一次函数的平移、轴对称、旋转

考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。

各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。

也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。

故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。

一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一：一次函数的图象与平移一．一次函数的图象1．下列函数：①y＝4x；②y＝﹣；③y＝；④y＝﹣4x+1，其中一次函数的个数是（）A．1B．2C．3D．42．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（）A．将1向右平移4个单位长度B．将1向左平移4个单位长度C．将1向上平移4个单位长度D．将1向下平移4个单位长度5．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（）A．k1k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＞0D．b1b2＞0考向二：一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上1．一次函数y＝﹣3x+1的图象经过（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定3．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m 的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜14．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（）A．函数图象经过第一、二、四象限B．图象与y轴的交点坐标为（1，0）C．y随x的增大而减小D．图象与坐标轴调成三角形的面积为5．已知点（﹣2，y1），（2，y2）都在直线y＝2x﹣3上，则y1y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）考向三：待定系数法求一次函数的解析式1．一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（）A．B．C．D．2．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（）A．2B．﹣2 C．2或﹣2D．m的值不存在3．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣3．则当x＝﹣时，y＝．4．已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．（1）求此一次函数表达式；（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD的解析式．考向四：一次函数与方程不等式间的关系1．已知方程2x﹣1＝﹣3x+4的解是x＝1，则直线y＝2x﹣1和y＝﹣3x+4的交点坐标为（）A．（1，0）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）2．如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为．3．如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是（）A．B．C．D．4．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝．5．若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．16．如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是，当y1＞y2时，x的取值范围是，当y1＜y2时，x的取值范围是．7．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝，n＝．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：．（3）当时，x的取值范围为．考向五：一次函数与三角形面积一．一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；二．一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。

专题24 一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称（原卷版）类型一 平移1．（2022秋•南京期末）将一次函数y ＝﹣2x +3的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（ ）A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝﹣2x ﹣5C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝﹣2x +72．（2022秋•埇桥区期中）将直线y ＝x +1向上平移5个单位长度后得到直线y ＝kx +b ，则下列关于直线y ＝kx +b 的说法错误的是（ ）A ．函数图象经过第一、二、三象限B ．函数图象与x 轴的交点在x 轴的正半轴C ．点（﹣2，4）在函数图象上D ．y 随x 的增大而增大3．（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =√33x +1与直线l 2：y =√3x 交于点A 1，过A 1作x 轴的垂线，垂足为B 1，过B 1作l 2的平行线交l 1于A 2，过A 2作x 轴的垂线，垂足为B 2，过B 2作l 2的平行线交l 1于A 3，过A 3作x 轴的垂线，垂足为B 3…按此规律，则点A n 的纵坐标为（ ）A ．（32）nB ．（12）n +1C ．（32）n ﹣1+12D ．3n −124．（2022•南京模拟）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD 截得的线段长度m 与直线在x 轴上平移的距离t 的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．5B ．5√2C ．10D ．10√25．（2021秋•白银期末）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，且P'在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为．6．（2008秋•宿迁期末）已知直线l1：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为4．（1）求直线l1的解析式；（2）直线l1经过怎样平移可以经过原点；（3）求直线l1关于y轴对称的直线的解析式．类型二旋转7．（2022•碑林区二模）把一次函数y＝x+1的图象绕点（2，0）顺时针旋转180°所得直线的表达式为（）A．y＝﹣x+2B．y＝﹣x+3C．y＝x﹣4D．y＝x﹣58．（2022•安阳县一模）将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数图象是（）A．B．C．D．9．（2021秋•华容区期末）已知一次函数y＝3x+12的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB 绕点A顺时针旋转90°，则点B的对应点B'的坐标为（）A．（8，﹣4）B．（﹣16，4）C．（12，8）D．（﹣12，16）10．（2021秋•三元区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（）A．（0，﹣4）B．（0，−94）C．（0，−43）D．（0，−34）11．（2022秋•虹口区校级月考）平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（）A．y=−12x−11B．y=−12x−2C．y=12x+1D．y=12x−812．（2022•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（）A．﹣1B．0C．1D．213．（2022•敖汉旗一模）如图一次函数y＝x+√3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B 顺时针旋转30°交x轴于点C．则线段AC的长为．14．（2022春•顺德区校级月考）如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q 的坐标为．15．（2022秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A 顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．类型三对称16．（2021秋•藤县期末）直线y＝2x+3与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为（）A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣317．已知，点A（m+1，1），B（3，n﹣2）关于x轴对称，则一次函数y＝mnx﹣n的图象大致是图中的（）A．B．C．D．18．（2021秋•新郑市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，m）在第三象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（）A．3B．1C．﹣1D．﹣319．（2022秋•苏州期末）如图，直线y=−23x+4交x轴，y轴于点A，B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P'恰好落在x轴的正半轴上，则点P'的横坐标为（）A．313B．35C．53D．13320．（2021春•莒南县期末）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为．21．已知直线l1的解析式为y＝2x﹣6，直线l2与直线l1关于y轴对称，则直线l2的解析式为．22．（2022•南通一模）已知一次函数y＝2x+3，则该函数图象关于直线y＝x对称的函数解析式为．23．（2022秋•望花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+6交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是．24．（2022秋•沙坪坝区期末）如图，正比例函数y1＝x与一次函数y2=ax−53(a≠0)交于点A（﹣1，m）．（1）求出一次函数y2的解析式，并在图中画出一次函数y2的图象；（2）点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，过点B作直线BD∥x轴，交一次函数y2的图象于点D，求△CBD的面积．25．（2022秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G 的[l1，l2]伴随图形．例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为；（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为；②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．。

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35. 【中】将直线 y = 2 x − 3 向下平移 4 个单位可得直线______，再向左平移 2 个单位可得 直线_______ 【答案】 y = 2 x − 7 ， y = 2 x − 3 36. 【中】将直线 y = 2 x + 1 向下平移 3 个单位，得到的直线应为_______，关于 y 轴对称的 直线为________ 【答案】 y = 2 x − 2 ， y = −2 x − 2 37. 【中】 （沈阳）将 y = −3x + 4 先向左平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的直线 为__________． 【答案】 y = −3x − 10 38. 【中】 （2009 青海）直线 y = x + 2 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位所得直线的 解析式为________ 【答案】 y = x − 3 39. 【中】若直线 y = kx + b 平行直线 y = 3x + 4 ，且过点 (1，− 2 ) ，则将 y = kx + b 向下平移
3 个单位的直线是______. 【答案】 y = 3x − 8
1) ，则平移后的直线的函数关系式为 40. 【中】将直线 y = −3x + 5 平移，使它经过点 ( −1，
________ 【答案】 y = −3x − 2
41. 【中】已知一次函数 y = −3x + 2 ，它的图象不经过第____象限，将直线 y = 2 x − 4 向上 平移 5 个单位后，所得直线的表达式为________ 【答案】三， y = 2 x + 1 42. 【中】 （2010 人大附初二上统练）若直线 y = − mx + 1 + n 沿着 x 轴向左平移 3 个单位得 到 y = − x + 1 ，则 m − n = __________． 【答案】 −2 43. 【中】 （2009 枣庄）在直角坐标系中有两条直线 l1 、 l2 ，直线 l1 所对应的的函数关系式 为 y = x − 2 ，如果将坐标纸折叠，使 l1 与 l2 重合，此时点 ( −1，0 ) 与点 ( 0 ，− 1) 也重合， 则直线 l2 所对应的函数关系式为______________ 【答案】 y = x + 2

一次函数的知识点一、函数基本概念一次函数的定义：形如y = kx + b（其中k和b是常数，且k ≠ 0）的函数称为一次函数。

二、一次函数的性质1、斜率（k）：当k > 0时，函数图像从左到右上升，即函数是增函数。

当k < 0时，函数图像从左到右下降，即函数是减函数。

斜率k表示函数图像与x轴正方向的夹角大小。

2、截距（b）：当x = 0时，y = b，即点(0, b)为一次函数与y轴的交点，b称为y轴截距。

3、图象：一次函数的图象是一条直线。

当k > 0时，直线从左到右上升；当k < 0时，直线从左到右下降。

三、一次函数的表达式1、点斜式：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)是直线上的一点。

2、斜截式：y = kx + b，其中k是斜率，b是y轴截距。

3、两点式：当已知直线上的两点(x1, y1)和(x2, y2)时，可以使用两点式(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)。

四、一次函数的应用1、线性方程：一次函数常用于表示线性方程，如ax + by = c（其中a和b不全为0）可以转化为斜截式y = (-a/b)x + (c/b)。

2、实际问题建模：一次函数常用于建模实际问题中的线性关系，如物价增长、距离速度时间的关系等。

五、一次函数的平移和对称1、平移：2、上下平移：上加下减，即y = kx + b向上平移m个单位变为y = kx + (b + m)，向下平移m个单位变为y = kx + (b - m)。

3、左右平移：左加右减，即y = kx + b向左平移m个单位变为y = k(x + m) + b，向右平移m个单位变为y = k(x - m) + b。

4、对称：一次函数图像关于x轴对称时，其解析式中的y变为-y，即y = -kx - b。

一次函数图像关于y轴对称时，其解析式中的x变为-x，即y = -kx + b。

一次函数图象的变换（一）——平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。

知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。

我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b )，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+ h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。

下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。

分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。

平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+ h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。

解：设平移后的直线解析式为y=2x+h点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1），将点（1，-1）代入y=2x+h中得：-1=2×1+hh=-3所以平移后直线的解析式为y=2x-3例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。

分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0,2）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1,2）。

设出平移后的解析式为y =kx+h，根据斜率k =2不变，以及点（1,2）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。

解：设平移后的直线解析式为y=2x+h.易知点（0，-1）在直线y=2x-1上，则此点按要求平移后的点为：平移后得到的点（1,2）在直线y=2x+h 上则：2=2×1+hh=0所以平移后的直线解析式为y=2x总结：求直线平移后的解析式时，只要找出一个点坐标，求出按要求平移后此点的坐标变为多少，再根据斜率不变和变化后的点来求解析式。

一次函数旋转规律口诀1.引言1.1 概述一次函数旋转规律是数学中一个重要的概念，特指一次函数旋转后的图像和性质的变化规律。

一次函数，也称为线性函数，是指函数的表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于0。

在研究一次函数旋转规律之前，我们先了解一次函数的基本定义和特点。

一次函数的图像在坐标平面上呈现为一条直线，具有以下几个特点：1. 斜率：一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，斜率的绝对值越大，图像离纵轴的距离变化越快。

斜率可以用来表示一次函数的变化速率，它等于函数定义中的系数a。

2. 截距：一次函数的截距表示函数图像与纵轴的交点位置，即x轴截距和y轴截距。

x轴截距为函数定义中的常数b除以系数a的相反数，y 轴截距为常数b。

3. 单调性：一次函数的图像在整个定义域上是单调递增或单调递减的。

当斜率a大于0时，函数图像递增；当斜率a小于0时，函数图像递减。

了解了一次函数的定义和特点后，我们可以进一步研究一次函数的旋转规律。

一次函数的旋转规律指的是当一次函数的图像沿着一定规律进行旋转后，新的图像所呈现的变化规律。

在这篇文章中，我们将详细探讨一次函数旋转规律的性质和应用实例。

通过深入研究这一规律，我们可以更好地理解和应用一次函数的概念，并在解决实际问题时能够灵活运用相关知识。

接下来，我们将首先介绍一次函数的定义和特点，然后详细讨论一次函数的图像和性质，最后总结一次函数的旋转规律，并给出一些实际应用的例子。

通过阅读本文，读者将能够全面了解一次函数旋转规律的重要性和实际应用的意义，为进一步深入学习数学奠定坚实的基础。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写：文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面内容。

概述部分简要介绍了本文要讨论的主题——一次函数旋转规律，以及该主题的重要性；文章结构部分介绍了本文的整体结构，包括引言、正文和结论，并指出各部分内容的主要目标；目的部分明确了本文要达到的目标，即通过介绍一次函数旋转规律，帮助读者更好地理解和掌握一次函数的性质和图像变化规律。

2.用待定系数法求一次函数解析式
一次函数的图象及性质
名称
一次函数
图象 性质
k＞0，y随 着x的增大 而 增大 .⁠
当b＞0，图象经过 第一、二、三象 限，直线与y轴交点 在正半轴
名称
图象 性质
k＞0，y随 着x的增大 而 增大 .⁠
一次函数
当b＝0，图象经过 第一、三象限，直 线与y轴交点在原 点，正比例函数
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.（2023·鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图
所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子
“帅”位于点（－2，－1）的位置，则在同一坐标系下，经过
棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ A ）
A.y＝x＋1
B.y＝x－1
A.k＞0 C.k＋b＞0
第10题图 B.kb＜0 D.k＝－b
11.（2023·安徽月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ ax＋a2与y＝a2x＋a的图象可能是（ D ）
A.
B.
C.
D.
12.（2023·绍兴质检）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3） 为直线y＝－2x＋3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正 确的是（ D ）
类型一 一次函数和正比例函数的定义
1.（2023·乐山）下列各点在函数y＝2x－1图象上的是（ D ）
A.（－1，3）
B.（0，1）
C.（1，－1）
D.（2，3）
2.（2023·金昌）若直线y＝kx（k是常数，k≠0），经过第一、第
三象限，则k的值可为（ D ）
A.－2
B.－1

知识回顾专题15一次函数的应用与综合1. 一次函数的图像与性质：一次函数与x 轴的交点坐标公式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 ，k；与y轴的交点坐标公式为：()b ，0。

2. 一次函数的平移：①左右平移，自变量上进行加减。

左加右减。

即若()0≠+=k b kx y 向左移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()()0≠++=k b m x k y ；若()0≠+=k b kx y 向右移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()()0≠+-=k b m x k y 。

②上下平移，解析式整体后面进行加减。

上加下减。

k 的取值 b 的取值 所在象限y 随x 的变化情况大致图像0＞k0＞b （图像交于y 轴正半轴）一二三象限y 随x 增大而增大0＜b （图像交于y 轴负半轴）一三四象限0＜k0＞b （图像交于y 轴正半轴）一二四象限y 随x 减小而减小0＜b （图像交于y 轴负半轴）二三四象限即若()0≠+=k b kx y 向上移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()0≠++=k m b kx y ；若()0≠+=k b kx y 向下移动了m 个单位，则平移后的函数解析式为：()0≠-+=k m b kx y 。

3. 一次函数的对称变换：①若一次函数关于x 轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。

即()0≠+=k b kx y 关于x 轴的函数解析式为：()0≠+=-k b kx y ，即()0≠--=k b kx y 。

②若一次函数关于y 轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。

即()0≠+=k b kx y 关于y 轴的函数解析式为：()()0≠+-=k b x k y ，即()0≠+-=k b kx y 。

③若一次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。

即()0≠+=k b kx y 关于原点的函数解析式为：()()0≠+-=-k b x k y ，即()0≠-=k b kx y 。

一次函数旋转任意角度规律
一次函数的旋转知识点：
1.旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。

2.旋转的性质：
旋转后得到的图形与原图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。

中心对称
1.中心对称的定义：
如果一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么这两个图形叫做中心对称。

2.中心对称图形的定义：
如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形。

3.中心对称的性质：
在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。

轴对称
1.轴对称的定义：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.轴对称图形的性质：
①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

③等腰三角形的“三线合一”。

3.轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。

图形变换
图形变换的定义：图形的平移、旋转、和轴对称统称为图形变换。

微专题六 一次函数的图 象与几何变换
专题解读
一次函数图象的平移规律：左加右减、上加 下减；图象的平移不改变 k 的值．
探究一 一次函数图象的平移
典型例题 1 一次函数 y＝kx＋b 的图象，如图 所示．
(1) 求这个一次函数的表 达式；
(2) 如果这个一次函数的图象向上平移 m 个单位得到的图象恰与它向右平移 n 个单位得 到的图象完全相同，求 m，n 之间的关系.
解：(1)这个一次函数的表达式为 y＝－21x ＋2；
(2)依题意可得：－12x＋2＋m＝－12(x－n) ＋2，
化简得：m＝21n.
对点自测
1. 直线 y＝2x＋2 沿 y 轴向下平移 6 个单位 后与 x 轴的交点坐标是( D )
A. (－4，0)
B. (－1，0)
C. (0，2)
D. (2，0)
A. (0，4) B. (0，3) C. (－4，0) D. (0，－3)
解：∵直线 y＝－43x＋8 与 x 轴，y 轴分别
交于点 A 和点 B， ∴y＝0 时，x＝6， 则 A 点坐标为：(6，0)， 当 x＝0 时，y＝8， 则 B 点坐标为(0，8)； ∴BO＝8，AO＝6， ∴AB＝ 82＋62＝10，
A. (－2，0)
B. (2，0)
C. (－6，0)
D. (6，0)
解：∵直线 l1 经过点(0，4)，l2 经过点(3， 2)，且 l1 与 l2 关于 x 轴对称，
∴两直线相交于 x 轴上，直线 l1 经过点(3， －2)，l2 经过点(0，－4)，
把点(0，4)和点(3，－2)代入直线 l1 的表达 式 y＝kx＋b，则有
2. 如图，直线 l1 与直线 l2 关于 y 轴对称， 4

一次函数【一次函数图象的平移规律】一个点作上下平移时，横坐标不变，纵坐标发生变化（向上平移,纵坐标变大；向下平移,纵坐标变小）。

同理，一个点作左右平移时，纵坐标不变，横坐标发生变化（向右平移,横坐标变大，向左平移，横坐标变小）。

由于图形在平移时，图形上的每一个点都作了相同的平移，所以在理解一次函数平移时，只须抓住一个点的变化去理解就行了。

直线y=kx+b上下平移m个单位时，每个对应点的x取值不变，但对应的函数值y增加或减少m个单位，故解析式变为y=kx+b±m。

直线y=kx+b左右平移时，我们不防将函数解析式变一下形，得到 x = yk－bk当直线y=kx+b，即x = yk－bk左右平移m个单位时，每个对应点的y取值不变，但对应的函数值x减少或增加m个单位，故解析式变为 x = yk－bk-m或 x =yk－bk+m 化成一般式就得到 y=kx+b±km 即y=k(x±m)+b观察得出规律：直线y=kx+b平移时，“上加下减只变b,左加右减括号里”【例谈求一次函数解析式的常见题型】一. 定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。

如本例中应保证二. 点斜型例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

三. 两点型已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

五. 斜截型例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

六. 平移型例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

七. 实际应用型例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。

）左右平移过程中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量，向左平移自变量变小，因此要加上平移的变大，因此要减去平移的量，简述为“左加右减”．
“左加右减，上加下减；左右平移在括号，上下平移在末稍”．
（）关于轴对称（翻折）后，纵坐标不变，横坐标变为相反数．
即关于轴对称后的解析式为18/06/12
x x 2y y =kx +b y
（）关于原点对称（绕原点旋转即关于原点对称后的解析式为【方法】口诀：“关于谁，谁不变；另一个，变相反；关于原点都要变”．
（）关于直线对称（翻折）
【方法】
①根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．3y =kx +b 已知直线与直线1y =kx +b 2y =n
【方法】根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．
直线绕原点逆时针旋转后的解析式为（ ）．
A. B. C. D. y =3x O 90∘y =− x 13
y =3x
y = x 13
y =−3x。

．
【变式题组】
01． (广西南宁)从 2，3，4，5 这四个数中，任取两个数 p 和 q(p≠q)，构成函数 y＝px－2 和 y＝x＋q，并使这两个
函数图象的交点在直线 x＝2 的右侧，则这样的有序数对(p，q)共有( )
A．12 对
B．6 对
C．5 对
D．3 对
02． (浙江竞赛试题)直线 l：y＝px(p 是不等于 0 的整数)与直线 y＝x＋10 的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是

x2 kx k
得
x


y

k2 1 k k2 1 k

2
，
∵两直线交点为整数，∴x、y 均为整数。 又当 x 为整数时，y 为整数，
∴
k2 1 k
为整数即可，
k2 1 k


k k
2 1


k
1 k 1
3

1
k
3 1
，
4
5
∵k－1 是整数，∴k－1＝±1，±3 时，x、y 为整数，∴k＝－2，0，2，4．所以选
1
3. 直线 y= x 向右平移 2 个单位得到直线
2
当
时，两直线相交。
当
时，两直线交于 y 轴上同一点。
☆特殊直线方程：
X 轴 : 直线
Y 轴 : 直线
与 X 轴平行的直线
与 Y 轴平行的直线
一、三象限角平分线
二、四象限角平分线
4. 直线 y= 3 x 2 向左平移 2 个单位得到直线 2
3、某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水 2 升，他们先同时打开两个放水龙头，后来因故障关闭一

知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。

坐标原点既属于x 轴，也属于y 轴。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

坐标平面内的点与有序实数对存在一一对应关系。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2、坐标轴上的点点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上的点点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等（一、三象限角分线即y=x ） 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数(二、四象限角分线即y= -x ） 4、和坐标轴平行的直线上点位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、对称点关于x 轴对称⇔横等纵反 关于y 轴对称⇔横反纵等关于原点对称⇔横反纵反6、距离（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x + （4）若()2211,),(y x B y x A则线段AB 的长：()()22122y y x xAB -+-=7、中点坐标：若()2211,),(y x B y x A则线段AB 中点C ⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x8、点的平移左右平移横标变…左减右加，上下平移纵标变…上加下减知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

2、将一个一次函数的图像向下平移2个长度单位后，所得的直线的关 系式为y=5x-4,求原函数直线向左平移5个单位长度得到直线，求直 线的解析式
简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线的 解析式为y=3x+b，直线交x轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为 (-1，0)．把(-1，0)坐标代入y=3x+b，得b=3，从而直线的解析式为 y=3x+3．
• 一、平移问题。
• 1、已知直线：y=2x-3，将直线向上平移2个单位长度得到直线，求直线的解析 式．
• 解：设直线的解析式为y=2x+b，直线交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度 后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线的解析式为 y=2x-1．
• 2 、已知直线：y=2x-3，将直线向下平移2个单位长度得到直线，求直线的解析 式．
4
A
3
2
1
01
2
3
4
B
2.已知，一次函数的图象经过点B (0，3)，与轴交于正半轴，且
9
与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为 解析式。
2
，求此一次函数的
总结：已知直线：y=kx+b，将直线向上(向下)平 移m个单位长度得到直线的解析式为
直线y kx b 向上平移m（m0）个单位长度 直线y kx b m 直线y kx b 向下平移m（m0）个单位长度 直线y kx b m
练习1、将y=8/3x+5图像向上平移3个单位长度，求现在的直线解析式。
一次函数对称规律探索
1.已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，求k、b的值。

一次函数图象的平移变换问题的探究求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行⇔12k k =.一、一次函数平移的三种方式：⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题：（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 ___，直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是所谓平移变换就是在平面内，.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ） （2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ） （3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.下面我们来探索直线的平移问题.【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=32x －2的关系. .【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．2lx练习1. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 2. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 3. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。

函数图像的对称性一、点的对称1、在平面直角坐标系中，已知点P),(ba，则（1）点P到x轴的距离为b；（2）点P到y轴的距离为a；（3）点P到原点O的距离为PO＝22ba+2、平行直线上的点的坐标特征：a)在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A、Bb)在与y点C、D的横坐标都等于n；3、对称点的坐标特征：c)点P),(nm关于x轴的对称点为),(1nmP-，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；d)点P),(nm关于y轴的对称点为),(2nmP-，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；e)点P),(nm关于原点的对称点为),(3nmP--，即横、纵坐标都互为相反数；关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称4、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：f)若点P（nm,）在第一、三象限的角平分线上，则nm=，即横、纵坐标相等；g)若点P（nm,）在第二、四象限的角平分线上，则nm-=，即横、纵坐标互为相反数；XXX XP在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上二、(一次函数)： 1、若直线与直线关于（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为 （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为（3）原点对称，则直线l 的解析式为 （4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为（5）直线对称，则直线l 的解析式为2、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠（2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b =（4）两直线垂直⇔121-=k k三、二次函数：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。