三次函数极值的初等解法

三角函数最值的求解策略【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。

解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。

求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】方法一 化一法使用情景：函数表达式形如 f (x )a sin 2 xb cos 2 xc sin x cos xd 类型解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如 ya sin xb cos xc 形式；第二步 利用辅助角公式a sin x b cos xa sin(x) 化为只含有一个函数名的形式；第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.x4x cos4例1 已知函数 fx 在 x 0 ，2上的最x，则 f大值与最小值之差为 ．【答案】3i n 2 2 s i n x2x66 , 76，即为换元思想，把2x6 看作一个整体，利用 ysin x 的单调性即可得出最值，这是解决 y a sin xb sin x 的常用做法．【变式演练1】设当x时，函数 f (x )2sin xcos x 取得最大值，则cos__________．【变式演练2】已知函数 f (x ) 4cos x sin(x )1(0) 的最小正周期是．6(1)求 f (x ) 的单调递增区间；3(2)求 f (x ) 在[ ， ]上的最大值和最小值．【答案】58 8【答案】(1) 6 k , 3k k Z ； (2) 最大值2 、最小值 622所以 f x 在8 , 38上的最大值和最小值分别为2 、 6 2 2 .考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数 yA sinx 的性质；【变式演练3】已知函数 f (x ) sin xa cos x 图象的一条对称轴是 x，且当 x(2) 当 3,88x时， 72,612 12x2sin 262fx x,4时，函数g(x) sin x f (x) 取得最大值，则cos．【答案】5【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．2 x sin2 x) 2cos2(x ) 1的定义域为[0,]. 【变式演练4】已知 f (x) 3(cos4 2 (1)求 f (x) 的最小值.(2)ABC中, A 45 ,b 32 ,边a的长为函数3 3 f (x) 的最大值,求角 B 大小及ABC的面积.【答案】(1)函数 f (x) 的最小值 3 ；(2) ABC的面积S 9(3 1) .【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.x x) 3cos 2 x 3 .【变式演练5】已知函数 f (x) cos(2（I）求 f (x) 的最小正周期和最大值；2（II）求 f (x) 在[ , ]上的单调递增区间．6 3【答案】（I） f (x) 的最小正周期为，最大值为1；（II）[, 5]．6 12【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简 f x sin(2x ) ，即可求解 f (x )35的最小正周期和最大值；（II ）由 f (x ) 递增时，求得kx k(kZ )，12125即可得到 f (x ) 在[ , ]上递增．6 12 试题解析： f (x ) （-cos x )()31cos2x 3221sin2x3 cos2x sin(2x)223（I ） f (x ) 的最小正周期为，最大值为1；（II ） 当 f (x ) 递增时，2k2x 2k (k Z )，2 325即kxk(kZ ),12125 所以， f(x ) 在[ ,]上递增 6 12 25即 f (x ) 在[ , ]上的单调递增区间是[ , ]6 3 6 12考点：三角函数的图象与性质．方法二 配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子 解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步 得出结论.例2 函数 f (x ) cos 2x2sin x 的最小值为．函数 ycos 2 xa sin xa 22 a5有最大值2，【变式演练6】已知求实数a 的值．【答案】 a【解析】 试题分析： ysin 2 x a sin x a 2 2 a 6 ，令sin x t ,t 1,1，则 yt 2ata 22 a6 ，对称轴为ta ，【答案】考点：三角函数的最值．【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于sin x的二次函数，根据sin x 的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a的值．【变式演练7】函数 f x sin x cos x 2sin x cos x x4, 4 的最小值是__________．【答案】1【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈ 4 , 4 ，化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1设sinx+cosx=t，则t=２sin（x）x+ ，那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈ 4 , 4t 1．∵函数g（t）=t2+t﹣1．∴x+ ∈[0，]，所以：04 ２１开口向上，对称轴t=－，∴0 t 1是单调递增．２当t=0时，g（t）取得最小值为-1．求函数y 74sin x cos x4cos2 x4cos4 x的最大值与最小值.方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.【点评】若函数表达式可化为形如 yat t 21（其中t 1，t 2 为含有三角函数的式子）， b则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.【高考再现】） f (x )1.【2017全国III 文，6】函数的最大值为（例 3 求函数2 sin2 cosx yx的最值 .【答案】2 sin 2 cosx y x的最大值为4 3，最小值为 4 3.【变式演练 8 】求函数 21sin 1 sinx yx在区间 [0,) 2上的最小值 . 【答案】 1sin(x )cos(x )A． B．1C．D．【答案】A所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y A sin(x )B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征2.【2016高考新课标1卷】已知函数 f (x )sin(x+)(0，),x 为24418，536单调,则的最大 f (x ) 的零点, x为 y f (x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在值为( )（A ）11 （B ）9（C ）7 （D ）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖, 是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① fx A sin x A 0,0的单调区间长度是半个周期;②若 f xA sinx A0,0的图像关于直线 xx 0 对称,则 fx 0A 或fx 0A .3. 【2016年高考北京理数】将函数 ysin(2x ) 图象上的点P ( ,t ) 向左平移s3 4（s 0 ） 个单位长度得到点P '，若P '位于函数 ysin2x 的图象上，则（）A.t1 ，s 的最小值为B.t 3，s 的最小值为2626C.t1，s 的最小值为D.t3，s 的最小值为2 323【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，t sin(2) 1，故此时P '所对应的点为(,1) ，此4 3212 2时向左平移 - 个单位，故选A.4 126考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换4.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin(x )k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值6为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C5.【2015高考安徽，理10】已知函数 f xsinx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当 x2时，函数 fx取得最小值，则下列结论正3 确的是（ ）（A ） f2f2f（B ） f 0 f 2 f2（C ） f2ff2（D ） f 2 f 0 f2【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.6.【2015高考湖南，理9】将函数f (x) sin 2x的图像向右平移(0 )个单2位后得到函数g(x) 的图像，若对满足 f(x1) g(x2) 2 的x1，x2，有x1x2 min ，3 则（）5 A. B. C. D.12 3 4 6【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以f (x) A sin(x ) 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.7.【2017全国II文，13】函数f (x) 2cos x sin x 的最大值为 .【答案】1 【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：f x 1cosx 3cosxcos x 3cos x14 cos x2321，x 0,2可得：cos x0,1，当cos x3时，函数 f x 取得最大值1。

求极值的若干方法1 序言一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类．无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条件限制的极值问题．下面我们给出极值的定义定义1)136](1[P 设函数f 在点0P 的某邻域0()U P 内有定义，若对于任何点0()P U P ∈，成立不等式0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），则称函数f 在点0P 取得极大（或极小)值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称为极值．极大值点、极小值点统称为极值点．2 求解一元函数无条件极值的常用方法2.1 导数法 定理１)142](2[P设f 在点0x 连续，在某邻域0(;)oU x δ内可导．(i)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值．(ii)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值．由此我们可以推出当0(;)ox U x δ∈时，若()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 不取极值．定理２)142](2[P 设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠．(i)若0()0f x ''<，则f 在0x 取得极大值． (ii)若0()0f x ''>，则f 在0x 取得极小值．对于一般的函数我们既可以利用定理１，也可以利用定理２，但对于有不可导点的函数只能用定理１．例1 求函数2()(1)f x x x =-的极值．解 显然f 在01x =±，处不可导，23()(31)sgn()f x x x x '=-- 其中01x ≠±（，）令()0f x '=，得33±=x ，且f 在01x =±，处导数不存在．当(,1)x ∈-∞-时()0f x '<，()f x 单调减小；当(1,3x ∈--时()0f x '≥，()f x 单调增加；当[,0)3x ∈-时()0f x '≤，()f x 单调减小；当3x ∈时()0f x '≥，()f x 单调增加；当x ∈时()0f x '≤，()f x 单调减小；当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调增加， 所以由定理１可以得到()f x 在33±=x 处取得极大值932，在01x =±，处取得极小值0． 若用定理２则有3()6sgn()f x x x x ''=- 其中01x ≠±（，），当x =()0f x ''=-<；当x =，()0f x ''=-<，由此只能判断出f 在33±=x 处取得极大值，而无法判断在不可导点01x =±，处是否取得极值． 定理２表明若函数()f x 在稳定点0x 处的二阶导数()0f x ''≠，则稳定点0x 一定是函数()f x 的极值点，但如果遇到()0f x ''=时应用定理２无法判别，这时需借助更高阶的导数来判别．定理３)143](2[P 设f 在0x 某邻域内存在直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且()0()0(1,2,1)k f x k n ==-，()0()0n f x ≠，则(i)当n 为偶数时，f 在0x 取得极值，且当()0()0n f x <时取极大值，()0()0n f x >时取极小值． (ii)当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值．例2 求函数43()(1)f x x x =+的极值．解 由于32()(1)(74)f x x x x '=++，因此40,1,7x =--是函数()f x 的三个稳定点． f 的二阶导数为22()6(1)(782)f x x x x x ''=+++，由此得，(0)(1)0f f ''''=-=及4()07f ''-<．所以()f x 在47x =-处取得极大值．求f 的三阶导数32()6(3560304)f x x x x x '''=+++，有(0)0f '''=，(1)0f '''->．由于3n =为奇数，由定理３知函数f 在1x =-处不取极值， 再求f 的四阶导数(4)32()24(3545151)f x x x x =+++，有(4)(0)0f >．因为4n =为偶数，故f 在0x =处取得极小值．综上所述，(0)0f =为极小值， 434436912()()()777823543f -==为极大值．2.2 对某些复杂函数求极值的特殊方法对某些比较复杂（比如含根号）的函数，求导数、稳定点比较困难，计算容易出错，这时我们可以利用()f x 与()nf x 有相同的极值点（极值的类型可能不同）这一特点，把复杂的函数转化为一般函数再求解．推论1[3](36)P 设0x 为()f x 的极大（小）值点，则有：１）如果()0f x ≥，则()f x 与()nf x 有相同的极值点和极值． ２）如果()0f x ≤，则()f x 与21()n f x +仍有相同的极值点，但()f x 与2()n f x 的极值的类型恰恰相反，即0x 为2()nfx 的极小（大）值点．例 3 求函数(8)y x =-解 因为 5104(8)(1)y x x =-+，所以59410393()10(8)(1)4(8)(1)2(8)(1)(711)y x x x x x x x '=-++-+=-+-．令0)(5='y ,得11-=x ，82=x ，7113=x ， 故当11(,1)(,8)7x ∈-∞-⋃ 时，5()0y '<，5y 单调减，当11(1,)(8,)7x ∈-⋃+∞时，5()0y '>，5y单调增，所以5y 在1x =-，8x =处取得极小值0，在117x =处取得极大值1044518()()77．根据推论1得y 在1x =-和8x =处取得极小值0，在117x =处取得极大值4254518()()77．若直接用对函数求导的方法可得4125542(8)(1)(8)(1)5y x x x x -'=-++-+21542(8)(1)(8)5(1)x x x x -++-=+ 显然导数较复杂，求稳定点比较困难，且有不可导点，直接求导数容易出错．由上述方法可知稳定点，导数不存在的点是连续函数可能的极值点，此外函数可能的极值点还能是第一类间断点．我们假设()f x 在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+内有定义，0x 是()f x 的第一类间断点，根据极值的定义可得到()f x 在0x 处求极值的两个推论[4](11)P ．推论２ 如果000()lim ()x x f x f x →->且000()lim ()x x f x f x →+> 则()f x 在点0x 处取得极大值)(0x f ．推论３ 如果当00(,)x x x δ∈-时，()f x 单调增加，当00(,)x x x δ∈+时，()f x 单调减少，且000()lim ()x x f x f x →-≥、000()lim x x f x →+≥则在点0x 处取得极大值0()f x ．类似地可以推出极小值．例4 求函数3,()3,x x f x x ⎧=⎨+⎩ .0,0≤>x x 的极值．解 当0x >时，33()()3(1)xxf x x x Inx ''==+， 令()0f x '=得稳定点1x e=， 当10x e<<时，()0f x '<；当1x e >时，()0f x '>，故()f x 在1x e=处取极小值311()()e f e e =．又当0x <时()10f x '=>，()f x 单调增加； 当10x e<<时3()3(1)0xf x x Inx '=+<，()f x 单调减少，且0lim ()3(0)x f x f -→==，00213lim3lim11300lim ()lim 1(0)x x Inx x xInx xx x x f x e e ee f ++→→++-→→=====<．所以()f x 在0x =有极大值(0)3f =．3 求解二元函数无条件极值常用的方法3.1 利用判别式求极值定理４)138137](1[P P - 设二元函数f 在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内具有二阶连续偏导数，且0P 是f 的稳定点，则有如下判别式：（i ）当0()0xx f P >，20()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极小值； (ii)当0()0xx f P <，20()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极大值；(iii)当20()()0xx yy xy f f f P -<时，f 在点0P 不能取得极值； （iv ）当20()()0xx yy xy f f f P -=时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值．这是对二元函数求极值比较实用的方法，但在用这个方法时需要注意一些问题．1）20()()0xx yy xy f f f P -=时，可能有极值也可能没有极值，需要另作讨论．例如函数46(,)f x y x y =+与46(,)g x y x y =-，容易验证这两个函数都以点(0,0)为稳定点，且在点(0,0)处都满足2()(0,0)0xx yy xy f f f -=，但(,)f x y 在点(0,0)处取极小值，而(,)g x y 在点(0,0)处不取极值．2）如果函数在个别点的偏导数不存在，这些点显然不是稳定点，但也可能是极值点，因此我们在讨论函数的极值问题时，对这些点也应当考虑．例如函数z =(0,0)的偏导数不存在，但是该函数在点(0,0)点却具有极小值．一般在高等数学教材中，对像这样的二元函数并没有明确给出在偏导数不存在处求极值的方法，他们只是根据初等数学中函数图像的性质推断出在该点能否取极值．对此我参考对特殊一元函数求极值的方法推导出了对特殊二元函数求极值的一般解法．3.2 二元函数在偏导数不存在处求极值的特殊方法 命题1 设00(,)x y 为(,)f x y 的极大（小）值点，则有：1）21(,)n f x y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 也为21(,)n f x y +的极大（小）值点；2）当(,)0f x y ≥时，2(,)nfx y 与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 为2(,)nf x y 的极大（小）值点；当(,)0f x y <时，2(,)nf x y 与(,)f x y 仍有相同的极值点，但它们的极值类型恰恰相反，即00(,)x y 为2(,)nf x y 的极小（大）值点．下证结论1）, 2），1）证 由极值的定义知，若00(,)x y 是(,)f x y 的极大（小）值点，则对于00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），故有212100(,)(,)n n f x y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥）．反之，若212100(,)(,)n n fx y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥），则有00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），即21(,)n fx y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型． ２）当(,)0f x y ≥时，结论很明显，证略．下证当(,)0f x y <时，证 不妨设00(,)x y 是(,)f x y 的极大值点，则对00(,)x y 的某邻域内有00(,)(,)f x y f x y ≤， 所以有212100(,)(,)n n f x y f x y --≤，由于(,)0f x y <，故21210000(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f x y --≥，即2200(,)(,)n nf x y f x y ≥．所以00(,)x y 是(,)f x y 的极小值点．例5 求函数1122222222()(1)x y z x y a b=+-- (0)a b <<的极值．分析：直接对z 求偏导，则有22222211[1()]x x x y z --+=，22222112[1()]y y y x z -+-=，显然计算相当麻烦，且(0,0)点为函数z 的不可导点，但也可能是函数的极值点，故直接求导不可取，这时可利用命题１来求解．解 令2222222()(1)x y f z x y a b==+-- (0)a b <<，需先对函数f 求偏导，令22222222222112[1()]0,1122[1()]0.x y x f x y a a by f y x a b b ⎧=--+=⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩解得稳定点(0,0)，(0,，(， 又2222121122()xx x A f y a a b ==--+，22114()xy B f xy a b==-+，22222111222()xy y C f x a b b==-+-，因为在点(0,0)有20AC B ->，且有0A >，故点(0,0)为函数f 的极小值点；在点(0,有20AC B ->，且有0A <，故点(0,为函数f 的极大值点；而在点(有20AC B -<，故函数f在点(不取极值． 又因为0z ≥，从而由命题１可得函数z 在点(0,0)取得极小值0，在点(0,取得极大值2b．4 求解隐函数无条件极值的常用方法4.1 利用显函数极值问题的相应结论 定理５[5](26)P 设函数12(,,,,)n f x x x y 具有一阶、二阶连续偏导数，且12(,,,,)0y n f x x x y ≠，则由方程12(,,,,)0n f x x x y =所确定的n 元函数12(,,,)n y y x x x =在点000012(,,,)n P x x x 取得极值的必要条件是：000012(,,,)0i x n f x x x y =(1,2,,)i n =其中00012(,,,)0n f x x x y =．若记00012000012(,,,)(,,,)i j x x n ij y nf x x x y h f x x x y =-(,1,2,,)i j n =，0()()ij n n H P h ⨯=．那么，当0()H P 为正定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处取得极小值；当0()H P 为负定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处取得极大值；当0()H P 为不定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处不取得极值．例6 求由方程2222222440x y z xy x y z +++---+=所确定的函数(,)z z x y =的极值． 解 令222(,)222244f x y x y z xy x y z =+++---+，解方程组2224220,2220,2222440.x y f x y f y x f x y z xy x y z ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=+++---+=⎩解得稳定点为1(0,1,1)P ，2(0,1,3)P ，进而可得4xx f =，2xy f =，2yy f =，1()2z f P =-，2()2z f P =，所以121()11H P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，221()11H P --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，显然1()H P 为正定矩阵，2()H P 为负定矩阵．由定理５可知函数(,)z z x y =在点1(0,1)P 处取得极小值1，在点2(0,1)P 处取得极大值3． 4.2 利用拉格朗日乘数法[6](167)P这种方法是把原方程中的隐函数设为目标函数，把原方程设为约束条件，将隐函数极值问题转化为求条件极值的问题．例7 求由方程22222880x y z xz z +++-+=所确定的隐函数(,)z z x y =的极值． 解 取目标函数(,,)f x y z z =，约束条件为原方程，作辅助函数222(,,,)(2288)L x y z z x y z xz z λλ=++++-+，令222480,40,1820,22880.x yz L x z L y L x z L x y z xz z λλλλλλλ=+=⎧⎪==⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-+=⎩ 解得1115λ=-，2115λ=，稳定点1168(,0,)77P -，2(2,0,1)P -， 又4xx L λ=，0xy L =，4yy L λ=，由于22160xx yy xy f f f λ-=>(0)λ≠，故所求之点1168(,0,)77P -，2(2,0,1)P -均为极值点，且当0λ<时为极大值点，当0λ>时为极小值点．由此得所求函数(,)z z x y =的极大值为87-，极小值为1．同样例1也可以用这种方法求解．5 求解条件极值的常用方法5.1 代入法化为无条件极值问题这种方法一般是从条件方程（以二元条件极值为例）(,)0x y ϕ=中解出显函数()y y x =代入(,())z x y x =中化为无条件极值问题，从而使问题简化．例8 求函数22(,)f x y x y =+在条件10x y +-=下的极值．解 由10x y +-=，得1y x =-， ⑴ 将⑴代入(,)f x y ，得222(1)221f x x x x =+-=-+，由二次函数的顶点式可知当12x =时，f 取得极小值12．显然用这种方法比拉格朗日乘数法更简洁，但在求解过程中要注意几个问题：1）这种方法适合用于比较简单的、含自变量较少函数，一般不超过三个；2）对有些约束条件较复杂、不易从约束条件中解出显函数的函数，这时不适合用代入法求解； 3）在求解过程中如果不注意代入的条件则可能导致不完整甚至错误的答案[7](42)P ．例如求解原点到曲面22()1x y z -+=的最短距离．用代入法求解时，如果将221()z x y =--代入222u x y z =++得2221()12u x y x y xy =++--=+，由20,20.x y u y u x ==⎧⎪⎨==⎪⎩得可能的极值点为1(0,0,1)P 与2(0,0,1)P -，此时1P ，2P 到原点的距离均为1，而曲面22()1x y z -+=存在到原点的距离比1小的点，比如11(,,0)22P -就是这样的点，因此用代入法求解时，这样的最短距离不存在．而用拉格朗日乘数法求解时，则可得到二个可能的极值点分别是311(,,0)22P -与411(,,0)22P -，且从几何图形不难看出3P ，4P正是两个最值点，最短距离为2．原因是求222u x y z =++在约束条件22()1x y z -+=的最值时，x 与y 的取值范围必须满足1x y -≤，而将221()z x y =--代入222u x y z =++后得12u xy =+，x 与y 的取值范围都已是),(+∞-∞．5.2 利用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法可求解含更多自变量的条件极值且无需解出显函数，其方法简捷．但其不足之处是所求的点只是可能的极值点，在解题过程中通常是根据问题的实际情况来推测．若想要确定该点是否是极值点及在该点的极值类型则需要根据拉格朗日函数L 的二阶微分符号来判断．定理６[8](257258)P P - 设0P 是拉格朗日函数L 的稳定点，则1） 若20()0d L P >，则函数f 在0P 取条件极小； 2） 若20()0d L P <，则函数f 在0P 取条件极大．例9 求函数222212341234(,,,)f x x x x x x x x =+++在条件411(0,1,2,3,4)k kk k a xa k ==>=∑下的极值．解 设拉格朗日函数为42222123412341(,,,)(1)k kk L x x x x x x x x a xλ==++++-∑，对L 求偏导并令它们都等于0，则有1233411223444120,20,20,20,10.x x x x k k k L x a L x a L x a L x a a x λλλλ=⎧⎪=+=⎪⎪=+=⎪⎪=+=⎨⎪=+=⎪⎪⎪-=⎪⎩∑解得421(1,2,3,4)ii kk a x i a===∑，4212kk aλ==-∑，又当4212kk aλ==-∑时，222142()0d L d x d x =++>，所以当421(1,2,3,4)ii kk a x i a===∑时，f 取得极小值，极小值为4211kk a=∑．5.3 运用梯度法求条件极值将梯度法用于求条件极值问题，方程组11212112(,,,)(,,,),(,,,)0,(1,2,,1).n n i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i n λϕϕ-=⎧=⎪⎨⎪==-⎩∑的解就是所求极值问题的可能极值点[9](35)P ．例10[9](35)P 试求n 个正数，其和为定值l 的条件下，什么时候乘积最大，并证明2121()n n x x x x n ≤+++．证 本题的实质是求1212(,,,)n n y f x x x x x x ==在条件12n x x x l +++=下的最大值问题．根据本文定理，列出下列方程组，求解可能的极值点121212()(),.n n n grad x x x grad x x x l x x x l λ=+++-⎧⎨+++=⎩进一步求解得{}{}231312112,,,1,1,,1,.n n n n x x x x x x x x x x x x l λ-=⎧⎪⎨+++=⎪⎩容易得到12n lx x x n ====，根据题意，则,,,l lln n n（）是唯一的极大值点,也是最大值点．所以 12(,,,)nn l f x x x n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2121()n n x x x x n≤+++．5.4 利用球面坐标求条件极值利用空间坐标点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)γϕθ之间的关系，应用这一变换可求解含平方和（或可化为含平方和）运算的条件极值问题[10](96)P ．例11[10](96)P 求函数222u x y z =++在条件22()1x y z --=下的极值．解 利用球面坐标法，由目标函数222u x yz =++，可设cos ,sin ,x y z ϕθϕθϕ===，代入约束条件可得21sin (2sin 2)12uϕθ=--≤ (当13,24ϕπθπ==时取等号)，于是12u ≥，故所求极小值为12u =． 利用球面坐标求解条件极值问题其解法优于代入法、乘数法，且解法简洁，省去了对极值充分性的考虑，比一般的方法省事许多，同时所获得极大（小）值就是最大（小）值．6 极值与最值的联系与区别及最值应用在日常生活、工程技术与生产实践中，我们常会遇到这样的问题：在一定的条件下，怎样才能使产品最多而用料最省，成本最低而利润最大等，这些问题通常都归结为数学中的最值问题．下面我们给出最值的定义[12](80)P ．定义2 设函数f 在区域D 上连续，如果存在D 中的点0P ，1P 使得0()f P M =，1()f P m =，且对于任意的点P D ∈都有()m f P M ≤≤，则称M 为f 在D 上的最大值，m 为f 在D 上的最小值，0P 称为最大值点，1P 称为最小值点．最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为最值点．最值和极值在某种程度上有相似点，也有不同点，了解了极值与最值的关系有助于求解函数的最值．极值与最值的区别和联系：1）极值是函数在某点的局部性质，而最值是函数在区域的整体性质； 2）在给定的区域上极值可能有多个，而最大（小）值最多各有一个； 3）在区间内部最值一定是函数在某个区域的极值，极值未必是最值； 4）极值点不能是边界点，最值点可以为边界点；5）如果函数的最值在某个区域内取得，该点一定是极值点；6）在整个区域上极小值可能大于极大值，而最小值一定不大于最大值．所以要求函数在区域上的最大（小）值，只要比较函数在所有稳定点、不可导点和区域的边界点上的函数值，就能从中找出函数在该区域上的最大值与最小值． 通常在求闭区域上的多元函数的最值时，都按下列步骤进行． 第一步：在区域内部求出函数的所有稳定点和偏导数不存在的点； 第二步：计算在这些点处的函数值及函数在区域边界上的函数值； 第三步：比较上述所求值的大小，最大（小）者为最大（小）值．在实际问题中，根据对问题的分析知函数的最值存在，而函数在区域内部只有一个稳定点，则函数在该点的值就是所求的最大（小）值．例12)176](7[P 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求价格分别是11182P Q =-，2212P Q =-（单位：万元／吨），1Q ，2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量（单位：吨），则该企业生产这种产品的总成本是25C Q =+，其中12Q Q Q =+．（１）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润．（２）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润的大小．解 （１）根据题意，总利润函数为1122(25)L PQ P Q Q =+-+221212216105Q Q Q Q =--++-， 令12124160,2100.Q Q L Q L Q =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩解得14Q =，25Q =，则有110P =(万元/t)，27P =(万元/t) ．因稳定点(4,5)唯一，且该实际问题一定存在最大值，故最大值必在稳定点处达到，最大利润为22245164105552L =-⨯-+⨯+⨯-=（万元）． （２）若实行价格无差别策略，则12P P =，于是有1226Q Q -=， 构造拉格朗日函数22121212216105(26)F Q Q Q Q Q Q λ=--++-+--，令12121241620,2100,260.Q Q F Q F Q F Q Q λλλ=-++=⎧⎪=-+-=⎨⎪=--=⎩解得15Q =，24Q =，2λ=，则得128P P ==， 最大利润为22254165104549L =-⨯-+⨯+⨯-=（万元）． 由上述结果知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润．参考文献：[1] 华东师范大学数学系编．数学分析下册[M]．高等教育出版社，2002[2] 华东师范大学数学系编．数学分析上册[M]．高等教育出版社，2002 [3] 孟赵玲，许燕．函数极值的两个简单求法[J]．北京印刷学院学报，2005，09 [4] 王金金，任春丽．函数在间断点处的极值问题[J]．高等数学研究，2006，03 [5] 单国莉．矩阵的正定性和隐函数的极值[J]．高等数学研究，2004，12 [6] 李心灿，宋瑞霞，旭辉．高等数学专题十二讲[M]．化学工业出版社，2001 [7] 莫国良．关于用代人法求条件极值的一点注记[J]．高等数学研究，2004，06 [8] 邓东皋，尹小玲．数学分析简明教程[M]．高等教育出版社，1999[9] 肖翔，伯生．用梯度法求条件极值[J]．上海工程技术大学教育研究，2006，01 [10] 李德新．球面坐标解一类条件极值问题[J]．高等数学研究，2005，09[11] 吉艳霞．函数极值问题的方法探讨[J]．运城学院学报，2006，08[12]Stanley J.Farlow and Gray M.Haggaryd．Caculus and its Applications[M]．New York: McGraw-Hill Publishing Company，1990。

重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。

一元三次方程的解法邵美悦2018年3月23日修改:2018年4月25日众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法.1配方法一元二次方程ax 2+bx +c =0,(a =0)的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用a (x +b 2a )2=b 2−4ac 4a解出x =−b 2a ±√b 2−4ac 2a.当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2−4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2−4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.21值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可.1一元二次方程的这一配方解法可以进行更细致地拆解.首先,我们可以将二次项系数归一化,只需要考虑x2+˜bx+˜c=0,其中˜b=b/a,˜c=c/a.然后引进新的变量y=x+˜b/2可以消去一次项得到二项方程y2=˜b24−˜c.最后开平方解出y=±√˜b2−4˜c2,再代入x=y−˜b/2即可算出x.一元二次方程实在太过简单,所以即使不像这样进行细致地拆解仍然可以很轻易地解出,这里拆解的目的只是为了简化记号,从而更容易看清楚每个步骤所起的作用.对于一元三次方程而言,为了避免不必要的麻烦,同样只需要考虑首项系数为1的方程x3+bx2+cx+d=0.类似于一元二次方程的配平方,这里很自然地首先尝试配立方的办法,引进变量y=x+b/3便可以消去二次项得到形如y3+py+q=0(1)的三项方程,3其中p和q的具体表达式留给读者自行推导.这样一来只要能够求解(1)就可以解出一般的一元三次方程.不过与一元二次方程不同的是,当p=0时(1)并不能直接开立方来求解,所以接下来我们需要进一步研究三项方程(1)的一般解法.2三倍角公式在中学教材的三角函数部分,三倍角公式远不如二倍角公式及半角公式重要,4不过三倍角公式和(1)的求解紧密相关.考虑三倍角余弦公式cos3θ=4cos3θ−3cosθ,(2)公式(2)的右端只含有cosθ而不含sinθ.如果令T3(x)=4x3−3x,那么cos3θ=T3(cosθ),也就是说cos3θ是cosθ的三次多项式.53另一种理解方式是,通过平移变换,我们总可以将一元三次方程的三根之和变为零.4通常来讲我们并不鼓励中学生去记忆三倍角公式,只要在需要使用的时候能够临时推导就足够了.5一般地,定义多项式序列T(x)=1,T1(x)=x,T n+2(x)=2xT n+1(x)−T n(x),(n∈N).2注意到在T 3(x )中的二次项系数为零,如果将T 3(x )与(1)的形式进行对比不难发现,当p =−3/4且−1/4≤q ≤1/4时,y 3−34y +q =0可以用代换q =−(cos 3θ)/4,y =cos θ来求解,得到y =cos (13arccos (−4q )+2kπ3),其中k ∈{0,1,2}.顺着这一思路,对于实数p <0,如果设y =r cos θ代入(1)就可以得到r 3cos 3θ+rp cos θ+q =0,当r 3/rp =−4/3时就可以凑成T 3(cos θ)的形式.于是我们取r =2√−p /3,就可以归结为4cos 3θ−3cos θ−4q r 3=0.只要−4q /r 3是绝对值不大于1的实数(等价于(p /3)3+(q /2)2≤0)仍然可以按上述三角解法来解.63Vieta 代换和Cardano 公式上一节中介绍的一元三次方程的三角解法由Vieta 提出,可以在p ,q 是实数并且(p /3)3+(q /2)2≤0的前提下求解(1)的三个实根.当然,在中学知识范围内这个解法对于p 和q 的取值范围有一定的要求,难以应用于一般的复系数一元三次方程.7另外,该方法需要引进三角函数和反三角函数,比起一元二次方程只需要用到四则运算和开方就能求解来讲要复杂一些.不过对这一三角解法进行适当推广很容易得到求解(1)的代数方法.如果z =cos θ+i sin θ,那么cos θ=12(z +1z),利用归纳法及和差化积公式容易验证cos nθ=T n (cos θ),这里的T n (x )称为n 次Chebyshev 多项式,也叫做第一类Cheby-shev 多项式.6如果引进双曲函数sinh θ=12(e θ−e −θ),cosh θ=12(e θ+e −θ),并利用双曲函数的三倍角公式sinh 3θ=4sinh 3θ+3sinh θ,cosh 3θ=4cosh 3θ−3cosh θ,则可解决三角解法中未曾顾及的p ,q 是实数但(p /3)3+(q /2)2>0的情况求出方程(1)的实根.7在大学的复分析课程中,余弦函数的定义域和值域都将会扩大到整个复平面,届时Vieta 的三角解法就可以作为一元三次方程的通用解法,尽管这不能算是纯粹的代数解法.3由此即可将左端的三角函数cos θ用右端关于z 的有理函数来代替,并且右端只需要z =0即有意义,而无需再受到原先|z |=1的约束,这样就可以把由三角函数的值域过小造成的约束放宽.对于代换y =r cos θ=rz 2+r 2z,如果再引进w =rz /2,便可以得到r 2z =r 24w =−p 3w,这里的最后一步用到了上一节中的选择r 2=−4p /3.有了上面的分析,我们就可以“过河拆桥”,在一开始求解(1)时就直接进行换元y =w −p 3w ,(w ∈C \{0}).(3)这一变量代换称为Vieta 代换.注意到对于任何复数y ,总存在两个复数w (有可能相同)使得y 与w 满足关系式(3),所以Vieta 代换总是可行的,并且不会遗漏(1)的解.将(3)代入(1)得到w 3−p 327w 3+q =0,通分得到关于w 3的二次方程w 6+qw 3−p 327=0,于是w 是w =3√−q 2+√(q 2)2+(p 3)3(4)的6个值(考虑重数)之一,这里的3√·和√·都表示复数开方的任何一个结果.只要得到了w ,再代入(3)便求出了y .记w 0为(4)中的任何一个结果,那么(1)的三个复根为y 1=w 0−p 3w 0,y 2=ζw 0−p 3ζw 0,y 3=ζ2w 0−p 3ζ2w 0,(5)其中ζ=−1+√3i 2.这一结果,即公式(4)和(5),称为Cardano 公式.需要指出的是,尽管w 0可以有6种取法(即w 0可以替换成ζw 0,ζ2w 0,−p /(3w 0),−ζp /(3w 0),−ζ2p /(3w 0)中的任何一个),但不论4哪一种取法,由(5)得到的三个解y 1,y 2,y 3总是相同的,至多仅有次序上的区别.另外,整个推导过程中并不要求p ,q 是实数,所有的运算都是复数运算,因此Cardano 公式对于p ,q 是复数的情况成立.4历史意义在16世纪早期,意大利数学家del Ferro 和Tartaglia 先后独立找到了一元三次方程的求解方法,这是欧洲文艺复兴时期在数学方面首次取得了超过古希腊数学成就的新成果,是数学史上重要的里程碑.Cardano 从Tartaglia 处学习到了一元三次方程的解法,并于1545年将其发表在著作Ars Magna 中,故一元三次方程的求根公式现在通常称为Cardano 公式.8在Cardano 所处的年代,负数的地位尚未得到正式认可,只有正数才可以进行运算(方程中系数小于零的项都需要移到等号的另一侧使系数变为正数).而Cardano 提出如果承认负数,并且允许对负数开平方,将会扩展方程可解的范围.9尽管复数被数学界所理解并广泛接受还经历了相当长的一段时间,但是复数的出现对于代数学和分析学都有着极为深远的影响.在Cardano 之后,法国数学家Vieta 和Lagrange 又相继提出了一元三次方程的其它解法.10其中Lagrange 的方法引进了置换的概念,统一了四次以内的一元多项式方程的解法,并断言一元五次方程不会有根式解.19世纪初,Lagrange 的思想为挪威数学家Abel 和法国数学家Galois 所发展,开创了近世代数(也叫抽象代数)这一新的数学分支,不仅完全解决了一元代数方程根式解的问题,也改变了整个数学科学的面貌.5练习题1.在复数域上解方程x 3−24x −32=0.2.在复数域上解方程x 3+5x 2−8x −28=0.3.在复数域上解方程x 3−3i x 2−(1−12i )x −25i =0.4.求3√39√69+324−3√39√69−324的值,其中√·和3√·表示通常实数的算术根.8Tartaglia 在Cardano 承诺保守秘密的情况下将一元三次方程的解法透漏给Cardano,然而后来Carnado 得知del Ferro 于Tartaglia 之前已经解出一元三次方程,并找到了del Ferro 的手稿,便觉得没有必要再遵守与Tartaglia 之间的约定,遂将一元三次方程的解法发表在其著作中(仍归功于del Ferro 和Tartaglia),一同发表的还有Cardano 的学生Ferrari 发现的一元四次方程的通用解法(称为Ferrari 解法).9可以证明,当p ,q 是实数且(p /3)3+(q /2)2<0时,方程(1)有三个实根.但是对于这种情况Cardano 公式不可避免地需要引进复数才能得到这三个实根.10本文的推导并未按照历史上的次序,而是反过来从Vieta 的三角解法引入Vieta 代换来得到Cardano 公式,以期读者可以更自然地理解其中的变量代换.读者也可以跳过三角解法直接从(3)开始推导Cardano 公式.55.若方程x3−3x+1=0的三个实根从小到大依次为x1,x2,x3,证明:x21−x23=x1−x2.6.若p,q是给定的实数,记∆=(p/3)3+(q/2)2.证明:•若∆>0,则(1)有三个不同的根,其中一个是实根,另外两个是一对共轭复根;•若∆=0,则(1)有三个实根,并且有重根;•若∆<0,则(1)有三个不同的实根.7.分别在实数域和在复数域上分解因式x3+y3+z3−3xyz,并由此推导Cardano公式.8.若p,q,r是给定的复数,在求解关于x的方程x4=px2+qx+r时,可以在两边同时加上2ux2+u2得到(x2+u)2=(p+2u)x2+qx+r+u2.为了使上述等式右端构成完全平方式,应该如何选取u?9.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,求xy+yz+3zx的最大值.10.证明:cos20◦是无理数.6。