下载文档原格式
级数知识点笔记总结一、级数的基本概念1.1、级数的定义级数是指一列数相加而得到的一个和，级数一般表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1，a2，a3，...，an表示级数的每一项，n表示级数的项数。
1.2、级数的部分和级数的部分和是指级数的前n项和，通常表示为Sn。
即：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an1.3、收敛和发散如果级数的部分和Sn随着n的增大而趋于一个有限的数S，则称级数收敛，记作：S = lim(n→∞)Sn如果级数的部分和Sn随着n的增大而趋于无穷大或者无穷小，则称级数发散。
1.4、级数的收敛性级数的收敛性是指级数是否收敛的性质。
根据级数的收敛性可将级数分为收敛级数和发散级数。
二、级数的性质2.1、级数的加法性如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和级数∑(an+bn)也收敛，并且有：∑(an+bn) = ∑an + ∑bn2.2、级数的倍数性如果级数∑an收敛，则它的任意倍数级数∑kan(k为常数)也收敛，并且有：∑kan = k∑an2.3、级数的比较性如果级数∑an和∑bn满足0 ≤ an ≤ bn，当且仅当级数∑bn收敛时，级数∑an也收敛；当且仅当级数∑an发散时，级数∑bn也发散。
三、级数的收敛与发散3.1、比较判别法如果级数∑an的绝对值与级数∑bn的绝对值相比有相对简单的结构时，可对级数的收敛与发散作出判断：当∑|an| ≤ ∑bn时，若级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛。
当∑an ≥ ∑|bn|时，若级数∑bn发散，则级数∑an也发散。
3.2、比值判别法若级数∑an的前n+1项与前n项的比值有极限存在，则有：若lim(n→∞)|an+1/an| < 1，则级数∑an收敛；若lim(n→∞)|an+1/an| > 1，则级数∑an发散；若lim(n→∞)|an+1/an| = 1，则比值判别法无法确定级数的收敛性。
级数比值判别法介绍级数比值判别法（Ratio Test）是数学中一种重要的级数收敛性判别方法之一。
通过计算级数的相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。
本文将深入探讨级数比值判别法的原理、应用以及相关定理证明。
原理级数比值判别法是通过计算级数的相邻两项之间的比值来判断级数的收敛性。
设有级数∑an，若存在极限lim(n→∞)|an+1 / an| = L，则： - 若L < 1，级数绝对收敛； - 若L > 1，级数发散； - 若L = 1，无法确定级数的收敛性。
应用级数比值判别法可以应用于各种级数的收敛性判别中。
以下是几个常见的应用场景：1. 几何级数的收敛性几何级数是指形如∑(a * r^n)的级数，其中a为常数，r为公比。
通过级数比值判别法可以判断几何级数的收敛性： - 当|r| < 1时，几何级数收敛； - 当|r| > 1时，几何级数发散； - 当|r| = 1时，几何级数发散或收敛，需进一步讨论。
2. 幂级数的收敛性幂级数是指形如∑(c_n * x^n)的级数，其中c_n为系数，x为变量。
通过级数比值判别法可以判断幂级数的收敛半径（收敛域）： - 若lim(n→∞)|c_n+1 /c_n| = L，则收敛半径R = 1/L； - 若该极限不存在或为无穷大，则R = 0； -若该极限为0，则R = +∞。
3. 其他级数的收敛性级数比值判别法还可以应用于其他形式的级数，如正项级数、交错级数等。
通过比较级数的相邻两项的比值，可以判断级数的收敛性。
相关定理证明级数比值判别法的有效性可以由以下两个定理证明：1. 单调有界原理（Monotone Boundedness Theorem）单调有界原理指出，一个数列如果既单调递增又有上界（或既单调递减又有下界），则该数列必定收敛。
2. Cauchy准则（Cauchy’s Convergence Test）Cauchy准则指出，一个数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n > N时，数列的任意两项之差的绝对值都小于ε。
判断收敛发散的方法收敛发散是数列或级数的一个重要性质，判断一个数列或级数是否收敛可以用一些数学方法来进行分析。
下面我将介绍一些常用的判断收敛发散的方法。
首先，我们先来讨论数列的收敛性。
数列是一个按照特定规律排列的一组实数。
当数列的项随着自变量的增大逐渐趋于某个常数时，我们称该数列是收敛的；当数列的项无论如何变动都不趋向于某个常数时，我们称该数列是发散的。
1. 利用定义法。
根据数列收敛的定义，我们可以通过寻找这个数列的极限值来判断数列的收敛性。
如果数列的极限存在且唯一，则该数列为收敛数列；如果数列的极限不存在或不唯一，则该数列为发散数列。
2. 利用敛散性准则。
常用的敛散性准则有以下几种。
(1) 单调有界准则。
如果数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则数列是收敛的。
(2) 夹逼准则。
如果数列的前后两个数列夹住了另一个数列（即对于该数列的每一项，都存在两个数列的项，其中一个大于该项，另一个小于该项），且这两个数列都是收敛的，那么该数列也是收敛的。
(3) 柯西准则。
如果对于任意给定的正数ε，都存在自然数N，使得数列的第n项和第m项差的绝对值小于ε（当n和m都大于N时），则该数列是收敛的。
(4) 收敛数列的任意子数列也收敛。
3. 利用极限的性质。
若数列a(n)和数列b(n)有以下性质，那么可以通过运用这些性质来判断数列的收敛性。
(1) 如果数列a(n)收敛于A，数列b(n)收敛于B，则a(n)+b(n)收敛于A+B，a(n)-b(n)收敛于A-B。
(2) 如果数列a(n)收敛于A，数列b(n)收敛于B，则a(n)b(n)收敛于AB。
(3) 如果数列a(n)收敛于A，数列b(n)收敛于B且B≠0，则a(n)/b(n)收敛于A/B。
(4) 收敛数列的所有子数列的极限都相等。
接下来我们来讨论级数的收敛性。
级数是把无穷多个数相加的结果，即部分和的极限。
当级数的部分和数列收敛时，我们称该级数是收敛的；当级数的部分和数列发散时，我们称该级数是发散的。
无穷级数的收敛和发散理论一、无穷级数的基本概念1.无穷级数：一个数列 {a_n}，如果从第n=1项起，每一项都可以表示为一个函数f(n)与常数的乘积，即 a_n = f(n) * c（c为常数），则称该数列为无穷级数。
2.收敛性：如果无穷级数 {a_n} 的项趋于0，并且其和函数S(x)在实数范围内存在，那么称该无穷级数为收敛的。
3.发散性：如果无穷级数 {a_n} 的项趋于0，但其和函数S(x)在实数范围内不存在或趋于无穷大，那么称该无穷级数为发散的。
二、无穷级数的收敛性判断方法1.比较检验法：通过比较两个无穷级数的项的大小，判断它们的收敛性是否相同。
2.比值检验法：求出无穷级数的极限比值，判断其收敛性。
3.根值检验法：求出无穷级数的极限根值，判断其收敛性。
4.积分检验法：通过对无穷级数的前n项求积分，判断其收敛性。
5.级数收敛性的一般判定定理：包括交错级数的莱布尼茨判别法、正项级数的比值判别法和根值判别法等。
三、无穷级数的发散性判断方法1.比值发散判别法：求出无穷级数的极限比值，判断其发散性。
2.根值发散判别法：求出无穷级数的极限根值，判断其发散性。
3.积分发散判别法：通过对无穷级数的前n项求积分，判断其发散性。
四、特殊无穷级数的收敛性判断1.幂级数：形如a_n = x^n 的无穷级数，其收敛性取决于x的取值范围。
2.泰勒级数：函数f(x)在某一区间内的泰勒展开式，其收敛性取决于该区间内f(x)的导数存在且连续。
3.傅里叶级数：周期函数f(x)的傅里叶展开式，其收敛性取决于周期函数的性质。
五、无穷级数在数学和物理学中的应用1.数学分析：无穷级数是数学分析中的基本工具，用于求解函数的泰勒展开、积分和微分方程等。
2.物理学：无穷级数在物理学中广泛应用于求解波动方程、热传导方程等，以及模拟连续介质的行为。
无穷级数的收敛和发散理论是数学分析中的重要内容，掌握其基本概念、判断方法和应用，对于深入学习数学和物理学具有重要意义。
幂级数收敛的判别方法幂级数是数学中一个非常重要的概念，它可以用来表示很多函数。
在实际应用中，我们经常需要判断一个幂级数是否收敛。
本文将介绍几种常用的幂级数收敛的判别方法。
一、幂级数的收敛性幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的无穷级数，其中$a_n$是常数，$x$是自变量。
当$x=0$时，幂级数的和为$a_0$。
当$x eq 0$时，幂级数的和可以通过求解极限$lim_{ntoinfty}S_n$来确定。
其中，$S_n=sum_{k=0}^{n}a_kx^k$是幂级数的第$n$项部分和。
如果$lim_{ntoinfty}S_n$存在，则幂级数收敛；如果不存在，则幂级数发散。
二、比值判别法比值判别法是判断幂级数收敛性的一种常用方法。
具体做法如下：首先，计算相邻两项的比值：$frac{a_{n+1}}{a_n}$。
如果这个比值的极限$lim_{ntoinfty}frac{a_{n+1}}{a_n}$存在，且小于1，则幂级数收敛；如果大于1，则幂级数发散；如果等于1，则无法确定幂级数的收敛性。
比值判别法的证明可以用到极限定义和夹逼定理，这里不再赘述。
三、根值判别法根值判别法也是判断幂级数收敛性的一种常用方法。
具体做法如下：首先，计算幂级数的通项公式的绝对值的$n$次方根：$sqrt[n]{|a_nx^n|}$。
如果这个根的极限$lim_{ntoinfty}sqrt[n]{|a_nx^n|}$存在，且小于1，则幂级数收敛；如果大于1，则幂级数发散；如果等于1，则无法确定幂级数的收敛性。
根值判别法的证明也可以用到极限定义和夹逼定理。
四、幂级数的收敛半径比值判别法和根值判别法都只能判断幂级数的收敛性，无法确定幂级数的收敛区间。
为了确定幂级数的收敛区间，我们需要引入收敛半径的概念。
幂级数的收敛半径$r$定义为使得幂级数在$x$的绝对值小于$r$时收敛，在$x$的绝对值大于$r$时发散的最大正实数$r$。
第十二章 数项级数§1 级数的收敛性要求：1 掌握级数的基本概念，敛散性定义、记住几何级数、调和级数的敛散结论，2 掌握理解级数的基本性质要点：1）级数的收敛性，2）级数的基本性质1 数项级数的概念、记号： 将数列}{n u 的各项用加号连接起来，即n u u u 21 或1n nu称为数值级数，简称级数。
其中第n 项 nu 称为通项。
级数的敛散性与和 : .2 介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想 级数的部分和： . n n u u u S 213 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念级数的收敛性：若S S n nlim 存在，称级数1n n u 收敛，S 称为级数的和； 余和：称 nk k n n u S S r 为级数1n n u 的余和若部分和数列}{n S 发散，则称级数1n nu发散，发散级数没有和。
这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。
例1 讨论几何级数 0,11a ar n n 的敛散性。
按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。
由等比数列前n 项和的计算公式，1 r 时，n n n n r ra r a r ar a arar a S 11111） 当 1|| r 时，r a S n n 1lim ，几何级数收敛，其和为 r a1；2） 当 1|| r 时，n n S lim ，此时几何级数发散，和不存在； 3） 当 1|| r 时，显然 }{n S 发散；结论：几何级数 0,11a arn n ，当 1|| r 时，收敛，其和为 ra 1；例2 讨论级数1)1(1n n n 的敛散性.解 利用 111)1(1 n n n n 求出部分和 n S ,例3 讨论级数12n n n的敛散性.解 设 n k n n k n nn k S 11322212322212,n S 211432221 232221 n n n n , 1322212121212121 n n n n n nS S S =1211211211n n n ,) ( n .n S 2, ) ( n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数1352n n n的敛散性.解 52 , 5252352 n S n n n n n, ) ( n . 级数发散.二 收敛级数的性质因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级数收敛的充分必要条件为：定理1，（柯西准则）级数1n n u 收敛N p N n N ,,,0 有 ||n p n S S根据定理1，取 1 p ，有 n n n u S S ||1 ，于是有下面结论：推论1， 级数1n n u 收敛的必要条件为 0limn n u本推论可以方便的用来判断级数发散。
级数收敛的柯西原理柯西原理是数学分析中的一个重要定理，它为判断级数是否收敛提供了一个有效的方法。
柯西原理的核心思想是通过级数的部分和序列的趋势来判断级数的收敛性。
柯西原理的具体表述如下：如果级数∑a_n收敛，那么对任意给定的正数ε，存在正整数N，当m>n>N时，a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_m <ε成立。
柯西原理的证明是基于柯西收敛准则，即当且仅当对任意给定的正数ε，存在正整数N，当m>n>N时，a_n+a_(n+1)+...+a_m <ε成立。
柯西收敛准则表明，如果一个级数满足其部分和序列的任意两项之间的差趋于零，那么这个级数就是收敛的。
接下来，我们来证明柯西原理和柯西收敛准则的等价性。
首先，我们假设级数∑a_n收敛，即存在正数L，对任意给定的正数ε，存在正整数N，当m>n>N时，a_n+a_(n+1)+...+a_m-L <ε成立。
根据柯西收敛准则的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当m>n>N 时，a_n+a_(n+1)+...+a_m-0 <ε成立。
即对于柯西收敛准则来说，L可以取0。
接下来，我们证明柯西原理的定义条件，即对任意给定的正数ε，存在正整数N，当m>n>N时，a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_m <ε成立。
由于级数∑a_n收敛，即存在正数L，对任意给定的正数ε，存在正整数N1，当m>n>N1时，a_n+a_(n+1)+...+a_m-L <ε/2成立。
再根据柯西收敛准则，对于上述的ε/2，存在正整数N2，当m>n>N2时，a_n+a_(n+1)+...+a_m-0 <ε/2成立。
我们令N=max(N1, N2)，当m>n>N时，有a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_m = (a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_m-L)+(L-0) ≤a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_m-L + L-0 < ε/2 + ε/2 = ε即柯西原理的定义条件得证。
级数考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 级数的收敛性是指（）。
A. 级数的和存在B. 级数的和为无穷大C. 级数的和为有限值D. 级数的和为0答案：C2. 几何级数的公比q满足（）。
A. |q| > 1B. |q| = 1C. |q| < 1D. |q| ≥ 1答案：C3. 调和级数是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：B4. 级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/n 的收敛性是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：D5. 幂级数∑(n=0 to ∞) x^n 的收敛半径是（）。
A. 0B. 1C. ∞D. -1答案：B6. 级数∑(n=1 to ∞) 1/n^2 是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：A7. 级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/√n 的收敛性是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：D8. 级数∑(n=1 to ∞) 1/n 是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：B9. 级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/(2n-1) 的收敛性是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：D10. 级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/n^2 的收敛性是（）。
A. 收敛的B. 发散的C. 绝对收敛的D. 条件收敛的答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 级数∑(n=1 to ∞) 1/n^p 的收敛性取决于p的值，当p >________ 时，级数收敛。
答案：112. 几何级数∑(n=0 to ∞) ar^n 的和为 ________，其中|q| < 1。
答案：a/(1-q)13. 级数∑(n=1 to ∞) (-1)^n/(2n+1) 的和为 ________。
判断级数绝对收敛还是条件收敛的方法判断级数的绝对收敛与条件收敛的方法有以下几种：1.绝对收敛与条件收敛定义：定义级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛的意思是级数$\sum_{n=1}^{\infty} ，a_n，$ 收敛；定义级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛的意思是级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，但$\sum_{n=1}^{\infty} ，a_n，$ 发散。
2.绝对值判别法：如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} ，a_n，$ 收敛，则原级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛；如果级数$\sum_{n=1}^{\infty} ，a_n，$ 发散，则无法判断原级数的收敛性。
3.比值判别法：对于非零项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，计算其相邻两项比值的极限 $\lim_{n\to\infty} \left，\frac{a_{n+1}}{a_n}\right，$，若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；若极限大于1或者不存在，则级数发散；若极限等于1，则比值判别法无法确定收敛性。
4.根值判别法：对于非零项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，计算其项值的$n$ 次根的极限 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{，a_n，}$，若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；若极限大于1或者不存在，则级数发散；若极限等于1，则根值判别法无法确定收敛性。
5.整项判别法：对于非零项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，若存在一个无穷大量$b_n$，当 $n$ 充分大时，$，a_n，\leq b_n$ 成立且级数$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 绝对收敛；若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛但级数$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 条件收敛；若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散或者不满足 $，a_n，\leq b_n$，则无法判断原级数的收敛性。
严峰军 陈思源 （西安思源Ｊｇ，４１，学院基础部，陕西西安７１ ００５８）
摘要：级数是数学分析理论的重要组成部分，而收敛性判断是研究级数的重要一步。本文研究了正项级数收敛性的判断标准，得到 了几种快捷方法。 关键词：正项级数；敛散性；泰勒展式；欧拉常数；Ｓｔｉｒｌｉｎｇ４，￣式
Ｓｅｖｅｒａｌ Ｓｈｏｒｔ．Ｃｕｔ Ｍｅｔｈｏｄｓ ａｂｏｕｔ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｏｆ Ｓｅｒｉｅｓ ＹＡＮ Ｆｅｎｇ－ｊｕｎ ＣＨＥＮ Ｓｉ．ｙｕａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｂａｓｉｃ Ｃｏｕｒｓｅｓ，Ｘｉ’ａｎ Ｓｉｙｕａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，７１００３８，Ｘｉ’ａｎ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｅｒｉｅｓ ａｒｅ ａ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｐａｒｔ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｔｈｅｒｍｏ ｗｈｉｌｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｉｓ ｍｏｒｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｖｅｈｉｃｌｅ ｔｏ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｓｅｒｉｅｓ．Ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｗｉｔｈ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｔｅｒｍｓ ａｎｄ ｓｅｖｅｒａｌ ｓｈｏｒｔ－ｃｕｔｓ ａｒｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｅｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｔｅｒｍｓ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ；Ｔｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ：Ｅｕｌｅｒ’ｓｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｖａｒｉａｎｔｓ：Ｓｔｉｒｌｉｎｇ’Ｓ ｆｏｒｍｕｌａ
掌握正项级数敛散性的判别方法，可以为判定一般级 数的敛散性打好基础。下面笔者介绍判断级数敛散性的几 种快捷方法，以供同行探讨。
ｌ 运用等价无穷小替换翔断级数的敛散性 定理：设 和 均为正项级数，且当 时， Ｕｎ￣Ｉ］ｖ 为等价的无穷小量，则∑ 和∑ 的敛散性保持一 致。 ‘ ‘
级数相加减后收敛半径的变化级数相加减后收敛半径的变化是一个非常重要且有挑战性的数学问题。
在我们探讨这个问题之前，让我们先了解一下级数和收敛半径的概念。
一个级数是由一系列无穷个数相加而成的数列。
例如，1+1/2+1/4+1/8+...就是一个级数，它被称为几何级数。
另一个例子是1+1/2+1/3+1/4+...，它被称为调和级数。
当我们考虑一个级数的收敛性时，我们通常关注的是级数的部分和序列，即将级数的前n个数相加而得到的数列。
如果这个部分和序列能够逐渐趋于一个有限的值，我们就说这个级数是收敛的；如果这个部分和序列没有趋于有限值，我们就说这个级数是发散的。
收敛半径是一个级数所具有的特殊性质。
它告诉我们级数在哪个范围内是收敛的。
具体来说，如果一个级数在x=a处收敛，那么它在x=a附近的所有值都是收敛的。
这个收敛的范围就称为收敛半径。
现在让我们来思考一下级数相加减后收敛半径的变化。
首先，我们要知道级数相加减并不会改变它的收敛性。
如果一个级数是收敛的，那么它相加减后仍然是收敛的；如果一个级数是发散的，那么它相加减后仍然是发散的。
所以，级数相加减不会改变级数的收敛性。
然而，级数相加减后的收敛半径可能会发生变化。
当我们将两个或更多级数相加减时，它们的收敛半径有可能相互影响。
具体来说，当我们将两个收敛半径分别为R1和R2的级数相加减时，它们的收敛半径可能是R1、R2中的较小值，或者更小。
让我们通过一个例子来说明这个问题。
考虑级数1+1/2+1/4+1/8+...（几何级数），它的收敛半径是1。
现在将级数1+1/2+1/4+1/8+...和级数1+1/3+1/9+1/27+...（另一个几何级数，收敛半径也是1）相减。
我们可以得到1/2+1/6+1/12+1/24+...，它是一个新的级数。
然而，这个新的级数的收敛半径并不是1。
事实上，通过运用数学工具，我们可以证明这个新的级数的收敛半径是1/2。
所以，通过将两个收敛半径为1的级数相减，我们得到了一个新的级数，其收敛半径变小了一半。
第二节 正项级数的判别法 一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.分布图示★ 正项级数★ 比较判别法 ★ 例1★ 例2★ 例3★ 例4 ★ 例5★ 比较判别法的极限形式★ 例6 ★ 例7★ 例8★ 例9 ★ 例10 ★ 比值判别法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 根值判别法★ 例14★ 例15★ 例16 ★ 积分判别法 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题12-2★ 返回内容要点一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列}{n s 有界. 以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法： 比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法. 至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及-p 级数等. 要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1+n u 与n u 有公因式且nn n u u 1lim +∞→ 存在或等于无穷大的情形.根值判别法（柯西判别法）：适合n u 中含有表达式的n 次幂，且ρ=∞→n n n u lim 或等于∞+的情形.积分判别法：对于正项级数,1∑∞=n na ，如果}{na 可看作由一个在),1[+∞上单调减少函数)(x f 所产生, 即有).(n f a n = 则可用积分判别法来判定正项级数∑∞=1n n a 的敛散性. 例题选讲比较判别法的应用例1（E01）讨论p —级数)0(131211>+++++p np p p 的收敛性. 解 1p ≤时，,11n np≥-∴p 级数发散. 1>p 时，由图可见,11⎰-<n n p p x dx n p p p n ns 131211++++=,111111111111121-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+=+++<--⎰⎰⎰p n p x dx x dx x dx p n n n pp p即n s 有界，-∴p 级数收敛. 当1>p 时收敛 故-p 级数 . 当1≤p 时发散例2（E 02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证 )1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散， ∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.例3（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性.解 运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n <而∑∞=131n n是收敛的,所以原级数收敛.例4（E04）设n n n b c a ≤≤),,2,1( =n 且∑∞=1n na及∑∞=1n nb均收敛， 证明级数∑∞=1n nc收敛.证 由,n n n b c a ≤≤得 ,),2,1(0 =-≤-≤n a b a c n n n n 由于∑∞=1n na与∑∞=1n nb都收敛,故)(1nn na b ∑∞=-是收敛的,从而由比较判别法知,正项级数)(1n n n a c ∑∞=-也收敛.再由∑∞=1n na与)(1n n na c-∑∞=的收敛性可推知: 级数∑∞=1n n c )]([1n n n na c a∑∞=-+=也收敛.例5 设⎰=40tan πxdx a nn ，证明级数∑∞=1n nna λ)0(>λ收敛. 证 由⎰=4tan πxdx a n n ⎰<42sec tan πxdx x n⎰=40tan tan πx xd n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+41tan 11πx n n 11+=n n 1< 得.λλ+<<110n n a n 因为,11>+λ所以∑∞=+111n n λ收敛, 由比较判别法知∑∞=1n nn a λ收敛.比较判别法及其推论的应用例6（E05）判定下列级数的敛散性:(1) ;11ln 12∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n (2).cos 111∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n π解 )1(因⎪⎭⎫ ⎝⎛+211ln n ),(1~2∞→n n 故 n n u n 2lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→2211ln lim n n n 221lim nn n ⋅=∞→1=根据极限判别法,知所给级数收敛. )2(因为n n u n2/3lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→n n u n n n πcos 11lim 2/322211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=∞→n n n nn π,212π= 根据极限判别法, 知所给级数收敛.比值判别法的应用例7 判别级数∑∞=++1)(n an nn a n 的敛散性. 解 记an nn na n u ++=)(a n n n n n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,1a nn n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 采用比较法的极限形式,取,1an n v =因 nn n v u ∞→lim nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim a e =,0≠ 所以原级数与级数∑∞=11n an具有相同的敛散性,从而知当1>a 时，级数∑∞=++1)(n an nn a n 收敛; 当1≤a 时，级数∑∞=++1)(n an nna n 发散.例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1sin n n n ππ的敛散性. 解 选取级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π作比较.由,613cos 1lim sin lim203=-=-→→x x x n x x x π可得3sinlim ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n n n πππ.61=因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π收敛,所以原级数也收敛.注:从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项n u 趋向于零的“快慢”程度.例9（E06）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11ln 1n n n n的敛散性. 解 令)1ln()(x x x u +-=),0(0>>x .)(2x x v =由于2)1ln(limx x x x +-+∞→x x x 2111lim +-=+∞→)1(21lim x x +=+∞→,21=从而2111ln 1limn n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→211ln1lim nn n n n +-=∞→.21= 由级数∑∞=121n n 的收敛推知本题所给级数也收敛.例10 级数,11∑∞=n p n 当1>p 时收敛, 有人说, 因为,111>+n 故级数∑∞=+1111n nn 收敛. 你认为他的说法对吗?解 不对.前者-p 级数的p 是一常数与n 无关,而后者n11+与n 有关,事实上 n nnn /11lim11+∞→1)(lim -∞→=n n n 1=由级数∑∞=11n n 的发散性,可知级数∑∞=+1111n nn 也发散.例11（E07）判别下列级数的收敛性：(1) ∑∞=1!1n n ； (2)∑∞=110!n nn . (3) ().21211∑∞=⋅-n n n解 )1(n n u u 1+!/1)!1/(1n n +=11+=n ,0−−→−∞→n 故级数∑∞=1!1n n 收敛.)2(n n u u 1+!1010)!1(1n n n n ⋅+=+,∞−−→−∞→n 故级数∑∞=110!n n n 发散. )3(nn n u u 1lim+∞→)22()12(2)12(lim +⋅+⋅-=∞→n n nn n ,1=比值判别法失效,改用比较判别法,因为n n 2)12(1⋅-,21n <而级数∑∞=121n n 收敛,所以∑∞=⋅-12)12(1n n n 收敛.例12（E08）判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n 的散敛性.解 因为n nn )12(2+,22nn <而对于级数,212∑∞=n n n 由比值判别法,因 nn n u u 1lim +∞→21222)1(lim n n n n n ⋅+=+∞→2)11(21lim n n +=∞→21=,1< 所以级数∑∞=122n nn 收敛,从而原级数亦收敛.例13 判别级数)0(!1>∑∞=a n a n n n n的收敛性.解 采用比较判别法,由于nn n u u 1lim +∞→!)1()!1(lim 11n a n n n a n n n n n ⋅⋅++=++∞→n n n a )/11(lim +=∞→,e a= 所以当e a <<0时，原级数收敛;当e a >时，原级数发散;当e a =时，比值法失效,但此时注意到:数列nn n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11严格单调增加,且,e n n<⎪⎭⎫⎝⎛+11于是,11>=+nn n x e u u 即,n n u u >+1故,e u u n =>1由 此得到,0lim ≠∞→n n u 所以当时原级数发散.例14 判别级数2111n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-的散敛性.解 一般项含有n 次方, 故可采用根值判别法.因为n nn u ∞→lim n n n n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→11lim e1=1<故所求级数收敛.例15（E 09）判别级数∑∞=---1)1(2n n n的收敛性：解 因为n n n u ∞→lim nn n n n)(2lim ---∞→=nn n)1(12lim ---∞→=21=1< 由根值判别法知题设级数收敛.例16（E10） 判别级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为n 21n n 2)1(2-+≤n23≤ 而,2121lim =∞→n n n ,2123lim =∞→n n nn n nn 2)1(2l i m -+∞→21=1< 故原级数收敛.例17（E11）试确定级数∑∞=1ln n n n的敛散性. 解 若设,xxx f ln )(=则显然)(x f 在1>x 时非负且连续. 因,2ln 1)(x xx f -='所以在e x >时有,0)(<'x f 函数)(x f 单调减少, 于是,可以对级数∑∞=1ln n n n应用积分判别法.注意到 dx xxe⎰∞ln ⎰∞→=beb dx x xln limbeb x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+∞→2ln lim 22ln ln lim 22e b b -=+∞→,+∞= 即广义积分以散,所以级数∑∞=1ln n n n发散.课堂练习1.设正项级数∑∞=1n n u 收敛, 能否推得∑∞=12n n u 收敛? 反之是否成立?2.判别下列级数的收敛性.1)3(;22)2(;cos 1)1(111∑∑∑∞=∞=∞=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nn n n e n n n π达朗贝尔（D ’Alember Jean Le Rond ，1717~1783）达朗贝尔是法国物理学家、数学家。
