800(3x+ 2^^)x400二2 400(x+ -x0),所以y关于x的函数解析式为y= 2 400(x+ 400)(0<x<i0 6).x(2)y= 2400(x+ 竽 > 2 400 X2x 4；°= 96 000,当且仅当x= 400即x= 20时等号成立.x故当x为20米时，y最小.y的最小值为96 000元.ii .解析(i)任取x i, x2€ [2，+ °°)□ 3且x i<x2，f(x) = x + x + 2.3则f(x i)—f(x2)= (x i —x2) (i—航),T X i<X2，「. x i —X2<0,又••• x i>2 x2>2，3• xix2>4，i—云>0,二f(x i) —f(X2)<0，即f(x1)vf(x2).故f(x)在[2 , + X上是增函数，11•••当x= 2时，f(x)有最小值f(2) = ©.(2) ■/f(x)>a 恒成立，•只需f(x)min>a.E ii ii又••• f(x)min = • a<2.1 112•解析(1) a = 2时，f (x) = x + 2x ， x € [1 ,+x ). 令 x = £(x>0)，得 x =#[1 ,+G •••不能用不等式求最值.设 1$1<X 2，则 f(X 1)— f(X 2), 1 1二(x1—x2) + (2x 1—2x 2)1二(X 1 — X 2)(1 —融)<0，•函数f(x)在[1 ,+x 上是单调递增函数，3• f min (x) = f(1)=a⑵当 0<a<1 时，令 x = x ，得 x = a<1,入•••、a[1，+ %)，•类似于⑴可知函数f(x)在[1，+^上是单调递增函数,• f min (x) = f(1) = 1 + a = 4，得a = 3,与0<a<1不符(舍);当a 》l 时，•由不等式知x + x >2a ， X当 x = -，即卩 X = , a 时,f min (x)= 2 , a = 4, X解得a =4.(1)依题意，当 x = 0 时，C = 8,二 k = 40 ,20 >40 800• f(x )= 6x + = 6X + 3X +5(0 x 10) (2)f(x)二 2(3x + 5) + 38+°5—10, 设 3x + 5 = t , t € [5,35],• y = 2t + 800— 10>2 2t 8：0 —10= 70,综上所述, 函数f(x)的最小值为4时，a = 4.40 • C (X) = 3x + 5'13•解析当且仅当2t=-，即t= 20时等号成立.这时x= 5 ,因此f(x)的最小值为70.即隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元. 特殊对勾函数”、 1 f(x) = X+ ??x・・・1413121234・・・f(x)・・・144332222131144・・・(1)定义域：(—X, 0)U (0,+ X).⑵值域：(—X, -2 ] U [2, +X)⑶奇偶性：在定义域内为奇函数. (4) 单调性：(—X,—1), (1 , + X 上/;(—1, 0), (0, 1)上\・⑸分界点(拐点)坐标P(1,2) ; Q(-1,-2)(6)渐近线⑺Y=x和x=0。

对勾函数的性质及应用一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，by ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a ，即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5. 单调性：增区间为（∞+,ab ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0）二、对勾函数的变形形式 类型一：函数by ax x=+)0,0(<<b a 的图像与性质 1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞ 2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 2；当0x >时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,ab ），（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞，0），（0，+∞）.②0,0><b a 作图如下：1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞，0），（0，+∞）.类型三：函数)0()(2>++=ac xcbx ax x f 。

对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：1、求函数324222++++=x x x x y 的最小值。

yXOy=ax解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x ttt t t y 112+=+= 根据对号函数tt y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值223。

第十周 对勾函数模型重点知识梳理1．对勾函数定义对勾函数是指形如：y ＝ax ＋b x(ab >0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”．2．对勾函数y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞， ]∪[，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．(4)单调性：(－∞，－b a )，(b a ，＋∞)上是增函数；(－b a ，0)，(0，b a )上是减函数． (5)渐近线：y 轴与y=ax(或y=-ax)3．y ＝ax ＋b x (a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a.bx⇒x＝±b a.求分界点方法：令ax＝特殊的，a >0时，y ＝x ＋a x 的单调区间的分界点：±a . 4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解．5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋b x≥2ab . 当且仅当ax ＝b x ，x ＝b a时取等号． 在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax 和b x 都是正项，且二者乘积为定值，同时ax ＝b x中等号可取到．若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解．典型例题剖析例1 已知f (x )＝x ＋5x，求f (x )在下列区间的最小值． (1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．【解析】如图，f (x )在 (－∞，－5)，(5，＋∞)上是增函数，在(－5，0)，(0，5)上是减函数．(1)由对勾函数性质可知f (x )在[1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝412. (2)因为f (x )在[3,4]上单调递增，所以f (x )min ＝f (3)＝423. (3)因为f (x )在[－3，－ 5 ]上单调递增，在(－5，－1]上单调递减，且f (－3)＝－423， f (－1)＝－6，所以f (x )min ＝－6.变式训练 已知函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值． 【解析】f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4令t ＝x 2＋4，则t ≥2，y ＝t ＋1t. ∵y ＝t ＋1t在[2，＋∞)单调递增， ∴当t ＝2时，y min ＝2＋12＝52， 此时，x 2＋4＝2，x ＝0.综上，f (x )的最小值为52，此时x 的值为0. 例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2(0≤x ≤3)的值域． 【解析】令t ＝x ＋2，则x ＝t －2, 2≤t ≤5，(t－2)2－2(t－2)－1 y＝t＝t 2－6t ＋7t ＝t ＋7t－6,2≤t ≤5. ∵y ＝t ＋7t－6在[2，7 ]上单调递减，在[7， 5]上单调递增， ∴当t ＝7时，y min ＝27－6，且当t ＝2时，y ＝2＋72－6＝－12， 当t ＝5时，y ＝5＋75－6＝25，∴y max ＝25. 综上，f (x )的值域为[27－6，25]． 变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1，x ∈[]2，5的值域． 【解析】f (x )＝x 2－4x ＋12x －1＝(x －1)2－2(x －1)＋9x －1＝x －1＋9x －1－2， 令t ＝x －1，则f (t )＝t ＋9t－2，t ∈[1,4]． 结合y ＝t ＋9t的图象与性质， 可知当t ∈[1,3]时，函数单调递减，当t ∈[3,4]时，函数单调递增，又f (1)＝8，f (3)＝4，f (4)＝174， 所以f (x )∈[4,8]．例3 某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝kn ＋1(k >0，k 为常数，n ∈Z 且n ≥0)，若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．(1)求k 的值，并求出f (n )的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】(1)由g (n )＝kn ＋1，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8，所以f (n )＝(100＋10n )(10－8n ＋1)－100n (n ∈Z 且n ≥0)． (2)由f (n )＝(100＋10n )(10－8n ＋1)－100n ＝1 000－80(n ＋1＋9n ＋1)≤1 000－80×29＝520，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．变式训练 建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池(无盖)．池壁，池底造价分别为a 元/米2和2a 元/ 米2.底面一边长为x 米，总造价为y .写出y 与x 的函数式，问底面边长x 为何值时总造价y 最低，是多少？【解析】长方体底面积S ＝8008＝100米2，地面一边长为x 米， 因此另一边长为100x米，200池壁总面积为8·(2x＋x)米2，∴ 总造价y ＝100×2a ＋(2x ＋200x)·8·a ＝200a ＋16a (x ＋100x)(x >0)． ∵函数y ＝200a ＋16a (x ＋100x)在(0,10]上是减函数，在(10，＋∞)上是增函数， ∴ 当x ＝10时，总造价最低，且y min ＝520a (元)．跟踪训练1．下列函数中最小值是4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝x ＋2xC ．y ＝21＋x ＋21－xD ．y ＝x 2＋1x 2＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x，x ∈(1,3]的值域为( ) A ．[133，5) B ．[4,5) C ．[133，4) D ．(4,5)3．函数y ＝－x ＋41－x＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________． 4．y ＝2x 2＋31＋x 2的最小值是________．45．已知x>0，则2＋x＋x的最小值是________．6．函数y ＝x ＋3x 在区间[1,2]上的最小值为____________． 7．若函数y ＝x ＋ax(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．建造一个容积为8m 3，深为2 m 的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和80元，则水池的最低造价为____________元．9．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计？10．如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD )的围墙，且要求中间用围墙EF 隔开，使得ABEF 为矩形，EFDC 为正方形，设AB ＝x 米，已知围墙(包括EF )的修建费用均为800元每米，设围墙(包括EF )的修建总费用为y 元．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)当x 为何值时，设围墙(包括EF )的的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值．11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x(x ∈[2，＋∞))． (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．12．已知函数f (x )＝x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，a >0. (1) 当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a .13．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求出最小值．参考答案1．C A 选项，由于x 可取负值，显然最小值不是4，排除A ；B 选项，由于x 可取负值，显然最小值也不是4，排除B ；C 选项，由于y ＝2·2x＋22x ＝2(2x ＋12x )， 换元，令t ＝2x ，t >0，则y ＝2(t ＋1t)≥4， 当且仅当t ＝1即x ＝0时，函数有最小值4，D 选项，由于y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝x 2＋1＋1x 2＋1＋2，换元，令t ＝x 2＋1，t >1， 则y ＝t ＋1t＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y >4，排除D 选项． 综上，答案为C.2．B 由对勾函数性质可知，当x ＝4x，即x ＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133，所以值域为[4,5)，答案为B. 3．[6,7)41－x＋3＝1－x＋41－x＋2，解析y＝－x＋换元，令t ＝1－x ，则x ∈[)－1，0时t ∈(1,2]，y ＝t ＋4t＋2，函数在(1,2]上单调递减， 若t ＝1，则y ＝1＋41＋2＝7， 若t ＝2，则y ＝2＋42＋2＝6， 故函数值域为[6,7)．4．26－2解析 换元，令t ＝1＋x 2，则t ≥1，x 2＝t －1，y ＝2(t －1)＋3t ＝2t ＋3t－2， 函数在[1，32]上单调递减，在[32，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝32时，函数有最小值26－2. 5．6解析 由对勾函数性质可知，当x ＝4x，即x ＝2时，表达式有最小值6. 6．23解析 因为y ＝x ＋3x 在区间[1, 3 ]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x ＝3时函数有最小值2 3.7．(0,5]8．1 760解析 池底面积为82＝4 cm 2，设池底宽为x cm ，则长为4x cm ，则水池的造价为4×120＋2(4x×2＋x ×2)×80＝480＋1 280x ＋320x ≥480＋2 1 280x×320x ＝1 760. 9．解析 (1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米．由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x， 则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160 ＝8010(2x ＋5x )＋4 160， 即S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160. (2)S ＝8010(2x ＋5x )＋4 160≥16010·10＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x ，即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．10．解析 (1)设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ，故t ＝600x>x ，可得0<x <106， 则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x ) ＝2 400(x ＋400x)，400所以y关于x的函数解析式为y＝2 400(x＋x)(0<x<106)．(2)y ＝2400(x ＋400x )≥2 400×2x ·400x＝96 000， 当且仅当x ＝400x，即x ＝20时等号成立． 故当x 为20米时，y 最小．y 的最小值为96 000元．11．解析 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x＋2. 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) (1－3x 1x 2)，∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵x 1≥2，x 2>2，∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝112. (2)∵f (x )>a 恒成立，∴只需f (x )min >a .又∵f (x )min ＝112，∴a <112. 12．解析 (1) a ＝12时， f (x )＝x ＋12x， x ∈[1，＋∞)． 令x ＝12x (x >0)，得x ＝22∉[1，＋∞)， ∴不能用不等式求最值．设1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋(12x 1－12x 2) ＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)<0， ∴函数 f (x ) 在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f min (x )＝f (1)＝32. (2)当0<a <1时，令x ＝a x，得x ＝a <1, ∵a ∉[1，＋∞) ，∴类似于(1)可知函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝1＋a ＝4，得a ＝3，与0<a <1不符(舍)；当a ≥1时，a ≥1，∴由不等式知x ＋a x ≥2a ， 当x ＝a x ，即x ＝a 时， f min (x )＝2a ＝4，解得a ＝4.综上所述，函数f (x )的最小值为4时，a ＝4.13．解析 (1)依题意，当x ＝0 时，C ＝8，∴k ＝40 ，∴C (x )＝403x ＋5， ∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．800(2)f(x)＝2(3x＋5)＋3x＋5－10，设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]，∴y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t －10＝70， 当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立． 这时x ＝5 ，因此f (x )的最小值为70.即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．特殊对勾函数f (x )＝x ＋ x1 2 3 4 f (x )4 3 2 2 2 3 4‘’(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞，-2 ]∪[2，＋∞)．(3)奇偶性：在定义域内为奇函数．(4)单调性：(－∞，－1)，(1，＋∞)上↗；(－1，0)，(0，1)上↘．(5)分界点(拐点)坐标P(1,2) ; Q(-1,-2)(6)渐近线(7)Y=x和x=0(8)如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！(9)(10)(11)。

对勾函数的性质及应用一.对勾函数的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x=时，取最小值由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0）1、对勾函数的变形形式类型一：函数的图像与性质1.定义域：2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取最小值；当时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）,类型二：斜勾函数①作图如下1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.②作图如下：1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.类型三：函数。

此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到练习1.函数的对称中心为类型四：函数此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图2.求函数在上的最低点坐标3. 求函数的单调区间及对称中心类型五：函数。

此类函数定义域为，且可变形为a.若，图像如下：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是练习1.函数的在区间上的值域为b. 若，作出函数图像：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最小值，当x<0时，在x=时，取最大值5. 单调性：增区间为（），（）；减区间是练习1.如，则的取值范围是类型六：函数.可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习1.函数由对勾函数向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.2.已知，求函数的最小值；3.已知，求函数的最大值类型七：函数练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为2.求函数在区间上的最大值类型八：函数.此类函数可变形为标准形式：练习1.求函数的最小值；2．求函数的值域；3.求函数的值域类型九：函数。

第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）I ．理论基础·解题原理 （I ）对勾函数一、对勾函数的定义形如)0,0(>>+=b a xbax y 的函数,叫做对勾函数．二、对勾函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的图象与性质1.定义域 0}{≠∈x R x2.值域当0>x 时，ab xbax x b ax 22=⋅≥+（当且仅当x b ax =，即a b x =时取等号）． 当0<x 时，ab x b ax x b ax x b ax 2))((2)]()[(-=---≤-+--=+（当且仅当x b ax -=-，即abx -=时取等号)．函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ⋃--∞）∞+．3.奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称,)()(xbax x b ax x f +-=--=-)(x f -=,则对勾函数为奇函数． 4.单调性由于2)(x b a x f -='，令0)(>'x f ，解得a b x -<或a b x >，令0)(>'x f ，解得0<<-x ab或abx <<0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数,在)0,(a b -上为减函数，在),0(a b 上为减函数，在),(+∞ab上为增函数． 5.渐近线当0>x 时，0>+x b ax ，当0<x 时，0<+xbax ，说明函数的的图象在第一、第三象限．当0>x 时,xbx b ax x f >+=)(，说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方，当0<x 时，ax xbax x f <+=)(，说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方． 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线． 特别1,1==b a 时，xx x f 1)(+=，函数图象如下图所示:(II ）绝对值函数一、绝对值函数的定义：形如b ax y +=的函数，叫做绝对值函数．含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1．形如()f x 的函数,研究此类函数往往结合()f x 图像，可以看成由()f x 的图像在x 轴上方部分不变,下方部分关于x 轴对称得到；2．形如()f x 的函数，此类函数是偶函数,因此可以先研究0x ≥的情况,0x <的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值,如1y x x a =-+,2y x x a =+-等,这种函数是普通的分段函数，一般先去绝对值,再结合图像进行研究．二、绝对值函数b ax x f +=)(的图象与性质1.定义域：R;2.值域：),0[+∞；3.单调性：函数)(x f 在）（a b-∞-,上为减函数，在),(+∞-ab上为增函数． 特别0,1==b a 时，x x f =)(，图象如下图所示（III ）取整函数 取整函数的定义若x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数][)(x x f =叫做取整函数．举例如下：,0]8.0[,0]35.0[,1]2.1[,2]8.2[=-===1]9.1[-=-等．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上,可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等． 【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象,利用数形结合思想，解决相应问题． 【易错指导】注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域,在定义域内解决相应问题． V ．举一反三·触类旁通考向1 对勾函数【例1】【2018河北唐山模拟】已知1()1f x x x=+-，()2f a =，则()f a -=（ ）A ．4-B ．2-C ．1-D ．3- 【答案】A【解析】∵1()1f x x x =+-，∴x x x f 11)(+=+，令1)()(+=x f x F ，则)(x F 为奇函数,则)()(x F x F -=-，所以1)(1)(--=+-x f x f ,有4222)()(-=--=--=-a f a f ，故选A ．考点：函数值、函数的奇偶性．【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A ．51(,]8-∞ B ．(,3]-∞ C ．51[,)8+∞ D ．[3,)+∞ 【答案】C考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性．【例3】【2017山西四校联考】若函数)()(R b xbx x f ∈+=的导函数在区间（1，2)上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是A ．(]1,-∞-B ． ()0,1-C ．()1,0D ．()+∞,2 【解析】01)(2=-='xb x f ，b x =2，显然0>b ，函数)()(R b x b x x f ∈+=的导函数在区间（1,2）上有零点，41<<b ，)(x f 为增函数，只需b x xbx x b x f ≥≥-=-='2222,01)(，故选D ．【名师点睛】1．要结合图象,理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等． 2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件．3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线,且总在直线的一侧．【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数()12,1,2{12,1,2xxxxxf xx->=-≤函数()()g x f x m=-，则下列说法错误的是（ )A．若32m≤-,则函数()g x无零点 B．若32m>-，则函数()g x有零点C．若3322m-<≤，则函数()g x有一个零点 D．若32m>，则函数()g x有两个零点【答案】A【解析】作出函数()f x的图象如图所示：观察可知：当32m=-时，函数()g x有一个零点，故A错误．故选A．【跟踪练习】1．若函数()4f x xx=+，则下列结论正确的是（）()()()()4(0,2),(2,)4(0,2),(2.)...,A f xB f xC f xD f x+∞+∞的最小值为在上单调递减在上单调递增的最大值为在函数函数函数函上单调递增在数上单调递减2．关于函数()21lg||fxxx+=有下列命题：（1)其图象关于y 轴对称;(2）函数f （x )在(0,)+∞上单调递增,在(,0)-∞上单调递减； (3）函数f (x ）的最小值为lg 2；（4）函数f (x )在(1,0),(2,)-+∞上单调递增； （5）函数f （x ）无最大值,也无最小值 其中所有正确结论的序号是（ ） 【解析】注意函数的定义域为0x ≠．如图：所以在(0,)+∞上,g （x ）在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．所以由复合函数单调性可知,f （x ） 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．由函数对称性,f （x ) 在(1,0)-上递增，在(,1)-∞-上递减,所以（2）不正确，（4）正确．又因为，函数g （x )的最小值为2，所以f (x ）的最小值为lg2，所以（3)正确，（5）不正确． 3．函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值为______ 【答案】54．求函数3()f x xx=+在下列条件下的值域:（1)()(,0)0,x∈-∞+∞；（2）(2,3]x∈【解析】（1）当x>0时，由均值不等式，有33223 x xx x+≥⋅=当3xx=时，即3x=时，取到等号；当x〈0时，有33[()]23 x xx x+=--+≤--所以函数的值域为:(23][23,)-∞-⋃+∞，5．已知函数()af x xx=+其中常数a>0．（1）证明：函数f(x）在上是减函数，在)+∞ 上是增函数； (2)利用(1)的结论,求函数20y x x=+（x ∈［4，6］）的值域; （3)借助（1）的结论,试指出函数27()1xg x x x -=++ 的单调区间，不必证明． 【解析】（1）2111x y x x x ==++．15121(1,2](2,][,)1252x x x x x∈∴+∈∴∈+，所以值域为：2[,2)5 （2)解：23223x x y x x x ++==++．2(1,2]x x x∈∴+∈，所以值域为：[3+． (3）55(1)111y x x x x =+=-++--，所以值域为：1,)+∞． 考向2 绝对值函数【例5】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于x 的方程12a x x =+有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()0,+∞ 【答案】C【解析】当0a =时，方程无解；当0a <时，2x <-，方程21211,210,0,02ax ax ax x x x a =-++=∆>=<+，即至多一解；当0a >时，2x >-,当0x ≥时方程21211,210,0,02ax ax ax x x x a =+-=∆>=-<+，即必有一解；当20x -<<时方程21211,210,0,012ax ax ax x x a x a =-++=∆>=>⇒>+，因此1a >有三个不同的实数解，选C ． 【例6】已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ，4x ,且1234x x x x <<<，则3122341()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(]1,1- C ．(,1)-∞ D ．[)1,1- 【答案】B【例7】【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数()2,1 {2,1x xf xx xx+<=+≥,设a R∈，若关于x的不等式()2xf x a≥+在R上恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】[]2,2-【例8】【2015高考湖北卷】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[01]，上的最大值记为()g a ．当a = 时,()g a 的值最小． 【答案】322-【解析】()()2f x x ax x x a =-=-．①当0a <时，函数()f x 的图像如图所示．函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，()()()max 11f x g a f a ===-．aO yx②当0a =时，2()f x x =，()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()11f g a a ==-． ③当0a >时,函数()f x 的图像如图所示．xyO a【例9】函数x x g 2log )(= )21(>x ，关于x 的方程2()()230g x m g x m +++=恰有三个不同实数解,则实数m 的取值范围为 ． 【答案】3423m -<≤-【例10】【2018广东广州模拟】已知函数()()11f x x x x R =-++∈ （1)证明：函数()f x 是偶函数;(2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式,然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域;(3）在同一坐标系中画出直线2y x =+,观察图像写出不等式()2f x x >+的解集． 【答案】（1)见解析；(2）见解析；(3）{|02}x x x 或．【解析】试题分析: 判断函数的奇偶性，首先要考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提,当函数的定义域关于原点对称式， 根据f(—x)与f （x ）的关系,判断函数f （x)为奇偶性；再利用零点分区间讨论法分段去掉绝对值符号，化为分段函数，画出函数图象；根据图象解不等式，这是一种数形结合思想． 试题解析：（1）依题可得： ()f x 的定义域为R()()1111f x x x x x f x -=--+-+=++-= ∴ ()f x 是偶函数（2)()()2(1){2112(1)xx f x x x x -<-=-≤≤> 由函数图象知，函数的值域为[)2,+∞ （3)由函数图象知，不等式的解集为{|02}x x x 或 【跟踪练习】1．【2018浙江台州模拟】函数{}()min 2,2f x xx =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的最大值为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D由m x x =-=-2222,得m x -=22，02>-m 由m x x =-=-2233,得23+=m x ，02>+m()()()12441441224222222321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=+⋅-⋅=⋅⋅∴m m m m m m m x x x ，当且仅当224m m -=，即2=m 时取到等号，故答案为D ．考点:1、函数图象的应用;2、基本不等式的应用． 2．【2018北京西城区模拟】设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2)如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点,那么实数a 的取值范围是___． 【答案】2-或4；(1,3]-【解析】由题意()113,f a =-= ，解得2a =-或4a =； 第二问如图：考点：1．分段函数值；2．函数的零点． 3．设函数a R x a x x x f ,(2)(2∈-+=为常数） （1）a =2时，讨论函数)(x f 的单调性;（2)若a 〉-2，函数)(x f 的最小值为2，求a 的值．【解析】(1）2=a 时，11222222)(222<≥⎩⎨⎧+--+=-+=x x x x x x x x x f ，结合图像知，函数)(x f y =的单调增区间为),1[+∞，减区间为]1,(-∞；（2）2222)(22ax ax a x x a x x x f <≥⎩⎨⎧+--+=，12,2->∴->a a ，结合图像可得 当2≥a 时函数)(x f y =的最小值为1)1(-=a f =2,解得a =3符合题意；当22<<-a 时函数)(x f y =的最小值为24)2(2==a a f ，无解； 综上,a =3．考向3 取整函数与程序框图【例11】【2018山西四校联考】执行图中的程序框图（其中[]x表示不超过x的最大整数）,则输出的S值为A．5 B．7 C．9 D．12考向4 取整函数与函数的周期性【例12】【2018陕西西北工业大学附中模拟】x为实数，[]x表示不超过x的最大整数，则函数()[]=-在R上为 ( )f x x xA．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数【答案】D考点：函数的周期性．【例13】【2017重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子"之称，以他的名字“高斯"命名的成果达110个,设,用表示不超过的最大整数,并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数,已知数列满足：，则__________．【答案】考点:归纳推理、数列的递推公式及新定义问题．【跟踪练习】1．【2018重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数,符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上,当是整数，就是，当不是整数时，是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”,也叫高斯（Gauss）函数．如．求的值为（）A．0 B．—2 C．—1 D．1【答案】C【解析】=−2,−2〈〈−1,=−1，=0，=1,1<〈2，=2，由“取整函数”的定义可得，=−2−2−1+0+1+1+2=−1．故选:C．点睛：正确理解高斯（Gauss)函数的概念是解题的关键，表示“不超过的最大整数”,首先小于等于此实数，并且其为最大的整数,条件想全面．2．【2018江苏南京模拟】函数[]y xx x是不=称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数,[]超过x的最大整数，则函数[]1(0.5 2.5)=+-<<的值域为．y x x【答案】}{0,1,2,33．【2018福建三明模拟】对于任意x ∈R ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若数列{}n a 满足()4n n a f =()n +∈N ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4n S 等于 ． 【答案】22n n - 【解析】由定义知41235678940,1,2,n a a a a a a a a a a n==========，244(12...1)2n S n n n n∴=+++-+=-．考向5 取整函数与函数的零点【例14】【2018天津南开中学第三次月考】已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是 ．【答案】34,45⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由f （x)=0得a xx =][，令g （x ）=x x ][（x>0），作出g （x ）的图象，利用数形结合即可得到a 的取值范围．由f(x ）=0得a xx =][；令g （x ）=x x ][，（x 〉0），则当0＜x ＜1，［x]=0，此时g(x ）=0，当1≤x ＜2，［x ］=1,此时g （x ）=x 1,此时1)(21≤<x g ；当2≤x＜3,［x]=2，此时g(x ）=x 2,此时1)(32≤<x g ;当3≤x＜4，[x]=3，此时g （x)=x 3，此时1)(43≤<x g ；当4≤x＜5，[x]=4，此时g （x ）=x 4,此时1)(54≤<x g ；作出g(x ）的函数的图象，要使函数()[]()0x f x ax x=->有且仅有3个零点，即函数g （x ）的图象与直线y=a 有且只有三个零点，由图象可知：5443≤<a ．故答案为：5443≤<a ． 考点:函数的零点与方程根的关系．【例15】【2018杭州重点中学联考】已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数,若函数[]()(0)x f x a x x=-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是3443.,,4532A ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3443.,,4532B ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342C ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342D ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】B若x ＞0，此时[x]≥0；若［x ］=0，则[]0x x=,若［x]≥1，因为［x ］≤x＜［x]+1，故[][][]1a 1[]11[]1x x x x x x ＜，＜，且[][]1x x 随着［x]的增大而增大．若x ＜0，此时［x]＜0；若﹣1≤x＜0，则[]1x x≥，若x ＜-1,因为［x ］≤x＜-1；［x ］≤x＜[x ］+1，故[x][x][x]11a x [x]1[x]1＜，＜,且[][]1x x 随着[x]的增大而增大．又因为[x]一定是不同的x 对应不同的a 值．所以为使函数[x]f x a x （）有且仅有3个零点，只能使［x]=1，2，3；或[x ］=-1，—2，—3．若[x]=1，有121≤<a 若[x ］=2，有132≤<a 若［x ］=3，有143≤<a 若［x ］=4,有154≤<a 若［x]=—1，有a ＞1；若［x ］=-2，有1≤a ＜2；若[x]=-3，有231<≤a 若［x]=—4，有341<≤a ，综上所述，5443<<a 或2334<<a ．故选:B ．考点：函数零点的判定定理． 【跟踪练习】1．【2018福建省莆田模拟】在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），[]x 表示不超过x 的最大整数．例如:[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数21()122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 （ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．{}2,0- 【答案】B2．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ） A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】根据题意，当16x =时1y =,所以选项,A B 不正确,当17x =时2y =，所以D不正确，故选C ．3．【2018浙江浙大附中模拟】对于实数x ，][x 称为取整函数或高斯函数，亦即][x 是不超过x 的最大整数．例如：2]3.2[=．直角坐标平面内，若),(y x 满足4]1[]1[22=-+-y x ，则 22y x +的取值范围是 ．【答案】(1,5)[10,20)【解析】解：由［x —1]2+［y-1]2=4，得 [x-1］=±2, ［y —1]=0 或 [x —1]=0， ［y-1］=±2 然后得到可行域x 2+y 2看作可行域内点到坐标原点距离的平方．AO 2=1，BO 2=5此时x 2+y 2∈[1，5)．CO 2=10，DO 2=20，此时x 2+y 2∈［10，20）．所以x 2+y 2∈［1，5）∪［10,20）．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

专题3对勾函数解决恒成立和实根分布问题对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如b x ax x f +=)(当b a ,同号时，b x ax x f +=)(的图象是由直线ax y =与双曲线bx y =构成，形状酷似双勾．故称“对勾函数”，也称“耐克函数”．耐克函数的顶点：)2,(ab a b 和)2,(ab a b --【例1】已知函数01)(2≥+-=ax x x f 对于一切]21,0(∈x 成立，求a 的取值范围．【解析】根据题意得ax x ≥+12在]21,0(∈x 上恒成立，即：a x x ≥+1在]21,0(∈x 上恒成立，设xx x g 1)(+=，则2)(≥x g 当1=x 时，2)(=x g ，但]21,0(∈x 所以25,25)21()(min ≤==a g x g ．【例2】方程04=+-ax x 在区间]1,0[内有解，求a 的取值范围．【解析】根据题意得：0=x 时，无解；ax x =+42在]1,0(∈x 内有解，即：a xx =+4在]1,0(∈x 上的取值范围，设x x x g 4)(+=，则5)(≥x g 当1=x 时，5)(=x g ，故5≥a 达标训练1．若对于15≤≤-x ，不等式062>-++a ax x 恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知不等式()012<++-a x a x ．（1）若不等式在（1，3）上有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式在（1，3）上恒成立，求实数a 的取值范围．3．已知函数()()51232++-+=k x k x x f ()R k ∈．（1）对任意()1,1-∈k ，不等式()0<x f 恒成立，求x 的取值范围；（2）若函数在区间（0，2）内有零点，求k 的取值范围．4．已知a 是实数，函数a x ax x f --+=322)(2．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．。

对勾函数的性质(经典实用)一、定义与表达式对勾函数，也称为双曲正弦函数，其表达式为：$ f(x) =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $。

这个函数的名称来源于其图像形状类似于一个对勾，即勾号“√”。

二、性质分析1. 奇偶性：对勾函数是一个奇函数，即满足 $ f(x) = f(x) $。

这意味着函数图像关于原点对称。

2. 单调性：对勾函数在定义域内（$ x \in \mathbb{R} $）是单调递增的。

当 $ x $ 增大时，$ f(x) $ 也随之增大。

3. 极限性质：当 $ x $ 趋向于正无穷大或负无穷大时，$ f(x) $ 分别趋向于 1 和 1。

这可以通过计算极限 $ \lim_{x \to \infty} f(x) $ 和 $ \lim_{x \to \infty} f(x) $ 得到。

4. 导数与凹凸性：对勾函数的一阶导数为 $ f'(x) =\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} $。

由于导数始终大于 0，函数在整个定义域内是凹的。

这意味着函数图像在任意点处的切线都在函数图像的下方。

5. 积分性质：对勾函数的积分形式为 $ \int f(x) dx = \ln|x+\sqrt{1+x^2}| + C $，其中 $ C $ 为积分常数。

这个积分形式在对勾函数的应用中非常有用，例如在解决某些物理问题时。

6. 应用领域：对勾函数在多个领域都有应用，如物理学、工程学、统计学等。

例如，在物理学中，对勾函数可以用来描述某些非线性系统的行为；在工程学中，它可以用来解决某些优化问题；在统计学中，它可以用来构建概率密度函数。

三、结论对勾函数作为一个经典的数学工具，其性质独特且应用广泛。

理解并掌握对勾函数的性质，有助于我们在解决实际问题中更加得心应手。

对勾函数的性质(经典实用)一、定义与表达式对勾函数，也称为双曲正弦函数，其表达式为：$ f(x) =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $。

对勾函数的几点分析对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。

也被形象称为“耐克函数”其它解法对于这个函数f(x)=xb ax , （1）它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；（2）函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；（3）众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。

因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。

高考例题： 已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在 (0,√a] 上是减函数，在 ，[√a,+∞ )上是增函数．（1）如果函数 y=x+(2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞)，求b 的值；（2）研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常数a >0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x) =(x^2+1/x)^n+(1/x^2+x)^n（x 是正整数）在区间[&frac12; ,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x 有最大值f(x)=x+1/x首先你要知道他的定义域是x不等于0当x>0,由均值不等式有：f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2当x=1/x取等x=1,有最小值是：2，没有最大值。

当x<0,-x>0f(x)=-(-x-1/x)<=-2当－x=-1/x取等。

x=-1,有最大值，没有最小值。

对勾函数的性质及应用一、概念：【题型1】函数()(0,0)af x x a k =+>≠【例1】函数1()f x x =+的值域为【例2】函数3()x f x x +=+的值域为【题型2】函数()(0)ax bx cf x ac ++=>。

【例3】函数1()x x f x ++=的值域为【题型3】函数2()(0,0)axf x a b =≠>。

【例4】函数2()1xf x x =+的在区间[)2,+∞上的值域为 【解析】2x ≥，∴，函数15222≥+=【例5】如2214xa x +=-+，(1,2)x ∈，则实数a 的取值范围是(1,2)x ∈4y x x =+1144x x <+，7352a <-<【题型4】函数2()(0)ax bx cf x a ++=≠.【例6】已知1x >-，求函数710()1x x f x x ++=+的最小值。

，1x >-，7101x ++的最小值【例7】已知1x <，求函数299()x x f x +-=的最大值。

，1x <，2991x x +--的最大【题型5】函数2()(0)x mf x a +=≠ 【例8】求函数21()2x f x x x -=++在区间(1,)+∞上的最大值。

【例9】求函数2223()x x f x ++=在区间[0,)+∞上的最大值。

【例10】求函数()f x =的最小值。

类型九：函数2()0)f x a>。

【例12】求函数2()f x=的最小值。

【解析】由题可知，函数22()f x===2t=，则1()()f xg t tt==+，显然在[)2,+∞上单调递增，故min15()(2)222g t g==+=，此时0x=，故函数2()f x=的最小值为52。

【例13】求函数()f x=的值域.。