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EM算法简介精品PPT课件

EM算法简介精品PPT课件

在EM算法正式提出以来，人们对EM算法的性质有 更加深入的研究.并且在此基础上，提出了很多改进 的算法.
在数理统计，数据挖掘，机器学习以及模式识别 等领域有广泛的应用.
3
问题提出
给定一些观察数据y，假设y符合如下的高斯分布
K
p(y) kN(y|k,k). k1
需要求出混合高斯分布的三组参数 k,k,k
即
||i1 i || ||Q (i 1| i)Q (i|. i)||
重复上面两个步骤直至
或
充分小时，停止.
11
EM例子
• 有公式(1)(3)以及贝叶斯公式可得
p(Z|Y,,,)
∝
NK
[kN(yn|k,k)z]nk
n1 k1
其中N表示观察样本数.
• 公式中 znk 是未知的，需要求出它的期望
12
推论L 1(.M(假*设)) 存L在(一)些,
并
且Q (M ()|)Q (，|那么),有
a) k(x|y ,M ( ) )k(x|y , )
b)
c)
几乎处处成立.
17
GEM算法性质
推论2.对于一 , ,L ()L ()
些
，其中
，
那么对于GEM算M 法有().
(p), p0,1,2,...
EM的M-step可能比较复杂
• M-step
定义映M射()
Q (M ( 满)|) Q (|)
足,其中 是参数空 . 间 ，
i1 M(
即
16
GEM算法性质
引理1.
对于任意 (',一 ) 对 ,其 参 中 是 数参数空间，
H ('|)H (|),
4
问题简化
EM算法

EM算法


在医学研究中的应用
ˆ 和 ˆ 2： 3)计算均值和方差的最大似然估计校正值
2 ˆ ˆ 4)重复以上的2-3步,直至 和 收敛为止。
经过EM迭代算法可得:
迭代算法补入的两个数据:第4行第5个为2.5216,第8行第3个为4.5522。
在医学研究中的应用
5)MonteCarlo模拟,随机取 x
假设我们想估计知道A和B两个参数，在开始状态下二者都是未知的，但如果知道了A的信息就可以得到B的信息，反过来 知道了B也就得到了A。可以考虑首先赋予A某种初值，以此得到B的估计值，然后从B的当前值出发，重新估计A的取值， 持续迭代直到收敛为止。
迭代的结果真的有效吗？
从最大似然到EM算法
EM算法推导
里面了。那下一步怎么办啊？你开始喊：“男的左边，女的右边！”。然后你就先统计抽样得 某些男生和女生一见钟情，无法硬把他们拉扯开。那现在这200个人已经混到一起了， 到的 100个男生的身高。 随便指出一个人（的身高），无法确定这个人（的身高）是男生（的身高）还是女生（的身 假设他们的身高是服从高斯分布的。但是这个分布的均值 μ和方差σ2我们不知道，这两个参数 高）。也就是说不知道抽取的那200个人里面的每一个人到底是从男生的那个身高分布里面 就是我们要估计的。记作 θ=[μ,σ2]T 抽取的，还是女生的那个身高分布抽取的。 用数学的语言就是，抽取得到的每个样本都不知道是从哪个分布抽取的。 两个问题需要估计： 一是这个人是男的还是女的？
i 1 zi
p( xi , zi ; ) ln LEM ( ) ln p( xi , zi ; ) ln Q( zi ) Q( zi ) i zi i zi p( xi , zi ; ) Q( zi ) ln Q( zi ) i zi
EM算法及其推广解析PPT课件

EM算法及其推广解析PPT课件


第21页/共26页
• 证明 由于 取对数有 由 令 于是对数似然函数可以写成
第22页/共26页
• 只需证明右端为非负值即得出结果，由于
•使
达到极大，所以有
Q( , (i) )
其第二项，由
得出
(i1)
第23页/共26页
• 定理9.2 设L(θ)=logP(Y|θ)为观测数据的对数似然函数， (i=1,2,…)为EM算
数的当前估计值.每次迭代实际在求Q函数及其极大；
第12页/共26页
• （3）M步：求使
极大化的Qθ(， ,确定(i)i)+1次迭代得参数的估计值
(i1)
（4）重复第（2）步和第（3）步，直到收敛，这里给出停止迭代得条件，一
般是对较小的正数
，若满足
则 停 止1迭, 代2 .
第13页/共26页
• 定义9.1（Q函数）完全数据（观测变量数据Y和隐变量数据Z）的对数似然函数
极大似然估计
• 极大似然估计是概率论在统计学中的应用，它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种 概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次实验，观察其结果，利用结果推出参数 的大概值。
第2页/共26页
极大似然估计
• 似然函数： • 已知样本集X,X是通过概率密度p(x|θ)抽取。样本集X中各个样本的联合概率： • 为了便于分析，由于L(θ)是连乘的，还可以定义对数似然函数，将其变成连加的：
值可以任意选择(i) ，但需注意EM算法对初值是敏感 的； （2）E步：记 为第i次迭代参数θ的估计值，在 第i+1次迭代得E步，计算
P(Z | Y, (i))
(i)
Q( , (i) )
最大期望值EM算法PPT课件

最大期望值EM算法PPT课件

EM又很复杂，复杂在于它的数学推理涉及到比较繁杂 的概率公式等。（凸函数，琴生不等式，拉格朗日中 值定理，贝叶斯，最大似然估计等）
-
6
期望最大化思想
EM算法是一种有效的迭代过程。 EM
E步骤：根据上一次迭代的参数来计算出隐藏变量的后验概率， 其实就是隐藏变量的期望。=> p(θ|x)值 =>p( z |x,θ)
最大化步（M-步）：对于每个簇，算法调整其中心，使 得到该新中心的距离之和最小化。将指派到一个簇的 对象的相似度最大化。
-8ຫໍສະໝຸດ 期望最大化思想GMM混合高斯模型例子： 班上学生的身高就是一个GMM混合高斯模型，由男生身 高的高斯分布和女生身高的高斯分布组成。
估计每个样例是男生还是女生=>分别估计均值和方差。
-
9
期望最大化思想
利用当前参数值计算数据j 由第i个类生成的概率
N
收敛？
Y
最后参数值
-
10
期望最大化思想
-
11
期望最大化思想
EM
-
12
期望最大化思想
-
13
期望最大化思想
-
14
这里有10个样例，每个样例两个特征,
第一步，分别求x和y的平均值，然后对于所有的样例 ，都减去对应的均值。
-
15
M步骤：将似然函数最大化以获得新的参数值。估计的模型参数 使得观察的数据出现概率是最大的。=> 更新θ值
EM算法有很多的应用，最广泛的就是clustering、GMM、HMM等 等。
-
7
期望最大化思想
K-means聚类例子
期望步（E-步）：给定当前的簇中心，每个对象都被指 派到簇中心离该对象最近的簇，期望每个对象都属于 最近的簇。
【最新】我理解的EM算法ppt模版课件

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1 Nk
xk
xk
2 k
1 Nk
xk
(xk k )(xk k )T
k
Nk N
4、返回第2步用第3步新得到的参数来对观察数据x
重新分类。直到下式概率（最大似然函数）达
到最大。
k
x
1
e
(
x
k )( 2
x
2 k
k
)T
2 k
问题求解过程：
实际应用举例1：
混合高斯背景模型做运动物体的视频分割， 视频帧图像大了（700*600）以后速度较慢 （一般一秒能处理10帧左右），这里K取5 个高斯分布。
EM算法（机器学习十大算法）
EM算法是个聚类算法，即根据给定观察数据自动 对数据进行分类。
问题来源•给定Biblioteka 些观察数据x，假设x符合如下高斯分布：
K
p(x)
k N (x
k
,
2 k
)
k 1
•求混合高斯分布的三组参数
k
k
2 k
简单问题
•该混合高斯分布一共有K个分布，并且对于每个观察 到的x，如果我们同时还知道它属于K中的哪一个分布， 则我们可以根据最大似然估计求出每个参数。
结论： xk表示属于第k个高斯
k
1 Nk
xk
分布的观察数据x。
xk
2 k
1 Nk
xk
(xk k )(xk k )T
k
Nk N
特别注意 k 是个
向量，而 k2 是个
数值。
实际问题
•观察数据x属于哪个高斯分布是未知的，所以要用 EM算法来解决这种实际问题。
EM算法过程：
1、用随机函数初始化K个高斯分布的参数，同时 保证
EM算法

EM算法



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背景及简介
EM 算法经过两个步骤： 第一步是计算期望（E），利用对隐藏变 量的现有估计值，计算其最大似然估计值 第二步是最大化（M），最大化在 E 步上 求得的最大似然值来计算参数的值。 通过对以上两步的不断交替迭代，当结果 收敛到某一值时终止迭代

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举例
经过29步迭代数据就已基本收敛，最终 结果如下

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Contents
1 2 3
背景及简介 算法及实 举例 改进算法
4

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改进算法
MCEM算法：
在某些情况下，EM算法的E-Step有可 能会很复杂，或者没有解析解，在这种 情况下可采用蒙特卡洛的方法来近似求 解 由于MC的方法引入MC误差，因此EM算 法的单调性质丢失，但在某些情况下， MCEM算法可以以很高的概率接近最优 解
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Contents
1 2 3
背景及简介 算法及实 举例 改进算法
4

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举例
在此以混合高斯分布为例，对该算法进行 进一步说明 混合分布的概率密度函数可表示为：

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算法及实现
理论上已经证明每次迭代都是数值稳定 的，且满足 即每次迭代均可 使似然值增加。 在某些情况下我们通过EM算法得到的仅 是局部最优解，为了得到全局最优解， 我们通常采用广义的EM算法（GEM）， 就是在M-Step估计 时应满足Q函数 增加，即：
它主要解决以下几个问题:EM算法初值 设置、规定标准差、选择混合分布的个 算法及实现
机器学习 EM算法详细版

机器学习 EM算法详细版

Chp9：参数推断

本节课内容：计算似然的极大值
牛顿法 EM算法

极大似然估计

似然函数：令 X 1 ,..., X n 为IID，其pdf为 f ( x; θ ) ， 似然函数定义为
Ln (θ ) = ∏ f ( X i ; θ )
i =1 n

log似然函数：
ln (θ ) = log Ln (θ )

在给定观测数据的条件下，计算完整似然的期望（随 机变量为隐含变量）

涉及计算缺失数据的条件期望，需要利用参数的当前估计值

M —步：求极大值（ Maximization ）

求使得完整似然的期望最大的参数

又是一个极大值求解问题。通常可以解析求解，这时EM是一 个很方便的工具；否则，需借助一个可靠的最大化方法求解
i =1
n
k =1
EM—Maximization

t Q θ , θ 对E步计算得到的完整似然函数的期望 ( )求 极大值（Maximization），得到参数新的估计值， 即 t +1 t
θ
= arg max Q (θ , θ
θ
)

每次参数更新会增大似然（非完整似然）值 反复迭代后，会收敛到似然的局部极大值
涉及求和的log运算，计算困难
完整似然函数

若隐含变量的值 Y = (Y1 ,..., Yn ) 也已知，得到完整 数据的似然函数为：
n n i =1 i =1
log (L (θ | X , Y )) = log ∏ f ( X i , Yi | θ ) = ∑ log ( f ( X i , Yi | θ ))
第4章EM优化方法PPT课件

第4章EM优化方法PPT课件


因此，对任何 (t)，H( | (t))比H( (t) | (t))小。
实际上，如果选择 (t+1)关于 最大化Q( | (t))， log fX(x| (t+1) ) log fX(x| (t) ) = [Q( (t+1) | (t)) H( (t+1) | (t))]
[Q( (t) | (t)) H( (t) | (t))] = [Q( (t+1) | (t)) Q( (t) | (t))]
写出添加Z后，基于Y, Z的概率函数；
（3）写出给定和Y条件时， Z的条件概率函数；Z的
条件期望；（4）用EM算法估计。
例4.3 似然L( |x)，先验密度f ( )和缺失数据或参数的
Bayesian后验众数问题。
E步为 Q( | (t)) =E{log{L( |Y) f( )k(Y)}| x , (t)}
[H( (t+1) | (t)) H( (t) | (t))] 0
当Q( (t+1) | (t)) > Q( (t) | (t))时，上述不等式严格成 立。
[log fY (y | θ) fZ|X (z | x, θ(t) )dz
其中t=0,1,…。（4.3） 强调：一旦给定X=x，Z是Y中唯有的随机部分。
4.2 EM算法
EM算法从 (0)开始迭代，并在以下两步中交替：
E步，即期望步；M步，即最大化步。
算法总结如下：
E步：计算Q( | (t))； M步：关于 最大化Q( | (t))。令 (t+1)是Q的最大
X
x, θ(t)}
log
E{[
fZ|X (Z fZ|X (Z |
| x,θ) x, θ(t) )
EM(最大期望算法)极大似然估计PPT课件

EM(最大期望算法)极大似然估计PPT课件

• 原理：一个随机试验如果有若干个可能的 结果A， B，C，…。若在一次试验中，结果A出现，则一般 认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很 大
• 思想：已知某个参数能使这个样本出现的概率最 大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本， 所以干脆就把这个参数作为估计的真实值
极大似然估计
设总体X是离散型随机变量，其分布中含有未知 参数θ，设x （x1，x2.....xn）是取自总体X的一 个样本，（x1，x2.....xn）是其观察值。则取到 这组样本观察值的概率是：
的概率分别为
令z1和y1-z1分别表示落入这两部分的次数；再假设第
三种结果分成两部分，其发生的概率分别为
令z2和y3-z2分别表示落
入这两部分的次数。显然z1,z2是我们认为引入的，它是不可观测的，数据
（y , z）为完全数据，而观测到的数据称之为不完全数据，此时完全数据
的似然函数为：
EM算法
Expectation-maximization algorithm
定义似然函数为：
这里x1，x2.....xn是观测值，且独立同分布，L(θ) 看做参数θ的函数，它可作为θ已多大可能性产 生样本值X1，X2，....Xn的一种度量
极大似然估计
最大似然估计法就是使用L（θ）达到最大值的 去 估计θ
称 为θ的最大似然估计值。而相应的统计量θ（X1， X2，....Xn）称为θ的最大似然估计量。 同理，设总体X是连续型随机变量，密度函数为f(x;θ), 其中θ为未知参数，则定义似然函数为：
极大似然估计
上式，其中x1，x2.....xn是样本观察值，
称 为θ的最大似然估计值。而相 应的统计量θ（X1，X2，....Xn）称 为θ的最大似然估计量。
《em算法及其改进》课件

《em算法及其改进》课件

混合EM算法可以结合不同的优化方法，以提高算 法的收敛速度和精度。
EM算法的并行化实现
01
并行化EM算法可以提高算法的计算效率和可扩展性。
02
并行化EM算法可以将计算任务分配给多个处理器或计算机节点
，以加快计算速度。
并行化EM算法需要合理地设计并行策略和数据结构，以确保计
03
算的正确性和效率。
04
02
EM算法的理论基础
概率论与数理统计基础
概率论
研究随机现象的数学理论，为统计学 和EM算法提供了基础的概率计算和概 率模型。
数理统计
通过样本数据推断总体特性的科学， 为EM算法提供了统计推断的方法。
最大似然估计
最大似然估计是一种参数估计方法，通过最大化样本数据的 似然函数来估计参数。
在EM算法中，最大似然估计用于确定模型参数，使得模型能 够更好地拟合数据。
VS
详细描述
通过结合深度学习技术，对EM算法进行 改进，使其能够更好地处理大规模、高维 度的数据集。具体而言，利用深度神经网 络对潜在变量进行建模，提高了EM算法 的收敛速度和模型拟合效果。
基于贝叶斯推断的EM算法改进
总结词
贝叶斯推断是一种强大的统计推理方法，基于贝叶斯推断的EM算法改进旨在提高算法 的稳健性和解释性。
似然估计或最大后验概率。
EM算法在许多领域都有广泛应 用，如机器学习、统计学、信号
处理等。
EM算法的步骤
E步（Expectation Step）：在每次 迭代中，根据当前的参数估计值，计 算出数据的期望值。
M步（Maximization Step）：根据E 步计算出的期望值，更新参数的估计 值。
EM算法的应用场景
通过将强化学习与EM算法相结合，利用强化学习的方法对 EM算法进行改进，使其能够更好地适应动态环境和自适应 决策。基于强化学习的EM算法能够根据环境反馈进行自我 调整和优化，从而提高算法的性能和适应性。
EM算法及其应用实例

EM算法及其应用实例


Gaussian Mixture Model -Generative Model
Gaussian Mixture Model-Generative Model
Gaussian Mixture Model-Generative Model
Gaussian Mixture Model-Generative Model
Probabilistic Latent Semantic Analysis Model -Generative Model • 问题提出 • 如果时间回到2006年，马云和杨致远的手还会握在一起吗/阿里巴巴集团和 雅虎就股权回购一事签署了最终协议
• 讲解：两个文本的完全不相关，但是事实上，马云和阿里巴巴集团，杨致远和雅虎有着密 切的联系，从语义上看，两者都和“阿里巴巴"有关系。
几个EM应用实例
• Gaussian Mixture Model • Probabilistic Latent Semantic Analysis Model • Latent Dirichlet Allocation Model
Gaussian Mixture Model-Generative Model
The LC Cluster Models
• Includes a K-category latent variable, each category representing a cluster. • Each cluster contains a homogeneous group of persons(cases) who share common interests, values, characteristics, and/or behavior(i.e. share common model parameters). • Note: Advantages over more traditional ad-hoc types of cluster analysis methods include selection criteria and probability-based classification. Posterior membership probabilities are estimated directly from the model parameters and used to assign cases to the modal class – the class for which the posterior probability is highest.

EM算法讲解PPT学习教案

第13页/共23页
P(H，Z | )
N
P(H j , z j1 , j2 | ) j1
2 10
E ( Z jk )
[wk * P(H j |k )]
k1 j1
6、参数ω和θ
KN
z jk
关于参数θ的更新：对原似然函数
[k * P( x j | k )]
KN
N k 1 j1
求对数得到
第12页/共23页
P(D, Z | )
N
P( x j , z j1 , z j2 ...z jk | ) j1
KN
z jk
[k * P( x j | k )]
k1 j1
6、例子
随机抽取10位同学测量他们的身高得到数据H 假设身高服从高斯分布。分别求男生女生身高 的均值和方差。(单位：CM)
4.重新调整簇中心，迭代 2~4步直到收敛。
Eik 可以作为聚类时候决策的依 据
第2页/共23页
2、问题描 述
假设给定一个样本集 D={x1,x2,x3....xn}且知道这个 样本集是由K个未知模型产生 的数据。我们需要通过这个 样本集去分别估计这K个概率 模型的参数θK (K=1,2,3….)
E-step:ω1=ω2=0.5,μ1=177 μ2=160,α12 =α22=总体方 差
E(Zm)
98 458
0.95 927
0.81 704
0.37 782
0.02 955
0.30 336
0.89 674
0.62 218
0.54 147
0.978 63
E(Zf)
0.01 0.04 542 073
K-means:
EM:
1.数据分为K个簇，随机 选取簇中心

EM算法(讲解+程序)

EM算法实验报告一、算法简单介绍EM 算法是Dempster，Laind，Rubin于1977年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE估计，是一种非常简单实用的学习算法。

这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据、截尾数据以及带有噪声等所谓的不完全数据，可以具体来说，我们可以利用EM算法来填充样本中的缺失数据、发现隐藏变量的值、估计HMM中的参数、估计有限混合分布中的参数以及可以进行无监督聚类等等。

本文主要是着重介绍EM算法在混合密度分布中的应用，如何利用EM算法解决混合密度中参数的估计。

二、算法涉及的理论我们假设X是观测的数据，并且是由某些高斯分布所生成的，X是包含的信息不完整（不清楚每个数据属于哪个高斯分布）。

，此时，我们用k维二元随机变量Z（隐藏变量）来表示每一个高斯分布，将Z引入后，最终得到：，，然而Z的后验概率满足（利用条件概率计算）：但是，Z nk为隐藏变量，实际问题中我们是不知道的，所以就用Z nk的期望值去估计它（利用全概率计算）。

然而我们最终是计算max：最后，我们可以得到（利用最大似然估计可以计算）：三、算法的具体描述3.1 参数初始化对需要估计的参数进行初始赋值，包括均值、方差、混合系数以及。

3.2 E-Step计算利用上面公式计算后验概率，即期望。

3.3 M-step计算重新估计参数，包括均值、方差、混合系数并且估计此参数下的期望值。

3.4 收敛性判断将新的与旧的值进行比较，并与设置的阈值进行对比，判断迭代是否结束，若不符合条件，则返回到3.2，重新进行下面步骤，直到最后收敛才结四、算法的流程图五、实验结果a_best=0.8022 0.1978 mu_best=2.71483.93074.9882 3.0102cov_best=(:,:,1) =5.4082 -0.0693-0.0693 0.2184(:,:,2) =0.0858 -0.0177-0.0177 0.0769f=-1.6323数据X的分布每次迭代期望值-50510利用EM估计的参量值与真实值比较（红色：真实值青绿色：估计值）六、参考文献1.M. Jordan. Pattern Recognition And Machine Learning2.Xiao Han. EM Algorithm七、附录close all;clear;clc;% 参考书籍Pattern.Recognition.and.Machine.Learning.pdf% % lwm@% 2009/10/15%%M=2; % number of GaussianN=200; % total number of data samplesth=0.000001; % convergent thresholdK=2; % demention of output signal% 待生成数据的参数a_real =[4/5;1/5];mu_real=[3 4;5 3];cov_real(:,:,1)=[5 0;0 0.2];cov_real(:,:,2)=[0.1 0;0 0.1];% generate the datax=[ mvnrnd( mu_real(:,1) , cov_real(:,:,1) , round(N*a_real(1)) )' , mvnrnd(mu_real(:,2),cov_real(:,:,2),N-round(N*a_real(1)))'];% for i=1:round(N*a_real(1))% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% end%% for i=round(N*a_real(1))+1:N% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% endfigure(1),plot(x(1,:),x(2,:),'.')%这里生成的数据全部符合标准%% %%%%%%%%%%%%%%%% 参数初始化a=[1/3,2/3];mu=[1 2;2 1];%均值初始化完毕cov(:,:,1)=[1 0;0 1];cov(:,:,2)=[1 0;0 1];%协方差初始化%% EM Algorothm% loopcount=0;figure(2),hold onwhile 1a_old = a;mu_old = mu;cov_old= cov;rznk_p=zeros(M,N);for cm=1:Mmu_cm=mu(:,cm);cov_cm=cov(:,:,cm);for cn=1:Np_cm=exp(-0.5*(x(:,cn)-mu_cm)'/cov_cm*(x(:,cn)-mu_cm));rznk_p(cm,cn)=p_cm;endrznk_p(cm,:)=rznk_p(cm,:)/sqrt(det(cov_cm));endrznk_p=rznk_p*(2*pi)^(-K/2);%E step%开始求rznkrznk=zeros(M,N);%r(Zpikn=zeros(1,M);%r(Zpikn_sum=0;for cn=1:Nfor cm=1:Mpikn(1,cm)=a(cm)*rznk_p(cm,cn);% pikn_sum=pikn_sum+pikn(1,cm);endfor cm=1:Mrznk(cm,cn)=pikn(1,cm)/sum(pikn);endend%求rank结束% M stepnk=zeros(1,M);for cm=1:Mfor cn=1:Nnk(1,cm)=nk(1,cm)+rznk(cm,cn);endenda=nk/N;rznk_sum_mu=zeros(M,1);% 求均值MUfor cm=1:Mrznk_sum_mu=0;%开始的时候就是错在这里，这里要置零。

第9章 EM算法 (《统计学习方法》PPT课件)

第九章 EM期望极大算法
问题提出
问题提出
• 绿地、水体、道路、裸地、居民建筑用地等； • 采用的遥感影像是Quickbird 数据， • 图像大小为317行x315列， • 空间分辨率为2.44m， • 4个波段(蓝光波段、绿光波段、红光波段和近红外波段)。
问题提出
问题提出
• 100个男、女身高，分布？男多少？女多少？
• 1、明确隐变量，写出完全数据的对数似然函数： • 完全数据： • 似然函数：
EM算法在高斯混合模型学习中的应用
• 1、明确隐变量，写出完全数据的对数似然函数：
EM算法在高斯混合模型学习中的应用
• 2、EM算法的E步，确定Q函数
• 第j个观测数据来自第k个分模型的概率，称为分模 型k对观测数据yj的响应度。
• 证明：由
• 由：
EM算法的收敛性
• 令： • 则： • 得：
• 只需证右端非负
EM算法的收敛性
• 前半部分，Θ(i+1)为极大值，所以
• 后半部分：
EM算法的收敛性
• 定理9.2:
• 设L(Θ)=logP(Y|Θ),为观测数据的对数似然函数，Θ(i)(i=1,2..）为EM 算法得到的参数估计序列，L(Θ(i))为对应的对数似然函数序列，
EM方法
Q函数定义： 完全数据的对数似然函数logP(Y,Z|Θ)关于在给定观测 数据Y和当前函数Θ(i)下对未观测数据Z的条件概率分 布 P(Z|Y, Θ(i)),的期望称为Q函数，即：
EM方法
• 算法说明： • 步骤3，完成一次迭代：Θ(i)到Θ(i+1)，将证明每次迭代使似然函数
增大或达到局部最大值。 • 步骤4，停止迭代的条件
F函数的极大—极大算法

机器学习原理及应用课件第8章


EM算法的流程
• 输入：联合概率分布函数 P(x, z；;观) 察数据 (x；1, x隐2, 变, x量m )
；
EM(算z1法, z迭2 , 代次, z数m )M。
• 输出：模型 P(x; M )
EM算法的流程
EM算法的优点
• EM算法相比于其他算法的优势是其求解框架可以加入求解目标的 额外约束，例如在高斯混合模型的例子中，EM算法在求解协方差 时可以确保每次迭代的结果都是正定矩阵。
算性别分布 完为止。
P称(zi 为k，|Px(并的iz)i 假后k | x设验i) 性概别率z为分i 布，表mka，x示P(直zi 来到k |自将xi)第所有k个样高本x斯i都分归布类
的概率。
EM算法的应用之高斯混合模型
• 根据贝叶斯定理有
P(zi k | xi )
P(zi k)P(xi | zi k)
EM算法的应用之隐马尔科夫模型
• EM算法的另一个典型应用就是隐马尔可夫模型。隐马尔可夫模型 是经典的序列建模算法，在语音识别、词性标注、机器翻译等领 域有着广泛的应用。
• 估计隐马尔可夫模型的参数就是带有隐变量的极大似然估计问题， 所以可以用EM算法进行参数估计。
EM算法的应用之隐马尔科夫模型
观察数据em算法的流程em算法的优点em算法相比于其他算法的优势是其求解框架可以加入求解目标的额外约束例如在高斯混合模型的例子中em算法在求解协方差时可以确保每次迭代的结果都是正定矩阵
第8章 EM算法及其应用
主要内容
• EM算法的简介 • EM算法的数学推导 • EM算法的流程 • EM算法的优缺点 • EM算法的应用
• 最后考虑参数。k 在满足
且 K
k 1
的条k 0件下极大化Q函数，这是一
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• 问题提出
• 假设我抽到了200个人的身高数据，现在每一个数据我都不知道那个是男 的那个是女的，也就是说我想分别估计男女身高平均值(mean)、方差 (variance)，有点困难。
EM算法推导过程
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EM算法推导过程
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EM算法推导过程
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EM算法推导过程
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Gaussian Mixture Model-Generative Model
Probabilistic Latent Semantic Analysis Model -Generative Model
• 问题提出 • 如果时间回到2006年，马云和杨致远的手还会握在一起吗/阿里巴巴集团和
雅虎就股权回购一事签署了最终协议
• 在统计计算中，最大期望（EM）算法是在概率（probabilistic）模型中寻找 参数最大似然估计或者最大后验估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测 的隐藏变量（Latent Variable）。最大期望经常用在机器学习和计算机视觉的 数据聚类（Data Clustering）领域。
最大期望算法简介（Expectation Maximization）
• 潜变量（Latent Variable）
• 潜变量是指无法直接测量的变量，必须以统计方法来估计出变量的状态。 一般我们所搜集的研究资料，都是可以直接测量观测的变量数据，因此 称这类数据为外显变量(manifest variable)、观测变量（Observed variable） 或可测量变量(measured variable)。
• 潜变量根据连续与否有分为类别变量（Categorical variable）和连 续变量（Continuous variable）
潜类别分析(Latent Class Analysis)
• 不同类型潜变量模型
潜变量 类别 连续Class Analysis）
潜在剖面分析 （Latent Pro）
潜在特质分析
（Latent Trait Analysis or Item Response Theory）
因素分析 （Factor Analysis）
• 潜类别分析用来探讨类别外显变量背后的类别潜在变量的较好分 析技术，从本质上来讲，仍然是统计方法。
变量英文名称
• 讲解：两个文本的完全不相关，但是事实上，马云和阿里巴巴集团，杨致远和雅虎有着密 切的联系，从语义上看，两者都和“阿里巴巴"有关系。
• 富士苹果真好，赶快买/苹果四代真好，赶快买
• 两者非常相似，但是事实上，2个句子从语义上来讲，没有任何关系，一个是”水果“另一 个是”手机"。
Probabilistic Latent Semantic Analysis Model -Generative Model
Kinds of Latent Class Models
• Latent Class Models were divided into three different model structures: LC Cluster, DFactor Models, LC Regression models.
Probabilistic Latent Semantic Analysis Model
最大期望算法简介（Expectation Maximization）
目录（content）
几个EM应用实例
潜类别分析(Latent Class Analysis)
潜类别分析(Latent Class Analysis)
最大期望算法简介（Expectation Maximization）
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• 定义：最大期望算法（Expectation Maximization Algorithm，又译期望最大化 算法），是一种迭代算法，用于含有隐变量（hidden variable）的概率参数 模型的最大似然估计或极大后验概率估计。
最大期望算法简介（Expectation Maximization）
目录（content）
几个EM实例
潜类别分析(Latent Class Analysis)
最大期望算法简介（Expectation Maximization）
目录（content）
几个EM应用实例
潜类别分析(Latent Class Analysis)
P(D)
P(Z|D)
P(W|Z)
概
率
图
D
ZW
N篇文档；M个单词；K个类别
Probabilistic Latent Semantic Analysis Model 可以用EM算法来求这两类未知变量
Probabilistic Latent Semantic Analysis Model
Probabilistic Latent Semantic Analysis Model
• 因变量：Dependent Variable; Explained Variable; Response Variable; Predicted Variable;
• 自变量：Independent Variable; Explanatory Variable; Control Variable; Predictor Variable; Regressor; Covariate
Gaussian Mixture Model-Generative Model
Gaussian Mixture Model -Generative Model
Gaussian Mixture Model-Generative Model
Gaussian Mixture Model-Generative Model
求出的theta是局部最优，不 是全局最优
EM算法推导过程
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最大期望算法简介（Expectation Maximization）
目录（content）
几个EM应用实例
潜类别分析(Latent Class Analysis)
几个EM应用实例
• Gaussian Mixture Model • Probabilistic Latent Semantic Analysis Model • Latent Dirichlet Allocation Model