优化模型的三要素

作业1. 阐述优化设计数学模型的三要素。

写出一般形式的数学模型。

答：建立最优化问题数学模型的三要素：（1）决策变量和参数。

决策变量是由数学模型的解确定的未知数。

参数表示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。

（2）约束或限制条件。

由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。

（3）目标函数。

这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的目标。

2. 阐述设计可行域和不可行域的基本概念答：约束对设计点在设计空间的活动范围有所限制。

凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的可能活动范围，称可行设计区域(可行域)。

不能满足所有约束条件的设计空间便是不可行设计区域(不可行域)。

3、无约束局部最优解的必要条件？答： （1）一元函数(即单变量函数) 极值点存在的必要条件如果函数f (x )的一阶导数f’(x )存在的话，则欲使x *为极值点的必要条件为： f’(x *)=0但使f’(x *)=0的点并不一定部是极值点；使函数f (x )的一阶导数f’(x )=0的点称为函数f (x )的驻点；极值点(对存在导数的函数)必为驻点，但驻点不一定是极值点。

至于驻点是否为极值点可以通过二阶导数f’’(x )=0来判断。

（2）n 元函数在定义域内极值点X *存在的必要条件为即对每一个变量的一阶偏导数值必须为零，或者说梯度为零(n 维零向量)。

▽f (X*)=0是多元函数极值点存在的必要条件，而并非充分条件；满足▽f (X*)=0的点X *称为驻点，至于驻点是否为极值点，尚须通过二阶偏导数矩阵来判断。

3. 阐述约束优化问题最优解的K-T 条件。

答：K-T 条件可阐述为：如果X (k)是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度▽f (X (k))可表示成该点诸约束面梯度为▽g u (X (k))、▽h v (X (k))的如下线性组合：()()()()0****21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∇T n x X f x X f x X f X f式中：q —在X (k)点的不等式约束面数；j —在X (k)点的等式约束面数；λu (u =1,2,…q )、μv (v =1,2,…j )——非负值的乘子，亦称拉格朗日乘子。

油田开发方案的规划油田开发方案的规划是指油田开发进入递减期后，为了延缓产量的递减、成本的上升、保持产量的相对稳定而采取的相应措施. 一、 问题的提出经过充分的对油田开发的研究，确定最优的开发方案，在经济、政治、科学、技术等允许条件下,使投入产出比达到最低，社会、科技、经济的效益最佳。

二、 问题的分析建立一个优化模型的三要素是：决策变量、目标函数、约束条件。

1、 决策变量取个采油厂的产油量为决策变量，由于其他指标可以由产油量决定，我们设x j 为第j 厂在规划年的产油量,j=1,2…n;万吨. 2()11max n ni j j j j F x a x c x ===-∑∑其中a 为规划年限的单位油价（万元/万吨）,c j 为第j 个采油厂在规划年的单位产油量的操作成本(万元/万吨）：j j c j =第个采油厂在规划年的总操作成本（万元）第个采油厂在规划年的总采油量（万吨）j j ≈第个采油厂在规划年以前的总操作成本（万元）第个采油厂在规划年以前的总产油量（万吨）3、 约束条件约束条件可以分为客观方面的约束条件和主观方面的约束条件,客观方面的约束条件主要是油田自身开发的条件制约，由于油田大小和油田钻井数的约束；主观方面主要是由于管理而产生的约束，如油田的投资和操作成本上限的约束.关于产油量：本次讨论对产油量的约束条件为在考虑国家对原油的需求量、石油地质储量、油田开发技术、开发规律后与油田磋商后的最第产油量：11nij xd =≥∑关于投资：投资包括油田的生产、经营、管理的一切费用，最大投资为：221njj a xd =≤∑其中a 2为在规划年限以前单位产油量的总投资.关于工作量:能完成公司的生产要求、又能使油田的效益最大的最小工作量:331njj a xd =≥∑以及其他等等的约束量.三、模型的公式化通过以上分析，假设一共有m 个约束条件，对规划年的产量分配则有如下线性规划模型:()11max n ni j j j j F x a x c x ===-∑∑S ．t ．0Ax dx ≤⎧⎨≥⎩其中 12(x ,x ,,x )T n x =2122212111n m m mn a a a A a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例：我国大多数油田已进入递减阶段，表现为后备储量不足，资源接替困难,高含水,高采出程度,稳定产量难度大；原油成本迅速上升；资金短缺，难以筹集;设备新度系数低，老化严重。

主成分分析优化模型三要素
主成分分析（PCA）优化模型的三个要素是：
1. 变量选择：PCA分析是基于协方差矩阵或相关系数矩阵进行的,因此需要根据研究目的和数据类型选择适合的变量。

一般来说,变量数目应该比样本数少,并且变量之间不能存在高度的共线性。

2. 主成分数目选择：主成分数目应该足够大以解释数据的大部分变异,并且足够小以保留数据的主要信息。

一般来说,可以采用Kaiser准则和Scree图两种方法确定主成分数目。

3. 主成分旋转方法选择：主成分旋转是为了将主成分与原始变量联系起来,使得每个主成分都有解释上的可比性。

常用的旋转方法有Varimax、Quartimax、Equamax等方法。

选择旋转方法要基于数据类型和实际需求来进行。

1.优化设计数学模型的三要素是什么？试写出其数学表达式。

2.常用的迭代终止准则有哪些？(1)点距准则 ||Xk+1-Xk||≤ε(2)值差准则 |f(Xk+1)-f(Xk)|≤ε(3)梯度准则 ||▽ f(Xk+1) ||≤ε3.设计的变量和设计空间的关系是什么？由n个设计变量x1,x2,…xn为坐标所组成的实空间称作设计空间。

4.梯度和方向导数的关系是什么？梯度▽ F(X) 是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向（方向导数最大的方向）。

5.如何判断矩阵的正定性？若有HTHX>0，则称矩阵H是正定矩阵；矩阵A正定的条件是A的各阶主子式大于零。

6.为什么说正定二次函数在最优化理论中具有特殊意义？因为许多最优化理论和最优化方法都是根据正定二次函数提出并加以证明的,而且所有对正定二次函数适用并有效的最优化算法,经证明,对一般非线性函数也是适用和有效的。

7.什么是库恩-塔克条件？其几何意义又是什么？等式约束：不等式约束：8.为什么二次插值法的收敛速度要比黄金分割法快？而在相同τ下的实际精度没有黄金分割法高？9.试写出梯度法（最速下降法）的迭代算法公式，并简要叙述该算法的特点。

公式：方法特点：1）初始点可任选，每次迭代计算量小，存储量少，程序简短。

即使从一个不好的初始点出发，开始的几步迭代，目标函数值下降很快，然后慢慢逼近局部极小点；2）任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径为绕道逼近极小点。

当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。

梯度法只具有线性收敛速度。

10.梯度法计算速度慢的原因是什么？为什么一些好的算法第一步迭代都以负梯度作为搜索方向？在迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折的路线，形成“之”字形的锯齿现象，而且越接近极小点锯齿越细。

11.牛顿方向如何得到？有何优点？12.共轭方向如何产生？有何优点？13.线性规划的基本解、基本可行解和最优解之间有什么关系？14.在解的转换中，如何保证目标函数值不仅下降，而且下降的最多？15.非线性约束最优化问题的求解方法有哪两类？各有什么特点？16.约束优化方法中的可行方向法产生可行方向应满足什么条件？试用文字描述并用公式表达。

第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是设计变量 、 目标函数 、 约束条件。

2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵 为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数。

4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。

5.约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。

6.随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例递增的方法。

7.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较 慢 。

8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无 约束优化问题，这种方法又被称为升维法。

10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为单变量的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束，，另外应当尽量减少不必要的约束。

13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1,空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。

14.数学规划法的迭代公式是1k k k k X X d α+=+，其核心是建立搜索方向，和计算最佳步长15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。

16.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。

二、名词解释1．凸规划对于约束优化问题()min f X..s t ()0j g X ≤(1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸规划。