云南省曲靖市第一中学2021届高三高考复习质量监测卷(四)文科数学试题

理科数学参考答案·第1页（共10页）曲靖一中高考复习质量监测卷四理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DACBCADBCBBC【解析】1．{012}{|02}{|02}A B x x A B x x ==<<= ，，，，≤≤，故选D ． 2．1i1i1+=-关于实轴对称的点A 对应的复数为1i +，故选A . 3．A 企业的极差是945341-=，中位数是74，众数为74，平均数是74；B企业的极差是994851-=，中位数是68，众数为65，68，平均数是71.2，故选C ． 4．圆221()2()x y a -+-=的圆心为(1)a ，20x y -+=与圆221()2()x y a -+-=<，解得15a <<，所以“5a <”是“直线2y x =+与圆221()2()x y a -+-=相交”的必要不充分条件，故选B ．5．根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据1269x x ==，，满足12||2x x ->，所以进入循环体，输入3x ，判断3x 与1x ，2x 哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数p 作为该题的最后得分，因此由398.52x p +==，解出38x =，故选C ．6．1112133236BN AN AB AM AB AB BC AB AB BC ⎛⎫=-=-=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以，2136λμ+=-+=12-，故选A .7．根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体；如图1所示：2BC =，4CD =，4AD =，AB =PC =4PD =， AP =，6PB =，故选D ．图1理科数学参考答案·第2页（共10页）8．奇函数，当0x >时单增，故选B ．9．作出可行域如图2所示．因为(0)y ax z a =->，所以当直线(0)y ax z a =->经过点A 时，z 取得最大值．由10x a x y =⎧⎨+-=⎩，，解得点(1)A a a -，，所以2max (1)5z a a =--=，解得2a =或3a =-（舍去），故选C ．10．函数21π()sin cos sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到的图象对应的函数解析式为π()sin 2()3g x x ϕ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦πsin 223x ϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∵()g x 为奇函数，∴π2π()3k k ϕ-=∈Z ，解得：ππ()62k k ϕ=-∈Z ；当0k =时，π6ϕ=，故选B ．11．因为直线43200x y +-=与x 轴的交点为(50)，，故5c =，设双曲线C ：22221(0x y a a b-=>，0)b >的左焦点为1F ，连接1PF ，因为1||||||OP OF OF c ===，则1PFF △是以1FF 为斜边的直角三角形．又43PF k =-，所以14tan 3PFF ∠=，因为110FF =，所以186PF PF ==，，则221a a ==，，所以双曲线的离心率为5ce a==，故选B ． 12．由(2)()f x f x -=，可得(1)(1)f x f x -=+，则()f x 关于1x =对称，又因为函数()f x 为偶函数，所以()f x 是周期为2的函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，作函数()f x 的图象如图3：图2图3理科数学参考答案·第3页（共10页）方程()0f x kx k --=等价于()(1)f x k x =+，令()(1)g x k x =+，则()g x 的图象恒过点(10)-，，当0k >时，要使()g x 与()f x 只有5个交点，则(3)(3)(5)(5)f g f g >⎧⎨<⎩，，又(3)(5)(1)1f f f ===，所以1(3)1(5)g g >⎧⎨<⎩，，即1416k k >⎧⎨<⎩，，解得1164k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，；当0k <时，要使()g x 与()f x 只有5个交点，则1(5)1(7)g g >-⎧⎨<-⎩，，解得1146k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭；综上，1146k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ 1164⎛⎫⎪⎝⎭，，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，甲在乙前，故方法数为：262720⨯÷=！！．14．函数ln()y x b =+的导数为11y x b'==+，则1x b =-，∴切点为(10)b -，，代入y x a =-，得1ab +=，又∵a ，b 为正实数，即(01)a b ∈，，，∴212()213b a a b a b a b ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭≥ 21ab+的最小值为3+. 15．如图4所示：因为BC CD ⊥，AB ⊥底面BCD ，1BC =，2AB CD ==， 所以将三棱锥A BCD -放在长、宽、高分别为212，，的长方体中， 三棱锥A BCD -的外接球即为该长方体的外接球，外接球的直径3AD ===，利用张衡的结论可得2π5168=，则π=O 的表面积为234π9π2⎛⎫⨯== ⎪⎝⎭. 图4理科数学参考答案·第4页（共10页）16．在ABC △中，由余弦定理可得222||||||2||||cos CB AC AB AC AB BAC =+-∠，由题意||100||||4060BA CB AC BAC ==-∠=︒，，，整理可得：2220||10040AC =-，解得：||420AC =，在Rt OAC △中，30OAC ∠=︒，所以||||cos 420OA AC OAC =∠==，1||||sin 4202102OC AC OAC =∠=⨯=，在Rt OAH △中，45OAH ∠=︒，所以可得：||||OH OA ==，所以||||||210CH OH OC =+=+三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）解：（1）依题意得：积分数X 在区间(1015]，内的有一次在甲箱内摸奖机会，中奖率为510.510-=， …………………………………………………（2分） X 服从正态分布(525)N 1，，21525μσ==，， 得5σ=，积分数在区间(1015]，内的人数约为：0.6827200()200682P X μσμ⨯-<=⨯≈≤（人）， …………………………………………………（4分） 所以中奖的人数约为：680.534⨯=（人）． ……………………………………（5分） （2）中奖作业本数总和Y 的可能取值为01234，，，，． (0)0.50.50.25P Y ==⨯=； (1)20.30.50.3P Y ==⨯⨯=；(2)20.50.20.30.30.29P Y ==⨯⨯+⨯=；(3)20.20.30.12P Y ==⨯⨯=；(4)0.20.20.04P Y ==⨯=； …………………………………………………（8分） 故Y 的分布列为…………………………………………………（10分）Y 的数学期望为1.4. …………………………………………………（12分）Y 0 1 2 3 4 P0.250.30.290.120.04理科数学参考答案·第5页（共10页）18.（本小题满分12分）解：（1）依题曲线C 是椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得2a c c a ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2a c ==，，∴1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………………（5分） （2）由2214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2258440x mx m ++-=. 设11()A x y ，，22()B x y ，，则1285m x x +=-，212445m x x -=，∴12||||AB x x =-=5==， 又点(00)O ，到直线y x m =+的距离为d ==.所以OAB △的面积为11||22S AB d ==22515m m -+=，当且仅当225m m -=，即m =OAB △的面积有最大值为1， 此时直线l的方程为y x =. ………………………………………………（12分） 19.（本小题满分12分）（1）证明：在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，则ABC △是等边三角形，E 是BC 的中点，所以AE BC ⊥，而BC AD ∥，所以AE AD ⊥. PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥. PA AD A = ，PA AD ⊂，平面PAD ，所以AE ⊥平面PAD .理科数学参考答案·第6页（共10页）又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PAD . ……………………………………………（5分）（2）解：建立如图5所示的空间直角坐标系，设(00)P p ，，，(020)D ，，，00)E ，， 设(0)H n h ，，，10)B -，，则()EH n h = ，，平面PAD 的一个法向量为(100)m =，，，cos ||||EH m EH m EH m 〈〉==，． 设EH 与平面PAD 所成角为α，则sin α=cos α==，sin tan cos ααα==最小时，tan α取得最大值. 由tan α=== 最小时，表示A 到PD 的距离，所以直角PAD △. 又2AD =，因此45PDA ∠=︒，从而2PA AD ==，(002)P ，，. 设平面PAB 的一个法向量是111()u x y z = ，，，10)AB =-，，111200u AP z u AB y ⎧==⎪⎨-=⎪⎩ ，，取11x =，得(10)u = . 设平面PCD 的一个法向量是222()v x y z =，，，(022)PD =- ，，，10)DC AB ==- ，， 22222200v PD y z v DC y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，，取21x =，得(1v = ， cos 7||||u v u v u v 〈〉===，． 设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则cos θ=，所以sin θ=， 图5理科数学参考答案·第7页（共10页）sin tan cos 27θθθ===． …………………………………………………（12分） 20.（本小题满分12分）解：（1）当1n =时，114a S ==；当2n ≥时，将n 换成1n +得，1122n n S a ++=+及11n n n a S S ++=-，所以112()2n n n S S S ++=-+.整理得：122n n S S +=-，变形得：122(2)n n S S +-=-. 又122S -=，∴12222n n n S --== ，即22n n S =+， ∴当2n ≥时，2222n n n S a =+=+，解得：12n n a -=. ∵14a =，不适合12n n a -=，∴1412 2.n n n a n -=⎧=⎨⎩，，≥， …………………………………………………（6分） （2）由2log n n n a b a =及14122n n n a n -=⎧=⎨⎩，，≥，，得2111log 2122n n n n n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪⎪⎩，，，≥，∴23111231(2)22222n n n T n --=+++++ ≥， 2231111221222222n n n n n T ---=+++++ ，两式相减得：22341111111111222222222n n n n T --=+-+++++-2341111111142222222n n n n-⎛⎫=+++++++- ⎪⎝⎭ 11112214212n nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-- 1151142242n n n n n +=+--=-，理科数学参考答案·第8页（共10页）∴522(2)22n nn T n +=-≥， 当1n =时，1115212222T ⨯+==-，故522.22nnn T +=- ………………………………………………（12分） 21.（本小题满分12分）解：（1）0 2.b c ==-， …………………………………………………（1分） （2）由（1）知32()22f x x ax =-+，[01]x ∈，，所以2()62f x x ax '=-. 又因为()f x 在区间[01]，上单调递减，所以有2()620f x x ax '=-≤在[01]，上恒成立，即3a x ≥在[01]，上恒成立.所以max (3)3a x =≥，故3a ≥. …………………………………………………（5分） （3）记()f x 的最大值为M ，最小值为m . 由（2）知2()6263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.若0<<3a ，()f x 在区间03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间13a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以区间[01]，上的最小值m 为32322233327a a a a f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而(0)2(1)224.f f a a ==-+=-， ……………………………………………（7分） ①当02a <≤时，(1)(0)f f ≥，所以在区间[01]，上最大值M 为(1)f . 所以33(1)(4)2232727a a a M m f f a a ⎛⎫⎛⎫-=-=---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设函数3()227x g x x =-+，求导2()19x g x '=-， 当02x <≤时，()0g x '<，从而()g x 单调递减. 从而02a <≤，所以38222727a a -+<≤， 即M m -的取值范围是8227⎡⎫⎪⎢⎣⎭. …………………………………………………（9分）理科数学参考答案·第9页（共10页）②当23a <<时，(1)(0)f f <，所以在区间[01]，上最大值M 为(0)2f =. 所以33(0)2232727a a a M m f f ⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而23a <<，所以3812727a <<，即M m -的取值范围是8127⎛⎫ ⎪⎝⎭. ………………………………………………………（11分） 综上得当02a <≤时，最小值为32327a a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最大值为(1)4f a =-， M m -的取值范围是8227⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；当23a <<时，最小值为32327a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最大值为(0)2f =， M m -的取值范围是81.27⎛⎫⎪⎝⎭ ……………………………………………（12分） 22.（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）∵曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x t y =--⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数）， 若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C . ∴曲线2C 的直角坐标方程为22243x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得22149x y +=，∴曲线1C 的极坐标方程为2ρ=；曲线2C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，（θ为参数）. …………………………………………………………………（5分） （2）将直线l的参数方程化为标准形式为122x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪''⎩，，（t '为参数），将参数方程代入22149x y +=，得22122149t ⎛⎫⎛⎫+ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''+=，理科数学参考答案·第10页（共10页）整理得27()183604t t ''++=.设A B ，对应的参数分别为12t t ''，， 则12121447727t t t t ''''=-=+，， ∴1272||||||7PA PB t t ''+=+=，12144||||7PA PB t t ''==，∴7211||||17144||||||||27PA PB PA PB PA PB ++===. …………………………………………（10分）23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：由|1|2ax -≤，解得13x a a -≤≤，即13A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，，由(22)A ⊆-，，得1232aa⎧->-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，，解得32a >， 即实数a 的取值范围为32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. …………………………………………（5分）（2）证明：∵()|1||2||(1)(2)|3f x x x x x =-++--+=≥， 当且仅当21x -≤≤时，等号成立. ∴()f x 的最小值3m =.∴2222⎡⎤⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦25c b ⎫=⎝≥， 即22236bc +≥，=即32c b =时，等号成立.又11c b +=3c =，2b =时，等号成立.∴22232m b c +≥. …………………………………………………（10分）。

云南省曲靖市市麒麟区东山镇第一中学2020-2021学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知x∈R，i为虚数单位，若(1-i)(x+i)=1+i，则x的值等于A.0B.-1C.1D.2参考答案：A略2. 已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z===，∴z﹣|z|=﹣=+i对应的点所在的象限为第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3. 已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=( ) A. B. C.10 D.12参考答案：B4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为A.B.C.D.参考答案：C5. 设，若，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．参考答案：B略6. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为, (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16参考答案：D7. 已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m．即可．【解答】解：画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选C．8. 设平面向量等于（A）4 （B）5 （C）3（D）4参考答案：D略9. 设等差数列的前项和为，若，且，则（）A. B. C.D.参考答案：C略10. 已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部为﹣1．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数。

曲靖一中高考复习质量监测卷三理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足121ii z-=+，则z =（ ）A. B.2C.2D.【答案】C 【解析】 【分析】先求z ，再根据模长公式，即可求解.【详解】()()1211213122i i i iz i -----===+，所以z 2=. 故选:C【点睛】本题考查复数的运算以及模长，属于基础题. 2. sin （256-π）=（ ）A. 12-B.12C. D.【答案】A 【解析】 【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】251sin sin 4sin 6662πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-π=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于诱导公式的应用. 3. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，17a =，则5a =（ ） A. 1- B. 2- C. 1 D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由35S S =得450a a +=，进而得2d =-，故514781a a d =+=-=- 【详解】解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得450a a +=， 即1270a d +=，得2d =-， 所以514781a a d =+=-=-. 故选：A.4. 已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为56π，则a b -=（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】求出a 、b ，利用平面向量数量积的运算性质求出2a b -的值，即可得解. 【详解】()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，则2cos 1a θ==，同理3b =，()222222522cos1213376a b a ba ab b a a b b π⎛-=-=-⋅+=-⋅+=-⨯⨯+= ⎝⎭，因此，7a b -=. 故选：B.【点睛】求向量模的常用方法：利用公式22a a =，将模的运算转化为向量的数量积的运算．5. 给出下列两个命题：命题p ：空间任意三个向量都是共面向量；命题q ：“1122xy⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“ln ln x y <”的充要条件，那么下列命题中为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ∨ C. ()p q ⌝∧ D. ()p q ⌝∨【答案】D 【解析】 【分析】由共面向量定义可知命题p 错；分别解出两个不等式，可知命题q 错，再利用“或”“且”“飞”命题的判断方法，即可得答案.【详解】平行于同一平面的向量叫共面向量，故空间任意三个向量不一定都是共面向量，例如在三条两两垂直的直线上取向量，则不共面，故命题p 错，为假命题；由1122x y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得x y <，由ln ln x y <解得0x y <<，故“1122x y⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”不是“ln ln x y <”的充要条件，故命题q 错，为假命题； 所以p ⌝为真命题.故p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧为假命题，()p q ⌝∨为真命题 故选:D.6. 设函数()2()ln 1f x x =-，集合{}()A x y f x ==，{}()B y y f x ==，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A. []1,0-B. (1,1)-C. (,1](0,1)-∞-D. (,1)(0,1)-∞-【答案】C 【解析】 【分析】图中的阴影部分表示的集合()A B AB ⋃，集合A 元素代表是x ，即求函数()2()ln 1f x x =-的定义域，集合B 元素代表是y ，即求函数()2()ln 1f x x=-的值域，表示集合,A B ，再求,A B A B ，利用补集定义即可求出阴影部分表示的集合.【详解】由()2()ln 1f x x=-，知(){}{}{}22ln 11011A x y x x xx ==-=->=-<<，(){}{}2ln 1ln1B y y x y y ==-=≤{}0y y =≤，图中阴影部分表示：()A BAB ⋃，又(,1)A B ⋃=-∞，(]1,0A B =-，(]()(),10,1A BA B =-∞-∴，故选：C.【点睛】易错点睛：集合的表示法有很多种，列举法，描述法，图示法，自然语言等，在用描述法表示集合时，一定看清元素代表的意义；本题集合A 元素代表是x ，即求函数()f x 的定义域，集合B 元素代表是y ，即求函数()f x 的值域.7. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，已知函数()y f x =，[]2,2x ππ∈-的部分图像如图所示 ，则()f x 的解析式可能为（ ）A. 3sin 2()e xx x f x += B. ()3()sin 2xf x x xe=+C. 3sin 2()exx x f x += D. ()3()sin 2e xf x x x=+【答案】C 【解析】 【分析】首先观察图象，可知其关于原点对称，得到函数()f x 为奇函数，从而排除A ，D ；之后再利用图象的变化趋势，可以排除B ，得出正确选项.【详解】由已知，图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，排除A ，D ； 又因为随着自变量的增大，函数值趋近于0，排除B 选项， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关根据函数图象选择函数解析式的问题，涉及到的知识点有观察函数图象的对称性，得到与其对应的奇偶性，观察函数解析式，排除不正确的选项，结合随着自变量的增大，函数值的变化趋势排除不正确选项，求得结果，在选择过程中，注意全局看图，属于中档题目. 8. 设151log 3a =，21log 3b =，则（ ） A. 0a b ab +<< B. 0ab a b <+< C. 0a b ab +<< D. 0ab a b <<+【答案】B 【解析】【分析】先利用对数函数的图像与性质判断出a 与b 的符号，从而可判断出ab 的符号，利用换底公式计算出11a b+与1的大小，由此可得出+a b 、ab 、0三个数的大小关系. 【详解】对数函数15log y x =为()0,∞+上的减函数，则11551log log 103>=，即0a >. 又对数函数2log y x =为()0,∞+上的增函数，则221log log 103<=，即0b <，0ab ∴< 由换底公式得31log 5a =，31log 2b =-，333115log 5log 2log 2a b ∴+=-=，1101a b ∴<+<，即01a b ab+<<，即0ab a b <+<，故选：B.【点睛】关键点睛：本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，解答本题的关键是灵活应用对数的运算，考查学生对对数公式的掌握与运算能力，属于中档题. 9. 将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A. ②③ B. ①②C. ②④D. ③④【答案】A 【解析】 【分析】根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【详解】解：由函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后 解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，选项①错误；令2x k =π，k Z ∈，求得2k x =π，k Z ∈， 故函数的图象关于点,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π对称， 令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项②正确； 则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项③正确，④错误. 故选:A【点睛】本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是中档题.10. 基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出累计感染病例数增加1倍需要的时间约为1.8天，6T =.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，基本再生数0R 的值约为（ln 20.69≈）（ ） A 2.98 B. 3.08C. 3.28D. 3.48【答案】C 【解析】 【分析】根据所给模型求得0.38r =，再根据01R rT =+计算可得；【详解】解：设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1.8天，则( 1.8)e 2e r t rt +=，所以 1.8e 2r =，所以1.8ln 2r =，所以ln 20.690.381.8 1.8r =≈≈，又01R rT =+，所以01160.38 3.28R rT =+=+⨯=， 故选：C.11. 在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，)2224S a c b =+-，2AB BC ⋅=-，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接圆的半径R 为（ ）A.B.C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角3B π=，结合平面向量的数量积可求得4ac =，利用正弦定理可得出2a c b +=，再利用余弦定理可求得2b =，进而利用正弦定理可求得R 的值.【详解】由题意，)2224S a c b =+-，即14sin 2cos 2ac B ac B ⨯=，得tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.又因为()1cos cos 22AB BC ac B ac B ac π⋅=-=-=-=-，所以4ac =.由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 又因为sin sin 2sin A C B +=，所以2a c b +=， 所以()2223412a c ac b b +-=-=，所以2b =，由正弦定理可得22sin 3sin 3b R B π===，所以3R =， 故选：B.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 12. 已知函数2()22x x f x x -=++，若不等式()2(1)2f ax f x -<+对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()-B. (-C. (-D. (2,2)-【答案】D 【解析】 【分析】先利用定义确定函数()f x 为偶函数，再利用单调性证明()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以不等式()2(1)2f ax f x-<+化简为212ax x-<+，转化为22212x ax x --<-<+在R 上恒成立，求出a 的取值范围. 【详解】函数2()22xxf x x -=++的定义域为R ，且2()22()xx f x x f x -=-=++，所以()f x 为偶函数.又当0x ≥时, 2()g x x =是增函数，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x >，()112212()()2222xx x x h x h x ---=++-()()121212121212121112122221222222x x x x x x x x x x x x x x +++⎛⎫-⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-=--⎭- 120x x >>，12120,22210x x x x +∴-->>，12()()0h x h x ∴->所以()22-=+x xh x 在[)0,+∞上是增函数，即()y f x =在[)0,+∞上是增函数.所以不等式()2(1)2f ax f x-<+对任意x ∈R 恒成立，转化为212ax x-<+，即22212x ax x --<-<+，从而转化为210x ax ++>和230x ax -+>在R 上恒成立①若210x ax ++>在R 上恒成立，则240a ∆=-<，解得22a -<<；②若230x ax -+>在R 上恒成立，，则2120a ∆=-<，解得a -<< 综上所述，实数a 的取值范围是(2,2)-. 故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知(111d x -=⎰________.【答案】22π+【解析】 【分析】根据定积分和微积分基本定理求解即可得到结果.【详解】()11111121dx x-==--=-⎰，1-⎰表示单位圆的上半圆的面积：2111122ππ-∴=⨯⨯=⎰，(111122dx π-∴=+⎰.故答案为：22π+.【点睛】该题考查定积分的求解问题，涉及到定积分和微积分基本定理的应用，属于基础题目.14. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-.若当[]3,0x ∈-时，()2-=x f x ，则(2020)f =________.【答案】4 【解析】 【分析】根据(4)(2)f x f x +=-，结合()f x 是定义在R 上的偶函数，易得函数()f x 的周期为6，然后由(2020)(33664)(4)f f f =⨯+=求解.【详解】因为(4)(2)f x f x +=-，且()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以(4)(2)f x f x +=-， 令2t x =-，则2x t =+，所以(6)()f t f t +=，即()(6)f x f x =+， 所以函数()f x 的周期为6，所以2(2020)(33664)(4)(2)(2)24f f f f f =⨯+==-=-==. 故答案为：415. 已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，若2211log log n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前n 项和n S =________.【答案】1n n + 【解析】 【分析】先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，进而得111(1)1n b n n nn ，再根据裂项相消求和法求解即可得答案.【详解】因为()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，所以231123122221n n a a a a n --++++=-(2)n ≥，两式相减得21(2)nn a n =≥，当1n =时也满足，故12n na =，2211log log n n n b a a +=⋅111(1)1n n n n ==-++， 故1111111223111n nS n n n n 1=-+-++-=-=+++. 故答案为：1nn +【点睛】本题考查前n 项和与通项的关系，裂项相消求和.解题的关键在于根据已知条件得{}2nna 的前n 项和为n ，再根据前n 项和与通项的关系求得12nn a=，进而再根据裂项相消求和即可.考查运算求解能力，是中档题.16. 如果两个函数存在零点，分别为α，β，若满足n αβ-<，则称两个函数互为“n 度零点函数”.若2()log (3)f x x =-与2()xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________. 【答案】214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】求出()y f x =的零点2，设()y g x =的零点0x ，再根据题意求出013x <<，由020e 0x x a -=，分离参数可得020e x x a =，设2()ex x h x =，利用导数求出函数的最值，确定函数的值域即可求解.【详解】函数()y f x =有唯一的零点2，由题意知函数()y g x =的零点0x 满足021x -<，即013x <<.因为020e 0x x a -=，所以02e x x a =，设2()e x x h x =，则22()exx x h x -'=，(1,3)x ∈， 当(1,2)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数； 当(2,3)x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数，所以max 24()(2)e h x h ==，又1(1)e h =，39(3)e h =，所以实数a 的取值范围为214,e e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故答案为：214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且c b >.（1）求角B 的值；（2）若6A π=，且ABC 的面积为BC 边上的中线AM 的长.【答案】（1）6B π=；（2）AM =【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化整理得1sin cos sin cos 2A C C A +=，进而得1sin 2B =，在结合c b >得6B π=；（2）结合已知条件，由（1）知a b =，进而根据面积公式得4a =，再在三角形AMC 中利用余弦定理即可得答案.【详解】解：（1）因为1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=， 由正弦定理边角互化得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=， 由于()0,,sin 0B B π∈≠， 所以1sin cos sin cos 2A C C A +=， 即1sin()2A C +=，得1sin 2B =. 又c b >，所以02B π<<，所以6B π=.（2）由（1）知6B π=，若6A π=，故a b =，则2112sin sin 223ABC S ab C a π===△， 所以4a =，4a =-（舍）.又在AMC 中，22222cos3AM AC MC AC MC π=+-⋅， 所以2222211212cos 42242282232AM AC AC AC AC π⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AM =【点睛】关键点点睛：本题考查正余弦定理解三角形，解题的关键是根据已知条件，由正弦定理边角互化得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，进而得1sin 2B =.考查化归转化思想与运算求解能力，是中档题.18. 已知向量cossin ,2sin 222x x x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，cos sin 222x x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的最大值，并指出()f x 取最大值时x 的取值集合； （2）若α，β为锐角，12cos()13αβ+=，6()5f β=，求6f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）最大值为2，x 的取值集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）12665. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算和二倍角公式化简整理得()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由（1）得3sin 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据题意，结合同角三角函数关系得12cos()13αβ+=，5sin()13αβ+=，4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而得63cos cos ()6665ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故1262sin 2cos 63665f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】解（1）22()cossin cos cos 2sin 22226x x x x f x x x x π⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭， 令262x k πππ+=+，得23x k ππ=+，k Z ∈，所以最大值为2，此时x 的取值集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）由α，β为锐角，12cos()13αβ+=，得5sin()13αβ+=， 由6()5f β=得3sin 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵02πβ<<，∴2663βπππ<+<，又31sin 6522πβ⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， ∴664πππβ<+<，∴4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴cos cos ()66ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 63cos()cos sin()sin 6665ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1262sin 2sin 2cos 6326665f πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查向量数量积运算，三角函数性质，三角恒等变换等，其中恒等变换求角的值得关键点在于2663βπππ<+<，31sin ,6522πβ⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭得664πππβ<+<，进而得4cos 65πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据凑角，结合和差角公式诱导公式求解即可.考查运算求解能力，是中档题.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log (1)nn n b a n =+-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）3nn a =；（2）223,,?21,.?2n nn n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数. 【解析】 【分析】（1）由()12n n n a S S n -=-≥,可得数列{}n a 是等比数列，求出通项公式即可；（2）由（1）得到n b ，按n 为偶数和n 为奇数分类，利用等差数列的求和公式和并向求和法得出数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）当1n =时，1112233S a a ==-，所以13a =； 当2n ≥时，因为233n n S a =-，所以11233n n S a --=-，两式作差得13n n a a -=，即13nn a a -=， 因为13a =，所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn a =.（2）32log 3(1)2(1)n n nn b n n n =+-⋅=+-⋅，当n 为偶数时，前n 项和2(1)32(1)2(3)(1)22n n n n nT n n +⋅=⋅+-++-++-⋅=+； 当n 为奇数时，前n 项和2(1)112222n n n n n T n n +⋅--=⋅+-=+， 则223,,?21,.?2n nn n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的证明，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．20. 已知函数3()(2)f x x a x b =-+++，32()ln g x x x a x =-++. （1）当1a =时，若()f x 在[)3,2x ∈-上的最大值为10，求实数b 的值；（2）若对任意[]1,e x ∈，都有()()g x b f x +≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）-8；（2）1a ≤-. 【解析】 【分析】（1）由1a =，求导2()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+-，令()0f x '=，得1x =-或1x =，分别求得(3),(1),(1),(2)f f f f --，从中找出最大值，再根据最大值为10求解.（2）由()()g x b f x +≥，得2(ln )2x x a x x -≤-，然后转化为22ln -≤-x xa x x 恒成立，令22()ln -=-x xh x x x，用导数法求得其最小值即可. 【详解】（1）当1a =时，由3()3f x x x b =-++，得2()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+-， 令()0f x '=，得1x =-或1x =.当x 变化时，()'f x ，()f x 在[)3,2x ∈-的变化情况如下表：所以()f x 在[)3,2x ∈-上的最大值为(3)1810f b -=+=，得8b =-.（2）由()()g x b f x +≥，得2(ln )2x x a x x -≤-，因为[]1,e x ∈，ln 1x x ≤≤且等号不能同时取得， 所以ln x x <，即ln 0x x ->，所以22ln -≤-x xa x x 恒成立，即2min2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭.令22()ln -=-x xh x x x，[]1,e x ∈，则2(1)(22ln )()(ln )-+-=-'x x x h x x x ， 当[]1,e x ∈时，ln 1x ≤，22ln 0x x +->，从而()0h x '≥，所以()h x 在[]1,e 上为增函数，所以min ()(1)1h x h ==-， 所以1a ≤-.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.21. 已知函数1()cos x f x e x -=，2()x g x e +=. （1）求函数()f x 在(,)ππ-上的单调区间； （2）证明：对任意的实数1x ，211,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，12x x <，都有()()()()121222g x g x f x f x ->-恒成立.【答案】（1）单调递增区间是,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是3,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，然后分别由()0f x '>和()0f x '<可求出函数的单调区间； （3）因为12x x <，2()x g x e+=在11,2上是增函数，所以不等式()()()()()()()()121221122222g x g x f x f x g x g x f x f x ->-⇔->-，即()()()()221122g x f x g x f x +>+恒成立，令21()()2()2cos x x h x g x f x e e x +-=+=+，即证函数()h x 在11,2上是增函数，即证21()2(cos sin )0x xh x e e x x +-'=-+≥，由于1x e x ≥+，只需证2204x x π⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，然后构造函数，利用导数证明即可【详解】（1）解：11()(cos sin )sin 4xx f x ex x x π--⎛⎫'=-+=+ ⎪⎝⎭，当,4x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭或3,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>； 当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以，函数()f x 的单调递增区间是,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间是3,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）证明：因为12x x <，2()x g x e+=在11,2上是增函数， 所以不等式()()()()()()()()121221122222g x g x f x f x g x g x f x f x ->-⇔->-， 即()()()()221122g x f x g x f x +>+恒成立. 设21()()2()2cos x x h x g x f x e e x +-=+=+，即证函数()h x 在11,2上是增函数， 即证21()2(cos sin )0x x h x e e x x +-'=-+≥，即证2104x x eπ+⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭在11,2上恒成立. 令()(1)xu x e x =-+，()1xu x e '=-，()u x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，min ()(0)0u x u ==.所以()0u x ≥，即1x e x ≥+.因为11,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2122x e x +≥+.所以要证2104x x eπ+⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭成立，只需证2204x x π⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，令()14v x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，11,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()14v x x π⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭当(1,0)x ∈-时，()0v x '<，()v x 递减；当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0v x '>，()v x 递增.min ()(0)0v x v ==，所以2204x x π⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，即21()2(cos sin )0x x h x ee x x +-'=-+≥在11,2上恒成立，所以原命题成立. 【点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，解题的关键是把()()()()121222g x g x f x f x ->-等价转化为()()()()211222g x g x f x f x ->-，即()()()()221122g x f x g x f x +>+恒成立，等价于证明()()2()h x g x f x =+在在11,2上是增函数，考查数学转化思想和计算能力 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为325425x t y t=+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2282cos ρθ=-，点P 的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为Q ，求PQ .【答案】（1）22280x y +-=；(2,2)P ；（2）11041. 【解析】【分析】（1）直接由极坐标与直角坐标的互化公式化简，即可得到曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；（2）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，得2412201000t t ++=，设有向线段PM ，PN 与实数1t ，2t 对应，则1t ，2t 就是上述方程的两个实根，1222041t t +=-，从而可得12110241t t PQ +== 【详解】解：（1）C ：222222282cos 802802cos x y ρρρθθ=⇒--=⇒+-=-， 所以，曲线C 的直角坐标方程是22280x y +-=.点P的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，化为直角坐标得(2,2)P （2）将直线l 的参数方程32,542,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22280x y +-=中， 整理得2412201000t t ++=，22204411000∆=-⨯⨯>，此方程有不等实数根. 直线l 经过定点(2,2)P .设有向线段PM ，PN 与实数1t ，2t 对应，则1t ，2t 就是上述方程的两个实根，1222041t t +=-. 已知Q 是线段MN 的中点，PQ 对应于参数取值1202t t t +=， 所以12110241t t PQ +==.【点睛】关键点点睛：此题考查极坐标与直角坐标的互化，解题的关键是正确利用互化公式cos sin x y ，考查直线参数方程的几何意义的应用，直线的参数方程代入曲线方程中化简后要注意判别式的计算，在第二问的解题中关键是准确理解参数几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数()212f x x x =+--.（1）解不等式：()7≤f x ；（2）已知实数0x 满足：对x R ∀∈都有()0()f x f x ≥，若a ，b ，c +∈R 且()00a b c f x +++=，求149a b c++最小值. 【答案】（1）{}113x x -≤≤；（2）12.【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集；（2）由已知可知，0()f x 是函数()212f x x x =+--的最小值，求出即可得到3a b c ++=，再利用柯西不等式求最小值，即可得到答案【详解】（1）()2127f x x x =+--≤当1x ≤-时，由()2(1)(2)7f x x x =-++-≤得11x ≥-，则111x -≤≤-当12x -<≤时，由()2(1)(2)7f x x x =++-≤得73x ≤，则12x -<≤ 当2x >时，由()3f x x =≤，则23x <≤综上，不等式()7≤f x 的解集：{}113x x -≤≤（2）已知对x R ∀∈都有()0()f x f x ≥，则()0min ()()f x f x x R =∈. 4,1()2123,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪+>⎩则()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,)-+∞上是增函数.所以min ()(1)3f x f =-=-.()00a b c f x +++=，即3(,,0)a b c a b c ++=>，则22222214913a b c ⎡⎤⎡⎤++=⋅++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦21123≥⋅+=， 当且仅当23b c a ==，即12a =，1b =，32c =时，等号成立 所以，min14912a b c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型：“1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项和的最小值；二维不等式：()()22222()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立；一般形式： 211122()n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，当且仅当1212n n a a a b b b ===时，等号成立.。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{}1,0=A ，{}02≤+∈=x x Z x B ，则集合{}B y A x y x t tC ∈∈+==,,所有真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．8D ．15 2.下面是关于复数iz -=12的四个命题，z p i z p z p :;2:;2:3221==的共轭复数为i +-1；z p :4的虚部为1，其中为真命题的是（ ）A ．)(31p p ∨⌝B ．32)(p p ∨⌝C ．)(43p p ⌝∧D ．42p p ∧ 3.若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且b AD a AB ==,，则=BE （ ） A ．+21 B ．21+ C ．+-21 D ．21- 4.等差数列{}n a 中的40311,a a 是函数x x x x f 612)(23+-=的极值点，则=20162log a （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5③“在ABC ∆中，若B A sin sin >，则B A >”的逆命题是真命题；④“1-=m ”是“直线01)12(=+-+y m mx 和直线023=++my x 垂直”的充要条件. 其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线023=+-y x 平行，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n T ，则=2016T （ ） A ．20152014 B ．20162015 C ．20172016 D ．201820177.设)150cos 280(cos 21,38cos 40cos 128cos 50cos ),34sin 34(cos 212+-=+=-=c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>8.函数14)62cos(2--=x x x y π的图象大致为（ ）9.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤->,01,1,1y x y x 则22)2(y x +-的最小值为（ ） A ．5 B ．5 C ．29 D ．223 10.若x x x f sin )(+=，则使不等式0)1()(2≤-+-x f ax x f 在]3,1[∈x 上成立的实数a的取值范围是（ ）A ．),1[+∞B ．),37[+∞C ．]1,(-∞D ．]37,(-∞ 11.已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象.下列关于函数)(x g ，说法正确的是（ ）A ．在]2,4[ππ上是增函数 B ．其图象关于直线4π-=x 对称C ．函数)(x g 是奇函数D ．当]32,6[ππ∈x 时，函数)(x g 的值域是]1,2[- 12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=,0,log ,0,1)(21x x x x x f 若方程k x f =)(有四个不同的解4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，则42332112)(x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．),23[+∞ B ．)0,(-∞ C ．]23,0( D ．)23,0(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.圆4:221=+y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的公切线有___条.14.2=，为单位向量，当,的夹角为3π时，+在-上的投影为_____. 15.已知)2,1(),1),12(tan(-=+=πθ，且⊥，则=+)1252tan(πθ____. 16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-=.21,15,10,14)(42x x x x x f π若数列{}n a 满足：n a a dx x f a n n 2,)(121=-=+⎰，则na n的最小值为_____. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*∈=+N n n a S n n ,2.（1）证明：数列{}2-n a 为等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）已知)1,cos 2(A =，))6sin(,1(π+=A n ，且n m ∥，在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，32=a ，4=c . （1）求角A 的值；（2）求b 边的长和ABC ∆的面积. 19.（本小题满分12分），2015年某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式5+=x C ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-+=,6,16,60,783x x x k x S 已知每日的利润C S L -=，且当2=x 时，3=L . （1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值. 20.（本小题满分12分）已知方程054222=+--+m y mx y x 所表示的曲线是圆C . （1）当2-=m 时，求圆C 被直线012:=+-y x l 所截得的弦长；（2）若圆C 与直线012=+-y x 相交于N M ,两点，且以MN 为直径的圆过坐标原点O ，求m 的值.21.（本小题满分12分） 已知函数xe x xf -=2)(.（1）判断函数)(x f 的单调性并给予证明；（2）若xe x xf xg +++=)1ln()()(，证明：),1[,21+∞∈∀x x ，且21x x ≠，都有212125)()(x x x g x g ->-. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线M PM ,为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆O 于B A ,两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，连接AM BD ,，若NC MC =. 求证：（1）ABP APM ∆∆~； （2）四边形PMCD 是平行四边形.23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知曲线)0(cos 2sin :2>=a a C θθρ，过点)4,2(--P 且倾斜角为4π的直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）若PN MN PM ,,成等比数列，求a 的值. 24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 函数31)(-++=x x x f .（1）求函数)(x f 的定义域A ；（2）设{}21<<-=x x B ，当实数))((,A C B b a R ∈时，证明：412ab b a +<+.曲靖一中高考复习质量监测卷四理科数学参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.A5.A6.C7.B8.D9.A 10.B 11.D 12.C 二、填空题13.2 14.3 15.71- 16.221三、解答题（1）证明：当1=n 时，211=+a S ，即11=a ， ∵n a S n n 2=+①，∴2),1(211≥-=+--n n a S n n ②， 由①-②得，2,221≥=--n a a n n ， ∴2,221≥+=-n a a n n ，（3分） ∴2,2)2(21≥-=--n a a n n ，（5分）∵121-=-a ，∴数列{}2-n a 是以1-为首项，21为公比的等比数列.（6分） （2）解：由（1）得1)21(2--=-n n a ，∴1)21(2--=n n a .∵n a S n n 2=+，∴1)21(222-+-=-=n n n n a n S ，（8分）∴])21(22[])21(2[])21(0[110-+-+⋅⋅⋅++++=n n n T])21(211[)]22(20[1-+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++=n n12)21(2211)21(12)22(--=-=--+-=n nn n n n .（12分） 18.解：（1）∵n m ∥，∴01)6sin(cos 2=-+πA A ，∴21)6sin cos 6cos (sin cos 21)6sin(cos =+⇒=+πππA A A A A∴21)22cos 1(212sin 4321cos 21cos sin 232=++⇒=+A A A A A ， 即21)62sin(122cos 12sin 23=+⇒=++πA A A .（4分） ∵ππ220,0<<<<A A ，∴613626πππ<+<A ，∴6562ππ=+A ，∴3π=A .（6分）19.解：（1）由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<+-+=,6,11,60,282x x x x k x L （2分） ∵2=x 时，3=L ，∴282223+-+⨯=k，（4分） 解得18=k .（6分） （2）当60<<x 时，28182+-+=x x L ， ∴618818)8(2218]818)8(2[18818)8(2=+-⋅--≤+-+--=+-+-=x x x x x x L . 当且仅当xx -=-818)8(2，即5=x 时取得等号.（10分） 当6≥x 时，511≤-=x L .所以当5=x 时，L 取得最大值6.（11分）答：当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元.（12分） 20.解：（1）当2-=m 时，圆C 的方程为18)2()2(22=-++y x ， 此时圆心)2,2(-C 的，半径23=R ，（2分） 圆心到直线l 达到距离为55124=+--=d ，（3分） 圆C 截直线012:=+-y x l 所得弦长为1325182222=-=-d R .（5分） （2）∵圆45)2()(:222+-=-+-m m y m x C ，即0452>+-m m ，∴1<m 或4>m .（6分）以MN 为直径的圆过坐标原点O ，即0=⋅.（7分） 设),(),,(2211y x N y x M ，则02121=+y y x x ，由⎩⎨⎧=+-=+--+012054222y x m y mx y x ，整理得035)42(52=-++-m x m x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+),35(51),2(522121m x x m x x ∵01)(2521212121=+++=+x x x x y y x x .（9分）29201)2(5435=⇒=+++-⇒m m m ，（11分）经检验，此时0)35(20)42(2>--+=∆m m ，且满足1<m 或4>m ， ∴292=m .（12分） 21.（1）解：)(x f 为单调递减函数，证明如下： 由题意得函数)(x f 的定义域为R , ∵xe x xf -='2)(，∴xe xf -=''2)(， 令0)(=''x f ，解得2ln =x .（2分）当)2ln ,(-∞∈x 时，0)(>''x f ；当),2(ln +∞∈x 时，0)(<''x f . ∴022ln 2)2(ln )(max <-='='f x f ， 从而)(x f 在R 上为单调递减函数.（4分）（2）证明：∵1),1ln()1ln()()(2->++=+++=x x x e x x f x g x，∴)1(0121)21(2112)(2->>+++=++='x x x x x x g ， 即)(x g 在),1(+∞-上是增函数，故)(x g 在),1[+∞上也是增函数.（6分） 由题意不妨设211x x <≤，要证212125)()(x x x g x g ->-成立，由于0),()(2121<-<x x x g x g ，则只需证12122525)()(x x x g x g ->-成立 112225)(25)(x x g x x g ->-⇔成立.（9分） 令x x g x h 25)()(-=，则只需证函数)(x h 在),1[+∞上是增函数，以下进行证明：∵)1(2)1)(34(25112)(25)1ln()(2+-+=-++='⇒-++=x x x x x x h x x x x h ， 当1≥x 时，0)(≥'x h ，∴)(x h 在),1[+∞上是增函数， 综上，所证明结论成立.（12分）22.证明：（1）∵PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线，N 是PM 的中点， ∴NB NA PN MN ⋅==22，∴PNNANB PN =. 又∵BNP PNA ∠=∠，∴BNP PNA ∆∆~， 又PBN APN ∠=∠，即PBA APM ∠=∠.∵BC MC =，∴BAC MAC ∠=∠，∴PAB MAP ∠=∠， ∴ABP APM ∆∆~.（5分）（2）∵PBN ACD ∠=∠，∴APN PBN ACD ∠=∠=∠， 即CPM PCD ∠=∠，∴CD PM ∥.∵ABP APM ∆∆~，∴BPA PMA ∠=∠，∵PM 是圆O 的切线，∴MCP PMA ∠=∠，∴MCP BPA PMA ∠=∠=∠，即MCP DPC ∠=∠， ∴PD MC ∥，∴四边形PMCD 是平行四边形.（10分） 23.解：（1）θθρcos 2sin2a =可变为θρθρcos 2sin 22a =，∴曲线C 的直角坐标方程为ax y 22=.（2分）直线l 的参数方程为为参数）为参数）t t y t x t t y t x (,224,222(,4sin 4,4cos 2+-=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ππ.（5分） （2）将直线l 的参数表达式代入曲线C 得0416)224(212=+++-a t a t ， ∴a t t a t t 832,22282121+=+=+.(7分） 又2121,,t t MN t PN t PM -===，由题意知，21221212215)(t t t t t t t t =+⇒=-，代入解得1=a .（10分）24.（1）解：由题意得031≥-++x x ，（1分）则⎩⎨⎧≥-----<031,1x x x 或⎩⎨⎧≥-++-≤≤-031,01x x x 或⎩⎨⎧≥-++>031,0x x x （3分）解得),1[]2,(+∞--∞= A .（5分） （2）证明：∵)1,1()(-=A C B R ，（6分） 又ab b a abb a +<+⇔+<+42412， 而1644)4()(4222222--+=+-+b a b a ab b a)4)(4()4(4)4(22222a b b b a --=-+-=.（8分）∵)1,1(,-∈b a ，∴0)4)(4(22<--a b ，∴22)4()(4ab b a +<+，∴412abb a +<+.（10分）。

2021届云南省曲靖市第一中学高三高考复习质量监测卷（八）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2B =，{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则集合C 中元素的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】分别在集合,A B 中取,a b ，由此可求得x 所有可能的取值，进而得到结果. 【详解】当1a =-，1b =时，1ab =-；当1a =-，2b =时，2ab =-； 当0a =，1b =或2时，0ab =；当1a =，1b =时，1ab =；当1a =，2b =或2a =，1b =时，2ab =；当2a =，2b =时，4ab =；{}2,1,0,1,2,4C ∴=--，故C 中元素的个数为6个.故选：B.2．若复数z 满足()113z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．BC ．D ．2【答案】A【分析】由题意可得13121iz i i+===-+-，12z i =--，则z =得解.【详解】()113z i i -=+可得13(13)(1)121(1)(1)i i i z i i i i +++===-+--+， 所以12z i =--z ==，故选：A 3．411()a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为6，则实数a 的值为（ ） A ．34 B ．54C ．74D ．94【答案】B【分析】利用多项式乘法运算法则及排列组合思想即可求解. 【详解】解：由题意，411()a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为344411C a C ⨯⨯+⨯， 所以3444116C a C ⨯⨯+⨯=，即416a +=， 所以54a =， 故选：B.4．不经过坐标原点的直线:0l x y m ++=被曲线22:2220C x y x y +---=截得的弦的长度等于l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ） A ．22440x y x y +--= B ．22440x y x y +++= C ．22330x y x y +++= D ．22220x y x y +--=【答案】A【分析】由曲线C 方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得m 的值，从而得到直线l 方程，进而得到l 与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程.【详解】曲线C 的方程可整理为：()()22114x y -+-=，则曲线C 为圆心为()1,1，半径为2的圆；∴圆心到直线l 的距离d =∴==解得：0m =或4m =-，又l 不经过坐标原点，4m ∴=-，即:40l x y +-=，l ∴与坐标轴的交点坐标为()4,0A ，()0,4B ，∴直线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为AB 中点()2,2M ，半径r = ∴所求外接圆方程为()()22228x y -+-=，即22440x y x y +--=.故选：A.【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2222L r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出12x x +，12x x，根据弦长公式AB =，即可得出结果.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S ，9S ，6S 成等差数列，且86a =，则11a 的为（ ） A ．-1 B ．-3C ．-5D ．-7【答案】B【分析】由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即()96362S S S S -=-，即()()7894562a a a a a a ++=-++，即()()623211211a q q q a q q q ++=-++，可求得312q =-，可求得11a ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即()96362S S S S -=-，即()()7894562a a a a a a ++=-++，即()()623211211a q q q a q q q ++=-++，因为10a ≠，0q ≠，且210q q ++>，所以312q =-，又86a =，故311816()32a a q ==⨯-=-． 故选： B.6．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且9AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（ ） A ．16B ．4C ．82D ．76【答案】 D【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，可得1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()0,0C t t >，利用平面向量坐标运算可求得()1,9P ，由数量积的坐标运算可表示出PB PC ⋅，利用基本不等式可求得结果.【详解】以A 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()0,0C t t >，1,0ABt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,AC t =，()()19,00,1,9AP t t t t ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即()1,9P ，11,9PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,9PC t =--，111981829t t B t PC t P ⎛⎫∴⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭，0t >，119296t t t t∴+≥⋅=（当且仅当19t t =，即13t =时取等号），()82676PB PC ∴⋅≤-=.故选：D.【点睛】方法点睛：求解平面向量数量积问题的常用方法有两种：（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解. 7．执行如图所示的程序框图，若输入的x 为11，则输出y 的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】A【分析】按照程序框图运行程序，直到满足5x ≤可代入21y x =-，由此确定输出值. 【详解】按照程序框图运行程序，输入11x =，不满足5x ≤，循环；1156x =-=，不满足5x ≤，循环；651x =-=，满足5x ≤，则2111y =⨯-=，输出1y =.故选：A.8．已知a ，b 是空间两条不同的直线，已知α，β是空间两个不同的平面，对于如下四个命题：①若a α⊥，b β⊥，//a b ，则//αβ；②若//a α，//b β，a b ⊥，则//αβ； ③若a α⊥，//b β，//a b ，则αβ⊥；④若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③④ B ．②③ C ．①②④ D ．①③④【答案】D【分析】由平行关系和垂直关系的相关定理依次判断各个选项可知①③④正确；由反例可知②错误. 【详解】对于①，//a b ，a α⊥，b α∴⊥，又b β⊥，//αβ∴，①正确；对于②，在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，若11A B a =，1BB b =，平面ABCD α=，平面11ADD A β=， 则满足//a α，//b β，a b ⊥，此时αβ⊥，②错误； 对于③，a α⊥，//ab ，b α∴⊥，又//b β，则在β中必存在直线//c b ，c α∴⊥，又c β⊂，αβ∴⊥，③正确； 对于④，a α⊥，b β⊥，,a b ∴分别为,αβ的法向量，又αβ⊥，a ∴与b 所成角为90，即a b ⊥，④正确. 故选：D.9．定义在实数集R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得对函数()f x 定义域内任意x 都有()()f x g x ≤成立，那么()g x 为函数()f x 的一个“线性覆盖函数”，若()22ln f x x x x =--，()3g x ax =-+．若()g x 为函数()f x在区间()0,∞+上的一个“线性覆盖函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．(],2-∞ C ．(],4-∞ D ．(],6-∞【答案】C【分析】由题意()()f x g x ，即22ln 3x x x ax ---+在区间(0,)+∞上恒成立，也即32ln a x x x++在区间(0,)+∞上恒成立，从而将问题转化为求函数的最值． 【详解】解：由题意()()f x g x ，即22ln 3x x x ax ---+在区间(0,)+∞上恒成立，也即32ln a x x x++在区间(0,)+∞上恒成立，等价于min ()a h x . 令3()2ln h x x x x =++，则2223(3)(1)()1x x h x x x x'+-=+-=， 由()0h x '<得01x <<，由()0h x '>得1x >， 所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时()h x 取得最小值()h 14=， 所以4a ，即a 的取值范围为(],4-∞． 故选：C ．【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）a ≥ f (x )恒成立⇔ a ≥ f (x )max ；（2）a ≤ f (x )恒成立⇔a ≤ f (x )min . 10．已知双曲线()2222:104x y C a a a -=>-，点M 是该双曲线右支上的一点．点1F ，2F 分别为左、右焦点，直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若PQ =C 的离心率为（ ）A ．B ．3C ．D 【答案】D【分析】根据切线长相等可得线段长的等量关系，结合双曲线定义可知1222MF MF PQ a -==，由此求得a ，结合2c =可得所求离心率.【详解】设2MPF 内切圆与12,MF MF 分别切于点,S T ，由切线长相等知：MS MT =，PS PQ =，22QF TF =，由对称性知：12PF PF =， 由双曲线定义得：12122232MF MF PF PS QF PQ PS PQ a -=+-=+===， 3a ∴=2242c a a +-=，C ∴的离心率23c e a ==. 故选：D.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到,a c 的值或取值范围，由ce a=求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,a c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e ，从而得到结果.11．设曲线() xf x ae b =+和曲线()cos2xg x c π=+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（ ） A ．0 B ．π C ．2- D ．3【答案】D【分析】利用导数的几何意义可知()()00f g '='，可求得a ；根据()0,2M 为两曲线公共点可构造方程求得,b c ，代入可得结果. 【详解】()x f x ae '=，()sin22xg x ππ'=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=，解得：1c =，2103b c a ∴+-=+-=.故选：D.12．下列五个命题：① ln 72<；②ln p e >>>；③<④33ππ<；⑤33e e <．其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】令()ln xf x x=，利用导数可求得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；将所比较的式子转化为()f x 的函数值的大小关系的比较，根据函数单调性可确定()f x 函数值的大小关系，化简得到所比较的式子的大小关系. 【详解】令()ln x f x x =，则()()21ln 0xf x x x-'=>， 当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；对于①，02e <<，()2ff ∴>ln 22>，2ln 7<=，①错误；对于②，0e p >>>，ff ∴<<，ln p ==，②正确；对于③，114e <<，()4f f∴<，即ln 42ln2ln 2442==<，2<ln ln11<，11∴<<③正确；对于④，3e π<<，()()3ff π∴<，即ln ln 33ππ<，3ln ln 3ππ∴<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ∴<，④错误； 对于⑤，3e <，()()3f e f ∴>，即ln ln 33e e >，3ln ln 3e e ∴>， 即3ln ln3e e >，33e e ∴>，⑤正确. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过函数的单调性确定函数值的大小关系.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件21021010x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则()0z ax by a b =+>>取最大值4时，41a b+的最小值为______． 【答案】94【分析】由约束条件可得可行域，当z 取最大值时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最大，利用数形结合的方式可确定当a zy x b b=-+过()1,1A 时z 最大，利用()411414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得41a b+的最小值. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当()0z ax by a b =+>>时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最大， 0a b >>，1a b∴-<-，则由图形可知：当a zy x b b =-+过A 时，在y 轴截距最大，由2101x y x -+=⎧⎨=⎩得：11x y =⎧⎨=⎩，即()1,1A ，max 4z a b ∴=+=， ()41141141495524444b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝∴（当且仅当4b a a b =，即823a b ==时取等号），41a b ∴+的最小值为94.故答案为：94. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2019S =______．【答案】4【分析】归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解. 【详解】由题得321211a a a =-=-=，432121a a a =-=-=-， 543112a a a =-=--=-， 6542(1)1a a a =-=---=-, 7651(2)1a a a =-=---=, 8761(1)2a a a =-=--=,所以数列的周期为6，126+++0a a a =，2019=6336+3⨯，所以22019131214S a a a =++=++=. 故答案为：4【点睛】关键点睛：本题的解题关键是想到求数列的周期，归纳出数列的周期. 15．如图，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知各顶点都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的体积为36π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为_______．【答案】362【分析】由球的体积可确定其半径，根据正四棱柱外接球半径与底面外接圆半径和高之间关系可构造方程，求得2362h a =-根据侧面积公式可将侧面积S 表示为关于a 的函数，借助于基本不等式可求得结果.【详解】设球的半径为R ，则34363R ππ=，解得：3R =；正四棱柱底面正方形外接圆半径221222r a a a =+=，又2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2221922h R r a ∴=-=-，解得：2362h a =- ∴正四棱柱侧面积()2224436216362S ah a a a a ==-=-，()22222236223623242a a a a ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭（当且仅当222362a a =-，即3a =时取等号），8324362S ∴≤⨯= 即正四棱柱侧面积的最大值为362. 故答案为：362.【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路是将所求内容表示为关于某一变量的函数的形式，进而利用函数值域的求解方法或基本不等式求得最值.16．已知函数()()12cossin 02262xx f x ωωπω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，x ∈R ，若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是_________．【答案】55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】利用两角和差正弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据()f x 在区间(),2ππ内没有零点可结合周期确定01ω<≤，同时确定6x πω+的范围；可确定,266πππωπω⎛⎫++⎪⎝⎭位于[]2,2k k πππ+或[]2,22k k ππππ++之间，由此构造不等式组求得结果. 【详解】()12cossin cos cos sin 226262x x x f x ωωπωπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21coscos 2222xxx ωωω=+-1cos sin 26x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； ()f x 在(),2ππ内没有零点，2ππππω∴-=≤，可知01ω<≤， 当(),2x ∈ππ时，,2666x πππωπωπω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭， ()26226k k Z k ππωπππωππ⎧+≥⎪⎪∴∈⎨⎪+≤+⎪⎩或()262226k k Z k ππωππππωππ⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，解得：()152612k k k Z ω-≤≤+∈或()5112612k k k Z ω+≤≤+∈； 又01ω<≤，5012ω∴<≤或511612ω≤≤，即ω的取值范围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 故答案为：55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够通过函数在区间内没有零点，得到区间长度小于半个周期，并通过整体对应的方式确定区间端点值所满足的条件.三、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且有()cos cos sin 0A c B b C a A ++=．（1）求A ；（2）设AD 是ABC 的内角平分线，边b ，c 的长度是方程2640x x -+=的两根，求线段AD 的长度． 【答案】（1）23A π=；（2）23AD =.【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理已知等式求得tan A ，由此确定A 的取值； （2）由韦达定理可得,b c bc +，利用面积桥的方式可构造方程求得AD . 【详解】（1）由正弦定理得：()23cos sin cos sin cos sin 0A C B B C A ++=，即()23cos sin sin 0A B C A ++=，又()()sin sin sin B C A A π+=-=，23sin cos sin A A A ∴-=，又()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 3cos A A ∴=-，tan 3A ∴=-，又()0,A π∈，23A π∴=； （2）,b c ∵为方程2640x x -+=的两根，6b c ∴+=，4bc =，由（1）知：23A π=，3BAD CAD π∴∠=∠=， ABCABDADC SSS=+，12sin sin sin sin 23232323c b b c bc AD AD AD ππππ+∴=⋅+⋅=⋅， 333AD =23AD =. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，求解内角平分线长的关键是能够利用面积桥的方式构造出关于内角平分线长的方程.18．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是菱形，12AA =，1AB =，60BAD ∠=，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）连接1,ME B C ，可证得//ME ND ，即四边形MNDE 为平行四边形，得到//MN DE ，由线面平行的判定定理可证得结论；（2）连接,AC BD 交于点O ，则以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接1,ME B C ，,E M 分别为1,BC BB 中点，11//2ME B C ∴； 由直四棱柱特点知：11//A D BC ，11//2ME A D ∴，又N 为1A D 中点，//ME ND ∴， ∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又DE ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ； （2）连接,AC BD 交于点O ，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱， 则以O 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得：3A ⎫⎪⎪⎝⎭，132A ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,14N ⎫-⎪⎪⎝⎭， ()10,0,2AA ∴=，131,12A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，33,044MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1AA M 的法向量为()111,,n x y z =，则1111112031022n AA z n A M x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令11x =，则13y =10z =，()1,3,0n ∴=； 设平面1A MN 的法向量为()222,,m x y z =，则1222223102233044m A M x y z m MN x y ⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令21y =，则23x 21z =-，()3,1,1m ∴=-；2315cos ,25m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，设二面角1A MA N --为θ，则210sin 1cos ,5m n θ=-<>=， 即二面角1A MA N --10【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 19．澳大利亚Argyle 钻石矿石全球最重要的粉钻和红钻出产地，占全球供应的90%．该钻石矿曾发现一颗28.84ct 的宝石级钻石原石——[ArgyleOctavia ]，为该矿区27年来发现最大的钻石原石之一．如图，这颗钻石拥有完整的正八面体晶形，其命名[ArgyleOctavia ]特别强调钻石的正八面体特征——[Octavia ]在拉丁语中是[第八]的意思．如图设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ζ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，2ξ=．（1）求概率()0P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ． 【答案】（1）611；（2）分布列见解析，()911E ξ=. 【分析】（1）12条棱中任取两条共有212C 对，两条棱相交有246C 对，由古典概型概率计算公式即可求解；（2）由（1）有()0P ξ=，又两条棱平行有6对，可求出()1P ξ=，从而可用间接法求出()2P ξ=，进而可求分布列和数学期望.【详解】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正八面体6个顶点中的1个， 又过任意顶点有4条棱，所以共有246C 对相交棱，所以()24212366066116P C C ξ====； （2）由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2.若两条棱平行，则它们之间的距离为1，一共有6对，()21261166611P C ξ∴====，()()()61421011111111P P P ξξξ∴==-=-==--=， 所以ξ的分布列为：()4901211111111E ξ=⨯+⨯+⨯=. 20．已知椭圆()2212:104x y C b b+=>的短轴端点与抛物线()22:20C x py p =>的焦点重合，椭圆1C （1）求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）设P 是抛物线2C 准线上的一个动点，过P 作抛物线2C 的切线PA 、PB ，A 、B 为切点．①求证：直线AB 经过一个定点；②若直线AB 与椭圆1C 交于M 、N 两点，椭圆的下顶点为D ，求MDN △面积的最大值．【答案】（1）221:14x C y +=，22:4C x y =；（2）①证明见解析；②2. 【分析】（1）分析可知椭圆1C 的焦点在x 轴，利用椭圆1C 的离心率求出b 的值，可得出p 的值，由此可得出椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）①设点(),1P t -、()11,A x y 、()22,B x y ，利用导数求出直线PA 、PB 的方程，将点P 的坐标代入两直线方程，结合等式的结构可得出直线AB 的方程，进而可得出直线AB 所过定点的坐标；②分析可知直线AB 过椭圆1C 的上顶点()0,1M ，可知当点N 为椭圆1C 的长轴的端点时，MDN △的面积最大，即可得解. 【详解】（1）抛物线2C 的焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，椭圆1C 的短轴端点在y 轴上，所以，椭圆1C的离心率为e ==，可得1b =，且有12p b ==，得2p =，因此，椭圆1C 的标准方程为2214x y +=，抛物线2C 的标准方程为24x y =；（2）①设点(),1P t -、()11,A x y 、()22,B x y ，对函数24x y =求导得12x y '=，所以，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-， 同理可知，直线PB 的方程为222x xy y =-， 由于点(),1P t -为直线PA 、PB 的公共点，则1122220220tx y tx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220tx y -+=，由于两点确定一条直线，故直线AB 的方程为220tx y -+=，在直线AB 的方程中，令0x =，可得1y =，故直线AB 恒过定点()0,1； ②由①可知，直线AB 恒过椭圆1C 的上顶点()0,1，不妨设点()0,1M ，易知点()0,1D -，设点()00,N x y ，则02x ≤，则01122222DMN S DM x =⋅≤⨯⨯=△， 当且仅当02x =±时，等号成立，因此，MDN △面积的最大值为2. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 21．已知函数()()ln 1sin f x a x x =+-．（1）若()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围；（2）证明：当1a =时，()f x 在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．【答案】（1）(],0-∞；（2）证明见解析.【分析】（1）将问题转化为()0f x '≤在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1cos a x x ≤+在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立；令()()1cos g x x x =+，利用导数可求得()min 02g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，由此可得a 的范围；（2）当1x e >-时，由()ln 1ln sin x e x +>≥可知()0f x >，将问题转化为证明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，利用导数可说明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上单调递增，结合零点存在定理可说明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，由此得到结论. 【详解】（1）由题意得：()cos 1af x x x '=-+， 若()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()0f x '≤在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，()1cos a x x ∴≤+在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()1cos g x x x =+，则()()cos 1sin g x x x x '=-+， 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()cos 11tan g x x x x '=-+⎡⎤⎣⎦， 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≥，11x +>，tan 1x >，()0g x '∴<， 又01sin 102222g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '<，()g x ∴在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()1cos 0222g x g πππ⎛⎫⎛⎫∴≥=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()min 0a g x ∴≤=，即a 的取值范围为(],0-∞；（2）当1a =时，()()ln 1sin f x x x =+-，则()1cos 1f x x x '=-+， 当1x e >-时，()ln 1ln 1sin x e x +>=≥，()0f x ∴>在()1,e -+∞上恒成立，∴只需证()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点；1e π-<，∴当,12x e π⎛-⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 0x <，101x >+， ()0f x '∴>在,12e π⎛-⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，()f x ∴在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上单调递增，又ln 1sin ln 1102222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()11sin 10f e e -=-->， ()f x ∴在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，即()f x 在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数研究函数的零点个数；本题证明有且仅有一个零点的基本思路是通过导数求得函数的单调性，从而利用零点存在定理说明函数在区间内有且仅有一个零点.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,,x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()cos 0a a ρθ=>，直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点：（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设A ，B 是曲线C 上的两点，且6AOB π∠=，求22O A OB +的取值范围．【答案】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；（2）44⎡-+⎣． 【分析】（1）分别将直线l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）根据直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点求得2a =，设()1,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别代入曲线 C 的极坐标方程，得到1ρ和2ρ，计算1222ρρ+的取值范围．【详解】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （2）因为直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，所以圆心到直线的距离等于半径，则3222a a -= ，解得2a =， 如图，不妨设()1,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则12cos ρθ=，22cos 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以12222222224cos 4 cos 6OA OA O OB B πρρθθ⎛⎫=+=+=++⎪⎝+ ⎭3322cos 2sin 2423cos 2226πθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以π572,666ππθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ 所以当π206θ+=，即12πθ=-，22 O A OB +最大值是423+， 当π2π6θ+=，即1π5π2612πθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 22 O A OB +最小值是423-， 所以22 O A OB +的取值范围为423,423⎡⎤-+⎣⎦【点睛】思路点睛：解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，可将方程化为直角坐标方程，然后利用平面解析几何的方法求解，在极坐标系中，设极点为O ，若已知两点的极坐标分别为()11,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则12222222 O A O O OB B A ρρ=++=+． 23．已知函数()96363x xf x x ++-=+．（1）求函数()f x 的值域．（2）已知函数()f x 的最小值等于m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=．证明：．【答案】（1）[)3,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分别在(),3x ∈-∞-、23,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭、21,32x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭和1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭四种情况下，去掉绝对值符号得到()f x ，分别求得()f x 的范围，综合四种情况可得所求值域；（2）由（1）知3m =，配凑出()()()2229a b c +++++=，利用柯西不等式可证得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为{}3x x ≠-；当(),3x ∈-∞-时，()96361534215333x x x f x x x x --+-+===---++， 30x +<，4203x ∴<+，()15f x ∴>； 当23,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()96361534215333x x x f x x x x --+---===-+++， 7033x <+<，42183x ∴>+，()3f x ∴>； 当21,32x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()963639333x x x f x x x ++-+===++； 当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()96631534215333x x x f x x x x ++-+===-+++， 732x +≥，420123x ∴<≤+，()315f x ∴≤<； 综上所述：()f x 的值域为[)3,+∞；（2）由（1）知：3m =，3a b c ∴++=，()()()2229a b c ∴+++++=， 由柯西不等式可得： ()2222222111⎡⎤++++≥⎢⎥⎣⎦，即227≤（当且仅当a b c ==时取等号），≤【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的函数值域的求解、不等式的证明；证明不等式的关键是能够配凑出符合柯西不等式的形式，进而利用柯西不等式直接证明结论.。

云南省曲靖市第一中学2018届高三上学期高考复习质量监测卷（四）数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,1A =-，{}20B x ax =-=，且B A ⊆，则a ∈（ ）A ．{}2-B ．{2}C ．{2,2}-D ．{2,0,2}-2．在复平面内，复数z 满足5(1)1z i +=，则z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列命题为假命题的是（ ）A ．x R ∃∈，使得sin 2x x +=B ．“22a b >”是“ln ln a b >”的必要不充分条件C ．若向量()1,1a =，0b =，则//a bD ．函数sin y x =，2,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥； ②若//αβ，m β⊂，则//m α；③若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 5．在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数321()4913f x x x x =++-的极值点，则5a =（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．46．已知函数331x y a +=+（0a >且1a ≠）图象恒过的定点A 在角α的终边上，则tan2α=（ ）A ．247-B ．724-C ．247D ．7247．在ABC ∆中，若3122AD AB AC =-，且BD DC λ=，则λ=（ ）A ．12-B ．12C ．13- D ．138．一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（ ）ABC ．侧面四个三角形都是直角三角形D ．侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形9．已知单位向量1e 与2e 的夹角为3π，则向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为（ ）A ．12-B ．12C ．714-D ．1410．已知定义在非零实数集上的函数()f x 满足：()()0xf x f x -<'，且(sin 4)sin 4f a =，(ln 2)ln 2f b =，0.20.2(2)2f c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．b a c >> 11．设1m ，1n >，若4mn e =，则ln m t n =的最大值为（ ）A ．eB ．2eC ．3eD ．4e12．已知函数()sin f x x x =，[1,1]x ∈-，则不等式(1)()f x f x +>的解集为（ ） A ．1(,)2-+∞B ．1(,0]2-C ．1(,)2-∞D ．1[0,)2二、填空题13．若函数20lg 1,0()3,0a x x f x x t dt x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，且((10))8f f =，则a 的值为__________． 14．则其外接球的表面积为__________． 15．将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第13行从左向右的第7个数为__________．16．点(,)P x y 的坐标满足约束条件20400x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若(1,1)m =，(1,1)n =-，且OP m n λμ=+（O 为坐标原点），则2λμλ+的最大值为__________．三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足：1n n a a +>（*n N ∈），12a =，该数列的前三项分别加上0,0,2后成等比数列，且22log n n a b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若1n n n c a b =+-，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知222sin 2sin 322A B B C a c b +++=. （1）求证：,,a b c 成等差数列；（2）若3B π=，4b =，求S .19．如图，正方形ABED ，直角梯形EFGD ，直角梯形ADGC 所在平面两两垂直，////AC DG EF ，且2AD DE DG ===，1AC EF ==.（1）求证：,,,B C G F 四点共面；（2）求二面角E BC F --的余弦值.20．定义行列式运算：13x x 24x x 1423x x x x =-，若函数sin()()0x f x ωϕ+= cos 1x ω（0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，将其图象向右平移3π个单位后得到的图象关于原点对称.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）数列{}n a 的前n 项和2n S An =，且5()12A f π=，求证：数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T <.21．已知函数22()22ln 2f x x ax a x a =--+，2()ln (1)g x x g '=+，其中0x >，a R ∈.（1）当0a =时，求()y f x =在点(1,(1))f 处切线l 的方程；（2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）记()()()F x f x g x =+，求证：1()2F x ≥. 22．选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 的原点O 和极坐标系的极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数） （1）在极坐标系下，曲线C 与射线4πθ=和射线4πθ=-分别交于,A B 两点，求AOB∆的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C相交于,A B 两点，求AB 的值.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()26f x x x =+-的最小值为a .（1）求a 的值；（2）求函数y =的最大值.参考答案1．D【解析】因为B A ⊆，所以{}{},1,1B =∅-，当0a =时，B =∅，符合题意，当{}1B =时，2a =，当{}1B =-时，2a =-，故选D.2．A【解析】∵()511z i +=-∴ 2111z i i i====-++ ∴1z i =+，故在第一象限，选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．3．D【解析】对于A，sin 2sin 3x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，x R ∃∈，使得sin 2x x =，正确；对于B ，22ln ln a b a b a b >⇔>⇐>，但a b >推不出ln ln a b >（真数大于零），故正确；对于C ，零向量与任意向量平行，正确；对于D ，显然函数的最大值为1，故值域不正确，错误，选D.4．C【详解】①两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A 、B 选项，对于②，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C. 5．B【解析】∵()3214913f x x x x =++-， ∴由()2890f x x x =++='可知379a a ⋅=，378a a +=-∵ 等比数列中2537a a a =⋅且30a <∴53a =-，故选B.6．C【解析】∵ 331x y a +=+恒过点()3,4-∴ 44tan 33α==-- ∴ 22tan 24tan 21tan 7ααα==-，故选C. 7．C【解析】 ∵ ()11AD AB BD AB BC AB AC AB λλλλ=+=+=+-++ ∴112λλ=-+ 解得：13λ=-，故选C. 8．B【解析】还原四棱锥，如图所示，由主视图可知，PA ⊥底面ABCD AB AD AD DC ⊥⊥，，，212PA AB BC CD AD =====，，，计算可知B 正确，故选B ．点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9．A【分析】直接利用向量的数量积，向量的模和向量的夹角运算求出结果.【详解】解：∵单位向量1e 与2e 的夹角为3π， ∴121cos 32e e π⋅==，∴()212121e e e e -=-=，∴向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为：()()()()221212121221211221222e e e e e e e e e e e e e e +⋅=---+⋅=+⋅-=-， 故选: A .【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积和向量的模及向量的夹角运算的应用.10．A【解析】令()()f x g x x =，则2()()()0xf x f x g x x -='<'，所以函数是定义域上的减函数， ∵ 0.2sin 40ln 212<<<<∴0.2(sin 4)(ln 2)(2)g g g >>，即a b c >>，故选A.11．D【解析】两边取对数，得：ln ln ln t m =⋅ ∴ 2422ln ln (ln )(ln )ln ln ln ()4244m n mn e t m +=⋅≤===， 当且仅当2m n e ==时，取等号，∴ 4t e ≤，故选D.12．B【解析】∵ ()sin()()f x x x f x -=--=∴ ()sin f x x x =是偶函数∵()sin sin cos f x x x x x x =+'=，∴ 当10x ≥>时，()0f x '>，故()f x 在(0,1]上是增函数，又()f x 是偶函数，故在[1,0-）上是减函数，由()()1f x f x +>知|x+1|>||x ，解得12x >-，又由111-11x x -≤+≤⎧⎨≤≤⎩得10x -≤≤，所以102x -<≤，故选B. 13．2【解析】∵()()2330010(lg101)(0)3|8a a f f f f t dt t a =-=====⎰∴ 2a =，故填2.14．4π【详解】设正三棱锥的外接球半径为R ，，高为1 所以2221(1)R R =+-，解得1R =，∴ 外接球的表面积4S π=，故填4π.15．85【解析】由排列的规律可得，第1n -行结束的时候排了11231(1)2n n n ++++-=-个数.所以第13行从左向右的第7个数是113(131)7852⨯⨯-+=，故填85. 16．5【解析】∵(11)(11)m n ==-，，，，由()()OP m n x y ，，λμλμλμ=+⇒=+-，∴将x λμ=+，y λ=μ-，代入20400x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，，，得10400λλμλμ-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，，，画出其对应的可行域，则可用斜率的几何意义求得μλ的最大值为3，∴22λμμλλ+=+的最大值为5． 17．（1）2n a n =，2nn b =；（2）2122n n ++-.【解析】试题分析：（1）设其公差为d ，前三项分别加上002，，后成等比数列，利用等比中项可求出d ，写出{}n a 通项公式，再根据22log n n a b =.写出{}n b 的通项公式；（2）221nn c n =+-，利用分组求和，即可解决.试题解析：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，由题意0d >，由12a =，22a d =+，322a d =+，分别加上002，，后成等比数列， ∴()()22242d d +=+，∵0d >，∴2d =， ∴()2122n a n n =+-⨯=，又22log n n a b =，∴2log n b n =，即2nn b =． （2）由（1）得221nn c n =+-，∴()()()()123221421621221nn T n =+-++-++-+⋯++-()()2324622222n n n =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-()()21222212n n n n -+=+--2122n n +=+-．18．（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；（2）利用余弦定理求出ac ，再根据三角形面积公式即可求解. 试题解析：（1）证明：由题意：22ππ2sin 2sin 322C Aa cb --+=， ∴222cos2cos 322C Aa cb +=， 由正弦定理得222sin cos2sin cos 3sin 22C A A C B +=， 即()()sin 1cos sin 1cos 3sin A C C A B +++=， ∴sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++=， 即()sin sin sin 3sin A C A C B +++=， ∵()sin sin A C B +=，∴sin sin 2sin A C B +=，即2a c b +=，∴a b c ，，成等差数列． （2）由余弦定理得22π2cos 163a c ac +-=， ∴()2316a c ac +-=， 又由（1）得8a c +=， ∴16ac =，则1sin 2S ac B == 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19．（1）证明见解析；（2）6. 【解析】试题分析：（1）取DG 的中点M ，连接FM AM ，，利用平行四边形可证明BF AM ，AM CG ，根据平行的传递性，可得BF CG BF CG ，=，从而四边形BFGC 是平行四边形，问题得证；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标求平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求出. 试题解析：（1）证明：方法1：如图，取DG 的中点M ，连接FM AM ，， ∵在正方形ABED 中，AB DE ，AB DE =， 在直角梯形EFGD 中，FMDE ，FM DE =，∴AB FM ，AB FM =，即四边形ABFM 是平行四边形， ∴BFAM BF AM =，，∵在直角梯形ADGC 中，AC MG AC MG ，=，即四边形AMGC 是平行四边形， ∴AMCG AM CG =，，由上得BF CG BF CG ，=，即四边形BFGC 是平行四边形， ∴B C G F ，，，四点共面． 方法2：由正方形ABED ，直角梯形EFGD ，直角梯形ADGC 所在平面两两垂直，易证：AD DE DG ，，两两垂直，建立如图所示的坐标系，则()()()()()002202012200210(020A B C E F G ，，，，，，，，，，，，，，，，，）∵()()012012BF CG ，，，，，=-=-，∴BF CG =，即四边形BCGF 是平行四边形，故G B C F ，，，四点共面． （2）解：设平面BFGC 的法向量为()111m x y z ，，=， ∵()210FG =-，，，则11112020BF m y z FG m x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，令12y =，则()121m =，，， 设平面BCE 的法向量为()222n x y z =，，，且()()210002BC EB =-=，，，，，， 则2222020BC n x y EB n z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，， 令21x =，则()120n ，，=， ∴设二面角E BC F --的平面角的大小为θ，则11cos m n m n θ⋅⨯+===． 点睛：本题考查线线平行，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题.对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求平行关系，一般证明四点共面，需要证明平行四边形，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析. 20．（1）π5πππ1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，，；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由行列式得到()f x 解析式，根据周期计算ω，根据平移后是奇函数计算ϕ，根据解析式求单调区间即可；（2）根据2n S n =求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前n 项和，即可证出结论. 试题解析：（1）解：由题意：()()()sin 1cos 0sin f x x x x ωϕωωϕ=+⨯-⨯=+，∵2ππ02ωωω=>⇒=，，∴()()sin 2f x x ϕ=+，∴()f x 的图象向右平移π3个单位后得π2πsin 2sin 233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 此函数为奇函数，则2ππ3k k Z ϕ-+=∈，，∵π2ϕ<，∴π3ϕ=-， ∴()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π232k x k k Z -≤-≤+∈，可得π5πππ1212k x k k Z -≤≤+∈，， ∴()f x 的单调增区间为π5πππ1212k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）证明：由（Ⅰ）得5π5πππsin 2sin 1121232A f ⎛⎫⎛⎫==⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2n S n =，①当1n =时，111a S ==； ②当()2n n N+≥∈时，()221121nn n aS S n n n -=-=--=-，而12111a =⨯-=， ∴21n a n =-，则()()1221121212121n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111111335212121n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<-++． 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 21．（1）210x y --=；（2）12a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，即可写出切线；（2）根据单调递增可知函数导数在()1,+∞上大于等于零恒成立，分离参数即可求出a 的取值范围；（3）写出()()()F x f x g x =+，求导数，利用导数求其最小值即可证明.试题解析：（1）解：当0a =时，()2f x x =，∴()()212f x x f =⇒'='，此时切点为()11，， ∴l 的方程为()121210y x x y -=-⇒--=．（2）解：∵()2222ln 2f x x ax a x a =--+，函数()f x 在区间()1+∞，上单调递增， ∴()22222220a x ax af x x a x x--=--=≥'在区间()1+∞，上恒成立， ∴21x a x ≤+在()1x ∈+∞，上恒成立，则()2min11x a x x ⎛⎫≤∈+∞ ⎪+⎝⎭，，， 令()21x M x x =+，则()()()()222221211x x x x x M x x x +-+==++'，当()1x ∈+∞，时，()0M x '>， ∴()()21112x M x M x =>=+，∴12a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，． （3）证明：∵()2ln x g x x ='，∴()2ln1101g ='=，则()2ln g x x =， ∴()()222222ln 22ln ln 22ln 2x x F x x ax a x x a a x x a ⎡⎤+=--++=-++⎢⎥⎣⎦，令()()222ln ln 2x xP a a x x a +=-++， 则()()()2222222ln ln ln ln ln ln 222244x x x x x x x x x x x x P a a a --++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()ln Q x x x =-，则()111x Q x x x'-=-=， 显然()Q x 在区间()01，上单调递减，在区间[)1+∞，上单调递增，则()()min 11Q x Q ==，∴()14P a ≥，则()11242F x ≥⨯=． 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22．(1)45;(2) 【解析】试题分析:(1)先消去参数写出曲线C 在直角坐标系下的普通方程,再根据极坐标与普通方程互化公式写出极坐标方程, 分别代入π4θ=和π4θ=-，求出228||5OA OB ==，又π2AOB ∠=，可求出AOB ∆的面积；(2) 将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程,可得关于t 的一元二次方程,写出韦达定理,由弦长12AB t t =-代入即可. 试题解析:（Ⅰ）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为2214x y +=，将其化为极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=，分别代入π4θ=和π4θ=-，得228||5OA OB ==， ∵π2AOB ∠=，∴AOB 的面积14·25S OA OB ==．（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得2560t +-=，即1212655t t t t +=-=-，∴12AB t t =-===． 23．(1) 3a =;(2)5. 【解析】试题分析:(1) 方法1：将函数()f x 按零点分段去掉绝对值,写成分段函数的形式,可得函数的单调性,进而得出最小值,即a 的值; 方法2：根据绝对值三角不等式放缩,再由绝对值恒大于等于0求出函数的最值以及取等条件,进而得到a 值;(2)先求出函数的定义,根据柯西不等式放缩求出最值并验证取等条件. 试题解析:（Ⅰ）方法1：∵()36026603363x x f x x x x x x x -+≤⎧⎪=+-=-+<≤⎨⎪->⎩，，，，，， ∴()f x 在(]0-∞，上是减函数，在(]03，上是减函数，在()3+∞，上是增函数， 则()()min 33f x f ==， ∴3a =．方法2：∵()2633x x x x x +-=+-+- ()3333303x x x x ≥--+-=+-≥+=，当且仅当()30330x x x x ⎧-≤⇒=⎨-=⎩，时取等号， ∴3a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得y =[]34，，且0y >， 由柯西不等式可得：y ==5≤=，当且仅当=[]843425x =∈，时，函数取最大值5．。

理科数学参考答案·第1页（共6页）曲靖一中高考复习质量监测卷四理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D C B A B C C A D C 【解析】1．因为{1012}A =-，，，，{|2π2ππ}B x k x k k =+∈Z ≤≤，，故选D ． 2．由2340x x +->，得4x <-或1x >，故选A ． 3．因为3π||cos 4a ⎛== ⎝⎭，故选D ． 4．因为①②正确，③④错误，故选C ．5．易求得1cos 2a b =- <，>，故选B ．6．因为π28a =>，e 3177b <=<，πlog 31c =<，则a b c >>，故选A ．7．因为5p =，6a b +=，4c =，所以S =，故选B ． 8．由sin sin sin (12cos )a A b B a B C +=+，得222cos a b ab C ab+-=，即2c ab =，故选C ．9．由233e 3x x -<⎧⎨>⎩，或223log (3)3x x ⎧⎪⎨->⎪⎩≥，，解得23x <<或x >C ． 10．因为π())cos(2)2sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭，向左平移π12个单位后，得理科数学参考答案·第2页（共6页）()2sin(2)g x x ϕ=-关于y 轴对称，由此得π2ϕ=，则()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎣⎦，上的最大值为π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选A ． 11．因为()(2)f x f x =-，所以周期2T =，从而可画出()f x 的图象，由图象知()y f x =和3xy =-在区间R 上有7个交点，故选D ． 12．因为(1)()1f x f x +-=±，所以(1)()1f x f x +=±，又(1)2f =，(7)6f =，(13)10f =，从(2)f 到(6)f 的对应法则有6种，从(7)f 到(13)f 的对应法则亦有6种，共有6636⨯=种，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．ππ22ππ661cos d sin 2x x x==⎰． 14．当0a =时，符合要求；当0a ≠时，由216120a a ∆=-<，得304a <<，所以a 的取值范围是304⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．15．由2AB AM BD λμ=+ ，得(2)()AB AB AC λμλμ=-++，故21λμ-=．16．由()e 2ln 20x f x a x '=--=，得e 2ln 2x a x =+，当0a ≤时，由图象易知，有且仅有一个极值点；当0a >时，由e 2ln 2x a x =+，得2ln 2e x x a +=，令2ln 2()e xx g x +=，则22ln 2()e x x x g x --'=，再令2()2ln 2h x x x =--，则2()2ln 2h x x x =--在(0)+∞，上递减，又(1)0h =，所以max 2()(1)e g x g ==，故a 的取值范围是20e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．理科数学参考答案·第3页（共6页）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）π()2sin cos 32f x a b x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭12sin cos cos 222x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 222x x =πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 由πππ2π22π()232k x k k --+∈Z ≤≤，得π5πππ()1212k x k k -+∈Z ≤≤， 即()y f x =的单调递增区间为π5πππ()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．…………………（6分）（2）由条件知πsin 232A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且ππ5π2333A -<-<，易知ππ233A -=或π2π233A -=， 解得π3A =或π2A =． ………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（1）解：因为242n nn S a a =+，① 所以211142n n n S a a +++=+，②②−①得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，即11()(2)0n n n n a a a a +++--=，因为10n n a a ++>，所以12n n a a +-=，由211142S a a =+，得12a =，故{}n a 为等差数列，公差2d =， 因此2(1)22n a n n =+-⨯=． ……………………………………………（6分）（2）证明：因为211(21)(21)(21)n b n n n =<+-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭， 所以1111111111112323525722121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (111)2422n =-<+．……………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第4页（共6页）19.（本小题满分12分）解：（1）由已知得24sin sin cos sin sin 2AA B B A =， ∵sin sin 0A B >，π022A <<，∴1cos 22A =， 故π23A =，即2π3A =． ………………………………………………………（6分）（2）由（1）及余弦定理得222a b c bc =++，∵a =223b c bc =++，由此得22()332b c b c bc +⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≤，解得2b c +≤，所以当且仅当1b c ==时，ABC △的周长取得最大值2．……………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分） 解：（1）当3π4a =时，233π()2sin 24f x x x x =+-，3π()2cos 34f x x x '=+-， 所以π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π3π24f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故()f x 在点ππ22f⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的点斜式方程为3ππ242y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………（6分）（2）因为()2cos 3f x x x a '=+-，令()()2cos 3g x f x x x a '==+-， 则()2sin 30g x x '=-+>，所以()2cos 3f x x x a '=+-在(0)+∞，上单调递增， 从而()(0)2f x f a ''>=-，当2a ≤时，在(0)+∞，上()0f x '>，()f x 在区间(0)+∞，上单调递增，显然有()(0)0f x f >=； 当2a >时，(0)20f a '=-<，存在0(0)x ∈+∞，，使得0()0f x '=；当0(0)x x ∈，时，()0f x '<，这时()(0)0f x f <=，不符合要求． 综上，a 的取值范围是(2]-∞，．…………………………………………（12分）理科数学参考答案·第5页（共6页）21．（本小题满分12分）解：（1）因为()ln 1f x x '=+单调递增，令()ln 10f x x '=+=，得x =所以当10e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．①当101e t t <<+<时，满足条件的t 不存在；②当101e t t <<<+，即10e t <<时，min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ③当11e t t <+≤，即1et ≥时，min ()()ln f x f t t t ==．………………………（6分）（2）因为[()()]()()m g b g a f b f a ->-等价于()()()()mg b f b mg a f a ->-， 令()()()h x mg x f x =-2ln 2m x x x =-， 因为0b a >>，总有[()()]()()m g b g a f b f a ->-成立， 所以()h x 在(0)+∞，上单调递增，问题化为()ln 10h x mx x '=--≥对(0)x ∈+∞，恒成立，ln 1x m x+≥， 令ln 1()x x x ϕ+=，则2ln ()xx xϕ-'=， 由2ln ()0xx x ϕ-'==，得1x =， 当(01)x ∈，时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增； 当(1)x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减，所以max ()(1)1x ϕϕ==，故m 的取值范围是[1)+∞，． ………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（1）由曲线1C：sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，可得cos sin y αα==⎩，，两式两边平方相加得2213x y +=，即曲线1C 的普通方程为2213x y +=．理科数学参考答案·第6页（共6页）由曲线2C：πsin (sin cos )42ρθρθρθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭即sin cos 80ρθρθ+-=，所以80x y +-=， 即曲线2C 的直角坐标方程为80x y +-=． …………………………………（5分）（2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上的点sin )P αα，到直线80x y +-=的距离为dπ43α⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，∴当πsin 13α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即7π6α=时，d的最大值为，此时点P 的坐标为3122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．……………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（1）32()|2||22||2||22|42131x x h x x x x x x x x x -<-⎧⎪=++-=++-=-+-⎨⎪>⎩，，，≤≤，，，所以min ()(1)3h x h ==，只需3a ≤， 故实数a 的取值范围为(3]-∞，．……………………………………………（5分）（2）由柯西不等式()13x ϕ==+=，=，即1x =-时等号成立， 故()x ϕ的最大值为3． ………………………………………………………（10分）。

曲靖一中2024 届高三教学质量监测试卷（四）数学考试时间：120 分钟；满分：150 分.本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}13A x x =<<，{}0,1,2,3,4B x =，则()UA B = ð（）A.{}2 B.{}0,1,3,4 C.{}0,3,4 D.{}0,1,2,3,42.已知2i1iz -=+，则z =（）A.B.C.D.23.已知向量a 、b 满足2a = ，5b = ，且a 与b 夹角的余弦值为15，则()()22a b a b +⋅-= （）A.-36B.-28C. D.124.某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价x （单位；元）与销售量y （单位：件）之间的一组数据如下表所示：价格x 89.5m 10.512销售量y16n865经分析知，销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为 3.544y x =-+，且20m n +=，则m =（）.A.12 B.11C.10D.98.已知3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ）.A.1825B.1825-C.725D.725-6.已知正四面体ABCD 中，12AP AB =，13AQ AC = ，14AR AD= ，则A PQR A BCD V V --=（ ）.A.16B.112 C.124D.5247.已知0.1a =，0.91b e =，ln 1.1c =，则（ ）.A.a b c >> B.b a c >>C.c a b>> D.b c a>>8.定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足：当02x ≤<时，()22f x x x =-；当2x ≥时，()()32f x f x =-.记函数()f x 的极大值点从小到大依次为12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，并记相应的极大值为12,,,,n b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则11222020a b a b a b ++⋅⋅⋅+的值为（ ）.A.201931⨯+B.191931⨯+C.192031⨯+ D.202031⨯+二、多选题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（）.A.()()f x g x ⋅是偶函数B. ()()f x g x ⋅是奇函数C.()()f x g x ⋅是奇函数D.()()f x g x ⋅是偶函数10.在A B C △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）.A.cos cos a b C c B=+B.若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅= ，则A B C △为等边三角形C.若sin 2sin 2A B =，则A B C △是等腰三角形D.若a =，4b =，要使满足条件的三角形有且只有两个，则0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值()0,1λλλ>≠的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）.A.曲线C 的方程为()22416x y ++=B.在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为10C.在C 上存在点M ，使得2MO MA=D.C 上的点到直线34130x y --=的最大距离为912.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（）.A.存在点P ，使得1A P ∥平面11BCDB.三棱锥111B A D P -的体积为定值C.当点P 在棱CD 上时，1PA PB +的最小值为2+D.若点P 到直线1BB 与到直线A D 的距离相等，CD 的中点为E ，则点P 到直线AE 三、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分13. 612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________.14.若直线()sin 20x y αα++=∈R 的倾斜角的取值范围是___________.15.若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图像恰有一个公共点，则实数a 的取值范围是________.16.已知点1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于点P ，Q .若2PQF △是以2PQF ∠为顶角的等腰三角形，其中2,3PQF ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，则双曲线离心率e 的取值范围为_________.四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）观察下面的图形及相应的点数，回答（1）写出图中点数构成的数列{}n a 的一个递推公式；并根据这个递推公式，求出数列{}n a 的通项公式；（2）若n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：34n S <.18.（本小题满分12分）已知函数()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中R x ∈，0ω>，函数()f x 图象上相邻的两条对称轴之间的距离为2π.（1）求()f x 的解析式和单调递增区间；（2）若将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()()()$sin cos h x x x g x =+⋅在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.19.（本小题满分12分）如图，PD ⊥平面ABCD ，A D C D ⊥，A B C D ∥，PQ CD ∥，222AD CD DP PQ AB =====，点E ，F ，M 分别为AP ，CD ，B Q 的中点.（1）求证：EF ∥平面CPM ；（2）求平面QPM 与平面CPM 夹角的大小.20.（本小题满分12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “旋风接力跑”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A 中甲班每一局获胜的概率为23，在项目B 中甲班每一局获胜的概率为12，且每一局之间没有影响.（1）求甲班在项目A 中获胜的概率；（2）设甲班获胜的项目个数为X ，求X 的分布列及数学期望.21.（本小题满分12分）已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点，且31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，PF 垂直于x 轴.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B （异于点P ）两点，D 为直线l 上一点.设直线PA ，PD ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若1322k k k +=，证明：点D 的横坐标为定值.22.（本小题满分12分）关于函数()ln af x x x=+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 在()1,a 处的切线垂直于直线0x y -=，对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x ≠，有()()12f x f x =，求证：122x x a +>.参考答案一、选择题1.B2.A3.A4.C5.C6.C7.B8.A二、多选题9.CD 10.ABD 11.ACD 12.ABD三、填空题13.-192 14.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.(){},01-∞16.)四、解答题17.（1）22n a n n=+（2）（方法：裂项相消）证明省略18.（1）()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（21+19.（1）证明四边形E F C M 为平行四边形即可（2）面面角的大小为60°20.（1）64/81（2）209/16221.（1）221 43x y+=（2）4x=22.（1）分类讨论a的情况即可（2）构造函数即可证明.。